2019-2020学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试题(附解析)
2019-2020学年广东省联考联盟高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年广东省联考联盟高二（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“x R ∀∈，22x x ≠”的否定是( ) A ．x R ∀∈，22x x =B ．0x R ∃∉，202x x =C ．0x R ∃∈，202x x ≠ D ．0x R ∃∈，202x x =2．（5分）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．（5分）若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为( )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7，4．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A ．//m α，//n α，则//m nB ．m α⊂，//n α，则//m nC ．m α⊥，n α⊥，则//m nD ．//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n5．（5分）正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为( )A B ．12aC D ．13a6．（5分）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-7．（5分）曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等8．（5分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC xAB yBC zDD =-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则(x y z ++=) A ．23B ．56C ．1D ．769．（5分）直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是( )A ．12(,)33-B ．1(3-，1)2C ．1(2，1)3-D ．2(3-，1)310．（5分）如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P 在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为( ) A 3B 2C 5D ．212．（5分）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是( ) A ．（1）（3）B ．（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆2212516x y +=上的点P 到一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为 ．14．（5分）命题“2240x ax --->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 15．（5分）圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为 ． 16．（5分）已知圆22:1O x y +=，点(2,2)P ，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，记C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则四边形PACB 的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤.17．（10分）已知p ：式子2log ()(k a a -为常数）有意义，q ：方程221(13x y k k k+=+-为实数）表示双曲线．若q ⌝是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知直线1:23l x y -=与直线2:4350l x y --=． （1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）求经过直线1l 与2l 的交点，且与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程． 19．（12分）已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值． 20．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC PCD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，设E 、F 分别为PD 、AD 的中点． （Ⅰ）求证：CD AC ⊥； （Ⅱ）求证：//PB 平面CEF ；21．（12分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90︒的角）的余弦值．22．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y Γ+=的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为H ，试问：是否存在λ，使得()AF FB R λλ=∈u u u r u u u r，且22||||40HA HB +…成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省联考联盟高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“x R ∀∈，22x x ≠”的否定是( ) A ．x R ∀∈，22x x =B ．0x R ∃∉，202x x =C ．0x R ∃∈，202x x ≠ D ．0x R ∃∈，202x x = 【解答】解：命题是全称命题，则否定的特称命题，即0x R ∃∈，202x x =， 故选：D ．2．（5分）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的斜率为tan k θ===又[0θ∈︒，180)︒， 所以倾斜角120θ=︒． 故选：C ．3．（5分）若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为( )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7，【解答】解：根据抛物线28y x =，知4p =根据抛物线的定义可知点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离， 得7p x =，把x 代入抛物线方程解得y =± 故选：C ．4．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A ．//m α，//n α，则//m nB ．m α⊂，//n α，则//m nC ．m α⊥，n α⊥，则//m nD ．//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【解答】解：A ，m ，n 也可能相交或异面；B ，m ，n 也可能异面；C ，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D ，m ，n 也可能异面．故选：C ．5．（5分）正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为( )A B ．12aC D ．13a【解答】解：如图，建立空间直角坐标系， Q 正方体的棱长为a ，(2a E ∴，2a ，)a ，(2a F ，2a ，0)，(2a M ，a ，)2a ，(0N ，2a ，)2a ，(2a P ，0，)2a ，(Q a ，2a ，)2a． 这个几何体是正八面体，棱长||PQ ==．∴． 故选：A ．6．（5分）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【解答】解：由2(1)40m m +-=，解得1m =或2-． 经过验证可得：2m =-时重合，舍去． 故选：B ．7．（5分）曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【解答】解：曲线221169x y +=是解得在x 轴上的椭圆；它的焦距为：216927-=曲线221(916)169x y k k k+=<<--是焦点坐标在x 轴上的双曲线，它的焦距为：16(9)7k k -+-．所以曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的焦距相等．故选：C ．8．（5分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC xAB yBC zDD =-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则(x y z ++=) A ．23 B ．56 C ．1 D ．76【解答】解：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11123AC AB BC DD xAB yBC zDD =++=-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则1x =，21y -=，31z =，则1x =，12y =-，13z =．1151236x y z ∴++=-+=． 故选：B ．9．（5分）直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是( )A ．12(,)33-B ．1(3-，1)2C ．1(2，1)3-D ．2(3-，1)3【解答】解：将直线1y x =+代入椭圆2224x y +=中，得222(1)4x x ++=23420x x ∴+-= ∴弦的中点横坐标是142()233x =⨯-=-， 代入直线方程中，得13y =∴弦的中点是2(3-，1)3故选：D ．10．（5分）如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π【解答】解：根据题意，画图如下：则OA R =，O A r '==12hOO '==，故在Rt △OO A '中，2OA ===，2R ∴=，2244216S R πππ∴==⋅=球．故选：B ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P 在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为( )A BCD ．2【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点1F ，由P 关于原点的对称点为Q ， 则||||OP OQ =，∴四边形1PFQF 为平行四边形，则1||||PF FQ =，1||||PF QF =，由||3||PF FQ =，根据双曲线的定义1||||2PF PF a -=， 1||PF a ∴=，||OP b =，1||OF c =， 190OPF ∴∠=︒，在1QPF ∆中，||2PQ b =，1||3QF a =，1||PF a =， 222(2)(3)b a a ∴+=，整理得：222b a =，则双曲线的离心率c e a ==．故选：A ．12．（5分）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是()A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解答】解：正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆2212516x y+=上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．【解答】解：椭圆2212516x y+=的长轴长为10根据椭圆的定义，Q椭圆2212516x y+=上的点P到一个焦点的距离为3P∴到另一个焦点的距离为1037-=故答案为：714．（5分）命题“2240x ax --->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 22a -剟 ． 【解答】解：命题“2240x ax --->不成立”是真命题， 即：命题“2240x ax ---„成立为真命题”． 故：△24160a =-„， 解得：22a -剟． 故答案为：22a -剟．15．（5分）圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为． 【解答】解：依题意，圆锥的母线长为3，底面圆的周长为2323ππ⨯=， 设底面圆的半径为r ，则22r ππ=，即1r =，∴圆锥的高h ==∴2113V π=⨯⨯⨯．．16．（5分）已知圆22:1O x y +=，点P ，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，记C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则四边形PACB 的面积为．【解答】解：根据题意，连接PO ，如图，P ，则||2PO ==，C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则||||13PC PO =+=， 过点A 作AE OP ⊥，垂足为E ，Rt AOP ∆中，||1OA =，||2OP =，则||PA =则||||||||OA AP AE OP ⨯==，故1222ACP PACB S S AE PC ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭四边形，．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤.17．（10分）已知p ：式子2log ()(k a a -为常数）有意义，q ：方程221(13x y k k k+=+-为实数）表示双曲线．若q ⌝是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：p ：式子2log ()(k a a -为常数）有意义，k a >，q ：方程221(13x y k k k+=+-为实数）表示双曲线， 则(1)(3)0k k +-<，即(k ∈-∞，1)(3-⋃，)+∞， 若q ⌝是p 的充分不必要条件，[1k ∈-，3]是{|}a k a >的真子集， 故1a -…．18．（12分）已知直线1:23l x y -=与直线2:4350l x y --=． （1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）求经过直线1l 与2l 的交点，且与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程． 【解答】解：（1）联立23x y -=与直线2:4350l x y --=．解得2x =，1y =． ∴直线1l 与2l 的交点坐标(2,1)．（2）设与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程为30x y m ++=， 把(2,1)代入解得：7m =-．∴要求的直线方程为：370x y +-=．19．（12分）已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值． 【解答】解：（1）由22:420C x y x y m +--+=，得22(2)(1)5x y m -+-=-， 若方程C 表示圆，则50m ->，即5m <；（2）圆C 的半径为5m -，圆心(2,1)到直线240x y +-=的距离55d ==， 又45||MN =， ∴222525()()(5)m +=-，解得4m =． 20．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC PCD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，设E 、F 分别为PD 、AD 的中点． （Ⅰ）求证：CD AC ⊥； （Ⅱ）求证：//PB 平面CEF ；【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）PA ⊥Q 平面ABCD ，PA CD ∴⊥．90PCD ∠=︒Q ，PC CD ∴⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） PA PC P =Q I ，CD ∴⊥平面PAC ，AC ⊂Q 平面PAC ，CD AC ∴⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得90ACD ∠=︒．在直角三角形ACD 中，60CAD ∠=︒，CF AF =，60ACF ∴∠=︒，//CF AB ∴．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） CF ⊂/Q 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，//CF ∴平面PAB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） E Q 、F 分别是PD 、AD 中点，//EF PA ∴，又EF ⊂/Q 平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，//EF ∴平面PAB ． CF EF F =Q I ，∴平面//CEF 平面PAB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）PB ⊂Q 平面PAB ，//PB ∴平面CEF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）21．（12分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90︒的角）的余弦值．【解答】解：（1）以{AB u u u r ，AC u u u r，1}AA u u u r 为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -， 则由题意知(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0C ，2，0)， 1(0A ，0，4)，(1D ，1，0)，1(0C ，2，4)，∴1(2A B =u u u r ，0，4)-，1(1C D =u u u u r，1-，4)-，1cos A B ∴<u u u r ，11111310||||2018A B C D C D A B C D >==u u u r u u u u ru u u u r g u u u r u u u u r g ，∴异面直线1A B 与1C D 310． （2）(0,2,0)AC =u u u r是平面1ABA 的一个法向量，设平面1ADC 的法向量为(,,)m x y z =r， Q (1,1,0)AD =u u u r ，1(0,2,4)AC =u u u u r∴10240m AD x y m AC y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1z =，得2y =-，2x =， ∴平面1ADC 的法向量为(2m =r，2-，1)， 设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ， cos |cos AC θ∴=<u u u r ，2|||329n >==r，∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的余弦值为：23．22．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y Γ+=的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为H ，试问：是否存在λ，使得()AF FB R λλ=∈u u u r u u u r，且22||||40HA HB +…成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）依题意，椭圆22:143x y Γ+=中，24a =，23b =，得2221c a b =-=，则(1,0)F ，得14p=，即4p =，故抛物线C 的方程为24y x =．（2）设:1l x ty =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2440y y --=，∴121244y y ty y +=⎧⎨=-⎩①且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又()AF FB R λλ=∈u u u r u u u r ，则1(1x -，12)(1y x λ-=-，2)y ，即12y y λ=-，代入①得222(1)44y t y λλ-=⎧⎨-=-⎩， 消去2y 得2142t λλ=+-，易得(1,0)H -，则2222221122||||(1)(1)HA HB x y x y +=+++++22221212122()2x x x x y y =++++++2222121212(1)(1)2(2)2ty ty ty ty y y =+++++++++2221212(1)()4()8t y y t y y =+++++22(1)(168)448t t t t =++++g42164016t t =++， 由4216401640t t ++=， 解得212t =或23t =-（舍)，将212t =代入2142t λλ=+-，解得2λ=．故存在实数2λ=满足题意．。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．（5分）双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．（5分）在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．（5分）已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4） C ．（2，0）D ．（4，0）6．（5分）已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．（5分）“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定。
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷附解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36 分）1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 。
【答案】8-2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=，则AB 对应的坐标是 。
【答案】）（3,23.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。
【答案】2-4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 中点，F 为BC 中点，则直线1A E 与1C F 的位置关系是 。
【答案】相交5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 。
【答案】26.已知复数22iz i+=，则z 的虚部为 。
【答案】1- 7..经过动直线20kx y k -+=上的定点，方向向量为(1,1)的直线方程是 。
【答案】02=+-y x8.复数34i +平方根是 。
【答案】）（i +±29.过点(),0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为 。
【答案】13622=+y x 10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ，为双曲线C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于 。
【答案】4811.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。
若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 。
【答案】）（）（+∞∞,11-,-【解析】由抛物线定义可知，机器人的轨迹方程为x y 42=，过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为)1(+=x k y 代入x y 42=，可得0)42(2222=+-+k x k x k ， 机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线，04)42422<--=∆∴k k （，1-<∴k 或1>k . 12.已知圆M :22(1)1x y +-=，圆N :22(1)1x y ++=.直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点。
2019-2020学年广东省广州市越秀区高一(上)期末数学试卷 (解析版)
15．已知集合A＝{x|（ ）x＜9}，B＝{x|log2x＜0}，则A∩B＝．
16．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+π）＝2f（x），且当x∈[0，π]时，f（x）＝sinx．若对任意的x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤2，则实数m的取值范围是．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解：当x∈[0，π]时，f（x）＝sinx；
当x∈（π，2π]时，x﹣π∈（0，π]，
当x∈（2π，5π]时，x﹣π∈（π，2π]，
当当x∈（﹣π，0]时，x+π∈（0，π]，
则f（x）＝ f（x+π）＝﹣ sinx；
函数f（x）的图象如图所示：
若对任意的x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤2，
故答案为：（﹣∞， ]．
19．已知平面非零向量 ， 的夹角是 π．
（1）若| |＝1，| +2 |＝ ，求| |；
（2）若 ＝（2，0）， ＝（t， ），求t的值，并求与 ﹣ 共线的单位向量 的坐标．
20．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝ ，半径OA＝2．在弧 上取一点C，向半径OA、OB分别作垂线，与线段OA、OB分别相交于D、E，得到一个四边形CDOE．
A．0B． C． D．
解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝ ，函数的图象向左平移a个单位得到g（x）＝ ，
得到的函数为奇函数，则 （k∈Z），整理得 （k∈Z），
函数的图象向右平移b个单位得到h（x）＝ ，由于得到的函数的图象为偶函数，
当k＝8时， （b＞0），
故选：A．
9．已知平面向量 、 的夹角是60°，且| |＝1，| |＝2．点C满足 ＝2 ，则 ＝（ ）
广东省广州市越秀区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
广东省广州市越秀区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},B ={2,3}，则A ∪(∁U B)=( )A. {3}B. {1,4,5}C. {1,2,3,4,5}D. {1,3,4,5}2. cos42°cos78°−sin42°sn78°=( )A. 12B. −12C. √32D. −√323. 三个数a =60.7，b =0.76，c =log 0.76的大小顺序是( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. a <c <b4. 已知sin(α−π4)=13，则cos(α+5π4)的值等于( )A. −13B. 13C. −2√22D. 2√235. 已知函数f(x)=√32sinx +12cosx ，则f(π12)=( )A. √22B. √32C. 1D. √26. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13,y =23B. x =14,y =34C. x =23,y =13D. x =34,y =147. 设b ∈R ，若函数f(x)=4x −2x+1+b 在[−1,1]上的最大值是3，则其在[−1,1]上的最小值是( )A. 2B. 1C. 0D. −18. 将函数f(x)=√3cos2x +sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，且满足|g(x)|≤a 恒成立，则a 的最小值为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ ⋅b ⃗ =1，|b ⃗ |=2则(3a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =( )A. 5B. −5C. 6D. −610. 已知函数y =f(x)的图象与函数y =1x+1的图象关于原点对称，则f(x)=( )A. 1x+1B. 1x−1C. −1x+1D. −1x−111. 已知函数f(x)={x +2,x >ax 2+5x +2,x ≤a，若函数g(x)=f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A. [−1,1)B. [−1,2)C. [−2,2)D. [0,2]12.已知减函数y=f(x−1)是定义在R上的奇函数，则不等式f(1−x)>0的解集为()A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(x,4)，若a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则x=______．14.log216−log24= ________．15.已知集合A={x|lnx>0}，B={x|2x<3}，则A∩B=______．16.定义于R上的偶函数f(x)满足对任意的x∈R都有f(x+8)=f(x)+f(4)，若当x∈[0,2]时，f(x)=2−x，则f(2017)=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知α为第二象限角，且4sinα+3cosα=0．(Ⅰ)求tanα与sinα的值；(Ⅱ)求sinα+2cosα与tan2α的值．2sinα+cosα)一段图象如图18.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|φ|<π2所示．(1)分别求出A，ω，φ并确定函数f(x)的解析式；(2)求出f(x)的单调递增区间．19.已知a⃗=(2,1),b⃗ =(3,−1)(1)求|a⃗−b⃗ |；(2)求a⃗与b⃗ 的夹角θ．20.(本小题满分14分)，3AC=4BC．在▵ABC中，AB=2，cosC=78(1)求AC，CB的长；(2)求sin(A−C)的值．21.科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．(1)求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．22.已知函数f(x)=ln(1−x)−ln(1+x)．(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)若f(m)−f(−m)=2，求实数m的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了集合的交，并，补的混合运算，属于基础题．根据题意得到∁U B={1,4,5}，又A={1,3}，即可得解．解：因为集合U={1,2,3,4,5},B={2,3}，所以∁U B={1,4,5}，又A={1,3}，所以A∪(∁U B)={1,3,4,5}，故选D．2.答案：B解析：解：cos42°cos78°−sin42°sn78°=cos(42°+78°)=cos120°=−cos60°=−12，故选：B．利用两角和的余弦公式，诱导公式，求得所给式子的值．本题主要考查两角和的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵60.7>1，0<0.76<1，c=log0.76<0，∴c<b<a，故选：B．根据指数幂和对数的性质即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据对数的运算法则和指数幂性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：B解析：解：∵sin(α−π4)=13，∴cos(α+5π4)=cos(α+π4+π)=−cos(α+π4)=−sin[π2−(α+π4)]=−sin(π4−α)=sin(α−π4)=13．故选：B ．利用同角三角函数关系式的应用及诱导公式化简所求后，结合已知即可得解． 本题主要考查了同角三角函数关系式的应用及诱导公式的应用，属于基础题．5.答案：A解析：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题．由两角和的正弦公式化简解析式后代入即可求解．解：∵f(x)=√32sinx +12cosx =sin(x +π6)，∴f(π12)=sin(π12+π6)=sin π4=√22， 故选A ．6.答案：B解析：本题考查平面向量的基本定理的应用，属于基础题． 直接利用向量的运算法则化简求解即可．解：在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =14，y =34． 故选：B ．7.答案：A解析：本题考查函数的最值的求法与应用，换元法的应用，考查计算能力． 利用换元法，化简函数的解析式，通过二次函数的最值转化求解即可． 解：函数f(x)=4x −2x+1+b =(2x )2−2⋅2x +b ， 设2x =t ，则f(x)=t2−2⋅t+b=(t−1)2+b−1．因为x∈[−1,1]，所以t∈[12,2]，当t=1时，f(x)min=b−1；当t=2时，f(x)max=3，即1+b−1=3，b=3，所以函数f(x)在[−1,1]上的最小值是2．故选A．8.答案：D解析：解：f(x)=√3cos2x+sin2x=2(sinπ3cos2x+cosπ3sin2x)=2sin(2x+π3)，依题意得：g(x)=2sin[2(x−π6)+π3]+1=2sin2x+1，所以g(x)∈[1,3]，因为|g(x)|≤a恒成立，所以a≥3．则a的最小值是3．故选：D．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π3)，再根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得函数g(x)的解析式，则易求a的最小值．本题主要考查两角和的正弦公式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查向量数量积的运算，属基础题．根据向量数量积的运算法则化简即可．解：因为a⃗⋅b⃗ =1，|b⃗ |=2，所以(3a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =3a⃗·b⃗ −2b⃗ 2=3−8=−5． 故选B ．10.答案：B解析：解：设点P(x,y)是函数y =f(x)的图象，与P 关于原点对应的点为(−x,−y)在函数y =1x+1的图象上，所以代入得−y =1−x+1，即y =1x−1， 故选：B ．利用函数图象关于原点对称，利用点的对称关系求出f(x)的表达式即可． 本题主要考查函数图象的对应关系，利用点的对称性是解决本题的关键．11.答案：B解析：本题考查函数的图象的应用，函数的零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力，属于基础题目．利用函数的零点，转化为两个函数的图象的交点个数，利用数形结合转化求解即可． 解：函数f(x)={x +2,x >ax 2+5x +2,x ≤a ，x 2+5x +2=2x ，可得x 2+3x +2=0， 解得x =−1，x =−2.y =x +2与y =2x 的交点为：x =2，y =4，函数y =f(x)与y =2x 的图象如图：函数g(x)=f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是：−1≤a <2． 故选：B ．12.答案：B解析：解：∵y=f(x−1)是奇函数，∴其图象关于原点对称，则y=f(x)的图象关于(−1,0)对称，即f(−1)=0，∵y=f(x−1)是减函数，∴y=f(x)也是减函数，∴f(1−x)>0，即f(1−x)>f(−1)，由f(x)递减，得1−x<−1，解得x>2，∴f(1−x)>0的解集为(2,+∞)，故选B．由y=f(x−1)的奇偶性、单调性可得f(x)的图象的对称性及单调性，由此可把不等式化为具体不等式求解．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，灵活运用函数性质去掉不等式中的符号“f”是解题的关键所在．13.答案：12解析：解：a⃗−b⃗ =(2−x,−1)；∵a⃗⊥(a⃗−b⃗ )；∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2(2−x)−3=0；解得x=1．2．故答案为：12可求出a⃗−b⃗ =(2−x,−1)，根据a⃗⊥(a⃗−b⃗ )即可得出a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．14.答案：2=log24=2．解析：解：原式=log2164故答案为：2．进行对数的运算即可．考查对数的定义，对数的运算性质．15.答案：(1,log23)解析：解：A={x|lnx>0}={x|x>1}，B={x|2x<3}={x|x<log23}，则A∩B=(1,log23)；故答案为：(1,log23)．分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．16.答案：1解析：解：因为定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x+8)=f(x)+f(4)，所以当x=−4时，f(−4+8)=f(−4)+f(4)，即f(4)=2f(4)，所以f(4)=0．所以f(x+8)=f(x)+f(4)=f(x)，即函数的周期是8．当x∈[0,2]时，f(x)=2−x，所以f(2017)=f(2016+1)=f(1)=2−1=1．故答案为：1．利用函数是偶函数，由f(x+8)=f(x)+f(4)，可得函数的周期，然后利用周期性进行求值．本题主要考查函数周期性的性质以及应用，利用函数的奇偶性先得f(4)的值，然后利用根据周期性的定义是解决本题的关键．17.答案：解：(Ⅰ)4sinα+3cosα=0⇒tanα=sinαcosα=−34，将4sinα+3cosα=0代入sin2α+cos2α=1，解方程得{sinα=−35cosα=45或{sinα=35cosα=−45,又α为第二象限角，sinα>0，故{sinα=−35cosα=45舍去，∴{sinα=35 cosα=−45;(Ⅱ)sinα+2cosα2sinα+cosα=tanα+22tanα+1=−52，tan 2α=2tan α1−tan2α=2×(−34)1−(−34)2=−247．解析：本题考查同角关系式及二倍角公式的应用，是一般题．(Ⅰ)由已知及tan α=sin αcos α求出tanα，由已知结合sin2α+cos2α=1及α所在的象限即可求出sinα;(Ⅱ)由同角关系式求出sinα+2cosα2sinα+cosα，然后利用二倍角公式求出tan2α即可．18.答案：解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象知，A=2，T=13π3−π3=4π，∴ω=12，令12×π3+φ=2kπ，k∈Z，∴φ=2kπ−π6；又|φ|<π2，∴φ=−π6；∴函数f(x)=2sin(12x−π6)；(2)根据正弦函数的单调性，令−π2+2kπ≤12x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，则−π3+2kπ≤12x≤2π3+2kπ，k∈Z，解得−2π3+4kπ≤x≤4π3+4kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间是[−2π3+4kπ,4π3+4kπ]，k∈Z．解析：(1)根据函数f(x)的图象，求出A、T、ω与φ的值即可；(2)根据正弦函数的单调性，即可求出f(x)的单调递增区间．本题考查了利用三角函数的部分图象求解析式的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．19.答案：解：(1)a⃗−b⃗ =(−1,2)，∴|a⃗−b⃗ |=√5；(2)|a⃗|=√5,|b⃗ |=√10，a⃗⋅b⃗ =5，∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=√5×√10=√22，∵θ∈[0,π]，∴θ=π4．解析：考查向量减法和数量积的坐标运算，求向量夹角，属于基础题．(1)求出a⃗−b⃗ 的坐标，即可得出|a⃗−b⃗ |的值；(2)根据公式cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|即可求出cos<a⃗,b⃗ >的值，从而得出a⃗,b⃗ 的夹角θ的值．20.答案：解：(1)在▵ABC中，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2−2AC·BCcosC，设AC=x，则BC=34x，∴4=x2+(34x)2−2x·34x·78，∴x=4，即AC=4，BC=3；(2)由平方关系可得，在▵ABC中，由正弦定理可得．∵BC=3<4=AC，∴A是锐角，cosA=1116．∴sin(A−C)=sinAcosC−cosAsinC=5√1564．解析：本题考查正余弦定理的应用及和差角公式，属于中档题．(1)依题意，由余弦定理解方程即可；(2)运用平方关系及两角和与差的三角函数公式计算即可．21.答案：解：设2018年的碳排放总量为a1，2019年的碳排放总量为a2，…(1)由已知，a1=400×0.9+m，a2=0.9×(400×0.9+m)+m=400×0.92+0.9m+m =324+1.9m.(2)a3=0.9×(400×0.92+0.9m+m)+m=400×0.93+0.92m+0.9m+m，…a n=400×0.9n+0.9n−1m+0.9n−2m+⋅⋅⋅0.9m+m=400×0.9n+m 1−0.9n1−0.9=400⋅0.9n+10m(1−0.9n)=(400−10m)⋅0.9n+10m.由已知有∀n∈N∗,a n≤550当400−10m=0即m=40时，显然满足题意；当400−10m>0即m<40时，由指数函数的性质可得：(400−10m)×0.9+10m≤550，解得m≤190．综合得m<40；当400−10m<0即m>40时，由指数函数的性质可得：10m≤550，解得m≤55，综合得40<m≤55，综上可得所求范围是m∈(0,55].解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查数列知识，考查解不等式，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．(1)根据，A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨，即可求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2)求出数列的通项，A市永远不需要采取紧急限排措施，则有∀n∈N∗，a n≤550，分类讨论，即可求m的取值范围．22.答案：(本小题满分8分)解：(1)解：f(x)=ln(1−x)−ln(1+x).是奇函数．……(1分)证明：由{1−x >01+x >0得−1<x <1， 故f(x)=ln(1−x)−ln(1+x) 的定义域为(−1,1)……(2分)设任意x ∈(−1,1)则−x ∈(−1,1)，f(−x)=ln(1+x)−ln(1−x)=−[ln(1−x)−ln(1+x)]=−f(x)……(3分) 所以f(x)是奇函数．…………(4分)(2)由(1)知，f(x)是奇函数，则f(−m)=−f(m)∴f(m)−f(−m)=f(m)+f(m)=2f(m)=2，即f(m)=1……(6分) ∴ln 1−m 1+m =1即1−m 1+m =e ，解得m =1−e 1+e …………(8分)解析：(1)要判断函数f(x)的奇偶性，只要检验f(−x)与f(x)的关系即可；(2)结合(1)中f(x)是奇函数可知f(−m)=−f(m)，代入即可求解； 本题主要考查了奇函数的定义及性质的简单应用，属于基础试题．。
2019学年广东省广州市执信等四校联考高二上期末文科数学试卷【含答案及解析】
2019学年广东省广州市执信等四校联考高二上期末文科数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________题号-二二三总分得分、选择题-2x - 3>0, x € R}，那么A Q B=().(3, +R ) D . (0,- 1) U (3, +R )2x+4 < 0，则？为() 3 £ Rs x p " 2 x n+4>Q (,.,匸)，则向量口与i ；的夹角为()4.已知函数 f (x ) =x 2 +a (b+1) x+a+b (a , b € R )，贝U“ a=0 "是“ f )为偶函数”的()A •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件 ____________D •既不充分也不必要条件5.已知函数f (x ) =sin (3 x+0)(其中|①帀)的图象如图所示，为了得到 f (x )的图象，则只需将 g(x ) =sin2x 的图象()2. 已知命题p ： ? x€ R ,x 2 - A . ? x€ R , x 2 - -2x+4> 0 B C .? x ? R , x 2 - 2x+4< 0D3.已知向量；= =(- 1, 0),冋=A .B -5兀 AC .1. 若集合 A={y|y=2 x }，B={x|x 2A .( 0, 3 ]B . [ - 1 , 3 ] CX71 171A .向左平移打个单位长度B .向右平移个单位长度C •向左平移—L个单位长度D •向右平移一个单位长度6. 关于x的方程x 2 +x+q=O （q € ［0 ,］）有实根的概率为（）A .丄B 2 C丄D .上447. 如图所示，程序框图的输出结果是s=,，那么判断框中应填入的关于n的判断条件是（）A. n W 8? B . n v 8? C . n W 10? D . n v 10?8. 直线x+2y - 5+ ［，/H =0被圆x 2 +y 2 - 2x- 4y=0截得的弦长为（）A. 1 B . 2 C . 4 D . 4 几9. 设椭圆的两个焦点分别为 F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△ F 1 PF 2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A .匚B .C . ::D 圧T|10. 一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是( )2 215. 已知双曲线C 与双曲线仝二i 有共同的渐近线，且 C 经过点9 16M ( - 3, 2后，则双曲线C 的实轴长为 ____________________ .1211.数列｛a n ｝满足 a 1 =2 ,... 丄知 A . - 2 B . - 1 C . 2 D .纟则 a 2016 =(匹■ | x | ?212. 已知函数 f (x )=斗 o，函数 g (x ) =3- f (2 - x )(K -2) J X >2y=f (x ) - g (x )的零点个数为( )A . 2B . 3C . 4D . 5、填空题13. 已知变量x , y 满足约束条件«扛-rCl ，则z=x - 2y 的最大值为 y~ 1<014. 已知倾斜角为a 的直线I 与直线x+2y - 3=0垂直，则sinQ- cos °C . 8 D16. 已知直线I 1 : 4x - 3y+16=0和直线I 2 : x= - 1，抛物线y 2 =4x 上一动点P 到直线I 1的距离为d 1 ，动点P 到直线I 2的距离为d 2，则d 1 +d 2 的最小值为18.已知等差数列｛a n ｝的首项a 1 =1，公差d >0，且a 2 , a 5 , a 14成等比数列. (I )求数列｛a n ｝的通项公式； (n ) 令I——'—— .，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .19. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85.甲乙8 9 7 6 5^08 1 1 3 6 191 1 6(I )计算甲班7位学生成绩的方差s 2 ;(n )从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式： 方差+(乜-开)'十…中(為- g ),其中-幻+叫収+ 520. 如图所示，在长方体 ABC - A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=BC=2 AA 1 =4 , P 为线段B1 D 1上一点.三、解答题17.ABC 已知A=45 °4 ，cos .中，cosC 的值；BC=10 D 为AB 的中点，求CD 的长.21. 已知二次函数 f (x) =ax 2 +bx+c ，满足 f (0) =2, f (x+1) - f (x ) =2x - 1.(I )求函数f (x )的解析式；(n )若关于x 的不等式f (x )- t > 0在［-1, 2 ］上有解，求实数t 的取值范围;(川)若函数g (x ) =f (x ) - mx 的两个零点分别在区间(-1 , 2)和(2, 4)内， 求实数m 的取值范围.(2)如图，A B , D 是椭圆E 的顶点，M 是椭圆E 上除顶点外的任意一点，直线 DM 交x 轴于点Q,直线AD 交BM 于点P,设BM 的斜率为k , PQ 的斜率为m 则点N (m , k )是否 在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由. 的中点时，求点 A 到平面PBC 的距离.2 2 过点(0,- 1)，且离心率为参考答案及解析第1题【答案】数函数的性质求出函数的值域化简集合加求解一元二次不等式化简集的然后直接解：集nA={y|y=2i]- （0?：B={X|K£-2K-3>0J（—汛-1> U （3^ 你），「・『13=⑶心）故选B第2题【答案】【解析】试题分析；利用全称命题的否定罡特称命覆写倔果即可.解：因为全称命题的否走是特称命题』所儿命题戸疋乩,-如症0』则卡为:v3 x0 EK, 3C Q- 2x Q+4L>0_故选:B *第3题【答案】试题分析：由条件刹用两个向量的数量积公式，两个向量的夹角公式』戒得向量；与E 的夹角. r r _ J_ 品"斎“小门人旷料”码■卜如€血證z 石解「•侗童；二（t, co, Q （打详）■设向量；与E 的夹角为e 「 故选;D.第4题【答案】A【解析】试駆分析：根据充分条件件的定义「结合函数奇偶性的定义和性质进行判断即可. 解；若叔」则£⑴=0■晚偶團数‘为b= - If a 尹00寸丿£〔x ） X+a- L 为偶囲但叔坏成辽』 即鼻=严是牡＜x ）为偶函数柑的充分不密姜条件， 故选：A第5题【答案】-一*着■ ------ ! ---- 珂訪小 吋”（加-1伽-1）' r r _1则由遇8二 _______ 二-Io ■寺ee[Q,叩…e 詈177T 7JF JT解：由函数f CO 二血(叽+0)的團象可得：-^X —-yy -—,解得①二2*再由五点法作图可得2X-y+4)=7?;解得 故函数£ （工〉 =si_n （2工+~^ ） =sin2 （藍十_ 兀故把g <i) =sinZx 的图象向左平移w 个长度草位可得£ (x)的图象』第6题【答案】；从而得到国数£匕》的解12【解析】解：由题意扣本题杲一个几何概型‘试驰包含的所有事件是q£[0. 1],而满足条件的事件是梗得方程盘冷+qR育实根的q的值,要使方程/+工十qR有实根，A=1 -小详0J在基本事件包含的范围之内q£[0,扌],由几何概型公式得到,故选：J试黯弹凑韻鵜爛擴影廉用巒醴膚性氐然后对擔环体进行分札找出循环规律第7题【答案】【解析】解：模拟执行程痉框图，可得祸足条件I s=>2 *满足条件』s=^ # , n=6满足条件，"^ +&^12 "叔H题帝可亀此时应谢馬足乗件』退出擔环，输出农的值为卡. 结合选莎判斷框中应填入的关于曲^斷条件是：»<8?故选:B.第8题【答案】【解析】第10题【答案】解：由^V-2^-4z=0i 得(x-1) 2+ <y-Z) 所叹圆的圆心坐标是C (1, 2),半彳•l 11X1+2X2- SfJ5 I Vs圆到直线x 十2厂S-H /^O 的距离为d J 】之+尹 气乓二'・ 所以A 线直线奸2厂吕R 披圆曲歹-力- 4严戯得的弦长为龙J(V^> ' - 1 J 。
2019学年广东省广州市执信等四校联考高二上期末文科数学试卷【含答案及解析】
2019学年广东省广州市执信等四校联考高二上期末文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若集合A={y|y=2 x }，B={x|x 2 ﹣2x﹣3＞0，x ∈ R}，那么A∩B=（）A．（0，3 ] B．[﹣1，3 ] C．（3，+∞） D．（0，﹣1）∪ （3，+∞）2. 已知命题p：∀ x ∈ R，x 2 ﹣2x+4≤0，则¬p为（）A．∀ x ∈ R，x 2 ﹣2x+4≥0 B．C．∀ x ∉ R，x 2 ﹣2x+4≤0 D．3. 已知向量 =（﹣1，0）， =（，），则向量与的夹角为（） A． B． C． D．4. 已知函数f（x）=x 2 +a（b+1）x+a+b（a，b ∈ R），则“a=0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 ___________ D．既不充分也不必要条件5. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到f （x）的图象，则只需将g（x）=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度6. 关于x的方程x 2 +x+q=0（q ∈ [0，1 ] ）有实根的概率为（）A． B． C． D．7. 如图所示，程序框图的输出结果是s= ，那么判断框中应填入的关于n的判断条件是（）A．n≤8？ B．n＜8？ C．n≤10？ D．n＜10？8. 直线x+2y﹣5+ =0被圆x 2 +y 2 ﹣2x﹣4y=0截得的弦长为（）A．1 B．2 C．4 D．49. 设椭圆的两个焦点分别为F 1 、F 2 ，过F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△ F 1 PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．10. 一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．2 B．4 C．8 D．1211. 数列{a n }满足a 1 =2，，则a 2016 =（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．12. 已知函数f（x）= ，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题13. 已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为___________ ．14. 已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y﹣3=0垂直，则=_________ ．15. 已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且C经过点，则双曲线C的实轴长为___________ ．16. 已知直线l 1 ：4x﹣3y+16=0和直线l 2 ：x=﹣1，抛物线y 2 =4x上一动点P到直线l 1 的距离为d 1 ，动点P到直线l 2 的距离为d 2 ，则d 1 +d 2 的最小值为___________ ．三、解答题17. 在△ ABC 中，已知A=45°，．（Ⅰ ）求cosC的值；（Ⅱ ）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．18. 已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0，且a 2 ，a 5 ，a 14 成等比数列．（Ⅰ ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ ）令，求数列{b n }的前n项和S n ．19. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．（Ⅰ ）计算甲班7位学生成绩的方差s 2 ；（Ⅱ ）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差，其中．20. 如图所示，在长方体ABCD﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=BC=2，AA 1 =4，P为线段B 1 D 1 上一点．（Ⅰ ）求证：AC ⊥ BP ；（Ⅱ ）当P为线段B 1 D 1 的中点时，求点A到平面PBC的距离．21. 已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1．（Ⅰ ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ ）若关于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2 ] 上有解，求实数t的取值范围；（Ⅲ ）若函数g（x）=f（x）﹣mx的两个零点分别在区间（﹣1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．22. 已知椭圆E：过点（0，﹣1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆E的顶点，M是椭圆E上除顶点外的任意一点，直线DM交x轴于点Q，直线AD交BM于点P，设BM的斜率为k，PQ的斜率为m，则点N（m，k）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
19-20学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
19-20学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 抛物线x 2=20y 的焦点坐标为( )A. (−5,0)B. (5,0)C. (0,5)D. (0,−5)2. 双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程是( )A. 4x ±3y =0B. 16x ±9y =0C. 3x ±4y =0D. 9x ±16y =03. 命题“若a +b 是偶数，则a ，b 都是偶数”的否命题为( )A. 若a +b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数B. 若a +b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数C. 若a +b 是偶数，则a ，b 不都是偶数D. 若a +b 是偶数，则a ，b 都不是偶数4. “n >m ”是“方程x 2m+y 2n=1表示焦点在y 轴上的双曲线”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )A. 56B. 25C. 16D. 136. 对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间上为一等品，在区间和上为二等品，在区间和上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A. 0.09B. 0.20C. 0.25D. 0.457. 如图，在三棱锥OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC中点，则NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 23a⃗−12b⃗ −12c⃗ B. −23a⃗+12b⃗ +12c⃗C. −12a⃗+12b⃗ +12c⃗ D. −23a⃗+23b⃗ −12c⃗8.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2BC，则直线BC1与直线A1C所成角的余弦值为()A. −√55B. √53C. √55D. 2√559.同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为()A. 112B. 121C. 19D. 11110.为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y∧=b∧x+a∧，已知∑10i=1x i=225，∑10i=1y i=1600，b∧=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为()A. 160B. 163C. 166D. 17011.如图是2017年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m、n均为数字0～9中的一个)，在去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则有()A. a1>a2B. a1，a2的大小与m的值有关C. a2>a1D. a1，a2的大小与m，n的值有关12.如图，两个椭圆x225+y29=1，y225+x29=1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上任意一点，给出下列三个判断：①P到F1(−4,0)、F2(4,0)、E1(0,−4)、E2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=−x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．上述判断中正确命题的个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________．14.一支游泳队有男运动员32人，女运动员24人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为14的样本，则抽取男运动员的人数为________．15.已知向量a⃗=(2,−1,4)，b⃗ =(−4,2,x)，c⃗=(1,x,2)，若(a⃗+b⃗ )⊥c⃗，则x等于________．16.在平面直角坐标系xOy中，已知方程x24−m −y22+m=1表示双曲线，则实数m的取值范围是____________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相邻整数的概率：(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的．18.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表：日用水[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)量频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表：日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3m3的概率(3)估计该家庭使用节水龙头后，一个月能节省多少水？(一个月按30天计算，)19.如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∠ABE=60∘，G为BE的中点．(1)求证：AG⊥平面ADF；(2)若AB=√3BC，求二面角D−CA−G的余弦值．20.过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)若抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB，求直线l的斜率k的取值范围．21.四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD是正三角形，PB⊥AD，E为AD的中点，二面角P−AD−B为60°．(1)证明：AD⊥平面PBE；(2)求点P到平面ABCD的距离；(3)求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(−12,√144)，且离心率为√22.过点(√2,−√2)的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为椭圆C的右顶点，探究：k PM+k PN是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．(其中，k PM，k PN分别是直线PM，PN的斜率)-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：抛物线x 2=20y 的焦点坐标为(0,5)． 故选：C ．直接利用抛物线的标准方程求解焦点坐标即可．本题考查抛物线的焦点坐标的求法，简单性质的应用，考查计算能力．2.答案：A解析：解：∵双曲线方程为x 29−y 216=1，∴a =3，b =4，由∵双曲线的焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y =±ba x =±43x 化简，得，4x ±3y =0 故选：A ．先根据双曲线的标准方程求出a ，b 的值，因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，把a ，b 的值代入即可．本题主要考查双曲线的渐近线方程的求法，关键是求出a ，b 的值．3.答案：B解析：本题考查否命题的定义，属于基础题．弄清楚原命题的条件和结论，将原命题的条件和结论都否定可得到其否命题．解：命题“若a +b 是偶数，则a ，b 都是偶数”的否命题为“若a +b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”． 故选B ．4.答案：B解析：解：方程x 2m+y 2n=1表示焦点在y 轴上的双曲线⇔{n >0m <0， ∵n >m 推不出{n >0m <0，{n >0m <0⇒n >m ，∴n>m是{n>0m<0的必要而不充分条件，故选：B．首先方程得出x2m +y2n=1表示焦点在y轴上的双曲线的等价条件{n>0m<0，然后根据充分条件和必要条件的定义可作出判断．本题考查了双曲线方程、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．利用互斥事件的概率加法公式即可得出．解：∵甲不输包括甲获胜和两人下次和棋．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=13+12=56．故选A．6.答案：D解析：本题主要考查频率分布直方图的应用，利用矩形的面积表示频率，计算矩形的面积即可，比较基础．根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15,20)和[25,30)上的频率即可．解：由频率分布直方图可知，对应区间[15,20)和[25,30)上的频率分别为0.04×5=0.20和1−0.02×5−0.04×5−0.06×5−0.03×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选D．7.答案：A解析：本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，考查了空间向量的基本定理，属于基础题． 结合向量的加减法运算求解即可． 解：如图所示：MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又OM =2MA ，N 为BC 中点，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC =−23a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ ，所以NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ −12b ⃗ −12c ⃗ ， 故选A ．8.答案：C解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB =AA 1=2BC ，设BC =1， ∴B(1,2，0)，C 1(0,2，2)， A 1(1,0，2)，C(0,2，0)，∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−2)， 设直线BC 1与直线A 1C 所成角为θ，则cosθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|√5⋅√9|=√55．∴直线BC 1与直线A 1C 所成角的余弦值为√55．故选：C ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 1与直线A1C所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．9.答案：C解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．基本事件空间总数为6×6=36，利用列举法求出点数之和为5的个数，由此能示出所得点数之和为5的概率．解：基本事件空间总数为6×6=36，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)共4个，所以同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为p=436=19．故选：C．10.答案：C解析：本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，属于基础题．由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得a^，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．解：由线性回归方程为ŷ=4x+â，则x=110∑x i10i=1=22.5，y=110∑y i10i=1=160，则数据的样本中心点(22.5,160)，由回归直线方程样本中心点，则â=y−4x=160−4×22.5=70，∴回归直线方程为ŷ=4x+70，当x=24时，ŷ=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．11.答案：A解析：解：由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，代入数据可以求得甲的平均分为a1=80+15×(1+5+5+m+9)=84+m5，乙的平均分为a2=80+15×(1+2+4+4+7)=83.6，m≥0，∴a1>a2．故选：A．由题意计算平均分a1、a2的值，再比较大小．本题考查了平均数与茎叶图的应用问题，是基础题．12.答案：C解析：本题考查了椭圆的定义及对称性，属于基础题．根据椭圆的定义可知①错误；根据椭圆的对称性可知②正确；根据椭圆的短轴长确定曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，故③正确．解：对于①，若点P在椭圆x225+y29=1上，P到F1(−4,0)、F2(4,0)两点的距离之和为定值、到E1(0,−4)、E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故错；对于②，根据椭圆的对称性，曲线C关于直线y=x、y=−x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确．故选C．13.答案：对任意的x∈R，2x>0解析：本题考查存在量词命题的否定，利用特称命题的否定是全称命题，先变量词，然后否定结果即可．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题存在x∈R，2x≤0”的否定是：对任意的x∈R，2x>0．故答案为：对任意的x∈R，2x>0．14.答案：8解析：解：设抽取男运动员的人数为x，则1456=x32，解得x=8，故答案为：8根据分层抽样的定义，即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．15.答案：−2解析：本题考查了空间向量的坐标运算，向量垂直，向量的数量积，属于基础题．由(a⃗+b⃗ )⊥c⃗得(a⃗+b⃗ )·c⃗=0，带入具体坐标进行计算即可得到x的值．解：∵a⃗=(2,−1,4)，b⃗ =(−4,2,x)，∴a⃗+b⃗ =(−2,1,4+x)，∵c⃗=(1,x,2)，，∴(a⃗+b⃗ )·c⃗=0，∴−2+x+2(x+4)=0，∴x=−2．故答案为−2．16.答案：(−2,4)解析：本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．解：∵方程x24−m −y22+m=1表示的图形是双曲线，∴(4−m)(2+m)>0，∴−2<k<4，故答案为(−2,4)．17.答案：解：解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，总数为2×6个两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1,2}，{2,3}，{3,4}，总数为2×3个∴根据等可能事件的概率公式得到P=612=12；(2)由题意知本题是一个等可能事件的概率，有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，和(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，共有2×6+4=16个为{1,2}，{2,3}，{3,4}，总数为2×3个∴根据等可能事件的概率公式得到P=616=38解析：(1)本题是一个等可能事件的概率，无放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件可以通过列举得到共有12种结果．满足条件的事件也可以通过列举得到结果数，得到概率．(2)本题是一个等可能事件的概率，有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件可以通过列举得到结果，两张标签上的数字为相邻整数基本事件，得到概率．本题考查等可能事件的概率，考查利用列举法求出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，本题是一个基础题，第一问是一个不放回问题，第二问是一个放回问题，注意题目的条件．18.答案：解：(1)由频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图如下：(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.30m3的频率为：0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1=0.38，∴该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.3m3的概率的估计值为0.48．(3)该家庭末使用节水龙头50天日用水量的平均数为：(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48，x1−=150该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为：(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35，x2−=150估计使用节水龙头后，一个可节省水(0.48−0.35)×30=3.9m3．解析：(1)由频数分布表，能作出使用节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．(2)由该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.30m3的频率，该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.3m3的概率的估计值．(3)求出该家庭末使用节水龙头50天日用水量的平均数和该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数，由此能求出估计使用节水龙头后，一个可节省水的数量．本题考查日用水量数据的频率分布直方图、概率、平均数的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，∴AD ⊥AB ，∵矩形ABCD ∩菱形ABEF =AB ，∴AD ⊥平面ABEF ，∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD ⊥AG ，∵菱形ABEF 中，∠ABE =60∘，G 为BE 的中点．∴AG ⊥BE ，即AG ⊥AF ∵AD ∩AF =A ，∴AG ⊥平面ADF ．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知AD,AF,AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间A直角坐标系，设AB =√3BC =√3，则BC =1,AG =32，故A(0,0,0)，C(32,−√32,1)，D(0,0,1)，G(32,0,0)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−√32,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,0,0)，设平面ACD 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{n 1→⋅AC →=32x 1−√32y 1+z 1=0n 1→⋅AD →=z 1=0，取y 1=√3，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，设平面ACG 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，则{n 2→⋅AC →=32x 2−√32y 2+z 2=0n 2→⋅AG →=32x 2=0，取y 2=2，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,2,√3)，设二面角D −CA −G 的平面角为θ，则cosθ=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32×7=√217，易知θ为钝角， ∴二面角D −CA −G 的余弦值为−√217．解析：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)推导出AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面ABEF ，进而BC ⊥AG ，再求出AG ⊥BE ，从而AG ⊥平面BCE ，由此能证明平面ACG ⊥平面BCE;(2)以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −CA −G 的余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)由抛物线的定义得|AF |等于点A 到准线y =p2的距离，∴|AF |=|y A |+p 2=1+p 2=2 ，解得p =2，∴抛物线C 的方程为x 2=4y. .(Ⅱ)抛物线C 的焦点为F (0,1)，由题意知，直线的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +1；且设点A ，B ，M 的坐标分别为A (x 1,x 124) , B (x 2,x 224) , M (x 0,x 024)，由方程组{x 2=4y y =kx +1，消去y 得x 2−4kx −4=0， 由韦达定理得x 1+x 2=4k , x 1x 2=−4，∵MA ⊥MB , ∴MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(x 1−x 0,x 12−x 024)·(x 2−x 0,x 22−x 024)=0，即(x 1−x 0)(x 2−x 0)[1+(x 1+x 0)(x 2+x 0)16]=0， ∵M 不与A ，B 重合∴(x 1−x 0)(x 2−x 0)≠0，∴1+(x 1+x 0)(x 2+x 0)16=0 ，即x 1x 2+(x 1+x 2)x 0+x 02+16=0，∴x 02+4kx 0+12=0 ，Δ=16k 2−48≥0，解得k ≤−√3或k ≥√3∴直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤−√3或k ≥√3．解析：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用抛物线的定义，结合|AF|=2，即可求得抛物线的方程；(Ⅱ)假设抛物线C 上存在一点M ，使得MA ⊥MB ，将直线方程y =kx +1代入抛物线方程，利用韦达定理及MA ⊥MB ，即可求出k 的取值范围．21.答案：证明：(1)∵△PAD 是正三角形，E 为AD 中点，∴AD ⊥PE ，∵AD ⊥PB ，PE 与PB 是平面PBE 内的两条相交线，∴AD ⊥平面PBE ．解：(2)∵AD ⊥平面PBE ，BE ⊂平面PBE ，∴AD ⊥BE ，∴∠PEB 是二面角P −AD −B 的平面角，∴∠PEB =60°，∵AD ⊥平面PBE ，AD ⊂平面ABCD ，∴平面PBE ⊥平面ABCD ，作PF ⊥BE ，垂足为F ，则PF ⊥平面ABCD ，∴PF =PE ⋅sin∠PEB =√3⋅sin60°=32， ∴点P 到面ABC 的距离为32．(3)∵AD ⊥BE ，E 为AD 中点，∴AB =BD ，即△ABD 为正三角形，以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,√32,32)，D(−1,0，0)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√32,32)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)是平面ABP 的一个法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√32y +32z =0，取x =3，得m ⃗⃗⃗ =(3,√3,1)， ∵AD//BC ，∴AD 与平面APB 所成的角和BC 与平面APB 所成的角相等，设BC 与平面APB 所成角为θ，∴sinθ=|cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=3√1313． ∴直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值为3√1313．解析：(1)推导出AD ⊥PE ，AD ⊥PB ，由此能证明AD ⊥平面PBE ．(2)由AD ⊥平面PBE ，得AD ⊥BE ，从而∠PEB 是二面角P −AD −B 的平面角，∠PEB =60°，推导出平面PBE ⊥平面ABCD ，作PF ⊥BE ，垂足为F ，则PF ⊥平面ABCD ，由此能求出点P 到面ABC 的距离．(3)以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值． 本题考查线面垂直的证明，考查点到直线的距离的求法，考查线面的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.答案：解：(1)由题意得：{ 14a 2+1416b 2=1e =c a =√22a 2=b 2+c 2，解得：a 2=2，b 2=1． 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．(2)①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为：x =√2，与椭圆C 交于一点，不符合题意，舍去； ②若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为：y +√2=k(x −√2)，即：kx −y −√2k −√2=0．联立{x 22+y 2=1kx −y −√2k −√2=0得：(1+2k 2)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(√2,0)，所以{x 1+x 2=4√2k 2+4√2k 1+2k x 1x 2=4k 2+8k+21+2k 2， k PM =1x −√2k PN =2x −√2，∴k PM +k PM =y x 1−√2y x 2−√2=(kx −√2k −√2)(x −√2)+(kx −√2k −√2)(x −√2)(x 1−√2)(x 2−√2)=2k √2(x 12x x −√2(x +x )+2=1．所以k PM +k PN 为定值，该定值为1．解析：本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，变形化简能力．(1)根据椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(−12,√144)，且离心率为√22，列方程组，求解即可； (2)设出直线的方程y +√2=k(x −√2)， 联立{x 22+y 2=1kx −y −√2k −√2=0得：(1+2k 2)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0，计算x1+x2，x1x2,k PM+k PN代入计算即可.。
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年广东省广州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题 1．数列12-，14，18-，116，的一个通项公式是（ ）A ．12n- B ．(1)2n n- C ．1(1)2n n+-D ．1(1)2nn --【答案】B【解析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式. 【详解】()111122-=-⨯，()2211142-⨯=，()3311182--=⨯，()44111162=-⨯所以其通项公式是：(1)2nn-故选：B 【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（ ） A ．65只 B ．56只 C ．55只 D ．66只【答案】D【解析】根据题意得出第n 天和第1n -天蜜蜂只数的关系，得出数列{}n a 为等比数列，根据通项公式求出即可. 【详解】设第n 天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂n a 只，16a = 由题意可得：115n n n a a a --=+，即16nn a a -=，所以数列{}n a 为等比数列 即6n n a =所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是666a =故选：D 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.3．已知命题p:∃,ln 20x R x x ∈+-=,命题q:∀2,2x x R x ∈≥,则下列命题中为真命题的是（） A ．p ∧q B ．⌝p ∧q C ．p ∧⌝q D ．⌝p ∧⌝q【答案】C【解析】【详解】试题分析：由已知可构造函数()ln 2f x x x =+-，因为()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 2ln10f =+-==＞，所以存在()1,2x ∈，使方程成立，即命题p 为真命题；又因为3x =时，有328=，239=，此时3223<，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真，故正确答案为C.【考点】函数零点、常用逻辑用语.4．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若sinsin 2A Ca b A +=，则cos B =（ ） A ．12- B ．12C． D．2【答案】B【解析】由诱导公式得sincos 22A C B+=，利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的正弦公式得出1sin 22B =，结合二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】sinsin =cos 2222A C B B π+⎛⎫=- ⎪⎝⎭又sinsin 2A Ca b A +=，所以sin cos sin sin 2B A B A =0,sin 0A A π<<∴≠,则1cos sin cos 2sin cos sin 222222B B B B B B =⇒=⇒= 211cos 12sin 1222B B =-=-= 故选：B 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式，涉及诱导公式，二倍角公式，属于中档题.6．直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是（ ）A ．1l ，2l 都平行于同一个平面B ．1l ，2l 与同一个平面所成的角相等C ．1l 平行于2l 所在的平面D ．1l ，2l 都垂直于同一个平面 【答案】D【解析】由题意下列哪个选项可以推出直线1l ，2l 互相平行即可，选项A 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C 中1l 与2l 不仅可以平行还可能异面直线；故选D 7．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得B 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15%的方向航行了10分钟后到达C 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30的方向，则海轮的速度为（ ）A ．2/分B ．2海里/分C 3海里/分D 2海里/分【答案】D【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由题意可得：90301545BCA ∠=︒-︒-︒=︒ ，180(45105)30B ∠=︒-︒+︒=︒由正弦定理可得：sin sin AB ACBCA B =∠∠，即120sin 2102sin 22AB BAC BCA⨯⋅∠===∠1022=海里/分 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题. 8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．32【答案】B【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.9．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，若4AF=，，2BC BF=，且AFBF>，则此抛物线的方程为（ ） A ．2yx = B ．22y x = C ．24y x = D ．28y x =【答案】C【解析】根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质求得60AFM ∠=︒，利用直角三角形的边角关系得出A 的坐标，代入抛物线方程，即可求出p . 【详解】过点A 作x 轴的垂线，垂足于点M ，过点B 作准线的垂线交准线于点N由抛物线的定义可知：12BNFB BC ==在直角CNB ∆中，1cos 2BN CBN BC ∠==，则60CBN ∠=︒所以60AFM ∠=︒ 又4AF=，所以sin 6023,cos602AM AF FM AF =︒==︒=则(2,23)2p A +由22122p p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：6p =-(舍)，2p = 即此抛物线的方程为24y x = 故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，属于中档题.10．四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且1AB BC ==，点E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成角为θ，且cos θ=，则该四面体的体积为（ ）A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可. 【详解】分别以,,BC BA BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设BD a =11(0,1,0),(0,0,0),(,,0),(0,0,)22A B E D a11(0,1,),(,,0)22AD a BE =-=cos AD BE AD BE θ===⎛⋅⋅2a =该四面体的体积为111112323⨯⨯⨯⨯= 故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体积公式，属于中档题. 11．以下几种说法①命题“0a ∃>，函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”为真命题 ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 ③“22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立”等价于“对于[1,2]x ∈，有()2max min2()xx ax +≥”④ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件. 其中说法正确的序号为（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】D【解析】由判别式判断①；判断其逆否命题的真假得出②的真假；取特殊值2a =判断③；由正弦定理的边化角公式，不等式的性质以及二倍角的余弦公式判断④. 【详解】当0a >时，则440a ∆=+>，则①错误；②的逆否命题“已知x ，y R ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”为真命题，则②正确；当2a =时，满足22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立，但是()2max min2)34(xx ax =<=+所以③错误；2222sin sin sin sin 12sin 12sin cos2cos2a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔-<-⇔<则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件，即④正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查了判断命题的真假以及充分必要条件的证明，属于中档题.12．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121()0F F F A F A +⋅=，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22124y x -=B ．22134x y -= C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【解析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可得到所求方程． 【详解】因为()21210F F F A F A +⋅=， 所以()()2122120F F F A F F F A +⋅-+=得到22221AF F F =，即有2212AF F F c ＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=，根据题意，在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 所以127cos 25AF F ∠=-， 即()2224422722225c c a c c c +-+=-⨯⨯，整理得35c a =，而45b c ==， 所以得到:3:4a b =，即22:9:16a b =，根据选项可知双曲线的标准方程可能为221916x y -=，故选D. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．双曲线221412x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．【答案】程，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】4c ==故双曲线的右焦点为(4,0)F0y -=则右焦点到渐近线的距离为：d ==故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14．在ABC ∆中，1AB =，AC =4B π∠=，则C ∠=__________．【答案】6π【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得：1sin 1sin 2AB B C AC===，解得56C π=(舍)，6C π=故答案为：6π【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.15．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则GE AC ⋅=__________．【答案】1-【解析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴222222222(,,),(,0,0),(,,0),(,,)222244442A C G E (0,02222,),(0,,)GE AC ==-- 122)(=2GE AC ∴⋅=--⨯ 故答案为：12-【点睛】本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题. 16．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n n b a π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =__________．【答案】1-【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos 3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S . 【详解】1(1)(1)n n na n a n n +=+++111n na a n n+∴-=+ ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为121(1)nn a n a n n∴=+-⇒= 2cos3n n b n π∴=3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭33cos 23k b k k k π==3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-= ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故答案为：12- 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.17．已知等差数列{}n a 中，526a a -=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值.【答案】（1）23n a n =+ （2）15n =【解析】(1)由526a a -=求出公差，由等比数列的性质求出1a ，即可得出数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)得出数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法求解即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 因为526a a -=，所以36d =，解得2d =因为1a ，6a ，21a 依次成等比数列，所以26121a a a =， 即()()211152202a a a +⨯=+⨯，解得15a =所以23n a n =+. （2）由（1）知()()1112325n n n b a a n n +==++，所以11122325n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以1111111257792325n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()525n n =+，由()352535n n =+，得15n =【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.18．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin =+b a C c A .（1）求A ； （2）若a =ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）4A π= （2）2【解析】(1)由正弦定理的边化角公式化简即可得出A ； (2)由余弦定理以及基本不等式得出三角形面积的最大值. 【详解】解：（1）由正弦定理可得：sin sin sin sin B AcosC C A =+()sin sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C C A +=+=+∴ sin 0C ≠，cos sin A A ∴=又()0,A π∈，4A π∴=（2）1sin 24S bc A bc == 由余弦定理可得，22282cos 4a b c bc π==+- 又222b c bc +≥故(42bc ≤=+，当且仅当b c =时，等号成立.所以24S =≤所以面积最大为2. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题. 19．已知m 为实数，命题:p 方程221214x y m m -=--表示双曲线； 命题:q 函数21()lg 4f x mx x m ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的定义域为R . （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题p 与命题q 有且只有一个为真命题， 求实数m 的取值范围.【答案】（1）12m <或4m > （2）12m <或14m <≤ 【解析】(1)由双曲线的方程特点列出不等式求解即可； (2)将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题q 为真时m 的取值范围，讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数m 的取值范围. 【详解】解（1）若命题p 为真命题，则()()2140m m -->， 即m 的取值范围是12m <或4m >（2）若命题q 为真，即2104mx x m -+>恒成立， 则00m >⎧⎨∆<⎩有2010m m >⎧⎨-<⎩，1m 命题p 、q 一真一假.当p 真q 假时，1421m m m ⎧<>⎪⎨⎪≤⎩或得12m < 当p 假q 真时，1421m m ⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩得14m <≤ 1m ∴<或14m <≤【点睛】本题主要考查了根据方程表示双曲线求参数的范围以及根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.20．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB=，若平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过点()1,0F ？并说明理由.【答案】（1）24y x = （2）直线AD 过点(1,0)F ，理由见解析【解析】(1)由抛物线的定义求出C 的方程；(2)根据抛物线的定义表示出点,A B 的坐标，根据坐标写出直线AB 的斜率，进而得到直线l 的方程，将直线l 与抛物线方程联立，结合判别式得出1m k =，进而得出点D 的坐标，求出直线AD 的斜率，讨论21k ≠和21k =，得出直线AD 的方程，即可判断直线AD 是否过点()1,0F . 【详解】解：（1）根据抛物线的定义得，动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-的抛物线.24y x =（2）由题设()00,A x y ，则01AF x =+，又AFFB=，故()02,0B x +令平行于AB 的直线:l y kx m =+，则02AB y k k ==-，()2,2A k k ∴-将直线:l y kx m =+代入24y x =，得2()4kx m x +=， 整理222(24)0k x km x m +-+=……①222(24)40km k m ∴∆=--=，1km ∴=当0AB k =时，直线AB 为x 轴，此时不存在平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D 即0k ≠10m k∴=≠ 所以①可以化为222120k x x k -+=21D x k ∴=，2D y k =，212,D k k ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭当21k ≠时2222222111AD kk k k k k k k k+===--- ()222:21kAD y k x k k∴+=--， 22:(1)1kAD y x k∴=--，过定点(1,0)F 当21k =时，:1AD x =也过点(1,0)F ，故直线AD 过点(1,0)F 【点睛】本题主要考查了利用定义求抛物线的方程以及抛物线中直线过定点问题，属于较难题. 21．如图1，在矩形ABCD中，AB =BC =E 、P分别在线段DC 、BC 上，且5DE =，152DP =，现将AED ∆沿AE 折到'AED ∆的位置，连结'CD ，'BD ，如图2（1）证明：'AE D P ⊥；（2）记平面'AD E 与平面'BCD 的交线为l .若二面角'B AE D --为23π，求l 与平面'D CE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）15【解析】(1)建立坐标系证明AE DP ⊥，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明'AE D P ⊥；(2)根据公理3得到平面'AD E 与平面'BCD 的交线，再根据二面角定义得到二面角 'B AE D --的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求l 与平面'D CE 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明：如图1，线段,DP AE 交于点O 在Rt PCD ∆中，由35DC AB ==，152DP =，2235PC DP DC =-=以点A 为坐标原点，建立直角坐标系，则(5,25AE =，3535,PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭即35355250AE PD ⋅=-⨯+⨯= AE DP ∴⊥，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有AE OD '⊥，AE OP ⊥，OD OP O '⋂=，,OD OP '⊂平面POD ' AE ∴⊥平面POD 'D P '⊂平面POD '，AE D P '∴⊥；（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接'D Q根据公理3得到直线'D Q 即为l ，再根据二面角定义得到23D OP π'∠=.在平面'POD 内过点O 作底面垂线，O 为原点，分别以OA 、OP 、及所作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 则(0,3D '-，(1,0,0)E -，(11,0,0)Q -，(3,4,0)C -， (11,1,3D Q '=--，(2,4,0)EC =-，(1,3ED '=-， 设平面'D EC 的一个法向量为(, , )n x y z =，由24030n EC x y n ED x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩'， 取1y =，得32,1,3n ⎛=- ⎝⎭. l ∴与平面D CE '所成角的正弦值为15cos ,n D Q n D Q n D Q '⋅'=='⋅【点睛】本题主要考查了由线面垂直证线线垂直以及利用向量法证明线面角，属于较难题.22．已知椭圆22:236C x y +=.（1）求椭圆C 的短轴长和离心率；（2）过点()2,0的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N ，设MN 的中点为T ，点()4,0P ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.【答案】（1）短轴长e =（2）TM TP >，证明见解析【解析】(1)由椭圆的性质求解即可；(2) 当l 为斜率k 不存在时，由直线l 方程与椭圆方程的交点求得TM ，TP 从而判断TP 与TM 的大小；当l 为斜率k 存在时，由直线l 方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得出12x x +，12x x ，再由数量积公式以及圆的性质求解即可.【详解】解：（1）由题意可知，椭圆22:236C x y +=可变形为22:13618x y C +=6a ∴=，b =c =故短轴长为2e =（2）解：当l 为斜率k 不存在时，l 为2x =时，代入22:236C x y +=可得4y =±，此时()2,0T ，4TM ∴=，2TP =，TM TP ∴>，当l 为斜率k 存在时，设:(2)l y k x =-代入到22:236C x y +=，得2222(2)36x k x +-=()22222188360k x k x k ∴+-+-=令()11,M x y ，()22,N x y 则2122821k x x k +=+，212283621k x x k -=+，此时()114,PM x y =-，()224,PN x y =-，()()()()()()212121212444422PM PN x x y y x x k x x ∴⋅=--+=--+-- ()()()()212124422x x k x x =--+--()()()2221212142164k x x k x x k =+-++++()()()222222283618421642121k k k k k k k -++=-++++ ()()()()()222222222291424214212121k k k k k k k k k ⎡⎤-++++⎢⎥=-+⨯+++⎢⎥⎣⎦ 22654021k k --=⨯<+ 90MPN ∴∠>︒，点P 在以MN 为直径的圆内部. 所以TM TP >， 综上所述，TMTP > 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题.。
2019-2020学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2B ．1(,0)4C ．1(0,)2D ．1(0,)4答案：B由抛物线的方程2y x =，可知12p =，所以抛物线的焦点坐标为1(,0)4，故选B. 2．双曲线221169x y -=的一条渐近线方程是（ ） A ．340x y -= B ．430x y -= C ．9160x y -= D ．1690x y -=答案：A直接由双曲线的渐近线的定义可得渐近线的方程． 解：解：由双曲线的方程可得216a =，29b =，焦点在x 轴上，所以渐近线的方程为：34b y x x a =±=，即340±=x y ， 故选：A ． 点评：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．3．命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是( ) A ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 B ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 C ．若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 D ．若+a b 不是偶数，则a ，b 不全是偶数 答案：C根据命题的否定和命题之间的关系确定结论即可． 解：解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为：若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 ．故选：C ． 点评：本题主要考查四种命题之间的关系，属于基础题．4．设0a >，0b >，则“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C利用椭圆的焦点在y 轴上的充要条件即可得出． 解：解：“b a >”⇔“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”，∴“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的充要条件．故选：C ． 点评：本题考查了椭圆的焦点在y 轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.7C ．0.3D ．0.2答案：A利用互斥事件概率加法公式直接求解． 解：解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2， ∴乙不输的概率是：10.20.8p =-=． 故选：A ． 点评：本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[10,15)和[25,30)为二等品，在区间[10,15)和[30,35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.15D ．0.25答案：D由频率分布直方图得在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=，由此能求出从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率． 解：解：在区间[10,15)和[30,35)为三等品， 由频率分布直方图得：在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=， ∴从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25． 故选：D ． 点评：本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7．如图，在四面体OABC 中，2OM MA →→=，BN NC →→=，则MN →=（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++答案：D由已知直接利用向量的加减法运算得答案． 解：解：∵2OM MA→→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选：D ．点评：本题考查空间向量基本定理，属于基础题．8．长方体1111ABCD A B C D -中，1AD CD ==，12DD =，则直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为（ ） A 30B 10C ．70 D 310答案：A以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解． 解：解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(1,1,2)B ，1(0,1,2)C ， ∴1(1,1,2)DB →=，1(1,0,2)BC →=-，由111111cos ,||||DB BC DB BC DB BC →→→→→→⋅<>=⋅3065==⋅． 得直线1DB 与直线1BC 30． 故选：A ．点评：本题考查利用空间向量求解空间角，属于中档题．9．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不大于6的概率记为1p ，点数之和大于6的概率记为2p ，点数之和为奇数的概率记为3p ，则（ ） A ．123p p p << B ．132p p p <<C ．213p p p <<D ．312p p p <<答案：B使用列举法求出三个概率，再比较大小． 解：解：随机掷两枚质地均匀的骰子共有36个基本事件，它们发生的可能性相等． 其中向上的点数和不大于6的基本事件共有15个，分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，11553612P ∴==． 点数之和大于6的基本事件共有21个，分别是(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．22173612P ∴==． 由于骰子的点数奇偶数相同，故点数之和为偶数的概率312P =． 132p p p ∴<<．故选：B ． 点评：本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．10．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，已知101220ii x==∑，1011610i i y ==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）厘米. A ．165 B ．168C ．173D ．178答案：C由已知求得x ，y 的值，结合4b=$求得$a ，可得线性回归方程，取25x =求得y 值即可． 解：解：10112202210i i x x ====∑，1011161016110i i y y ====∑， 又y bx a =+$$$，4b=$， ∴$16142273ay bx =-=-⨯=$． ∴y 关于x 的线性回归方程为$473y x =+． 取25x =，得42573173y =⨯+=（厘米）． 故选：C ． 点评：本题考查线性回归方程的求法，属于基础题．11．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为92，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的标准差为（ ）A ．4B ．2C ．5D 5答案：B由平均数求得x 的值，再计算7个剩余分数的方差和标准差． 解：解：将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为92；最低分是87，当9x =时，剩余7个数分别是89、90、91、92、94、95、98， 平均值为1(89909192949598)92.7927⨯++++++≈>， 所以8x ≤，计算剩余7个数的平均值为190(101245)927x +⨯-++++++=， 解得3x =；所以7个剩余分数的方差为：217s =⨯2228992)(9092)[92)((91-+-+-2222(9292)(9392)(9492)(9592)4]+-+-+-+-=．所以标准差为2s =． 故选：B ． 点评：本题考查了利用茎叶图求平均数和方差、标准差的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题．12．已知圆锥曲线C 的方程是225658x xy y -+=，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．曲线C 上的点的横坐标x的取值范围是22⎡-⎢⎣⎦B ．曲线C 关于直线y x =对称C ．曲线C 上的点到曲线C 的对称中心的最远距离为2D ．曲线C 的离心率是12答案：D由关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=有实数解，运用判别式非负，解得x 的范围，可判断A ；将x 换为y ，y 换为x ，方程不变，可判断B；由旋转变换公式可得x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入原方程化简可得椭圆方程，由椭圆的性质可判断C ，D ． 解：解：方程225658x xy y -+=，可看做关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=， 根据方程有实数解的条件可得223645(58)0x x ∆=-⨯-≥，解得22x -，故A 正确；将x 换为y ，y 换为x ，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =对称；同样将x 换为y -，y 换为x -，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =-对称， 故B 正确；由旋转变换公式可得22x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入曲线C 的方程可得()2562x y ''-⨯-⨯22''''⨯+()2582x y ''+⨯=， 化为2214x y ''+=，即为椭圆方程，且长轴长为4，即曲线C 上的点到曲线C 的对称中心O 的最远距离为2，离心率为4134e -==，故C 正确，D 错误． 故选：D ．点评：本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，以及数形结合思想，属于难题．二、填空题13．命题“0x ∃∈R ，2010x +…”的否定是_________． 答案：对任意0x ∈R ，使2010x +>本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可. 解：解：∵命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”是一个特称命题∴命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”的否定是“对任意0x ∈R ，使2010x +>” 故答案为：对任意0x ∈R ，使2010x +>点评：本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词．14．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，那么应抽取男运动员的人数是________． 答案：12先求出男运动员的人数占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 解：解：男运动员的人数占的比例为40440307=+，故应抽取的男运动员的人数为421127⨯=人，故答案为：12． 点评：本题主要考查分层抽样，属于基础题．15．已知点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，若2AB a →→=，则点B 的坐标是_________． 答案：(7,10,24)-设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得1(-x ，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标．解：解：点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，2AB a →→=， 设(,,)B x y z ，则(1,2,)(6,8,24)x y z --=-， 解得7x =，10y =，24z =-， ∴点B 的坐标(7,10,24)-． 故答案为：(7,10,24)-．点评：本题考查点的坐标的求法，考查向量坐标运算法则和向量相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．在相距1000m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s ，已知声速340m /s ．以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为________．答案：221115600134400x y -=由题意可得双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且由双曲线的定义可得a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系进而求出双曲线的方程． 解：解：由题意可得双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，且21000c =，22340a =⨯，即500c =，340a =，所以22222500340134400b c a =-=-=，2115600a =，所以双曲线的方程为：221115600134400x y -=；故答案为：221115600134400x y -=．点评：考查由双曲线的定义求标准方程的求法，属于基本知识直接应用题，双基考查题，属于基础题．三、解答题17．一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．（1）从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率． （2）从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率． 答案：（1）13（2）38（1）从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C ==，利用列举法取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n=⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有6个，由此能求出第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．解：解：（1）一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C==，取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有：（1，2），（1，4），共2个，∴取出的标签上的数字之和不大于5的概率2163 p==．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n=⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（4，8），共6个，∴第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率63168p==．点评：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．某家庭记录了使用节水龙头100天的日用水量数据，得到频数分布表如下：日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数21026203210（1）作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m的概率．（3）求该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）． 答案：（1）见解析（2）0.58（3）0.36（1）由频数分布表能作出使用节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图． （2）由频数分布表能估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.4m 的概率． （3）由频率分布直方图得[0，0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=，[0.3，0.4)的频率为20.10.2⨯=，由此能求出该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值． 解：解：（1）由频数分布表作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图如下：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率为：21026200.58100P +++==．（3）由频率分布直方图得：[0,0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=， [0.3,0.4)的频率为20.10.2⨯=，∴该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）为：0.50.380.30.10.360.2-+⨯=．点评：本题考查频率分布直方图的作法，考查概率、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．（1）求证：1C D AD ⊥；（2）求二面角11A C D A --的正切值． 答案：（1）见解析（22（1）推导出11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，从而1C D ⊥平面11ABB A ，由此能证明1C D AD ⊥．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A C D A --的正切值． 解：（1）证明：∵在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．∴11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，∵1111AA A B A =I ，∴1C D ⊥平面11ABB A ， ∵AD ⊂平面11ABB A ，∴1C D AD ⊥．（2）解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B ，(1,1,2)D1(2,0,2)AC →=-，(1,1,2)AD →=-，设平面1ADC 的法向量(,,)n x y z =r，则12202n AC x zn AD x y z⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u u rru u u rr，取1x=，得(1,1,1)n→=-，平面11AC D的法向量(0,0,1)m→=，设二面角11A C D A--的平面角为θ，则||cos3||||m nm nθ→→→→⋅==⋅，12sin133θ=-=，∴二面角11A C D A--的正切值为sintan2cosθθθ==．点评：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20．已知直线4x=与抛物线2:2C y px=（0p>）相交于A，B两点，且OABV是等腰直角三角形．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l过定点(2,1)-，斜率为k，当k为何值时，直线l与抛物线C只有一个公共点？答案：（1）24y x=（2）0k=或1k=-或12k=（1）将4x=代入抛物线的方程，求得A，B的坐标，由等腰直角三角形的性质可得OA OB⊥，再由两直线垂直的条件，解方程可得p，进而得到抛物线的方程；（2）由题意可得直线l与抛物线的对称轴平行，可得0k=，又直线和抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，可得所求值．解：解：（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设(4,22)A p ，(4,22)B p -，又OAB V 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥， 则22221p p-⋅=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+， 当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =； 当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k+=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，主要是直线和抛物线有交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）若6AB =，3AD =，试问在线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3322？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由． 答案：（1）见解析（2）存在，DQ 93．（1）由已知证明AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥，再由DE PA ⊥，结合线面垂直的判定可得DE ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD，并求得DQ． 解：（1）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， 而AB AD ⊥，∴AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥， 在等边三角形PAD 中，∵E 为PA 的中点，∴DE PA ⊥， 又PA AB A =I ，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ∴DE ⊥平面PAB ；（2）解：取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ， 以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系． 则3,6,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,6,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P ⎛ ⎝⎭，34E ⎛ ⎝⎭． 假设线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD， 设DQ DE λ→→=（01λ剟），则9,0,44DQ λ→⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，93,6,4QB DB DQ λ→→→⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面PDC 的一个法向量为n (x,y,z)→=，32DP →⎛= ⎝⎭，(0,6,0)DC →=．由30260n DP x nDC y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u ur r u u u r r ，取1z =-，得1)n →=-． 由|cos ,|QB n →→<>=||||||QB n QB n →→→→⋅=⋅22=， 解得：34λ=或4λ=（舍）．∴2793,0,16DQ→⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，则93||8DQ→=．∴在线段DE上存在点Q，使得直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为33，DQ的长为93．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，属于中档题．22．已知椭圆2222:1x yCa b+=（0a b>>6，1F、2F是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且12PF F△面积的最大值为102（1）求椭圆C的方程；（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆2213xy+=上，O为原点，点Q，M，N满足3OQ OM ON→→→=+，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．答案：（1）2213010x y+=（2）是定值，且定值为13-．（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可求出椭圆方程；（2）设0(Q x，)y，1(M x，1)y，2(N x，2)y，所以2200330x y+=，221133x y+=，222233x y+=，由3OQ OM ON→→→=+得01201233x x xy y y=+⎧⎨=+⎩，代入22003x y+得2200121233276(2)x y x x y y+=+++，所以121220x x y y+=，即12OM ONk k=-g，从而得到直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为12-．解：解：（1）由题意可知：222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222301020a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2213010x y +=； （2）设()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，∴2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=， ∵3OQ OM ON →→→=+，∴()()()001122,,3,x y x y x y =+，∴0121233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∴()()22220012123333x y x x y y +++=+=2222112211226931827x x x x y y y y +++++327=++()12126330x x y y +=，∴121230x x y y +=，∴121213y y x x =-，即13OM ON k k ⋅=-， ∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为13-． 点评：本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．。
广东省2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试题及答案
（1）当 a = 3 时，若 p 为真命题，求 m 的取值范围；
（2）当 a 0 时，若 p 为假命题是 q 为真命题的充分不必要条件，求 a 的取值范围.
18.
ABC 的内角
A，B
，C
的对边分别为 a ， b
， c ，已知 b
=
2a
，
c2 a2
=1+ 4
3 sin C .
（1）求 C ；
（2）若 c = 2 7 ，求 ABC 的面积.
6
4
（）
A. 2 3
B. 3 6 2
C. 3 3
D. 2 6
5. 已知点 P (−2, 4) 在抛物线 y2 = 2 px ( p 0) 的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. (0, 2)
B. (0, 4)
C. (2,0)
D. (4,0)
6. 已知双曲线 x2 − y2 = 1 的焦点与椭圆 x2 + y2 = 1的焦点相同，则 m = （ ）
广东省 2019～202分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟. 2. 请将各题答案填写在答题卡上. 3. 本试卷主要考试内容：人教 A 版必修 5，选修 2—1.
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求的.
m2
4
A. 1
B. 3
C. 4
D. 5
1
7. “ −1 m 3 ”是“方程 x2 + y2 = 1表示椭圆”的（ ） m+1 7−m
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
广东省19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
广东省19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x0∈(0,+∞)，x03−e x0>1”的否定为()A. ∃x0∈(0,+∞)，x03−e x0<1B. ∃x0∈(0,+∞)，x03−e x0≤1C. ∀x∈(0,+∞)，x3−e x<1D. ∀x∈(0,+∞)，x3−e x≤12.双曲线x23−y22=1的焦距为()A. 3√2B. √5C. 2√5D. 4√53.数列{a n}满足：a1=1，a n=a n−1+3n，则a4等于()A. 4B. 13C. 28D. 434.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=√3，A=π6，则角B等于()A. π3B. π6C. π3或2π3D. π6或5π65.已知点P(−2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上，则该抛物线的焦点坐标是()A. (0,2)B. (0,4)C. (2,0)D. (4,0)6.已知双曲线x2a −y22=1的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点相同，则双曲线的离心率为()A. √22B. √2C. √3D. 27.“1<m<3”是“方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴．若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为()A. 3B. 32C. 125D. 13129.在△ABC中，cos2A2=b+c2c，则△ABC的形状为()A. 直角三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 正三角形D. 等腰直角三角形10.已知直线y=kx+3与椭圆x216+y24=1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A. (√54,+∞)B. (−∞,−√54)C. (−∞,−√54)∪(√54,+∞)D. (−√54,√54) 11. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3+a 7=8，则S 9等于( )A. 272B. 36C. 54D. 108 12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P ，Q ，若点P 是线段F 1Q 的中点，且QF 1⊥QF 2，则此双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√2xB. y =±√3xC. y =±2xD. y =±3x二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为(2,0)，且点(2,3)在椭圆上，则椭圆的短轴长为______ ． 14. 已知a >0，b >0，且3a+2+3b+2=1，则a +2b 的最小值为______．15. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB =15m ，AC =25m ，∠BCM =30∘，则tanθ的最大值是 (仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)16. A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2x 上相异的两点，且在x 轴同侧，点C(1,0).若直线AC ，BC的斜率互为相反数，则y 1y 2= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：(x +2)(x −6)≤0，q ：2−m ≤x ≤2+m ．(Ⅰ)若m =5，“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，求实数x 的取值范围；(Ⅱ)若q 是p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且△ABC的面积为10√3，a+b=13，∠C=60°，求这个三角形的各边长．19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点M(1,−2√2)，直线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A，B两点．(1)若直线l的方程为y=x−2，求|AB|的值；(2)若直线OA，OB的斜率为k1，k2，且k1+k2=2，求直线l的方程．20.已知数列{a n}的前n项和为S n,n∈N∗，且S n=32a n−12．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=na n+1，求数列{b n}的前n项和T n．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD．(2)求二面角A−PE−C的余弦值．22.已知椭圆E:x2a +y2=1(a>1)，过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)直线l：y=kx+1与椭圆E交于C、D两点，以线段CD为直径的圆过点M(−1,0)，求直线l的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查命题的否定、特称命题和全称命题，属于基础题；根据特称命题与全称命题的关系，利用特称命题的否定为全称命题进行求解．解：命题“，x03−e x0>1”的否定为：∀x∈(0,+∞),x3−e x≤1；故选D．2.答案：C解析：解：由双曲线x23−y22=1，易知c2=3+2=5，∴c=√5，∴双曲线x23−y22=1的焦距为2√5．故选：C．由双曲线x23−y22=1，易知c2=3+2=5，求出c，即可求出双曲线x23−y22=1的焦距．本题考查双曲线的标准方程，双曲线标准方程中的参数a，b，c的关系：c2=a2+b2，双曲线焦距的概念．3.答案：C解析：解：数列{a n}满足：a1=1，a n=a n−1+3n，可得a2=a1+3=1+3×2=7，a3=a2+3×3=7+9=16，a4=a3+3×4=28．故选：C．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．解析：解：∵a=1，b=√3，A=π6，∴由正弦定理得，asinA =bsinB，则sinB=b⋅sinAa =√3×121=√32，又∵0<B<π，b>a，∴B=π3或2π3，故选：C．由题意和正弦定理求出sin B的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角B．本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查抛物线的准线和焦点坐标，属于基础题．求出p=4，即可得解．解：抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点P(−2,4)，所以−p2=−2，∴p=4，则该抛物线的焦点坐标为(2,0)．故选C．6.答案：B解析：解：双曲线x2a −y22=1的焦点与椭圆x26+y22=1的焦点相同，可得6−2=a+2，解得a=2，所以双曲线的离心率为：e=ca =√2+2√2=√2．故选：B．求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，推出a，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，属于基础题． 根据椭圆的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆，则满足{m −1>03−m >0m −1≠3−m ，即{m >1m <3m ≠2, 即1<m <3且m ≠2，此时1<m <3成立，即必要性成立，当m =2时，满足1<m <3，但此时方程x 2m−1+y 23−m =1等价为x 21+y 21=1为圆，不是椭圆，不满足条件，即充分性不成立，故“1<m <3”是“方程x 2m−1+y 23−m =1表示椭圆”的必要不充分条件， 故选B ． 8.答案：B解析：解：在RT △PF 1F 2中,|PF 1|=√122+52=13,那么2a =13−5=8，故e =128=32． 故选：B ．利用已知条件转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9.答案：A解析：本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与两角和的正弦的应用，属于中档题．解：在△ABC 中，∵cos 2A 2=1+cosA 2=b+c 2c =b 2c +12， ∴cosA 2=sinB 2sinC ， ∴sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =cosAsinC ，∴sinAcosC =0，∵sinA >0，∴cosC =0，C =π2，∴△ABC 的形状是直角三角形，故选A ．10.答案：C解析：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，解题的关键是熟练掌握直线与椭圆直线与椭圆的位置关系的计算，根据已知及直线与椭圆的位置关系的计算，求出实数k 的取值范围．解：由{y =kx +3,x 216+y 24=1 得(4k 2+1)x 2+24kx +20=0，当Δ=16(16k 2−5)>0，即k >√54或k <−√54时，直线和椭圆有两个公共点． 故选C ．11.答案：B解析：解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3+a 7=8，∴S 9=92(a 3+a 7)=92×8=36．故选：B ．由等差数列性质得S 9=92(a 3+a 7)，由此能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12.答案：B解析：本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相互垂直的直线之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．点P是F1Q的中点，O是F1F2的中点，利用三角形的中位线定理可得OP//F2Q.已知QF1⊥QF2，可得F1Q⊥OP.进而得到直线F1P的方程，即可得到点P的坐标，利用余弦定理，即可求得双曲线的渐近线方程．解：如图所示，∵点P是F1Q的中点，O是F1F2的中点，∴OP//F2Q.∵QF1⊥QF2，∴F1Q⊥OP．∵OP的方程为y=−ba x，∴k F1P=ab，∴直线F1P的方程为y=ab(x+c)．联立{y=−baxy=ab(x+c)，解得{x=−a2cy=abc，即P(−a2c,abc).∴|PF1|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF1|=|OF2|=|OQ|=c，|QF2|=2a，∵tan∠QOF2=ba ，∴cos∠QOF2=ac，由余弦定理，得cos∠QOF2=c2+c2−4a22c2=1−2a2c2=ac，∴1−2e2=1e，即e2−e−2=0，解得e=2，或e=−1(舍)，∴b=√3a，∴双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故选B．13.答案：4√3解析：解：椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的右焦点为(2,0)，且点(2,3)在椭圆上，可得c=2，2a=√(2−2)2+(3−0)2+√(2+2)2+(3−0)2=8，可得a=4，b2=a2−c2=12，可得b=2√3，椭圆的短轴长为：4√3．故答案为：4√3．利用已知条件求出椭圆的方程，即可得到结果．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．14.答案：3+6√2解析：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．实数a>0，b>0，且3a+2+3b+2=1，则a+2b=[(a+2)+2(b+2)](3a+2+3b+2)−6=3+6(b+2)a+2+3(a+2)b+2，再利用基本不等式的性质即可得出．解：因为a>0，b>0，且3a+2+3b+2=1，则a+2b=[(a+2)+2(b+2)](3a+2+3b+2)−6=3+6(b+2)a+2+3(a+2)b+2≥3+2√6(b+2)a+2×3(a+2)b+2=3+6√2；当且仅当a+2=√2(b+2)时取等号．∴a+2b的最小值是3+6√2．故答案为：3+6√2．15.答案：5√39解析：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题过P 作PP′⊥BC ，交BC 于P′，连接AP′，则tanθ=PP′AP′，求出PP′，AP′，利用函数的性质，分类讨论，即可得出结论．解：∵AB =15m ，AC =25m ，∠ABC =90°，∴BC =20m ，过P 作PP′⊥BC ，交BC 于P′，连接AP′，则tanθ=PP′AP′，设BP′=x ，则CP′=20−x ，由∠BCM =30°，得PP′=CP′tan30°=√33(20−x)， 在直角△ABP′中，AP′=√225+x 2，∴tanθ=√33√225+x 2， 令y =2，则函数在x ∈[0,20]单调递减，∴x =0时，取得最大值为20√345=4√39. 若P′在CB 的延长线上，PP′=CP′tan30°=√33(20+x)， 在直角△ABP′中，AP′=√225+x 2， ∴tanθ=√33√225+x 2， 令y =(20+x)2225+x 2，则y′=0可得x =454时，函数取得最大值5√39， 故答案为5√39.16.答案：2解析：解：由题意可得，y 12=2x 1，y 22=2x 2，k AC =y 1−0y 122−1，k BC =y 2−0y 222−1， 若直线AC ，BC 的斜率互为相反数，则k AC +k BC =0，即为2y 1y 12−2+2y 2y 22−2=0， 即y 1y 22−2y 1+y i 2y 2−2y 2=0，即为(y 1y 2−2)(y 1+y 2)=0，由于y 1y 2>0，即y 1y 2=2．故答案为：2．运用A ，B 在抛物线上，满足抛物线方程，再由直线的斜率公式，化简整理计算即可得到所求值． 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线的斜率公式，考查化简整理的能力，属于中档题．17.答案：解：对于p ：由(x +2)(x −6)≤0，解得−2≤x ≤6，(Ⅰ)当m =5时，q ：−3≤x ≤7，∵“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，∴p 假q 真，由{x <−2或x >6−3≤x ≤7，得−3≤x <−2或6<x ≤7， ∴实数x 的取值范围为[−3,−2)∪(6,7].(Ⅱ)设A =[−2,6]，B =[2−m,2+m]，∵q 是p 的充分不必要条件，∴B ⊊A ．当B =⌀时，2−m >2+m ，解得m <0，当B ≠⌀时，∴{2−m ≤2+m2−m ≥−22+m ≤6，得0≤m ≤4，当m =4时，A =B ，∴实数m 的取值范围为m <4．解析：本题考查了复合命题的真假判断方法、充要条件、集合之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于p ：由(x +2)(x −6)≤0，解得−2≤x ≤6，(Ⅰ)当m =5时，q ：−3≤x ≤7.由“p 或q ”为真命题，“¬p ”为真命题，可得p 假q 真，解出即可．(Ⅱ)设A =[−2,6]，B =[2−m,2+m]，由于q 是p 的充分不必要条件，可得B ⊊A.分类讨论：当B =⌀时，当B ≠⌀时，即可得出．18.答案：解：∵△ABC中，S=12ab⋅sin C，∴10√3=12absin60°，即ab=40，又a+b=13，∴解得：a=5，b=8或a=8，b=5，∴c2=a2+b2−2abcos C=49，∴解得：c=7．故三角形三边长为a=5cm，b=8cm，c=7cm或a=8cm，b=5cm，c=7cm．解析：由已知及三角形面积公式可求ab=40，结合a+b=13，可得a，b的值，利用余弦定理可求c，从而得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：解：(1)将点M(1,−2√2)代入抛物线方程，可得p=4，则抛物线方程为y2=8x．设A(x1,y1)，B(x2,y2)联立{y2=8x,y=x−2,可得x2−12x+4=0．∴x1+x2=12，则|AB|=x1+x2+4=16．(2)由题意知直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为y=k(x−2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)联立{y2=8xy=k(x−2)，可得k2x2−(4k2+8)x+4k2=0，显然Δ>0，从而x1+x2=4k2+8k2，x1x2=4．∴k1+k2=y1x1+y2x2=k(x1−2)x1+k(x2−2)x2=2k−(2kx1+2kx2)=2k−2k(x1+x2)x1⋅x2=2k−2k 4k2+8k24=−4k=2，∴k=−2．∴直线l的方程为2x+y−4=0．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法以及性质的应用，考查计算能力．(1)先求出抛物线方程，线l经过抛物线的焦点F与抛物线交于A，B两点．联立方程组，利用韦达定理，弦长公式求出|AB|．(2)设直线l方程为y=k(x−2)，联立方程组，利用韦达定理可求出k的值，即可求出直线l的方程．20.答案：解：(Ⅰ)当n=1时，a1=32a1−12，得a1=1，当n≥2时，S n−S n−1=a n=32(a n−a n−1)，得a n=3a n−1，∴数列{a n}是公比为3的等比数列，∴a n=3n−1．(Ⅱ)由(Ⅰ)得：b n=2na n+2−a n+1=n3n，又T n=13+232+⋯+n3n①∴13T n=132+233+⋯+n3n+1②两式相减得：23T n=13+132+⋯+13n−n3n+1，故23T n=13(1−13n)1−13−n3n+1，∴T n=34−3+2n4×3n<34．解析：(Ⅰ)利用数列的递推关系式求出数列是等比数列，然后求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)化简b n=na n+1，利用错位相减法求解数列的和，即可得到结果．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．21.答案：证明：(1)连结DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，又DE∩PD=D，∴AB⊥平面PDE，∴AB⊥PE，∵AB//CD，∴PE⊥CD．解：(2)设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(−1,0，2√3)，A(0,−√3,0)，E(12,−√32,0)，C(0,√3,0)， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2√3)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−3√32,0)， 设平面APE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y +2√3z =0n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y =0，取z =1，得n ⃗ =(√3,−1,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −3√32z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(3√3,1，2)， 设二面角A −PE −C 的平面角为θ，由图知θ为钝角，∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√5⋅√32=−√104． ∴二面角A −PE −C 的余弦值为−√104．解析：(1)连结DE ，BD ，推导出DE ⊥AB ，PD ⊥AB ，从而AB ⊥平面PDE ，进而AB ⊥PE ，由此能证明PE ⊥CD ．(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PE −C 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由题意，直线AB 的方程为：x −ay −a =0，∵过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32， ∴√a 2+1=√32， ∴a =√3，∴椭圆E 的方程为x 23+y 2=1．(Ⅱ)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，将直线l ：y =kx +1代入椭圆E ，消元可得(1+3k 2)x 2+6kx =0，∴x 1=0，x 2=−6k1+3k 2，∴y 1=1，y 2=1−3k 21+3k 2，∵以线段CD 为直径的圆过点M(−1,0)，∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，∴−6k 1+3k 2+1+1−3k 21+3k 2=0, ∴k =13, ∴直线l 的方程为y =13x +1.．解析：(Ⅰ)求得直线AB 的方程为：x −ay −a =0，利用过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32，求得a 的值，即可得到椭圆E 的方程； (Ⅱ)将直线l ：y =kx +1代入椭圆E ，消元可得(1+3k 2)x 2+6kx =0，求得C ，D 的坐标，利用MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可求得直线l 的方程．。
2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试数学试卷及答案解析
2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）
A．3B．4C．5D．6
2．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（a2）＝（）
A．a B．﹣a C．±a D．|a|
4．（）﹣2+log22等于（）
A ．B．3C．4D．5
5．（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A．0＜a＜1B ．C ．D ．
7．函数的最小正周期为（）
A ．B．πC．2πD．4π
8．已知α∈（π，π），cosα＝﹣，则tan （﹣α）等于（）
A．7B ．C ．﹣D．﹣7
9．如图所示，函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（0）＝（）
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2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试题一、单选题1．命题“00x ∃>，200430x x -+<”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，200430x x -+< B ．0x ∀>，2430x x -+≥C ．00x ∃≤，200430x x -+≥D ．00x ∃>，200430x x -+≥【答案】B【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可． 【详解】解：命题“00x ∃>，200430x x -+<”是特称命题，故其否定为：0x ∀>，2430x x -+≥ 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．2．双曲线2216436x y -=的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．D ．【答案】B【解析】双曲线的方程得8a =，6b =，可求10c ==，即可求出焦距． 【详解】解：双曲线2216436x y -=中8a =，6b =，10c ∴==， 220c ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c ，属于基础题．3．在数列{}n a 中，10a =，()1322n n a a n -=+≥，则3a =（ ） A ．2 B ．6C ．8D ．14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出2a ，即可求得3a . 【详解】解：因为10a =，132n n a a -=+， 所以21322a a =+=， 则32328a a =+=. 故选：C 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题. 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，4B π=，a =则b =（ ） A．B．2C．D．【答案】A【解析】直接利用正弦定理得到sin sin a Bb A=，代入数据计算得到答案. 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B =，所以sin 21sin 2a Bb A===.故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.5．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,4C ．()2,0D ．()4,0【答案】C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点()2,4P -在抛物线的准线上，即可求出参数p ，即可求出抛物线的焦点. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的准线为2p x =-因为()2,4P -在抛物线的准线上22p∴-=- 4p ∴=28y x ∴=故其焦点为()2,0故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.6．已知双曲线2212x y m -=的焦点与椭圆2214x y +=的焦点相同，则m =（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得m 的值. 【详解】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =，即椭圆的焦点坐标为()，∴双曲线2212x y m -=的焦点为()，∴23m +=，解得1m =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.7．“13m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程22117x y m m+=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】因为方程22117x ym m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<.故“13m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ）A ．2或18B ．2C ．18D ．4【答案】C【解析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题. 9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案.【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形.故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.10．直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，则k 的取值范围是（ ）A．22⎡-⎢⎣⎦B．,,22⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭UC．⎡⎣D．(),-∞+∞U【答案】B【解析】联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212860k x kx +++= 二次项系数2121k +≥因为直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，()()22841260k k ∴∆=-⨯+⨯≥解得2k ≥或2k ≤-即,22k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭U 故选：B【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题. 11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210a a -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（ ） A ．11 B ．12C ．21D ．22【答案】D【解析】由题意可知公差0d >，又111210a a -<<，故120a >，110a <，且11120a a +>，根据前n 项和公式及下标和公式，可得其220S >，21S 0<即可得解. 【详解】解：由题意可得等差数列{}n a 的公差0d >.因为111210a a -<<，所以120a >，110a <，所以11120a a +>，则()()1121211122221102a a a a S +==+>，2111S 210a =<.故使得0n S >成立的n 的最小值是22.故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题.12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =u u u r u u u r，则双曲线的离心率为（ ）A ．BC ．2D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：b y x a =-，2l ：by x a=则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =u u u r u u u r ，所以12PQ PF = 所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=，22220ac+=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．椭圆224624x y +=的短轴长是______. 【答案】4【解析】椭圆标准方程为22164x y +=，再直接利用椭圆的短轴公式得到答案.【详解】椭圆方程为22164x y +=，则2b =，则短轴长是24b =.故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的短轴长，属于简单题. 14．已知0a b >>，且2a b +=，则515a b+的最小值是______. 【答案】185【解析】变形得到()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到答案.【详解】因为2a b +=，所以()511511526525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0a b >>，所以525b a a b +≥，当且仅当53a =，13b =时，等号成立 所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键. 15．从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是45︒，从该建筑物的北偏东30°的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是30°，A ，B 之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米.【答案】【解析】设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，利用余弦定理求得h 的值.【详解】解：设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，35AB =，150AOB ∠=︒，则2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，即22223532h h ⎛=+-⨯- ⎝⎭，解得h =【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______. 【答案】()2,0-【解析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN u u u u r u u u r，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=，所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN u u u u r u u u r，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ，22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+= 化简得： ()1212204y y y y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k y y a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==-即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞.【解析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案. （2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m≤，即3m ≤， 故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >. 记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞U . 因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞. 【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b a =，221c C a=+. （1）求C ；（2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=； （2）【解析】（1）利用余弦定理得到22254cos c a a C =-，再根据221c C a=+整理得到1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据（1）代入数据计算得到c =2a =，24b a ==.，代入面积公式计算得到答案. 【详解】（1）因为2b a =，所以222222cos 54cos c a b ab C a a C =+-=-.所以2254cos 1c C C a=-=+，整理得1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为()0,C π∈，所以23C π=.（2）由（1）可知23C π=，22254cos c a a C =-，又因为c = 所以2a =，24b a ==.所以1sin 2ABC S ab C ∆==. 【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点. （1）若直线l 的方程为3y x =+，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =u u u r u u u r，求||MN .【答案】（1）18；（2）3. 【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =u u u r u u u r可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果. 【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-， 且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =u u u r u u u r，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =.因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||33MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*123n n S a a n N=-∈，数列{}nb 满足14b =，()*21n n n b S na n N =++∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a ； （2）()25354n nn T +⨯-=. 【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到()*132,n n a a n n N -=≥∈，再利用14b =计算11a =得到数列{}n a 的通项公式. （2）由（1）可得13-=n n a ，则()133n n b n -=+⨯，再利用错位相减法计算前n 项和.【详解】（1）因为()*123n n S a a n N=-∈，所以()*111232,n n Sa a n n N --=-≥∈，所以()*12332,n n n a a a n n N-=-≥∈，即()*132,nn a a n n N -=≥∈.因为14b =，()*21n n n b S na n N =++∈，所以111214b S a =++=，所以11a =. 故数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得13-=n n a ，则()()121333n n n n n b S na n a n -=++=+=+⨯，从而()214536333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，①()23343536333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯L ，②①-②得()212433333n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-+⨯()335254333222n n nn n -+=+-+⨯=-⨯，故()25354n nn T +⨯-=. 【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AD BC ，PA PB PD ==，2PE EC =，O 为BD 的中点.（1）证明：OP ⊥平面ABCD ；（2）若2AB =，243BC AD ==，4PA =，求二面角C BD E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）25. 【解析】（1）取AD 的中点F ，连接,PF OF ，易得AD PF ⊥，OF AD ⊥，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面POF ，进而AD OP ⊥，再将PO BD ⊥与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可求出平面BDE 的一个法向量(3,1,4)m =-，取平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =r，根据图象结合||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=u r ru r r u r r 即可得结果. 【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,PF OF . 因为PA PD =，F 为AD 的中点，所以AD PF ⊥. 因为O 为BD 中点，F 为AD 的中点，所以//OF AB . 因为AB AD ⊥，所以OF AD ⊥，因为OF PF F ⋂=，OF ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，所以AD ⊥平面POF . 又OP ⊂平面POF ，所以AD OP ⊥.因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥.因为AD BD D =I ，AD ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以OP ⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，FO 所在直线为x 轴，平行AD 的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵PA PB PD ==， ∴122OA OB OD BD ====，∴3OP = 则(0,0,0)O ，(1,3,0)B ，(3,0)D -，(1,33,0)C ，(0,0,23)P ，因为2PE EC =，所以2,3E ⎛ ⎝⎭，故(2,BD =-u u u r，53DE ⎛= ⎝⎭u u u r .设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =u r，则20503m BD x m DE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u vu u u v不妨取x =4)m =-平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =r，记二面角C BD E --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则||cos |cos ,|5||||m n m n m n θ⋅=〈〉===u r ru r r ur r . 【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为点A 在椭圆E 上，且OA 的（O 为坐标原点）. （1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220x y tt +=>相切，且与椭圆E 交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t = 【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，OP OQ ⊥即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解.【详解】（1）因为OA，所以b =因为椭圆E的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,t ⎛ ⎝⎭或,t ⎛- ⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即3t =， ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=， 则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ， 因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+， 因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+， 因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即3t =，综上，存在3t =，使得OP OQ ⊥. 【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4）C ．（2，0）D ．（4，0）6．已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定10．直线l ：y ＝kx +2与椭圆C ：x 22+y 2=1有公共点，则k 的取值范围是（ ）。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案一、单选题1．命题“00x ∃>，200430x x -+<”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，200430x x -+< B ．0x ∀>，2430x x -+≥ C ．00x ∃≤，200430x x -+≥ D ．00x ∃>，200430x x -+≥【答案】B【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可． 【详解】解：命题“00x ∃>，200430x x -+<”是特称命题， 故其否定为：0x ∀>，2430x x -+≥ 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．2．双曲线2216436x y -=的焦距是（）A ．10B ．20C ．D ．【答案】B【解析】双曲线的方程得8a =，6b =，可求10c ==，即可求出焦距．解：双曲线2216436x y -=中8a =，6b =，10c ∴==， 220c ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c ，属于基础题．3．在数列{}n a 中，10a =，()1322n n a a n -=+≥，则3a =（ ） A ．2 B ．6 C ．8 D ．14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出2a ，即可求得3a . 【详解】解：因为10a =，132n n a a -=+， 所以21322a a =+=， 则32328a a =+=. 故选：C 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题. 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，4B π=，a =b =（）A ．BC ．D ．【解析】直接利用正弦定理得到sin sin a Bb A=，代入数据计算得到答案. 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B =，所以sin 21sin 2a Bb A===.故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,4 C ．()2,0 D ．()4,0【答案】C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点()2,4P -在抛物线的准线上，即可求出参数p ，即可求出抛物线的焦点. 【详解】 解：抛物线()220ypx p =>的准线为2p x =-因为()2,4P -在抛物线的准线上22p∴-=- 4p ∴=28y x ∴=故其焦点为()2,0故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.6．已知双曲线2212x y m -=的焦点与椭圆2214x y +=的焦点相同，则m =（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得m 的值. 【详解】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =即椭圆的焦点坐标为()，∴双曲线2212x y m -=的焦点为()，∴23m +=，解得1m =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.7．“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程22117x y m m +=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】因为方程22117x ym m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<.故“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ） A ．2或18 B ．2C ．18D ．4【答案】C【解析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题.9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用. 10．直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．22⎡-⎢⎣⎦B ．6,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．⎡⎣D ．(),6,⎡-∞+∞⎣【答案】B【解析】联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212860k xkx +++=二次项系数2121k +≥因为直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点， ()()22841260k k ∴∆=-⨯+⨯≥解得k ≥或k ≤即6,,k ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210aa -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（ ） A ．11 B ．12 C ．21 D ．22【答案】D【解析】由题意可知公差0d >，又111210a a -<<，故120a >，110a <，且11120a a +>，根据前n 项和公式及下标和公式，可得其220S >，21S 0<即可得解.【详解】解：由题意可得等差数列{}n a 的公差0d >.因为111210a a -<<，所以120a >，110a <，所以11120a a +>，则()()1121211122221102a a a a S +==+>，2111S 210a =<.故使得0n S >成立的n 的最小值是22.故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题.12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：by x a=-，2l ：b y x a= 则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x cab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =，所以12PQ PF =所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=， 22220ac=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．椭圆224624x y +=的短轴长是______. 【答案】4【解析】椭圆标准方程为22164x y +=，再直接利用椭圆的短轴公式得到答案. 【详解】 椭圆方程为22164x y +=，则2b =，则短轴长是24b =. 故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的短轴长，属于简单题.14．已知0a b >>，且2a b +=，则515a b +的最小值是______. 【答案】185【解析】变形得到()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到答案. 【详解】因为2a b +=，所以()511511526525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0a b >>，所以525b a a b +≥，当且仅当53a =，13b =时，等号成立所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键. 15．从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是45︒，从该建筑物的北偏东30的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是30，A ，B 之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米. 【答案】【解析】设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，利用余弦定理求得h 的值.【详解】解：设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，35AB =，150AOB ∠=︒，则2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，即2222353h h ⎛=+-⨯ ⎝⎭，解得h =【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题. 16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______. 【答案】()2,0-【解析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN ，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=， 所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN ，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+= 化简得：()1212204y y y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k yy a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==- 即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围； （2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞.【解析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案.（2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m ≤，即3m ≤，故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >.记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞. 因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件 所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b a =，221c C a =+. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=； （2）【解析】（1）利用余弦定理得到22254cos c a a C =-，再根据221c C a=+整理得到1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据（1）代入数据计算得到c =2a =，24b a ==.，代入面积公式计算得到答案. 【详解】（1）因为2b a =，所以222222cos 54cos c a b ab C a a C =+-=-.所以2254cos 1c C C a =-=+，整理得1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 又因为()0,C π∈，所以23C π=.（2）由（1）可知23C π=，22254cos c a a C =-，又因为c = 所以2a =，24b a ==. 所以1sin 232ABC S ab C ∆.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点.（1）若直线l 的方程为3yx，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =，求||MN .【答案】（1）18；（2【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果.【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-， 且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =. 因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||333MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*123n n S a a n N =-∈，数列{}n b 满足14b =，()*21n n n b S na n N =++∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和nT .【答案】（1）13-=n na； （2）()25354n nn T +⨯-=.【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到()*132,n n a a n n N -=≥∈，再利用14b =计算11a =得到数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）可得13-=n na ，则()133n n b n -=+⨯，再利用错位相减法计算前n 项和. 【详解】（1）因为()*123n n S a a n N =-∈，所以()*111232,n n S a a n n N --=-≥∈， 所以()*12332,n n n a a a n n N -=-≥∈，即()*132,n n a a n n N -=≥∈. 因为14b =，()*21n n n b S na n N =++∈，所以111214b S a =++=，所以11a =.故数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得13-=n na，则()()121333n n n n n b S na n a n -=++=+=+⨯，从而()214536333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，① ()23343536333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，②①-②得()212433333n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-+⨯()335254333222n n nn n -+=+-+⨯=-⨯， 故()25354n nn T +⨯-=.【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AD BC ，PA PB PD ==，2PE EC =，O为BD 的中点.（1）证明：OP ⊥平面ABCD ； （2）若2AB =，243BC AD ==4PA =，求二面角C BD E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】（1）取AD 的中点F ，连接,PF OF ，易得AD PF ⊥，OF AD ⊥，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面POF ，进而AD OP ⊥，再将PO BD ⊥与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可求出平面BDE 的一个法向量(3,1,4)m =-，取平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，根据图象结合||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=即可得结果. 【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,PF OF . 因为PA PD =，F 为AD 的中点，所以AD PF ⊥. 因为O 为BD 中点，F 为AD 的中点，所以//OF AB .因为AB AD ⊥，所以OF AD ⊥，因为OF PF F ⋂=，OF ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，所以AD ⊥平面POF .又OP ⊂平面POF ，所以AD OP ⊥.因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥. 因为ADBD D =，AD ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，FO 所在直线为x 轴，平行AD的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵PA PB PD ==， ∴122OA OB OD BD ====，∴3OP =则(0,0,0)O ，(1,3,0)B ，(3,0)D -，(1,33,0)C ，(0,0,3)P ，因为2PE EC =，所以223,23,3E ⎛ ⎝⎭，故(2,3,0)BD =-，5233,33DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =，则22305233033m BD x m DE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩不妨取3x =3,1,4)m =-平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，记二面角C BD E --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则||cos |cos ,|||||25m n m n m n θ⋅=〈〉===【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，点A 在椭圆E 上，且OA O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220xy t t +=>相切，且与椭圆E交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t =【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，OP OQ ⊥即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解. 【详解】（1）因为OA 的最小值是，所以b =因为椭圆E 的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,2t ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或,2t ⎛-± ⎪⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即t =，②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+，因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+，因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即3t =，综上，存在t =，使得OP OQ ⊥.【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.第 21 页共 21 页。
2019-2020学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试题(解析版)
70 C． 10
3 10 D． 10
【解析】以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1 所在直线为 x ， y ， z 轴建立空
间直角坐标系，然后利用空间向量求解．
【详解】
解：以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC， DD1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐
标系，
则 D(0, 0, 0) ， B(1,1, 0) ， B1(1,1, 2) ， C1(0,1, 2) ，
x
x y 2公式可得源自yx y 2，代入原方程化简可得椭圆方程，由椭圆的性质可判断 C
，
D．
【详解】
解：方程 5x2 6xy 5 y2 8 ，可看做关于 y 的二次方程 5 y2 6xy 5x2 8 0 ，
根据方程有实数解的条件可得 36x2 4 5(5x2 8) 0 ，解得
，
(4,1)
，
(4,
2)
，
(5,1)
，
P1
15 36
5 12
．
点数之和大于 6 的基本事件共有 21 个，分别是 (1, 6) ，
(2,5) ， (2, 6) ， (3, 4) ， (3,5) ， (3, 6) ， (4,3) ， (4, 4) ， (4,5) ， (4, 6) ， (5, 2) ，
属于基础题．
7．如图，在四面体 OABC 中， OM 2 MA ， BN NC ，则 MN （ ）
1
OA
1
OB
1
OC
A． 2
2
2
2
OA
2
OB
1
OC
B． 3
3
2
1
OA
2
OB
2019-2020学年广州市越秀区高一上期末数学试卷((有答案))
2019-2020 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，选择一个切合题目要求的选项涂在答题卡相应的地点. ）1．（5分）已知会合 M={x∈ Z|x （ x﹣ 3）≤ 0} ， N={x|lnx ＜1} ，则 M∩N=（）A．{1 ，2} B．{2 ，3} C．{0 ，1，2} D．{1 ，2，3}2．（5分）函数 f （ x） =lnx ﹣的零点所在的大概区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）3．（5 分）若 m，n 是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面，下些说法正确的选项是（）A．若 m? β，α⊥β，则 m⊥αB．若 m⊥β， m∥α，则α⊥βC．若α∩γ =m，β∩γ =n， m∥n，则α∥β D．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．（5分）已知函数，设，则有（）A． f （ a）＜ f （ b）＜ f （c ）B．f （a）＜ f （c）＜ f （b）C．f （b）＜ f （ c）＜ f （a）D．f （b）＜ f （a）＜ f （c）5．（5 分）将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，获取图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（5 分）一种特意侵犯内存的计算机病毒，开机时占有内存2KB，而后每 3 分钟自己复制一10次，复制后所占内存是本来的 2 倍，若该病毒占有 64MB内存（1MB=2KB），则开机后经过（）分钟．A． 45 B．44C． 46D． 477．（5 分）若当 x∈R 时，函数 f （ x） =a|x|一直知足 0＜|f （x）| ≤1，则函数 y=log a|| 的图象大概为（）A．B．C．D．8．（5 分）在平面直角坐标系中，以下四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同向来线；90°，则其方程为x=x°；④直线 l 过点 P（ x0，y0），倾斜角为此中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．49．（5 分）以下图，圆柱形容器的底面直径等于球的直径 2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，而后将球拿出，此时容器中水的深度是（）A． 2R B．C． D ．10．（5 分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：2m）．（）A．B．C．D．11．（5 分）如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△ A1 BD的垂心B． AH垂直平面CB1D1C． AH的延伸线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．（5 分）已知函数 y=f （x）是定义域为 R 的偶函数．当 x≥0 时，f （x）=若对于 x 的方程 [f （x）] 2+af （x）+b=0，a，b∈R 有且仅有 6 个不一样实数根，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . 答案填在答卷上 . ）13．（5分）计算的结果是．14．（5分）已知 4a=2，lgx=a ，则 x=．15．（5分）过点（ 1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5 分）已知：在三棱锥 P﹣ABQ 中， D，C，E，F 分别是 AQ， BQ，AP， BP 的中点， PD与EQ 交于点 G，PC与 FQ交于点 H，连结 GH，则多面体 ADGE﹣ BCHF的体积与三棱锥 P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应地点 . ）17．（10 分）如图，在平行四边形OABC中，点 C（ 1，3）．（1）求 OC所在直线的斜率；（2）过点 C作 CD⊥AB于点 D，求 CD所在直线的方程．18．（12 分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形 CDE所在平面订交于CD，AE⊥平面 CDE，且 AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证： AB⊥平面 ADE；（Ⅱ）求凸多面体 ABCDE的体积．19．（12 分）已知函数为奇函数，（1）求 a 的值；（2）当 0≤ x≤1 时，对于 x 的方程 f （x）+1=t 有解，务实数 t 的取值范围；220．（12 分）某家庭进行理财投资，依据长久利润率市场检查和展望，投资债券等稳键型产品A 的利润 f （x）与投资本额 x 的关系是 f （x）=k1x，（f （x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B 的利润 g（x）与投资本额 x 的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（利润与投资本额单位：万元）．（1）依据图 1、图 2 分别求出 f （x）、g（x）的分析式；（2）该家庭现有 10 万元资本，并所有投资债券等稳键型产品 A 及股票等风险型产品 B 两种产品，问：如何分派这10 万元投资，才能使投资获取最大利润，其最大利润为多少万元？21．（12 分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， AC⊥ BC，AC=BC=CC1=2，M，N 分别为 AC， B1C1的中点．（Ⅰ）求线段 MN的长；（Ⅱ）求证： MN∥平面 ABB1A1；（Ⅲ）线段 CC1上能否存在点 Q，使 A1B⊥平面 MNQ？说明原因．22．（12 分）已知函数 f （ x） =ax2+bx+c（ a， b，c∈R）．（1）若 a＜ 0， b＞ 0， c=0，且 f （x）在 [0 ，2] 上的最大值为，最小值为﹣2，试求a， b的值；（2）若 c=1，0＜ a＜ 1，且 || ≤2 对随意 x∈ [1 ，2] 恒建立，求 b 的取值范围．（用 a 来表示）2019-2020 学年广东省广州市越秀区高一（上）期末数学试卷参照答案与试题分析一、选择题：（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题给出的四个选项中，选择一个切合题目要求的选项涂在答题卡相应的地点. ）1．（5 分）已知会合M={x∈ Z|x （ x﹣ 3）≤ 0} ， N={x|lnx＜1} ，则M∩N=（）A．{1 ，2} B．{2 ，3} C．{0 ，1，2}D．{1 ，2，3}【解答】解：会合 M={x∈Z|x （ x﹣ 3）≤ 0}={x ∈Z|0 ≤ x≤ 3}={0 ，1，2，3} ，N={x|lnx ＜1}={x|0 ＜x＜e} ，则 M∩N={1，2} ．应选： A．2．（5 分）函数 f （ x） =lnx ﹣的零点所在的大概区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）【解答】解：∵函数，∴f （2）=ln2 ﹣ 1＜ 0， f （ 3） =ln3 ﹣＞0，故有 f （ 2） f （3）＜ 0，依据函数零点的判断定理可得函数的零点所在的大概区间为（2，3），应选： C．3．（5 分）若 m，n 是两条不一样的直线，α，β，γ是三个不一样的平面，下些说法正确的选）项是（A．若 m? β，α⊥β，则m⊥αB．若 m⊥β， m∥α，则α⊥βC．若α∩γ =m，β∩γ =n， m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【解答】解：若 m? β，α⊥β，则m与α平行、订交或 m? α，故 A 不正确；若 m⊥α， m∥β，则α⊥β，由于m∥β依据线面平行的性质在β 内起码存在一条直线与m平行，依据线面垂直的判断：假如两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故 B 正确；若αl γ=m，β l γ=n， m∥n，则α∥β或α与β订交，故 C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ 与β 订交或平行，故D不正确．应选 B．4．（5 分）已知函数，设，则有（）A． f （ a）＜ f （ b）＜ f （c ）B．f （a）＜ f （c）＜ f （b）C．f （b）＜ f （ c）＜ f （a）D．f （b）＜ f （a）＜ f （c）【解答】解：由复合函数的单一性可得函数又，，f （x）在（﹣1， +∞）上单一递加，，所以 b＞ c＞ a，∴ f （ b）＞ f （c）＞ f （a）．应选： B．5．（5 分）将正方体（如图 1 所示）截去两个三棱锥，获取图 2 所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体前面在右边的射影为线段，上边的射影也是线段，后边与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右边的射影是正方形的对角线，B1 C在右边的射影也是对角线是虚线．如图 B．应选 B．6．（5 分）一种特意侵犯内存的计算机病毒，开机时占有内存2KB，而后每 3 分钟自己复制一10）次，复制后所占内存是本来的 2 倍，若该病毒占有 64MB内存（1MB=2KB），则开机后经过（分钟．A． 45 B．44 C． 46D． 47【解答】解：由于开机时占有内存 2KB，而后每 3 分钟自己复制一次，复制后所占内存是本来的 2倍，所以 3 分钟后占有内存 22KB，两个 3 分钟后占有内存 23KB，三个 3 分钟后占有内存 24KB，故 n 个 3 分钟后，所占内存是本来的 2n+1倍，n+11016则应有 2=64× 2 =2 ，∴ n=15， 15×3=45，7．（5 分）若当 x∈R 时，函数 f （ x） =a|x|一直知足 0＜|f （x）| ≤1，则函数 y=log a|| 的图象大概为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当 x∈R时，函数 f （x）=a|x|一直知足 0＜ |f （x）| ≤1．所以，必有 0＜a＜1．先画出函数 y=log a|x| 的图象：黑颜色的图象．而函数 y=log a| |= ﹣log a|x| ，其图象如红颜色的图象．应选 B．8．（5 分）在平面直角坐标系中，以下四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程 y+1=k（x﹣2）可表示同向来线；④直线 l 过点 P（ x0，y0），倾斜角为 90°，则其方程为 x=x°；此中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（ x≠ 2）与方程 y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同向来线，故错；对于④，直线 l 过点 P（ x0，y0），倾斜角为 90°，则其方程为 x=x0，正确；应选： B．9．（5 分）以下图，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，而后将球拿出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，应选： C．10．（5 分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：2m）．（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图能够看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为 2，故它们的面积皆为=2，由极点在底面的投影向另双侧面的底边作高，由等面积法能够算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与极点连结起来即得此双侧面的斜高，由勾股定理能够算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此双侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2+ + =，应选 A．11．（5 分）如图，正方体 AC1的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△ A1 BD的垂心B． AH垂直平面CB1D1C． AH的延伸线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【解答】解：由于三棱锥 A﹣A1BD是正三棱锥，所以极点 A 在底面的射影 H是底面中心，所以选项 A 正确；易证面 A1BD∥面 CB1D1，而 AH垂直平面 A1BD，所以 AH垂直平面 CB1D1，所以选项 B 正确；连结正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D 等，所以 AC1⊥平面A1 BD，则直线 A1C与 AH重合，所以选项C 正确；应选 D．12．（5 分）已知函数 y=f （x）是定义域为 R 的偶函数．当 x≥0 时，f （x）=若对于 x 的方程 [f （x）] 2+af （x）+b=0，a，b∈R 有且仅有 6 个不一样实数根，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意 f （ x）在（﹣∞，﹣ 2）和（ 0，2）上递加，在（﹣ 2， 0）和（ 2，+∞）上递减，当 x=±2 时，函数获得极大值；当 x=0 时，获得极小值 0．要使对于 x 的方程 [f （ x）] 2+af （x）+b=0，a，b∈R有且只有 6 个不一样实数根，设 t=f （ x），则则有两种状况切合题意：（1），且，此时﹣ a=t 1+t 2，则；（2）t 1∈（ 0，1] ，，此时同理可得，综上可得 a 的范围是．应选答案 C．二、填空题：（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 . 答案填在答卷上 . ）13．（5 分）计算的结果是2．【解答】解：运算 =1﹣+ +lg2+lg5=1 ﹣0.4+0.4+1=2 ．故答案为 2．14．（5 分）已知 4a=2，lgx=a ，则 x=．【解答】解：∵ 4a =2，∴22a=2，即 2a=1解得 a=∵l gx=a ，∴lgx=∴x=，故答案为：．15．（5 分）过点（ 1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2x﹣ y=0 或 x+y﹣3=0【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为 0 时，设该直线的方程为 x+y=a，把（ 1，2）代入所设的方程得： a=3，则所求直线的方程为 x+y=3 即 x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为 0 时，设该直线的方程为 y=kx，把（ 1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x 即 2x﹣ y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0 或 x+y﹣3=0．故答案为： 2x﹣ y=0 或 x+y﹣3=016．（5 分）已知：在三棱锥 P﹣ABQ 中， D，C，E，F 分别是 AQ， BQ，AP， BP 的中点， PD与EQ交于点 G，PC与 FQ交于点 H，连结 GH，则多面体 ADGE﹣ BCHF的体积与三棱锥 P﹣ABQ体积之比是．【解答】解：∵ D， C， E， F 分别是 AQ， BQ，AP，BP的中点，∴EF∥ AB，DC∥ AB，则 EF∥ DC，又 EF?平面 PCD，DC? 平面 PCD，∴ EF∥平面 PCD，又 EF? 平面 EFQ，平面 EFQ∩平面 PCD=GH，∴ EF∥ GH，设三棱锥 P﹣ABQ体积为 V，则 V P﹣DCQ=，，=．∴=．∴多面体 ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应地点 . ）17．（10 分）如图，在平行四边形OABC中，点 C（ 1，3）．（1）求 OC所在直线的斜率；（2）过点 C作 CD⊥AB于点 D，求 CD所在直线的方程．【解答】解：（1）∵点 O（0，0），点 C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四形OABC中， AB∥OC，∵CD⊥ AB，∴CD⊥ OC．∴ CD所在直的斜率．∴CD所在直方程，即x+3y10=0．18．（12 分）如，正方形ABCD所在平面与三角形 CDE所在平面订交于CD，AE⊥平面 CDE，且 AE=1，AB=2．（Ⅰ）求： AB⊥平面 ADE；（Ⅱ）求凸多面体 ABCDE的体．【解答】明：（Ⅰ）∵ AE⊥平面 CDE，CD? 平面 CDE，∴AE⊥ CD，又在正方形 ABCD中， CD⊥ AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面 ADE，又在正方形 ABCD中， AB∥ CD，∴AB⊥平面 ADE．⋯（ 6 分）解：（Ⅱ）接 BD， B 到平面 CDE的距离 h，∵AB∥ CD，CD? 平面 CDE，∴AB∥平面 CDE，又 AE⊥平面 CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体 ABCDE的体 V=V B﹣CDE+V B﹣ADE=．⋯（12分）19．（12 分）已知函数奇函数，（1）求 a 的；（2）当 0≤ x≤1 ，对于 x 的方程 f （x）+1=t 有解，求数 t 的取范；2【解答】解：（1）∵ x∈R，∴ f （ 0） =0，∴ a= 1⋯．（3 分）（2）∵，∵ 0≤x≤1，∴ 2≤3x+1≤4⋯．（5分）∴⋯．（ 7 分）∴⋯．（8分）（3）在R上减，⋯．（9分）f （ x2mx）≥ f （ 2x 2m）x2mx≤2x 2m⋯．（10 分）x2（ m+2） x+2m≤0（x 2）（x m）≤ 0⋯．（11 分）①当 m＞ 2 ，不等式的解集是 {x|2 ≤x≤m}②当 m=2，不等式的解集是 {x|x=2}③当 m＜ 2 ，不等式的解集是 {x|m ≤x≤2} ⋯．（14 分）20．（12 分）某家庭行理投，依据期利润率市和，投券等型品A 的利润 f （x）与投金 x 的关系是 f （x）=k1x，（f （x）的部分象如1）；投股票等型品 B 的利润 g（x）与投金 x 的关系是，（g（x）的部分象如2）；（利润与投金位：万元）．（1）依据 1、 2 分求出 f （x）、g（x）的分析式；（2）家庭有 10 万元金，并所有投券等型品 A 及股票等型品 B 两种品，：怎分派10 万元投，才能使投得最大利润，其最大利润多少万元？【解答】解：（1）投 x 万元，由意，知 f （1.8 ） =0.45 ，g（4）=2.5 ；解得 k1=，k2=，∴f （x）= x， x≥ 0． g（x）=，x≥0；（2）股票等型品 B 投 x 万元，券等型品 A 投（ 10 x）万元，家庭行理投取的利润y 万元， y=，x≥0．=t ， x=t 2，0≤t ≤∴y=，当 t=，也即x=，y取最大．答：股票等型品 B 投万元，券等型品 A 投万元，可最大收益万元．21．（12 分）如，直三棱柱ABC A1B1C1中， AC⊥ BC，AC=BC=CC1=2，M，N 分 AC， B1C1的中点．（Ⅰ）求段 MN的；（Ⅱ）求： MN∥平面 ABB1A1；（Ⅲ）段 CC1上能否存在点 Q，使 A1B⊥平面 MNQ？明原因．【解答】解：（Ⅰ）接 CN，因 ABC A1B1 C1是直三棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC，所以 AC⊥CC1，⋯（ 2 分）因⋯（3 分）AC⊥BC，所以 AC⊥平面 BCC1B1．因 MC=1，CN= = ，所以 MN=⋯（4分）（Ⅱ）明：取AB中点 D，接 DM，DB1⋯（5分）在△ ABC中，因 M AC中点，所以 DM∥BC， DM= BC．在矩形 B1BCC1中，因 N B1C1中点，所以 B1N∥BC，B1N= BC．所以 DM∥B1N，DM=B1N．所以四形 MDB1N 平行四形，所以MN∥DB1．⋯（7分）因 MN?平面 ABB1A1，DB1? 平面 ABB1A1⋯（ 8 分）所以 MN∥平面 ABB1A1．⋯（9分）（Ⅲ）解：段CC1上存在点 Q，且 Q CC1中点，有 A1B⊥平面 MNQ．⋯（ 11 分）明以下：接BC1，在正方形 BB1C1 C中易 QN⊥ BC1．又 A1C1⊥平面 BB1C1C，所以 A1C1⊥QN，进而 NQ⊥平面 A1BC1．⋯（ 12 分）所以 A1B⊥ QN．⋯（13分）同理可得 A1B⊥MQ，所以 A1 B⊥平面 MNQ．故段 CC1上存在点 Q，使得 A1B⊥平面 MNQ．⋯（ 14 分）22．（12 分）已知函数 f （ x） =ax2+bx+c（ a， b，c∈R）．（1）若 a＜ 0， b＞ 0， c=0，且 f （x）在 [0 ，2] 上的最大，最小2，求a，b的；（2）若 c=1，0＜ a＜ 1，且 || ≤2 随意 x∈ [1 ，2] 恒建立，求 b 的取范．（用 a 来表示）【解答】（ 1）抛物的称，①当，即 b＞ 4a ，当，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=2，∴，∴a= 2， b=3．②当，即b≥ 4a ， f （x）在 [0 ，2] 上增函数， f （x）min=f（0）=0 与 f （x）min=﹣2 矛盾，无解，综合得： a=﹣2，b=3．（2）对随意x∈ [1，2]恒建立，即对随意x∈[1，2]恒建立，即对随意 x∈[1 ，2] 恒建立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时， g（x）在 [1 ，2] 单一递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时， g（x）在单一递减，在单一递加，此时，，只需，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．。
2019-2020学年广东省联考联盟高二第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷一、选择题1．命题“∀x∈R，x2≠2x”的否定是（）A．∀x∈R，x2＝2x B．∃x0∉R，x02＝2x0C．∃x0∈R，x02≠2x0D．∃x0∈R，x02＝2x02．若直线过点（2，4），，则此直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（7，2）4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m⊂α，n∥α，则m∥nC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n5．正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为（）A．B．C．D．6．已知直线l1：x+（m+1）y＝2﹣m与l2：2mx+4y+16＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．1 C．1或﹣2 D．﹣27．曲线与曲线的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝x﹣2y+3z，则x+y+z＝（）A．B．C．1 D．9．直线y＝x+1被椭圆x2+2y2＝4所截得的弦的中点坐标是（）A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）10．如图，已知一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．B．16πC．8πD．4π11．已知双曲线，过原点O任作一条直线，分别交曲线两支于点P，Q（点P在第一象限），点F为E的左焦点，且满足|PF|＝3|FQ|，|OP|＝b，则E的离心率为（）A．B．C．D．212．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．14．命题“﹣x2﹣2ax﹣4＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是．15．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为．16．已知圆O：x2+y2＝1，点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，记C为圆O上到点P距离最远的点，则四边形PACB的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤. 17．已知p：式子log2（k﹣a）（a为常数）有意义，q：方程（k为实数）表示双曲线．若￢q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．已知直线l1：2x﹣y＝3与直线l2：4x﹣3y﹣5＝0．（1）求直线l1与l2的交点坐标；（2）求经过直线l1与l2的交点，且与直线x﹣3y+2＝0垂直的直线l的方程．19．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠PCD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，设E、F分别为PD、AD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AC；（Ⅱ）求证：PB∥平面CEF；21．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为H，试问：是否存在λ，使得，且|HA|2+|HB|2≥40成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“∀x∈R，x2≠2x”的否定是（）A．∀x∈R，x2＝2x B．∃x0∉R，x02＝2x0C．∃x0∈R，x02≠2x0D．∃x0∈R，x02＝2x0【分析】根据全称命题的否定是特称命题，进行判断即可．解：命题是全称命题，则否定的特称命题，即∃x0∈R，x02＝2x0，故选：D．2．若直线过点（2，4），，则此直线的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，再求倾斜角．解：直线过点（2，4），，则此直线的斜率为k＝tanθ＝＝﹣，又θ∈[0°，180°），所以倾斜角θ＝120°．故选：C．3．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（7，2）【分析】根据抛物线y2＝8x可知p＝4，准线方程为x＝﹣2，进而根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x＝﹣2的距离，求得P点的横坐标，代入抛物线方程即可求得纵坐标．解：根据抛物线y2＝8x，知p＝4根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x＝﹣2的距离，得x p＝7，把x代入抛物线方程解得y＝±2故选：C．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m⊂α，n∥α，则m∥nC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n【分析】根据同垂直与一个平面的两直线平行，显然C正确．解：A，m，n也可能相交或异面；B，m，n也可能异面；C，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D，m，n也可能异面．故选：C．5．正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出这个几何体的棱长．解：如图，建立空间直角坐标系，∵正方体的棱长为a，∴E（，，a），F（，，0），M（，a，），N（0，，），P（，0，），Q（a，，）．这个几何体是正八面体，棱长|PQ|＝＝．∴这个几何体的棱长为．故选：A．6．已知直线l1：x+（m+1）y＝2﹣m与l2：2mx+4y+16＝0，若l1∥l2，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．1 C．1或﹣2 D．﹣2【分析】由2m（m+1）﹣4＝0，解得m．经过验证即可得出．解：由2m（m+1）﹣4＝0，解得m＝1或﹣2．经过验证可得：m＝﹣2时重合，舍去．故选：B．7．曲线与曲线的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【分析】求出椭圆的焦距以及双曲线的焦距，即可得到结果．解：曲线是解得在x轴上的椭圆；它的焦距为：2＝2．曲线是焦点坐标在x轴上的双曲线，它的焦距为：2＝2．所以曲线与曲线的焦距相等．故选：C．8．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝x﹣2y+3z，则x+y+z＝（）A．B．C．1 D．【分析】利用平行六面体法则、空间向量基本定理即可得出．解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝++＝x﹣2y+3z，则x＝1，﹣2y＝1，3z＝1，则x＝1，y＝﹣，z＝．∴x+y+z＝1﹣+＝．故选：B．9．直线y＝x+1被椭圆x2+2y2＝4所截得的弦的中点坐标是（）A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）【分析】将直线y＝x+1代入椭圆x2+2y2＝4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．解：将直线y＝x+1代入椭圆x2+2y2＝4中，得x2+2（x+1）2＝4∴3x2+4x﹣2＝0∴弦的中点横坐标是x＝＝﹣，代入直线方程中，得y＝∴弦的中点是（﹣，）故选：D．10．如图，已知一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．B．16πC．8πD．4π【分析】本题根据球心，圆柱底面圆心，圆柱与球的一个交点连成一个直角三角形，解直角三角形即可得R，可算出球的表面积．解：根据题意，画图如下：则OA＝R，O′A＝r＝，OO′＝＝1，故在Rt△OO′A中，OA＝＝＝2，∴R＝2，∴S球＝4πR2＝4π•22＝16π．故选：B．11．已知双曲线，过原点O任作一条直线，分别交曲线两支于点P，Q（点P在第一象限），点F为E的左焦点，且满足|PF|＝3|FQ|，|OP|＝b，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1＝90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e．解：由题意可知：双曲线的右焦点F1，由P关于原点的对称点为Q，则|OP|＝|OQ|，∴四边形PFQF1为平行四边形，则|PF1|＝|FQ|，|PF|＝|QF1|，由|PF|＝3|FQ|，根据双曲线的定义|PF|﹣|PF1|＝2a，∴|PF1|＝a，|OP|＝b，|OF1|＝c，∴∠OPF1＝90°，在△QPF1中，|PQ|＝2b，|QF1|＝3a，|PF1|＝a，∴（2b）2+a2＝（3a）2，整理得：b2＝2a2，则双曲线的离心率e＝＝＝．故选：A．12．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是（）A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【分析】利用正方体的结构特征求解．解：正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知椭圆+＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7 ．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3＝7故答案为：714．命题“﹣x2﹣2ax﹣4＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤2 ．【分析】直接利用一元二次方程的根的应用求出结果．解：命题“﹣x2﹣2ax﹣4＞0不成立”是真命题，即：命题“﹣x2﹣2ax﹣4≤0成立为真命题”．故：△＝4a2﹣16≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：﹣2≤a≤2．15．圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为，半径为3，则此圆锥的体积为．【分析】根据题意，求出圆锥底面圆的半径及高，即可求得体积．解：依题意，圆锥的母线长为3，底面圆的周长为，设底面圆的半径为r，则2πr＝2π，即r＝1，∴圆锥的高，∴．故答案为：．16．已知圆O：x2+y2＝1，点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，记C为圆O上到点P距离最远的点，则四边形PACB的面积为．【分析】根据题意，由P的坐标计算可得|PO|的值，进而可得|PC|的值，过点A作AE⊥OP，垂足为E，求出|AE|的值，据此计算可得答案．解：根据题意，连接PO，如图，，则|PO|＝＝2，C为圆O上到点P距离最远的点，则|PC|＝|PO|+1＝3，过点A作AE⊥OP，垂足为E，Rt△AOP中，|OA|＝1，|OP|＝2，则|PA|＝＝，则|AE|＝＝，故S四边形PACB＝2S△ACP＝2×（×|AE|×|PC|）＝，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤. 17．已知p：式子log2（k﹣a）（a为常数）有意义，q：方程（k为实数）表示双曲线．若￢q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】求出p，q对于的解集，根据条件，求出a的范围即可．解：p：式子log2（k﹣a）（a为常数）有意义，k＞a，q：方程（k为实数）表示双曲线，则（k+1）（3﹣k）＜0，即k∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），若￢q是p的充分不必要条件，k∈[﹣1，3]是{a|k＞a}的真子集，故a≤﹣1．18．已知直线l1：2x﹣y＝3与直线l2：4x﹣3y﹣5＝0．（1）求直线l1与l2的交点坐标；（2）求经过直线l1与l2的交点，且与直线x﹣3y+2＝0垂直的直线l的方程．【分析】（1）联立2x﹣y＝3与直线l2：4x﹣3y﹣5＝0．解得直线l1与l2的交点坐标．（2）设与直线x﹣3y+2＝0垂直的直线l的方程为3x+y+m＝0，把交点坐标代入解得：m．解：（1）联立2x﹣y＝3与直线l2：4x﹣3y﹣5＝0．解得x＝2，y＝1．∴直线l1与l2的交点坐标（2，1）．（2）设与直线x﹣3y+2＝0垂直的直线l的方程为3x+y+m＝0，把（2，1）代入解得：m＝﹣7．∴要求的直线方程为：3x+y﹣7＝0．19．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0．（1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线l：2x+y﹣4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值．【分析】（1）化曲线C为圆的一般方程，再由5﹣m＞0求得m的取值范围；（2）求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求得m值．解：（1）由C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0，得（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5﹣m，若方程C表示圆，则5﹣m＞0，即m＜5；（2）圆C的半径为，圆心（2，1）到直线2x+y﹣4＝0的距离d＝，又|MN|＝，∴，解得m＝4．20．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠PCD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，设E、F分别为PD、AD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AC；（Ⅱ）求证：PB∥平面CEF；【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，PC⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥AC．（Ⅱ）推导出CF∥AB，CF∥平面PAB，EF∥PA，EF∥平面PAB，从而平面CEF∥平面PAB，由此能证明PB∥平面CEF．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵∠PCD＝90°，∴PC⊥CD．…………………∵PA∩PC＝P，∴CD⊥平面PAC，∵AC⊂平面PAC，∴CD⊥AC．…………………（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ACD＝90°．在直角三角形ACD中，∠CAD＝60°，CF＝AF，∴∠ACF＝60°，∴CF∥AB．…………………∵CF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CF∥平面PAB．…………………∵E、F分别是PD、AD中点，∴EF∥PA，又∵EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．∵CF∩EF＝F，∴平面CEF∥平面PAB．…………………∵PB⊂平面PAB，∴PB∥平面CEF．…………………21．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．【分析】（1）以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），利用数量积求解即可．（2）是平面ABA1的一个法向量，求出平面ADC1的法向量，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．解：（1）以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），∴cos＜，＞＝＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，∴平面ADC1的法向量为＝（2，﹣2，1），设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ＝|cos＜，＞|＝||＝，∴平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为：．22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线C的方程；（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为H，试问：是否存在λ，使得，且|HA|2+|HB|2≥40成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆方程，求出F（1，0），得到p＝4，然后求解抛物线方程．（2）设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程直线与抛物线方程，消去x，通过韦达定理以及向量关系，结合|HA|2+|HB|2＝40转化求解即可．解：（1）依题意，椭圆中，a2＝4，b2＝3，得c2＝a2﹣b2＝1，则F（1，0），得＝1，即p＝4，故抛物线C的方程为y2＝4x．（2）设l：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程消去x，得y2﹣4y﹣4＝0，∴①且，又，则（1﹣x1，﹣y1）＝λ（x2﹣1，y2），即y1＝﹣λy2，代入①得，消去y2得，易得H（﹣1，0），则|HA|2+|HB|2＝（x1+1）2+y12+（x2+1）2+y22＝x12+x22+2（x1+x2）+2+y12+y22＝（ty1+1）2+（ty2+1）2+2（ty1+ty2+2）+2+y12+y22＝（t2+1）（y12+y22）+4t（y1+y2）+8＝（t2+1）（16t2+8）+4t•4t+8＝16t4+40t2+16，由16t4+40t2+16＝40，解得t2＝或t2＝﹣3（舍），将t2＝代入4t2＝λ+﹣2，解得λ＝2±．故存在实数λ＝2±满足题意．。
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2019-2020学年广东省广州市越秀区高二上学期期末数学试题一、单选题1．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ） A ．1(,0)2B ．1(,0)4C ．1(0,)2D ．1(0,)4【答案】B【解析】 由抛物线的方程2y x =，可知12p =，所以抛物线的焦点坐标为1(,0)4，故选B. 2．双曲线221169x y -=的一条渐近线方程是（ ） A ．340x y -= B ．430x y -= C ．9160x y -= D ．1690x y -=【答案】A【解析】直接由双曲线的渐近线的定义可得渐近线的方程． 【详解】解：由双曲线的方程可得216a =，29b =，焦点在x 轴上，所以渐近线的方程为：34b y x x a =±=，即340±=x y ，故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．3．命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题是( ) A ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 B ．若a ，b 都是偶数，则+a b 不是偶数 C ．若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 D ．若+a b 不是偶数，则a ，b 不全是偶数 【答案】C【解析】根据命题的否定和命题之间的关系确定结论即可． 【详解】解：否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若a ，b 都是偶数，则+a b 是偶数”的否命题为：若a ，b 不全是偶数，则+a b 不是偶数 ． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系，属于基础题．4．设0a >，0b >，则“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用椭圆的焦点在y 轴上的充要条件即可得出． 【详解】解：“b a >”⇔“椭圆22221x y a b +=的焦点在y 轴上”， ∴“b a >”是“椭圆22221x y a b+=的焦点在y 轴上”的充要条件．故选：C ． 【点睛】本题考查了椭圆的焦点在y 轴上的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2，则乙不输的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.7C ．0.3D ．0.2【答案】A【解析】利用互斥事件概率加法公式直接求解． 【详解】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，甲获胜的概率是0.2， ∴乙不输的概率是：10.20.8p =-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．6．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[10,15)和[25,30)为二等品，在区间[10,15)和[30,35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.15D ．0.25【答案】D【解析】由频率分布直方图得在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=，由此能求出从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率． 【详解】解：在区间[10,15)和[30,35)为三等品， 由频率分布直方图得：在区间[10,15)和[30,35)的频率为(0.020.03)50.25+⨯=， ∴从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25． 故选：D ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 7．如图，在四面体OABC 中，2OM MA →→=，BN NC →→=，则MN →=（ ）A ．111222OA OB OC →→→+-B ．221332OA OB OC →→→+-C ．121232OA OB OC →→→-+D ．211322OA OB OC →→→-++【答案】D【解析】由已知直接利用向量的加减法运算得答案． 【详解】解：∵2OM MA →→=，BN NC →→=，∴12()23MN ON OM OB OC OA →→→→→→=-=+-211322OA OB OC →→→=-++．故选：D ．【点睛】本题考查空间向量基本定理，属于基础题．8．长方体1111ABCD A B C D -中，1AD CD ==，12DD =，则直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为（ ） A ．3010B ．1010C ．7010D ．31010【答案】A【解析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解． 【详解】解：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，1(1,1,2)B ，1(0,1,2)C ， ∴1(1,1,2)DB →=，1(1,0,2)BC →=-，由111111cos ,||||DB BC DB BC DB BC →→→→→→⋅<>=⋅3301065==⋅． 得直线1DB 与直线1BC 所成角的余弦值为3010． 故选：A ．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，属于中档题．9．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不大于6的概率记为1p ，点数之和大于6的概率记为2p ，点数之和为奇数的概率记为3p ，则（ ） A ．123p p p << B ．132p p p <<C ．213p p p <<D ．312p p p <<【答案】B【解析】使用列举法求出三个概率，再比较大小． 【详解】解：随机掷两枚质地均匀的骰子共有36个基本事件，它们发生的可能性相等． 其中向上的点数和不大于6的基本事件共有15个，分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，11553612P ∴==． 点数之和大于6的基本事件共有21个，分别是(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．22173612P ∴==． 由于骰子的点数奇偶数相同，故点数之和为偶数的概率312P =． 132p p p ∴<<．故选：B ． 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．10．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，已知101220ii x==∑，1011610ii y==∑，ˆ4b=，该班某学生的脚长为25，据此估计其身高为（ ）厘米. A ．165 B ．168C ．173D ．178【答案】C【解析】由已知求得x ，y 的值，结合4b =求得a ，可得线性回归方程，取25x =求得y 值即可． 【详解】解：10112202210i i x x ====∑，1011161016110i i y y ====∑， 又y bx a =+，4b =，∴16142273a y bx =-=-⨯=． ∴y 关于x 的线性回归方程为473y x =+． 取25x =，得42573173y =⨯+=（厘米）． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，属于基础题．11．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为92，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的标准差为（ ）A ．4B ．2C ．5D 5【答案】B【解析】由平均数求得x 的值，再计算7个剩余分数的方差和标准差． 【详解】解：将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为92； 最低分是87，当9x =时，剩余7个数分别是89、90、91、92、94、95、98， 平均值为1(89909192949598)92.7927⨯++++++≈>， 所以8x ≤，计算剩余7个数的平均值为190(101245)927x +⨯-++++++=， 解得3x =；所以7个剩余分数的方差为：217s =⨯2228992)(9092)[92)((91-+-+-2222(9292)(9392)(9492)(9592)4]+-+-+-+-=．所以标准差为2s =． 故选：B ． 【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数和方差、标准差的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题． 12．已知圆锥曲线C 的方程是225658x xy y -+=，则下列命题中是假命题的是（ ）A ．曲线C 上的点的横坐标x 的取值范围是101022⎡-⎢⎣⎦B ．曲线C 关于直线y x =对称C ．曲线C 上的点到曲线C 的对称中心的最远距离为2D ．曲线C 的离心率是12【答案】D【解析】由关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=有实数解，运用判别式非负，解得x 的范围，可判断A ；将x换为y ，y 换为x ，方程不变，可判断B ；由旋转变换公式可得22x y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，代入原方程化简可得椭圆方程，由椭圆的性质可判断C ，D ． 【详解】解：方程225658x xy y -+=，可看做关于y 的二次方程2256580y xy x -+-=，根据方程有实数解的条件可得223645(58)0x x ∆=-⨯-≥，解得10102x，故A 正确； 将x 换为y ，y 换为x ，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =对称；同样将x 换为y -，y 换为x -，可得方程225658x xy y -+=不变，则圆锥曲线C 关于直线y x =-对称，故B 正确；由旋转变换公式可得22x y ⎧=⎪⎪⎨''''⎪=⎪⎩，代入曲线C 的方程可得()2562x y ''-⨯-⨯22''''+()2582x y ''+⨯=， 化为2214x y ''+=，即为椭圆方程，且长轴长为4，即曲线C 上的点到曲线C 的对称中心O 的最远距离为2，离心率为41324e -==，故C 正确，D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，以及数形结合思想，属于难题．二、填空题13．命题“0x ∃∈R ，2010x +”的否定是_________． 【答案】对任意0x ∈R ，使2010x +>【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可. 【详解】解：∵命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”是一个特称命题∴命题“存在0x ∈R ，使2010x +≤”的否定是“对任意0x ∈R ，使2010x +>” 故答案为：对任意0x ∈R ，使2010x +>【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词．14．一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，那么应抽取男运动员的人数是________． 【答案】12【解析】先求出男运动员的人数占的比例，再用样本容量乘以此比例，即为所求． 【详解】解：男运动员的人数占的比例为40440307=+，故应抽取的男运动员的人数为421127⨯=人，故答案为：12． 【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题．15．已知点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，若2AB a →→=，则点B 的坐标是_________． 【答案】(7,10,24)-【解析】设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得1(-x ，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标． 【详解】解：点(1,2,0)A 和向量(3,4,12)a →=-，2AB a →→=， 设(,,)B x y z ，则(1,2,)(6,8,24)x y z --=-， 解得7x =，10y =，24z =-， ∴点B 的坐标(7,10,24)-． 故答案为：(7,10,24)-． 【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查向量坐标运算法则和向量相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 16．在相距1000m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s ，已知声速340m /s ．以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为________．【答案】221115600134400x y -=【解析】由题意可得双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且由双曲线的定义可得a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系进而求出双曲线的方程． 【详解】解：由题意可得双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，且21000c =，22340a =⨯，即500c =，340a =， 所以22222500340134400b c a =-=-=，2115600a =，所以双曲线的方程为：221115600134400x y -=；故答案为：221115600134400x y -=．【点睛】考查由双曲线的定义求标准方程的求法，属于基本知识直接应用题，双基考查题，属于基础题．三、解答题17．一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．（1）从盒中不放回地随机取两张标签，求取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，求第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．【答案】（1）13（2）38【解析】（1）从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C==，利用列举法取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的标签上的数字之和不大于5的概率．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n=⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有6个，由此能求出第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率．【详解】解：（1）一个盒子里装有标号为1，2，4，8的4张标签．从盒中不放回地随机取两张标签，基本事件总数246n C==，取出的标签上的数字之和不大于5包含的基本事件有：（1，2），（1，4），共2个，∴取出的标签上的数字之和不大于5的概率2163 p==．（2）从盒中有放回地随机取两张标签，基本事件4416n=⨯=，第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字包含的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，8），（2，4），（2，8），（4，8），共6个，∴第一次取出的标签上的数字小于第二次取出的标签上的数字的概率63168 p．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18．某家庭记录了使用节水龙头100天的日用水量数据，得到频数分布表如下：日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数21026203210（1）作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图．（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率．（3）求该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）． 【答案】（1）见解析（2）0.58（3）0.36【解析】（1）由频数分布表能作出使用节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图． （2）由频数分布表能估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.4m 的概率．（3）由频率分布直方图得[0，0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=，[0.3，0.4)的频率为20.10.2⨯=，由此能求出该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值． 【详解】解：（1）由频数分布表作出使用了节水龙头100天的日用水量数据的频率分布直方图如下：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0．43m 的概率为：21026200.58100P +++==．（3）由频率分布直方图得：[0,0.3)的频率为(0.21 2.6)0.10.38++⨯=，[0.3,0.4)的频率为20.10.2⨯=，∴该家庭使用节水龙头的日用水量的中位数的估计值（结果精确到0．01）为：0.50.380.30.10.360.2-+⨯=．【点睛】本题考查频率分布直方图的作法，考查概率、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．（1）求证：1C D AD ⊥；（2）求二面角11A C D A --的正切值． 【答案】（1）见解析（22【解析】（1）推导出11C D AA ⊥，111C D A B ⊥，从而1C D ⊥平面11ABB A ，由此能证明1C D AD ⊥．（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11A C D A --的正切值． 【详解】（1）证明：∵在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，D 为的中点．∴11C D AA ⊥，111C D A B ⊥， ∵1111AA A B A =，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∵AD ⊂平面11ABB A ，∴1C D AD ⊥．（2）解：以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B ，(1,1,2)D1(2,0,2)AC →=-，(1,1,2)AD →=-，设平面1ADC 的法向量(,,)n x y z =，则122020n AC x z n AD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1x =，得(1,1,1)n →=-， 平面11AC D 的法向量(0,0,1)m →=， 设二面角11A C D A --的平面角为θ， 则||1cos 3||||m n m n θ→→→→⋅==⋅，12sin 133θ=-=， ∴二面角11A C D A --的正切值为sin tan 2cos θθθ==．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20．已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB 是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？【答案】（1）24y x =（2）0k =或1k =-或12k =【解析】（1）将4x =代入抛物线的方程，求得A ，B 的坐标，由等腰直角三角形的性质可得OA OB ⊥，再由两直线垂直的条件，解方程可得p ，进而得到抛物线的方程；（2）由题意可得直线l 与抛物线的对称轴平行，可得0k =，又直线和抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，可得所求值．【详解】解：（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设(4,22)A p ，(4,22)B p -，又OAB 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥， 则2222144p p-⋅=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+， 当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =； 当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点， 由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k+=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，主要是直线和抛物线有交点，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAD △是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAB ；（2）若6AB =，3AD =，试问在线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 33？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）存在，DQ 93． 【解析】（1）由已知证明AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥，再由DE PA ⊥，结合线面垂直的判定可得DE ⊥平面PAB ；（2）取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3322，并求得DQ 93． 【详解】（1）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，而AB AD ⊥，∴AB ⊥平面PAD ，则AB DE ⊥，在等边三角形PAD 中，∵E 为P A 的中点，∴DE PA ⊥， 又PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB平面PAB∴DE ⊥平面PAB ；（2）解：取AD 中点O ，则OP AD ⊥，则OP ⊥底面ABCD ， 以O 为坐标原点，分别以OA ，OP 为x ，z 轴建立空间直角坐标系．则3,6,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,6,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，330,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，333,0,44E ⎛ ⎝⎭． 假设线段DE 上是否存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3322， 设DQ DE λ→→=（01λ），则9334DQ λ→⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，9333,6,44QB DB DQ λλ→→→⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面PDC 的一个法向量为n (x,y,z)→=，333,0,22DP →⎛= ⎝⎭，(0,6,0)DC →=． 由33302260n DP x z n DC y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，取1z =-，得(3,0,1)n →=-．由|cos ,|QB n →→<>=||||||QB n QB n →→→→⋅=⋅2233332339272336416λλλ-=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， 解得：34λ=或4λ=（舍）． ∴279316DQ →⎛= ⎝⎭，则93||DQ →=∴在线段DE 上存在点Q ，使得直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3322，DQ 的长为938．【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，属于中档题．22．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为63，1F 、2F是椭圆C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F △面积的最大值为2 （1）求椭圆C 的方程；（2）若Q 是椭圆C 上的一个动点，点M ，N 在椭圆2213x y +=上，O 为原点，点Q ，M ，N 满足3OQ OM ON →→→=+，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）2213010x y +=（2）是定值，且定值为13-． 【解析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆方程；（2）设0(Q x ，0)y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，所以2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=，由3OQ OM ON→→→=+得01201233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，代入22003x y +得2200121233276(2)x y x x y y +=+++，所以121220x x y y +=，即12OM ON k k =-，从而得到直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为12-． 【详解】解：（1）由题意可知：22263102c abc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222301020a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2213010x y +=；（2）设()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，∴2200330x y +=，221133x y +=，222233x y +=，∵3OQ OM ON →→→=+，∴()()()001122,,3,x y x y x y =+，∴01201233x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，∴()()22220012123333x y x x y y +++=+=2222112211226931827x x x x y y y y +++++327=++()12126330x x y y +=，∴121230x x y y +=，∴121213y y x x =-，即13OM ON k k ⋅=-， ∴直线OM 与直线ON 的斜率之积为定值，且定值为13-． 【点睛】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．。