江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题(优质解析)
苏教版2018-2019学年高一(上)期中数学试题(精品Word版,含答案解析)
2018-2019学年高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.若全集U={0，1，2，3，4，5}，且∁U A={1，2，3}，则集合A的子集共有（）A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个【答案】D【解析】【分析】由已知求得A，再由子集概念得答案．【详解】∵U={0，1，2，3，4，5}，且∁U A={1，2，3}，∴A={0，4，5}，∴集合A的子集共有23=8个．故选：D．【点睛】本题考查补集运算，考查子集的概念，是基础题．2.下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查函数的单调性.函数图像是开口向下，对称轴为的抛物线，在上是增函数，在上是减函数；所以在区间(0，+∞)上不单调；A错误；幂函数在定义域上是增函数；在区间(0，+∞)上是增函数；B错误；函数在定义域上是减函数；在区间(0，+∞)上是减函数；C正确；函数在定义域上是增函数；D错误；故选C3.函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A. B.C. D. R【答案】C【解析】 【分析】由分式的分母不为0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案． 【详解】由 ，解得x ＞-1且x≠1．∴函数f （x ）=+lg （x +1）的定义域为（-1，1）∪（1，+∞）．故选：C ．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题． 4.已知a=log 20.3，b=20.3，c=0.32，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ） A. bca B.b ac C. abc D. c ba【答案】A 【解析】故选：A ．点睛：本题考查三个数的大小的比较，则基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用．5.函数的图象是【答案】C 【解析】因为函数是奇函数，同时在y 轴右侧单调递增，在y 轴左侧单调递增，故排除D ，A ，B ，故选C 6.已知函数f （x ）=，则f （f （））=（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，从而，由此能求出结果．【详解】∵函数f（x）=，∴，f（f（））=f（-2）=．故选：B．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.函数f（x）=log3（6-x-x2）的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知中函数f（x）的解析式，先确定函数的定义域，进而根据二次函数和对数函数的性质，分别判断内，外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，得到答案．【详解】由6-x-x2＞0，可得-3＜x＜2，函数f（x）=log3（6-x-x2）的定义域为（-3，2），令t=6-x-x2，则y=log3t，∵y=log3t为增函数，t=6-x-x2的单调递增区间是（-3，-]，单调递减区间是[-，2），故函数f（x）=log0.6（6x-x2）的单调递增区间是（-3，-]，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的单调区间，复合函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答本题的关键，解答时易忽略函数的定义域．8.已知函数f（x）=In（x+）+1，若实数a满足f（-a）=2，则f（a）等于（）A. 1B. 0C.D.【答案】B【解析】【分析】由实数a满足f（-a）=2，得，从而，进而，由此能求出结果．【详解】∵函数f （x ）=In （x+）+1，实数a 满足f （-a ）=2， ∴，∴，∴=-1+1=0．故选：B ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.已知定义域为R 的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 0.5a ）≤2f （1），则a 的最小值是（ ）A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算法则结合函数的奇偶性将不等式进行转化进行求解即可． 【详解】∵f （x ）是偶函数，∴f （log 2a ）+f （log 0.5a ）≤2f （1），等价为f （log 2a ）+f （-log 2a ）≤2f （1）， 即2f （log 2a ）≤2f （1）， 即f （log 2a ）≤f （1）， 即f （|log 2a|）≤f （1），∵函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数， ∴|log 2a|≤1， 即-1≤log 2a≤1， 即≤a≤2， 即a 的最小值是， 故选：A ．【点睛】根据对数的运算法则结合函数的奇偶性将不等式进行转化进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．10.已知函数，若对任意的，且时，，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得在上单调递增;当时,在上单调递增,所以由;当时, ,由,因此的单调增区间为,所以由;综上实数的取值范围为,选B.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知，则.【答案】-1【解析】因为f(2x+1)=x2-2x,令2x+1=t,x=,因此可知f(t)=,因此f(3)=-112.计算：=______．【答案】【解析】【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】原式=3+4+=7+4=11．故答案为：11．【点睛】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．13.函数是幂函数且在上单调递减，则实数的值为．【答案】2【解析】略14.已知3a=5b=m，且，则m的值为______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件可利用对数的性质分别求得和的表达式，进而根据求得m的值．【详解】∵3a=5b=m∴m＞0∵3a=m，5b=m∴=log m3，=log m5则=log m3+log m5=log m15即m2=15而m＞0则m=故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于基础题．15.已知定义在R上的函数f（x）=（）|x-t|+2（t∈R）为偶函数，记：a=f（log25），b=f（-log34），c=f（2t），则a、b、c的大小关系为______（用“＜”连接）．【答案】【解析】【分析】根据题意，由偶函数的定义可得f（-x）=f（x），即（）|-x-t|+2=（）|x-t|+2，分析可得t=0，即可得函数的解析式，据此分析可得f（x）在[0，+∞）为减函数，结合函数的奇偶性与单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数f（x）=（）|x-t|+2（t∈R）为偶函数，则f（-x）=f（x），即（）|-x-t|+2=（）|x-t|+2，分析可得t=0，则函数f（x）=（）|x|+2，当x≥0时，f（x）=（）x+2，为减函数，a=f（log25），b=f（-log34）=f（log34）=，c=f（2t）=f（0），又由0＜1＜log34＜2＜log25，则a＜b＜c；故答案为：a＜b＜c．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出t的值，属于基础题．16.若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又有f（-2）=0，则（log2x-1）•f（log2x-1）＜0的解集是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得在区间（-2，0）和（2，+∞）上，f（x）＞0，在区间（-∞，-2）和（0，2）上，f（x）＜0，令t=log2x-1，则原不等式等价于，即或，求出t的取值范围，进而由对数函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又有f（-2）=0，则函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（2）=0，则在区间（-2，0）和（2，+∞）上，f（x）＞0，在区间（-∞，-2）和（0，2）上，f（x）＜0，对于（log2x-1）•f（log2x-1）＜0，令t=log2x-1，则原不等式等价于tf（t）＜0，即或，解可得：0＜t＜2或-2＜t＜0，又由t=log2x-1，则0＜log2x-1＜2或-2＜log2x-1＜0，则有2＜x＜8或＜x＜2，即不等式的解集为（，2）∪（2，8）；故答案为：（，2）∪（2，8）．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及换元法解不等式，属于基础题．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17.已知全集为实数集R，A={x|y=log2（3-x）}，B={x|≥1}．求：（1）A∩B，A∪B（2）（∁R A）∩B．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）可求出A，B，然后进行交集、并集的运算即可；（2）进行补集、交集的运算即可．【详解】解：（1）A={x|x＜3}，B={x|-2＜x≤3}；∴A∩B={x|-2＜x＜3}，A∪B={x|x≤3}；（2）∁R A={x|x≥3}；∴（∁R A）∩B={3}．【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，分式不等式的解法，对数的真数大于0，以及交集、并集和补集的运算．18.已知集合(Ⅰ) 求集合；（Ⅱ）若函数，求函数的值域。
苏教版2018-2019学年高一(上)期中数学试卷(精品Word版,含答案解析)
2018-2019学年高一（上）期中数学试卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜45．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点；15．已知函数，则f（log23）＝．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．2018-2019学年黑龙江省哈师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|2≤x＜3}C．{x|x≤3}D．{x|x＜2}【分析】根据补集的定义，写出∁U M．【解答】解：全集U＝{x|x≥2}，集合M＝{x|x≥3}，则∁U M＝{x|2≤x＜3}．故选：B．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．2．.设集合M＝{x|2x＞3}，N＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅【分析】由2x＞3，得x＞log23，由（x﹣1）（x+3）＜0，得﹣3＜x＜1即M＝（log23，+∞），N＝（﹣3，1），得M∩N＝∅．【解答】解：∵2x＞3∴x＞log23，即M＝（log23，+∞）又∵（x﹣1）（x+3）＜0，∴﹣3＜x＜1∴N＝（﹣3，1），又∵log23＞1，∴M∩N＝∅故选：D．【点评】本题考查了指数不等式与二次不等式的解法，属简单题．3．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．f（x）＝x2+2x B．f（x）＝x﹣2C．f（x）＝|x|D．f（x）＝lnx【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝x2+2x，不是偶函数，不符合题意；对于B，f（x）＝x﹣2＝，是偶函数，在（0，+∞）是减函数，不符合题意；对于C，f（x）＝|x|＝，是偶函数，且在（0，+∞）是增函数，符合题意；对于D，f（x）＝lnx，不是偶函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4．已知函数f（x）＝的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．k≠0B．0≤k≤4C．0≤k＜4D．0＜k＜4【分析】根据f（x）的定义域为R，即可得出不等式kx2+kx+1≥0的解集为R，显然k＝0时满足题意，而当k≠0时，则满足，解出k的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为R；∴不等式kx2+kx+1≥0的解集为R；①k＝0时，1≥0恒成立，满足题意；②k≠0时，；解得0＜k≤4；综上得，0≤k≤4．故选：B．【点评】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集和判别式△取值的关系．5．已知函数f（x）为偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，则f（x）＜0的解集是（）A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【分析】由已知得f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，结合简图易得结果．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（x）图象关于y轴对称，∵当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x﹣1，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（﹣1）＝0，∴f（x）＜0的解集是（﹣1，1）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．6．若（a+1）＜（3﹣2a），则a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】用a＝1排除A、D，由底数大于0，排除B．【解答】解：a＝1时，2＜1成立，排除A、D又3﹣2a＞0得a＜，排除B，故选：C．【点评】本题考查了其它不等式的解法，属基础题．7．若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f （c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选：A．【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．8．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数g（x）＝f（）+f（x﹣1）的定义域为（）A．（1，2）B．（0，2）C．（0，1）D．（﹣1，1）【分析】根据f（x）的定义域，可看出，要使得函数g（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，1）；∴要使g（x）有意义，则；解得1＜x＜2；∴g（x）的定义域为（1，2）．故选：A．【点评】考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域，求f[g（x）]定义域的方法．9．已知a＝2，b＝log2，c＝log23，d＝log45．则（）A．a＞c＜d＞b B．b＜a＜c＜d C．b＜a＜d＜c D．c＞a＞d＞b【分析】直接利用对数的运算性质进行大小比较．【解答】解：∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log23＞1，d＝log45＞1．且．∴b＜a＜d＜c．故选：C．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．10．函数f（x）＝log（x2﹣4x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，4）D．（4，+∞）【分析】先求得函数的定义域，本提即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：由函数f（x）＝log（x2﹣4x），可得x2﹣4x＞0，求得x＜0，或x＞4，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞4 }，本题即求t＝x2﹣4x在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t＝x2﹣4x在定义域内的增区间为（4，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．11．若方程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（3，+∞）D．（﹣1．+∞）【分析】作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象，根据图象得出m的范围．【解答】解：作出y＝x2﹣4|x|+3的函数图象如图所示：∵程x2﹣4|x|+3＝m有四个互不相等的实数根，∴直线y＝m与y＝x2﹣4|x|+3的函数图象有4个交点，∴﹣1＜m＜3．故选：B．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，属于中档题．12．对于函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，给出如下三个命题：①f（x+2）是偶函数；②f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；③f（x）没有最小值．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】由奇偶性的定义可判断①；讨论x＞2，x＜2，求得f（x），以及导数，判断符号，即可判断②；由f（x）的单调性可判断③．【解答】解：函数f（x）＝（|x﹣2|+1）4，设g（x）＝f（x+2）＝（|x|+1）4，g（﹣x）＝g（x），可得g（x）是偶函数，故①正确；x＞2时，f（x）＝（x﹣1）4的导数为f′（x）＝4（x﹣1）3＞0；x＜2时，f（x）＝（3﹣x）4递，导数为f′（x）＝4（x﹣3）3＜0，可得f（x）在区间（﹣∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数，故②正确；由②可得f（x）在x＝2处取得最小值1，故③错误．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性、最值的求法，考查导数的运用和奇偶性定义的应用，考查运算能力，属于基础题．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．【分析】函数y＝有意义，可得0＜5x﹣3≤1，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数y＝有意义，可得，即为0＜5x﹣3≤1，解得＜x≤，则定义域为．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用对数的真数大于0，以及偶次根式被开方数非负，考查运算能力，属于基础题．14．函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3）；【分析】令幂指数等于零，求得x，y的值，可得函数的图象经过定点的坐标．【解答】解：对于函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1），令x2﹣2x+1＝0，求得x＝1，y ＝3，可得函数f（x）＝a+2（a＞0且a≠1）的图象过定点（1，3），故答案为：（1，3）．【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．15．已知函数，则f（log23）＝．【分析】先判断出log23的范围，代入对应的解析式求解，根据解析式需要代入同一个式子三次，再把所得的值代入另一个式子求值，需要对底数进行转化，利用进行求解．【解答】解：由已知得，，且1＜log23＜2，∴f（log23）＝f（log23+1）＝f（log23+2）＝f（log23+3）＝f（log224）＝＝．故答案为：．【点评】本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解，此题利用了恒等式进行求值．16．已知函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝1．【分析】f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，从而a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，进而f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）＝a（e x﹣e﹣x）+b+2，f（lg3）＝3，∴f（lg3）＝a（e lg3﹣e﹣lg3）+b+2＝3，∴a（e lg3﹣e﹣lg3）+b＝2，∴f（lg）＝a（﹣）+g+3＝﹣[a（e lg3﹣e﹣lg3）+b]+3＝﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）计算下列各式：（1）（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2；（2）log3+lg25+lg4+7．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣+＝，（2）原式＝﹣+lg100+2＝﹣+2+2＝．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|x2﹣（2a+1）x+a（a+1）＜0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】先确定A、B，由B⊆A得，得﹣1≤a≤1．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|a＜x＜a+1}，∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤1．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[﹣1，2]时，求函数的最大值和最小值．（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求m的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用f（0）＝2，f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1，直接求出a、b、c，然后求出函数的解析式．（Ⅱ）利用二次函数的对称轴与区间的关系，直接求解函数的最值．（Ⅲ）利用g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，列出不等式组，即可求出M的范围．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由f（0）＝2，得c＝2，又f（x+1）﹣f（x）＝2x﹣1得2ax+a+b＝2x﹣1，故解得：a＝1，b＝﹣2，所以f（x）＝x2﹣2x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（a，b，c各（1分），解析式1分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）f（x）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，对称轴为x＝1∈[﹣1，2]，故f min（x）＝f（1）＝1，又f（﹣1）＝5，f（2）＝2，所以f max（x）＝f（﹣1）＝5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）g（x）＝x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，则满足﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解得：．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查二次函数的解析式的求法，二次函数的性质与最值的求法，零点判定定理的应用，考查计算能力．20．（12分）已知函数．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，求函数f（x）的值域．【分析】（1）f（x）是增函数，利用单调性的定义进行证明；（2）先求出a，再求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）f（x）是增函数．证明如下：函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，则．∵y＝2x在R上单调递增，且x1＜x2，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数．（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即对任意实数x恒成立，化简得，∴2a﹣2＝0，即a＝1．（也可利用f（0）＝0求得a＝1）∴，∵2x+1＞1，∴，∴，∴．故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【分析】第一步得到解析式和x的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础．【解答】解：（1）由题意可得g（x）＝，且，进一步得：，且定义域为【2，8】，（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，h（t）＝﹣t2+t+1，∵h（t）在【1，3】递减∴h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【﹣5，1】，∴当x＝8时，g（x）有最小值﹣5，当x＝2时，g（x）有最大值1．【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大．22．（12分）定义在R上的函数y＝f（x）．对任意的a，b∈R．满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）＝2．（1）求f（0），f（﹣1）的值；（2）判断该函数的单调性，并证明；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．【分析】（1）根据题意，用特殊值法分析：令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），可得f （0）的值，令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），分析可得f（﹣1）的值；（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，进而有f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），结合单调性的定义分析可得结论；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，据此分析可得f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，对任意的a，b∈R，满足f（a+b）＝f（a）•f（b）；令a＝1，b＝0，则f（1）＝f（0）•f（1），又由f（1）＞1，则f（0）＝1；令a＝1，b＝﹣1，则f（0）＝f（1）•f（﹣1），又由f（1）＝2，则；（2）f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则有x2﹣x1＞0，则f（x2﹣x1）＞1，f（x2）＝f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1），则f（x2）﹣f（x1）＞0，即函数f（x）为增函数；（3）根据题意，f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝4，则f（x+1）＜4⇒f（x+1）＜f（2）⇒x+1＜2，解可得：x＜1，即不等式的解集为（﹣∞，1）．【点评】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的证明与综合应用，注意用赋值法分析．。
江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题(解析版)
江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学（强化班）试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，则图中阴影部分表示的集合为．故选：D．利用不等式的解法化简集合A，求出，可得图中阴影部分表示的集合为本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.下列函数中，表示同一函数的一组是A.B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：对于A，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数或，与的定义域不同，不是同一函数．故选：B．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．3.已知，，且，则角为A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角【答案】B【解析】解：由，，可得，，．又，角为第二象限的角．故选：B．由，，可得，，结合得答案．本题考查三角函数的象限符号，是基础题．4.已知，且，那么A. B. 10 C. D. 18【答案】A【解析】解：；；．故选：A．根据即可求出，而，从而求出的值．考查奇函数的定义及判断，已知函数求值的方法．5.设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】解：是R上的奇函数，且在内是增函数，在内也是增函数，又，，当时，；当时，；的解集是．故选：D．由对或进行讨论，把不等式转化为或的问题解决，根据是奇函数，且在内是增函数，又，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．6.函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断【答案】A【解析】解：函数是幂函数，对任意，，且，满足，解得，，，，且，．．故选：A．由幂函数的性质推导出，由此根据a，，且，得到．本题考查函数值和的符号的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.函数的零点个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】解：由得，在同一坐标系中分别作出函数与的图象，如图：由图象可知两个函数的交点个数为2个，故函数的零点个数为2个，故选：C．由得，然后分别作出函数与的图象，利用数形结合即可得到结论本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键8.设、、是定义域为R的三个函数，对于以下两个结论：若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是A. 正确，正确B. 错误，错误C. 正确，错误D. 错误，正确【答案】D【解析】解：错误，可举反例：，，，均不是增函数；但、、均为增函数；故错误；，，均是奇函数；为奇函数；为奇函数；同理，，均是奇函数；故正确．故选：D．可判断错误，可举出反例：，，，均不是增函数，但是、、均为增函数，从而得出错误；而可判断正确，根据、、均是奇函数可得出为奇函数，从而为奇函数，而同理可判断出，均是奇函数，从而得出正确．考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义，知道和均是奇函数时，也是奇函数．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：______．【答案】2【解析】解：．故答案为：2．直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．10.已知某产品的销售价格单位：元件是销量单位：件的函数，而总成本为单位：元，假设生产的产品全部售出，那么产量为______件时，利润最大．【答案】300【解析】解：由题意可得，设利润为，则，当时，利润最大，故答案为：300．根据题意可得，利用二次函数的性质即可求出．本题考查了二次函数的性质的应用，属于基础题．11.若，则的值域为______．【答案】【解析】解：；，；；，；的值域为．故答案为：．可变形，从而得出，，根据求出的范围，即得出的值域．考查函数解析式的定义及求法，函数值域的定义及求法，换元法求函数的解析式，以及不等式的性质．12.当时，，则在内的单调增区间为______．【答案】【解析】解：令，则，当时，，且．或．二次函数在上为减函数，在上为增函数，而对数式在上为减函数，在内的单调增区间为．故答案为：．由已知函数解析式求出时的函数解析式，由真数大于0得到x的范围，再由复合函数的单调性求解．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．13.不等式存在正整数解，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：由题意知，，由，可得，构造函数，其中，则，由双勾函数的单调性可知，函数在或处取得最小值，因为，，所以，函数的最小值为，所以，，故答案为：．利用参变量分离法得到，其中，构造函数，将问题转化为，从而求出a的取值范围．本题考查一元二次不等式，利用参变量分离法，将问题转化，是解本题的关键，属于中等题．14.设，，，，一般地，，其中，则使方程有2018个根的n的值为______．【答案】2014【解析】解：，可令，，时，，即，解得舍去或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有5个根；时，，即，解得舍去或或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有6个根；时，可将中的t换为，t的值增加一个，可得原方程共有7个根；，可得使方程有2018个根的n的值为2014．故答案为：2014．运用归纳法，计算，2，3，原方程的个数，即可得到所求值．本题考查方程的根的个数问题解法，注意运用绝对值的方程解法和换元法，以及指数函数的值域，考查化简变形能力、运算能力和归纳推理能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知集合，，．求与；若，求a的取值范围．【答案】解：，，或，，或；，或；，或，；；，或；，或；的取值范围为，或．【解析】进行并集、交集和补集的运算即可；先得出，或，，根据即可得出，或，解出a的范围即可．考查描述法表示集合的定义，绝对值不等式的解法，交集、并集和补集的运算，以及子集的概念．16.已知，若，求的值；若，求的值．【答案】解：，，为第四象限角，，，．，，，或．【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．利用同角三角函数的基本关系求得，由此求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．17.已知定义域为R的函数是奇函数．求a的值；证明：函数在R上是增函数；若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：由题意，可得，可得，那么可得经验证成立，故，由可得证明：任意取，，且，则，；那么则即，可得；故得函数在R上是增函数；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立；当时，成立当时，则解得．综上可得实数k的取值范围是：．【解析】由定义域为R的函数是奇函数可得，可得a的值；根据定义证明即可；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立，对k讨论可得实数k的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想，奇偶性单调性的应用，二次不等式的恒成立．18.已知二次函数的图象的对称轴为，且函数的零点为和3．求的解析式；若，求函数的所有零点之和；试求在上的最小值其中【答案】解：根据题意，函数的零点为和3，则设；则，又由二次函数的图象的对称轴为，则有，解可得，则；根据题意，，而方程显然有两个不同于1的实根，其两根之和为，另外1个根为1，则方程有3个根，其和为2，则函数的所有零点之和，根据题意，，开口向下，其对称轴为，当时，，当时，，综合可得：．【解析】根据题意，设，可得，由二次函数对称轴的方程可得，解可得a的值，代入函数的解析式，即可得答案；根据题意，，分析可得的零点之和，进而可得的零点，即可得答案；根据题意，，开口向下，其对称轴为，结合二次函数的性质讨论a的取值范围，求出函数在的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的最小值，关键是求出函数的最小值．19.已知函数，其中且．当时，求的值域；函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，对称轴为，可得y的最小值为，y的最大值为0；当时，；综上的值域为；当时，函数在递增，故二次函数在也要递增，，故只有符合要求；当时，函数在递减，故二次函数在也要递减，，故无解．综上，a的取值集合为；当时，恒成立，即有，即，由，令，，可得，当且仅当时，取得等号，可得；当时，当时，，，即有，求得，故；当时，求得均符合要求．综上可得a的范围为．【解析】由二次函数和指数函数的值域求法，可得的值域；讨论，，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；讨论x的范围和a的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围．本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．20.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．【答案】解：因为，所以，由得，令，而存在一根，即存在，使得，所以为“局部奇函数”．由题意知，在R上有解，即在R上有解，所以在R上有解，令，所以在上有解，令，当时，即，解得，此时在上必有零点，所以；当时，在上有零点必须满足对称轴综上：．由题意知，，在上都有解，即，在上都有解，即，在上都有解，令，令，由题意知在上的值域包含，因为，又因为，，所以，所以，所以在上单调递增，所以综上：．【解析】若为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；根据为定义域R上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；根据为定义域上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数a的取值范围；本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于难题。
苏教版2018-2019学年高一上学期期中联考数学试卷(答案解析)
五校联盟18-19年度第一学期期中考试高一数学试卷一．选择题1.下列集合中表示同一集合的是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】A 选项点集中元素点的坐标不同，C 选项中前一个是点集，后一个是数集，D 选项中前一个是数集，后一个是点集，故选B 2.如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：由图象可知阴影部分是集合B 与集合A 在全集U 中的补集的公共元素，因此答案选C. 考点：集合的运算3.下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）A. 与B.与y=x+1C.与D. y=x 与【答案】D 【解析】 【分析】首先利用同一函数的定义，对各个选项逐个分析，分别从定义域、值域和对应法则几个角度去区分，从而确定出正确结果. 【详解】对于A ，，两个函数的值域不同，所以不是同一函数；对于B ，函数与的定义域不同，所以不是同一函数；对于C，与的定义域不相同，所以不是同一函数；对于D，，与是同一函数；故选D.【点睛】该题考查的是有关选择同一函数的问题，涉及到的知识点有同一函数的定义，以及相关式子的化简公式，必须保证三要素都是完全一样的，才能保证是同一函数.4.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析：分母不等于零，对数真数大于零，所以，解得.考点：定义域.5.函数的图象关于( )A. 原点对称B. 轴对称C. 轴对称D. 直线对称【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性的定义，判断函数为奇函数，故图像关于原点对称.【详解】函数的定义域为，即.，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性.务必记住，要判断一个函数是奇函数还是偶函数，需要先求函数的定义域.属于基础题.6.当时，函数和的图象只能是A.B.C.D.【答案】B【解析】略7.设，，，则的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先得到最小的，然后利用，求得的大小关系.【详解】由于，而，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查利用指数函数、对数函数、幂函数的性质比较大小.属于基础题.8.已知函数，则f（1）- f（9）=（）A. ﹣1B. ﹣2C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】利用分段函数，分别求出和的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得，，所以，故选.【点睛】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.9.已知幂函数的图象过，若，则值为（）A. 1B.C. 3D. 9【答案】B【解析】【分析】由函数的图象过点，先求出幂函数，再由，能求出的值，最后求的值. 【详解】∵幂函数幂函数的图象过，，解得．则故选：B．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法及应用，考查对数恒等式的应用，解题时要认真审题，注意待定系数法的灵活运用，是基础题．10.已知函数，其中是偶函数，且，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将代入，求得的值.然后利用奇偶性，求得的值.【详解】，由于函数为偶函数，故，.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查利用函数的奇偶性来求函数值，属于基础题.注意偶函数的定义.11.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵函数是上的减函数∴∴故选D点睛：本题考查分段函数的单调性，解决本题的关键是熟悉指数函数，一次函数的单调性，确定了两端函数在区间上单调以外，仍需考虑分界点两侧的单调性，需要列出分界点出的不等关系.12.已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数可知，函数在上递减，在上递增.利用对数运算，将题目所给不等式转化为，即，由此解得的取值范围.【详解】由于函数为偶函数，且在上递增，属于函数在上递减.原不等式等价于，即，即，所以，，解得.【点睛】本小题考查函数的奇偶性与函数的单调性，考查利用函数的奇偶性来求解不等式.如果一个函数为奇函数，那么它的图像关于原点对称，在轴两侧的单调性是相同的，如果一个函数为偶函数，则图像关于轴对称，在轴两侧的单调性是相反的本小题属于中档题.二 .填空题13.函数恒过定点__________．【答案】【解析】试题分析：定点．考点：函数的定点．14.已知函数,若=10，则=________。
最新苏教版2018-2019学年高一数学上学期期中模拟检测题及答案解析
（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一第一学期期中考试 高一数学试题一、填空题（共14小题，每小题5分，计70分） 1．设集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则B A =． 2．函数()x x x f lg 1+-=的定义域是．3．函数()[]1,1,121-∈+⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x的值域是．4．已知幂函数()αx x f =的图像过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛222，，则f （4）=． 5．已知f （x ）是奇函数，当x>0时，()xx x f 1+=，则f （-1）=． 6．方程151243=-x 的解为x=．7．设()⎩⎨⎧>≤=-0,log 0,22x x x x f x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41f f =． 8．已知32log ,23,3223443=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a ，则a ，b ，c 从小到大用“<”号排列为． 9．若322=--xx，则=--x x 44．10．已知函数()12++=mx mx x f 的定义域是一切实数，则实数m 的取值范围是． 11．若关于x 的方程a x =-12有三个不等的实数解，则实数a 的值是．12．已知函数())1(522>+-=a ax x x f ，若f （x ）的定义域和值域均是[1，a]，则实数a=．13．设已知函数()x x f 2log =，正实数m ，n 满足m<n ，且f （m ）=f （n ），若f （x ）在区间[m 2，n]上的最大值为2，则m+n=．14．已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈+=-)2,21[,2)21,0[,211x x x x f x ，若存在x 1，x 2，当0≤x 1<x 2<2时，()()21x f x f =，则()21x f x ⋅的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分） 15．（本题满分14分）（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛656131212132313b a b a b a （2）4lg 2lg -5lg 22+16．（本题满分14分）设集合(){}{}R x x x y y B x y x A ∈++==-==,32,1log 22． （1）求集合A ，B ，()B C A R ；（2）若集合{}0>-=a x x C ，且满足C C A = ，求实数a 的取值范围．17．（本题满分15分） 已知函数()x x x f --=12．（1）用分段函数的形式表示该函数，并在所给的坐标系中画出该函数的图像； （2）写出该函数的值域、单调区间（不要求证明）；（3）若对任意R x ∈，不等式x a x +≥-12恒成立，则实数a 的取值范围是．18．（本题满分15分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R （x ）（万元）满足：()()()⎩⎨⎧≥<≤+-=511502.44.02x x x x x R ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题．（1）分别写出G （x ）和利润函数y=f （x ）的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？并求出此时每台产品的售价．19．（本题满分16分）已知函数()32+=x x f ，()()R k k x x g ∈-=3． （1）如果函数()()()x g x f x F ⋅=为偶函数，求k 的值；（2）如果()()()()x f g x g f =恒成立，求k 值，并求函数()()()x g x f x h +=的值域； （3）如果k=-4，实数a 满足()()a ag a f -=22，求2323--a a 的值．20．（本题满分16分）已知函数()()()[]1,1,2222-∈++-=-x a a x f xx．（1）若设xx t --=22，求出t 的取值范围（只需直接写出结果，不须论证过程．．．．．．．．．．．．．．．），并把()x f 表示为t 的函数()t g ； （2）求()x f 的最小值；（3）关于x 的方程()22a x f =有解，求实数a 的取值范围．高一年级数学试卷答案一、填空题（共14小题，每小题5分，计70分） 1．B A ={1，2，3，4，5} 2．解：由⎩⎨⎧>≥-01x x 得：10≤<x ．3．解：∵函数()[]1,1,121-∈+⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x在定义域内是单调减函数，∴()[]1,1,121-∈+⎪⎭⎫⎝⎛=x x f x的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡323，． 4．解：∵()αx x f =的图像过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222，，∴222=α，解得：21-=α． ∴()21-x x f =，∴()214=f ． 5．解：设0<x ，∴0>-x ，∴()x x x f 1--=-． 又∵()x f 是奇函数，∴()()()01<+=--=x xx x f x f ，∴()21111--=-+-=f ． 6．解：16,843=∴=x x ． 7．解：241log 412-==⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()42412==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--f f ． 8．解：∵0431323232⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，∴132<<a ；又∵2341232323⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=<⎪⎭⎫ ⎝⎛b ，∴4923<<b ；1log 32log 22<=c ，∴0<c ；∴b a c <<．9．解：∵322=--x x，∴()9424222=+-=---x x xx ，∴1144=+-xx ．10．解：∵函数()12++=mx mx x f 的定义域是一切实数，∴012≥++mx mx 对R x ∈恒成立。
2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一(上)期中数学试卷
2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期中数学试卷试题数：20.满分：1601.（单选题.5分）设集合U=R.A={x|0＜x＜2}.B={x|x＜1}.则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x|x≥1}B.{x|x≤1}C.{x|0＜x≤1}D.{x|1≤x＜2}2.（单选题.5分）下列函数中.表示同一函数的一组是（）A. f(x)=|x|x ，g(x)={1，(x＞0)−1，(x≤0)B.f（x）=x2+x-1.g（t）=t2+t-1C.f（x）=x-1（x∈R）.g（x）=x-1（x∈N）D.f（x）=lnx（x-1）.g（x）=lnx+ln（x-1）3.（单选题.5分）已知cos α2＜0 .sin α2＜0.且cosα＜0.则角α为（）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角4.（单选题.5分）已知f（x）=ax5+bx3+sinx-8.且f（-2）=4.那么f（2）=（）A.-20B.10C.-4D.185.（单选题.5分）设函数f（x）是奇函数.且在（0.+∞）内是增函数.又f（-3）=0.则x•f（x）＜0的解集是（）A.{x|-3＜x＜0或x＞3}B.{x|x＜-3或0＜x＜3}C.{x|x＜-3或x＞3}D.{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}6.（单选题.5分）函数f（x）=（m2-m-1）x4m+3是幂函数.对任意x1.x2∈（0.+∞）.且x1≠x2.满＞0 .若a.b∈R.且a+b＞0.ab＜0．则f（a）+f（b）的值（）足f(x1)−f(x2)x1−x2A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断7.（单选题.5分）函数f（x）=x•ln（x+1）-x-1的零点个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个8.（单选题.5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数.对于以下两个结论：① 若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数.则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；② 若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数.则f（x）、g（x）、h（x）均是奇函数.下列判断正确的是（）A. ① 正确. ② 正确B. ① 错误. ② 错误C. ① 正确. ② 错误D. ① 错误. ② 正确9.（填空题.5分）计算：log432 +4−12 -（-3）0=___ ．10.（填空题.5分）已知某产品的销售价格p（单位：元/件）是销量x（单位：件）的函数.而总成本为C（x）=100x+1500（单位：元）.假设生产的产品全部售出.那么产量为p=400- x2___ 件时.利润最大．11.（填空题.5分）若f（√e x+1）=e x.则f（x）的值域为___ ．12.（填空题.5分）当x ＞0时.f （-x ）= log 12（x 2-3x+2）.则y=f （x ）在（-∞.0）内的单调增区间为___ ．13.（填空题.5分）不等式x 2-ax+3＜0存在正整数解.则a 的取值范围为___ ．14.（填空题.5分）设f 0（x ）=|x-1|.f 1（x ）=f 0（f 0（x ））.f 2（x ）=f 0（f 1（x ））.…….一般地.f n （x ）=f 0（f n-1（x ））.其中n∈N*.则使方程f n （f 1（2x ））= 12 有2018个根的n 的值为___ ．15.（问答题.14分）已知集合A={x|3＜x ＜7}.B={x|4＜x≤10}.C={x||x-a|＞2}．（1）求A∪B 与（∁R A ）∩∁R B ；（2）若A∩B⊆C .求a 的取值范围．16.（问答题.14分）已知tanα＜0.（1）若sin α=−2√55 .求 2sin (α+π)+cos (2π−α)cos(α−π2)−sin(3π2+α) 的值； （2）若sin 2 α+sinαcosα=−15 .求tanα的值．17.（问答题.14分）已知定义域为R 的函数f （x ）=ln （x+ √a 2+x 2 ）是奇函数．（1）求a 的值；（2）证明：函数f （x ）在R 上是增函数；（3）若对任意的t∈R .不等式f （kt 2+kt ）+f （kt-1）＜0恒成立.求实数k 的取值范围．18.（问答题.16分）已知二次函数f （x ）的图象的对称轴为x=1.且函数g （x ）=f （x ）-4x 的零点为-5和3．（1）求f （x ）的解析式；（2）若h （x-2）=-xf （x ）+16.求函数h （x ）的所有零点之和；（3）试求f （x ）在x∈[a .a+2]上的最小值．（其中a∈R ）19.（问答题.16分）已知函数f（x）= {x2+ax−a，−1≤x＜02a x−2a，0≤x≤1.其中a＞0且a≠1．（1）当a= 12时.求f（x）的值域；（2）函数y=f（x）能否成为定义域上的单调函数.如果能.则求出实数a的范围；如果不能.则给出理由；（3）f（x）≥-2在其定义域上恒成立.求实数a的取值范围．20.（问答题.16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x.满足f（-x）=-f（x）.则称f（x）为“局部奇函数”．（1）当定义域为[-1.1].试判断f（x）=x4+x3+x2+x-1是否为“局部奇函数”；（2）若g（x）=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”.求实数m的范围；（3）已知a＞1.对于任意的b∈[1，32] .函数h（x）=ln（x+1+a）+x2+x-b都是定义域为[-1.1]上的“局部奇函数”.求实数a的取值范围．2018-2019学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1601.（单选题.5分）设集合U=R.A={x|0＜x＜2}.B={x|x＜1}.则图中阴影部分表示的集合为（）A.{x|x≥1}B.{x|x≤1}C.{x|0＜x≤1}D.{x|1≤x＜2}【正确答案】：D【解析】：利用不等式的解法化简集合A.求出∁R B.可得图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A【解答】：解：A={x|0＜x＜2}.B={x|x＜1}.∁R B={x|x≥1}则图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A={x|1≤x＜2}．故选：D．【点评】：本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题2.（单选题.5分）下列函数中.表示同一函数的一组是（）A. f(x)=|x|x ，g(x)={1，(x＞0)−1，(x≤0)B.f（x）=x2+x-1.g（t）=t2+t-1C.f（x）=x-1（x∈R）.g（x）=x-1（x∈N）D.f（x）=lnx（x-1）.g（x）=lnx+ln（x-1）【正确答案】：B【解析】：根据两个函数的定义域相同.对应关系也相同.即可判断它们是同一函数．【解答】：解：对于A.函数f （x ）= |x|x= {1，x ＞0−1，x ＜0 . 与g （x ）= {1，(x ＞0)−1，(x ≤0)的定义域不同.不是同一函数； 对于B.函数f （x ）=x 2+x-1（t∈R ）.与g （t ）=t 2+t-1（t∈R ）的定义域相同.对应关系也相同.是同一函数；对于C.函数f （x ）=x-1（x∈R ）.与g （x ）=x-1（x∈N ）的定义域不同.不是同一函数； 对于D.函数f （x ）=lnx （x-1）（x ＜0或x ＞1）.与g （x ）=lnx+ln （x-1）=lnx （x-1）（x ＞1）的定义域不同.不是同一函数．故选：B ．【点评】：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题.是基础题．3.（单选题.5分）已知cos α2＜0 .sin α2 ＜0.且cosα＜0.则角α为（ ）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【正确答案】：B【解析】：由cos α2＜0 .sin α2 ＜0.可得2π+4kπ＜α＜3π+4kπ.k∈Z .结合cosα＜0得答案．【解答】：解：由cos α2＜0 .sin α2 ＜0.可得π+2kπ＜ α2 ＜ 32π+2kπ .∴2π+4kπ＜α＜3π+4kπ.k∈Z ．又cosα＜0.∴角α为第二象限的角．故选：B ．【点评】：本题考查三角函数的象限符号.是基础题．4.（单选题.5分）已知f （x ）=ax 5+bx 3+sinx-8.且f （-2）=4.那么f （2）=（ ）A.-20B.10C.-4D.18【正确答案】：A【解析】：根据f（-2）=4即可求出a•25+b•23+sin2=-12.而f（2）=a•25+b•23+sin2-8.从而求出f（2）的值．【解答】：解：f（-2）=-a•25-b•23-sin2-8=4；∴a•25+b•23+sin2=-12；∴f（2）=a•25+b•23+sin2-8=-12-8=-20．故选：A．【点评】：考查奇函数的定义及判断.已知函数求值的方法．5.（单选题.5分）设函数f（x）是奇函数.且在（0.+∞）内是增函数.又f（-3）=0.则x•f（x）＜0的解集是（）A.{x|-3＜x＜0或x＞3}B.{x|x＜-3或0＜x＜3}C.{x|x＜-3或x＞3}D.{x|-3＜x＜0或0＜x＜3}【正确答案】：D【解析】：由x•f（x）＜0对x＞0或x＜0进行讨论.把不等式x•f（x）＜0转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决.根据f（x）是奇函数.且在（0.+∞）内是增函数.又f（-3）=0.把函数值不等式转化为自变量不等式.求得结果．【解答】：解：∵f（x）是R上的奇函数.且在（0.+∞）内是增函数.∴在（-∞.0）内f（x）也是增函数.又∵f（-3）=0.∴f（3）=0.∴当x∈（-∞.-3）∪（0.3）时.f（x）＜0；当x∈（-3.0）∪（3.+∞）时.f（x）＞0；∴x•f（x）＜0的解集是（-3.0）∪（0.3）．故选：D．【点评】：考查函数的奇偶性和单调性解不等式.体现了分类讨论的思想方法.属基础题．6.（单选题.5分）函数f （x ）=（m 2-m-1）x 4m+3是幂函数.对任意x 1.x 2∈（0.+∞）.且x 1≠x 2.满足 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞0 .若a.b∈R .且a+b ＞0.ab ＜0．则f （a ）+f （b ）的值（ ）A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【正确答案】：A【解析】：由幂函数的性质推导出f （x ）=x 11.由此根据a.b∈R .且a+b ＞0.ab ＜0．得到f （a ）+f （b ）=a 11+b 11＞0．【解答】：解：∵函数f （x ）=（m 2-m-1）x 4m+3是幂函数.对任意x 1.x 2∈（0.+∞）.且x 1≠x 2.满足f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞0 ∴ {m 2−m −1=14m +3＞0.解得m=2. ∴f （x ）=x 11.∵a .b∈R .且a+b ＞0.ab ＜0．∴f （a ）+f （b ）=a 11+b 11＞0．故选：A ．【点评】：本题考查函数值和的符号的判断.是基础 题.解题时要认真审题.注意函数性质的合理运用．7.（单选题.5分）函数f （x ）=x•ln （x+1）-x-1的零点个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：C【解析】：由f （x ）=0得ln （x+1）=1+ 1x .然后分别作出函数y=ln （x+1）与y=1+ 1x 的图象.利用数形结合即可得到结论【解答】：解：由f （x ）=0得ln （x+1）=1+ 1x .在同一坐标系中分别作出函数y=ln （x+1）与y=1+ 1x 的图象.如图：由图象可知两个函数的交点个数为2个.故函数的零点个数为2个.故选：C．【点评】：本题主要考查函数零点个数的判断.根据函数和方程之间的关系.转化为两个函数图象的交点个数问题.利用数形结合是解决本题的关键8.（单选题.5分）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数.对于以下两个结论：① 若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数.则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；② 若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数.则f（x）、g（x）、h（x）均是奇函数.下列判断正确的是（）A. ① 正确. ② 正确B. ① 错误. ② 错误C. ① 正确. ② 错误D. ① 错误. ② 正确【正确答案】：D【解析】：可判断① 错误.可举出反例：f(x)={2x x≤1−x+3x＞1. g(x)={2x+3x≤0−x+30＜x≤12x x＞1.ℎ(x)={−x x≤02x x＞0.均不是增函数.但是f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数.从而得出① 错误；而可判断② 正确.根据f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函数可得出f（x）+g（x）+f（x）+h（x）-[g（x）+h（x）]=2f（x）为奇函数.从而f（x）为奇函数.而同理可判断出g（x）.h（x）均是奇函数.从而得出② 正确．【解答】：解： ① 错误.可举反例： f (x )={2x x ≤1−x +3x ＞1. g (x )={2x +3x ≤0−x +30＜x ≤12x x ＞1 . ℎ(x )={−x x ≤02x x ＞0.均不是增函数； 但f （x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均为增函数；故 ① 错误；② ∵f （x ）+g （x ）.f （x ）+h （x ）.g （x ）+h （x ）均是奇函数；∴f （x ）+g （x ）+f （x ）+h （x ）-[g （x ）+h （x ）]=2f （x ）为奇函数；∴f （x ）为奇函数；同理.g （x ）.h （x ）均是奇函数；故 ② 正确．故选：D ．【点评】：考查增函数的定义.一次函数和分段函数的单调性.举反例说明命题错误的方法.以及奇函数的定义.知道f （x ）和g （x ）均是奇函数时.f （x ）±g （x ）也是奇函数．9.（填空题.5分）计算：log 432 +4−12 -（-3）0=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值．【解答】：解：log 432 +4−12 -（-3）0= lg25lg22+22×(−12)−1 = 52+12−1=2 ．故答案为：2．【点评】：本题考查对数的运算性质.是基础的计算题．10.（填空题.5分）已知某产品的销售价格p （单位：元/件）是销量x （单位：件）的函数p=400- x 2 .而总成本为C （x ）=100x+1500（单位：元）.假设生产的产品全部售出.那么产量为___ 件时.利润最大．【正确答案】：[1]300【解析】：根据题意可得f （x ）=- 12 （x-300）2+43500.利用二次函数的性质即可求出．【解答】：解：由题意可得.设利润为f（x）.则f（x）=px-C（x）=x（400- x2）-100x-1500=- 12x2+300x-1500=- 12（x-300）2+43500.当x=300时.利润最大.故答案为：300．【点评】：本题考查了二次函数的性质的应用.属于基础题．11.（填空题.5分）若f（√e x+1）=e x.则f（x）的值域为___ ．【正确答案】：[1]（0.+∞）【解析】：可变形f(√e x+1)=(√e x+1)2−1 .从而得出f（x）=x2-1.x＞1.根据x＞1求出x2-1的范围.即得出f（x）的值域．【解答】：解：f(√e x+1)=(√e x+1)2−1；∴f（x）=x2-1.x＞1；∵x＞1；∴x2＞1.x2-1＞0；∴f（x）的值域为（0.+∞）．故答案为：（0.+∞）．【点评】：考查函数解析式的定义及求法.函数值域的定义及求法.换元法求函数的解析式.以及不等式的性质．12.（填空题.5分）当x＞0时.f（-x）= log12（x2-3x+2）.则y=f（x）在（-∞.0）内的单调增区间为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-2）【解析】：由已知函数解析式求出x＜0时的函数解析式.由真数大于0得到x的范围.再由复合函数的单调性求解．【解答】：解：令x＜0.则-x＞0.∵当x＞0时.f（-x）= log12（x2-3x+2）.∴f（x）=f[-（-x）]= log12[(−x)2−3(−x)+2]=log12(x2+3x+2)（x＜0且x2+3x+2＞0）．∴x＜-2或-1＜x＜0．二次函数t=x2+3x+2在（-∞.-2）上为减函数.在（-1.0）上为增函数.而对数式y= log12t在t∈（0.+∞）上为减函数.∴y=f（x）在（-∞.0）内的单调增区间为（-∞.-2）．故答案为：（-∞.-2）．【点评】：本题考查函数解析式的求解及常用方法.考查复合函数的单调性.对应复合函数的单调性.一要注意先确定函数的定义域.二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断.判断的依据是“同增异减”.是中档题．13.（填空题.5分）不等式x2-ax+3＜0存在正整数解.则a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1] (72，+∞)【解析】：利用参变量分离法得到a＞x+3x .其中x∈N*.构造函数f(x)=x+3x(x∈N∗) .将问题转化为a＞f（x）min.从而求出a的取值范围．【解答】：解：由题意知.x∈N*.由x2-ax+3＜0.可得a＞x2+3x =x+3x.构造函数f(x)=x+3x.其中x∈N*.则a＞f（x）min.由双勾函数的单调性可知.函数f（x）在x=1或x=2处取得最小值.因为f（1）=4.f（2）= 72 .所以.函数f（x）的最小值为72.所以. a＞72.故答案为：(72，+∞)．【点评】：本题考查一元二次不等式.利用参变量分离法.将问题转化.是解本题的关键.属于中等题．14.（填空题.5分）设f0（x）=|x-1|.f1（x）=f0（f0（x））.f2（x）=f0（f1（x））.…….一般地.f n（x）=f0（f n-1（x））.其中n∈N*.则使方程f n（f1（2x））= 12有2018个根的n的值为___ ．【正确答案】：[1]2014【解析】：运用归纳法.计算n=1.2.3.原方程的个数.即可得到所求值．【解答】：解：f n（f1（2x））= 12.可令t=f1（2x）.f n（t）= 12.n=1时.f1（t）= 12 .即||t-1|-1|= 12.解得t=- 12（舍去）或12或32或52.由f1（2x）= 12 .即||2x-1|-1|= 12.即|2x-1|=1± 12.即2x= 12. 32. 52.有三个根；由f1（2x）= 32 .即||2x-1|-1|= 32.即|2x-1|= 52.即2x= 72.有一个根；由f1（2x）= 52 .即||2x-1|-1|= 52.即|2x-1|= 72.即2x= 92.有一个根；即n=1时.原方程共有5个根；n=2时.f2（t）= 12 .即|||t-1|-1|-1|= 12.解得t=- 12（舍去）或12或32或52或72.由f1（2x）= 12 .即||2x-1|-1|= 12.即|2x-1|=1± 12.即2x= 12. 32. 52.有三个根；由f1（2x）= 32 .即||2x-1|-1|= 32.即|2x-1|= 52.即2x= 72.有一个根；由f1（2x）= 52 .即||2x-1|-1|= 52.即|2x-1|= 72.即2x= 92.有一个根；由f1（2x）= 72 .即||2x-1|-1|= 72.即|2x-1|= 92.即2x= 112.有一个根；即n=2时.原方程共有6个根；n=3时.可将n=2中的t换为|t-1|.t的值增加一个92.可得原方程共有7个根；….可得使方程f n（f1（2x））= 12有2018个根的n的值为2014．故答案为：2014．【点评】：本题考查方程的根的个数问题解法.注意运用绝对值的方程解法和换元法.以及指数函数的值域.考查化简变形能力、运算能力和归纳推理能力.属于难题．15.（问答题.14分）已知集合A={x|3＜x＜7}.B={x|4＜x≤10}.C={x||x-a|＞2}．（1）求A∪B与（∁R A）∩∁R B；（2）若A∩B⊆C.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）进行并集、交集和补集的运算即可；（2）先得出C={x|x＜a-2.或x＞a+2}.A∩B={x|4＜x＜7}.根据A∩B⊆C即可得出a-2≥7.或a+2≤4.解出a的范围即可．【解答】：解：（1）A∪B={x|3＜x≤10}.∁R A={x|x≤3.或x≥7}.∁R B={x|x≤4.或x＞10}；∴（∁R A）∩∁R B={x|x≤3.或x＞10}；（2）C={x|x＜a-2.或x＞a+2}.A∩B={x|4＜x＜7}；∵A∩B⊆C；∴a -2≥7.或a+2≤4； ∴a≥9.或a≤2；∴a 的取值范围为{a|a≥9.或a≤2}．【点评】：考查描述法表示集合的定义.绝对值不等式的解法.交集、并集和补集的运算.以及子集的概念．16.（问答题.14分）已知tanα＜0. （1）若sin α=−2√55 .求 2sin (α+π)+cos (2π−α)cos(α−π2)−sin(3π2+α)的值； （2）若sin 2 α+sinαcosα=−15 .求tanα的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值.可得tanα的值.再利用诱导公式求得要求式子的值．（2）利用同角三角函数的基本关系求得 tan 2α+tanαtan 2α+1 =- 15.由此求得 tanα的值．【解答】：解：（1）∵tanα＜0.sin α=−2√55.∴α为第四象限角.∴cosα= √1−sin 2α =√55 .∴tanα= sinαcosα=-2. ∴2sin (α+π)+cos (2π−α)cos(α−π2)−sin(3π2+α)=−2sinα+cosαsinα+cosα = −2tanα+1tanα+1=-5． （2）∵sin 2 α+sinαcosα=−15 .∴ sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α = tan 2α+tanαtan 2α+1 =- 15 .∴tanα=- 12.或tanα=- 13 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系.诱导公式.属于基础题． 17.（问答题.14分）已知定义域为R 的函数f （x ）=ln （x+ √a 2+x 2 ）是奇函数． （1）求a 的值；（2）证明：函数f （x ）在R 上是增函数；（3）若对任意的t∈R .不等式f （kt 2+kt ）+f （kt-1）＜0恒成立.求实数k 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由定义域为R的函数f（x）=ln（x+ √a2+x2）是奇函数．可得f（0）=0.可得a的值；（2）根据定义证明即可；（3）（3）根据奇函数和增函数函数可得.kt2+2kt-1＜0对任意t恒成立.对k讨论可得实数k 的取值范围．【解答】：解：（1）由题意.可得f（0）=0.可得a=±1.那么f（x）=ln（x+ √1+x2）可得f（-x）=ln（x+ √1+x2）=ln（-x+ √1+x2）=ln（x+√1+x2=-ln（x+ √1+x2）=-f （x）经验证f（-x）=-f（x）成立.故a=±1.（2）由（1）可得f（x）=ln（x+ √1+x2）证明：任意取x1.x2.且x1＜x2.则f（x1）-f（x2）=ln（x1+ √x12+1）-ln（x2+ √x22+1）=ln（1+√x12+1x2+√x22+1∵x1＜x2.∴（x1+ √x12+1＜x2+ √x22+1）；1+√x12+1x2+√x22+11则ln（1+√x12+1x2+√x22+1即f（x1）-f（x2）＜0.可得f（x1）＜f（x2）；故得函数f（x）在R上是增函数；（3）根据奇函数和增函数函数可得.kt2+2kt-1＜0对任意t恒成立；1°当k=0时.-1＜0成立2°当k≠0时.则{k＜0△=b2−4ac=42+4k2＜0解得-1＜k＜0．综上可得实数k的取值范围是：-1＜k≤0．【点评】：本题主要考查了函数恒成立问题的求解.分类讨论以及转化思想.奇偶性单调性的应用.二次不等式的恒成立．18.（问答题.16分）已知二次函数f（x）的图象的对称轴为x=1.且函数g（x）=f（x）-4x的零点为-5和3．（1）求f（x）的解析式；（2）若h（x-2）=-xf（x）+16.求函数h（x）的所有零点之和；（3）试求f（x）在x∈[a.a+2]上的最小值．（其中a∈R）【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.设g（x）=a（x+5）（x-3）.可得f（x）=g（x）+4x=a（x+5）=1.解可得a的值.代入（x-3）+4x=ax2+（2a+4）x-15a.由二次函数对称轴的方程可得- 2a+42a函数的解析式.即可得答案；（2）根据题意.h（x-2）=-xf（x）+16=（x-1）（x2-x-16）.分析可得h（x-2）的零点之和.进而可得h（x）的零点.即可得答案；（3）根据题意.f（x）=-x2+2x+15.开口向下.其对称轴为x=1.结合二次函数的性质讨论a的取值范围.求出函数在[a.a+2]的最小值.综合即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.函数g（x）=f（x）-4x的零点为-5和3.则设g（x）=a（x+5）（x-3）；则f（x）=g（x）+4x=a（x+5）（x-3）+4x=ax2+（2a+4）x-15a.=1.解可得a=-1.又由二次函数f（x）的图象的对称轴为x=1.则有x=- 2a+42a则f（x）=-x2+2x+15；（2）根据题意.h（x-2）=-xf（x）+16=（x-1）（x2-x-16）.而方程x2-x-16=0显然有两个不同于1的实根.其两根之和为x1+x2=1.另外1个根为1.则方程h（x-2）=0有3个根.其和为2.则函数h（x）的所有零点之和2-6=-4.（3）根据题意.f（x）=-x2+2x+15.开口向下.其对称轴为x=1.当a≤0时.f （x ）min =f （a ）=-a 2+2a+15. 当a ＞0时.f （x ）min =f （a+2）=-a 2-2a+15. 综合可得：f （x ）min = {−a 2+2a +15，a ≤0−a 2−2a +15，a ＞0 ．【点评】：本题考查二次函数的性质以及应用.涉及函数的最小值.关键是求出函数f （x ）的最小值．19.（问答题.16分）已知函数f （x ）= {x 2+ax −a ，−1≤x ＜02a x−2a ，0≤x ≤1 .其中a ＞0且a≠1．（1）当a= 12 时.求f （x ）的值域；（2）函数y=f （x ）能否成为定义域上的单调函数.如果能.则求出实数a 的范围；如果不能.则给出理由；（3）f （x ）≥-2在其定义域上恒成立.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由二次函数和指数函数的值域求法.可得f （x ）的值域；（2）讨论a ＞1.0＜a ＜1.结合指数函数的单调性和二次函数的单调性.即可得到所求范围； （3）讨论x 的范围和a 的范围.结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）当-1≤x ＜0时.y=x 2+ 12 x- 12 .对称轴为x=- 14 ∈[-1.0）. 可得y 的最小值为- 916 .y 的最大值为0； 当0≤x≤1时.y=2•（ 12 ）x -1∈[0.1]； 综上f （x ）的值域为[- 916 .1]； （2）当a ＞1时.函数在[0.1]递增. 故二次函数在[-1.0]也要递增.{−a2≤−12−2a ≥−a.故只有a=2符合要求； 当0＜a ＜1时.函数在[0.1]递减.故二次函数在[-1.0]也要递减.{−a2≥02−2a≤−a.故无解．综上.a的取值集合为{2}；（3）① 当x∈[-1.0]时.x2+ax-a≥-2恒成立. 即有a（x-1）≥-2-x2.即a≤ 2+x21−x.由y= 2+x 21−x.令t=1-x.t∈[1.2].可得y=t+ 3t-2≥2 √3 -2.当且仅当t= √3时.取得等号.可得a≤2 √3 -2；② 当x∈[0.1]时. ① 当a＞1时.y=2a x-2a.2a x-2a≥-2.即有2a-2≤2.求得a≤2.故1＜a≤2；② 当0＜a＜1时.求得0＜a＜1均符合要求．综上可得a的范围为a≤2 √3 -2．【点评】：本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用.考查分类讨论思想方法和化简运算能力.以及不等式恒成立问题解法.属于中档题．20.（问答题.16分）若函数f（x）在定义域内存在实数x.满足f（-x）=-f（x）.则称f（x）为“局部奇函数”．（1）当定义域为[-1.1].试判断f（x）=x4+x3+x2+x-1是否为“局部奇函数”；（2）若g（x）=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”.求实数m的范围；（3）已知a＞1.对于任意的b∈[1，32] .函数h（x）=ln（x+1+a）+x2+x-b都是定义域为[-1.1]上的“局部奇函数”.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）若f（x）为“局部奇函数”.则根据定义验证条件是否成立即可；（2）根据f（x）为定义域R上的“局部奇函数.得到f（-x）=-f（x）.恒成立.建立条件关系即可求实数m的取值范围；（3）根据f（x）为定义域[-1.1]上的“局部奇函数.得到f（-x）=-f（x）.恒成立.建立条件关系即可求实数a 的取值范围；【解答】：解：（1）因为f （x ）=x 4+x 3+x 2+x-1. 所以f （-x ）=x 4-x 3+x 2-x-1. 由f （-x ）=-f （x ）得x 4+x 2-1=0. 令x 2=t∈[0.1].而t 2+t-1=0存在一根√5−12∈[0，1] .即存在x∈[-1.1].使得f （-x ）=-f （x ）. 所以f （x ）为“局部奇函数”．（2）由题意知.g （-x ）=-g （x ）在R 上有解.即4-x -2m•2-x +m 2-3=-4x +2m•2x -m 2+3在R 上有解.所以4x +4-x -2m （2x +2-x ）+2（m 2-3）=0在R 上有解. 令2x +2-x =u∈[2.+∞）.所以u 2-2mu+2m 2-8=0在u∈[2.+∞）上有解. 令F （u ）=u 2-2mu+2m 2-8.① 当F （2）≤0时.即2m 2-4m-4≤0.解得 1−√3≤m ≤1+√3 . 此时F （u ）在[2.+∞）上必有零点.所以 1−√3≤m ≤1+√3 ； ② 当F （2）＞0时.F （u ）在[2.+∞）上有零点必须满足{△≥0F (2)＞0对称轴x =m ＞2⇒{4m 2−4(2m 2−8)≥02m 2−4m −4＞0m ＞2⇒1+√3≤m ≤2√2 综上： 1−√3≤m ≤2√2 ．（3）由题意知. ∀b ∈[1，32] .-h （x ）=h （-x ）在x∈[-1.1]上都有解.即 ∀b ∈[1，32] .ln （-x+1+a ）+x 2-x-b=-ln （x+1+a ）-x 2-x+b 在x∈[-1.1]上都有解. 即 ∀b ∈[1，32] .ln[（a+1）2-x 2]+2x 2=2b 在x∈[-1.1]上都有解. 令x 2=s∈[0.1].令φ（s ）=ln[（a+1）2-s]+2s. 由题意知φ（s ）在s∈[0.1]上的值域包含[2.3]. 因为 φ′(s )=−1(a+1)2−s +2 .又因为s∈[0.1].a∈（1.+∞）.所以（a+1）2-s ＞3.所以φ′（s ）＞0.所以φ（s ）在s∈[0.1]上单调递增. 所以 {φ(0)≤2φ(1)≥3a ＞1⇒{a ≤e −1a ≥√e +1−1a ＞1⇒1＜a ≤e −1综上：1＜a≤e-1．【点评】：本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义.根据条件建立方程关系是解决本题的关键.考查学生的计算能力.属于难题。
江苏省天一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(物理方向强化班)
+
nf
æ çè
t 3
ö ÷ø
-
s
£
0
成立，求实数
s
的最小
值．
试卷第51 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】先求出集合 A ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由 4 - x2 ³ 0 ，解得 -2 £ x £ 2 ，所以 A = {x -2 £ x £ 2} ，
又 B = {x 0 < x < 3} ，
又因为 x -1 > 0 ，即 x > 1 ，
所以函数 g(x) = f (x) 的定义域为 (1, 6) ， x -1
故选：A. 3．D 【分析】根据函数的解析式确定图象. 【详解】由题可得， -x2 +1 ¹ 0 ，解得 x ¹ ±1 ，
所以函数 f (x) 的定义域为 (-¥, -1) È (-1,1) È (1, +¥) ，
B．存在 x1 ¹ 1, x2 ¹ 1 ，且 x1 < x2 ，有 f ( x1 ) < f ( x2 )
C．若函数 g(x) 满足 g(2 - x) + g(x) = 8 ，函数 f (x) 与 g(x) 的图像相交于点
A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 ) ，则 x1 + y1 + x2 + y2 = 10
x2
-
f(
x1
x1 )
<
0
，且
f
(3)
=
0
，则不等式 (2x
-1)
f
(x)
>
0
的解集是（
）
A．
æ çè
-3,
无锡市天一中学2020-2021学年高一(强化班)下学期期中数学试题
江苏省天一中学2020-2021学年春学期期中考试高一数学学科（强化班）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a =（）A.2i- B.4- C.2D.42.已知,a b 是不共线的向量，,,,AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈，若A ，B ，C 三点共线，则（）A.+=2λμB.=1λμ-C .1λμ=- D.1λμ=3.当复数z 满足|z +3﹣4i |＝1时，则|z +2|的最小值是（）A.1B.1- C.D.1-4.已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理正确的是()A.,//a b a bαβα⋂=⊂⇒B.,////a a b b αβα=⇒ 且b β//C.//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D.//,,//a b a b αβαγβγ==⇒ 5.已知O 为ABC 所在平面内一点，若()()0,5,3OA OB AB OB OC BC AB AC +⋅=+⋅=== ，则AO BC ⋅=（）A.8- B.16- C.8D.166.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且CD =3a b =，则c 的值为（）A.72B.3 C.3D.7.半径为R 的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值是（）A.RB.C.RD.R8.在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A.)+∞B.C.(6D.6二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法中错误的是（）A.若向量,a b 满足//a b r r，则存在唯一的实数λ，使得λa b= B.已知非零向()()1211a b == ，，，，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5()3-+∞，C.“1a ≠”是“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件D.若复数12,z z ，满足22120z z ->，则2212z z <10.ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B>B.若30A = ，4b =，3a =，则ABC 有两解C.若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D.若60A = ，2a =，则ABC 11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC (含端点)上运动，则下列判断正确的是（）A.11A P B D ⊥B.三棱锥1D APC -的体积不变，为83C.1//A P 平面1ACD D.1A P 与1D C 所成角的范围是(0,)3π12.已知点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOB cOC ++=(),,0a b c >，则下列选项正确的是（）A.若1a =，2b =，3c =，则1132AO AB AC=+B.若3a =，2b =，4c =，且1OA OB OC === ，则316OC AB ⋅=C.若直线AO 过BC 的中点，则a b c ==D.::AOB AOC S S b c=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =，则三棱锥P ABC -的表面积为________．14.设复数12,z z满足：11212||||,(1z z z z z a =+=，其中i 是虚数单位，a 是负实数，求21z z =________．15.若满足60,12,ABC AC BC k ∠=== 的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是_________.16.如图，在ABC 中，已知90C = ∠，1AC =，2BC =，直线l 过ABC 的重心G ，且与边A 、B 分别交于D 、E 两点，则CG ED ⋅的最小值为________．四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.设实部为正数的复数z，满足||z =，且复数(2)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若2(1)4()z m i mi m R +-++为纯虚数，求实数m 的值.18.如图，在菱形ABCD 中，12BE BC = ，2CF FD =．（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值；（2）若6AB = ，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅ ．（3）若菱形ABCD 的边长为6，求AE EF ⋅的取值范围．19.在①3sin cos 3c B a b C =-，②sin cos 6b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.问题：ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知.（1）求B ；（2）若D 为AC 的中点，2BD =，求ABC 的面积的最大值.20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证:EF ∥平面1ADC21.如图，海上有A ，B 两个小岛，B 在A 的正东方向，小船甲从A 岛出发以v 海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t 小时与小船甲相遇．（1）若AB 相距2海里，v 为/小时，小船乙从B 岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从A 岛以16海里/小时匀速沿射线AB 方向行驶()0k k t <<小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v 的最大值.22.四面体ABCD 中，（1）,,AB CD AC BD AD BC ===．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为a 的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？(参考公式：(,,0)3a b ca b c ++≤>，当且仅当a b c ==时取得等号)江苏省天一中学2020-2021学年春学期期中考试高一数学学科（理强）命题人：审阅人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数a =（）A.2i - B.4- C.2D.4【答案】B 【解析】【分析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.【详解】因为2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则另一根为2i-由韦达定理得()()22i i a ++-=-，所以4a =-故选：B 2.已知,ab 是不共线的向量，,,,AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈，若A ，B ，C 三点共线，则（）A.+=2λμB.=1λμ-C.1λμ=- D.1λμ=【答案】D 【解析】【分析】根据三点共线，可得AB AC ，所以AB mAC =，对应系数相等即可求解.【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以AB AC ，设存在m R ∈，使得AB mAC =，即()a b m a b λμ+=+ ，则=1mm λμ⎧⎨=⎩，故1λμ=.故选：D.3.当复数z 满足|z +3﹣4i |＝1时，则|z +2|的最小值是（）A.1- B.1- C.D.1【答案】B 【解析】【分析】用复数的几何意义两复数和的模大于或等于模的差，直接求最小值．【详解】∵|z +2|＝|（z +3﹣4i ）+（﹣1+4i ）|≥|﹣1+4i |﹣|z +3﹣4i |1﹣1∴|z +2|﹣1．故选：B ．4.已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列推理正确的是()A.,//a b a bαβα⋂=⊂⇒B.,////a a b b αβα=⇒ 且b β//C.//,//,,//a b a b ββαααβ⊂⊂⇒D.//,,//a b a bαβαγβγ==⇒ 【答案】D 【解析】【详解】选项A 中，,a b αβα⋂⊂＝，则,a b 可能平行也可能相交，故A 不正确；选项B 中，,a a b ＝αβ⋂，则可能b α且b β∥，也可能b 在平面α或β内，故B 不正确；选项C 中，//,//,,a b a b ββαα⊂⊂，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b ＝A ，才能得出//αβ，故C 不正确；选项D 为面面平行性质定理，故正确．选D ．5.已知O 为ABC 所在平面内一点，若()()0,5,3OA OB AB OB OC BC AB AC +⋅=+⋅===，则AO BC ⋅= （）A.8- B.16- C.8D.16【答案】A 【解析】【分析】由题意可知，O 是ABC 的外心，利用数量积投影意义即可得到结果.【详解】∵()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=，∴OA OB OC ==，O 是ABC 的外心，22111()(925)8222AO BC AO AC AB AO AC AO AB AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=-=-=- ，故选：A ．6.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C的角平分线交AB 于点D ，且CD =，3a b =，则c 的值为（）A.72B.3C.3D.【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCDS S S =+△△△可得出ab a b=+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.【详解】()sin sin sin c C a A b a B=+- ，由正弦定理可得()22c a b a b=+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<< ，所以3C π=，由ABCACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b> ，43b ∴=，34a b ==，由余弦定理可得3c ===.故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.7.半径为R 的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值是（）A.RB.RC.D.R 【答案】B 【解析】【分析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的四面体棱长为2r ，该四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体外接球半径，即可得结论．【详解】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的四面体棱长为2r ，3=，设正四面体的外接球半径为x ，则有222()()33x x =-+，解得2x r =，所以2R r r=+，所以r =，故选：B8.在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（）A.)+∞ B.C.(6D.6【答案】C 【解析】【分析】根据余弦定理以及正弦定理化简条件得A 、C 关系，再根据二倍角正切公式以及函数单调性求范围．【详解】∵22a c bc-=，∴所以22cos 2cos sin 2sin cos sin ,b bc A bc b c A c B C A C -=∴-=∴-=sin()2sin cos sin ,sin()sin ,2A C C A C A C C A C C A C+-=∴-=∴-==因此22111111tan 1tan 3sin =3sin 3sin 3sin tan tan tan tan 2tan 2tan 2tan C CA A A A C A C C C C C -+-+-+=-+=+113sin 3sin 2sin cos sin A AC C A=+=+设sin A t =，∵ABC 是锐角三角形，∴(0,(0,),(0,)22222A A A CB A ππππ∈=∈=--∈，∴(,32A ππ∈∴sin2A t =∈，1+3t t 在,1)2t ∈上单调递增，∴1113sin +3(,4)tan tan 6A t C A t -+=∈，故选：C二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列说法中错误的是（）A.若向量,a b 满足//a b r r，则存在唯一的实数λ，使得λa b= B.已知非零向()()1211a b == ，，，，且a 与a λb + 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5()3-+∞，C.“1a ≠”是“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件D.若复数12,z z ，满足22120z z ->，则2212z z <【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 举出反例即可；对于B 根据向量夹角为锐角时坐标运算公式计算即可；对于C 化简复数z 根据逻辑命题知识判断即可；对于D 举出反例即可.【详解】对于A ，若0b=，则“当//a br r时，存在唯一的实数λ，使得a b λ= ”不成立，故A 错误；对于B ，由题意得=(1,2)a b λλλ+++ ，若a 与a λb + 的夹角为锐角，则()0()a ab a a b λμλ⎧⋅+>⎨≠+⎩代入数据解得5(,0)(0,)3λ∈-⋃+∞，故B 错误；对于C ，由“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”得210,1a a -≠≠±，因为“1a ≠”是“1a ≠±”的必要不充分条件，所以“1a ≠”是“复数2(1)(1)i()z a a a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件.故C 正确；对于D ，当12i,2i z z ==时满足22120z z ->，此时不满足2212z z <.故D 错误.故选:ABD 10.ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的是（）A.若A B >，则sin sin A B>B .若30A = ，4b =，3a =，则ABC 有两解C.若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>D.若60A = ，2a =，则ABC【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，由A B >，得到a b >，再利用正弦定理判断；对于B 选项，由sin b A a b <<判断；对于C选项，由ABC 为钝角三角形且C 为钝角，利用余弦定理判断；对于D 选项，利用余弦定理与基本不等式集合三角形面积公式求解判断.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以，sin sin A B >，A 选项正确；对于B 选项，sin4sin 302b A == ，则sin b A a b <<，如图：所以ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，可得222a b c +<，C 选项错误；对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc==+-=+-≥-=，即4bc≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以1sin 24ABC S bc A bc ==≤△，D 选项正确．故选：ABD11.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BC (含端点)上运动，则下列判断正确的是（）A.11A P B D ⊥ B.三棱锥1D APC -的体积不变，为83C.1//A P 平面1ACD D.1A P 与1D C 所成角的范围是(0,3π【答案】ACD 【解析】【分析】证明出1B D ⊥平面11A BC ，可判断A 选项的正误；证明出1//BC 平面1ACD ，利用锥体的体积公式可判断B 选项的正误；证明出11//A BC 平面1ACD ，利用面面平行的性质定理可判断C 选项的正误；推导出11//D C A B ，可得出1A P 与1D C 所成的角等于1BA P ∠，即可判断D 选项的正误．【详解】对于A 选项，连接1A B 、11A C 、1A P 、11B D ，因为四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥，1DD ⊥Q 平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，111A C DD ∴⊥，1111B D DD D = ，11A C ∴⊥平面11BB D D ，1B D ⊂ 平面11BB D D ，111B D A C ∴⊥，同理可证11B D A B ⊥，1111A C A B A = ，1B D ∴⊥平面11A BC ，1A P ⊂ 平面11A BC ，因此，11A P B D ⊥，A 选项正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，∴四边形11ABC D 为平行四边形，11//BC AD ∴，1BC ⊄ 平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，1//BC ∴平面1ACD ，1P BC ∈ ，∴点P 、B 到平面1ACD 的距离相等，∴1111211422323D APCP ACD B ACD D ABC VV V V ----====⨯⨯⨯=，B 选项错误；对于C 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，11//AC A C ∴，11A C ⊄ 平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，11//A C ∴平面1ACD ，同理可证1//BC 平面1ACD ，1111AC BC C = ，∴平面11//A BC 平面1ACD ，1A P ⊂ 平面11A BC ，1//A P ∴平面1ACD ，C 选项正确；对于D选项，易知1111A B A C BC ===，所以，11A BC V 是等边三角形，113BAC π∴∠=，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BC A D 且11BC A D =，所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//DC A B ∴，所以，1A P 与1D C 所成角等于1BA P ∠，当P 在线段1BC （含端点）上运动时，11103BA P BAC π≤∠≤∠=，D 选项正确．故选：ACD ．12.已知点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOBcOC ++=(),,0a b c >，则下列选项正确的是（）A.若1a =，2b =，3c =，则1132AO AB AC=+B.若3a =，2b =，4c =，且1OA OB OC === ，则316OC AB ⋅=C.若直线AO 过BC 的中点，则a b c==D.::AOB AOC S S b c= 【答案】AB 【解析】【分析】由230OA OB OC ++=，OB OA AB =+ ，OC OA AC =+ 即可判断A ；将()432OC OA OB =-+ 两边平方可得OA OB ⋅的值，再结合AB OB OA =- 即可判断B ；设BC的中点为D ，则()111222AD AB AC OA OB OC =+=-++ 再结合AO k AD =即可得,,a b c 之间的关系可判断C ；取点,,A B '''使得OA aOA '= ，OB bOB '= ，OC cOC '=，则点O 为A B C '''V 的重心，可得B OC A OC A OB S S S ''''''== ，再利用三角形面积公式即可求AOB A OB S S ''，AOC A OC S S ''即可求得:AOB AOC S S ，即可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：若1a =，2b =，3c =则230OA OB OC ++= ，因为OB OA AB =+，OC OA AC =+，代入可得()()230OA OA AB OA AC ++++= 即6230OA AB AC ++= ，所以623AO AB AC =+，可得1132AO AB AC =+ ，故选项A 正确；对于B ：若3a =，2b =，4c =则3240OA OB OC ++=，所以()432OC OA OB=-+ 所以()221632OC OA OB =+ ，即222169412OC OA OB OA OB =++⋅ ，所以169412OA OB =++⋅，可得14OA OB ⋅= ，所以()()()2211323244OC AB OA OB OB OA OA OB OA OB⋅=-+⋅-=--++⋅113324416⎛⎫=--++= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；对于C ：设BC 的中点为D ，则()()1122AD AB AC OB OA OC OA=+=-+-1122OA OB OC =-++ 若直线AO 过BC 的中点，则存在实数k 满足AO k AD = ，即112222k k AO k OA OB OC kOA OB OC ⎛⎫=⨯-++=-++ ⎪⎝⎭，所以()1022k k k OA OB OC +--= ，所以1a k =+，2kb c ==-，所以不一定a b c ==，故选项C不正确；对于D ：取点,,A B C '''使得OA aOA '= ，OB bOB '= ，OC cOC '= ，则0OA OB OC '''++=，所以点O 为A B C '''V 的重心，因为重心O 到B C ''中点的距离等于中线的13，所以重心O 到B C ''的距离等于高线的13，可得13B OC A B C S S '''''= ，同理可得13A OC A B C SS '''''= ，13A OB A BC S S '''''= ，所以B OC A OC A OB S S S ''''''== ，所以1sin 121sin 2BOC B OC OB OC BOCS OB OC S OB OC bc OB OC B OC ''⋅∠⋅===''⋅''''⋅∠ ，同理可得：1AOC A OC S S ac''= ，1AOB A OB S S ab''= ，所以11::11A OB AOB AOCA OC S ab b S S c b S ac c''''=== ，故选项D 不正确；故选：AB.【点睛】结论点睛：若点O 为ABC 所在平面内一点，且0aOA bOBcOC ++=(),,0a b c >，则::::BOC AOC AOB S S S a b c = .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =，则三棱锥P ABC -的表面积为________．【答案】4+【解析】【分析】先分析出,PB BC AB BC ⊥⊥，再分别求各个面的面积即可.【详解】因为三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =，所以PC ===,PB ==+=,所以,PB BC AB BC ⊥⊥.所以三棱锥P ABC -表面积PAC PAB PBC ABC S S S S S =+++11112222222222=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯22=+++4=+.故答案为：4+.14.设复数12,zz 满足：11212||||,(1z z z z z a =+=，其中i 是虚数单位，a 是负实数，求21z z =________．【答案】2-【解析】【分析】利用复数的摸的性质及复数的运算性质，进行运算即可求出答案.【详解】解：1121112121212||||()()()()z z z z z z z z z z z z z =+⇒=++=++，∴1111122122++z z z z z z z z z z =+，122122+=0z z z z z z，又12(1z a =+，则12(1z z a =，222+=0a z z ，∴22=2z z a -，∴2221122z z z z z z ==-.故答案为：2-.15.若满足60,12,ABC AC BC k ∠=== 的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是_________.【答案】{|012k k <≤或k =【解析】【分析】根据正弦定理分析解的个数问题.【详解】由正弦定理sin sin AC BC B A =，sin sin 60sin 12BC B k A AC ︒==24k=，当124k=，即k =时，2A π=，只有一解，当124k <时，k<，若12k <<，则60A B >=︒，A 可为锐角也可为钝角，有两解，当012k <≤时，A B ≤，A 只能为锐角，只有一解.∴k 的范围是{|012k k <≤或k =.故答案为：{|012kk <≤或k =.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形时，由于求出的是角的正弦值，因此可能出现两解的情形.像本题，如果12k <<，则有两解，主要原因是60A B >=︒，A 可为锐角也可为钝角.16.如图，在ABC 中，已知90C = ∠，1AC =，2BC =，直线l 过ABC 的重心G ，且与边A 、B分别交于D 、E 两点，则CGED ⋅的最小值为________．【答案】49+【解析】【分析】设AE AC λ=uu u r uuu r ，AD AB μ= ，分析得出113λμ+=，求得()133CG ED λμ⋅=+ ，利用基本不等式可求得CG ED ⋅的最小值.【详解】先证明结论：已知O 为直线l 外一点，R 、S 、T 为直线l 上三个不同的点，若OT xOR yOS =+，则1x y +=.因为R 、S 、T 为直线l 上三个不同的点，则//ST SR，可设ST xSR =，即()OT OS x OR OS -=- ，所以，()1OT xOR x OS =+- ，所以，()11x y x x +=+-=，结论成立.本题中，设AE AC λ=uu u r uuu r ，AD μ=，当点E 与点C 重合时，D 为AB 的中点，此时12μ=；当点E 为线段AC 的中点时，D 与点B 重合，此时1μ=，故1,12μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，同理可得1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.由31311331D A A G AB AC AE μλ+=+=，又E 、G 、D 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=，延长CG 交AB 于点F ，则F 为AB 的中点，且有()()22113323CG CF CA CB CA CB==⨯+=+，又()()11113333CG ED CA CB AB AC CA CB CA CB μλλμμ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⋅=+-=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭()()1111131423344239999μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当39λ+=，9μ=时取得最小值.故答案为：49+.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.设实部为正数的复数z ，满足||z =，且复数(2)i z +在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若2(1)4()z m i mi m R +-++∈为纯虚数，求实数m 的值.【答案】（1）13z i =-；（2）1m =.【解析】【分析】（1）设(z a bi a =+，b R ∈且0)a >，由条件可得2210a b +=①，3a b =-②．由①②联立的方程组得a 、b 的值，即可得到z 的值；（2）根据实部为0，虚部不为0即可求解m ．【详解】解：（1）设z a bi =+，,R a b ∈，0a >.由题意：2210a b +=.①()2()2(2)i a bi a b a b i ++=-++，得220a b a b -++=，30a b +=，②①②联立，解得1a =，3b =-得13z i=-.（2）由（1）可得13z i=+所以()()()22214143z m i mi m m m i+-++=-++++由题意可知2210430m m m ⎧-+=⎨++≠⎩解得1m =±且1m ≠-且3m ≠-所以1m=【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数的几何意义，属于基础题．18.如图，在菱形ABCD 中，12BE BC = ，2CF FD = ．（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值；（2）若6AB = ，60BAD ∠=︒，求AC EF ⋅ ．（3）若菱形ABCD 的边长为6，求AE EF ⋅的取值范围．【答案】（1）321x y +=-；（2）9AC EF ⋅=-；（3）()21,9--．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得,x y 值；（2）先化AC AB AD =+ ，再结合（1）中关系即可求解AC EF ⋅；（3）由于12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r ，1223EF AD AB =-，即可得6cos ,15AE EF AB AD ⋅=- ，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为12BE BC = ，2CF FD = ，所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=- ，所以23x =-，12y =，故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭．（2）∵AC AB AD =+ ，∴()221212123236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅ ⎪⎝⎭ ∵ABCD 为菱形∴6AD AB ==∴2211111cos 3636966662AC EF AB AB BAD ⋅=--∠=-⨯-⨯⨯=- ，即9AC EF ⋅=- ．（3）因为12AE AB AD =+uu u r uu u r uuu r ，1223EF AD AB=-所以22121121362342AD A AE EF AB AD AB AD AB ADB ⎛⎫-= ⎛⎫⋅=+⋅⋅-+ ⎪⎪⎭⎭⎝⎝ 2221cos ,6cos ,153416AB AD AB AD AB AD AB AD =⋅-+=-1cos ,1AB AD -<<∴AE EF ⋅的取值范围：()21,9--．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．19.在①sin cos 3c B a b C =-，②sin cos 6b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.问题：ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知.（1）求B ；（2）若D 为AC 的中点，2BD =，求ABC 的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）3.【解析】【分析】（1）选①，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式、同角间的三角函数关系变形可求得B ；选②，由正弦定理化边为角，然后由两角差的余弦公式、同角间的三角函数关系变形可求得B ；（2）利用向量的线性运算得2BD BA BC =+uu u r uu r uu u r，平方后利用数量积的运算得出,a c 的关系，再由基本不等式得ac 的最大值，从而可得面积最大值．【详解】（1）选择条件①：sin cos 3B a bC =-，∴由正弦定理得，sin sin sin sin cos 3C B A B C =-.又在ABC 中，sinsin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,sin sin sin sin cos cos sin 3C B A B C B C =-=.又(0,)C π∈ ，sin 0C ∴>.sin cos 3B B =，即tan B =又(0,)B π∈ ，3B π∴=.选择条件②：sin cos 6b C c B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴由正弦定理得，sin sin sin cos 6B C C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又(0,)Cπ∈ ，sin 0C ∴>.sin cos 6B B π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即1sincos cossin sin cos sin 6622B B B B B ππ=+=+.1sin 22B B ∴=，即tanB =.又(0,)B π∈ ，.3B π∴=（2）有题意知2BD BA BC =+uu u ruu r uu u r.224||()BD BA BC ∴=+ ，即2216a c ac =++.又222a c ac + ，163ac∴（当且仅当3a c ==时等号成立）.由三角形面积公式可知143sin 23ABCSac B =△.ABC ∴ 的面积的最大值为433.【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，考查两角和与差的正弦、余弦公式的应用，考查基本不等式，三角形面积公式，向量的线性运算，解题关键是用正弦定理进行化边为角，然后可由三角函数恒等变换公式，基本不等式求解．20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥,点,E F 分别是111,BB A B 的中点.（1）求证：D 为BC 的中点；（2）求证:EF ∥平面1ADC 【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【详解】试题分析：（1）要证D 为BC 的中点，又AB=AC，即证ＡＤ⊥ＢＣ即可；（２）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG ，由（１）易证//EF DG ，从而问题得证．试题解析：（1） 正三棱柱111ABC A B C -，∴1C C ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，∴1C C AD ⊥，又1AD C D ⊥，111C D C C C ⋂=∴AD ⊥平面11BCC B ，又 正三棱柱111ABC A B C -，∴平面ABC ⊥平面11BCC B ，∴AD ⊥BC ，D 为BC 的中点．（2）连接1A B ，连接1A C 交1AC 于点G ，连接DG矩形11A ACC ，∴G 为1A C 的中点，又由(1)得D 为BC 的中点，∴1A BC 中，1//DG A B又 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，∴△11A B B 中，1//EF A B ，∴//EF DG ，又EF ⊄平面1ADC ，DG ⊂平面1ADC ∴//EF 平面1ADC 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21.如图，海上有A ，B 两个小岛，B 在A 的正东方向，小船甲从A 岛出发以v 海里/小时的速度沿北偏东60°方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t 小时与小船甲相遇．（1）若AB 相距2海里，v 为/小时，小船乙从B 岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从A 岛以16海里/小时匀速沿射线AB 方向行驶()0k k t <<小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v 的最大值.【答案】（1）小船乙的速度是/小时；（2）v 的最大值3海里/小时.【解析】【分析】首先设,AC vt BC v t '==，再根据余弦定理求'v ；（2）根据速度和时间表示边长，再根据余弦定理表示为2228()(16)()216cos30t k k vt k vt -=+-⨯⨯ ，再根据换元转化为一元二次方程有解问题，求v 的最大值.【详解】（1）由题意可知，2,,AB AC vt BC v t'===，由余弦定理知222112())22cos30663v '+⨯-=⨯⨯ ，∴解得v '（2）由题意知2228()(16)()216cos30tk k vt k vt -=+-⨯⨯ 等式两侧同时除以2t 得22192((128)640k kv t t +-+-=，设(01)km m t=<<，则有22192(128)640m m v +-+-=，其中(0,1)m ∈，即关于m 的方程22192(128)640m m v +-+-=在(0,1)上有解，则必有22=(128)4192(64)0v ∆--⨯⨯-≥，解得03v <≤，当3v =时，可得1(0,1)3m =∈，因此v 的最大值3海里/小时.22.四面体ABCD 中，（1）,,AB CD AC BD AD BC ===．求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为a 的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问a 为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？((,,0)3a b ca b c ++≤>，当且仅当a b c ==时取得等号)【答案】（1）证明见解析；（2）当a =时，三棱锥体积最大为3．【解析】【分析】（1）在四面体ABCD 中，由已知可得四面体ABCD 的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，证明ABC 为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）当2条长为a 的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积，利用基本不等式求最值；当边长为a 的两条棱在同一个三角形中时，可知当AB ⊥平面BCD 时，体积取最大值，比较大小的结论.【详解】（1）∵四面体ABCD ，如图,,AB CD AC BD AD BC ===，故四面体ABCD 中四个面为全等三角形，即只需证明一个ABC 为锐角三角形即可，设长方体长宽高分别为,,a b c ，则222222222,,AB a b BC b c AC a c =+=+=+，∴222222222+,+,+AB BC AC AB AC BC AC BC AB >>>，∴ABC 为锐角三角形，故四面体四个面都为锐角三角形；（2）解：2条长为a 的线段不在同一个三角形中，此时长为a 的两条线段必还在三棱锥的对棱，不妨设,2AD BC a BD CD AC =====，取BC 中点E ，连接AE ，DE (如图)，则AE BC ⊥，DE BC ⊥，则BC ⊥平面AED ，13AED V S BC=⋅ ，在AED 中，AE ED ==，AD a =，1122AEDS ==∴V ==，由均值不等式222316(162)()3aa a -≤，等号当且仅当2163a =时成立，即3a =，∴此时max27V==，当边长为a 的两条棱在同一个三角形中时，设AD AC a ==，11333A BCD BCD BCD V S h S AB -=⋅≤⋅=当且仅当AB ⊥平面BCD 时，体积取最大，此时a =∵327>，综上，当a =时，三棱锥体积最大为3。
2018-2019学年江苏省无锡市天一中学(强化班)高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期中数学试题（强化班）一、单选题1．已知公比大于0的等比数列{}n a 满足13a =，前三项和321S =，则234a a a ++=（ ） A ．21 B ．42C ．63D ．84【答案】B【解析】根据13a =，前三项和321S =，代入前n 项和公式，求出q ，即可. 【详解】()()31231=21=311a q S q q q-=++-，即260q q +-=，解得2q =，3q =-（舍）， 所以234322142.a a a qS ++==⨯=故选：B . 【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，方程思想可求解，属于基础题.2．直线a 与直线b 为两条异面直线，已知直线//l a ，那么直线l 与直线b 的位置关系为（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．异面或相交【答案】D【解析】两条直线的位置关系是异面，相交，平行，用反证法假设平行，推出矛盾，说明假设不成立，故而是异面或相交. 【详解】假设l b P ，又l a P ，根据公理3可得a b ∥，这与a 与b 是异面直线矛盾，故假设不成立，所以l 与b 异面或相交. 故选：D . 【点睛】本题考查空间中两直线位置关系，是概念辨析题，属于基础题.3．圆1O ：()()22121x y -+-=与圆2O ：()()22212x y -++=的位置关系为（ ） A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】A【解析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出两个圆的圆心距，分析可得1212O O r r >+，由圆与圆的位置关系分析可得答案.【详解】根据题意，圆1O ：()()22121x y -+-=的圆心为(1，)2，半径1=1r ，圆2O ：()()22212x y -++=的圆心为(2，)1-，半径2r =12O O =121r r +=，则有1212O O r r >+，两圆外离；故选A . 【点睛】本题考查两圆位置关系，圆心距大于两圆半径之和为相离，属于基础题.4．已知点()0,0O ，()0,A b ，()1,1B .若OAB ∆为直角三角形，则必有（ ） A ．1b =B ．2b =C ．()()12=0b b --D ．120b b -+-=【答案】C【解析】根据题意即可得出OB AB ⊥uu u r uu u r 或OA AB ⊥u u ur u u u r ，而可求出()1,1OB =u u u r ，()=1,1AB b -u u u r ，()0,OA b =u u u r ，从而得出0OB AB ⋅=u u u r u u u r ，0OA AB ⋅=u u u r u u u r，从而求出b 的值.【详解】根据题意知，OB AB ⊥uu u r uu u r 或OA AB ⊥u u u r u u u r；()1,1OB =u u u r ，()=1,1AB b -u u u r ，()0,OA b =u u u r；110OB AB b ⋅=+-=uu u r uu u r ，或010OA AB b ⋅=+-=uu r uu u r2b ∴=，或1b =，则有(1)(2)0b b --=故选：C . 【点睛】本题考查向量垂直，转化成数量积为零，计算求解，属于基础题.5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F ，分别为棱1AB CC ，的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线A ．有无数条B ．有2条C ．有1条D ．不存在【答案】A【解析】∵平面D 1EF 与平面ADD 1A 1有公共点D 1且不重合，∴两平面有1条过D 1的交线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的任意直线都与平面D 1EF 平行，这样的直线有无数条．6．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为An 和Bn ，且7453n n A n B n +=+，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3C ．5D ．4【答案】C【解析】∵数列{a n }和{b n }均为等差数列，且其前n 项和An 和Bn 满足7453n n A n B n +=+，则1212112121()2143872n+2)+2424122=7=7+()222222212n n n n n n n n n a a a a A n n b b b b B n n n n ----++=====++++++（. 所以验证知，当n=1，2，3，5，11时，nna b 为整数. 故选C.7．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45-D ．43-或34-【答案】D【解析】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出． 【详解】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d ==1，化为24k 2+50k +24＝0， ∴k 43=-，或k 34=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对于任意的*n N ∈都有21n n S S n ++=，若{}n a 为单调递增的数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,44⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,43⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据数列的递推关系求出22n n a a +-=，根据{}n a 为单调递增的数列，则只要满足1234a a a a <<<，即可，结合不等式的性质进行求解即可. 【详解】Q 对于任意的n *∈N 都有21n n S S n ++=，①()2121n n S S n ++∴+=+，②②-①得()2212=121n n a a n n n ++++-=+，③则当2n ≥时，121n n a a n ++=-，④③-④得22n n a a +-=，也就是当2n ≥时，隔2项成等差数列，公差为2.{}n a Q 为单调递增的数列∴只要保证1234a a a a <<<可以保证整个数列单调递增.当1n =时，1121a a a ++=，即2112a a =-，当2n =时，121234a a a a a ++++=，即123224a a a ++=， 则31214222a a a a =--=+，421232a a a =+=-， 代入1234a a a a <<<，得1111122232a a a a <-<+<-，即1111111212222232a a a a a a <-⎧⎪-<+⎨⎪+<-⎩，即111131414a a a ⎧<⎪⎪⎪>-⎨⎪⎪<⎪⎩，即11144a -<<， 即1a 的取值范围为14⎛- ⎝，14⎫⎪⎭故选：C 【点睛】运用数列常用公式1(2)n n n a S S n -=-≥求解递推关系，判断数列性质，有一定难度.二、填空题9．1l ：()1360m x y +++=，2l ：()120x m y +-+=，若12//l l ，则m =_____. 【答案】-2.【解析】根据两直线平行的公式，即可求解参数值. 【详解】 依题意，12l l P()()11310m m ∴+--⨯=且()21160m +-⨯≠解得：2m =- 故答案为：2- 【点睛】本题考查解析几何中两直线平行公式，属于基础题. 10．给出下列三个命题：①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行； ②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行； ③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行；④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行； 其中正确的结论的个数为_____. 【答案】1.【解析】根据空间中，直线与直线位置关系，逐一判断，即可求解. 【详解】①在空间中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，可能这三条直线构成等腰三角形，可得这两条直线不一定互相平行，故①错；②在空间中，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行或相交或异面，故②错；③若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线互相平行或相交或异面，故③错； ④在空间中，若两条直线都与第三条直线平行，由公理4可得这两条直线互相平行，故④对只有一个结论正确 故答案为：1 【点睛】空间中直线与直线位置关系，与平面内直线与直线位置关系有所不同，需仔细辨析，本题属于中等难度.11．过三个点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -的圆交直线340x y +=与M 、N 两点，则MN =____.【答案】.【解析】根据题意，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入三个点的坐标，求出D ，E ，F ，即可得圆的方程，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】根据题意，设圆的方程为 220x y Dx Ey F ++++=，圆过三个点(1A ，)3，(4B ，)2，(1C ，)7-，则有193016442014970D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++-+=⎩，解可得：2D =-，4E =，20F =-，即圆的方程为2224200x y x y +-+-=， 变形可得：()()221225x y -++=， 其圆心为(1，)2-，半径为=5r ； 圆心到直线340x y +=的距离1d ==，则2MN ==，故答案为：【点睛】本题考查待定系数法确定圆的一般方程，考查了几何法求解直线与圆相交弦长问题，属于基础题.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则11S =_____. 【答案】1365【解析】推导出11222n nn n a a -++=⨯=，()()()()()112345678910111S a a a a a a a a a a =++++++++++，由此能求出结果.【详解】n S Q 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，21a =，数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列， 11222n n n n a a -+∴+=⨯=，()()()()()246810111234567891011=1222221365S a a a a a a a a a a a ++++++++++=+++++=故答案为：1365. 【点睛】本题考查并项求和，需仔细辨析项数，属于中等偏难题型.13．已知一组平行线n l ：0n y c ++=，*n N ∈，其中13c =，且点()1,n n c c +在直线21y x =-上，则100l 与101l 间的距离为_____. 【答案】992.【解析】由题意可得121n n c c +=-，即有()1121n n c c +-=-，由等比数列的通项公式可得所求12nn c =+，再由两平行直线的距离公式可得所求值.【详解】13c =，且点(n c ，)1n c +在直线21y x =-上，可得121n n c c +=-，即有()1121n n c c +-=-，∴数列{}1n c -为等比数列，公比为2可得()111122n n n c c --=-⋅=，即12n n c =+，可得直线120nn l y +++=，则100l 与101l 间的距离为992d ==.故答案为：992. 【点睛】本题考查数列求通项公式中的构造等比数列方法，和两平行直线距离公式，有一定难度. 14．点P 为圆A ：()2244x y -+=上一动点，Q 为圆B ：()()22641x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，则PO PQ PB ++的最小值为______. 【答案】9【解析】取点(3,0)C ，则2PO PC =，将PO PQ PB ++的最小值转化为BC 距离，即可得到所求. 【详解】P 为圆A ：22(4)4x y -+=上一动点，Q 为圆B ：22(6)(4)1x y -+-=上一动点，O 为坐标原点，取(3,0)C ，则12AC AP AP AO ==， ACP APO ∴V :V 2PO PC ∴=21PO PQ PB PO PB ∴++=+- 221219PC PB BC =+-≥-=故答案为：9 【点睛】本题考查距离最短问题，将距离转化，利用两点间线段最短，求解最短距离.三、解答题15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足13a =，1413,,a a a 成等比数列，等差数列{}n b 前n 项为n S ，且416S =，636S =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求和1122111n n nT a b a b a b =+++L . 【答案】.（1）21n a n =+，21n b n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）分别运用等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）由（1）得，11111()(21)(21)22121n n a b n n n n ==--+-+，运用裂项相消求和，化简可得所求和. 【详解】（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 满足13a =，1413a a a ，，成等比数列，可得24113a a a =，即2(33)3(312)d d +=+，解得2d =，即21n a n =+；等差数列{}n b 的公差设为m ，前n 项和为n S ，且416S =，636S =，可得14616b m +=，161536b m +=，解得112b m ==， 则21n b n =-；（2）由（1）结论，11111()(21)(21)22121nn a b n n n n ==--+-+ 则1122111111111...(1...)23311(1)52112221n n n T a b a b a b n n n =+++=-+-+=--+++-21n n =+ 【点睛】（1）考查等差数列基本量的求法，分别通过通项公式和前n 项和公式列方程，通过方程求解首项和公差，是等差数列常见方法；（2）裂项相消求和，通项公式可化简差的形式，适合裂项相消求和.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M .求证：（1）//PD 平面ANC ； （2）M 是PC 中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）作辅助线，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理，由线线平行证明线面平行；（2）先利用线面平行的判定定理证明BC ∥平面ADMN ,再利用线面平行的性质证线线平行，根据平面几何知识可证M 是PC 中点. 【详解】证明：（1）连结,BD AC ，设AC BD O =I ，连结NO ，ABCD Q 是平行四边形，O ∴是BD 的中点，在PBD ∆中，N 是PB 的中点，//PD NO ∴，又NO ⊂平面ANC ，PD ⊄平面ANC ，//PD ∴平面ANC ，（2）Q 底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊄Q 平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ， //BC ∴平面ADMN .Q 平面PBC I 平面ADMN MN =，//BC MN ∴，又N 是PB 的中点，M ∴是PC 的中点.【点睛】（1）利用三角形中位线平行于底边证明线线平行，再证线面平行是证明线线平行的常见方法；（2）考查线面平行的性质定理；有一定难度，属于中等题型. 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图象上，记n a 与1n a +的等差中项为n k .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2n kn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）设集合{}*,n A x x k n N==∈，{}*2,nB x x a n N ==∈，等差数列{}nc 的任意一项n c A B ∈⋂，其中1c 是A B I 中的最小数，且10110115c <<，求{}n c 的通项公式.【答案】（Ⅰ）21n a n =+；（Ⅱ）26116499n n n T ++=⋅-；（Ⅲ）126n c n =-. 【解析】（Ⅰ）根据点(,)n n P n S 都在函数2()2f x x x =+的图像上，可得22()n S n n n N *=+∈，再写出1n S -，两式相减，即可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）先确定数列的通项公式，再利用错位相减法求数列的和；（Ⅲ）先确定A B B =I ,再确定{}n c 是公差为4的倍数的等差数列，利用10110115c <<，可得10114c =，由此可得{}n c 的通项公式.【详解】（Ⅰ）Q 点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图象上，()2*2n S n n n N ∴=+∈，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+. 当1n =时，113a S ==满足上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （Ⅱ）n k Q 为n a 与1n a +的等差中项12n n n a a k ++∴==()21211222n n n ++++=+ 2n k n n b a ∴==()4214n n ⋅+⋅.12434454n T ∴=⨯⨯+⨯⨯+()34744214n n ⨯⨯++⨯+⨯L ①由①4⨯，得234434454n T =⨯⨯+⨯⨯+()414744214n n +⨯⨯++⨯+⨯L ②①-②得：()()23134342444214n n n T n +⎡⎤-=⨯+⨯+++-+⨯⎣⎦L ()()211414434221414n n n -+⎡⎤-⎢⎥=⨯+⨯-+⨯-⎢⎥⎣⎦26116499n n n T ++∴=⋅-（Ⅲ）{}*,n A x x k n N==∈，{}*2,nB x x a n N ==∈A B B ∴=In c A B ∈⋂Q ，1c 是A B I 中的最小数，16c ∴=.{}n c Q 是公差为4的倍数的等差数列，()*1046c m m N ∴=+∈. 又10110115c <<Q ，*11046115m m N <+<⎧∴⎨∈⎩，解得27m =. 所以10114c =，设等差数列的公差为d ，则101101c c d -==-1146129-=，()6112n c n ∴=+-⨯126n =-，126n c n ∴=-.【点睛】本题考查：（Ⅰ）已知前n 项和公式求通项公式，11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩ 12n n =≥；（Ⅱ）数列求和方法：错位相减法；（Ⅲ）结合集合中交集运算，判断等差数列；本题考查知识比较全面，属于难题.18．为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心O 后转向ON u u u r方向，已知tan 2MON ∠=-，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km .（1）若102OA km =，求两站点,A B 之间的距离；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区.因考虑未来道路AB 的扩建，则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？ 【答案】（1）)2021；（2）设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.【解析】（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=，则34EOB πα∠=-，（42ππα<<），可得10tan AE α=，310tan 4BE πα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可求310sin43cos cos 4AB ππαα=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，又3cos cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭1sin 224πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合42ππα<<，可得max32cos cos 44παα⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，即可求解两出入口之间距离的最小值.（2）设切点为F ，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，设直线AB 的方程为(0)y kx t k =+>，可求20t k =，或60t k =（舍去），可求(20,0)A -，此时20OA =，又由（1）可知当//AB ON时，OA =，综上即可求解. 【详解】（1）过O 作直线OE AB ⊥于E ，则10OE =，设EOA α∠=， 则34EOB πα∠=-，（42ππα<<），故10tan AE α=，310tan 4BE πα⎛⎫=-⎪⎝⎭， 310tan 10tan 4AB παα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭3sin sin 4103cos cos 4πααπαα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭310sin43cos cos 4ππαα=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭， 又3cos cos 4παα⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭cos cos 22ααα⎛⎫=⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 2244πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由42ππα<<，得32,444πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故max32cos cos 44παα⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，当且仅当242ππα-=，38πα=时取等号.此时，AB 有最小值为()2021+.即两出入口之间距离的最小值为()2021+.（2）由题意可知直线AB 是以O 为圆心，10为半径的圆O 的切线，根据题意，直线AB 与圆C 要相离，其临界位置为直线AB 与圆C 相切，设切点为F 此时直线AB 为圆C 与圆O 的公切线. 因为，出入口A 在古建筑群和市中心O 之间， 如图，以O 为坐标原点，以CO 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy 由5CF =，10OE =，因为圆O 的方程为22100x y +=，圆C 的方程为()223025x y ++=，设直线AB 的方程为()0y kx t k =+>，则221013051tkk t k ⎧=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩所以，两式相除，得230t k t =-+， 所以20t k =或60t k =，所以此时()20,0A -或()60,0A -（舍去），此时20OA =， 又由（1）知当//AB ON 时，102OA = 综上，()102,20OA ∈.即设计出入口A 离市中心O 的距离在102km 到20km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区. 【点睛】（1）实际应用问题中，三角函数的应用，可利用三角函数的有界性取得最小值； （2）由实际问题建立平面直角坐标系，运用直线与圆的位置关系，确定参数范围.19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(4)1x y -+=，且圆C 与x 轴交于M ，N 两点，设直线l 的方程为(0)y kx k =>．（1）当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点． （ⅰ）若217AB ≤k 的取值范围； （ⅱ）直线AM 与直线BN 相交于点P ，直线AM ，直线BN ，直线OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数a ，使得123k k ak +=恒成立？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）15y x =；（2）1154k ≤<（3）见解析 【解析】试题分析：（1）由题意0k >，圆心C 到直线l 的距离21d k =+l与圆C 相切得15k =l 的方程；（2）（i ）由题意得：221702117AB d <=-，2 1d k =+k 的取值范围；(ii)()1:3AM l y k x =-与圆C ()22:41x y -+=联立，得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由韦达定理求出,A B 的坐标，从而得到 ()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由此能证明存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立．试题解析：（1）解：由题意，0k >， ∴圆心C 到直线l 的距离21d k =+，∵直线l 与圆C 相切，∴1d ==，∴k =，∴直线:l y x =． （2）解：由题意得：0AB <=≤1d ≤<， 由（1）可知：d =∴117≤<，∴1415k ≤<． （3）证明：()1:3AM l y k x =-，与圆C ()22:41x y -+=联立，得：()()()221131350x k x k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，∴3M x =，2121351A k x k +=+，∴2112211352,11k k A k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 同理可得：2222222532,11k k B k k ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭，∵OA OB k k =， ∴122212221222122211355311k k k k k k k k -++=++++，即()()12121350k k k k ++=， ∵121k k ≠-，∴2135k k =-， 设()00,P x y ， ∴()()01002035y k x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴1201212012352k k x k k k k y k k -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩， ∴12121212352,k k k k P k k k k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，即1315,44k P ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1313141554k k k ==，∴1213225k k k k +==，∴存在常数2a =，使得1232k k k +=恒成立．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求直线方程、直线与圆的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20．若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*,p q ∈N 使得p q a a c ==（c 为常数）； ②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列. （1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n =+； ②sin 2n n a π=； ③()()35n a n n =-- （2）设501012,1502,50n n n n a m n --≤≤⎧=⎨+>⎩，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设()9310nn a kn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ①③是双底数列，②不是双底数列(2) 1m =-249100,15022548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩（3）存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列【解析】试题分析：（1）根据双底数列的定义可判定①③是双底数列，②不是双底数列；（2）由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-， 当150n ≤≤时，数列成等差，()29910121002n n n S n n +-==-，当50n >时，()()()22501005050212121n n S L -=⨯-+-+-++-，从而可得结果；（3）()119931010nn n a a k kn +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列），即 39n k-=，该方程共有四组解，分别验证是否为双底数列即可得结果.试题解析：（1）①③是双底数列，②不是双底数列； （2）数列{}n a 当150n ≤≤时递减，当50n >时递增， 由双底数列定义可知5051a a =，解得1m =-，当150n ≤≤时，数列成等差，()29910121002n n n S n n +-==-，当50n >时，()()()22501005050212121n n S L -=⨯-+-+-++-4922548n n -=-+，综上，249100,15022548,50n n n n n S n n -⎧-≤≤=⎨-+>⎩. （3）()()1199331010n nn n a a kn k kn ++⎛⎫⎛⎫-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()93931010n kn k kn ⎛⎫++⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()19931010nk kn ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 若数列{}n a 是双底数列，则93k kn -=有解（否则不是双底数列）， 即 39n k-=， 得16k n =⎧⎨=⎩或38k n =⎧⎨=⎩或112k n =-⎧⎨=⎩或310k n =-⎧⎨=⎩ 故当1k =时，()13961010nn n a a n +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当15n ≤≤时，1n n a a +>；当6n =时，1n n a a +=；当7n ≥时，1n n a a +<； 从而 12345678a a a a a a a a L <<<= ，数列{}n a 不是双底数列； 同理可得：当3k =时，12891011a a a a a a =L L ，数列{}n a 不是双底数列； 当1k =-时，1212131415a a a a a a >>>=<<<L L ，数列{}n a 是双底数列； 当3k =-时，1210111213a a a a a a >>>=<<<L L ，数列{}n a 是双底数列； 综上，存在整数1k =-或3k =-，使得数列{}n a 为双底数列.【方法点睛】本题考查数列的通项公式及求和公式、新定义问题的应用，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义双底数列达到考查数列性质的目的.。
江苏省天一中高一数学下学期期末考试试题强化班
江苏省天一中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（强化班）一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1.直线05-y 3=+x 的倾斜角为 A.030- B.060 C.0120 D.01502.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若02=+n S a ,则公比q 等于 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23. 已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 A. (1,2) B. )23,1( C. ),2()1,(+∞-∞ D. ),23()1,(+∞-∞4.设n m ,是两条+同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若 m// a , n//a ,则 m//n B.若βα// , βα⊂⊂n m ,,则 m//n C.若n n m ,,αβα⊂= 丄 m ，则 n 丄 β D.若m 丄 a , m//n ，β⊂n ，则 βα丄5.若直线022=+-by ax (a>0，b>0)被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4,则ba 14+的最小值是 A. 9B.4C.21 D. 416.己知圆柱的上、下底面的中心分别为O1、O2,过直线O102的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. π212 B. π12 C. π28D. π107.已知关于x 的不等式0862≥++-k kx kx 对任意R x ∈及恒成立，则k 的取值范围 A. 10≤≤k B. 1<0≤k C. k<0 或 k>l D. 0≤k 或1≥k9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设直线A1B 与平面A1DCB1所成角为1θ，二面角 A1-DC-A 的大小为2θ，则1θ，2θ为A.030，045B. 045，030C.030，060D. 060，04510. 过曲线的左焦点F1且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得∠ACB =090,则双曲线离心率e 的最小值为A.213+ B.13+ C. 215+ D. 15+ 11.数列{n a }是各项均为正数的等比数列，数列{n b }是等差数列，且65a a =,则 A. 8473b b a a +≤+ B. 8473b b a a +≥+C. 8473b b a a +≠+D.8473b b a a +=+ 12.已知点P 为圆0: 122=+y x 上-个动点，O 为坐标原点，过P 点作圆0的切线与圆01:198222=--+y x y x 相交于两点A,B ，则PBPA的最大值为 A. 223+ B.5 C. 73+ D.33314+ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若2cos sin ,2=+=B B a , 则角A的大小为.14.己知正四棱锥的底面边长为4cm,高为5cm,则该四棱锥的面积是 cm 2.15. 已知△OAB 内接于抛物线x y 42=，其中0为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则△OAB 的外接圆方程为 .16. 设数列{n a }满足)4(,9,4,1321321≥++====---n a a a a a a a n n n n ，=2019a . 三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2018-2019学年江苏省高一上学期期中考试数学试题(解析版)12
高一上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5,A B ==全集{}0,1,2,3,4,5,U =则()U C A B ⋂=__________．2．函数()f x x=的定义域是__________．3．已知幂函数()f x x α=的图像经过点)，则()2f =_________．4．已知 3.5 2.5 3.52,2,3a b c ===，请将,,a b c 按从小到大的顺序排列________． 5．已知()1,x f x e -=则()1f -=__________． 6．已知扇形的中心角为3π，所在圆的半径为10cm ，则扇形的弧长等于__________ cm .7．函数()log 12(01)a y x a a =++>≠且恒过定点A ，则A 的坐标为_____． 8．已知函数()22,2{ 21,2x ax x f x x x +≥=+<，若()()10f f >，则实数a 的取值范围是______.9．设函数()24x f x x =+-的零点为0x ，若()0,1x k k ∈+则整数k = ___________.10．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x >时， ()2,x f x x =+则当()0x f x <=时，__________．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上单调递增，若实数a 满足()()212log log 21,f a f a f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭则实数a 的取值范围是____________.12．设函数，若f （x ）的值域为R ，是实数的取值范围是 ．13．已知函数，若的最大值是，则实数的取值范围是___________.14．已知m R ∈,函数()()221,1{log 1,1x x f x x x +<=->， ()2221g x x x m =-+-，若函数()y f g x m ⎡⎤=-⎣⎦有6个零点，则实数m 的取值范围是__________. 二、解答题15．求值：（Ⅰ） ()122301329.6348-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）1lg25lg22+-16．设集合221{|24},{|230},(0)32x A x B x x mx m m -=≤≤==-≤> ()12,;m A B =⋂若求()2A B ⊇若，求实数m 的取值范围17．某厂生产某种产品的月固定成本为10(万元)，每生产x 件，需另投入成本为()C x （万元）．当月产量不足30件时， ()216C x x x =+（万元）；当月产量不低于30件时， ()80055020C x x x =+--（万元）．因设备问题，该厂月生产量不超过50件．现已知此商品每件售价为5万元，且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完．（1）写出月利润L （万元）关于月产量x （件）的函数解析式； （2）当月产量为多少件时，该厂所获月利润最大？18．已知函数()ln 1a xf x x-=+是奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并给出证明． 19．已知函数()()221,242,f x xg x x ax a =-=-+-函数()()(){}m i n ,,F x f x g x =其中{},min ,{ .,p p q p q q p q≤=>(1)若函数()g x 在[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)已知3,a ≥① 求()F x 的最小值();m a ②求()F x 在区间[]0,6上的最大值().M a20．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.(1)已知二次函数()()224f x ax x a x R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若()2x f x m =+是定义在区间[]1,1-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；(3)若()12423x x f x m m +=-⋅+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；高一上学期期中考试数学试题【解析】一、填空题1．已知集合{}{}0,1,2,3,2,3,4,5,A B ==全集{}0,1,2,3,4,5,U =则()U C A B ⋂=__________．【答案】{}4,5【解析】由题意可得： {}4,5U C A =， 则： (){}4,5U C A B ⋂=.2．函数()f x =的定义域是__________． 【答案】{|10}.x x x ≤≠且【解析】函数有意义，则： 10{ 0x x -≥≠，求解关于实数x 的不等式组可得函数的定义域为{|10}.x x x ≤≠且点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．3．已知幂函数()f x x α=的图像经过点)，则()2f =_________．【答案】4【解析】幂函数()f x x α=的图像经过点)，2α∴=，解得2α=则()2224f ==4．已知 3.5 2.5 3.52,2,3a b c ===，请将,,a b c 按从小到大的顺序排列________． 【答案】b a c <<【解析】由指数函数2x y =知， 2.5 3.5< 所以 2.5 3.522<，即b a <又 3.5 3.53?2c a =>=故b a c <<5．已知()1,x f x e -=则()1f -=__________． 【答案】1【解析】整理函数的解析式： ()()111x f x e -+-=， 则： ()1x f x e +=，故： ()11011f e e -+-===. 6．已知扇形的中心角为3π，所在圆的半径为10cm ，则扇形的弧长等于__________ cm . 【答案】103π 【解析】扇形圆心角的度数16036036π=︒=⨯︒ 则弧长为圆周的11063π= 故扇形的弧长等于103cm π 7．函数()log 12(01)a y x a a =++>≠且恒过定点A ，则A 的坐标为_____． 【答案】(0，2)【解析】log 1002a x y =∴==时 ,即A 的坐标为(0，2) 8．已知函数()22,2{ 21,2x ax x f x x x +≥=+<，若()()10f f >，则实数a 的取值范围是______.【答案】【解析】()()()13960f f f a ==+>解得32a >-故实数a 的取值范围是32a >-9．设函数()24x f x x =+-的零点为0x ，若()0,1x k k ∈+则整数k = ___________. 【答案】1【解析】()240x f x x =+-=24x x =-+当0x =时， 0214=< 当1x =时， 122143=<-+= 当2x =时， 224242=>-+= 则()012x ∈， 故1k =10．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x >时， ()2,x f x x =+则当()0x f x <=时，__________． 【答案】2x x --【解析】设0x <，则0x ->，据此可得，当0x <时有： ()()2x f x f x x -=-=-.点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可求解函数的解析式．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间[)0,+∞上单调递增，若实数a 满足()()212log log 21,f a f a f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭则实数a 的取值范围是____________. 【答案】【解析】()122f log a f log a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()22f log a f log a ∴-=-则()()()()()2122222?21f log a f log a f log a f log a f log a f ⎛⎫-=+=≤ ⎪⎝⎭即()()21f log a f ≤在区间[)0,+∞上单调递增21log a ∴≤， 02a ∴<≤ 故实数a 的取值范围是](02 ，点睛：本题考查了函数性质的综合运用，抽象函数的奇偶性、单调性及不等式，运用奇函数性质进行化简，并判断其在定义域内的单调性，解答不等式问题12．设函数，若f（x）的值域为R，是实数的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：当时，的范围是；当时，的范围是，因为f（x）的值域为R，即，解得实数的取值范围是．【考点】1．分段函数的值域；13．已知函数，若的最大值是，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】试题分析：因为的最大值是，所以，因此当时，，由于，所以当时，；当时，，由于，所以当时，；当时，，由于，所以当时，；综上实数的取值范围是【考点】二次函数最值14．已知m R∈,函数()()221,1{log1,1x xf xx x+<=->，()2221g x x x m=-+-，若函数()y f g x m⎡⎤=-⎣⎦有6个零点，则实数m的取值范围是__________.【答案】35m<<【解析】函数()()2211{11x xf xlog x x+<=->，，，()2221g x x x m=-+-∴当()()21221g x x m =-+-<时，即()2132x m -<-时，则()()()2212143y f g x g x x m ⎡⎤==+=-+-⎣⎦ 当()()21221g x x m =-+->时，即()2132x m ->-时，则()()22 log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦ 当320m -≤即32m ≥时，y m =只与()()22log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去； 当32m <时， y m =与()()22log 123y f g x x m ⎡⎤⎡⎤==-+-⎣⎦⎣⎦的图象有两个交点需要直线y m =只与()()()2212143y f g x g x x m ⎡⎤==+=-+-⎣⎦的图象有四个交点时才满足题意，034m m ∴<<-又32m <，解得305m <<故实数m 的取值范围是305m <<点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，结合复合函数后难度较大，要先求出复合函数的解析式，然后根据交点个数情况进行分类讨论，理清函数图象的交点问题是本题的关键二、解答题15．求值：（Ⅰ） ()122301329.6348-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）1lg25lg22+-【答案】（Ⅰ）118；（Ⅱ） 32．【解析】试题分析： ()1利用指数幂的运算性质即可得出；()2利用对数的运算性质即可得出。
苏教版2018-2019学年高一(上)期中数学试卷(精品Word版,含答案解析) (3)
2018-2019学年高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集2，3，4，5，，集合，，则A. B. 3，5，C. 3，4，D. 2，3，4，5，【答案】A【解析】【分析】进行并集、补集的运算即可．【详解】P∪Q={1，3，4，5}；∴∁U（P∪Q）={2，6}．故选：A．【点睛】考查列举法表示集合的概念，并集、补集的运算,属于基础题.2.函数的定义域为A. RB.C.D.【答案】D【解析】【分析】要使得f（x）有意义，显然需满足，这样解该不等式组即可求出f（x）的定义域．【详解】要使f（x）有意义，则；解得2＜x＜4；∴f（x）的定义域为（2，4）．故选：D．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，对数的真数大于0，属于基础题.3.已知，，，则A. B. C. D.【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较b与c，再与常数0和1比较，得出结果.【详解】因为=log>1>0>且所以故选：C【点睛】本题考查的是利用对数函数的单调性比较b与c，再与常数0和1比较大小，这是常用的方法.4.已知幂函数在单调递增，则实数m的值为A. B. 3 C. 或3 D. 1或【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再判断m是否满足条件．【详解】幂函数y=在（0，+∞）单调递增，∴m2﹣2m﹣2=1，解得m=3或m=﹣1；又m2+m﹣1＞0，∴m=3时满足条件，则实数m的值为3．故选：B．【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．5.在空间四边形ABCD中，，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是A. 梯形B. 矩形C. 正方形D. 菱形【答案】D【解析】【分析】作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFGH，由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，∴HG=AC=BD=EH，∴四边形EFGH是菱形．故选：D．【点睛】本题考查了空间中直线与直线位置关系的应用问题，也考查了线线平行、中位线的性质应用问题，是基础题．6.已知函数在上为增函数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得答案．【详解】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．7.方程的解的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C方程的解的个数等于函数和图像交点的个数，如图所示，可知函数和图像有两个交点．8.函数的单调递增区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求对数函数的定义域，再求t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间，再利用二次函数得性质得出结论．【详解】由函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3），可得﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，故函数的定义域为{x|﹣1＜x＜3 }．函数f（x）=log2（﹣x2+2x+3）的单调递增区间，即t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间．而t=﹣x2+2x+3在定义域内的增区间为（﹣1，1），故选：C．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．9.有一长方体木块，其顶点为，，，，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点，则小虫爬行的最短距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分三种情况，将两个平面展成一个平面后，对角线长最短，比较谁更小，即可．【详解】分三种情况：①当小虫沿表面经过棱BB1时，将平面A1ABB1和平面B1BCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短．此时最短距离为；爬，最短距离为：3；③当小虫沿着表面经过棱BC时，将平面ABCD和平面1BBCC1展成一个平面，则小虫沿对角线AC1爬，最短距离为：2，比较的大小可知，3最小．故选：B．【点睛】本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离，把两个平面展开成一个平面．属中档题．10.已知函数是偶函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由偶函数的性质可得不等式即：，结合在上是增函数脱去符号可得：，求解对数不等式可得：，表示为区间形式即.本题选择C选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．11.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件判断函数的奇偶性，结合图象对称关系进行排除，然后利用特殊值的符号是否对应进行判断即可．【详解】f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xlnx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=ln||=ln＜0，排除C，【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值的符号的对应性是否一致进行排除是解决本题的关键．12.已知是定义在上的奇函数，且，当a，，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用函数的奇偶性将已知不等式化为：a，b∈[﹣1，1]时，且a≠﹣b时，成立，根据增函数定义得函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，从而求得最大值为f（1）=1，然后将已知不等式先对x恒成立，再对a恒成立，就可以求出m的范围．【详解】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当a，b∈[﹣1，1]，且a≠﹣b时，有>0 成立，∴f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，∴f（x）max=f（1）=1，∴f（x）＜m2﹣2am+1对任意的x∈[﹣1，1]恒成立⇔f（x）max＜m2﹣2am+1，∴1＜m2﹣2am+1，即2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=2am﹣m2，则2am﹣m2＜0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立转化为：解得：m＜﹣2 或m＞2．故选：B．【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单点调性、含三个变量的不等式对2个变量恒成立求第三个变量取值范围的问题．解决办法是按顺序先对一个字母恒成立，转化为最值，再对另一个字母恒成立，转化为最值即可．属难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的图象恒过定点P，则点P坐标为______．【答案】【解析】【分析】【详解】函数y=log a（2x﹣1）+2，令2x﹣1=1，求得x=1，y=2，可得函数y=log a（2x﹣1）+2的图象恒过定点P（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．14.已知函数，则的值是__________．【答案】5【解析】由题意，得，，则.15.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则______【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数为奇函数可得f（0）=0可求c，根据所求函数解析式可先求f（2），再根据f（﹣2）=﹣f （2）即可求解．【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）=2x﹣c，∴f（0）=1﹣c=0，∴c=1，又由当x≥0时，f（x）=2x﹣1，∴f（2）=3，又由函数为奇函数，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，关键是充分利用奇函数的性质．16.定义区间，，，的长度均为，其中已知函数的定义域为，值域为，则区间长度的最大值与最小值的差______．【答案】1【解析】【分析】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=，x=﹣1或，求出区间[a，b]长度的最大值与最小值，即可得出结论．【详解】函数的图象，如图所示，y=|2x﹣1|=，x=﹣1或，故[a，b]的长度的最大值为﹣（﹣1）=+1，最小值为﹣0=，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1，故答案为:1．【点睛】考查学生理解掌握指数函数定义域和值域的能力，运用指数函数图象增减性解决数学问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算下列各式的值：；已知，求和的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1）利用对数的性质、运算法则直接求解．（2）利用指数的性质、运算法则直接求解．【详解】解：．，，，．【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.已知函数，，且．1判断并证明函数的奇偶性；2求满足的实数x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，先求出函数的定义域，进而结合函数的解析式可得f（﹣x）=﹣f（x），即可得结论；（Ⅱ）根据题意，f（x）＞0即log a（2+x）＞log a（2﹣x），分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论可得x的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：1根据题意，，则有，解可得，则函数的定义域为，又由，则是奇函数；2由得当时，，解得；当时，，解得；当时x的取值范围是；当时x的取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意判断奇偶性要先求出函数的定义域，属于中档题．19.如图，圆柱的底面半径为，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．(Ⅰ) 计算圆柱的表面积；(Ⅱ）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】【分析】(1)根据圆柱侧面积加两个底面积得圆柱表面积，(2)根据圆锥、球、圆柱的体积公式计算，再求比值.【详解】(Ⅰ)已知圆柱的底面半径为，则圆柱和圆锥的高为，圆锥和球的底面半径为，则圆柱的表面积为；(Ⅱ）由(Ⅰ)知，，【点睛】本题考查圆柱侧面积以及圆锥、球、圆柱的体积公式，考查基本求解能力.20.如图所示，在正方体中，S，E，G分别是，BC，SC的中点．求证：直线平面．求直线EG与所成角的正切值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接SB，则EG∥SB，由此能证明直线EG∥平面BDD1B1．（2）取BD的中点O，连接SO，则SO∥DD1，EG∥SB，从而∠BSO为直线EG与DD1所成角，由此能求出直线EG与DD1所成角的正切值．【详解】证明：如图，连接SB，、G分别是BC、SC的中点，∴，又平面，EG 平面，直线EG ∥平面解：取BD的中点O，连接SO ，则，由知，则为直线EG 与所成角，设，则，，，，直线EG 与所成角的正切值为【点睛】本题考查线面平行的证明和线面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足其中t 为关税的税率，且，x为市场价格，b、k 为正常数当时的市场供应量曲线如图所示．1根据图象求b、k的值当关税的税率时，求市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为多少？【答案】（1），；（2）市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求出k，b的值，（2）根据指数函数的图象和性质可得≥10，解得即可【详解】解：由图可知，解得，解得，，由可得，设，当时，，市场供应量P不低于1024时，，解得，，解得故市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024．【点睛】本题考查了指数函数在实际生活中的应用和分析问题，解决问题的能力，属于中档题．22.已知二次函数满足，且的最小值是．求的解析式；若关于x 的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）(2) （3）【解析】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有1不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.（3）由题意知.假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.当时，在上为增函数，，所以；当时，，.即，解得，所以.当时，即解得.所以.当时，，即，所以，综上所述，，所以当时，使得对任意都有成立.点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；（2）不等式对任意的恒成立可以等价转化为恒成立.1。
江苏省天一中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题
江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷（强化班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2} 2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b∈R，则C．若a＞b＞0且c＞0，则D．若a＜b，则ac2＜bc24．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥65．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）A．B．C．D．6．函数的递减区间是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列叙述中正确的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“a＞1”是“”的充分不必要条件10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）A．0B．1C．D．﹣111．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）A．B．的最大值为C．a+2b的最大值为2D．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）A．函数f（x）的值域为[0，+∞）B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减D．f（2021）＝54三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为．16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？21．已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．江苏省无锡市锡山区天一中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷（强化班）【参考答案】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝R，A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1}B．{x|x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【分析】利用不等式的解法化简集合A，求出∁R B，可得图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A【解答】解：A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜1}，∁R B＝{x|x≥1}则图中阴影部分表示的集合为（∁R B）∩A＝{x|1≤x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2．下列各式中，表示y是x的函数的有（）①y＝x﹣（x﹣3）；②；③；④．A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据函数的定义即可判断．【解答】解：根据函数的定义，当自变量x在它的允许取值范围内任意取一个值，y都有唯一确定的值与之对应，故①④表示y是x的函数，在②中由，知x∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y是x的函数，在③中，当x＝0时，y对应的两个值，故不表示y是x的函数，，故选：C．【点评】本题主要考查函数的定义及其构成要素，准确理解函数的概念，是解题的关键．3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题不正确的是（）A．若a＞b＞0，则B．若a，b∈R，则C．若a＞b＞0且c＞0，则D．若a＜b，则ac2＜bc2【分析】直接利用不等式的性质判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：由于a＞b＞0，所以，故A正确；对于B：根据基本不等式，，故B正确；对于C：若a＞b＞0且c＞0，则，故C正确；对于D：当c＝0时，不等式不成立．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4．命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥5B．a≥4C．a≤5D．a≥6【分析】首先求得实数a的取值范围，然后结合选项确定满足题意的条件即可．【解答】解：由于函数在区间[1，2]上单调递减，故函数在区间上的最大值为，从而，据此可得命题为真的一个充分不必要有条件为a≥6．故选：D．【点评】本题主要考查函数的单调性及其应用，恒成立问题的处理方法，充分不必要条件的判定等知识，属于基础题．5．函数f（x）＝﹣2x+的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数解析式易知x＜0时，f（x）＞0，且f（2）＜0，由此利用排除法得解．【解答】解：当x＜0时，，故排除选项BD；又，故排除选项A．故选：C．【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．6．函数的递减区间是（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞，﹣1）和（0，1）C．（0，1）D．（﹣∞，﹣1）和（0，+∞）【分析】分x≥0和x＜0两种情况，利用复合函数单调性的判断法则求解即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝，由﹣x2+1≥0，解得﹣1≤x≤1，又t＝﹣x2+1的单调递减区间为（0，+∞），且y＝为单调递增函数，所以f（x）的单调递减区间为（0，1）；当x＜0时，f（x）＝，因为t＝（x+1）2的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），且y＝为单调递增函数，所以f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）．综上所述，f（x）的单调递减区间为（0，1）和（﹣∞，﹣1）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数单调性的判断，含有绝对值函数的应用，二次函数以及幂函数单调性的应用，属于中档题．7．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x2﹣3ax+4＜0}，若a＞0，且A∩B中恰好有两个整数解，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】依题意，可求得集合A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），B＝（，），要使A∩B中恰好有两个整数解，分析可知，只能是3和4，再列式求解即可．【解答】解：A＝（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），令f（x）＝x2﹣3ax+4，由题意，Δ＝9a2﹣16＞0，且a＞0，∴解得a＞，B＝（，），又0＜＝＜2，∴要使A∩B中恰好有两个整数解，则只能是3和4，令f（x）＝x2﹣3ax+4，则，解得＜a≤，∴a的取值范围是（，]．故选：C．【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，考查一元二次方程和一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．8．已知函数f（x）、g（x）是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，0）【分析】由已知结合函数的奇偶性可求g（x），由函数的单调性定义分析可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上单调递增，而h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，结合二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）+g（x）＝ax2﹣x+2，则f（﹣x）+g（﹣x）＝ax2+x+2，两式相加可得f（x）+f（﹣x）+g（x）+g（﹣x）＝2ax2+4，又由f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）是定义在R上的偶函数，所以2g（x）＝2ax2+4，即g（x）＝ax2+2，若对于任意1＜x1＜x2＜2，都有，变形可得＞0，令h（x）＝g（x）+4x，则h（x）＝g（x）+4x在（1，2）上单调递增，所以h（x）＝g（x）+4x＝ax2+4x+2，若a＝0，则h（x）＝4x+2在（1，2）上单调递增，满足题意；若a≠0，则h（x）＝ax2+4x+2是对称轴为x＝﹣的二次函数，若h（x）在（1，2）上单调递增，只需或，解得a＞0或﹣1≤a＜0，综上，a≥﹣1．即a的取值范围为[﹣1，+∞）．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数解析式的计算，关键是求出g（x）的解析式．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列叙述中正确的是（）A．a，b，c∈R，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac＞0B．“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充要条件C．“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“a＞1”是“”的充分不必要条件【分析】利用一元二次方程的根与判别式之间的关系可判断A的正误，利用充分条件、必要条件及充要条件的概念可判断BCD的正误．【解答】解：对于A，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则Δ＝b2﹣4ac＜0⇔ac＞b2≥0，故A正确；对于B，若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R，则a＝b＝0，c≥0或a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0，故“a＞0且Δ＝b2﹣4ac≤0”是“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是R”的充分不必要条件，故B错误；对于C，若方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根，则a＜0，故“a＜﹣1”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件，故C错误；对于D，若a＞1，则，反之，不可，则“a＞1”是“”的充分不必要条件，故D正确，故选：AD．【点评】本题考查充分条件、必要条件及充要条件的概念，考查一元二次不等式及其应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题．10．若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a可能的取值为（）A．0B．1C．D．﹣1【分析】根据新定义对a的值分类讨论，当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，然后讨论集合A，B的公共元素，进而可以求解．【解答】解：当a＝0或a＝﹣1时，集合B＝∅，此时满足B⊆A，则集合A，B构成“鲸吞”，当a＞0时，B＝{﹣}，此时集合A，B只能构成“蚕食”，所以当A，B集合有公共元素﹣＝﹣1时，解得a＝2，当A，B集合的公共元素为时，解得a＝，故选：ACD．【点评】本题考查了新定义的应用以及集合元素的性质，涉及到集合的包含关系的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．11．已知a，b＞0，a+b2＝1，则下列选项一定正确的是（）A．B．的最大值为C．a+2b的最大值为2D．【分析】利用基本不等式可判断A、B的正误；将a＝1﹣b2＞0，代入a+2b，利用配方法可判断C的正误；利用乘“1”法可判断D的正误．【解答】解：对于A，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴+b≤＝（当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），故A错误；对于B，1＝a+b2≥2b⇒b≤（当且仅当a＝b2＝，即a＝，b＝时取等号），即的最大值为，故B正确；对于C，∵a，b＞0，a+b2＝1，∴a＝1﹣b2＞0，∴0＜b＜1，∴a+2b＝1﹣b2+2b＝﹣（b﹣1）2+2＜2，故C错误；对于D，＝（）（a+b2）＝1+4++≥5+2＝9（当且仅当＝，即2a＝b2，即a＝，b＝时取等号），故D正确；故选：BD．【点评】本题考查基本不等式及其应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．12．已知定义在[1，+∞）上的函数，下列结论正确的为（）A．函数f（x）的值域为[0，+∞）B．当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4C．函数f（x）在x∈[10，16]上单调递减D．f（2021）＝54【分析】通过对函数f（x）的分析，可以得到函数f（x）的图象，进而求出函数f（x）的值域，以及BCD三个选项的正确与否．【解答】解：当1≤x≤2时，﹣≤x﹣≤，所以0≤|x﹣|，0≤2|x﹣|≤1，当2＜x≤4时，1＜≤2，故f（）∈[0，1]，2f（）＝[0，2]，以此类推，我们作出函数f（x）的图象，如图，可以总结出f（x）在[2m，3×2m﹣1）上单调递增，在（3x2m﹣1，2m﹣1]上单调递减，且在[2m，2m+1]上，当x＝3×2m﹣1处取得最大值，f（3×2m﹣1）＝2m，函数f（x）的值域为[0，+∞），A正确；当x∈[4，8]时，函数f（x）所有输出值中的最大值为4，B正确；函数f（x）在x∈[10，12]上单调递增，在x∈（12，16]单调递减，故C错误；因为2021∈（3×29，211]，所以l经过点（2048，0）与（1536，1024），设直线：y＝kx+b，从而得到，解得：y＝﹣2x+4096，所以当x＝2021时，y＝﹣2×2021+4096＝54，D正确．故选：ABD．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第14题第一空2分，第二空3分13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则当x＜0时，f（x）＝x ﹣．【分析】由奇函数的定义和已知区间上的解析式，转化可得所求解析式．【解答】解：函数f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），当x＞0时，，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣x+＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x﹣．故答案为：x﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．14．已知命题p：∃x0∈[]，2x02﹣λx0+1＜0，则命题p的否定为∀x∈[，2]，2x2﹣λx+1≥0；若命题p为真命题，则λ的取值范围为．【分析】命题的否定，存在改为任意．【解答】解：命题P的否定为∀x∈[]，2x2﹣λx+1≥0．因为命题P为真，分离参量得λ＞2x0+，其中，故答案为：．【点评】本题考查了存在量词和全称量词的转换，也考查了存在性问题含参不等式的求解，考查基本功，难度不大．15．已知函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【分析】根据函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，可得函数值正负的分布情况，等价于或，从而可得出答案．【解答】解：因为函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，则函数y＝f（x+1）关于y轴对称，又函数y＝f（x）是由函数y＝f（x+1）向右平移1个单位得到的，所以函数y＝f（x）关于x＝1对称，因为函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，且f（5）＝0，则函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，且f（﹣3）＝0，所以当1≤x＜5时，f（x）＞0，当x＞5时，f（x）＜0，当﹣3＜x＜1时，f（x）＞0，当x＜﹣3时，f（x）＜0，由，得或，所以或，解得x＞5或﹣3＜x＜﹣2，即不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣3，﹣2）∪（5，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查利用函数的性质解不等式，考查运算求解能力，属于中档题．16．已知非负实数a，b满足a+b＝2，则的最小值为6．【分析】根据，利用基本不等式即可得出答案，注意同时取等号．【解答】解：因为a+b＝2，所以＝＝．当且仅当，即a＝0，b＝2时取等号，所以的最小值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查基本不等式求最值的方法，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣5）＜0}，非空集合B＝{x|1﹣2a2≤x≤1+2a}，其中a∈R．（1）当a＝1时，求（∁R A）∩∁R B）；（2）若“x∈A”是“x∈B”的_____条件，求a的取值范围，（请在“①充分；②必要”两个条件中选一个条件填入横线后作答）【分析】（1）a＝1时，求出集合B，由此能求出（∁R A）∩∁R B）；（2）选①可得，由此能求出实数a的取值范围；选②可得，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，B＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x（x﹣5）＜0}＝{x|0＜x＜5}，∴∁R A＝{x|x≤0或x≥5}，∁R B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，∴（∁R A）∩∁R B）＝{x|x＜﹣1或x≥5}；（2）若选①充分，∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴，解得a≥2，故a的取值范围为{a|a≥2}；若选②必要，∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴，解得0≤a＜，故a的取值范围为{a|0≤a＜}．【点评】本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝2，f（x+2）﹣f（x）＝2x+4．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[m，m+1]，其中m∈R，求f（x）的最小值．【分析】（1）设f（x）的解析式，得到关于a，b的方程，解出即可求出f（x）的解析式；（2）通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，由f（0）＝2，则c＝2，又f（x+2）﹣f（x）＝2x+4，则a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）＝2x+4，则4ax+4a+2b＝2x+4，则，解得：，故f（x）＝x2+x+2；（2）由f（x）＝x2+x+2，对称轴是x＝﹣1，①m+1≤﹣1即m≤﹣2时，f（x）在[m，m+1]递减，f（x）min＝f（m+1）＝m2+2m+，②m＜﹣1＜m+1即﹣2＜m＜﹣1时，f（x）在[m，﹣1）递减，在（﹣1，m+1]递增，故f（x）min＝f（﹣1）＝；③m≥﹣1时，f（x）在[m，m+1]递增，f（x）min＝f（m）＝m2+m+2；综上：f（x）min＝．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查二次函数的性质，是中档题．19．已知定义域为R的函数f（x）＝x3+x+a是奇函数．（1）求a的值；（2）证明：函数f（x）在R上是增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义可求a的值；（2）根据函数单调性的定义可证明函数f（x）在R上是增函数；（3）根据函数的奇偶性和单调性可得关于x的不等式，根据判断式的符号可求实数的取值范围．【解答】（1）解：因为f（x）为奇函数，故f（﹣x）＝﹣f（x）即f（x）+f（﹣x）＝0，所以x3+x+a+（﹣x）3+（﹣x）+a＝0，可得a＝0．（2）证明：任意x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x13+x1+a﹣（x23+x2+a）＝x13﹣x23+x1﹣x2＝（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22+1）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）2+x22+1]，因为x1＜x2，故x1﹣x2＜0，而[（x1+x2）2+x22+1＞0，故f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在R上是增函数．（3）不等式f（kt2+kt）+f（kt﹣1）＜0等价于f（kt2+kt）＜﹣f（kt﹣1），因为f（x）为奇函数，故f（kt2+kt）＜f（﹣kt+1）对任意的t∈R恒成立，因为f（x）在R上是增函数，所以kt2+kt＜﹣kt+1对任意的t∈R恒成立，即kt2+2kt﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，若k＝0，则不等式﹣1＜0对任意的t∈R恒成立，故符合；若k≠0，则，解得﹣1＜k＜0，综上，﹣1＜k≤0，即实数k的取值范围（﹣1，0]．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．20．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图（如图）是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式．（2）计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？【分析】（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，代入S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2，化简即可得到结果．（2）利用基本不等式即可求出S的最小值．【解答】解：（1）设DQ＝y，则x2+4xy＝200，所以y＝，∴S＝4 200x2+210×4xy+80×4×y2＝38 000+4 000x2+，即S＝38 000+4 000x2+（0＜x＜10）．（2）S＝38 000+4 000x2+≥38 000+2＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时，S min＝118 000（元）．故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，是中档题．21．已知函数，其中a∈R．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）函数y＝f（x）能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；（3）f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，求得函数解析式，分别求得各段函数的值域，从而求得函数值域；（2）对a分类讨论，根据x∈（1，2]段函数单调性判断原函数单调性，从而求得参数范围；（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，分离参数化为恒成立，分别求得分段函数上的最大值，从而求得的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝，则x∈（0，1）时，f（x）∈[1，3]；当x∈（1，2]时，f（x）∈[，1），则f（x）的值域为[，3]，（2）若函数y＝f（x）在定义域上单调，当a＞0时，因在x∈（1，2]上函数单减，则y＝f（x）单调递减，则满足，解得a≥1，当a＝0时，函数无单调性，不符合题意，当a＜0时，因在x∈（1，2]上函数单增，则y＝f（x）单调递增，则满足，解得a≤﹣2，综上所述，若使函数y＝f（x）为定义域上的单调函数，实数a的范围为（﹣∞，2]∪[1，+∞），（3）由f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，即f（x）＝，化简得恒成立，当x∈[0，1]时，由＝＝3﹣x+﹣6，令t＝3﹣x∈[2，3]，h（t）＝t+﹣6，由对勾函数单调性知，函数h（t）在t＝2时，取最大值h（2）＝﹣，则a，当x∈（1，2]时，满足，即a≥﹣2，综上所述，f（x）≥﹣2在其定义域上恒成立，实数a的取值范围为[﹣．+∞）．【点评】本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．22．对于函数f（x）＝ax2+（1+b）x+b﹣1（a≠0），存在实数x0，使f（x0）＝mx0，成立，则称x0为f（x）关于参数m的不动点．（1）当a＝1，b＝﹣2时，求f（x）关于参数1的不动点；（2）当a＝1，b＝2时，函数f（x）在x∈（0，2]上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围；（3）对于任意的，总存在b∈[2，5]，使得函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，试求m的取值范围．【分析】（1）当a＝1，b＝−2时，结合已知可得f（x）＝x2−x−3＝x，解方程可求；（2）当a＝1，b＝﹣2时，转化为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，进行分离，结合二次函数的性质可求．（3）方程f（x）＝mx恒有两个不等实根，即Δ＞0，即对于任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，转化为，令，再分类讨论即可求解．【解答】解：（1）当a＝1，b＝−2时，f（x）＝x2−x−3，令f（x）＝x，可得x2−x−3＝x，即x2−2x−3＝0，解得x＝3 或x＝−1，当a＝1，b＝−2 时，关于参数1的不动点为﹣1和3；（2）由已知得为问题f（x）＝x2+3x+1＝mx在（0，2]上有两个不同实数解，即x2+（3−m）x+1＝0在x∈（0，2]上有两个不同解，令g（x）＝x2+（3−m）x+1，所以，解得，所以m的范围是（5，]．（3）由题意知，函数f（x）有关于参数m的两个相异的不动点，所以方程f（x）＝mx，即ax2+（b+1−m）x+b−1＝0（a≠0）恒有两个不等实根，则Δ＝（b+1−m）2−4a（b−1）＞0，即，对任意的，总存在b∈[2，5]使之成立，即，即，令，根据二次函数性质，令，则b−1＝|m−2|，解得：b＝|m−2|+1，①当|m−2|+1≤2，即1≤m≤3 时，函数h（b）在[2，5]单调递增，则，解得：m＜1或m＞5，综上：m≤−2或m≥6，②当2＜|m−2|+1＜5，即m≤−2 或m≥6时，函数h（b）在[2，5]单调递减，则解得：m＜1或m＞5，综上：m≤−2或m≥6③2＜|m−2|+1＜5，即m∈（−2，1）∪（3，6）时，函数h（b）在[2，5]先减后增，h（b）max＝max{h（5），h（2）}，令h（5）＞h（2），解得：m∈（−4，0），1°故m∈（−2，0）时，h（b）max＝h（5）＞4，结合①得：m∈[0，1）∪（5，6），2°故m∈[0，1）∪（3，6）时，h（b）max＝h（2）＞4，结合②得：m∈[0，1）∪（5，6），综上：m∈（−∞，2）∪（5，+∞）．【点评】本题考查函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于难题．21。
精品解析：江苏省天一中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）
2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试试卷必修2卷I一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线x＝3的倾斜角是( )A. 90°B. 60°C. 30°D. 不存在【答案】A【解析】直线垂直与x轴，所以倾斜角为90°，选A.2. 圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为( )A. (2，0）B. （0，2）C. (-2，0）D. （0，-2）【答案】C【解析】由圆标准方程得圆心为(-2，0），选C.3. 已知，则直线与直线的位置关系是（）A. 平行B. 相交或异面C. 异面D. 平行或异面【答案】D【解析】略4. 如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】正视图为矩形，侧视图为圆，俯视图为矩形，所以选A.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．5. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）学_科_网...A. 30°B. 45°C. 90°D. 60°【答案】D【解析】试题分析：连接，AC，，MN∥∥∴为异面直线AC和MN所成的角而三角形为等边三角形∴=60°考点：异面直线及其所成的角6. 直线2x-y＋4＝0同时过第（）象限A. 一，二，三B. 二，三，四C. 一，二，四D. 一，三，四【答案】A【解析】由图知，直线过第一，二，三象限，选A.7. 若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于( )A. 2B. 3C. 9D. －9【答案】D【解析】由题意得，选D.8. 以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A. 3x－y－8＝0B. 3x＋y＋4＝0C. 3x－y＋6＝0D. 3x＋y＋2＝0【答案】B【解析】试题分析：根据线段的中垂线过线段的中点，且与线段垂直，又，所以线段的中垂线的斜率为，且线段的中点为，根据点斜式可以得出其方程为，即，故选B．考点：线段的中垂线方程．9. 两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A. 1∶9B. 1∶27C. 1∶3D. 1∶1【答案】A【解析】两个球的表面积之比为两个球的半径平方之比，为1∶9，选A.10. 已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 无法判断学_科_网...【答案】B【解析】因为,所以点M在圆上，选B.11. 在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是( )A. B. C.D.【答案】C考点：函数方程及图像点评：在同一坐标系下判断两函数图象是否正确，需判断两图像均正确时的参数范围是否能同时成立12. 圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y+2）2=8，所以圆心坐标为（-1，-2），半径为2，所以圆心到直线x+y+1=0的距离d=，则圆上到直线x+y+1=0的距离为的点共有3个。
天一中学高一数学期末强化班
16. (本小题 14 分)
已知 tan α < 0.
√ 2 5 2 sin(α + π ) + cos(2π − α ) ，求 (1) 若 sin α = − 的值； π 3π 5 cos(α − ) − sin( + α) 2 2 1 (2) 若 sin2 α + sin α · cos α = − ，求 tan α 的值． 5
)
α α < 0 ，sin < 0 ，且 cos α < 0，则角 α 为 2 2 A. 第一象限的角 B. 第二象限的角 C. 第三象限的角
)
4. 已知 f (x) = ax5 + bx3 + sin x − 8，且 f (2) = 4 ，那么 f (−2) = A. −20 B. 10 C. −4
A. ①正确，②正确 B. ①错误，②错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 ( )
二. 填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 50 分．请把答案填写在答 .题 .卡 .相 .应 .位 . 置上． .
9. 计算：log4 32 + 4− 2 − (−3)0 =
1
．
x 而总成本为 C(x) = 100x + 1500( 10. 已知某产品的销售价格 p( 单位： 元 / 件 ) 是销量 x( 单位： 件 ) 的函数 p = 400 − ， 2 单位：元 )，假设生产的产品全部售出，那么产量为 件时，利润最大. √ 11. 若 f ( ex + 1) = ex ，则 f (x) 的值域为
)
6. 函数 f (x) = (m2 − m − 1)x4m+3 是幂函数，对任意 x1 ，x2 ∈ (0， + ∞)，且 x1 ̸= x2 ，满足
江苏省无锡市锡山区天一中学2016-2017学年高一上学期期中数学试卷(强化班) Word版含解析
2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期中数学试卷（强化班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集A={70，1946，1997，2003}，B={1，10，70，2016}，则A∩B=．2．函数y=的定义域为．3．若函数f（x）是幂函数，且满足=，则f（2）的值为．4．集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的最大值为．5．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时．x=．7．函数sgn（x）=，设a=+，b=2017，则的值为．8．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．9．设f（x）为定义在R上的奇函数，f（1）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=．10．已知函数f（x）=﹣x2+ax+b的值域为（﹣∞，0]，若关x的不等式的解集为（m﹣4，m+1），则实数c的值为．11．函数在[2，+∞）上是增函数，实数a的范围是（m，n]（m＜n），则m+n的值为．12．若函数f（x）=（4﹣x2）（ax2+bx+5）的图象关于直线对称，则f（x）的最大值是．13．已知函数，若函数g（x）=|f（x）|﹣a有四个不同零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的最小值为．14．函数在R上的最大值为．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（见答题纸）15．已知集合A={x|2≤x≤11}，B={x|4≤x≤20}，C={x|x≤a}．（1）求A∪B与（∁R A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．16．设二次函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）+f（x）=2x2﹣2x﹣3（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=a有两个实数根x1，x2，且满足：﹣1＜x1＜2＜x2，求实数a的取值范围．17．（1）（2）（3）已知a，b，c为正实数，a x=b y=c z，，求abc的值．18．已知定义域为R的函数．（1）用定义证明：f（x）为R上的奇函数；（2）用定义证明：f（x）在R上为减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．19．设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）求f（x）在R上的单调区间（无需使用定义严格证明，但必须有一定的推理过程）；（3）当a＞2时，求函数g（x）=f（x）+|x|在R上的零点个数．20．已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（上）期中数学试卷（强化班）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．1．已知全集A={70，1946，1997，2003}，B={1，10，70，2016}，则A∩B={70} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={70，1946，1997，2003}，B={1，10，70，2016}，∴A∩B={70}．故答案为：{70}2．函数y=的定义域为（﹣2，8] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数y=，∴1﹣lg（x+2）≥0，即lg（x+2）≤1，∴0＜x+2≤10，解得﹣2＜x≤8，∴函数y的定义域为（﹣2，8]．故答案为：（﹣2，8]．3．若函数f（x）是幂函数，且满足=，则f（2）的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设f（x）=xα，依题意可求得α，从而可求得f（2）的值．【解答】解：设f（x）=xα，依题意，=2﹣α=，∴α=1，∴f（x）=x，∴f（2）=2，故答案为：2．4．集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的最大值为2．【考点】并集及其运算．【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a 的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围，即可求出a的最大值．【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．则a的最大值为2，故答案为．2．5．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是24小时．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=e kx+b，解方程，可得k，b，再由x=33，代入即可得到结论．【解答】解：由题意可得，x=0时，y=192；x=22时，y=48．代入函数y=e kx+b，可得e b=192，e22k+b=48，即有e11k=，e b=192，则当x=33时，y=e33k+b=×192=24．故答案为：24．x=3．【考点】函数的值．【分析】由函数性质得：f（3）=1，g（f（3））=g（1）=3．由此能求出关于x的方程g（f（x））=x的解．【解答】解：∵两个函数f（x）和g（x）的定义域和值域都是集合{1，2，3}，∴由函数性质得：f（3）=1，g（f（3））=g（1）=3．∵关于x的方程g（f（x））=x，∴x=3．故答案为：3．7．函数sgn（x）=，设a=+，b=2017，则的值为2017．【考点】函数的值．【分析】求出a=，由此利用函数性质能求出的值．【解答】解：∵sgn（x）=，设，∴a=+=，∴==2017．故答案为：2017．8．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）9．设f（x）为定义在R上的奇函数，f（1）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=5．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数求出f（0），利用抽象函数求出f（2），转化求解f（5）即可．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；f（1）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），当x=1时，f（3）=f（1）+f（2）=1+f（2），当x=﹣1时，f（1）=f（﹣1）+f（2），可得f（2）=2．f（5）=f（3）+f（2）=1+2f（2）=1+4=5．故答案为：5．10．已知函数f（x）=﹣x2+ax+b的值域为（﹣∞，0]，若关x的不等式的解集为（m﹣4，m+1），则实数c的值为21．【考点】二次函数的性质．【分析】根据题意，△=a2+4b=0；m﹣4与m+1为方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的两根；函数y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的对称轴为x===；可求出a，m的值，再求c．【解答】解：由题意，函数f（x）=﹣x2+ax+b的值域为（﹣∞，0]，∴△=a2+4b=0 ①；由不等式化简：x2﹣ax﹣b﹣﹣1＜0m﹣4与m+1为方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的两根；m﹣4+m+1=a ②；（m﹣4）（m+1）=﹣b﹣﹣1 ③；函数y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的对称轴为x===；所以a=5；由①②知：m=4，b=﹣；由③知：c=21故答案为：2111．函数在[2，+∞）上是增函数，实数a的范围是（m，n]（m＜n），则m+n的值为0．【考点】复合函数的单调性．【分析】由题意可得，，求得a的范围，结合条件求得m，n的值，可得m+n 的值．【解答】解：∵函数在[2，+∞）上是增函数，∴，求得﹣4＜a≤4，再结合实数a的范围是（m，n]（m＜n），可得m=﹣4，n=4，则m+n=0，故答案为：0．12．若函数f（x）=（4﹣x2）（ax2+bx+5）的图象关于直线对称，则f（x）的最大值是36．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由点（2，0），（﹣2，0）在函数f（x）的图象上，得点（﹣1，0），（﹣5，0）必在f （x）图象上，从而得a=1，b=6．f（x）=（4﹣x2）（x2+6x+5）=﹣（x2+3x+2）（x2+3x﹣10），令，能求出f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（4﹣x2）（ax2+bx+5）的图象关于直线对称，点（2，0），（﹣2，0）在函数f（x）的图象上，∴点（﹣1，0），（﹣5，0）必在f（x）图象上，则，解得a=1，b=6．∴f（x）=（4﹣x2）（x2+6x+5）=﹣（x+2）（x﹣2）（x+1）（x+5）=﹣（x2+3x+2）（x2+3x﹣10），令，则f（x）=﹣t（t﹣12）=﹣t2+12t=﹣（t﹣6）2+36，当t=6时，函数f（x）的最大值为36．故f（x）的最大值是36．13．已知函数，若函数g（x）=|f（x）|﹣a有四个不同零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的最小值为2016．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】画出函数y=|f（x）|的图象，由题意得出a的取值范围和x1x2，x3+x4的值，再利用二次函数配方法即可求出最小值．【解答】解：由题意，画出函数y=|f（x）|的图象，如图所示，又函数g（x）=a﹣|f（x）|有四个零点x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，所以0＜a≤2，且log2（﹣x1）=﹣log2（﹣x2）=2﹣x3=x4﹣2，所以x1x2=1，x3+x4=4，则=a2﹣2a+2017=（a﹣1）2+2016，当a=1时，取得最小值2016．故答案为：2016．14．函数在R上的最大值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】当x≠0时，═令，t∈R，原函数化为g（t）=，可得原函数的最大值．．【解答】解：1）当x=0时，f（x）=0；2）当x≠0时，═，令，t∈R，原函数化为g（t）=，又因为t+或为t+，原函数的最大值为1．故答案：1．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（见答题纸）15．已知集合A={x|2≤x≤11}，B={x|4≤x≤20}，C={x|x≤a}．（1）求A∪B与（∁R A）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）根据并集与补集、交集的定义进行计算即可；（2）化简交集和空集的定义，即可得出结论．【解答】解：（1）集合A={x|2≤x≤11}，B={x|4≤x≤20}，∴A∪B={x|2≤x≤20}=[2，20]；…3分∁R A={x|x＜2或x＞11}，∴（∁R A）∩B={x|11＜x≤20}=（11，20]；…7分（2）集合A={x|2≤x≤11}，C={x|x≤a}，当A∩C≠∅时，a≥2．…14分．16．设二次函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）+f（x）=2x2﹣2x﹣3（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=a有两个实数根x1，x2，且满足：﹣1＜x1＜2＜x2，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）设出二次函数，利用函数的解析式，化简表达式，通过比较系数，求出函数的解析式．（2）利用二次函数根与系数的关系，列出不等式，求解a的范围即可．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），则f（x+1）+f（x）=2ax2+（2a+2b）x+a+b+2c=2x2﹣2x﹣3…3分所以，解得：a=1，b=﹣2，c=﹣1，从而f（x）=x2﹣2x﹣1…7分（2）令g（x）=f（x）﹣a=x2﹣2x﹣1﹣a=0由于﹣1＜x1＜2＜x2，所以…10分解得﹣1＜a＜2…14分．17．（1）（2）（3）已知a，b，c为正实数，a x=b y=c z，，求abc的值．【考点】对数的运算性质．【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）（3）利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式=﹣1+=﹣1+2=2．（2）原式===﹣2．（3）∵a，b，c为正实数，a x=b y=c z=k＞0，k≠1．∴x=，y=，z=．∵，∴==0，∴abc=118．已知定义域为R的函数．（1）用定义证明：f（x）为R上的奇函数；（2）用定义证明：f（x）在R上为减函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）因为f（﹣x）===﹣=﹣f（x），利用奇函数的定义即可证明f（x）为R上的奇函数；（2）令x1＜x2，则＜，将f（x1）与f（x2）作差，利用函数单调性的定义可证明：f（x）在R上为减函数；（3）由（1）（2）可知奇函数f（x）在R上为减函数，故f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立⇔t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，即k＜（3t2﹣2t）min，利用二次函数的单调性质可求得（3t2﹣2t）min，从而可求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵，∴f（﹣x）===﹣=﹣f（x），∴f（x）为R上的奇函数；…5分（2）解：∵=﹣1+，令x1＜x2，则＜，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上为减函数；…11分（3）解：∵f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，f（x）为R上的奇函数，∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），又f（x）在R上为减函数，∴t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，∴k＜（3t2﹣2t）min，由二次函数的单调性质知，当t=时，y=（3t2﹣2t）min，取得最小值，即（3t2﹣2t）min，=3×（）2﹣2×=﹣．∴…16分．19．设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）求f（x）在R上的单调区间（无需使用定义严格证明，但必须有一定的推理过程）；（3）当a＞2时，求函数g（x）=f（x）+|x|在R上的零点个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）根据f（0）≤1列不等式，对a进行讨论解出a的范围；（2）根据二次函数的对称轴和开口方向判断单调区间；（3）写出g（x）的函数解析式，利用二次函数的性质判断g（x）的单调性，根据零点的存在性定理判断．【解答】解：（1）f（0）=a2+|a|﹣a2+a=|a|+a，因为f（0）≤1，所以|a|+a≤1，当a≤0时，0≤1，显然成立；当a＞0，则有2a≤1，所以．所以．综上所述，a的取值范围是．（2），对于y=x2﹣（2a﹣1）x，其对称轴为，开口向上，所以f（x）在（a，+∞）上单调递增；对于y=x2﹣（2a+1）x，其对称轴为，开口向上，所以f（x）在（﹣∞，a）上单调递减．综上所述，f（x）在（a，+∞）上单调递增，在（﹣∞，a）上单调递减．（3）g（x）=．∵y1=x2+（2﹣2a）x的对称轴为x=a﹣1，y2=x2﹣2ax+2a的对称轴为x=a，y3=x2﹣（2a+2）x+2a 的对称轴为x=a+1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．∵g（0）=2a＞0，g（a）=a2+（2﹣2a）a=2a﹣a2=﹣（a﹣1）2+1，∵a＞2，∴g（a）=﹣（a﹣1）2+1在（2，+∞）上单调递减，∴g（a）＜g（2）=0．∴f（x）在（0，a）和（a，+∞）上各有一个零点．综上所述，当a＞2时，g（x）=f（x）+|x|有两个零点．20．已知函数f（x）=x+﹣4，g（x）=kx+3．（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1，x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）将a=k=1代入函数，求出函数y=f（x）+g（x）的导数，从而求出函数的单调区间即可；（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；（3）不等式等价于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．【解答】解：（1）a=k=1时，y=f（x）+g（x）=2x+﹣1，y′=2﹣=，令y′＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令y′＜0，解得：﹣1＜x＜1且x≠0，故函数在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0），（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，）上递减，在（，+∞）上递增，又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，∴m≥a max，即m≥4；（3）∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．对于F（x）=，（i）当x∈[2，2+]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1，①当k=﹣1时，F（x）=﹣+1在[2，2+]上递增，所以k=﹣1符合；②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣+1在[2，2+]上递增，所以k＜﹣1符合；③当k＞﹣1时，只需≥2+，即≥（+）max=2+，所以﹣1＜k≤6﹣4，从而k≤6﹣4；（ii）当x∈（2+，4]时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7，①当k=1时，F（x）=﹣7在（2+，4]上递减，所以k=1不符合；②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+﹣7在（2+，4]上递减，所以k＞1不符合；③当k＜1时，只需≤2+，即≤（+）min=1+，所以k＜2﹣2，综上可知：k≤6﹣4．2016年12月27日。
江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(强化班)试题(解析版)
江苏省天一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学（强化班）试题（解析版）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，则图中阴影部分表示的集合为．故选：D．利用不等式的解法化简集合A，求出，可得图中阴影部分表示的集合为本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.下列函数中，表示同一函数的一组是A.B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：对于A，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数，与的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数或，与的定义域不同，不是同一函数．故选：B．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．3.已知，，且，则角为A. 第一象限的角B. 第二象限的角C. 第三象限的角D. 第四象限的角【答案】B【解析】解：由，，可得，，．又，角为第二象限的角．故选：B．由，，可得，，结合得答案．本题考查三角函数的象限符号，是基础题．4.已知，且，那么A. B. 10 C. D. 18【答案】A【解析】解：；；．故选：A．根据即可求出，而，从而求出的值．考查奇函数的定义及判断，已知函数求值的方法．5.设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】解：是R上的奇函数，且在内是增函数，在内也是增函数，又，，当时，；当时，；的解集是．故选：D．由对或进行讨论，把不等式转化为或的问题解决，根据是奇函数，且在内是增函数，又，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．6.函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值A. 恒大于0B. 恒小于0C. 等于0D. 无法判断【答案】A【解析】解：函数是幂函数，对任意，，且，满足，解得，，，，且，．．故选：A．由幂函数的性质推导出，由此根据a，，且，得到．本题考查函数值和的符号的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.函数的零点个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】解：由得，在同一坐标系中分别作出函数与的图象，如图：由图象可知两个函数的交点个数为2个，故函数的零点个数为2个，故选：C．由得，然后分别作出函数与的图象，利用数形结合即可得到结论本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键8.设、、是定义域为R的三个函数，对于以下两个结论：若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；若、、均是奇函数，则、、均是奇函数，下列判断正确的是A. 正确，正确B. 错误，错误C. 正确，错误D. 错误，正确【答案】D【解析】解：错误，可举反例：，，，均不是增函数；但、、均为增函数；故错误；，，均是奇函数；为奇函数；为奇函数；同理，，均是奇函数；故正确．故选：D．可判断错误，可举出反例：，，，均不是增函数，但是、、均为增函数，从而得出错误；而可判断正确，根据、、均是奇函数可得出为奇函数，从而为奇函数，而同理可判断出，均是奇函数，从而得出正确．考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义，知道和均是奇函数时，也是奇函数．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.计算：______．【答案】2【解析】解：．故答案为：2．直接利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质化简求值．本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．10.已知某产品的销售价格单位：元件是销量单位：件的函数，而总成本为单位：元，假设生产的产品全部售出，那么产量为______件时，利润最大．【答案】300【解析】解：由题意可得，设利润为，则，当时，利润最大，故答案为：300．根据题意可得，利用二次函数的性质即可求出．本题考查了二次函数的性质的应用，属于基础题．11.若，则的值域为______．【答案】【解析】解：；，；；，；的值域为．故答案为：．可变形，从而得出，，根据求出的范围，即得出的值域．考查函数解析式的定义及求法，函数值域的定义及求法，换元法求函数的解析式，以及不等式的性质．12.当时，，则在内的单调增区间为______．【答案】【解析】解：令，则，当时，，且．或．二次函数在上为减函数，在上为增函数，而对数式在上为减函数，在内的单调增区间为．故答案为：．由已知函数解析式求出时的函数解析式，由真数大于0得到x的范围，再由复合函数的单调性求解．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．13.不等式存在正整数解，则a的取值范围为______．【答案】【解析】解：由题意知，，由，可得，构造函数，其中，则，由双勾函数的单调性可知，函数在或处取得最小值，因为，，所以，函数的最小值为，所以，，故答案为：．利用参变量分离法得到，其中，构造函数，将问题转化为，从而求出a的取值范围．本题考查一元二次不等式，利用参变量分离法，将问题转化，是解本题的关键，属于中等题．14.设，，，，一般地，，其中，则使方程有2018个根的n的值为______．【答案】2014【解析】解：，可令，，时，，即，解得舍去或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有5个根；时，，即，解得舍去或或或或，由，即，即，即，，，有三个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；由，即，即，即，有一个根；即时，原方程共有6个根；时，可将中的t换为，t的值增加一个，可得原方程共有7个根；，可得使方程有2018个根的n的值为2014．故答案为：2014．运用归纳法，计算，2，3，原方程的个数，即可得到所求值．本题考查方程的根的个数问题解法，注意运用绝对值的方程解法和换元法，以及指数函数的值域，考查化简变形能力、运算能力和归纳推理能力，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知集合，，．求与；若，求a的取值范围．【答案】解：，，或，，或；，或；，或，；；，或；，或；的取值范围为，或．【解析】进行并集、交集和补集的运算即可；先得出，或，，根据即可得出，或，解出a的范围即可．考查描述法表示集合的定义，绝对值不等式的解法，交集、并集和补集的运算，以及子集的概念．16.已知，若，求的值；若，求的值．【答案】解：，，为第四象限角，，，．，，，或．【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．利用同角三角函数的基本关系求得，由此求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．17.已知定义域为R的函数是奇函数．求a的值；证明：函数在R上是增函数；若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围．【答案】解：由题意，可得，可得，那么可得经验证成立，故，由可得证明：任意取，，且，则，；那么则即，可得；故得函数在R上是增函数；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立；当时，成立当时，则解得．综上可得实数k的取值范围是：．【解析】由定义域为R的函数是奇函数可得，可得a的值；根据定义证明即可；根据奇函数和增函数函数可得，对任意t恒成立，对k讨论可得实数k的取值范围．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想，奇偶性单调性的应用，二次不等式的恒成立．18.已知二次函数的图象的对称轴为，且函数的零点为和3．求的解析式；若，求函数的所有零点之和；试求在上的最小值其中【答案】解：根据题意，函数的零点为和3，则设；则，又由二次函数的图象的对称轴为，则有，解可得，则；根据题意，，而方程显然有两个不同于1的实根，其两根之和为，另外1个根为1，则方程有3个根，其和为2，则函数的所有零点之和，根据题意，，开口向下，其对称轴为，当时，，当时，，综合可得：．【解析】根据题意，设，可得，由二次函数对称轴的方程可得，解可得a的值，代入函数的解析式，即可得答案；根据题意，，分析可得的零点之和，进而可得的零点，即可得答案；根据题意，，开口向下，其对称轴为，结合二次函数的性质讨论a的取值范围，求出函数在的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数的最小值，关键是求出函数的最小值．19.已知函数，其中且．当时，求的值域；函数能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数a的范围；如果不能，则给出理由；在其定义域上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，对称轴为，可得y的最小值为，y的最大值为0；当时，；综上的值域为；当时，函数在递增，故二次函数在也要递增，，故只有符合要求；当时，函数在递减，故二次函数在也要递减，，故无解．综上，a的取值集合为；当时，恒成立，即有，即，由，令，，可得，当且仅当时，取得等号，可得；当时，当时，，，即有，求得，故；当时，求得均符合要求．综上可得a的范围为．【解析】由二次函数和指数函数的值域求法，可得的值域；讨论，，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性，即可得到所求范围；讨论x的范围和a的范围，结合参数分离和对勾函数的单调性、指数函数的单调性，计算可得所求范围．本题考查分段函数的值域和单调性的判断和运用，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，以及不等式恒成立问题解法，属于中档题．20.若函数在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”．当定义域为，试判断是否为“局部奇函数”；若为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；已知，对于任意的，函数都是定义域为上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．【答案】解：因为，所以，由得，令，而存在一根，即存在，使得，所以为“局部奇函数”．由题意知，在R上有解，即在R上有解，所以在R上有解，令，所以在上有解，令，当时，即，解得，此时在上必有零点，所以；当时，在上有零点必须满足对称轴综上：．由题意知，，在上都有解，即，在上都有解，即，在上都有解，令，令，由题意知在上的值域包含，因为，又因为，，所以，所以，所以在上单调递增，所以综上：．【解析】若为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；根据为定义域R上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；根据为定义域上的“局部奇函数，得到，恒成立，建立条件关系即可求实数a的取值范围；本题主要考查与函数奇偶性有关的新定义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于难题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
3.
已知
������������������2 < 0
������
，
������������������2 < 0
������
，且������������������������ < 0，则角������为( )
A. 第一象限的角
【答案】B 【解析】解：由 ������������������2 < 0
A. {������|������ ≥ 1}
【答案】D
B. {������|������ ≤ 1}
C. {������|0 < ������ ≤ 1}
D. {������|1 ≤ ������ < 2}
【解析】解：������ = {������|0 < ������ < 2}，������ = {������|������ < 1}，∁������������ = {������|������ ≥ 1} 则图中阴影部分表示的集合为(∁������������) ∩ ������ = {������|1 ≤ ������ < 2}． 故选：D． 利用不等式的解法化简集合 A，求出∁������������，可得图中阴影部分表示的集合为(∁������������) ∩ ������ 本题考查了集合与集合之间的关系、不等式的解法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2. 下列函数中，表示同一函数的一组是( )
������
B. 第二象限的角
C. 第三象限的角
D. 第四象限的角
，
������������������2 < 0
������
，可得
������ + 2������������ < 2 < 2������ + 2������������
������
3
，
∴ 2������ + 4������������ < ������ < 3������ + 4������������，������ ∈ ������． 又������������������������ < 0， ∴ 角������为第二象限的角． 故选：B． 由 ������������������2 < 0
∴ ������ ⋅ 25 + ������ ⋅ 23 + ������������������2 =‒ 12； ∴ ������(2) = ������ ⋅ 25 + ������ ⋅ 23 + ������������������2 ‒ 8 =‒ 12 ‒ 8 =‒ 20． 故选：A． 5 3 5 3 根据������( ‒ 2) = 4即可求出������ ⋅ 2 + ������ ⋅ 2 + ������������������2 =‒ 12，而������(2) = ������ ⋅ 2 + ������ ⋅ 2 + ������������������2 ‒ 8，从而求出������(2)的值． 考查奇函数的定义及判断，已知函数求值的方法． 5. 设函数������(������)是奇函数，且在(0, + ∞)内是增函数，又������( ‒ 3) = 0，则������ ⋅ ������(������) < 0的解集是( )
������
，
������������������2 < 0
������
，可得2������ + 4������������ < ������ < 3������ + 4������������，������ ∈ ������，结合������������������������ < 0得答案．
本题考查三角函数的象限符号，是基础题． 4.
������������(������ + 1) = 1 + ������
1
， ������ = 1 + ������
1
在同一坐标系中分别作出函数������ = ������������(������ + 1)与
的图ห้องสมุดไป่ตู้，如图：
由图象可知两个函数的交点个数为 2 个， 故函数的零点个数为 2 个， 故选：C．
11 由幂函数的性质推导出������(������) = ������ ，由此根据 a，������ ∈ ������，且������ + ������ > 0，������������ < 0.得 11 11 到������(������) + ������(������) = ������ + ������ > 0．
>0
{
2
∴ ������(������) = ������11， ∵ ������，������ ∈ ������，且������ + ������ > 0，������������ < 0． ∴ ������(������) + ������(������) = ������11 + ������11 > 0． 故选：A．
对应关系也相同，是同一函数； 对于 C，函数������(������) = ������ ‒ 1(������ ∈ ������)，与������(������) = ������ ‒ 1(������ ∈ ������)的定义域不同，不是同一函数； 对于 D，函数������(������) = ������������������(������ ‒ 1)(������ < 0或������ > 1)， 与������(������) = ������������������ + ������������(������ ‒ 1) = ������������������(������ ‒ 1)(������ > 1)的定义域不同，不是同一函数． 故选：B． 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
由������(������) = 0得 论
������������(������ + 1) = 1 + ������
1
������ = 1 + ������ ，然后分别作出函数������ = ������������(������ + 1)与 的图象，利用数形结合即可得到结
1
本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象的交点个数问题，利用 数形结合是解决本题的关键 8. 设������(������)、������(������)、ℎ(������)是定义域为 R 的三个函数，对于以下两个结论：①若������(������) + ������(������)、������(������) + ℎ(������)、 ������(������) + ℎ(������)均为增函数，则������(������)、������(������)、ℎ(������)中至少有一个增函数；②若������(������) + ������(������)、������(������) + ℎ(������)、 ������(������) + ℎ(������)均是奇函数，则������(������)、������(������)、ℎ(������)均是奇函数，下列判断正确的是( )
本题考查函数值和的符号的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 7. 函数������(������) = ������ ⋅ ������������(������ + 1) ‒ ������ ‒ 1的零点个数有( )
A. 0 个
【答案】C
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
【解析】解：由������(������) = 0得
【答案】B 【解析】解：对于 A，函数 与 ������(������) = { ‒ 1,(������ ≤ 0)
1,(������ > 0)
������(������) =
|������| ������
= { ‒ 1,������ < 0
1,������ > 0
，
的定义域不同，不是同一函数；
2 2 对于 B，函数������(������) = ������ + ������ ‒ 1(������ ∈ ������)，与������(������) = ������ + ������ ‒ 1(������ ∈ ������)的定义域相同，
【解析】解： ∵ ������(������)是 R 上的奇函数，且在(0, + ∞)内是增函数， ∴ 在( ‒ ∞,0)内������(������)也是增函数， 又 ∵ ������( ‒ 3) = 0， ∴ ������(3) = 0， ∴ 当������ ∈ ( ‒ ∞, ‒ 3) ∪ (0,3)时，������(������) < 0；当������ ∈ ( ‒ 3,0) ∪ (3, + ∞)时，������(������) > 0； ∴ ������ ⋅ ������(������) < 0的解集是( ‒ 3,0) ∪ (0,3)． 故选：D． 由������ ⋅ ������(������) < 0对������ > 0或������ < 0进行讨论，把不等式������ ⋅ ������(������) < 0转化为������(������) > 0或������(������) < 0的问题解决，根据 ������(������)是奇函数，且在(0, + ∞)内是增函数，又������( ‒ 3) = 0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．