一次分式函数最值问题

一次分式函数最值问题Last revision on 21 December 2020

拆分函数解析式结构，巧解问题

--------------函数()ax b f x cx d

+=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d

+=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。

此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d +=

≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。

下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。

【例题1】：求函数21()3

x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为

{|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序：

1、将函数分解为反比例的结构；

2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。 【解析】：原函数可化为212677()2333

x x f x x x x +-+===+---， 7303

x x ≠≠-且

，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域；

【思路切入】：由例1的结构拆分法，我们不难得到函数的反比例结构。但由于函数有附加定义域(2,4]，所以在例1方法的基础上，结合一元二次函数值域的解法步骤，我们改进此类问题解法程序步骤为：

（一）数形结合法：

1、将函数分解为反比例的结构；

2、根据反比例结构特性，画出函数图像示意；

3、观察定义域内的曲线形状，找到最高点和最低点，得到函数值域。

（二）代数法：

1、利用变换，将x 用y 表示；

2、利用给定的函数定义域（x 的取值范围）建立关于y 的不等式；

3、解关于y 的不等式，得到函数值域。

【解析】：解法一：函数拆分变化为

212211()2,(2,4]111

x x f x x x x x --+===+∈---，画出函数示意图：

观察(2,4]内的曲线形状得

当2x =时，(2)3f =，当4x =时，

min 7()(4)3

f x f ==； 所以，函数()f x 的值域是7[,3)3

。 解法二：函数21(),(2,4]1

x f x x x -=∈-变形为1,(2)2y x y y -=≠-， 由函数定义域(2,4]可得1242y y -<

≤-， 解之得733

y ≤<，

所以，函数()f x 的值域是7[,3)3

。 进一步思考，通过解题归纳规律，我们不难得到，函数()(0)ax b f x c cx d +=

≠+类值域（最值）问题的变化在于：

1、给定函数定义域区间的开闭变化，有四种：双开、双闭、左开右闭、左闭右开；

2、给定定义域含不含函数图像对称中心的变化，有三种：在对称中心左侧、在对称中心右侧、含对称中心；

3、反比例函数结构的变化，有两种：,0a y a x

=>图像在一、三象限，,0a y a x

=<图像在二、四象限。 如此，此类函数的值域（最值）问题就全在你的掌控之中了。任题目千变万化，但解题方法步骤不变，我们完全可以“以不变应万变”。

【文化提升】：某个事物所具备的结构特征，决定了这个事物的转变方向。有时，我们可以把复杂事物，通过结构拆分，转化为我们所熟知的基本事物，然后，透过有条理的线索，逐步解决问题。单就数学来说，解决任何数学问题，透过数学结构，其解决方法的适当选取是培养数学思维素质的好途径。

【落实提高】：

1、求函数21(),(0,4)1

x f x x x -=

∈-的值域； 答案：7(,1)(,)3

-∞+∞ 2、求函数21(),[4,2)1x f x x x -=∈--+的值域； 答案：[3,5)

3、求函数3(),(0)21

x f x x x -=≥+的值域； 答案：1(,3]2

-

4、函数21()(),(0,4)()11()

f x

g x x f x x f x -=∈=-+且，求函数()g x 的值域； 答案：7(,)8

-+∞