初级中学三年级数学241圆
初中三年级数学上册第24章圆241圆第一课时课件
（有３条弦，即弦ＡＣ.
ＡＢ.
ＢＣ）
当堂训练二 1、判断下列语句是否正确？为什么？ ⑴．半圆是弧． ⑵．弧是半圆． ⑶．两个劣弧之和等于半圆． ⑷．两个劣弧之和等于圆周长．
2、 判断题： ⑴．直径是弦； ⑵．弦是直径； ⑶．半圆是弧，但弧不一定是半圆； ⑷．半径相等的两个半圆是等弧； ⑸．长度相等的两条弧是等弧；
1.圆的概念 2.与圆有关的概念 弦，直径，弧（优弧和劣弧）
与圆有关的概念 弦
B O
连接圆上任意两点的线段 （如图AC）叫做弦，
·
C
经过圆心的弦（如图中 的AB）叫做直径．
A
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B 为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一 条弧都叫做半圆。
B O
·
C
自学指导
自学课本Ｐ78---P79页中间部分，完成： 第一次先学后教 1.分别用不同的方法作圆，标明圆心、半径， 体会圆的形成过程。 2.圆的两个定义各是什么？ 3.怎样用数学符号表示圆？ 4、 车轮为什么做成圆形的？
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心 线段OA叫做半径 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”， 读作“圆O”．
24.1 圆
华阴市 华岳中学 数学组 张红利
一石激起千层浪
乐在其中
奥运五环
学习目标
1、让学生在探索过程中认识圆、理解圆的本 质属性。 2、使学பைடு நூலகம்了解弦、弧、半圆、优弧、劣弧等 与圆有关的概念，理解概念之间的区别与联 系。 3、让学生在动手实践中探索并初步了解圆的 位置由圆心确立，圆的大小由半径长度确定。
初中三年级数学上册第24章 圆24.1 圆第一课时课件
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
圆心角：我们把顶点在圆心的角
A
O
B
∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE
=750
4、如图6，AD=BC，那么比较AB与CD的大小.
C
⌒
⌒
A
D
O
B
B
∵ ∠AOB=∠A1OB1 ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒ ⌒
α
Oα A1 B1
A
思考：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你 能得什么结论？
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____ 相等
相等 ； 所对的弦________
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角
检测：
1.如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦： （1）如果 AB=CD，那么________ ______________ AOB=∠COD ； AB= CD ，∠ （2）如果 AB = CD，那么________ ______________ AB=CD ，∠ AOB=∠COD ； （3）如果∠AOB=∠COD，那么________ AB=CD ； AB= CD ，_______ （4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？ 相等． 因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD． B E 又因为 AO=CO，BO=DO， A D 所以 △AOB ≌ △COD． O 又因为 OE 、OF 是 AB 与 CD F 对应边上的高， 所以 OE=OF． C
初中三年级数学上册第24章圆241圆课件
合，B与︵B′重合．︵
∴AB A ' B '. 重合，AB与A′B′重合．
︵︵
AB A' B '.
AB A' B '.
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 _相__等__， 所对的弦___相_等____；
证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
A
E
B
∵ AB﹦CD ∴ AE﹦CF
O·
D
∵ OA﹦OC ∴ RT△AOE≌RT △COF
F
C
∴ OE﹦OF
五、例题
例1 如图，在⊙O中， AB = 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明：
AC ,∠ACB=60°,
A
∵ AB = AC
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°，
二、
探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你 能发现哪些等量关系？为什么？
A′ B
B′
A′
B
B′
·
O
A
·
O
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位
置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重
合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 __相__等__，所对的弧___相__等____．
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
四、练习
Байду номын сангаас
人教版第二十四章 圆 241 圆 课件4课时
归纳：圆心为O、半径为 r的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长 r 的点的集合．
探索新知
动态：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一 个端点O旋转一周，另一个端点 A所形成的图
形叫做 圆．
静态：圆心为 O、半径为 r的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长 r 的点组成的图形．
为圆心， 5 为半径的圆 .
典题精讲
3． 选择：
（1）下列说法中，正确的是（ B ）
①线段是弦；②直径是弦；
③经过圆心的弦是直径；
④经过圆上一点有无数条直径．
A． ①②
B． ②③
C． ②④
D． ③④
典题精讲
4.如图，⊙ O中，点 A,O,D 以及点 B,O,C 分别在一条
直线上，图中弦的条数为（ B ）
?
4、努力本就是年轻人应有的状态，是件充实且美好的事，可一旦有了表演的成分，就会显得廉价，努力，不该是为了朋友圈多获得几个赞，不该是每次长篇赘述后的自我感动，它是一件平凡而自然而然的事，最佳的努力不过是：但行好事，莫问前程。愿努力，成就更好的你！
?
5、付出努力却没能实现的梦想，爱了很久却没能在一起的人，活得用力却平淡寂寞的青春，遗憾是每一次小的挫折，它磨去最初柔软的心智、让我们懂得累积时间的力量；那些孤独沉寂的时光，让我们学会守候内心的平和与坚定。那些脆弱的不完美，都会在努力和坚持下，改变模样。
探索新知
弦 连接圆上任意两点的线段（如图 AC）
叫做弦，
注意: 经过圆心的弦（如图中的 AB）叫做直径 ．
1、弦和直径都是线段。 2、直径是弦 ,是经过圆心的特殊 弦，是圆中最长的弦，但弦不一 定是直径 .
241圆(2)教学文档
24.1 圆(第2课时)教学内容1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形．老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB ′=30°． 二、探索新知如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？AB =''A B ，AB=A ′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ，AB=A ′B ′B A OB '因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．'A A '(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：AB =''A B ，AB=A /B /．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评．例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？分析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD ∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠CODD理由是：∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=12AB，CF=12CD ∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD ∴AB=CD，∠AOB=∠COD三、巩固练习：教材P89 练习1 教材P90 练习2．四、应用拓展例2．如图3和图4，MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．PN(3) (4)分析：（1）要说明AB=CD，只要证明AB、CD所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等．上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．解：（1）AB=CD理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF连结OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF连接OA、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD五、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．六、布置作业1．教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8．2．选用课时作业设计．第二课时作业设计一、选择题．1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A．AB=2CD B．AB>CD C．AB<2CD D．不能确定3．如图5，⊙O中，如果AB=2AC，那么（）．A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2ACO BACOBACED(5) (6)二、填空题1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．3．如图6，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．三、解答题1．如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O上．（1）求证：AM=BN；（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AM MN NB==成立吗？2．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求BE的度数和EF的度数．3．如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD．。
241 圆 教材全解
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------241 圆教材全解【知识框架梳理】 24. 1 圆【重点难点点拨】重点：（1）圆中的基本概念的认识。
（2）认识圆的轴对称性，熟记垂径定理，并能运用它解决有关问题。
（3）由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
（4）认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
难点与关键：（1）对等弧概念的理解。
（2）运用垂径定理解决有关问题。
（3）运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
（4）发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题。
【规律方法指津】 1、用垂径定理进行证明或计算，常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距），则垂足为弦的中点。
弦心距、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形，便可将计算线段的问题转化为解直角三角形的问题。
2、应用垂径定理计算时，由于圆中一条弦对两条弧，以及1 / 8圆内两平行弦与圆心的位置关系有两种情况，所以计算时不要丢解。
3、对于圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，掌握的难点是分清本定理的题设和结论。
在这里，题设为在同圆或等圆中，圆心角相等。
结论是所对的弧相等，所对的弦相等。
突破的关键是：画两个同心圆，比较同一圆心角所对两条弧是否相等，使我们能清楚地认识到在同圆或等圆中这个条件的必要性； 4、圆周角定理的证明用到了分类讨论思想，这是数学上非常重要的一种思想方法，同学们要注意分类的标准，在学习中注意总结类似的问题；5、要注意总结辅助线的作法：在圆中，有等弧时，常作等弧所对的弦、等弧所对的圆心角、等弧所对的圆周角等；有直径时，常作直径所对的圆周角，利用这个角是直角的性质，构造直角三角形；在圆中有相等的圆周角时，常作它们所对的弧和弦，利用在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等以及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系证题； 6、圆周角相关题变化多端，要注意具体问题具体分析，灵活处理变化的问题。
初中三年级第二学期数学知识点：圆
初中三年级第二学期数学知识点：圆初中三年级第二学期数学知识点：圆每一门功课都有它自身的规律，有它自身的特点，数学当然也不例外。
下面是有关初中三年级第二学期数学知识点的内容，供你学习参考!圆的初步认识一、圆及圆的相关量的定义(28个)1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
6.两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含;有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。
两圆8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形3边距离相等。
9.直线AB与圆O的位置关系(设OPAB于P，则PO是AB到圆心的距离)：AB与⊙O相离，POAB与⊙O相切，PO=r;AB与⊙O相交，PO 10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r，且Rr，圆心距为P)：外离P外切P=R+r;相交R-r三、有关圆的计算公式1.圆的周长C=2d2.圆的面积S=s=3.扇形弧长l=nr/1804.扇形面积S=n /360=rl/25.圆锥侧面积S=rl四、圆的方程1.圆的标准方程在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^22.圆的一般方程把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.五、圆与直线的位置关系判断链接:圆与直线的位置关系(一.5)平面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是讨论如下2种情况:(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:如果b^2-4ac0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切如果b^2-4ac0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离(2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直于x轴)将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1当x=-C/Ax2时,直线与圆相离当x1当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切圆的定理：1不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中三年级数学上册第24章圆第一课时教案
方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评： 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠B AO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=u0001∠AOC（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=u0001∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=u0001∠AOC吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=u0001∠AOD-u0001∠COD=u0001∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？分。