计算方法-最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式

20
当m=n≠0
π cos(mθ)cos(nθ)dθ 1 π [cos(2nθ) 1]dθ π
0
20
2
当m=n=0
π cos(mθ)cos (nθ)dθ π 0
（3）奇偶性
Tn(x)当n为奇数时为奇函数，且只含x的奇次幂; 当n为偶数时为偶函数，且只含x的偶次幂.
利用数学归纳法证明： 1）当n 0和n 1时，T0(x) 1x0, T1(x) x，结论成立。
0 cos(mθ)cos(nθ)dcosθ
π
1 cos2θ
π cos(mθ)cos(nθ)dθ 0
根据积化和差公式：
cos(mθ)cos(nθ)
1 [cos(m 2
n)θ
cos(m
n)θ]
当m≠n:
π cos(mθ)cos (nθ)dθ 0
1 π [cos(m n)θ cos(m n)θ]dθ 0
En
inf
pn Hn
{Δ
(f,
pn
)}
对所有的 Pn(x)ϵHn
inf max
pn Hn a x b
|
f(x) pn(x)
|
(3.2)
称为f(x)在[a, b]上的最小偏差。
定义8 设f(x) C[a, b], 若存在pn* (x) Hn , 使得
Δ(f, pn* ) En (最小偏差)， (3.3) 则称pn* (x)是f(x)在[a, b]上的n次最佳一致逼 近多项式，简称最佳逼近多项式。
Tn1(x)
||
1 2n(n 1)!
||
f (n 1)(x)
||
已知 |Tn(x)|<=1
总结：设f(x) Cn1[1,1], 欲求f(x)在 [1,1]上的最佳一致逼近多项式Ln(x)， 只需将Ln(x)的插值节点x0 , x1,..., xn取为 切比雪夫多项式Tn1的0点即可。
对任意区间[a, b]，不能直接使用定理7。
xk
cos
(2k - 1)π 2(n 1)
,
k
1, … , n, n 1
此时, Ln(x)具有近似最佳一 致逼近的性质。
定理7 设f(x) Cn1[1,1],Ln(x)为插值多项式，
其插值节点x0 , x1,..., xn取为切比雪夫多项式Tn1
的0 点，则Ln (x)是f(x)在[-1 , 1 ]上的最佳一致逼近
希望构造最高次幂xn 系数为1 的多项式：
设
T~n(x)
1 2n1
Tn(x), 则
1) T~n(x)是最高次幂项xn系数为1的n次多项式, 2) T~n(x)在
x k
cos kπ (k n
0,1,2,… , n)
依次达到它在[1,1]上的极值
1 2n1
.
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
定理6 在[1,1]上首项系数为1的一切n次多项式Hn(x)中,
T~n(x)
1 2n1
Tn(x)
与零的偏差最小,且其偏差为
1 2n1
,
即
1 2n1
max
1 x 1
|
T~n(x)
0
|
max | p(x) 0 |,
1 x 1
p(x) Hn(x).
这个定理的
结论非常重要
证明比较复杂，省略。
怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？
问题：设f(x) Cn1[1,1], 函数f(x)在[1,1]上的
0,1,2,… , n)
轮流取得最大值1和最小值 1，{xk }称为交错点组。
- 1 x4
x 3
x2 0
x 1
x0 1
证： 将xk
cos
kπ n
,
(k
1,2,… , n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccos(cos
kπ )] n
cos[kπ]
(1)k
1
T2(x) T1(x)
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1) … (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
计算方法 (Numerical Analysis)
第4次 最佳一致逼近多项式
内容
1. 函数逼近的基本概念 2. 切比雪夫多项式 3. 最佳一致逼近多项式 4. 切比雪夫多项式在函数逼近中的应用 5. 利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多
项式的例子
函数逼近的基本概念
第3章 函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近的基本概念
设f(x) Cn1[a, b], 则函数通过变换
x a b b a t, 1 t 1
2
2
化为
f(x)
f(a b 2
b 2
a t)
g(t)
针对g(t) 使用定理7
例如：为将[0, 1] [-1, 1]，可以令：
则
x
0
2
1
1 0 2
t
1 (t 2
1)
f(x) f(1 (t 1)) g(t) , 1 t 1. 2
f(x)
收敛到f(x)较慢， 不常用。
在[0,1]上一致成立。该证明于1912年给出。
ε的数值
y
y=L (x)
一致逼近的几何意义
x Home
切比雪夫多项式
切比雪夫(Chebyshev)多项式
• 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。 • 切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳
一致逼近性质的插值多项式。
最佳一致逼近多项式
§3 最佳一致逼近多项式
一、基本概念及其理论
不超过n次的实系 数多项式的全体
本节讨论f(x) C[a, b], 求多项式pn* (x) Hn , 使得误差
||
f(x)
pn* (x)
||
min
pn Hn
||
f(x)
pn(x)
||
此即所谓最佳一致逼近 或切比雪夫逼近问题 。
Hn
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
TT0n(x1()x)
1, T1(x) 2xTn(x)
x, Tn1(x).
(2.11)
Tn(x)的最高次幂x n的系数为2 n1, (n 1).
证明：记θ arccosx, 则
Tn1 (x) cos[(n 1)θ] cos[(nθ θ)] cos(nθ)cosθ sin(nθ)sinθ
cos(n 1)θ cos(nθ)cos θ sin(nθ)sin θ
n 1个互异节点x0 , x1, … , xn上的拉格朗日插值
多项式的插值余项为
Rn(x)
f(x) Ln(x)
f(n1)(ξ) (n 1)!
n j0
(x
xj)
ξ
[1,1]
偏差估计
若Mn1
max |
1 x 1
f(n1)(x) |, 则
|
Rn(x)
|
Mn1 (n 1)!
|
(x
x0 )(x
x1) (x
最佳一致逼近多项式的存在性定理
定理 4 若f(x) C[a, b], 则必存在pn* (x) Hn ,
使得
|| f pn* || En
证明：设n次多项式
p(x) a0 a1x a2x2 … anxn
并记
p(x)的系数{an}
(a0 , a1, … , an )
max
a x b
|
2
2
针对g(t)应用定理7。计算Tn1的0点，t0 , t1,..., tn ; 则
xk
a b 2
b
2
a
tk , k
0,1,...,n
即为Ln的插值节点。
Home
利用切比雪夫多项式的0点 构造最佳逼近多项式的例子
C[a, b]
目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳 n次多项式
偏差的定义
确定的
定义7 设f(x) C[a, b], pn(x) Hn , 称 Pn(x)
Δ(f, pn )
||
f
pn
||
max
a x b
|
f(x) pn(x)
| (3.1)
是f(x)与pn(x)在[a, b]上的偏差。
多项式，且 max | f(x)
-1 x 1
Ln(x)
|
1 2n(n 1)!
||
f (n 1) (x)
||
证明：
max
-1 x 1
|
f(x)
Ln(x)
|
(n
1 1)!
||
f(n1)(x)
||||
(x
x0 )(x
x1) … (x
xn)
||
(n
1 1)!
||
f (n 1) (x)
||||
1 2n
-1
1
T3(x) T4(x)
-1
T3(x)有3个0值点，4个极值点
总结： Tn(x)具有很好的性质。
y
x
Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有 界[-1, 1]； T1(x), T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数，
T2(x), T4(x),…只含x的偶次项，是偶函数。 Home
2）假设当n 2为奇(偶)数时，T n(x)只含x的奇(偶 )次方，
3）则对n 1的情况，由递推公式 Tn1(x) 2xTn(x) Tn1(x)
得知：情况a）如果n为奇数，则2xTn(x)只含n的偶次方， Tn1(x)只含x的偶数次方，从而左端Tn1(x)只含x的偶次方； 情况b）如果n为偶数，则2xTn(x)只含x的奇次方，Tn1(x) 只含x的奇次方，从而左端Tn1(x)只含x的奇次方
cos[(2k
1)π] 2
0 (k
1,2, … , n)
图为T11(x)的零点，一共有11个
x11 x10 x 9 x 8
cosπ
cos 15π 22
x7
cos 13π 22
x6
cos π 2
x5
cos 9π 22
x4 x3 x2 x1
co s 7 π co s 5 π cos 3π cos π
22
22
22
22
xk
cos (2k 1)π , (k 22
1,2,… ,11)
接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直
线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆
弧的等距的点的集合。
（5）切比雪夫多项式的极值点
Tn(x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
x k
cos kπ , (k n
（4）切比雪夫多项式的零点
Tn(x)在[1,1]上有n个不同的零点
xk
cos (2k 1)π , 2n
(k
1,2, … , n)
证：将xk
cos (2k 1)π , (k 2n
1,2,… , n)
代入Tn(x)的表达式，得到
Tn(x)
cos[narccos(cos (2k 1)π)] 2n
切比雪夫多项式的(简单)定义： 表达式：对 1 x 1
Tn(x) cos(narccosx), n 0,1,2, … 称为切比雪夫多项式。 由三角表达式定 (2.10)
义的多项式
切比雪夫多项式的表达式
若令x cosθ，则 Tn(x) cos(nθ), 0 θ π.
切比雪夫多项式的前几项：
Baidu Nhomakorabea
最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤
1) 若f(x) Cn1[1,1], 则计算切比雪夫多项式Tn1的 0点x0 , x1,..., xn作为插值多项式Ln(x)的插值节点。
2)若f(x) Cn1[a, b], 则令x a b b a t
2
2
f(x) f(a b b a t) g(t) , 1 t 1.
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题：对于函数类A中给定的函数
f(x), 要求在另一类较简单的便于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(x), 使p(x)与f(x)的误差在某
种度量意义下达到最小.
定理 1(Weierstrass)若 f(x) C[a, b], 则ε 0, 多项式p(x), 使得
| f(x) p(x) | ε, 对于一切a x b成立
证明：伯恩斯坦的构造性证明：Bernstein多项式
Bn(f, x)
k
n 0
f
k n
Pk
(x)
(1.3)
其中Pk (x)
n k
xk
(1
a. 定理1具有重要
x)nk , 使得 的理论意义；
b. Bernstan多项式
lim
n
Bn(f,
x)
f(x)
p(x)
|
可以证明存在唯一的(a*0 , a1* , … , an* ), 使得
(a*0 , a1* , … , an* )
min{max
pHn a x b
|
f(x)
p(x)
|}.
Home
切比雪夫多项式在函数逼 近中的应用
三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用
已知Tn(x)的最高次幂x n的系数为2 n1, (n 1).
Tn1 (x) 2cos(nθ)co sθ cos(n 1)θ 2xTn (x) - Tn1 (x)
（2）正交性
0, m n,
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
π/2, m n 0,
π,
m n 0.
(2.12)
证：令x cosθ，则
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx