白噪声随机过程、脉冲函数、单位元的关系

f (0) 及工程实际应用，可给出如下定义：

(t) 为满足等式
(t) f (t)dt

f (0) 的函数，其中 f (t) 为任一连续函数。由上可
知， (t) 不再是普通的值与值的对应关系，而是通过和一个连续函数乘积在
(, ) 上的积分才与一个有限值相对应，这个有限值我们可以称之为 (t) 的运算
图 1 5kHz 巴特沃斯低通滤波器
图 2 5kHz 巴特沃斯低通滤波器频率响应
图 3 系统响应
将示波器收集到的数据保存，并选取包含了输出脉冲的 512 组数据，在 Matlab 中 进行 FFT 变换，分析输出信号的频谱，如图 3、4 所示。
图 4 直流分量幅度
图 5 5kHz 附近的幅度
通过数据分析可知，输出最大值为 250.1，频率为 4758Hz 时输出约为 216.2，
零矩阵
方阵
·(乘法)
单位矩阵
所有从集合 M 映射 至其自身的函数
∘ (函数复合)
单位函数
所有从集合 M 映射 至其自身的函数
* (折积)
δ（狄拉克 δ 函数）
字串
串接
空字符串
扩展的实轴
最小值
+∞
扩展的实轴
最大值
−∞
集合 M 的子集
∩ (交集)
M
集合
∪ (并集)
{ }（空集）
布尔逻辑
∧ (逻辑与)
⊤（真值）
20ln 216.2 2.9131
250.1
，也就是说 3dB 带宽约为 5kHz，与设计值相符，说明可以使
用该脉冲函数对网络特性进行分析。
与网络分析仪相比，该方法省去了扫频源，在得到数据后仅需输入 Matlab 进行频 谱分析便可得到网络的频率特性，简便易行。
白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。是一种功率频谱密度为常数 的随机信号或随机过程。换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白 光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的 性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。相对的，其他不具有这一 性质的噪声信号被称为有色噪声。
3) 用于电路和系统的检验
当白噪声通过线性系统后，出过程自相关函数与系统权函数形式上相同，只差一个 系数。即若系统输入为白噪声过程，通过实验方法测定过程 Y(t)的特征，则该系 统的特性就可以求出来。同时，用白噪声驱动线性系统的合理性还有，线性系统的 卷积模型广泛应用于描述电磁波、声波、光波等信号在介质中的传播，若介质中影 响信号传播的因素非常多，那么可以高斯白噪声来近似其系统特征。
在现实世界中，也有很多事物与脉冲函数相对应，比如闪电的时间很短，却能传递 巨大的能量；输油管爆炸只需要一瞬间，却能炸坏公路，杀伤行人。
由于系统函数
H
(
j)

R( E(
j) j)
，当激励
e(t
)


(t
)
时，有
E(
j)

1
，所以有
H ( j) R( j) ，那么 h(t) r(t) 。故当系统的输入为单位脉冲响应时，输出即为
2) 用于产生有色信号
由于白噪声中含有丰富的功率谱密度，可以将白噪声作为输入来产生各种所需的有 色噪声信号。且有张老师那节“白噪声通过线性系统”的课中分析的那样。输出过 程自相关函数与系统权函数形式上相同，只差一个系数。故输入为白噪声时，输出 过程由权函数决定。换言之，工程上所要求的任一随机过程 Y(t)都可以用白噪声 过程通过一特定结构的线性系统来产生。
定义 1 在区间 (, ) 具有如下性质的函数
0
(t t0)
t t

t0 t0
且
+

-
(t

t0 )dt
1
称为 函数。
0 t t0

(t

t0
)

ຫໍສະໝຸດ Baidu

1 2
t0
t t0
定义 2 型函数序列
0 t t0
应用举例：
a.产生有色随机序列，在数字信号处理中常用到有色随机序列，可以把抽样的 白噪声通过适当的滤波器，以数字形式产生这类随机序列。这样经过数字滤波算法
产生的样本与白噪声样本不同，它所产生的样本是相关的，具有非白色的频谱，所 以叫有色随机序列，所得序列的“颜色”是由滤波器的传递函数决定的。
b．电子音乐中，白噪声被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪 声信号，在音频合成中，经常用来重现类似于铙钹这样在频域有很高噪声成分的打 击乐器。
应用举例：如书本 3.5 节中的举例，白噪声通过 RC 积分器，低通，带通，高通网 络，所得的自相关函数 Ry，均有有线性系统函数 h(t)的特征。且通过查阅资料以 白噪声作为激励的检测系统还可用于检测接地电阻甚至非线性系统等，由于涉及专 业知识较强，就不做引用了。
1) 数学方法
目前白噪声的产生方法主要以数字方法为主，即以数学的方法产生伪随机数，是目 前使用较广，发展较快的一种方法。如用计算机上各种伪随机数的算法。或者用单 片机或 FPGA 产生 M 序列。由于这种方法属于半经验性质，只能近似地具备随机性 质。理论定量分析结果表明，为保证随机数学期望的最大容量（对应循环周期）、 独立性及均匀性，递推公式及其有关参数的正确选择是极为重要的。
应用举例：
a. 建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声（如人 的交谈)，使用持续的低强度噪声作为背景声音。一些紧急车辆的警报器也使用白 噪声，因为白噪声能够穿过如城市中交通噪声这样的背景噪声并且不会引起反射， 所以更加容易引起人们的注意。
b. 催眠应用 Sleep Bug， 很多朋友有过这样的经历——夜里开着电视或收音 机，不知不觉就睡着了，而电视或收音机没信号之后发出的那种“沙沙”声对自己 的睡眠似乎毫无干扰。这种“沙沙”声即为白噪声，它在各个频段的功率是一样 的，在音量适宜时可以起到遮蔽其他噪音、帮助睡眠、放松精神和防止分心的功 效。
举例：M 序列发生器
2) 物理方法
所谓物理方法就是在电子计算机上装一台物理随机数发生器，它是把具有随机性质 的物理过程直接在机器上变换为随机数字。例如：以放射性物质为随机源的放射型 随机数发生器、以电子管或晶体的固有噪声为随机源的随机数发生器。 举例：利用齐纳二极管的固有噪声
单位元（幺元）是集合里的一种特别的元素，与该集合里的二元运算有关。当单位 元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。单位元被使用在群和其他相关概念之 中。 设 (S,*)为一带有一二元运算* 的集合 S（称之为原群），则 S 内的一元素 e 被称 为左单位元若对所有在 S 内的 a 而言，e * a = a；且被称为右单位元若对所有在 S 内的 a 而言，a * e = a。而若 e 同时为左单位元及右单位元，则称之为双边单 位元，又简单称之为单位元。
高斯白噪声:
如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的， 则称它为高斯白噪声。热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。
白噪声序列:
白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列 {W（k）}满足：相关函数： 称为白噪声序列。
谱密度为
1) 过滤分散噪声
白噪声是同一个单位的随机信号功率谱。 这是一个良好的信号频率，是一种理论 建构，就像全彩色白颜色的光频谱，白噪声充满整个人类耳朵可以听到的振动频 率，可以帮助一个人放松或睡眠。人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、狗 叫、打鼾、警报器、大喊大叫。 白噪声并不增加鼓噪噪音白色噪音，而是包含所 有同等频率的叫声。 研究表明,一个稳定、平和的声音一样流单调,如白噪声，可 过滤和分散噪音，帮助减轻噪音分心，这也正是为什么它用来帮助人们放松、睡 眠。
对应于加法的单位元称之为加法单位元（通常被标为 0），而对应于乘法的单位元 则称之为乘法单位元（通常被标为 1）。这一区分大多被用在有两个二元运算的集 合上，如环。
下面列出一些已知的单位元的例子
一些单位元的例子
集合
运算
单位元
实数
+ (加法)
0
实数
·(乘法)
1
实数
ab (幂)
1（只为右单位元）
矩阵
+ (加法)
设 D 是 t 上无限次可微且在某有限区间以外为 0 的函数全体，则 (t) 可 定义为：对一切 f D ，对应数值 f (0) ，称这一泛函为 (t) 。根据实际应用，我们 又可简单地表示为：

(t) f (t)dt f (0)
这一定义为数学上的严格定义，但一般工程技术人员难以理解，所以工程上 (t) 的 定义一般采用弱极限来定义：
在数学上，可以如此描述，一个时间连续随机过程
where
白噪声当且仅当它的平均值函数与自相关函数满足以下条件：
为一个
意即它是一个对所有时间其平均值为零的随机过程，并且它的自相关函数是狄拉克 δ函数（冲击函数），有无限大的功率。由上述自相关函数可推出以下的功率谱密 度：
由于 δ 函数的傅里叶变换为 1。而对于所有频率来说，此功率谱密度是一样的。 因此这是对白噪声之“白色”性质在频域的表述。 非理想白噪声：理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界 是不可能存在的。实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让 我们在数学分析上更加方便。然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统 分析的有力工具。一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系 统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作 为白噪声来处理。例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱 密度，通常可以认为它们是白噪声。
系统函数。
当一个网络的结构十分复杂，而我们并不了解它的特性，或是要检测一个已制好的 模块性能是否满足需求时，我们就需要对这个网络的传输特性进行分析。这一过程 通常通过网络分析仪来实现，网络分析仪包含扫频源，可输出不同频率的信号，将 这些信号输入系统，观测输出，即可得到系统的频率响应。这是一种常用的系统特 性分析方法。 利用脉冲函数通过线性系统的特点，我们可以使用脉冲函数来分析系统的传输特 性。将脉冲函数输入系统，对系统的输出信号进行采样，并利用 FFT 等算法分析输 出信号的频谱，便可得到系统函数。 然而现实世界中并不存在脉冲函数，仿真软件也不提供脉冲函数激励源。我们只能 做一个近似。可以在输入端加一大功率、高电压或电流输出的激励源，通过一个开 关将其接入电路，然后迅速断开，这样激励就近似为一个脉冲函数，系统的响应也 近似等于系统的单位冲激相应。 为了验证这个想法，使用 Multisim 进行仿真。设计一个如图 1 所示的巴特沃斯低 通滤波器，由于 Multisim 示波器的采样率较低，信号频率不应过高，故选其 3dB 带宽为 5kHz，其频率响应如图 2 所示。输入信号为 10V~0V、占空比 1%、频率为 10Hz 的方波。系统响应波形如图 3 所示。
随机过程课题研究
白噪声随机过程、脉冲函数、单位元的联系及其应用
组员：朱晨，蒋铼，卢桓
单位脉冲函数 (t) 是物理及工程技术中的一个重要的函数，有相当多的物理背景。 其物理意义为 t 0 在时刻有一个强度为 1 的冲击。工程上一般采用弱极限来定 义，但 (t) 与普通函数又不一样，不是值与值的对应关系，它是一个广义函数，而 其本质是一泛函。下面将给出 (t) 严格的数学定义以及结合傅里叶变换给出它的一 些性质及应用。
值，因此，证明一个与 (t) 有关的等式成立时，是指它们的运算值相等。
脉冲函数只有在 0 时刻的值为无穷大，而在其他时刻的值为 0，但在整个时域上的 积分为 1。也就是说，脉冲函数的宽度为 0，面积不为 0。
很多物理量应当用脉冲函数来表示。比如，单位质量质点的密度，单位点电荷的电 荷密度，单位高度无限窄电脉冲等。
布尔逻辑
∨ (逻辑或)
⊥（假值）
闭二维流形
# (连通和)
S²
只两个元素{e, f}
* 定义为 e*e=f*e=e且 f*f=e*f=f
e 和 f 都是左单位元，但不存在 右单位元和双边单位元
，如果对于任何一个无穷次可
微的函数 f (t) 都满足
+
+
lim 0 - (t t0) f (t)dt - (t t0) f (t)dt
则称 (t t0) 的弱极限为 函数，也称为单位脉冲函数。

值得一提的是，由等式
(t) f (t)dt