一次分式函数最值问题
分式型函数的最值求法及简单应用
分式型函数的雏形是反 比例 函数 ） ， ＝ （ ｋ ≠
０ ） ， 通过对函数 图像 的平移 ， 可得到形式为“ Ｙ ＝ 口＋
时， － 等号成立． １
所 以函数的最小值为 ２ √ ＋ ３ ， 此时 ＝ √ ＋ ２ ．
由于函数形 式符合了基本 不等式的“ 一正数 ，
二定值 ， 三相等” 的要求 ， 于是顺理成章 的借助基本 不等式完成了本题 （ ２ ）仍然可整理 孥 化为（ １ ） 中的函数形式， 但由 于ｔ 的范围限制， 故基本不等式在本题中不能使用了， 并目 该 函 数不 是初等函数， 故必厮 Ｕ 用导数说明 单调性
处不 展开说 明．
（ ＞ ２ ） ； （ ３ ≤ ≤５ ） ．
６ Ｏ・
＜ 数学之友 ）
２ ０ １ ５年第 ２ Ｏ期
解 法二 ： ‘ ． ‘ ∈Ｒ， ． ‘ ． 分子 分 母 Ｉ
＝
时， 要 注恿
０的情 况分 开讨论 ：
② ｔ ∈ 【 一 丢 ， 。 ） ｕ （ 。 ， 】 时 ， ， ， ＋ ＿ ＝ ＝ ＿
．
．
． ＞ ０时， ＋ ≥２ （ 当且仅 当 ：１ 时， 等号
一
ｔ＝ 一
成立） ’ ． ． ． ＋ ． ＝ １ －
ｌ ≥１ ， ｙ Ｅ（ ０ ， １ ］ ．
．
‘
１
・
．
・ 菇＜ ０时 ， ＋ ≤一 ２ （ 当且仅 当 ＝一１ 时，
一
所以， 综上， 函数的最小值为 一１ ， 此时 ＝ ３；
这类函数与“ ” 型的处理方式有一定相 同之 处， 第一步也是“ 分 离常数” ， 然后转化 为 “ ” 型
＝ ， 一 耥 （ ２ 一 一 １ ） ２ ＝ 一 （ ２ 一 一 １＜ ） ２ 、 ｏ ｕ ’
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
分式函数最值及函数值范围问题
分式函数最值及函数值范围问题
在数学中，分式函数是由分子和分母分别是多项式的函数。
分式函数的最值和函数值范围问题是研究该类型函数的关键内容。
本文将介绍分式函数的最值以及如何确定函数值的范围。
1. 分式函数的最值问题
1.1 分式函数的最大值
要确定分式函数的最大值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最大值点。
3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最大值。
1.2 分式函数的最小值
要确定分式函数的最小值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最小值点。
3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最小值。
2. 分式函数的函数值范围问题
要确定分式函数的函数值范围，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 分析分子和分母的符号和关系，找出函数的正负性。
3. 综合考虑定义域边界点、极值点以及正负性，确定函数值的范围。
总结
分式函数的最值和函数值范围问题是研究分式函数的关键内容。
通过分析函数的定义域、极值点、边界点以及分子分母的符号和关系，我们可以确定分式函数的最值和函数值范围。
这些分析步骤可
以帮助我们更好地理解和运用分式函数。
函数的实际运用——最值问题
测试时间：4月27日班级：姓名：函数的实际运用——最值问题一、分式方程+最值1.为提高学生的阅读量，某学校计划购进一批图书，已知A类图书的单价比B类图书的单价贵6元,用720元购买A类图书和用540元购买B类图书的数量相等.(1)A，B两类图书的单价分别为多少?(2)学校计划购买这两类图书共120本，其中购买A类图书不超过90本，且不少于B类图书数量的1.5倍，如何购买费用最低?最低费用是多少?2、端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同。
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元?(2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W 元.超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元?3、红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元.①求出y与x之间的函数解析式；②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元?二、二元一次方程组+最值4.2023年中考越来越近，班主任李老师打算在中考结束当天送班上每个同学一束花，李老师打算去斗南购买向日葵和香槟玫瑰组合的鲜花.已知买2支向日葵和1支香槟玫瑰共需花费14元，3支香槟玫瑰的价格比2支向日葵的价格多2元.(1)求买一支向日葵和一支香槟玫瑰各需多少元?(2)李老师准备每束花需向日葵和香槟玫瑰共15支，且向日葵的数量不少于6支，班上总共40个学生，设购买所有的鲜花所需费用为w元，每束花有香槟玫瑰x支、求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，并写出最少费用.5.近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大.某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元.(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元?(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售.如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小最小费用是多少元?6.某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示：(1)若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件?(2)若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多?此时利润为多少元?价格类型进价(元/件)售价(元/件)A3045B50707.某运动类商店准备购进一批足球和篮球共100个，这两种球的进价和售价如下表所示：(1)若该商店计划销售完这批球后，可获利2600元，则足球和篮球分别需购进多少个?(2)根据市场调研，商店决定购进足球的数量不少于篮球的2倍，求该商店购进足球和篮球各多少个时，才能使这批球全部销售完所获利润最大，最大利润为多少元?8.近年来，云南乘着高质量共建"一带一路"的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展.某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成A、B两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作A、B两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口A、B两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表：现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口A款普洱茶x吨，出口A、B两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为y千元.根据上述信息，解答下列问题：(1)该厂出口的A、B两款普洱茶分别是多少吨?(2)若向乙地出口的A款普洱茶的重量不超过B款普洱茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费y最小，最小值是多少?三、函数解析式+最值9.某农户准备种植甲、乙两种水果.经市场调查，甲种水果的种植费用y(元)与种植面积x(m²)有关，如果种植面积不超过300m²，种植费用为每平方米14元；种植面积超过300m²，超过的面积种植费用为每平方米10元；乙种水果的种植费用为每平方米12元.(1)当甲种水果种植面积超过300m²时,求y与x的函数关系式；(2)甲、乙两种水果种植面积共1200m²,种植总费用为ω元，其中甲种水果的种植面积超过.300m²，不超过乙种水果的种植面积的3倍.请问怎样分配甲、乙两种水果种植面积才能使种植总费用w最少?最少的种植费用是多少?10.某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随着销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y(元).(1)求y和x的关系式;(2)当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大?最大利润是多少?11.某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半，电视机与洗衣机的进价和售价如下表：计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元.设计划购进电视机x台，销售完毕后的总利润为y元.(1)写出y与x的函数关系式；(2)求商店如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少。
拆项法求一类分式函数最值
拆项法求一类分式函数最值
傅红良
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2002(000)006
【摘要】函数求最值是函数的一个重要内容，是教学中的一个难点．其方法多、形式杂，分式函数求最值更是如此．许多学生往往感到心中无数，甚至产生了恐惧心理，造成解题的心理障碍，笔者从教学实践中感到：要消除学生心理障碍必须着力培养学生解决这类问题之能力，其关键是使学生逐步学会抓住这类问题之本质特征找到相应的解题方法．
【总页数】3页(P21-23)
【作者】傅红良
【作者单位】浙江浦江县第二中学３２２２００
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.利用拆项法求一类幂级数的和函数 [J], 李高明
2.裂项法求一类非完全对称分式函数的最值 [J], 陈丽霞;孙建斌
3.解析几何法在求函数值域与最值中的研究——用斜率法求一类函数的值域与最值[J], 林娟娟;
4.用公式法求一类函数的最值 [J], 刘爱农
5.利用两个函数单调性求一类分式函数的最值 [J], 蔡道平
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对一道分式三角函数最值问题的解法的探究
探索探索与与研研究究分式三角函数比较常见，函数式中往往含有一个、两个，甚至多个不同名称的三角函数式，因而分式三角函数最值问题通常较为复杂，无法直接利用三角函数的单调性和有界性求得最值.此时需运用一些技巧，如运用化一法、换元、借助几何图形的性质等求解.下面结合实例进行探讨.例题：求函数f ()x =4sin xcos x +3的最小值.解法一：利用化一法若分式函数式中含有或可化为有关正弦、余弦函数的式子，则可采用化一法求函数的最值.首先令y =f ()x ，并将其化为整式；然后根据辅助角公式将函数式化为只含有一种三角函数名称的式子，如y =sin ()ωx +φ、y =cos ()ωx +φ；再根据正余弦函数的有界性和单调性来确定三角函数的最值.解：令y =4sin xcos x +3，则4sin x -y cos x =3y ，由辅助角公式得16+y 2sin ()x +φ=3y ，化简得sin ()x +φ=3y，由三角函数的有界性得()x +φ≤1，即1≤3y 16+y2≤1，得y ≥-2，所以函数f ()x 的最小值为-2.运用化一法求分式三角函数的最值，需灵活运用辅助角公式，以及正余弦函数的有界性和单调性.这就要求我们熟记辅助角公式a sin x +b cos x =a 2+b 2sin ()x +φ=a 2+b 2cos ()x +θ，熟练掌握正余弦函数的有界性和单调性.一般地，若x ∈R ，则|sin x |≤1，|cos x |≤1.解法二：利用换元法换元法是简化复杂函数式的重要方法.对于分式三角函数式，我们可以将分子、分母或频繁出现的式子用一个字母t 替换，将分式三角函数式化为简单的一元函数，根据一元函数的图象、性质进行求解，即可得到分式三角函数的最值.解：令t =cos x +3，则t ∈[]2,4，1t ∈éëùû14,12，则sin x =±1-cos 2x =±-t 2+6t -8，可得f ()x =4sin x cos x +3===，由二次函数的性质知，当1t ∈éëùû14,12时，-8æèöø1t -382+18∈éëùû0,18，则8[]0,2，所以f ()x ≥-2.令t =cos x +3，即可将分式函数式化为关于t 的一元函数式，根据一元二次函数和y =x 的性质，快速求得分式函数的最值.解法三：借助几何图形的性质形如y =a sin x +bc cos x +d的分式三角函数式与直线的斜率公式的结构类似，可将三角函数式看作单位圆上的点()cos x ,sin x 与点æèöøb a ,dc 连线的斜率.结合圆的性质以及两点的连线与单位圆的位置关系，寻找直线的斜率取得最值时的情形，即可解题.解：由题意得f ()x =4sin xcos x +3=4∙sin x -0cos x -()-3，可将该式看作圆上的点()cos x ,sin x 与点()-3,0连线的斜率k 的4倍，由图可知，当过定点()-3,0的直线y =k ()x +3与单位圆相切时直线的斜率k最小.由点到直线的距离公式可得||3k 1+3k2=1，解得k =，所以函数f ()x 的最小值为4×æèçø=-2.将函数式f ()x =4∙sin x -0cos x -()-3看作圆上的点()cos x ,sin x 与点()-3,0连线的斜率k 的4倍，即可将问题转化定点()-3,0的直线y =k ()x +3与单位圆的位置关系问题，利用圆的性质和点到直线的距离公式进行求解即可.（作者单位：西华师范大学）51Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
函数值域(最值)
b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
知人善教 培养品质 引发成长动力
四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y
赏析一道分式函数求最值问题的解法
赏析一道分式函数求最值问题的解法胡玉胜【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)020【总页数】2页(P12-13)【作者】胡玉胜【作者单位】云南省曲靖一中麒麟学校【正文语种】中文分式函数求最值问题是高中数学的常见题型之一,经常出现在高考试题中,主要考查考生对不等式知识的理解与运用能力,然而许多学生往往对此类题型感到束手无策,因而失去得分机会．其实分式函数求最值并不是无章可循的,只要我们在平时教学中注意总结解题规律,许多问题便可以迎刃而解．笔者在这里就以一道分式函数求最值为例展开探讨,揭示其解题规律,希望对读者有所帮助．例设正实数x,y满足则y的最小值是________.解法1 由去分母并整理得yx2+(1-y2)x+9y=0,因为x>0,y>0,所以方程yx2+(1-y2)x+9y=0在区间(0,+∞)上有实数根,所以⟹解得所以故答案为对于可以转化为二元二次方程的分式函数求最值,首选就是去分母,转化为二元二次方程,然后利用判别式求出值域,从而求出最值．解法2 由去分母并整理得xy2-(x2+9)y-x=0,解得(负值舍去),又x>0,所以设则因为x>0,所以当且仅当即x=3时,取等号.因为函数在区间[6,+∞)上单调递增,所以故答案为因为本题的分式方程可以转化为二元二次方程,所以要求y的最小值,可以利用求根公式将变量x,y进行分离,将y表示成x的函数,再求函数的最小值．解法3 由题意可知即当且仅当即x=3时,取等号. 由可知y2-6y-1≥0,解得故答案为通过将分式的分母与比值进行交换,实现分式的裂项,然后再通过适当移项,巧妙地实现变量x,y分离.根据x>0,求出的取值范围,从而得到的取值范围,再进一步求出y的最小值．解法4 设y-x=t,则x=y-t,代入得所以因为x>0,y>0,所以所以y-x>0,即t>0,所以当且仅当即时,取等号.由得所以或舍,因为此时所以故答案为利用增量代换,引进变量t,适当变形,出现多项式由于t与的乘积为定值,因此可以利用均值不等式求出y的最小值．解法5 设=t,则代入得所以设t-1=m,则t=m+1,所以因为x>0,y>0,所以所以y-x>0,所以y>x>0, t>1, m=t-1>0,所以所以当且仅当即时,取等号,所以故答案为通过比值代换,引进变量t,适当变形,实现变量y与t的分离,然后引进变量m,变形出现多项式由于9m与乘积为定值,因此可以利用均值不等式求出y的最小值．通过以上几种解法探讨,我们不难发现:解这种题型的关键就是实现变量的分离,而分离变量的方法有许多,如果能从不同角度出发进行思考,就不难找到解决方法．多角度思考对增加学生对数学学习的乐趣、消除数学学习的恐惧心理、提高数学的解题能力大有裨益．由此可见,作为一线教师任重而道远,需要引导学生在日常学习中培养其良好的思维习惯,让他们学会从多角度思考问题．。
分式函数中的最值问题的求解策略
还 需要 确保 ｑ（ｘ）次 数大 于 一次 函数 。在 高 中数学 中，分 式 函数 的 于 Ｘ等 于 １在定 义 域之 中，因此 ｙ等 于 ２在值 域 之中。因而 函 数
考核 形式 是 多样 化 的 ，可是 多数 分 式 函数 的考 核都 是 规定 学生 求
的值域就是ｃ詈． 。作为高中学生，在解决以上函数值域问
作 为高 中学生 ，在学 习有关 分 式 函数 最 值 问题 的过 程 中 ，需
２高 中数 学分式 函数 最值 问置 求解 方法之 剐 方式
要 把知 识分析 以及 思考 的关 键放 置在 最值 求解 的 问题 内 ，持续 整
在 高 中数 学 学 习的 过 程 中，分 式 函 数 最 值 问 题 一 般 设 定 理与 归纳 出问题 解答 的经 验 。与此 同时，还需要 注意 到这 样几点 ：
举例言之，请计算出函数 ｙ＝尝 的值域。分析：因为
用几何 意 义 解 答 问题 。比如 ，直 线斜 率知 识 就 是 人们所 常见 的一 ｙ： ５三 ：盟 ：１＋三 （ｘ不等于 一３）。因此ｙ不等于 １，与此同
种工具 性知 识 的使 用 。可是 在使 用这 样 的方 法 解决 问题 的 时候 需 时 ｙ也 不 等于 ２／５，相 反地 ，对任 意一 个不等于 １和 ２／５的实 数 ｙ，
高 中学生 在进 行高 中数 学学 习的 时候 ，通 常会 遇 到有 关分 式 知 ｙ＝ ２Ｘ＝＋Ｘ＋５，因此 ，将 其化 简￣（２－ｙ）Ｘ ＋（１－２ｙ）ｘ＋（５－ｙ）＝０。Ｘ是
函数 最 值 问题 ，这 不仅 仅是 学 生解 题 的难 点 ，同样还 是学 生考 试 实 数 ，根据（２一Ｙ）ｘ‘＋（１—２ｙ）ｘ＋（５一 ）：０可以得 出，如 果 ｙ不等于 ２，那 么
代数最值问题(含答案)
代数最值问题（答案）一 简单分式函数的最值问题1 判别式法例 当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是_________________. 提示：可设22365112x x x x ++++=t ，化方程为关于x 的一元二次方程利用判别式求解，也可以将22365112x x x x ++++化简为226(1)1x -++，结果为当x=-1时，最小值为4.2 配方法例 设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是__________.提示：2221(1)1y x x x x =-+=-++，当x=1时，最小值为1。
3基本不等式a b +≥例 函数()9180y x x x=--+>的最大值是（ ） A.24 B.18 C.12D.2 答案：C二 简单的绝对值函数最值例 设x 是实数，11y x x =-++.下列四个结论：①y 没有最小值；②只有一个x 使y 取到最小值；③有有限多个x （不止一个）使y 取到最小值；④有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是（ ）A .① B.② C.③ D.④提示：亦可以画出图象求解较为直观，选D.关于含一次式绝对值函数的最值有如下重要结论：设12n a a a <<< ，那么，函数12n y x a x a x a =-+-++- ，（1） 若n 为偶数，则当x 取122n na x a +≤≤时，有min 2112222n n n n y a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2） 若n 为奇数，则当x 取12nx a +=时，有min 35121222n n n n y a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭补充：图像法例 若x 是实数，{}min 21,2,6y x x x =++-+，求y 的最大值.提示：X=-2时，有最小值的最大值为4三 多元函数最值问题常用策略1 消元法例 已知,,x y z 为实数，且26,23x y z x y z +-=-+=.那么222x y z ++的最小值是________.答：142 因数分解法例 设,,a b c 是互不相等的自然数，且231350ab c =.则a b c ++的最大值是__________. 答：1543 配方法例 求实数,x y 的值，使得()()()2221326y x y x y -++-++-达到最小值.答案：164 利用最值范围例 设,,a b c 均为不小于3的实数.1的最小值是_________.答：25 基本不等式法例 若1xy =，那么，代数式44114x y +的最小值是__________.答案：16 夹值法例 已知三个非负数,,a b c 满足325,231a b c a b c ++=+-=，若37m a b c =+-，则m 的最小值为____________，则m 的最大值为____________.答案：最小值57-，最大值111-7 参数法例 设,x y 是实数，且223x xy y ++=.求22x xy y -+的最值.答：最大值为9，最小值为1。
一类分式函数最小值问题讨论
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一类分式函数最小值问题讨论
作者：郭晓泉
来源：《中学数学杂志(高中版)》2009年第02期
分析此题解法似乎无懈可击，但稍加分析就可发现，这里没有考虑第一次使用均值不等
时等号成立的条件，其实，第一次不等式中等号成立的条件是3x=41-x，解得x=37，这和第二次使用均值不等式时等号成立的条件x=12不相符，因此，这种解法存在一定的漏洞. 那么，怎样才能避免这样的错误，什么情况下这种方法能够使用，现在我们来讨论.
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分式函数最值求解方略
分式函数最值求解方略
分式函数是一种数学中普遍存在的函数，它把一般函数分解为几部分的组合。
对分式函数的最值求解一直是数学学习者的重要内容。
求解分式函数最值的方法有各种各样，用哪种方法要看分式表达式的特点，根据题目的要求按照不同的情况来进行求解。
首先，要求解分式函数最值，需要了解分式函数的特点。
分式函数就是把一般函数分解为若干不同部分，从因数分解到偏导数、极值点，都属于分式函数的求解范畴。
其次，要求解分式函数最值，还要依赖数学分析方法。
比如，我们要求解分式函数的极值点，先根据分式函数的特点、性质求出其偏导数形式，然后再构造相应的偏导数函数，为求极值点求解。
接下来，要求解分式函数最值，需要利用平均值定理和牛顿迭代法。
比如，如果我们要求解分式函数极值点，我们可以使用平均值定理计算其偏导数，并利用牛顿迭代法求出其极值点。
最后，要求解分式函数最值，也可以借助于数值计算的方法。
比如，如果要求分式函数的极值点，我们可以建立一组网格，运用插值法、三点一次拟合精确求出目标的函数值，最后可以求出该函数的极值点。
总而言之，求解分式函数最值的方法很多，根据具体的分式函数特点及问题要求，采用不同的数学分析方法和数值计算方法，都可以求出分式函数的最值，从而解决复杂问题。
中考数学复习---函数的实际应用之利润最值问题专项练习(含答案)
中考数学复习---函数的实际应用之利润最值问题专项练习（含答案）1.某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．(1)求y 关于x 的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．【答案】(1)()y 309601032x x =−+≤≤(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元【分析】（1）设()0y kx b k =+≠，把20x =，360y =和30x =，60y =代入求出k 、b 的值，从而得出答案；（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．(1)解：设()0y kx b k =+≠，把20x =，360y =和30x =，60y =代入可得203603060k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得30960k b =−⎧⎨=⎩， 则()y 309601032x x =−+≤≤；(2)解：每月获得利润()()3096010P x x =−+−()()303210x x =−+−()23042320x x =−+−()230213630x =−−+． ∵300−<，∴当21x =时，P 有最大值，最大值为3630．答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．2.某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M 元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x 的值，从而得到答案．【详解】（1）由题意列方程得：（x ＋40-30） （300-10x ）＝3360解得：x 1＝2，x 2＝18∵要尽可能减少库存，∴x 2＝18不合题意，故舍去∴T 恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝()210104000x −−+∴当x ＝10时，M 最大值＝4000元∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．3.某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝24－x ，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w （万元）与售价x 之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？【答案】(1)232252w x x =-+-(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为61万元．【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；（2）①把4w =代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．(1)解：由题意得：()860w x y =--()()82460x x =---232252,x x =-+-(2)①由（1）得：当4w =时，则2322524,x x -+-=即2322560,x x -+=解得：1216,x x ==即第一年的售价为每件16元， ② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，16,2413x x ì£ï\í-?ïî解得：1116,x ＃ 其他成本下降2元/件，∴()()2624430148,w x x x x =---=-+-对称轴为()3015,21x =-=? 10,a =-<∴ 当15x =时，利润最高，为77万元，而1116,x ＃当11x =时，513461w =?=（万元）当16x =时，108476w =?= （万元）6177,w \＃所以第二年的最低利润为61万元．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键．4.某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示： 时间（天）x 销量（斤）120﹣x 储藏和损耗费用（元） 3x 2﹣64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）10%；（2）y ＝﹣3x 2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元【解析】【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y 与x （1≤x ＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．【详解】解：（1）设该水果每次降价的百分率为x ，10（1﹣x ）2＝8.1，解得，x 1＝0.1，x 2＝1.9（舍去），答：该水果每次降价的百分率是10%；（2）由题意可得，y ＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x ）﹣（3x 2﹣64x+400）＝﹣3x 2+60x+80＝﹣3（x ﹣10）2+380， ∵1≤x ＜10，∴当x ＝9时，y 取得最大值，此时y ＝377，由上可得，y 与x （1≤x ＜10）之间的函数解析式是y ＝﹣3x 2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．5.国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示： 水果单价甲 乙 进价（元/千克）x 4x + 售价（元/千克） 20 25已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．（1）求x 的值； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；（2）设购进甲种水果m 千克，则乙种水果100-m 千克，利润为y ，列出y 关于m 的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m 的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．【详解】解：（1）由题意可知：120015004x x =+，解得：x=16，经检验：x=16是原方程的解；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，由题意可知：y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，∴m≥3（100-m），解得：m≥75，即75≤m＜100，在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小，∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元，∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．6.某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成份每千克含铁42毫克配料表原料每千克含铁甲食材50毫克乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A包装1千克45元B包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A 的数量不低于B 的数量，则A 为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A 为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元【分析】（1）设乙食材每千克进价为a 元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；（2）①设每日购进甲食材x 千克，乙食材y 千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；②设A 为m 包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m 的函数关系式，再根据A 的数量不低于B 的数量，可以得到m 的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为a 元，则甲食材每千克进价为2a 元， 由题意得802012a a−=，解得20a =． 经检验，20a =是所列方程的根，且符合题意．∴240a =（元）．答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．（2）①设每日购进甲食材x 千克，乙食材y 千克．由题意得()402018000501042x y x y x y +=⎧⎨+=+⎩，解得400100x y =⎧⎨=⎩ 答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．②设A 为m 包，则B 为()500200040.25m m −=−包． 记总利润为W 元，则 ()45122000418000200034000W m m m =+−−−=−+．A 的数量不低于B 的数量，∴20004m m ≥−，400m ≥．30k =−<，∴W 随m 的增大而减小。
分式最大值
分式最大值
摘要：
1.分式的基本概念
2.分式的最大值问题
3.求分式最大值的方法
4.分式最大值问题的应用
正文：
一、分式的基本概念
分式是数学中一种表达式，它由分子和分母组成，通常用斜杠“/”表示。
分式可以用来表示两个量的比值，比如速度、密度等。
在代数学、微积分等数学领域中，分式有着广泛的应用。
二、分式的最大值问题
在分式的运用过程中，我们常常会遇到求分式最大值的问题。
求分式最大值的方法有很多，但需要注意的是，在求解过程中要保证分式有意义，即分母不能为零。
三、求分式最大值的方法
1.求导法：对于一元分式函数，我们可以通过求导数的方法来求解最大值。
首先对分式函数进行求导，然后令导数等于零，求解出使导数为零的自变量值，最后将这些值代入原函数，得到最大值。
2.配方法：对于一些特殊的分式函数，我们可以通过配方法来求解最大值。
具体来说，就是将分式函数化为一个完全平方的形式，从而求得最大值。
3.利用基本不等式：在一些特殊情况下，我们可以利用基本不等式（均值不等式）来求解分式的最大值。
四、分式最大值问题的应用
求分式最大值的问题在实际应用中有很多，比如在经济学中的最大利润问题、物理学中的最优化问题等。
掌握求分式最大值的方法，有助于解决实际问题，提高数学运用能力。
求分式函数值域的几种方法
求分式函数值域的几种方法摘要：在高中数学教学、乃至高中毕业会考题和高考中，经常遇到求分式函数值域的问题.关于分式函数的值域的求法，是高中数学教学中的一个难点.通过对分式函数的研究总结了求其值域的常见几种方法：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.关键词：分式函数 值域 方法.1 引言求分式函数值域是函数值域问题中的一个重要内容，它不仅是一个难点、重点，而且是解决函数最值问题的一个重要工具．关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，归纳起来，常用的方法有：配方法，反函数法，判别式法，单调性法，换元法（根式代换、三角代换等），不等式法，方程法，斜率法等.本文就中学阶段出现的各种类型的分式函数值域问题运用以上初等方法进行分析．2 求分式函数值域的常见方法 2.1 用配方法求分式函数的值域如果分式函数变形后可以转化为2122ay b a x b x c =+++的形式则我们可以将它的分母配方，用直接法求得函数的值域.例1 求21231y x x =-+的值域. 解：2131248y x =⎛⎫--⎪⎝⎭，因为231248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≥18-，所以函数的值域为：(],8-∞-∪()0,+∞.例2 求函数221x xy x x -=-+的值域.解：2111y x x -=+-+， 因为22112x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭34+≥34，所以34-≤2101x x -<-+， 故函数的值域为1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.先配方后再用直接法求值域的时候，要注意自变量的取值范围.取“=”的条件.2.2 利用判别式法求分式函数的值域我们知道若()200,,ax bx c a a b R ++=≠∈有实根，则24b ac ∆=-≥0常常利用这一结论来求分式函数的值域.例1 求223434x x y x x -+=++的值域.解：将函数变形为()()()2133440y x y x y -+++-=①，当1y ≠时①式是一个关于x 的一元二次方程. 因为x 可以是任意实数， 所以∆≥0，即()()()334144y y y +---7507y y =-+-≥0， 解得，17≤y ≤1或1y <≤7，又当1y =时，0x =，故函数的值域为1,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦.例2 函数2221x bx cy x ++=+的值域为[]1,3，求b ，c 的值.解：化为()20y x bx y c --+-=，⑴当2y ≠时()()42x R b y y c ∈⇒∆=---≥0，⇒()224428y c y c b -++-≥0，由已知()2244280y c y c b -++-=的两根为1，3， 由韦达定理得，2c =，2b =±. ⑵当2y =时20cx b-==有解 综上⑴和⑵，2b =±，2c =.由这两个例题我们知道在利用判别式法求分式函数的值域时要注意下列问题： 1、函数定义域为R （即分母恒不为0）时用判别式求出的值域是完备的.2、当x 不能取某些实数时（分母为零），若要用判别式法求它的值域则需要对使()22222111y a x b x c a x b x c ++=++的判别式0∆=的y 值进行检验.3、转换后的一元二次方程若二次项系数中含有字母则需要讨论其是否为0只有在其不为0的情况下才可以使用判别式法.2.3 利用函数单调性求分式函数的值对于求函数的值域问题，我们通常使用能够揭示此类函数本质特征的通性通法即利用函数的单调性来求其值域.例1求函数21(,1)1x y x R x x -=∈≠-+的值域. 解：211x y x -=+=2(1)31x x +-+321x =-+， 当1x >-时，31x +是x 减函数进而y 是x 的增函数，于是(),2y ∈-∞-； 当1x <-时，同样y 是x 的增函数，于是y ∈()2,+∞； 所以211x y x -=+(1)x ≠-的值域为(),2-∞-∪()2,+∞. 在求分式函数时我们常运用函数ay x x=+的单调性的结论： ⑴当0a >时在(-∞和)+∞上增函数，在)⎡⎣和(上是减函数.⑵当0a <时在(),0-∞和()0,+∞上是增函数.例2 求函数24xy x x =-+（1≤x ≤3）的值域. 解：0x ≠所以41xy x x=+-.令4t x x=+在[]1,2上是减函数，在[]2,3是上增函数，所以2x =时，min 4t =；1x =时，max 5t =； 所以[]4,5t ∈，[]13,t t -∈，故值域为11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2.4 利用反函数法求分式函数的值域设()y f x =有反函数，则函数()y f x =的定义域是它反函数的值域，函数()y f x =的值域是其反函数的定义域.那么如果一个分式函数的反函数存在，我们就可以通过求反函数的定义域来求其值域.例1求函数251xy x =+的值域. 解：由于函数251x y x =+1()5x ≠-的映射是一一映射因此反函数存在，其反函数为25x y x =- 明显知道该函数的定义域为2|5x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭， 故函数的值域为2,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.说明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般说来，用此方法求值域只用ax by cx d+=+(c≠0)的函数，并且用此方法求函数的值域，也不是比较理想的方法.我们用这种方法目的是找关于y 的不等式所以反函数求值域的实质是反函数的思想树立这种思想是我们的宗旨.下面这种方法就是利用了反函数的思想比较通用的方法.2.5 利用方程法求分式函数的值域在1999年第2期《数学教学》第38页给出了下面的结论和证明.对函数()y f x =()x D ∈将其视为方程若能通过同解变形得到单值函数()x g y =*()y A ∈即()y f x =()x D ∈⇔()x g y =*()y A ∈则*A 即为()y f x =的值域利用这一结论函数问题转化为方程问题.又在2006年第2期《数学教学》“用方程法求函数值域”一文中给出了这样的引理及其证明.引理：设函数()y f x =的定义域为A 值域为B ，又设关于x 的方程()y f x =在A 中有解的y 的取值集合为C ，则C B =.例1 （2005年全国高考理科卷Ⅲ第22题）已知函数247()2x f x x -=-[]0,1x ∈求函数()f x 的值域解：247()2x f x x-=-，[]0,1x ∈，所以2247y xy x -=-，[]0,1x ∈， 即24(72)0x yx y +-+=，[]0,1x ∈.这样函数的值域即为关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解的y 的取值集.令()g x =24(72)x yx y +-+，[]0,1x ∈，则关于x 的方程24(72)0x yx y +-+=在[]0,1x ∈内有解⇔(0)(1)g g ⋅≤0或(0)0(1)00122444(72)0g g b ya b ac y y >⎧⎪>⎪⎪⎨<-=-<⎪⨯⎪-==⨯--≥⎪⎩⇔72-≤y ≤3-或4-≤y ≤72-⇔4-≤y ≤3， 即所求函数的值域为[]4,3--.2.6 利用换元法求分式函数的值域当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向.换元法是一种重要的数学解题方法，掌握它的关键在于通过观察、联想，发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）.在中学数学问题中，常见的基本换元形式有式代换、三角代换、点代换、参数代换等.例1求函数]0,1[,5444)(22-∈++++=x x x x x x f 的值域． 解：令2+=x t ，则]1,21[1,1111222∈+=+=t t t t y ．因为]2,45[112∈+t ， 所以函数)x (f 的值域是]54,21[．例2 求函数423(1)x y x =+的值域．解：令tan x θ=，(,)22ππθ∈-， 则44233tan tan (1tan )sec y θθθθ==+=42sin cos θθ =2221sin sin 2cos 2θθθ≤32221sin sin 2cos 23θθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭427=. 当且仅当2tan 2θ=时“=”成立.所以函数423(1)x y x =+的值域为40,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 在这道例题中不仅用了换元法还用了均值不等式.利用三角函数来代换是我们在用换元法解题最常用的在换元后根据三角函数的有界性求能求出函数的值域 .在用换元法的时候重要的就是要注意换元后的自变量发生了改变，那么它的定义域也就变了.注意到这点才能准确地求出值域.2.6 利用不等式法求分式函数的值域“不等式法”就是通过利用不等式的一些性质和均值不等式来求某些具有一定特性的分式函数的值域.若原函数通过变形后的分子分母符和下列条件①各变数为正；②各变数的和或积为常数.则可以考虑用均值不等式求它的值域.要注意在得到结论之后要说明其中等号能够取到.例1 求函数224(1)(3)x y x +=+(1)x >-的值域.解：224(1)(1)4(1)4x y x x +=++++244(1)41x x =++++. 因为10x +>，所以411x x +++≥4，则41481x x +++≥+，所以0y <≤2438=（当1x =时取等号），故函数的值域为(]0,3. 例2 设123n S n =++++，n N ∈求1()(32)nn S f n n S +=+的最大值.（2000年全国高中数学联赛）解：1()(32)n n S f n n S +=+(1)2(1)(2)(32)2n n n n n +=+++⋅2(32)(2)3464n n n n n n ==++++， 即化为了求分式函数最值的问题1()6434f n n n =++.又因为6434n n++≥34+50=， 当64n n =即8n =时“=”成立，所以对任何n N ∈有()f n ≤150， 故()f n 的最大值为150.例2表面上看是数列的问题而实际是我们可以将其转化为求函数值域的问题在这里我们利用均值不等式的性质来求其值域就使得整个解题过程利用数更简单.2.8 斜率法求分式函数的值域数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法.数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中，在求函数的值域与最值时也有良好的反映.联想到过11(,)A x y ，22(,)B x y 的直线AB L 的斜率为2121AB y y k x x -=-，我们可以考虑把分式函数化为斜率式并利用数形结合法来求函数的值域.例1 求函数232()()2(32)3t f t t t =>-的最小值. 解：函数()f t 可变形为()f t 23064t t -=-2()3t >，设2(6,3)A t t ，(4,0)B 则()f t 看作是直线AB 的斜率， 令6x t =，23y t =则212(4)x y x =>.在直角坐标系中A 点的轨迹为抛物线的一部分直线与抛物线相切是斜率最小. 过点(4,0)B 直线方程为：(4)y k x =-将它代入212x y =， 有212480x kx k -+=，则0∆=推算出43k =此时8x =， 即8t =时，min 4()3f t =. 例2 求211x x y x +-=+1(2-≤x ≤1)的值域.解：2()1(1)x x y x +-=--，令(1,1)A -，2(,)B x x x +，则AB y k =，点B 的轨迹方程为2y x x =+1(2-≤x ≤1)， 111(,)24B --，2(1,2)B ，152AB k =-，212AB k =，所以51,22AB y k ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，即函数的值域为51,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.斜率法同样可以运用在形如ax by cx d+=+的分式函数中，函数的值域就转化为求直线斜率的范围给出了这样的结论：对于函数ax by cx d+=+22(0,0,0)c a b bc ad ≠+≠-≠，x ∈[],m n ，若记{}1min (),()m f m f n =，{}2max (),()m f m f n =，则当dx c=-(),m n ∈时值域为(]1,m -∞∪[)2,m ∞.当dx c=-∉(),m n 时，值域为[]12,m m .3 结论整篇文章介绍了求分式函数八种比较常用的方法，可以根据题目不同的特点灵活选取不同的方法，而实际上在我们通常遇到的题目中并不是只用一种方法就能解决问题，而是要综合几种方法.当然有一些特殊的分式函数，在求值域的时就会用到特殊的方法.但是最重要的是每种方法都要注意其函数的定义域.参考文献：[1]贾士代.用方程法求函数值域[J] . 数学教学，2006（2）：21[2]王习建. 21112222a x b x c y a x b x c ++=++型函数值域的求法[J] .数理化解题研究 ，2003（6）：25[3]张莲生.sin sin a x by c x d+=+ 的值域的求法[J] .数理天地（高中版），2001（10）：19-20[4]王建海. 活用均值不等是巧解数学题[J] .数学教学通讯，2003（12）：17 [5]钟国雄 .一个函数最小值问题的多种解法[J] . 中学生数学，2002（5）：23 [6]江思容、望孝明 .求最值问题的若干途径[J] . 中学数学研究，2003（8）：35 [7]傅洪海、陈宏. 关于反函数求值域的思考[J] . 数学教学， 1999（2）：29-30 [8]陈士明.从求()bf x x x a=++的单调区间谈起[J] . 数学教学，1999（2）：27-28。
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一次分式函数最值问题Last revision on 21 December 2020
拆分函数解析式结构，巧解问题
--------------函数()ax b f x cx d
+=+值域（最值）问题的解法 在高中，初学函数之时，我们接触的具体函数并不多。
前面我们已经给出了一元二次函数值域（最值）的求法步骤。
除此，还有一类()(0)ax b f x c cx d
+=≠+函数也很常见，它也是今后解决其他复杂函数值域（最值）问题的基础。
此类函数看似生疏，而实际这类函数的图像，就是我们初中学过的反比例函数图像。
此类问题有三种类型，一种是函数式子决定定义域，不额外附加函数定义域；另一种是附加定义域。
还有一种是可转化为()(0)ax b f x c cx d +=
≠+型的函数，此类随着学习的深入，再行和大家见面。
下面我们以具体实例，说明如何依据函数解析式的结构特征，选择适当的方法步骤解决问题。
【例题1】：求函数21()3
x f x x +=-的值域； 【思路切入】：从函数结构可以得出，函数定义域由分式决定，为
{|3}x x R x ∈≠且，此时，将函数解析式的结构进行拆分变换，不难得出反比例函数结构，如此，得到解法程序：
1、将函数分解为反比例的结构；
2、根据反比例结构特性，或者利用图像，或者利用数式属性得到函数值域。
【解析】：原函数可化为212677()2333
x x f x x x x +-+===+---， 7303
x x ≠≠-且
，2y ∴≠，函数()f x 值域为{|2}y y R y ∈≠且； 【例题2】：求函数21(),(2,4]1x f x x x -=∈-的值域；
【思路切入】：由例1的结构拆分法，我们不难得到函数的反比例结构。
但由于函数有附加定义域(2,4]，所以在例1方法的基础上，结合一元二次函数值域的解法步骤，我们改进此类问题解法程序步骤为：
（一）数形结合法：
1、将函数分解为反比例的结构；
2、根据反比例结构特性，画出函数图像示意；
3、观察定义域内的曲线形状，找到最高点和最低点，得到函数值域。
（二）代数法：
1、利用变换，将x 用y 表示；
2、利用给定的函数定义域（x 的取值范围）建立关于y 的不等式；
3、解关于y 的不等式，得到函数值域。
【解析】：解法一：函数拆分变化为
212211()2,(2,4]111
x x f x x x x x --+===+∈---，画出函数示意图：
观察(2,4]内的曲线形状得
当2x =时，(2)3f =，当4x =时，
min 7()(4)3
f x f ==； 所以，函数()f x 的值域是7[,3)3。
解法二：函数21(),(2,4]1
x f x x x -=∈-变形为1,(2)2y x y y -=≠-， 由函数定义域(2,4]可得1242y y -<
≤-， 解之得733
y ≤<，
所以，函数()f x 的值域是7[,3)3。
进一步思考，通过解题归纳规律，我们不难得到，函数()(0)ax b f x c cx d +=
≠+类值域（最值）问题的变化在于：
1、给定函数定义域区间的开闭变化，有四种：双开、双闭、左开右闭、左闭右开；
2、给定定义域含不含函数图像对称中心的变化，有三种：在对称中心左侧、在对称中心右侧、含对称中心；
3、反比例函数结构的变化，有两种：,0a y a x
=>图像在一、三象限，,0a y a x
=<图像在二、四象限。
如此，此类函数的值域（最值）问题就全在你的掌控之中了。
任题目千变万化，但解题方法步骤不变，我们完全可以“以不变应万变”。
【文化提升】：某个事物所具备的结构特征，决定了这个事物的转变方向。
有时，我们可以把复杂事物，通过结构拆分，转化为我们所熟知的基本事物，然后，透过有条理的线索，逐步解决问题。
单就数学来说，解决任何数学问题，透过数学结构，其解决方法的适当选取是培养数学思维素质的好途径。
【落实提高】：
1、求函数21(),(0,4)1
x f x x x -=
∈-的值域； 答案：7(,1)(,)3
-∞+∞ 2、求函数21(),[4,2)1x f x x x -=∈--+的值域； 答案：[3,5)
3、求函数3(),(0)21
x f x x x -=≥+的值域； 答案：1(,3]2
-
4、函数21()(),(0,4)()11()
f x
g x x f x x f x -=∈=-+且，求函数()g x 的值域； 答案：7(,)8
-+∞。