通信原理第2章 确知信号
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n 1
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
n
C ( f nf
n
0
)
22
（1）定义法：
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
S ( t )e j 2ntf 0 dt
（2）利用单个周期内信号的傅里叶变换（记为S1(f) ）进行求解， 即
S1 ( f ) Cn T0
f nf 0
上式表明周期信号的傅里叶系数Cn等于单个周期内信号的傅里叶
15
试求图（1）所示周期性方波的频谱
Cn
V , s( t ) 0, s( t ) s( t T ),
/ 2 t / 2 / 2 t (T / 2) t
1 Cn T
/2
/2
Ve
j 2nf 0 t
1 dt T
对上式两边取傅里叶变换：
F [ S ( t )] F [ C ne
n
jnt 0
]
n
jnt 0 C F [ e ] n
利用
1 2 ( )
则： F [ S (t )] 2
n
C ( n )
n 0
或 F [ S ( t )]
能量信号——信号能量E有限，P→0。其特征是：信号的振
幅和持续时间均有限，非周期性，例如：单个矩形脉冲。
功率信号——信号功率P有限，E → ∞。其特征是：信号的持 续时间无限。例如：直流信号、周期信号和随机信号。 注意1：能量信号和功率信号的分类对随机信号也适用。 注意2：同一个信号可以分属不同的信号类型，例如：正弦信 号既是周期信号，又属于功率信号。
17
设一个能量信号S(t)，则它的傅里叶变换为：
S ( f ) S (t )e j 2ft dt
定义为能量信号的频谱密度。 S(f)的傅里叶反变换就是原信号S(t)
S ( t ) S ( f )e j 2ft df
简记为
S (t ) S ( f )
18
8
设S(t)是一个周期为T0的周期功率信号。若它满足狄利克 雷条件，则可展开成如下的指数型傅里叶级数：
j 2nt / T0 C e n
S (t )
n
其中，傅里叶级数的系数：
1 C n C ( nf 0 ) T0
为n次谐波频率。
T0 2 T 0 2
S ( t )e j 2ntf 0 dt
16
周期信号频谱的特点： 离散性：周期信号的频谱Cn是离散谱，由间隔为f0的谱线组成，其包络 取决于一个周期内波形的频谱形状。 谐波性：谱线只在基频f0的整数倍（n f0 ）处出现，称为n次谐波 收敛性：各次谐波的振幅尽管不一定随谐波次数n的增大作单调减小（可 能有起伏），但总的趋势是下降的。
如果傅里叶变换的变量是ω而不是f，则：
S ( ) S (t )e
jt
dt
1 S (t ) 2
S ( )e d
jt
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称 为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，
即“复数共轭”
第2章 确知信号
1
信号的分类及其特征； 信号的频域分析法及频谱的概念；
傅里叶级数的物理意义；
傅里叶变换及其基本性质；
δ(t)函数及其常用性质；
信号的能量谱密度和功率谱密度；
相关函数的定义和性质；
相关函数和谱密度之间的关系。
2
（1）确知信号和随机信号
确知信号：可以预知其变化规律的信号，它在定义域内的任 一时刻都有确定的函数值，因此可以用确定的时间函数、图 形或曲线来描述。 随机信号（不确定信号）：它在定义域内的任何时刻都没有 确定的函数值，因此不能用确定的时间函数来描述。
物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1 的脉冲，这种脉冲仅 有理论意义，物理不可实现。 频谱密度： (t ) 1 表示其各频率分量连续的均匀分布在整个频率轴上。
性质：
（1）偶函数 (t ) (t ) （2）筛选性质（抽样性质）
f (t ) (t t 0 )dt f (t 0 )
Ga ( f ) 1 e
2 2
j 2ft
dt
e
j 2f
e jf e jf
j 2f
sinf Sa(f ) f
20
定义：
(t ) 0, t 0 (t ) , t 0
且 (t )dt 1
（4）一个信号不可能既是能量信号又是功率信号。
7
信号的性质可以从时域和频域两个不同的角度来描述。
信号的频域性质，即频率特性，由其各个频率分量的分 布表示，可以用频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱 密度来描述，通过运用傅里叶级数和傅里叶变换来实现。 傅里叶级数适用于周期信号，傅里叶变换对周期信号和 非周期信号都适用。
式中，f0=1/T0称为信号的基频，基频的n倍（n为整数）nf0称
9
当n=0时，有
1 C0 T0
T0 2 T 0 2
S ( t )dt
它表示信号的时间平均值，即直流分量。 傅里叶级数系数Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位 值，因此，Cn也称为信号的频谱（单位为V）。
Cn是一个复数，可记为
意义：
n
S (nf
1
0
) ( f nf 0 )
描述了周期信号的傅里叶变换和相应的非周期信号的傅里
叶变换之间的关系——
周期信号的傅里叶变换是其第一周期内信号的傅里叶
变换经抽样后所得的结果。 其抽样频率间隔为周期信号的基频f0，其包络线形状和 |S1(f)|的形状相同，各冲激函数的强度为|Cn|= |S1(f)|/T0
C n C n e j n
其中，│ Cn │随频率（nf0）变化的特性称为信号的幅度谱，
θn随频率（nf0）变化的特性称为信号的相位谱。
10
若S(t)是一个实信号（物理可实现信号）
Cn1 T0Fra bibliotekT0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
1 dt T0
令
Cn
1 ( a n jbn ) 2
则
Cn
1 ( a n jbn ) 2
故可得到周期是信号S(t)的另一种展开形式——三角形式的傅
里叶级数
S (t ) C0 (an cos2ntf 0 bn sin2ntf 0 )
n 1
13
S ( t ) C 0 (an cos 2ntf 0 bn si n2ntf 0 )
开式中只含有直流项和余弦项，这时的Cn为实函数。 若信号S(t)是t的实奇函数，即S(t)=-S(-t)，则其傅里叶级数 展开式中只含有正弦项，这时的Cn为虚奇函数。
14
在信号分析中，傅里叶级数可以将一个周期信号表示为
S (t )
n
C e
n
j 2nt / T0
或S ( t ) C0 [an cos(2nt / T0 ) bn sin( 2nt / T0 )]
6
信号类型的区别与关系
（1）所有周期信号（除S(t) ≡0外）都是功率信号，但功率信
号不一定都是周期信号，
（2）非周期信号可以是能量信号（如δ(t) ，单个矩形脉冲）， 或功率信号（如阶跃信号），或二者皆不是（如 t u(t) ）
（3）能量信号是持续时间有限的非周期信号，而非周期信号 不一定就是能量信号。
s( t )e
j 2ft
dt s( t )e
j 2ft
dt ,
S ( f ) S ( f )
19
试求一个矩形脉冲的频谱密度。
1, ga (t ) 0,
j 2ft 2 2
/ 2 t / 2 其它
变换S1(f)在nf0频率点的采样值乘以1/T0。
注意：信号的傅立叶变换是频谱密度（单位：V/Hz）的概念，而 周期信号的傅里叶级数的系数是幅度值(单位：V)的概念，因此， 频谱密度S1(nf0)乘以频率间隔1/T0应等于傅里叶系数的幅度值。 23
周期信号的傅里叶变换可以表示为：
1 F S ( t ) T0
n 1
j 2nt / T0
结合欧拉公式
e jx co s x j s i n x e jx co s x j s i n x e jx e jx co s x 2 e jx e jx s i nx 2j
12
S (t ) C0 C ne
n 1
n 1 2 2 C0 [ a n bn cos(2ntf 0 n )] n 1
实信号S(t)的各次谐波的振幅为
率分量——单边谱
2 2 an bn ，但是仅有正频
2 2 an bn 而数学上频谱函数的各次谐波的振幅为 (双边谱) 2 若信号S(t)是t的实偶函数，即S(t)=S(-t)，则其傅里叶级数展
21
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
求一般周期信号的傅里叶变换（频谱密度）。 解：对于一个周期为T0的周期信号S(t),可以将其展开成傅里叶 级数的形式
S (t )
n
j 2nt / T0 C e n
n
jnt 0 C e n
n 1
j 2nt / T0
n
C
1
n
e j 2nt / T0
C0 C ne
n 1
j 2nt / T0
C n e j 2nt / T0
n 1 j 2nt / T0 Cn e n 1
C0 C ne
4
（3）能量信号和功率信号 归一化功率——连续电压或电流信号为S(t)，在单位电阻 （1Ω）上的瞬时功率为S2(t). 信号的总能量：
E S 2 ( t )dt
1 T 2 2 信号的平均功率： P lim S (t )dt T T T 2
5
（3）能量信号和功率信号
V j 2nf 0 t e j 2 nf 0 / 2
/2
V e j 2nf 0 / 2 e j 2nf 0 / 2 V V n si nnf 0 si nc T j 2nf 0 nf 0T T T
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
n
C ( f nf
n
0
)
22
（1）定义法：
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
S ( t )e j 2ntf 0 dt
（2）利用单个周期内信号的傅里叶变换（记为S1(f) ）进行求解， 即
S1 ( f ) Cn T0
f nf 0
上式表明周期信号的傅里叶系数Cn等于单个周期内信号的傅里叶
15
试求图（1）所示周期性方波的频谱
Cn
V , s( t ) 0, s( t ) s( t T ),
/ 2 t / 2 / 2 t (T / 2) t
1 Cn T
/2
/2
Ve
j 2nf 0 t
1 dt T
对上式两边取傅里叶变换：
F [ S ( t )] F [ C ne
n
jnt 0
]
n
jnt 0 C F [ e ] n
利用
1 2 ( )
则： F [ S (t )] 2
n
C ( n )
n 0
或 F [ S ( t )]
能量信号——信号能量E有限，P→0。其特征是：信号的振
幅和持续时间均有限，非周期性，例如：单个矩形脉冲。
功率信号——信号功率P有限，E → ∞。其特征是：信号的持 续时间无限。例如：直流信号、周期信号和随机信号。 注意1：能量信号和功率信号的分类对随机信号也适用。 注意2：同一个信号可以分属不同的信号类型，例如：正弦信 号既是周期信号，又属于功率信号。
17
设一个能量信号S(t)，则它的傅里叶变换为：
S ( f ) S (t )e j 2ft dt
定义为能量信号的频谱密度。 S(f)的傅里叶反变换就是原信号S(t)
S ( t ) S ( f )e j 2ft df
简记为
S (t ) S ( f )
18
8
设S(t)是一个周期为T0的周期功率信号。若它满足狄利克 雷条件，则可展开成如下的指数型傅里叶级数：
j 2nt / T0 C e n
S (t )
n
其中，傅里叶级数的系数：
1 C n C ( nf 0 ) T0
为n次谐波频率。
T0 2 T 0 2
S ( t )e j 2ntf 0 dt
16
周期信号频谱的特点： 离散性：周期信号的频谱Cn是离散谱，由间隔为f0的谱线组成，其包络 取决于一个周期内波形的频谱形状。 谐波性：谱线只在基频f0的整数倍（n f0 ）处出现，称为n次谐波 收敛性：各次谐波的振幅尽管不一定随谐波次数n的增大作单调减小（可 能有起伏），但总的趋势是下降的。
如果傅里叶变换的变量是ω而不是f，则：
S ( ) S (t )e
jt
dt
1 S (t ) 2
S ( )e d
jt
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简称 为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，
即“复数共轭”
第2章 确知信号
1
信号的分类及其特征； 信号的频域分析法及频谱的概念；
傅里叶级数的物理意义；
傅里叶变换及其基本性质；
δ(t)函数及其常用性质；
信号的能量谱密度和功率谱密度；
相关函数的定义和性质；
相关函数和谱密度之间的关系。
2
（1）确知信号和随机信号
确知信号：可以预知其变化规律的信号，它在定义域内的任 一时刻都有确定的函数值，因此可以用确定的时间函数、图 形或曲线来描述。 随机信号（不确定信号）：它在定义域内的任何时刻都没有 确定的函数值，因此不能用确定的时间函数来描述。
物理意义： 高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为1 的脉冲，这种脉冲仅 有理论意义，物理不可实现。 频谱密度： (t ) 1 表示其各频率分量连续的均匀分布在整个频率轴上。
性质：
（1）偶函数 (t ) (t ) （2）筛选性质（抽样性质）
f (t ) (t t 0 )dt f (t 0 )
Ga ( f ) 1 e
2 2
j 2ft
dt
e
j 2f
e jf e jf
j 2f
sinf Sa(f ) f
20
定义：
(t ) 0, t 0 (t ) , t 0
且 (t )dt 1
（4）一个信号不可能既是能量信号又是功率信号。
7
信号的性质可以从时域和频域两个不同的角度来描述。
信号的频域性质，即频率特性，由其各个频率分量的分 布表示，可以用频谱、频谱密度、能量谱密度、功率谱 密度来描述，通过运用傅里叶级数和傅里叶变换来实现。 傅里叶级数适用于周期信号，傅里叶变换对周期信号和 非周期信号都适用。
式中，f0=1/T0称为信号的基频，基频的n倍（n为整数）nf0称
9
当n=0时，有
1 C0 T0
T0 2 T 0 2
S ( t )dt
它表示信号的时间平均值，即直流分量。 傅里叶级数系数Cn反映了信号中各次谐波的幅度值和相位 值，因此，Cn也称为信号的频谱（单位为V）。
Cn是一个复数，可记为
意义：
n
S (nf
1
0
) ( f nf 0 )
描述了周期信号的傅里叶变换和相应的非周期信号的傅里
叶变换之间的关系——
周期信号的傅里叶变换是其第一周期内信号的傅里叶
变换经抽样后所得的结果。 其抽样频率间隔为周期信号的基频f0，其包络线形状和 |S1(f)|的形状相同，各冲激函数的强度为|Cn|= |S1(f)|/T0
C n C n e j n
其中，│ Cn │随频率（nf0）变化的特性称为信号的幅度谱，
θn随频率（nf0）变化的特性称为信号的相位谱。
10
若S(t)是一个实信号（物理可实现信号）
Cn1 T0Fra bibliotekT0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
1 dt T0
令
Cn
1 ( a n jbn ) 2
则
Cn
1 ( a n jbn ) 2
故可得到周期是信号S(t)的另一种展开形式——三角形式的傅
里叶级数
S (t ) C0 (an cos2ntf 0 bn sin2ntf 0 )
n 1
13
S ( t ) C 0 (an cos 2ntf 0 bn si n2ntf 0 )
开式中只含有直流项和余弦项，这时的Cn为实函数。 若信号S(t)是t的实奇函数，即S(t)=-S(-t)，则其傅里叶级数 展开式中只含有正弦项，这时的Cn为虚奇函数。
14
在信号分析中，傅里叶级数可以将一个周期信号表示为
S (t )
n
C e
n
j 2nt / T0
或S ( t ) C0 [an cos(2nt / T0 ) bn sin( 2nt / T0 )]
6
信号类型的区别与关系
（1）所有周期信号（除S(t) ≡0外）都是功率信号，但功率信
号不一定都是周期信号，
（2）非周期信号可以是能量信号（如δ(t) ，单个矩形脉冲）， 或功率信号（如阶跃信号），或二者皆不是（如 t u(t) ）
（3）能量信号是持续时间有限的非周期信号，而非周期信号 不一定就是能量信号。
s( t )e
j 2ft
dt s( t )e
j 2ft
dt ,
S ( f ) S ( f )
19
试求一个矩形脉冲的频谱密度。
1, ga (t ) 0,
j 2ft 2 2
/ 2 t / 2 其它
变换S1(f)在nf0频率点的采样值乘以1/T0。
注意：信号的傅立叶变换是频谱密度（单位：V/Hz）的概念，而 周期信号的傅里叶级数的系数是幅度值(单位：V)的概念，因此， 频谱密度S1(nf0)乘以频率间隔1/T0应等于傅里叶系数的幅度值。 23
周期信号的傅里叶变换可以表示为：
1 F S ( t ) T0
n 1
j 2nt / T0
结合欧拉公式
e jx co s x j s i n x e jx co s x j s i n x e jx e jx co s x 2 e jx e jx s i nx 2j
12
S (t ) C0 C ne
n 1
n 1 2 2 C0 [ a n bn cos(2ntf 0 n )] n 1
实信号S(t)的各次谐波的振幅为
率分量——单边谱
2 2 an bn ，但是仅有正频
2 2 an bn 而数学上频谱函数的各次谐波的振幅为 (双边谱) 2 若信号S(t)是t的实偶函数，即S(t)=S(-t)，则其傅里叶级数展
21
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
求一般周期信号的傅里叶变换（频谱密度）。 解：对于一个周期为T0的周期信号S(t),可以将其展开成傅里叶 级数的形式
S (t )
n
j 2nt / T0 C e n
n
jnt 0 C e n
n 1
j 2nt / T0
n
C
1
n
e j 2nt / T0
C0 C ne
n 1
j 2nt / T0
C n e j 2nt / T0
n 1 j 2nt / T0 Cn e n 1
C0 C ne
4
（3）能量信号和功率信号 归一化功率——连续电压或电流信号为S(t)，在单位电阻 （1Ω）上的瞬时功率为S2(t). 信号的总能量：
E S 2 ( t )dt
1 T 2 2 信号的平均功率： P lim S (t )dt T T T 2
5
（3）能量信号和功率信号
V j 2nf 0 t e j 2 nf 0 / 2
/2
V e j 2nf 0 / 2 e j 2nf 0 / 2 V V n si nnf 0 si nc T j 2nf 0 nf 0T T T