初三数学锐角三角函数经典试题含答案

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锐角三角函数练习卷(含答案)

锐角三角函数练习卷(含答案)
一、选择题
1. 设角A为锐角，且sin(A) = 0.6，那么A的近似值是多少？- A）36.87°
- B）45°
- C）53.13°
- D）64.04°
答案：C）53.13°
2. 三角函数tan(A)的值是斜边长与________的比值。

- A）对边长
- B）邻边长
- C）斜边长
- D）角A的弧度
答案：B）邻边长
3. 三角函数cot(A)的值是邻边长与________的比值。

- A）对边长
- B）斜边长
- C）角A的弧度
- D）斜边长的倒数
答案：A）对边长
二、填空题
4. 已知角B是锐角，且cos(B) = 0.8，那么角B的近似值是________度。

答案：37°
5. 已知角C是锐角，且tan(C) = 0.5，那么角C的近似值是________度。

答案：26.57°
三、计算题
6. 已知三角形的两边分别为5和12，夹角为60°，求第三边的长度。

答案：13
7. 已知一个角的弧度为π/3，求sin和cos的值。

答案：sin(π/3) = (√3) / 2, cos(π/3) = 1 / 2
四、证明题
请证明：sin^2(A) + cos^2(A) = 1，其中A是任意角。

证明：
由三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得：
sin^2(A) + cos^2(A) = (1 - cos^2(A)) + cos^2(A) = 1
证毕。

人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案

∵顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，
∴S△BDO= ，S△AOC= ，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴ ，
∴ ，
∴tan∠BAO= .
故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
3．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在上找一点，取，，，要使，，成一直线，那么开挖点离点的距离是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知利用∠D的余弦函数表示即可．
【详解】
在Rt△BDE中，cosD= ，
∴DE=BD•cosD=500cos55°．
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=
在Rt△ADC中，AC=4，∠C=
∴AD=CD=
在Rt△ADB中，AD= ，∠ABD=
∴BD= AD= ．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD= ．
在Rt△EBD中，BD= ，∠EBD=
∴DE= BD=
∴AE=AD−DE= - =
故选：C
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．
∴∠BOD=∠COE
在△ODB和△OEC中
∴△ODB≌△OEC
∴OD=OE
∴△ODE是顶角为120°的等腰三角形，
∴ 形状不变，故①正确；
过点O作OH⊥DE，则DH=EH
∵△ODE是顶角为120°的等腰三角形

锐角三角函数练习题及答案

锐角三角函数（一）1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cosα的值等于（）A．34 B．43 C．45 D ．35图 1 图 2 图3 图4图53．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=23，则tanB等于（）A．35 B．53 C．255 D．525．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．8．如图4，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．9．已知：α是锐角，tanα=724，则sinα=_____，cosα=_______．10．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值为10．如图5，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．解直角三角形一、填空题1．已知cosA=23，且∠B=900-∠A ，则sinB=__________．2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，cot(900-A)=1.524，则tan(900-B)=_________．3． ∠A 为锐角，已知sinA=135，那么cos (900-A)=___________．4．已知sinA=21(∠A 为锐角)，则∠A=_________，cosA_______，tanA=__________．5．用不等号连结右面的式子：cos400_______cos200，sin370_______sin420．6．若cot α=0.3027，cot β=0.3206，则锐角α、β的大小关系是______________． 7．计算： 2sin450-3tan600=____________． 8．计算： (sin300+tan450)·cos600=______________．9．计算： tan450·sin450-4sin300·cos450+6cot600=__________．10．计算： tan 2300+2sin600-tan450·sin900-tan600+cos 2300=____________．二、选择题：1．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=4，BC=3，则sinA=（）A ． 43；B ． 34；C ．53；D ． 54．2．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA=22，则cosB 的值是( )A ．21；B ．23；C ．1；D ．223．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A=300，则sinA+sinB=( )A ．1；B ．231+；C ．221+；D ．414．当锐角A>450时，sinA 的值( )A ．小于22； B ．大于22； C ．小于23； D ．大于235．若∠A 是锐角，且sinA=43，则( )A ．00<∠A<300； B ．300<∠A<450；C ．450<∠A<600；D ． 600<∠A<9006．当∠A 为锐角，且tanA 的值大于33时， ∠A( )A ．小于300； B ．大于300； C ．小于600； D ．大于6007．如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于D ，已知AC=3，AB=5，则tan ∠BCD 等于( )A ．43；B ．34；C ．53；D ．548． Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A 的四个三角函数中正确的是( )A ． sinA=135； B ．cosA=1312； C ． tanA=1213；D ． cotA=1259．已知α为锐角，且21<cos α<22，则α的取值范围是（）A ．00<α<300；B ．600<α<900；C ．450<α<600；D ．300<α<450．三、解答题1、在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．2、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．3、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知b=3， c=14．求∠A 的四个三角函数．4、在△ABC 中，∠C 为直角，不查表解下列问题：（1）已知a=5，∠B=600．求b ；（2）已知a=52，b=56，求∠A ．5、在△ABC 中，∠C 为直角， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a=25，b=215，求c 、∠A 、∠B ．6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a ＝156， b ＝56，求c; （2）已知a ＝20， c ＝220，求∠B ；（3）已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ；（4）已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ．7、已知：如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若∠B ＝30°，CD ＝6，求AB 的长．8、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度DCAB9、会堂里竖直挂一条幅AB，如图5，小刚从与B成水平的C点观察，视角∠C＝30°，当他沿CB方向前进2米到达到D时，视角∠ADB＝45°，求条幅AB的长度。

中考数学锐角三角函数-经典压轴题附答案

中考数学锐角三角函数-经典压轴题附答案
一、锐角三角函数
1．如图，从地面上的点 A 看一山坡上的电线杆 PQ，测得杆顶端点 P 的仰角是 45°，向前走 6m 到达 B 点，测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别是 60°和 30°．
（1）求∠ BPQ 的度数；
（2）求该电线杆 PQ 的高度（结果精确到 1m）．备用数据：
1cm ）？
【答案】
【解析】
过 A 作 AF CD 于 F ，根据锐角三角函数的定义用 θ1、θ2 表示出 DF、EF 的值，又可证四边形 ABCE 为平行四边形，故有 EC=AB=25cm，再再根据 DC=DE+EC 进行解答即可．
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，平分
，与交于点，连接， .
则 BE=（3 3 +3）米．在直角△ BEQ 中，QE= 3 BE= 3 （3 3 +3）=（3+ 3 ）米．
33 ∴ PQ=PE-QE=9+3 3 -（3+ 3 ）=6+2 3 ≈9（米）．
答：电线杆 PQ 的高度约 9 米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太
，
【答案】（1）∠ BPQ=30°；（2）该电线杆 PQ 的高度约为 9m．【解析】
试题分析：（1）延长 PQ 交直线 AB 于点 E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设 PE=x 米，在直角△ APE 和直角△ BPE 中，根据三角函数利用 x 表示出 AE 和 BE，根据 AB=AE-BE 即可列出方程求得 x 的值，再在直角△ BQE 中利用三角函数求得 QE 的长，则 PQ 的长度即可求解．试题解析：延长 PQ 交直线 AB 于点 E，

中考数学锐角三角函数综合经典题含答案

中考数学锐角三角函数综合经典题含答案一、锐角三角函数1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．【答案】553【解析】【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．【详解】解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．∵AM⊥CD，∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，∴四边形OQMP是矩形，∴QM＝OP，∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，∵OP⊥CD，∠COD＝30°，∴∠COP＝12∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3∵∠AOC＝∠QOP＝90°，∴∠AOQ＝∠COP＝30°，∴AQ＝1OA＝5（分米），2∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3∵OB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝60°在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），在Rt△PKE中，EK＝22-＝26（分米），EF FK∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），在Rt△FJE′中，E′J＝22-（2）＝26，63∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，∴B′E′−BE＝4．故答案为：5＋53，4．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．3．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？【答案】【解析】过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可．4．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定5．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.6．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数7．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：（1）点的坐标（用含的代数式表示）；（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．【答案】解：（1）过作轴于，，，，，点的坐标为．（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，，，．②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，过作于，则，，．③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，则，，．过作轴于，则，，化简，得，解得，，．所求的值是，和．【解析】（1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标⊙P 与菱形OABC 的边所在直线相切，则可与OC 相切；或与OA 相切；或与AB 相切，应分三种情况探讨：①当圆P 与OC 相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC 垂直于OC ，再由OA=+t ，根据菱形的边长相等得到OC=1+t ，由∠AOC 的度数求出∠POC 为30°，在直角三角形POC 中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op ，表示出OC ，等于1+t 列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；②当圆P 与OA ，即与x 轴相切时，过P 作PE 垂直于OC ，又PC=PO ，利用三线合一得到E 为OC 的中点，OE 为OC 的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值；③当圆P 与AB 所在的直线相切时，设切点为F ，PF 与OC 交于点G ，由切线的性质得到PF 垂直于AB ，则PF 垂直于OC ，由CD=FG ，在直角三角形OCD 中，利用锐角三角函数定义由OC 表示出CD ，即为FG ，在直角三角形OPG 中，利用OP 表示出PG ，用PG+GF 表示出PF ，根据PF=PC ，表示出PC ，过C 作CH 垂直于y 轴，在直角三角形PHC 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，求出方程的解即可得到t 的值，综上，得到所有满足题意的t 的值．8．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C ，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .(Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标；(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H .①求证BDE DBA ∆≅∆；②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒.【解析】【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ，，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC=4，∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中，225OB OA AB =+=，过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===， ∴9OM 5= ∵AD=OA ，AM ⊥OB ， ∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠==，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =，∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==，又∵BHE DHA ∠∠=，∴ΔBHE ΔDHA ≅.∴DH=BH ，设AH x =，则DH BH 4x ==-，在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+，即()222x 34x =+-，得25x 8=， ∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ，当0<α≤180°时，∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，∴∠BAF 为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，∵FA=FB ，FO ⊥AB ，∴OA=12AB=2， ∴cos ∠BAF=OA AF =12， ∴∠BAF=60°，即α=60°，当180°<α<360°时，同理解得：∠BAF′=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述：α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.9．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB ＝5，¼¼AP BP=，求PD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】【分析】（1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶ADAC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；（2）连接OP ，由¶¶APBP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC ，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED=，然后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接AD，∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴¶¶AD AC=，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠FAC＝∠CAF，∴△PAC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝15 22 AB=，∵¶¶AP BP=，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BCAC，∴12 CE BEAE CE==，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED=，∴2.52 OE GE OPGE CE-==，∴GE＝23，OG＝56，∴PG5 6 =，GD23 =，∴PD＝PG+GD【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG ∽△EDG 是解题的关键．10．阅读下面材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作AD ⊥BC 于D （如图），则sin B ＝AD c ，sin C ＝AD b ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即sin sin b c B C = ．同理有：sin sin c a C A =，sin sin a b A B=，所以sin sin sin a b c A B C ==．即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．（1）如图，△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝60，则AB ＝；（2）如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A 的距离AB ．（3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）【答案】（1）6；（2）6海里；（36+2 【解析】【分析】（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB的值.（2）此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出∠A的角度，过B作BM⊥AC于M，求出∠MBC=30°，求出MC，由勾股定理求出BM，求出AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可；（3）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75°的值．【详解】解：（1）在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，则∠A=60°，∵ABsinC =sinBCA，∴45ABsin o=60sin60o，即2 =3，解得：AB=206.（2）如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°∵∠ABE=75°．∴∠ABC=75°，∴∠A=45°，在△ABC中，sin AB ACB∠=BCsin A∠即60?ABsin=3045?sin，解之得：AB=156．答：货轮距灯塔的距离AB=156海里．（3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M.在直角三角形ABM中，∠A=45°，6，所以3BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15，所以3，15315+156sin75°6+2．【点睛】本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法．11．如图，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c＞0），以A为圆心AB长为半径的¶BD 交y轴正半轴于点D，¶BD与BC有交点时，交点为E，P为¶BD上一点．（1）若c＝3，①BC＝，¶DE的长为；②当CP＝2时，判断CP与⊙A的位置关系，井加以证明；（2）若c＝10，求点P与BC距离的最大值；（3）分别直接写出当c＝1，c＝6，c＝9，c＝11时，点P与BC的最大距离（结果无需化简）【答案】（1）①12，π；②详见解析；（2）①65；②65（3）答案见详解【解析】【分析】（1）①先求出AB ，AC ，进而求出BC 和∠ABC ，最后用弧长公式即可得出结论；②判断出△APC 是直角三角形，即可得出结论；（2）分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；（3）画图图形，同（2）的方法即可得出结论．【详解】（1）①如图1，∵c ＝3+2，∴OC ＝3，∴AC ＝3﹣2＝3∵AB ＝6，在Rt △BAC 中，根据勾股定理得，BC ＝12，tan ∠ABC ＝AC AB3 ∴∠ABC ＝60°，∵AE ＝AB ，∴△ABE 是等边三角形，∴∠BAE ＝60°，∴∠DAE ＝30°， ∴»DE的长为306180π⨯＝π，故答案为12，π；②CP 与⊙A 相切．证明：∵AP ＝AB ＝6，AC ＝OC ﹣OA ＝63， ∴AP 2+CP 2＝108，又AC 2＝（63）2＝108，∴AP 2+PC 2＝AC 2．∴∠APC ＝90°，即：CP ⊥AP ．而AP 是半径，∴CP 与⊙A 相切．（2）若c ＝10，即AC ＝10﹣2＝8，则BC ＝10．①若点P 在»BE上，AP ⊥BE 时，点P 与BC 的距离最大，设垂足为F ，则PF 的长就是最大距离，如图2，S △ABC ＝12AB ×AC ＝12BC ×AF ， ∴AF ＝AB AC BC ⋅＝245， ∴PF ＝AP ﹣AF ＝65； ②如图3，若点P 在»DE 上，作PG ⊥BC 于点G ，当点P 与点D 重合时，PG 最大．此时，sin ∠ACB ＝PG AB CP BC =，即PG ＝AB CP BC ⋅＝65∴若c ＝10，点P 与BC 距离的最大值是65；（3）当c ＝1时，如图4，过点P 作PM ⊥BC ，sin ∠BCP ＝AB PMBC CD= ∴PM ＝67423737AB CD BC ⋅⨯===423737；当c ＝6时，如图5，同c ＝10的①情况，PF ＝6﹣1213=1213613-，当c ＝9时，如图6，同c ＝10的①情况，PF ＝4285685-，当c ＝11时，如图7，点P 和点D 重合时，点P 到BC 的距离最大，同c ＝10时②情况，DG 18117．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理和逆定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数是解本题的关键．12．如图，AB 为O e 的直径，C 、D 为O e 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是O e 的切线. ②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ．【详解】解：（1）AB 是O e 的直径，且D 为O e 上一点，90ADB ∴∠=︒， CE DB ⊥Q ， 90DEC ∴∠=︒， //CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒. （2）①如图，连接OC . OA OC =Q ，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠Q ， 321∴∠=∠.42BDC Q ∠=∠，1BDC ∠=∠， 421∴∠=∠， 43∴∠=∠，//OC DB ∴. CE DB ⊥Q ， OC CF ∴⊥.又OC Q 为O e 的半径， CF ∴为O e 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =Q483AD BD ∴==， 226810AB ∴=+=，5OB OC ==. OC CF Q ⊥， 90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==，解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标；（2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【解析】【分析】（1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解；（2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC ＝5，CE ＝32，则CH ＝5，即可求解；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可．【详解】（1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3，将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣14×36+6b ﹣3，解得：b ＝2，故抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6或2，即点A （2，0），则点D （4，1）；（2）过点E 作EH ⊥BC 交于点H ，C 、D 的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3，则点E （3，0）， tan ∠OBC ＝3162OC OB ==，则sin ∠OBC 5，则EH＝EB•sin∠OBC＝5，CE＝32，则CH＝5，则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝35，∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：5＝2m，解得：m＝5CF22GF CG+5＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC ＝∠DBA+∠DCB ＝∠AEC ＝45°，是本题的突破口．14．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3cos5C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的P e 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .()1当P e 与边BC 相切时，求P e 的半径；()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围；()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的Q e 与P e 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.【答案】（1）409；（2）)25880010x x x y x -+=<<；（3）105- 【解析】【分析】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=45，sinC=HP CP =R 10R -=45，即可求解；（2）PD ∥BE ，则EB PD ＝BFPF，即：2248805x x x y xy--+=，即可求解；（3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG=GP=BD ，即：5求解．【详解】（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC=35，则sinC=35， sinC=HP CP =R 10R -=45，解得：R=409；（2）在△ABC 中，AC=BC=10，cosC=35，设AP=PD=x ，∠A=∠ABC=β，过点B 作BH ⊥AC ，则BH=ACsinC=8，同理可得：CH=6，HA=4，AB=45，则：tan ∠CAB=2BP=()2284x +-=2880x x -+， DA=25x ，则BD=45-25x ，如下图所示，PA=PD ，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，tanβ=2，则cosβ=5，sinβ=5，EB=BDcosβ=（45-25x）×5=4-25x，∴PD∥BE，∴EBPD＝BFPF，即：2248805x x x yx y--+-=，整理得：y=()25x x8x800x10-+<<；（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，∵点Q时弧GD的中点，∴DG⊥EP，∵AG是圆P的直径，∴∠GDA=90°，∴EP∥BD，由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，∴AG=EP=BD，∴5设圆的半径为r，在△ADG中，55AG=2r，5551+，则：55相交所得的公共弦的长为5【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．15．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ．（1）如图1，求证：KE ＝GE ；（2）如图2，连接CABG ，若∠FGB ＝12∠ACH ，求证：CA ∥FE ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sin E ＝35，AK ＝10，求CN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3201013【解析】试题分析：（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ；（3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=3AHHK=，10a ，结合10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ，在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：（1）如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ．（2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=12∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ，则224AC CH a -=，tan ∠CAH=43CH AH =， ∵CA ∥FE ，∴∠CAK=∠AGE，∵∠AGE=∠AKH，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=AHHK =3，AK=2210AH HK a+=，∵AK=10，∴1010a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=43PNAP=，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN=PNCP=3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=513，∴CN=22PN CP+=410b⋅=2010 13．。

锐角三角函数的经典测试题及答案

锐角三角函数的经典测试题及答案锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题1.“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经过A、B、C、D四地。

如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向。

C地在A地北偏东75°方向。

且BD=BC=30m。

从A地到D地的距离是（）A。

303mB。

205mC。

302mD。

156m答案】D解析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到___的长。

详解】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°-30°=45°。

因为△BCD是等边三角形，所以∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m。

因此，DH=3/2×30=45，AD=2DH=90m。

所以，从A地到D地的距离是156m。

故选D。

点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想。

2.公元三世纪，我国汉代数学家___在注解《周髀算经》时给出的“___图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ-cosθ)=()A。

1/5B。

5/5C。

35/5D。

9/5答案】A解析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解。

详解】解：因为大正方形的面积是125，小正方形面积是25，所以大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5.因此，55cosθ-55sinθ=5，cosθ-sinθ=2/5.因此，(sinθ-cosθ)=1/5.故选：A。

点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cosθ-sinθ=2/5.3.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为()A。

【单元练】人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（） A ．45︒ B ．60︒C ．75︒D ．105︒C解析：C 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m D解析：D 【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ，在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD，则535x +=，解得：535x =-，即AC 的长度是()535m -；故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒A解析：A 【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°， ∴DH ＝FH ＝x−10， ∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒A解析：A 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确；故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1BC ＝3m ，则AB 的长度为（）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m A解析：A 【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ．【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴13BC AC =，即313AC =，解得，AC ＝33，由勾股定理得，AB 22BC AC =+=6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（）．A ．3米B 3米C ．2米D ．1米B解析：B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，3tan PCAC x PAC==∠，在Rt BPC △中，3tan PC BC x PBC ==∠，由题意得，3323x x -=，解得，3x =（米)，故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1--D ．()2,1--D解析：D 【分析】根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论．【详解】解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45° ∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1 ∴OE=OA ＋AE=2 ∴点B 的坐标为（2,1）∴点B 绕点O 旋转180°的对应点B '的坐标（-2，-1）故选D ．【点睛】此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键． 8．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）A ．26B ．2626C ．2613D ．1313B 解析：B 【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+= ∵1113213222ABCSAC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯， ∴2BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A 21B 2﹣1C 2D ．12B 解析：B 【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ，()22.5==211+2AC xC tan taD xn D =∠=-︒故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC解析：3或3 【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒， ∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=12BP=AC=3，此时ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒=3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件， ∴CD″=3，∴满足条件的CD 的长为3或3．故答案为：3或3．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。

初三数学锐角三角函数试题答案及解析

初三数学锐角三角函数试题答案及解析1.（2014山东德州）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1︰2，则斜坡AB的长为（）A．米B．米C．米D．24米【答案】B【解析】∵斜面坡度为1︰2，∴在Rt△ABC中，BC︰AC＝1︰2，∴米，由勾股定理得米，故选B．2.（2013湖北十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米／分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为________米．【答案】【解析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC ＝30×25＝750（米），∴米．在Rt△ABD中，易知∠B＝30°，∴米．3.如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米的速度收绳．问：（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米？（2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米？（结果保留根号）【答案】见解析【解析】（1）在Rt△ABC中，，∴（米），∴绳子BC的长度是10米．（2）未收绳时，（米），收绳8秒后，绳子BC缩短了4米，只剩6米，这时，船与河岸的距离为（米），∴船向岸边移动的距离为米．4. (2014江苏无锡)如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．【答案】【解析】如图，在直角△AOE中，，∴．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴．5. (2014四川宜宾)规定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny．据此判断下列等式中成立的是________(写出所有正确的序号)．①；②；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny．【答案】②③④【解析】①，故①错误；②sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°，故②正确；③sin2x＝sinx·cosx＋cosx·sinx＝2sinx·cosx，故③正确；④sin(x－y)＝sinx·cos(－y)＋cosx·sin(－y)＝sinx·cosy－cosx·siny，故④正确．6. (2014浙江绍兴)某校九(1)班的同学在上学期的社会实践活动中，对学校旁边的山坡护墙和旗杆进行了测量．(1)如图①，第一小组用一根木条CD斜靠在护墙上，使得DB与CB的长度相等，如果测量得到∠CDB＝38°，求α的度数．(2)如图②，第二小组用皮尺量得EF的长为16米(E为护墙上的端点)，EF的中点距离地面FB的高度为1.9米，请你求出E点距离地面FB的高度．(3)如图③，第三小组利用第一、第二小组的结果，来测量护墙上旗杆的高度，在点P处测得旗杆顶端A的仰角为45°，向前走4米到达点Q处，测得A的仰角为60°，求旗杆的高度AE(精确到0.1米．参考数据：tan60°≈1.732，tan30°≈0.577，，)．【解析】(1)∵BD＝BC，∴∠CDB＝∠DCB，∴α＝2∠CDB＝2×38°＝76°．(2)设EF的中点为M，过M作MN⊥BF，垂足为点N，过点E作EH⊥BF，垂足为点H，如图①．∴MN∥EH，又M为EF的中点，∴MN为△EFH的中位线，又∵MN＝1.9米，∴EH＝2MN＝3.8米，∴E点距离地面FB的高度是3.8米．(3)延长AE，交PB于点C，如图②．设AE＝x米，则AC＝(x＋3.8)米．∵∠APB＝45°，∴PC＝AC＝(x＋3.8)米．∵PQ＝4米，∴CQ＝x＋3.8－4＝(x－0.2)米．∵，∴，解得x≈5.7，即AE≈5.7米．答：旗杆的高度AE约为5.7米．7.（2014黑龙江大庆）如图，矩形ABCD中，，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F＝20°，则AB＝________．【答案】【解析】∵∠GAF＝∠F＝20°，∴∠AGC＝∠ACG＝40°，∴∠CAG＝100°，∴∠DAC＝60°，∴，∵，∴．8.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长．【答案】15【解析】先解直角三角形BCD，求得BC＝DC＝6，再解直角三角形ABC，由正弦的定义可得，从而得．所以在较复杂的图形中求线段的长度时，有时要通过两次或更多次解直角三角形才能达到目的．因为∠C＝90°，∠BDC＝45°，所以∠DBC＝45°，所以BC＝DC＝6．在Rt△ABC中，，所以，即AB的长为15．9. (2014江西抚州)如图①所示的晾衣架，支架的基本图形是菱形，其示意图如图②，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均为20cm，且AH＝DE＝EG＝20cm．(1)当∠CED＝60°时，求C，D两点间的距离．(2)当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少厘米？(结果精确到0.1cm)(3)设DG＝xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°(包括端点值)时，求x的取值范围．(结果精确到0.1cm)(参考数据：，可使用科学计算器)【答案】（1）20cm（2）43.9cm（3）20≤x≤34.6【解析】(1)连接CD(如图①)．∵CE＝DE，∠CED＝60°，∴△CED是等边三角形，∴CD＝DE＝20cm．(2)连接CD，根据题意得AB＝BC＝CD，当∠CED＝60°时，AD＝3CD＝60cm．当∠CED＝120°时，过点E作EH⊥CD于H(如图②)，则∠CEH＝60°，CH＝HD．在Rt△CHE中，．∴(cm)，∴cm，∴(cm)．∴点A向左大约移动了103.9－60＝43.9(cm)．(3)连接CD，当∠CED＝120°时，∠DEG＝60°．又∵DE＝EG，∴△DEG是等边三角形，∴DG＝DE＝20cm当∠CED＝60°时(如图③)，∠DEG＝120°，过点E作EI⊥DG于点I．∵DE＝EG．∴∠DEI＝∠GEI＝60°，DI＝IG．在Rt△DIE中，，∴(cm)．∴(cm)．故x的取值范围是20≤x≤34.6．10. (2014贵州黔东南)某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校旗杆的高，小明站在点B处测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D处测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF．(结果精确到0.1米，参考数据：，)【答案】10.3米【解析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN＝0.25米．∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME．设AM＝ME＝x米，则CN＝(x＋6)米，EN＝(x－0.25)米．∵∠ECN＝30°，∴，解得x≈8.8，则EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(米)．∴旗杆的高EF约为10.3米．11.(2014四川广安)为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改，如图，已知斜坡AB的长为米，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保留根号)．(1)若修建的斜坡BE的坡比为，求休闲平台DE的长．(2)一座建筑物距离A点33米远(即AG＝33米)，小亮在D点处测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°．点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG．问：建筑物的高GH为多少米？【答案】（1）米（2）米【解析】(1)∵FM∥CG，∴∠BDF＝∠BAC＝45°，∴BF＝DF．∵斜坡AB的长为米，D是AB的中点，∴米，∴(米)，∴BF＝DF＝30米．∵斜坡BE的坡比为，∴，∴(米)，∴米．(2)由题意及(1)知CF＝BF＝AP＝30米，又四边形MGCF为矩形，∴GM＝FC＝30米．设GH＝x米，则MH＝GH－GM＝(x－30)米，DM＝AG＋AP＝33＋30＝63(米)．在Rt△DMH中，，即，解得．∴建筑物的高GH为米．12.（2014江苏镇江）如图，小明从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，，然后又沿着坡度为i＝1︰4的斜坡向上走了1千米到达点C．问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？【答案】【解析】如图，作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则，∴．∵，∴设CF＝x，则BF＝4x，∴，∴．∵BE⊥AD，BF⊥CD，CD⊥AD，∴四边形BEDF是矩形，∴BE＝DF．∴．答：小明从A点到C点上升的高度CD是千米．13.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD．求AC 的长和cos∠ADC的值．【答案】4；【解析】在Rt△ABC中，∵BC＝8，，∴AC＝4．设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x，由勾股定理，得（8－x）2＋42＝x2．解得x＝5．∴．14.计算：(1)；(2)．【答案】（1）（2）1【解析】准确地掌握30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值是解题的关键．解：(1)(2)．15.根据下列条件，求α的度数．(1)0°＜α＜90°，；(2)0°＜α＜90°，tan2α＋2tanα－3＝0．【答案】（1）60°（2）45°【解析】(1)因为，所以．又0°＜α＜90°，所以α＝60°．(2)因为tan2α＋2tanα－3＝0，所以(tanα＋3)·(tanα－1)＝0，即tanα＝－3或tanα＝1，因为0°＜α＜90°，所以tanα＞0，所以tanα＝1，所以α＝45°．16. (2014福建厦门)sin30°的值是( )A．B．C．D．1【答案】A【解析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．．故选A．17. (2014贵州贵阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴，∴．18. (2014内蒙古包头)计算sin245°＋cos30°·tan60°的结果是( )A．2B．1C．D．【答案】A【解析】原式．19.计算：（1）．（2）cos245°＋tan30°·sin60°＝________．【答案】（1）2 （2）1【解析】（1）．（2）．20.用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后四位）：（1）sin89°；（2）cos45.32°；（3）tan60°25′41″；（4）sin67°28′35″．【答案】（1）0.9998 （2）0.7031 （3）1.7623 （4）0.9237【解析】（1）按键顺序为，显示结果为0.999847695，∴sin89°≈0.9998．（2）按键顺序为，显示结果为0.703146544，∴cos45.32°≈0.7031．（3）按键顺序为，显示结果为1.762327064，∴tan60°25′41″≈1.7623．（4）按键顺序为，显示结果为0.923721753，∴sin67°28′35″≈0.9237．。

中考数学锐角三角函数综合经典题及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD•OE；（3）若314cos,53BAD BE∠==，求OE的长．【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．【解析】试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，∴∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE；（3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，∴AC=．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数2．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD 的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P 1（﹣m ，1），P 2（﹣m ，﹣3），P 3（﹣﹣m ，3），P 4（3﹣m ，3）．【考点】二次函数综合题．3．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C ，用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E 处（C ，E ，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG 3，∴FG =tan 3AG AFG =∠，在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG CG ， ∴CG =tan AG ACG∠=3．又∵CG ﹣FG =24m ，33=24m ， ∴AG 3， ∴AB 3+1.6≈22.4m ．4．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度为1：3，DE ＝3米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）【答案】该停车库限高约为2.2米．【解析】【分析】据题意得出3tan3B=，即可得出tan A，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF3的长．【详解】解：由题意得，3 tan B=∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A＝33，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝DEAD，∵DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE＝3．在Rt△CEF中，设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，代入得（52）2＝x2+3x2，解得x＝1.25，∴CF＝3x≈2.2，∴该停车库限高约为2.2米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．5．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM，证明∽得6．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【答案】主塔BD的高约为86.9米．【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin BCAAB=．∴sin152sin311520.5279.04BC AB A︒=⨯=⨯=⨯=．79.047.986.9486.9BD BC CD=+=+=≈（米）答：主塔BD的高约为86.9米．【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.7．如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点A的坐标为（4，0），点D在边AB上，且tan∠AOD＝12，点E是射线OB上一动点，EF⊥x轴于点F，交射线OD于点G，过点G作GH∥x轴交AE于点H．（1）求B，D两点的坐标；（2）当点E在线段OB上运动时，求∠HDA的大小；（3）以点G为圆心，GH的长为半径画⊙G．是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标．【答案】（1）B（4，4），D（4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣42，8﹣42）或（8+42，8+42）或42164216,⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭或16421642,77⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，理由见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 12得AD=12OA=2，据此可得点D 坐标；（2）由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=12OF ，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ，即GF=12EF ，根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点，结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线，即HD ∥BE ，据此可得答案；（3）分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况，设PG=x ，结合题意建立关于x 的方程求解可得．【详解】解：（1）∵A （4，0）， ∴OA ＝4，∵四边形OABC 为正方形， ∴AB ＝OA ＝4，∠OAB ＝90°， ∴B （4，4），在Rt △OAD 中，∠OAD ＝90°， ∵tan ∠AOD ＝12， ∴AD ＝12OA ＝12×4＝2， ∴D （4，2）；（2）如图1，在Rt △OFG 中，∠OFG ＝90°∴tan∠GOF＝GFOF ＝12，即GF＝12OF，∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，∴GF＝12EF，∴G为EF的中点，∵GH∥x轴交AE于H，∴H为AE的中点，∵B（4，4），D（4，2），∴D为AB的中点，∴DH是△ABE的中位线，∴HD∥BE，∴∠HDA＝∠ABO＝45°．（3）①若⊙G与对角线OB相切，如图2，当点E在线段OB上时，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2x，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，则x＝22x，解得：x＝22，∴E（8﹣2，8﹣2如图3，当点E在线段OB的延长线上时，x＝2x﹣2，解得：x＝2+2，∴E（8+42，8+42）；②若⊙G与对角线AC相切，如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2，OF＝EF＝2x，∵OA＝4，∴AF＝4﹣2，∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，∴GH＝12AF＝12×（4﹣2）＝22，过点G作GQ⊥AC于点Q，则GQ＝PM＝3x﹣2∴3x﹣2＝22x，∴227x=，∴42164216,77E⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；如图5，当点E 在线段OM 上时，GQ ＝PM ＝22﹣3x ，则22﹣3x ＝2﹣2x ，解得4227x -=， ∴16421642,77E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时，3x ﹣22＝2x ﹣2，解得：4227x -=（舍去）；综上所述，符合条件的点为（8﹣42，8﹣42）或（8+42，8+42）或42164216,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或16421642,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．8．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：,，）【答案】旗杆的高度约为.【解析】【分析】在Rt△BDC中，根据tan∠BDC=求出BC，接着在Rt△ADC中，根据tan∠ADC==即可求出AB的长度【详解】解：∵在Rt△BDC中，tan∠BDC==1，∴BC=CD= 40m 在Rt△ADC中，tan∠ADC==∴tan50°= =1.19∴AB7.6m答：旗杆AB的高度约为7.6m.【点睛】此题主要考查了三角函数的应用9．已知抛物线y＝﹣16x2﹣23x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．(1)求直线AC的解析式；(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y＝13x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，53）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM﹣OM|有最大值61； (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35-，195）．【解析】【分析】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，83），C点坐标为（0，2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k13=，则：直线AC的表达式为：y13=x+2；（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，设点P坐标为（m，16-m223-m+2），则点G坐标为（m，13m+2），S△ACP12=PG•OA12=•（16-m223-m+213-m﹣2）•612=-m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式取得最大值，则点P 坐标为（﹣3，52）．连接OP 交对称轴于点M ，此时，|PM ﹣OM |有最大值，直线OP 的表达式为：y 56=-x ，当x ＝﹣2时，y 53=，即：点M 坐标为（﹣2，53），|PM ﹣OM |的最大值为：2222555(32)()2()233-++--+=61．（3）存在．∵AE ＝CD ，∠AEC ＝∠ADC ＝90°，∠EMA ＝∠DMC ，∴△EAM ≌△DCM （AAS ），∴EM ＝DM ，AM ＝MC ，设：EM ＝a ，则：MC ＝6﹣a ．在Rt △DCM 中，由勾股定理得：MC 2＝DC 2+MD 2，即：（6﹣a ）2＝22+a 2，解得：a 83=，则：MC 103=，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ，交EC 于点H ．在Rt △DMC 中，12DH •MC 12=MD •DC ，即：DH 10833⨯=⨯2，则：DH 85=，HC 2265DC DH =-=，即：点D 的坐标为（61855-，）；设：△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位，则：点A ′坐标（﹣61010，D ′坐标为（618551010，-++），而点E 坐标为（﹣6，2），则2''A D =22618(6)()55-++=36，2'A E =22(2)1010+=2410m +，2'ED =22248(()551010+=2128510m +．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论：①当2''A D +2'A E =2'ED 时，36+2410m -=2128510m +，解得：m =105，此时D ′（618551010，-++）为（0，4）； ②当2''A D +2'ED =2'A E 时，36+2128510m +=2410m +，解得：m =8105-，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）； ③当2'A E +2'ED =2''A D 时，2410m -++2128510m ++=36，解得：m =810-或m =10，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）或（35，195）．综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35，195）．【点睛】本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标，本题难度较大．10．问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH 的对角互补，那么四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O 的半径为2，AB ，CD 是⊙O 的直径．P 是上任意一点，过点P 分别作AB ，CD的垂线，垂足分别为N ，M ．（1）若直径AB ⊥CD ，对于上任意一点P （不与B 、C 重合）（如图一），证明四边形PMON 内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB ⊥CD ，在点P （不与B 、C 重合）从B 运动到C 的过程汇总，证明MN 的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB 与CD 相交成120°角． ①当点P 运动到的中点P 1时（如图二），求MN 的长；②当点P （不与B 、C 重合）从B 运动到C 的过程中（如图三），证明MN 的长为定值．（4）试问当直径AB 与CD 相交成多少度角时，MN 的长取最大值，并写出其最大值．【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；（2）证明见解析，MN 的长为定值，该定值为2；（3）①MN=；②证明见解析；（4）MN 取得最大值2．【解析】试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN•sin∠MQN，从而可得MN=OP•sin∠MQN，由此即可解决问题；（4）由（3）②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．试题解析：（1）如图一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；（3）①如图二，∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN•sin∠MQN，∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．考点：圆的综合题．。

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案解析

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。

2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十八章锐角三角函数压轴题经典题型(含答案)

2023-2024学年数学九年级下册人教版第二十八章锐角三角函数压轴题经典题型1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，动点P从点B出发，在边BC上以每秒3个单位长度的速度运动至点C，然后又在边CA上以每秒1个单位长度的速度运动至点A停止．当点P 不与△ABC的顶点重合时，过点P作其所在直角边的垂线交边AB于点Q，再以PQ为边作等边△PQM，且点M与△ABC的另一条直角边始终在PQ同侧．设△PQM与△ABC重叠部分的面积为S 平方单位，点P的运动时间为t秒．（1）当点P在边BC上运动时，求PQ的长（用含t的代数式表示）；（2）当点P在边BC上运动时，求S与t的函数关系式；（3）取AB的中点K，连接CK．当点M落在线段CK上时，求t的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.点D和点E分别为AC和BC的中点，连接DE.点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PF⊥AB，交折线AC-CB于点F，以PF为一边向PF的右侧作正方形PFGH.设点P的运动时间为t秒(t>0).（1）DE的长为；（2）当点F在AC边上，且DE=3PF时，求t的值；（3）当点E落在正方形PFGH的内部时，求t的取值范围；（4）当线段DE将正方形PFGH的边PF分成两部分的比为13时，直接写出t的值.3．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB=400+4003千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？（结果保留整数，参考数据2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24）4．如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角∠DBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E 处，入射角∠ACM′=60°，折射角∠ECN′=40.5°.DE//BC，MN、M′N′为法线.入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M′N′都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．（1）求BC的长；(结果保留根号)（2）如果DE=8.72米，求水池的深.(参考数据：2取1.41，3取1.73，sin22°取0.37，cos22°取0 .93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cos40.5°取0.76，tan40.5°取0.85)5．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD＝2∠BAC，CE⊥BD于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，BD＝7，求线段BE的长：（3）在（2）的条件下，求cos∠DCA的值．6．如图，抛物线y=m x2+(m2+3)x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3，0)．（1）请直接写出：m= ；抛物线的解析式；直线BC的解析式；tan∠OCA= ；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作BC的垂线垂足为点G，求线段PG的最大值；（3）如图2，Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，请求出点Q的坐标．7．综合与实践如图，正方形ACBF与正方形CDGE有公共顶点C，AC=3，CD=2，连接AD，BE．（1）如图①，当点E，G在正方形ACBF内时，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是；（2）把正方形CDGE绕点C旋转到如图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）把正方形CDGE绕点C在平面内自由旋转．①当A，E，D三点在同一条直线上时，AE的长是；②旋转过程中，|AE−AD|的最大值为．8．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点．F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE．（1）如图1，若E是线段AC上任意一点，连接EF，DF，DE，求证：△ADE≌△CDF．（2）在第（1）题的前提下，求证：BE=EF．（3）如图2，若E是线段AC延长线上一点，其他条件不变，且BE∥AF，求tan∠AFC的值．9．如图（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB =2∠B ，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，DE //AC ，交BC 于点E ．①若DE =1，BD =32，求BC 的长；②试探究AB AD −BE DE是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（2）如图2，∠CBG 和∠BCF 是△ABC 的2个外角，∠BCF =2∠CBG ，CD 平分∠BCF ，交AB 的延长线于点D ，DE //AC ，交CB 的延长线于点E .记△ACD 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，△BDE 的面积为S 3.若S 1⋅S 3=916S 22，求cos∠CBD 的值．10．如图（1），E ，F ，H 是正方形ABCD 边上的点，连接BE ，CF 交于点G 、连接AG ，GH ，CE =DF .（1）判断BE 与CF 的位置关系，并证明你的结论；（2）若CE =CH ，求证：∠BAG =∠CHG ；（3）如图（2），E ，F 是菱形ABCD 边AB ，AD 上的点，连接DE ，点G 在DE 上，连接AG ，FG ，CG ，∠AGD =∠BAD ，AF =AE ，DF =GF ，CD =10，CG =6，直接写出DF 的长及cos ∠ADC 的值.11．如图，直线y=−2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上.分别过点O，B作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连接OC.（1）求点A，B，C的坐标.（2）当点D在直线BC右侧时，①求证：EC⋅CF=OE⋅BF；②求证：EC=DF.（3）CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式.12．如图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒.如图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB=16cm，宽AD=12cm，圆弧盖板侧面DC所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）.（1）求DC所在⊙O的半径长及DC所对的圆心角度数；（2）如图3，当圆弧盖板侧面DC从起始位置DC绕点D旋转90°时，求DC在这个旋转过程中扫过的的面积.参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.06°≈1.33，π取3.14.13．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A 处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里.（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：3≈1.73）14．已知正方形ABCD的边长为4，△BEF为等边三角形，点E在AB边上，点F在AB边的左侧.（1）如图1，若D，E，F在同一直线上，求BF的长；（2）如图2，连接AF，CE，BD，并延长CE交AF于点H，若CH⊥AF，求证：2AE+2FH=BD （3）如图3，将△ABF沿AB翻折得到△ABP，点Q为AP的中点，连接CQ，若点E在射线BA上运动时，请直接写出线段CQ的最小值.答案解析部分1．【答案】（1）解：PQ ＝t（2）解：当0＜t≤2时，S ＝34t 2；当2＜t ＜3时，S ＝－23t 2＋93t －93．（3）解：①如图①3t ＝332，解得t ＝32；②如图②，3[3－（t －3）]＝32∙（t －3），解得t ＝5综上所述，满足条件的t 的值为32或5.2．【答案】（1）52（2）解：t =524（3）解：当点E 落在GH 上时，∵AP =3t ，PF =4t ，四边形PFGH 是正方形，∴PH =GH =PF =4t ，∠PHG =∠BHE =90°，∴BH =AB−AP−PH =5−3t−4t =5−7t . ∵cos B =BH BE =BC AB ，∴5−7t 2=45，解得t =1735；当点E 落在PF 上时，∵AP =3t ，∴BP =5−3t ，∵cos B =BP BE =BC AB ，∴5−3t 2=45，解得t =1715.综上所述，t 的取值范围是1735<t <1715.（4）解：t 的值为25或4345.3．【答案】（1）解：如下图，过点C 作 CH ⊥AB 交AB 于点H ，设 CH =x在 Rt △ACH 中， ∠A =45° ， AH =CH =x在 Rt △BCH 中， ∠B =30° ， BH =3x∴AB =(3+1)x =400+4003∴x=400，∴CH=400∵400<600，海港C受台风影响（2）解：如下图，以CP=600千米为半径画弧交AB于P、Q两点，此时台风在PQ之间时，海港受到影响，在Rt△PCH中，CP=600，CH=400∴PH=CP2−CH2=2005∴PQ=2PH=4005=205≈45（小时）则时间：t=400520答：台风影响该海港持续的时间有45小时.4．【答案】（1）解：作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，则AF//MN//M′N′，∴∠ABM=∠BAF，∠ACM′=∠CAF，∵∠ABM=30°，∠ACM′=60°，∴∠BAF=30°，∠CAF=60°，∵AF=6米，∴BF=AF⋅tan30°=6×3=23(米)，CF=AF⋅tan60°=6×3=63(米)，3∴BC=CF−BF=63−23=43(米)，即BC的长为43米；（2）解：设水池的深为x米，则BN=CN′=x米，由题意可知：∠DBN =22°，∠ECN′=40.5°.DE =8.72米，∴DN =BN ⋅tan22°≈0.4x (米)，N′E =CN′⋅tan40.5°≈0.85x (米)，∵DN +DE =BC +N′E ，∴0.4x +8.72=43+0.85x ，解得x ≈4，即水池的深约为4米．5．【答案】（1）解：如图，连接OC ，∵∠ABD =2∠BAC ，∠COB =2∠BAC ，∴∠ABD =∠COB ，∴OC ∥DE ，∵CE ⊥BD ，∴CE ⊥OC ，∴CE 是 ⊙O 的切线.（2）解：如图，作OF ⊥BD ，设BE =x ，∵OF ⊥BD ，BD =7，∴∠OFB =90°，BF =12BD =72，∴EF =BF +BE =72+x ，O B 2=O F 2+B F 2，∵CE ⊥BD ，CE ⊥OC ，∴∠E =∠OCE =90°，∴四边形OCEF 是矩形，C E 2=B C 2−B E 2=9−x 2，∴OF =CE ，OC =EF =72+x ，∴OB =OC =72+x ，∴(72+x )2=9−x 2+(72)2，x 1=−92(舍去)，x 2=1，∴BE =1.（3）解：由(2)得x =1，∴OB =92，∴AB =2OB =9，∵∠ADB =90°，BD =7，∴cos ∠ABD =BD AB =79，∵∠DCA =∠ABD ，∴cos ∠DCA =cos ∠ABD =79.6．【答案】（1）m =−1；y =−x 2+4x−3；y =x−3；13（2）解：如图1，过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，设P(t ，−t 2+4t−3)，则H(t ，t−3)，∴PH =−t 2+4t−3−(t−3)=−t 2+3t ，∵OB =OC =3，∴∠BCO =∠CBO =45°，∵PH ∥y 轴，∴∠PHG =45°∵∠PGH =90°∴PG =PH ⋅sin ∠PHG =(−t 2+3t)×sin45°=−22(t−32)2+928，∴当t =32时，PG 的最大值为928；（3）解：如图2，过点B 作BE ⊥CB 交CQ 的延长线于点E ，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，则∠BFE =∠CBE =90°，∵∠CBO =45°，∴∠EBF =45°，∴BF =EF =22BE ，∵∠BCO =∠ACQ =45°，∴∠BCE =∠OCA ，∴tan ∠BCE =tan ∠OCA∴BE CB =OA OC，又可知A(1，0)，∴OA =1，C(0，−3)∴OC =3由OB =OC =3，得BC =32∴BE 32=13，∴BE =2，∴BF =EF =22×2=1，∴OF =OB +BF =3+1=4∴E(4，−1)，又C(0，−3)∴直线CE 的解析式为y =12x−3，联立方程组{y =12x−3y =−x 2+4x−3，解得：{x 1=0y 1=−3，{x 2=72y 2=−54，∴点Q 的坐标为(72，−54)．7．【答案】（1）BE=AD ；BE⊥AD（2）解：成立，理由如下：如图，∵正方形ACBF，正方形CDGE，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°，∴∠BCA+∠ECA=∠ECD+∠ECA，即∠BCE=∠DCA，∴△BCE≅△ACD(SAS)，∴BE=AD、∠CBO=∠CAD，∵∠BOC=∠AOE，∠OBC+∠BOC=90°∴∠OAD+∠AOE=90°，∴BE⊥AD；（3）7−2；228．【答案】（1）证明：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ADC为等边三角形，∠DAC=∠DCA=∠ACB=60°，∴AD=CD，∠DAE=∠DCF=60°，∵CF=AE，∴△ADE≌△CDF(SAS)（2）证明：∵△ADE≌△CDF(SAS)，∴ED=FD，∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=60°，∴∠EDF=60°，∴△EDF为等边三角形，∴EF=DE，∵AD=AB，∠DAE=∠BAE=60°，AE是公共边，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE=DE，∴BE=EF．（3）解：过A作AH⊥BF，∵BE ∥AF ，∴△BCE ∽△FCA ，∴CE AC =BC CF，设AC =1，CE =x ，可得方程x 2+x−1=0(x >0)，解得，x =5−12，∵CH =12，AH =32，∴tan ∠AFC =32：(5−12+32)=15−239．【答案】（1）解：①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD =∠DCB =12∠ACB ，∵∠ACB =2∠B ，∴∠ACD =∠DCB =∠B ，∴CD =BD =32，∵DE //AC ，∴∠ACD =∠EDC ，∴∠EDC =∠DCB =∠B ，∴CE =DE =1，∴△CED∽△CDB ，∴CE CD =CD CB，∴132=32CB ，解得BC =94；②∵DE //AC ，∴AB AD =BC CE，同①可得，CE =DE ，∴AB AD =BC DE，∴AB AD −BEDE=BCDE−BEDE=CEDE=1，∴AB AD −BEDE是定值，定值为1（2）解：∵DE//AC，∴S1S2=ACDE=BCBE，∵S3S2=BECE，∴S1⋅S3S22=BCCE，又∵S1⋅S3=916S22，∴BC CE =9 16，设BC=9x，则CE=16x，∵CD平分∠BCF，∴∠ECD=∠FCD=12∠BCF，∵∠BCF=2∠CBG，∴∠ECD=∠FCD=∠CBD，∴BD=CD，∵DE//AC，∴∠EDC=∠FCD，∴∠EDC=∠CBD=∠ECD，∴CE=DE，∵∠DCB=∠ECD，∴△CDB∽△CED，∴CD CE =CB CD，∴C D2=CB⋅CE=144x2，∴CD=12x，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD =CD =12x ，∴BH =12BC =92x ，∴cos∠CBD =BH BD =92x 12x =38．10．【答案】（1）解：BE ⊥CF ，理由：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC =CD ，∠BCE =∠CDF =90°.∵CE =DF ，∴△BCE≌△CDF (SAS )，∴∠CBE =∠DCF .∵∠CBE +∠CEB =90°，∴∠DCF +∠CEB =90°，∴∠CGE =90°，即BE ⊥CF（2）证明：∵∠CBG =∠EBC ，∠CGB =∠ECB =90°，∴△CGB ∽△ECB ，∴CG CE =BG BC. ∵CE =CH ，BC =AB ，∴CG CH =BG AB，即CG BG =CH AB .∵∠CBG +∠BCG =90°，∠ABG +∠CBG =90°，∴∠BCG =∠ABG ，即∠HCG =∠ABG ，∴△HCG ∽△ABG ，∴∠BAG =∠CHG ；（3）解：DF =154，cos ∠ADC =81511．【答案】（1）解：令x =0，则y =10；令y =0，则0=−2x +10，解得x =5； ∴A(5，0)，B(0，10)，∴OA =5，OB =10，AB =52+52=55，作CG ⊥OB 于点G ，∵以OB 为直径的⊙M 交AB 于另一点C ，∴∠BCO =90°，∵sin ∠CBO =OA AB =OC OB ，即555=OC 10，∴OC =25，∵cos ∠BOC =OG OC =OC OB ，即OG 25=2510，∴OG =2，∴CG =OC 2−OG 2=4，∴C(4，2)；（2）证明：①∵∠BCO =90°，BF ⊥CD ，OE ⊥CD ，即∠BCO =∠BFC =∠CEO =90°， ∴∠OCE =∠CBF ，∴△OCE ∽△CBF ，∴CE BF =OE FC ，即EC ⋅CF =OE ⋅BF ；②作MN ⊥CD 于点M ，则OE ∥MN ∥BF ，且OM =BM ，∴OM BM =EN NF，∴EN =NF ，∵MN ⊥CD ，∴CN =DN ，∴EN−CN =NF−DN ，即EC =DF ；（3）解：CD 与EF 的距离和不是定值；直线CD 的解析式为y =43x−103.12．【答案】（1）解：如图，连接AC ，BD 相交于点O ，为矩形ABCD 的中心，∵AB =16，AD =12，∠BAD =90°，∴BD =AB 2+AD 2=256+144=20，∴⊙O 半径长为：OD =12BD =12×20=10.0cm ，∵tan ∠ADB =AB AD =1612≈1.33，∴∠ADB ≈53.06°，∴∠DOC =2∠ADB =2×53.06°≈106.1°；（2）解：如图，∵S 弓形DmC =S 弓形Dn C ′，∴DC 扫过的的面积：S 阴=S 扇形CD C ′=90π×162360≈201.0(c m 2).13．【答案】（1）解：过点P 作PD ⊥AB 于D 点，∴∠BDP =∠ADP =90°，在Rt △PBD 中，∠PBD =90°−45°=45°，BP =20海里，∴DP =BP·sin45°=102（海里）， BD =BP·cos45°=102（海里），在Rt △PAD 中，∠PAD =90°−60°=30°，∴AD =DP tan30°=106（海里）， ∴AB =BD +AD =(102+106)海里，∴观测站A ，B 之间的距离为(102+106)海里；（2）解：补给船能在82分钟之内到达C 处，理由：过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ，∴∠AFB =∠CFB =90°，由题意得：∠ABC =90°+15°=105°，∠PAD =90°−60°=30°，∴∠C =180°−∠ABC−∠PAD =45°，在Rt △ABF 中，∠BAF =30°，∴BF =12AB =(52+56)海里，在Rt △BCF 中，∠C =45°，∴BC =BF sin45°=2(52+56)=(10+103)海里， ∴补给船从B 到C 处的航行时间=10+10320×60=30+303≈81.9（分钟）<83分钟， ∴补给船能在83分钟之内到达C 处.14．【答案】（1）解：∵△BEF为等边三角形，∴∠BEF=60°=∠AED，BF=BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AD=4，∴tan∠AED=ADAE=3，∴AE=433，∴BE=AB−AE=4−433；（2）证明：如图，延长AF，CB交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠ABC=∠ABG=90°，∴BD=AB2+AD2=2AB，∵CH⊥AF，∴∠CHG=∠ABG=90°，∴∠G+∠BAG=90°=∠G+∠BCH，∴∠BAG=∠BCH，∴△ABG≌△CBE(ASA)，∴BE=BG，∠G=∠BEC，∵△BEF为等边三角形，∴BE=BF=EF，∠BEF=∠BFE，∴BG=BF，∴∠G=∠BFG，∴∠BFG=∠BEC，∴∠GFE=∠CEF，∴∠HFE=∠HEF，∵CH⊥AF，∴∠HFE=∠HEF=45°，∴EH =FH ，∴EF =2FH ，∴BE =2FH ，∴BD =2AB =2AE +2BE =2AE +2FH ；（3）解：当点E 在线段AB 上时，如图，取AB 的中点N ，连接NQ ，∵将△ABF 沿AB 翻折得到△ABP ，∴∠ABF =∠ABP =60°，∵点Q 为AP 的中点，∴NQ ∥BP ，∴∠ANQ =∠ABP =60°，∴点Q 在过线段AB 的中点，且与AB 成60°角的直线上移动，∴当CQ ⊥NQ 时，CQ 有最小值，如图，延长QN ，CB 交于点H ，连接AQ ，∵点N 是线段AB 的中点，∴BN =AN =2，∵∠ANQ =60°=∠BNH ，∴tan ∠BNH =BH BN =3，∴BH =23，∴CH =23+4，∵∠H =90°−∠BNH =30°，∴CQ =12CH =2+3，HN =2BN =4，HQ =3CQ =23+3，∴NQ =23−1>2，∴∠NAQ>60°，∴此时点E不在线段AB上，∴点E在线段AB上时，CQ>2+3，当点E在线段AB的延长线上时，∵将△ABF沿AB翻折得到△ABP，∴∠ABF=∠ABP=120°，∵点Q为AP的中点，点N是线段AB的中点，∴NQ∥BP，∴∠ANQ=∠ABP=60°，∴点Q在过线段AB的中点，且与AB成60°角的直线上移动，∴当CQ⊥NQ时，CQ有最小值，同理：CQ=2−3；综上所述，CQ的最小值为2−3.。

九年级数学锐角三角函数考试题及答案解析

达标训练基础•巩固1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定思路解析：当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变. 答案：A2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( )A.259 B.54 C.53 D.2516 思路解析：由cosα=54，可以设α的邻边为4k ，斜边为5k ，根据勾股定理，α的对边为3k ，则sinα=53. 答案：C 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x ，则BC=x 3，由勾股定理求出AB=2x ，再根据三角函数的定义计算. 答案：21，34.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′-tan46°10′的值是_________. 思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案：0.386 06.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC.思路解析：由条件可知△ABC 、△ABD 、△ADC 是相似的直角三角形，∠B=∠CAD ，于是有tan ∠CAD=tanB=34，所以可以在△ABD 、△ADC 中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k ，BD=3k ，则AB=5k.在Rt △ABC 中，∵tanB=34，∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3. 所以AD=4×3=12，AC=320×3=20. 根据勾股定理25152022=+=BC .综合•应用7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°-α)=( )A.54B.43C.53D.51 思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°-α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°-α)=54.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°-α)”. 答案：A8.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值. 思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=103，cosα=101，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=ααcos sin 计算，因为cos α≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算. 答案：原式=213131tan 1tan 1cos sin cos cos cos sin cos cos =+-=+-=+-αααααααααα. 9.已知方程x 2-5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα. 思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32-，进而可求出sinα=54，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x 2，则(32+)x 2=1 ∴x 2=32-∴5sinα=(32+)+(32-)，解得sinα=54.设锐角α所在的直角三角形的对边为4k ，则斜边为5k ，邻边为3k ， ∴tanα=3434=k k . 10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1-13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC=4 m.图28.1-13(1)求滑梯AB 的长(精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理可以计算出AB 的长，其倾斜角∠ABC 可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.解：(1)在Rt △ABC 中，2242+=AB ≈4.5. 答：滑梯的长约为4.5 m.(2)∵tanB=5.0=BCAC ,∴∠ABC≈27°, ∠ABC≈27°＜45°.所以这架滑梯的倾斜角符合要求. 11.四边形是不稳定的.如图28.1-14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1-14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=b 21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解：设原矩形边长分别为a ，b ，则面积为ab ，由题意得，平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以21ab=absinα，即sinα=21.所以α=30°.回顾•展望12.(2010海南模拟) 三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3-15所示，则sinα的值是( )图28.1-15A.43B.34C.53D.54思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C13.(2010陕西模拟) 如图28.1-17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23 r ，AC=2，则cosB 的值是( )图28.1-17A.23B.35C.25D.32 思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D14.(浙江模拟) 在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( )A.45B.5C.51D.451 思路解析：根据定义sinA=ABBC ，BC=AB·sinA. 答案：B 15.(广西南宁课改模拟) 如图28.3-16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )图28.1-16A.53B.43C.34D.54思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到Rt △ADC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B. 答案：B16.(浙江舟山模拟) 课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1-18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1-18思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：11111,,,OP OM OP OM OP M P OP PM OP OM OP PM ==，锐角α 17.(2010重庆模拟) 计算：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义. 解：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|=21-3+1+3=23.18.(2010北京模拟) 已知：如图28.1-19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.图28.1-19(1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长. 思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA ，证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线.(2)解：∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5. 在Rt △OAD 中，由正切定义，有tan ∠AOD=OA AD . ∴ AD=35.。

初三数学锐角三角函数测试题及答案

ACOP D B图3锐角三角函数（一）测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AC=5，BC=2，那么sin ∠ACD=（）A 、35B 、32C 、552D 、252、如图1，某飞机于空中A 处探测到地平面目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B 的距离AB 为（） A 、1200m B 、2400m C 、4003m D 、12003m3、（08）在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．334、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=43，则sinA=（）A 、34B 、43C 、35D 、535、如图2，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11，则tan α的值为（）A 、311B 、113C 、119D 、9116、在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=21，cosB=22ABC 三个角的大小关系是（）A 、∠C ＞∠A ＞∠B B 、∠B ＞∠C ＞∠A C 、∠A ＞∠B ＞∠CD 、∠C ＞∠B ＞∠A7、若关于x 的方程x 2-2x+cos α=0有两个相等的实数根，则锐角α为（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、0°8、如图3，∠AOB=30°，OP 平分∠AOB ，PC ∥OB ，PD ⊥DB ，如果PC=6，那么PD 等于（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、19、已知∠A 为锐角，且cosA ≤21，则（）A 、 0°≤A ≤60°B 、60°≤A ＜90°C 、0°＜A ≤30°D 、30°≤A ≤90°10、如图4，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，设∠ACE=α，则 tan α的值为（）ABC（ α 图1CEDAB图2（αA 、21B 、34C 、43D 、2二、填空题（每小题3分，共30分）11、直线y=kx-4与y 轴相交所成的锐角的正切值为21，则k 的值为。

九年级数学《锐角三角函数》习题(含答案)

九年级数学《锐角三角函数》测试题及答案一、选择题 1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543A B C D ．．．． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90°3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（）A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan a A 5、 45cos 45sin +的值等于（）A. 2B. 213+C. 3D. 16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503D. 15 7．当锐角α>30°时，则cos α的值是（）A ．大于12B ．小于12C ．大于32D ．小于32 8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．233 9．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（）（A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83310．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（） A ．6 B ．323C ．10D ．12 二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝54，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为．（计算结果保留根号）（16题） (17题)三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，（2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=35°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°；（2）22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，（45︒30︒BAD C第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B 、C 两个村庄，现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o ，∠ACB=30o ，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。

中考数学锐角三角函数-经典压轴题及详细答案

中考数学锐角三角函数-经典压轴题及详细答案一、锐角三角函数1．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截.【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．【详解】（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=.在Rt ABC V 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155AC AB ︒=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中，4sin 15125CM AC CAM =⋅∠=⨯=，3cos 1595AM AC CAM =⋅∠=⨯=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM∠=，所以tan 7636MD AM ︒=⋅=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=，.设缉私艇的速度为v 海里/小时，则有2491716=，解得617v =. 经检验，617v =是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D 处成功拦截.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．2．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2315688t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165t =时，OE OQ ⊥. 【解析】【分析】（1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可．（3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出EC GQOC OG=，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，∴AC=22108-=6（cm），∵OD垂直平分线段AC，∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°，∵CD∥AB，∴∠BAC=∠DCO，∵∠DOC=∠ACB，∴△DOC∽△BCA，∴AC AB BCOC CD OD==，∴61083CD OD==，∴CD=5（cm），OD=4（cm），∵PB=t，PE⊥AB，易知：PE=34t，BE=54t，当点E在∠BAC的平分线上时，∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴PE=EC，∴34t=8-54t，∴t=4．∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ） =1414153154338838252524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =281516(05)33t t t -++<<．（3）存在． ∵28568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴t=52时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683．（4）存在．如图，连接OQ ．∵OE ⊥OQ ，∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG ，∴tan ∠EOC=tan ∠QOG ， ∴EC GQ OC OG =， ∴358544345t t t -=-，整理得：5t 2-66t+160=0，解得165t =或10（舍弃） ∴当165t =秒时，OE ⊥OQ ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点，过点C 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，连接DC ，AC ．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A ，O ，C ，D 为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．4．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．5．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数6．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．7．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C，E，B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．【详解】解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =3， ∴FG =tan 3AG AFG =∠，在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =AG CG ， ∴CG =tan AG ACG∠=3AG ．又∵CG ﹣FG =24m ，即3AG ﹣3=24m ， ∴AG =123m ，∴AB =123+1.6≈22.4m ．8．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C ，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .(Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标；(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H .①求证BDE DBA ∆≅∆；②求点H 的坐标.(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒.【解析】【分析】 (Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.【详解】(Ⅰ)∵点()30A ，，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC=4，∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的∴3AD AO ==.在Rt OAB ∆中，225OB OA AB +=，过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠===， ∴9OM 5= ∵AD=OA ，AM ⊥OB ，∴18OD 2OM 5==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠==，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫⎪⎝⎭.(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的，∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.∴OD AD =.∴DOA ODA ∠∠=.又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =，∴ΔBDE ΔDBA ≅.②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==，又∵BHE DHA ∠∠=，∴ΔBHE ΔDHA ≅.∴DH=BH ，设AH x =，则DH BH 4x ==-，在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+，即()222x 34x =+-，得25x 8=， ∴25AH 8=. ∴点H 的坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ，当0<α≤180°时，∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，∴∠BAF为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，∵FA=FB，FO⊥AB，∴OA=12AB=2，∴cos∠BAF=OAAF =12，∴∠BAF=60°，即α=60°，当180°<α<360°时，同理解得：∠BAF′=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°.综上所述：α60=︒或300︒.【点睛】本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.9．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；（3）当S△BCE≤92时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=23【答案】（1）332；（23秒或3秒；（3）6﹣3【解析】【分析】（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由，可得t 的值；（2）分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据t的值；②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，②当△BCE在BC的上方时，分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．【详解】解：（1）如图1，连接AE，由题意得：AD=t，∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，∴BC=2AC=6，∴∵点A、E关于直线CD的对称，∴CD垂直平分AE，∴AD=DE，∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，∴DE=BD，∴AD=BD，∴；（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，∵CD垂直平分AE，∴AD=DE=t，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2t，∴∴②当∠EDB=90°时，如图3，连接CE，∵CD垂直平分AE，∴CE=CA=3，∵∠CAD=∠EDB=90°，∴AC∥ED，∴∠CAG=∠GED，∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，∴△AGC≌△EGD，∴AC=DE，∵AC∥ED，∴四边形CAED是平行四边形，∴AD=CE=3，即t=3；综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，此时S△BCE=12AE•BH=12×3×3=92，易得△ACG≌△HBG，∴CG=BG，∴∠ABC=∠BCG=30°，∴∠ACE=60°﹣30°=30°，∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，∴∠ACD=∠DCE=15°，tan∠ACD=tan15°=t3=23，∴t=6﹣3由图形可知：0＜t＜6﹣3时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，此时S△BCE=12CE•DE=12×3×3=92，此时t=3，综上所述，当S△BCE≤92时，t的取值范围是6﹣3．【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．10．如图，已知，在O e 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且»»AC BD=. （1）求证：AB CD =；（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；（3）如图，在（2）的条件下，点P 在»CG上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ∆的面积为2，求O e 的半径的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O e 的半径的长为10. 【解析】【分析】 (1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；（3）如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，求出22FL =，设HM n =，则有22LK KG n ==，2222FK FL LK n =+=+，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，KG HF FK HM=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 的长，最后得到圆的半径为10．【详解】解：（1）证明：∵»»AC BD =，∴»»»»AC CBBD CB +=+， ∴»»AB CD =，∴AB CD =.（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，∴90AJO DQO ∠=∠=︒，1122AJ AB CD DQ ===，又∵AO DO =，∴AOJ DOQ ∆≅∆，∴OJ OQ =，又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥，∴EO 平分AED ∠.（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=︒，由（2）知，1452AEF AED ∠=∠=︒，如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，∵FG 为直径，∴90H ∠=︒，122MFG S MG FH ∆=⨯⋅=， ∵2MG =，∴2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，∴45HFL HLF ∠=∠=︒，45KLG HLF ∠=∠=︒，∵FG 为直径，∴90K ∠=︒，∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠，∴LK KG =，在Rt FHL ∆中，222FL FH HL =+，22FL =设HM n =，2HL MG ==，∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==，在Rt LGK ∆中，222LG LK KG =+，22LK KG ==，2222FK FL LK n =+=， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠，∵1452AEF AED ∠=∠=︒， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒，∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠，∴tan tan KFG HMF ∠=∠，∴KG HF FK HM =，∴2222222n nn =+，4n =， ∴6HG HM MG =+=，在Rt HFG ∆中，222FG FH HG =+，210FG =，10FO =.即O e 的半径的长为10.【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．11．如图，在⊙O 的内接三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，过C 作AB 的垂线l 交⊙O 于另一点D ，垂足为E ．设P 是»AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AP 交l 于点F ，连接PC 与PD ，PD 交AB 于点G ．（1）求证：△PAC ∽△PDF ；（2）若AB ＝5，¼¼AP BP=，求PD 的长．【答案】(1)证明见解析；（2310 【解析】【分析】（1）根据AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，得到¶¶ADAC =，∠ACD ＝∠B ，由∠FPC ＝∠B ，得到∠ACD ＝∠FPC ，可得结论；（2）连接OP ，由¶¶APBP =，得到OP ⊥AB ，∠OPG ＝∠PDC ，根据AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB ＝90°，由于AC ＝2BC ，于是得到tan ∠CAB ＝tan ∠DCB ＝BC AC，得到12CE BE AE CE ==，求得AE ＝4BE ，通过△OPG ∽△EDG ，得到OG OP GE ED=，然后根据勾股定理即可得到结果．【详解】（1）证明：连接AD ，∵AB ⊥CD ，AB 是⊙O 的直径，∴¶¶AD AC=，∴∠ACD＝∠B＝∠ADC，∵∠FPC＝∠B，∴∠ACD＝∠FPC，∴∠APC＝∠ACF，∵∠FAC＝∠CAF，∴△PAC∽△CAF；（2）连接OP，则OA＝OB＝OP＝15 22 AB=，∵¶¶AP BP=，∴OP⊥AB，∠OPG＝∠PDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，∴tan∠CAB＝tan∠DCB＝BCAC，∴12 CE BEAE CE==，∴AE＝4BE，∵AE+BE＝AB＝5，∴AE＝4，BE＝1，CE＝2，∴OE＝OB﹣BE＝2.5﹣1＝1.5，∵∠OPG＝∠PDC，∠OGP＝∠DGE，∴△OPG∽△EDG，∴OG OP GE ED=，∴2.52 OE GE OPGE CE-==，∴GE＝23，OG＝56，∴PG5 6 =，GD23 =，∴PD＝PG+GD【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽△EDG是解题的关键．12．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG ⊥AC ，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ，∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°，∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ），∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上，∴BG ＝DG ，∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°，∴∠CGF+∠AGB ＝90°，∴∠AGD+∠CGF ＝90°，∴∠DGF ＝90°，∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示,在Rt △ADG 中，∵∠DAC ＝45°，∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°，∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6，∴DF 2DG ＝3在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．13．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD=，解得OD=1，∴22PO PD OD+，∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．14．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，40），直线AB：y＝13x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH．（1）求边EF的长；（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）．①当点F1移动到点B时，求t的值；②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积．【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120；【解析】【分析】（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-43x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，=10；②F点移动到F't，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，NFNF'=13，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，43MHEM'=，t=4，S=12×(12+454)×11=10238；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，PKF K'=13，PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，t=7，S=15×（15-7）=120.【详解】（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b，将点E（30，0），点D（0，40），∴30040k bb+=⎧⎨=⎩，∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y＝﹣43x+40，直线AB与直线DE的交点P（21，12），由题意知F（30，15），∴EF＝15；（2）①易求B（0，5），∴BF＝，∴当点F1移动到点B时，t＝＝10；②当点H运动到直线DE上时，F 点移动到F'的距离是10t ，在Rt △F'NF 中，NF NF '=13， ∴FN ＝t ，F'N ＝3t ，∵MH'＝FN ＝t ，EM ＝NG'＝15﹣F'N ＝15﹣3t ，在Rt △DMH'中，43MH EM '=， ∴41533t t =-， ∴t ＝4， ∴EM ＝3，MH'＝4，∴S ＝1451023(12)11248⨯+⨯=；当点G 运动到直线DE 上时，F 点移动到F'10，∵PF ＝10∴PF'10t ﹣10，在Rt △F'PK 中，13PK F K ='， ∴PK ＝t ﹣3，F'K ＝3t ﹣9，在Rt△PKG'中，PKKG'＝31539tt--+＝43，∴t＝7，∴S＝15×（15﹣7）＝120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示线段DC的长：_________________；（2）当t =__________时，点Q与点C重合时；（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．【答案】（1）；（2）1；（3）t的值为或或.【解析】【分析】（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AQ=AC，即可得出结论；（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．【详解】（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°∴AC= , AD=∴CD=；（2）AQ=2AD=当AQ=AC时，Q与C重合即=∴t=1；（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.在Rt△NMQ中，∵AN＋NQ＝AQ，∴③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．。