上海交通大学2016计算方法期末复习提纲
计算方法复习提纲
数值计算方法复习提纲第一章 数值计算中的误差分析 1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字绝对误差 E （x ）=x-x *绝对误差限ε εε+≤≤-**x x x相对误差 ***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-=有效数字m n a a a x 10.....021*⨯±=若n m x x -⨯≤-1021*，称*x 有n 位有效数字。
有效数字与误差关系（1） m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （2）*x 有n 位有效数字，则相对误差限为)1(11021)(--⨯≤n r a x E 。
选择算法应遵循的原则1、 选用数值稳定的算法，控制误差传播； 例 ⎰=101dx e x eI xn neI nI I n n 11101-=-=- △!n x n=△x 02、 简化计算步骤，减少运算次数；3、 避免两个相近数相减，和接近零的数作分母； 避免第二章 线性方程组的数值解法1．了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解；Crout 分解；Cholesky 分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法；4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。
本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111)两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。
数理方法讲课提纲-上海交通大学数学系
第六章保形映射一、保形映射的定义1. 复变函数导数的性质|f′(z0)|为伸缩率Arg f′z0为旋转角（多值）2. 解析函数如果满足f′(z0)≠0，则必有伸缩率不变性和保角性（定理1.1.1），即为保角性；单叶的保角映射即为保形映射；a. 单叶解析函数满足f′(z0)≠0为保形映射；b.将区域D保形映射为G的函数一定是解析、单叶且f′(z0)≠0c.将区域D保形映射为G的保形映射是存在的；（黎曼定理）d. 要找到这样的函数，只需要找到让边界映射为边界的保形映射，并保持方向（边界对应原理）3. 分式线性映射w=f z=az+bcz+d (ad−bc≠0), 反函数z=−dw+bcw−aa. c≠0:−dc →∞,∞→acb. 由三类简单映射复合而成，所以有保圆性，（6.7）c. 保对称点性质（6.8）保交比性质(6.9)d.两个圆弧围成区域在分式线性映射下的像P156-157二、典型的分式线性映射通过边界对应原理有：1.上半平面映射为上半平面的分式线性映射w=az+bcz+d,a,b,c,d为实数且ad−bc>02. 上半平面映为单位圆内部（必有上半平面上的点z0到圆心，ഥz0映为∞),w=k z−z0z−z0,k=e iθ,Imz0>0 3.单位圆映为单位圆内部（必有上半平面上的点z0到圆心，1z0映为∞),w=k z−z01−z0z,k=e iθ,z0<1三、初等函数（区域不包含边界）1.幂函数w=z n: （P164）将角形域映射为角形域，在原点处的张角变为原来的n倍，特别的：将πn的角形域映射为上半平面；其反函数w=n z将角形域映射为角形域，在原点的张角变为原来的1/n,2. 指数函数与对数函数w=e z: （P166）将带形域0<Imz<α(α<2π)映射为角形域0<argw<α，特别：α=π，带形域映为上半平面，α=2π，带形域映为不含正实数轴的复平面，w=lnz将角形域0<argw<α映射成带形域0<Imz<α四、与半平面相关的映射将半平面映为上半平面的分式线性映射 将上半平面映成单位圆的分式线性映射 幂函数将角形域映射为上半平面，根式映射将角形域映射成上半平面， 指数函数将带形域映成上半平面，第11周作业P170 1 (1)(3) 2 3 4(1)(3) 5 (2) 6 8P171 B 套 3 （2）4 （1）（3）5第12周作业P171 A 套1 011 12 （1）（4）。
计算方法第7章／《数值分析》／清华大学／上海交通大学／西安交通大学
Euler-Maclaurin 公式
å ò Tn - I =
k
c2 j [ f (2 j-1) (b) - f (2 j-1) (a)]h2 j +
b a
P2k ( x) f (2k ) (x)dx
j =1
8
å c2 j
=
(-1)
j +1
1
(2p )2
j
¥ k =1
1 k2j
，|
P2k (x) |£ c2k h2k
同上
ò RS =
b f (4) (x ) (x - a)(x - c)2 (x - b)dx a 4!
=- b - a (b - a )4 f (4) (h) 180 2
5
复化公式及误差分析
由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式：
将积分区间
n
等分，节点是
xi
=
a
+ ih, h
=
值公式
pn (xk ) = f (xk ) = yk
利用 Lagrange 插
1
å Õ pn (x) =
nn
(
k=0 j=0 j¹k
x xk
- xj - xj
)yk
¬ 做代换 x = a + th,t
=
x-a
å Õ n n t - j
=
(
k =0
j=0
k
-
j )yk
h
j¹k
以 pn (x) 代 f (x) 得
k -1
<e
停止
输出 Tk(k )
»
I
。否则 h
Ü
h 2
上海交通大学高等数学复习提纲
上海交通大学高等数学复习提纲第一章函数1.会证明一般难度的不等式，并运用一些证明不等式的方法2.函数的界与数列的界的联系和区别（联系第二章）3.复合函数的函数值计算、单调性等4.单射和满射的定义与性质5.奇函数、偶函数的图像与性质，周期函数的定义与性质6.反三角函数的图像与性质7.双纽线、心脏线等的画法，图像性质，为积分应用求面积体积打好基础第二章极限与连续（这一章最为琐碎，多耐心）1.数列的有界无界的定义，怎么证数列的单调性，怎么证明数列的有界无界2.数列极限的定义（这同样也是证明一个数是数列的极限的根据；注意数列极限的几何意义）3.证明一个数是数列的极限的方法4.无穷大与无穷小的含义5.会求以下类型数列的极限1）分子、分母为多项式2）分子、分母含根式（很重要）3）分子、分母含指数式4）能够转化为（1+1/n）n的极限5）会用夹逼定理求极限（很重要）6）单调有界数列求极限的方法甚至是综合题，可参考习题集（较重要，有难度）7）用定积分的定义来求极限的方法（考得比较多，方法比较死，但不容易想到）6.为了达到会求极限的目标，要注意以下求和公式并且掌握常见的求数列前n项和的方法7.函数在一点和无穷远处极限的定义和相应的证明方法8.了解一下Heine定理，如果有问题请回看子数列与数列的关系与性质9.函数极限的几个常见性质，尤其是定性性质要有个感觉10.重要函数极限及其转化应用lim(sinx/x)=1; lim(1+1/x)x=e;11.无穷小、三类无穷小、正反求阶数、标准无穷小等概念和方法（重要）12.等价无穷小，会用它求函数极限（很重要，包括简单变形、平移和本质相同的式子的等价无穷小），等价无穷小的替换原则和规律要认真体会，要耐心13.函数极限的运算法则，会求函数极限（这一句话意味着要做大量的题和总结，类型要全）14.函数连续性的定义，函数连续与函数极限的关系，几类间断点及特征，罕见的类型记住典型案例15.连续函数求某点极限与该函数在该点函数值的关系，极限号可穿函数号等性质16.从定义和几何特征上体会一下有界性定理、最值定理、介值定理，看一下典型应用方法，适当操练操练，注意构造辅助函数的方法的出现第二章的内容一定要耐心，细节比较多，理解比较多第三章导数与微分1.导数的定义，可导的条件，可导与连续的关系2.微分、线性主部的定义（不妨从几何上看看，以直代曲P108），可导与可微的关系3.理解增量公式，会用增量公式求近似值，会用它估计误差(二者考得少，但是要会）4.背住导数表和微分表5.会求导数、会求微分（这两者比较简单），会准确地求复合函数的导数与微分；理解复合函数求导法则的来源；掌握一些求导类型与方法；反函数求导方法的推导与理解，会求反函数的导数。
上海交大《计算方法》教学大纲
上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程《计算方法》教学大纲(2007修改讨论稿)一．概况1.开课学院（系）和学科：理学院数学系计算数学教研室2.课程编码：3.课程名称：计算方法4.学时/学分：54学时/3学分5.预修课程：线性代数，高等数学，程序设计语言6.课程主干内容: 数值代数，数值逼近，非线性方程数值解，常微分方程数值解。
7.适应专业学科：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科需要的专业。
8.教材/教学参考书：(1)李庆扬、王能超、易大义，数值分析（第4版），华中理工大学出版社， 2003(2)孙志忠，袁慰平，闻震初，数值分析，东南大学出版社，2002(3)J.Stoer and R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis (secondedition), Springer-Verlag, Berlin-New York, 1993.(4)Atkinson K E，An Introduction to Numerical Analysis，John Wiley & Sons. 1989.二．课程的性质和任务本课程属于数值计算课程的基础部分。
数值计算课程是非数学类研究生数学公共基础课程，该组课程列入计算数学系列，目前按照“分级”的原则，设置《计算方法》（基础部分）、《微分方程数值方法》(扩展部分) 和《高等计算方法》（提高部分）三门课程。
本课程讨论用计算机求解数学问题的几类基本的数值方法及其相关的数学理论。
计算机是对近代科学研究、工程技术和人类社会生活影响最深远的高新技术之一，它对科学技术最深刻的改变，莫过于使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知和进行大型工程设计的第三种方法和手段。
计算机的飞速发展正把计算的方法的创新、改进、提高推向人类科技活动的前沿。
人类现代计算能力的巨大更取决于计算方法的效率。
上海交大高起专-计算机-期未总复习大纲-第一次第二次第三次作业
[1] 将文档中所提供的表格设置成文字对齐方式为垂直居中，段落对齐方式为水平居中。
1.全选表格中文字→设置距中。
右击全表 →表格属性→水平对齐方式：居中上机操作-第2次（windows操作）打开word ,新建空白文档，复制"表单全部。
" [3] 将正文第二段(“中国出现宽带接入热潮，……一个难得的历史机会。
”)分为等宽的两栏，栏宽为19字符。
3.选定正文第二段(“中国出现宽带接入热潮，……一个难得的历史机会。
”)→“页面布局”→“分栏” 下拉菜单→“更多分栏 ”打开对话框设置→“档数”为2，宽度为19字符[4] 第一段首字下沉，下沉行数为2，距正文0.2厘米。
将正文第三段(“尽管前景良好，……都难以获益”)分为等宽的两栏，栏宽为18字符。
并以“宽带新闻.docx”保存文档。
4.选定第一段全文→“插入”→“首字下沉” 下拉菜单“首字下沉选项”→设定上：“下沉行数”为2，距正文0.2厘米→ 确定→ 选定正文第三段(“尽管前景良好，……都难以获益”)→“页面布局”→“分栏” 下拉菜单→“更多分栏 ”打开对话框设置→“档数”为2，宽度为18字符 .另存文档“文件名：宽带新闻”到《实验结果》打开word ,新建空白文档，复制"款待发展面临路径选择……运营商和提供商都难以获益。
"[1] 将文中所有错词“款待”替换为“宽带”；将标题段文字(“宽带发展面临路径选择”)设置为三号黑体、红色、加粗、居中并添加文字蓝色底纹，段后间距设置为16磅。
1.单击工具栏“查找”，在搜索栏中输入“款待”→“Enter回车键.”。
单击工具栏“替换” →“Enter回车键.”选定标题段文字(“宽带发展面临路径选择”)设置：“三号黑体、红色、加粗，蓝底”右键 →段落→[2] 将正文各段文字(“近来，……设备商、运营商和提供商都难以获益。
”)设置为五号仿宋，各段落左右各缩进2厘米，首行缩进0.8厘米，行距为2倍行距，段前间距9磅。
计算方法复习提纲PPT课件
（3）SOR迭代法收敛的充分必要条件是
(S ) 1,其中S (D L%)1[(1 )D U%]
14
定理3.12 设 Ax = b，如果A为严格对角占优阵，则
Jacobi迭代法和Gauss-Seidel 迭代法均收敛。
6 常微分方程的数值解法
2
1、 绪论
绝对误差和绝对误差限 相对误差和相对误差限
有效数字
定义1.5 设近似数 x 0.a1a2 an 10m ,
其中 ai {0,1, 2,3,L ,9}(i 1, 2,L n), a1 0,
m为整数，如果
e
x*x
1 2
10mn
,
则称近似值x有n位有效数字，其中a1, a2 , … , an都 是x的有效数字，也称x为有n位有效数字的近似值。
x(k 1
)
0
x(k 2
)
..........
a2n
x(k n
)
]
22
x ( k 1) n
1 ann
[bn
a x(k) n1 1
an
2
x(k 2
)
..........
0
x(k n
)
]
(k=0,1,2,…)
11
Gauss-Seidel 迭 代 公 式
n i0
li (x) yi
n i0
9
线性代数方程组的迭代解法
熟练掌握求解线性代数方程组的雅可比迭代法、赛德尔 迭代法及SOR迭代法的迭代格式和收敛条件。
计算方法总复习
数值分析复习一、期末考试试题期末考试的试卷有填空题和解答题。
解答题共7个题，分数约占70％。
期末考试主要考核：●基本概念；●基本原理；●基本运算。
必须带简易计算器。
总成绩=平时成绩*20%+期末成绩*80%二、考核知识点、复习要求第1章误差(一) 考核知识点●误差的来源类型；●绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；●绝对误差的传播。
(二) 复习要求1. 产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
第2章方程求根(一) 考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。
(二) 复习要求1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间 (a,b)有根的充分条件。
2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法迭代次数公式;掌握迭代法，知道其收敛性。
3. 熟练掌握牛顿法。
掌握初始值的选择条件。
4. 收敛阶和收敛速度第3章线性方程组的数值解法(一) 考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法,LU分解法；消去法消元能进行到底的条件;雅可比迭代法，高斯―赛德尔迭代法，超松弛迭代法；迭代解数列收敛的条件。
(二) 复习要求1. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。
2. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。
3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，迭代解收敛性的充分条件。
4. Cond(A)的概念和性质第4章函数插值与最小二乘法(一) 考核知识点●插值函数，插值多项式；●拉格朗日插值多项式;插值基函数；●牛顿插值多项式；差商表;●分段线性插值、线性插值基函数●最小二乘法，法方程组，线性拟合、二次拟合、指数拟合。
(二) 复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
大学计算方法复习资料
计算方法复习资料第一章 数值计算中的误差主要内容：绝对误差，相对误差，误差限，有效数字，四舍五入，减少误差的原则。
1.利用秦九韶算法计算多项式16432)(23467-+-+--=x x x x x x x p 在2=x 处的值 1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 –10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9 9)2(-=p2.设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x = ；（2）12.10x = ；（3）12.100x = 。
解：有效数字位数分别为：3，4，53. 下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y xx-=-++，（B ）22(12)(1)xy x x =++；（2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =-（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
4.求3.141与22/7作为π的近似值时有效数字的个数.解：22110005.000059.0141.3-⨯=<=- π 3个。
复习课1上海交通大学继续教育学院课件
R->next->prior=R->prior; free(R);
(2)
p->next->prior=S; P-
>next=S;
(2) S->next=P; S->prior=P->prior;
(4) R=P->prior; P->prior=R->prior; R ->prior ->next=R->next; free(R);
SElemType *base; SElemType *top; int stacksize; }SqStack; 其中stacksize表示栈当前可以使用的最大容量。base为栈底， top为栈顶。栈顶指针指向栈顶元素的下一个位置（即下次压栈 时元素所放的位置）
复习课1上海交通大学继续教育学院
• 顺序栈的结构
• 定义栈结构
Typedef struct stack_node
S
{ elemtype data;
8
栈顶
struct stack_node *next;
7
} STKPTR;
STKPTR *stk;
问：在这里为什么没有用到top指针？这样对栈结构
的定义有否影响？
2
1 ^ 栈底
复习课1上海交通大学继续教育学院
• 存储单元不要求连续：物理结构不反应逻辑结构 • 不可以随机存取，但插入和删除方便 • 需要两个域：一个表示数据本身；一个表示数据元素间的先
后关联。——一个结点。 • 结点中表示关联的部分为指针域，内部存放指针或链。n个
结点链接成一个链表。
复习课1上海交通大学继续教育学院
线性链表
• 线性链表的物理存储结构
大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦
武汉大学计算方法历年期末考试试题大全(含完整版答案)及重点内容集锦武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷《计算方法》（A卷）（36学时用）学院：学号：姓名：得分：一、（10分）已知的三个值（1）求二次拉格朗日插值L2(x)；（2）写出余项R2(x)。
二、（10分）给定求积公式求出其代数精度，并问是否是Gauss型公式。
三、（10分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的（范数用）。
四、（12分）已知方程在[0,0.4]内有唯一根。
迭代格式A：；迭代格式B：试分析这两个迭代格式的收敛性。
五、（12分）设方程组，其中，分别写出Jacob及Gauss-Seidel迭代格式，并证明这两种迭代格式同时收敛或同时发散。
六、（12分）已知的一组值2.21.0 分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算七、（12分）20XX年5月左右，北美爆发甲型H1N1流感，美国疾病控制和预防中心发布的美国感染者人数见下表。
为使计算简单，分别用x=-1，0，1，2代表20XX年5月2，3，4，5日。
根据上面数据，求一条形如的最小二乘拟合曲线。
八、（12分）用改进欧拉方法（也称预估-校正法）求解方程：（取步长）1]。
九、（10分）对于给定的常数c，为进行开方运算，需要求方程的根。
（1）写出解此方程的牛顿迭代格式；（2）证明对任意初值牛顿迭代序列{xn}单调减且收敛于c.武汉大学2008-2009学年第二学期考试试卷1、解：（1）二次拉格朗日插值为（2）余项为2、解：当时，左边=2,右边=2；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=223,右边=3；当时，左边=0,右边=0；当时，左边=25,右边=29,左边右边；于是，其代数精度为3，是高斯型求积公式。
3、解：而，于是，所以题干中结论成立。
4、解：（1）对于迭代格式A：，其迭代函数为，在[0,，所以发散。
（2）对于迭代格式B：x1，其迭代函数为10e，在，所以收敛。
22 0.4]内5、解：（1）Jocobi迭代法：0b/2因为a21/a22a21a12a11a22（2）Gauss-Seidel迭代法：a12/a11a21a12/a11a22a12/a1101/a22a21a12a11a22| 01/a22(k)因为a21a12a11a22a21a12a11a22综上分析可知两种迭代法同时收敛同时发散。
上海交通大学计算方法课件(宋宝瑞)CH.2(1)
1第二章 解线性方程组的直接法解线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪⎩或写成矩阵式Ax b =其中()1212,(,,,),(,,,)T Tij n n n nA a x x x x b b b b ⨯=== Gauss 消去法（矩阵行变换法）第k 次消元公式()()(1)()()(1)()()/(1,,)(,1,,)(1,,)k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+计算中，中间结果不必保留，进行一次变换后原来存放(1)k A -的单元存放()k A，(1)k b-的单元存放()k b。
因此，我们得到Gauss消去法的算法：2循环：1,2,,k = n-1何时可行？即第k 步 Gauss 消去法可实行，易见充要条件是()0k kk a ≠若A 的各阶顺序主子式 *det()0ij k k a ≠ 1,,1k n =- ，则有：()**()()()1122()det()det() ||k ij k k ij k kk k k kk k kk a a a a a a =⇔≠ 消元过程可进行到 1k n =-。
因此，可以用Gauss 消去法解线性方程组的充要条件是系数矩阵的各阶顺序主子式不为0。
最后得到()()() n n n A x b A =是上三角阵()()k k A x b =与Ax b =同解2,,k n =解()()n n A x b=只需递推（回代过程）2211112()/, ,,1(0 = 1)nk k kjj kk j k k k i i i k i k x b ax a k n k k a a =+===-=>=∑∑∏ 当时，规定：3计算量 第k 步消元计算ik m 用(n-k )次除法，算诸()k ij a 用2(-)n k 乘法和2(-) n k 次加减法， 对1,,1k n =- 相加，可得消元过程共需2(1)/3n n -⨯÷次 (1)(21)/6n n n -- 右端 (1)()n bb →(1)/2 n n -⨯÷ (1)/2 +n n -－(1)/2 (1)/2 +-n n n n -⨯÷-回代3233 /3/3 /3(1)(25)/6 /3n n n n n n n n +-≈-+≈总数：乘除法加减法矩阵的三角分解（用矩阵乘法分解的观点看Gauss 消去法）对A 作行变换相当于左乘初等矩阵，例如(1)(2)AA →(2)1A L A =其中421131110-1 -01-001n m L m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭＝ 类似的讨论易知：()()1111 ,,n n n n A L L A b L Lb --==1,,100001 00000001 k k k n k L m m k +⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭＝第列令()1111111121313212,1= := 110 =11n n n n n n n U A A L L U L L L m m m m m m -------=⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭上三角阵则单位下三角阵5定理：**(),det()0 1,,1ij n n ij k k A a a k n =≠=- ，则A 可表示为A=LU L ：单位下三角阵，U 上三角阵，且分解唯一。
交大计算机复习资料整理
1：计算机的基础知识，包括：1）计算机的概念，其发展历史，第一台计算机诞生的年代，名称，各发展时期的主要逻辑元器件；1.计算机的发展世界上第一台计算机是1946年由美国的宾夕法尼亚大学研制成功的，该机命名为ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Calculator)，意思是“电子数值积分计算机”。
它的诞生在人类文明史上具有划时代的意义，从此开辟了人类使用电子计算工具的新纪元。
随着电子技术的不断发展，计算机先后以电子管、晶体管、集成电路、大规模和超大规模集成电路为主要元器件，共经历了四代的变革。
每一代的变革在技术上都是一次新的突破，在性能上都是一次质的飞跃。
a电子管计算机b晶体管计算机c 集成电路计算机d 大规模与超大规模集成电路计算机2）计算机的特点、主要应用领域、最早的应用领域、计算机的分类及工作原理等；随着计算机技术的不断发展，计算机的应用领域越来越广泛，应用水平越来越高，已经渗透到各行各业，改变着人们传统的工作、学习和生活方式，推动着人类社会的不断发展。
科学计算科学计算也称为数值计算，是指用于完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算。
通过计算机可以解决人工无法解决的复杂计算问题，50多年来，一些现代尖端科学技术的发展，都是建立在计算机的基础上的，如卫星轨迹计算、气象预报等。
数据处理数据处理也称为非数值处理或事务处理，是指对大量信息进行存储、加工、分类、统计、查询及报表等操作。
一般来说，科学计算的数据量不大，但计算过程比较复杂；而数据处理数据量很大，但计算方法较简单。
过程控制过程控制也称为实时控制，是指利用计算机及时采集、检测数据，按最佳值迅速地对控制对象进行自动控制或自动调节，如对数控机床和流水线的控制。
在日常生产中，有一些控制问题是人们无法亲自操作的，如核反应堆。
有了计算机就可以精确地控制，用计算机来代替人完成那些繁重或危险的工作。
人工智能人工智能是用计算机模拟人类的智能活动，如模拟人脑学习、推理、判断、理解、问题求解等过程，辅助人类进行决策，如专家系统。
计算方法复习要点.doc
注:仅供参考引论1.基于化归策略的三种基本的算法设计技术为缩减技术、校正技术、松弛技术.缩减技术的设计思想是大事化小，小事化了, 如多项式求值的秦九韶算法;校正技术的设计思想是删繁就简，逐步求精,如求开方值的迭代公式;松弛技术的设计思想是优劣互补，化粗为精,如求倒数的迭代算法.2・由计算公式o? +亦+e + d = (((处+ b)x + c)x) + 〃知，此算法运用了缩减技术.3.设计累乘求积T=n，/,算法时，可以运用缩减技术. f=l4.由计算公式x^((((W)2)2)2知：此算法运用了缩减技术.5.开方公式是校正技术的应用.第一早1.设0(兀)为兄次的Lagrange插值基函数，兀口= 0〜Q为两两互异的节点，贝1」：= TT( ),/ = 0- n ; 03(兀2)= °；工％(兀)=1 ;/=0y=0 儿 _ Xjj若w = 则P..M为次数n的插值多项式・/=()2・=△几+厂△ X)・/=03・设p(x)、N(x)是/(x)满足同一插值条件的刃次lagrange、Newton插值多项式，则心)二Ng;若/(兀)也是次数不超过〃的代数多项式，贝Ih P（x） = f（x）・4 ・设/（x） = 3x（x -1）（% 一2）（兀-3）,则差商/TO, 1,2,3］ = _0_ ,AI0,1,2,3,41= 3 , /L0,l,2,3,4,5J = _0_ ・5.已知/（X）=6?+X2+1,则差商 /［1,2,22,231 = _6_ ・x3 , 0<%<16・S（兀） = ｛］,若S（兀）是［0,3］上以—（% —1） + d（兀一1）~+/?（兀一1） +1 ,15 兀5320,1,3为节点的三次样条函数，则3、b= 3 .7.构造插值多项式的三种基本方法是余项校正法、基函数法、待定系数法.第二章1.五个节点的G G邸求积公式具有丄阶精度；而五个节点的Newton - Cotes公式具有5阶精度.2.复化梯形求积公式具有丄阶代数精度.3・Romberg（龙贝格）算法中，S“ =吕石“ - g T n .4.已知打。
大学计算机基础复习资料 算法部分提纲.doc
(1模型建立 模型求解 模型分析 模型检验 模型应用⑶ ⑷ (5) (6)第三章问题求解与算法1.问题求解的思维过程(问题求解是人们为寻求问题答案而进行的一系列思维活动) 思维过程分为三个阶段：问题分析——提出假设——检验假设1研究问题给出的条件、目标、任务，明确问题基木含义。
使对问题有个清晰定义。
2提出假设3检验假设分为实践检验和理论验证。
2数学模型是什么？如何建立数学模型？数学模型即是对实际问题的数学抽象，就是用数学符号、数学式了、程序、框图等对实际 问题本质属性的刻画，用以描述客观事物非特征、内在联系及发展及运动规律。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似 刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。
建立数学模型的步骤如下：模型准备 了解问题背景，明确实际意义，搜集和研究问题所涉及对象的数据和详细信息模型假设 根据问题涉及实际对象的特征和建模目的，合理简化问题，精确提出一些恰当假设在假设基础上建立数学结构以描述变量与常量关系利用数学方法，通过建立计算机软件系统，对模型所有参数做出计算 进行数学分析，包括误差分析，数据稳定性分析与实际情形做比较，以验证其准确性，合理性和适用性。
3算法是什么？其特征？如何描述？算法是指问题求解的方法及求结果称的描述，是一个经过精心设计、用以解决一类特定 问题的计算序列。
特征：(1)确定性：每一条指令都无二义 (2)可行性：在计算机上可行 (3)有穷性：步骤有穷，每一步所用时间有穷。
(4)输入：可以输入数据 (5) 输出：要有输出结果，或者产生相应动作指令描述:自然语言、伪代码、流程图。
(目的是清晰的展示问题求解的基本思想和具体步骤。
)4算法分析是什么？目的？ 时间复杂性是什么？算法分析就是对算法进行正确性、时间复杂性和空间复杂性的分析，从而评价算法的优 劣，或是估计算法实现后的运行效果。
时间复杂性是指根据该算法编写的程序在运行过程中，从开始到结束所需要的时间。
成人教育《计算方法 提纲》期末考试复习题及参考答案
一、单项选择题1、Jacobi迭代法解方程组Ax = b的必要条件是（ C ）.A．A的各阶顺序主子式不为零 B.ρ(A)<1C. D.|A|≤12、设，均差( B )A.3B. -3C. 5D.03、设，则ρ(A)为( C ).A. 2B. 5C. 7D. 34、三点的高斯求积公式的代数精度为( B ).A. 2B.5C. 3D. 45、幂法的收敛速度与特征值的分布（ A ）。
A. 有关B. 不一定C. 无关6、求解线性方程组Ax=b的分解法中，A须满足的条件是( B )。
A. 对称阵B. 正定矩阵C. 任意阵D. 各阶顺序主子式均不为零7、舍入误差是( A )产生的误差。
A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C. 观察与测量D.数学模型准确值与实际值8、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。
A.6B.5C. 4D. 79、幂法是用来求矩阵( A )特征值及特征向量的迭代法。
A. 按模最大B. 按模最小C. 所有的D. 任意一个10、用1+x近似表示所产生的误差是( C )误差。
A. 模型B. 观测C.截断D. 舍入11、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。
A.控制舍入误差B. 减小方法误差C.防止计算时溢出D. 简化计算12、解线性方程组Ax=b的迭代格式收敛的充要条件是( D )。
A. |M|<1B. ρ(A)<1C. |ρ(M)|<1D. ρ(M)<113、用近似表示所产生的误差是( D )误差。
A. 舍入B. 观测C.模型D. 截断14、-324.7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。
A. 5B. 6C.7D. 815、反幂法是用来求矩阵( B )特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。
A. 按模最大B. 按模最小C.全部D. 任意一个16、用表示自由落体运动距离与时间的关系式( g为重力加速度)，是在时间t内的实际距离，则是（ C ）误差。
上海交通大学网院财务管理期末复习提纲32页PPT
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
《计算数论复习提纲》课件
计算数论在信息科学中也有着广泛的应用，如数 据加密、信息隐藏、数字水印等领域。
计算数论的发展历程
古代数学时期
01
古代数学家就开始研究与计算数论相关的内容，如欧几里得算
法用于求两个整数的最大公约数。
近代数学时期
02
随着数学的发展，越来越多的数学家开始关注计算数论，如费
马小定理、欧拉定理等。
计算机技术发展时期
分治算法与快速排序
分治算法
分治算法是一种将问题分解为若干个子问题 ，递归地解决子问题，并将子问题的解合并 为原问题的解的算法。快速排序是分治算法 的典型例子，通过选择一个基准元素，将数 组分为两部分，小于和大于基准的元素，然 后递归地对这两部分进行排序。
快速排序
快速排序是一种高效的排序算法，其平均时 间复杂度为O(nlogn)。快速排序的基本思
数字签名应用
数字签名广泛应用于电子政务、电子商务和网络安全等 领域。例如，在电子投票中，数字签名可以确保投票的 匿名性和不可篡改性。
密码学中的数论应用
数论在密码学中的应用
数论作为数学的一个分支，为密码学提供了丰富的理 论基础和工具。例如，基于数论的Diffie-Hellman密 钥交换协议实现了安全通信的前提条件——双方在不 安全的通道上协商出一个安全的密钥。
03
计算数论在密码学、计算机科 学、信息科学等领域有着广泛 的应用。
计算数论的应用领域
1 2 3
密码学
计算数论提供了许多加密算法和哈希函数的基础 ，如RSA算法、Diffie-Hellman密钥交换协议等 。
计算机科学
计算数论在计算机科学中有着广泛的应用，如计 算机图形学、计算机密码学、计算机算法设计等 领域。
上海交通大学2016计算方法期末复习提纲
• 实质：作Crout分解
• 改进平方根法
• 适用条件：对称正定矩阵
•精选课计件算量减半
6
• 迭代法：
• 向量与矩阵的范数： （★）
• 向量范数：1-(范A数ห้องสมุดไป่ตู้、2-m1范ai数xn、|∞-i 范| 数
• 矩阵范数（算子范数）：1-范数、2-范数、∞-范数 • 矩阵的谱半径：
• ρ( A) ≤||A||
• 求积公式的代数精度（计算、证明）
Ak b a
• 插值型求积公式：
• 插值求积公式的构造方法（★） • n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度 • n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有n+1
次代数精度
• Newton-cotes公式的构造 • 重点掌握：
• 差商及其性质： （★）
• 对称性
f [x0 ,, xk ] f [xi0 ,, xik ]
•
f
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x0
,,
xn
]
n i0
(
xi
x0
)(
xi
f ( xi ) xi1 )( xi
xi1
)(
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f [x0,, xn ]
f (n) ( )
(n)!
•
推论：若f ( x ) Pn ( x
Newton插值公式的构造（★）
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• 基本原理
• 误差估计
•
简单迭代法
• • •
迭代原理 迭代格式的收敛性判断 收敛速度的度量
•
Newton迭代法
• • • • •
原理 算法步骤（★） 收敛的阶 手工计算（★） newton迭代法的改进
• •
重根时的改进 避免求一阶导数的改进：弦截法
第3章 线性方程组求解
•
线性方程组的求解方法： （★）
•
多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm
（1）
( 3)
• 一般曲线拟合
• 利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解
（会计算） （★） • Ax=b的最小二乘解为：ATAx=ATb
• 基本概念：
• 数值积分（机械求积公式）的一般形式
• 求积公式的代数精度（计算、证明）
A
• 插值型求积公式：
1 • 若矩阵 A 对某个算子范数满足 I A
1
• 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★）
• 充分条件： x=Bx+f， ||B||<1 • 充要条件： x=Bx+f，B的谱半径 ( B ) <1
• Jacobi迭代：
• 公式：x=Jx+f（其中： J=I-D-1A，f=D-1b） • 收敛的条件： （★）
利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、高斯-塞德尔 迭代法求解
• 第四章
• 习题：16题、20题
• 第五章：
• 习题：4题、7题、8题
• 第六章：
• 习题：1、2、12题
• 算法考查：Guass顺序消元法解线性方程组的解
• •
直接法 迭代法
•
直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）
•
Guass顺序消元法
•
n
适用条件：
•
系数矩阵A是严格对角占优的矩阵
|| aii | | aij |, A的每行主对角元的绝对值 同行其余元素的绝对值之和
j i i 1
•
顺序阶主子式为正
•
算法步骤（★ ★ ★ ）
• 列主元Gauss消元法（★） • 选主元的必要性 • 算法的改进 • Gauss-Jordan 消元法 • 思想、方法 • Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵 • 三角分解法 • Doolittle分解（★） • Crout分解（★） • 追赶法 • 适用于：三对角方程组 • 实质：作Crout分解 • 改进平方根法 • 适用条件：对称正定矩阵 • 计算量减半
第6章 数值积分
k
ba
• 插值求积公式的构造方法（★） • n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度
• n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有n+1
次代数精度
• Newton-cotes公式的构造 • 重点掌握： • 梯形公式 • Simpson公式
• 步骤
f ( n ) ( ) f [ x0 ,, xn ] (n)!
• 估算某点的近似值：
•
Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+…+f[x0,x1,…,xn] (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
• Hermit插值
• 基本思想 • 插值多项式的构造方法
• Lagrange型构造法（基函数构造法） • Newton型构造法（重节点的差商）
• 充要条件： ( J ) <1 • 充分条件：||J||<1 • Ax=b的系数矩阵A （非迭代矩阵 J ） ：严格对角占优
• 会手工计算（★）
• 插值的基本概念：
• 插值多项式
• 插值条件、插值点
第4章 插值法
• 插值多项式的存在、唯一性：
• 故Ln(x)与Nn(x)等价
• Lagrang插值多项式（★）
复习
第一章 绪论及误差估计
• 误差的来源、分类（★） • 误差的估计（★）
• 绝对误差、绝对误差限
• 相对误差、相对误差限 • 有效数字
• 和、差、积、商的误差
• 数值计算（近似计算）的基本原则（★）
第2章 非线性方程求根
• 非线性方程求根的基本步骤（★） • 判断根存在性
• 有根区间的隔离
• 根的精确化 • 二分法求根
• 对称性 •
f [ x0 , , xk ] f [ xi0 , , xik ]
n
f ( xi ) f [ x0 , , xn ] i 0 ( x i x0 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
a n , k n 推论：若f ( x ) Pn ( x ), f [ x0 , , x k ] 0,k n • Newton插值公式的构造（★）
•
迭代法： • 向量与矩阵的范数： （★） ( A) max ∞ | - • 向量范数： 1-范数、 2-范数、 范数 i |
• •
矩阵范数（算子范数）：1-范数、2-范数、∞-范数 矩阵的谱半径： • ρ( A) ≤||A||
1 i n
||A|| < 1，则必有: I±A 可逆、 1 || A || • 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||
• 构造 • 余项
n k 0
f ( x ) l k ( x ) yk (
k 0 k 0 i 0 ik
n
n
n
( x xi ) yk ( xk xi )
• 线性插值、抛物插值公式及其截断误差 lk ( x ) 1
• Newton插值
• 差商及其性质： （★）
• 了解高次插值会产生Runge现象，解决办法：分
段低次插值（★）
• 了解三次样条插值的基本原理
第5章 最小二乘法与曲线拟 合
•Байду номын сангаас最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★）
n y i n n i 0 n xi .... x im Ty • 对应的正规方程组： CTCa=C n i 0 i 0 xi yi a0 n n n 2 m 1 i 0 .... x i xi xi a1 n i 0 i 0 i 0 T T 2 n n C C n , a a 2 , C y x i yi 2 3 m2 i 0 xi .... x i xi ... i 0 i 0 i 0 ..... .... .... .... n .... am n n n m m m 1 2m x y xi .... xi i i xi i 0 i 0 i 0 i 0 • 解之即得(1）的最小二乘解
• 复化积分
• 原理 • 复化梯形积分、复化Simpson积分（计算）
• Romberg积分公式
• 是外推公式，由复化梯形积分3次外推得到（★）
• Gauss积分：
• n个积分结点的Gauss求积公式可达 2n-1次代数精度（★）
重点例题、习题
• 第一章：
• 例：1-1、1-2、1-14、 • 习题：2、8、17 • 第二章： • 例：2-3、2-5、2-15、 • 第三章： • 例：3-29 • 习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元法、杜