白噪声随机过程、脉冲函数、单位元的关系
随机过程与噪声
第2章 随机过程与噪声在通信系统中，信源发送的信号具有一定的不可预测性，或者说随机性。
信号在传输过程中会不可避免地遇到各种噪声和干扰，这些噪声也是不可预测的或随机变化的。
电磁波的传播受大气层的变化、地面地形的影响，也使接收的信号随机变化。
因此，通信中的信号和噪声都具有一定的随机性，需要借助随机过程的数学方法来描述。
本章介绍随机过程的基本概念、数字特征及噪声的表示方法，重点分析通信系统中几种重要随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的情况，这些内容对后面章节中分析通信系统的性能很有用。
2.1随机过程描述 2.1.1 随机过程概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
通信系统中的信号和噪声是具有随机性的，通常称为随机信号，它们均可看作随时间参数t 变化的随机过程。
随机过程是时间t 的实函数，但是在某一时刻上观察到的值却是一个随机变量。
也就是说，随机过程可以看成是对应不同随机试验结果的时间过程的集合。
例如：设有n 部性能完全相同的通信机，它们的工作条件相同，如果用n 台相同的记录仪同时记录通信机输出热噪声电压波形，结果将发现，尽管测试设备和测试条件都相同，但是纪录的是n 条随时间起伏且各不相同的波形，如图2-1所示。
这就是说，接收机输出的噪声电压随时间变化是不可预测的。
测试结果的每一个记录，即图2-1中的一个波形，都是一个确定的时间函数x i (t),它称之为样本函数或随机过程的一个实现。
全部样本函数构成的总体│x 1(t),x 2(t),…,x n (t)│就是一个随机过程，记作()t ξ。
简言之，随机过程是所有样本函数的集合。
显然，把对接收机输出噪声波形的观察可看作是进行一次随机试验，每次试验之后，()t ξ取图2-1所示的所有可能样本中的某一样本函数，至于是哪一个样本，在进行观测之前是无法预测的，这正是随机过程随机性的表现。
随机过程的这种不可预测性或随机性还可以从另一个角度来理解，在任一观测时刻t 1上，不同样本的取值{}n i t x i ,...,2,1),(1=是一个随机变量，记作)(1t ξ。
white noise数学定义
white noise数学定义
在数学中，白噪声是一种随机过程，通常被描述为具有恒定功
率谱密度的随机信号。
具体来说，白噪声是一种具有平坦频谱密度
的随机信号，这意味着它在所有频率上具有相等的能量。
从数学角度来看，白噪声的数学定义可以通过其自相关函数来
表达。
自相关函数描述了信号在不同时间点之间的相关性。
对于白
噪声，其自相关函数在非零时间延迟下接近零，这意味着白噪声在
不同时间点上是不相关的，即相互独立的。
数学上可以表示为R(τ) = σ^2 δ(τ)，其中R(τ)是自相关函数，σ^2是信号的功率，
δ(τ)是狄拉克δ函数。
另外，从概率论的角度来看，白噪声也可以被定义为一种具有
恒定方差且不相关的随机变量序列。
这意味着白噪声序列的各个分
量之间是相互独立的，并且具有相同的方差。
总的来说，白噪声是一种在各个频率上具有相等能量的随机信号，在数学上可以通过自相关函数或随机变量序列来进行定义。
这
种定义有助于我们在信号处理、通信系统和随机过程等领域中对白
噪声进行分析和应用。
噪声与随机信号分析
利用星座图观察噪声
• 正确的加噪声方法是给实部和虚部分别加噪声 • xnoisy_real = real(x) + sigma * randn(size(x)); • xnoisy_imag = imag(x) + sigma * randn(size(x)); • xnoisy = xnoisy_real + i * xnoisy_imag;
•22
问题扩展
• 同样的信号重复发送两次，两次的幅度可能 不同，经过信道叠加噪声之后分别为
和
，接收端对两个接收信号以一定
比例合并：
• 讨论：接收端以怎样的比例合并可以使接收 信噪比达到最大？
•23
问题分析
已知：
求为了使： 假设：1. 每次发送时的加性高斯噪声功率不变
2. 原始信号功率 3. 原始信噪比
自相关函数的性质： 偶函数
是不随t 变化的，其值只是与 其中 =t1-t2
•60
宽平稳随机过程：过程的均值与时间无关，此时只需满足
关于平稳随机过程： 狭义平稳：p(x)不随时间变化； 宽平稳： 不随时间变化，即x(t)的均值不随时间变化。 自协方差函数 对于平稳过程
•61
62
自相关函数
• 连续函数自相关函数
•6
通信系统中常常使用误差函数计算高斯分布函数中的小概率 事件所占的比例
• 标准正态分布 • 误差函数
高 斯 通 道 下 当发射 +1与 - 1的 概率 相 同时，得到的接收信号pdf函数为：
• 互补误差函数
•7
• 误差函数和互补误差函数的主要性质
•8
• 误差函数的其他表示方法
许多通信系统采用Q(X)函数表示误码率
高斯白噪声
高斯白噪声高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。
热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。
所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。
这是考查一个信号的两个不同方面的问题。
时变信号，顾名思义，就是信号的幅度随时间变化的信号，幅度不随时间变化的信号，即幅度保持为常数的信号叫时不变信号。
高斯白噪声是指信号中包含从负无穷到正无穷之间的所有频率分量，且各频率分量在信号中的权值相同。
白光包含各个频率成分的光，白噪声这个名称是由此由此而来的。
它在任意时刻的幅度是随机的，但在整体上满足高斯分布函数。
时变信号的知识参考《信号与系统》，高斯白噪声参考《通信原理》类书籍Re:【请教】什么是高斯白噪声，有色噪声，另外wden 中的scal 是何意？（1）带通噪声。
带通噪声与白噪声相对又叫有色噪声，即在某个频带上信号的能量突然变大。
这种噪声的典型例子为交流电噪声，它的能量主要集中在50Hz左右。
对这种噪声的滤除可以先对语音信号进行加窗，然后再进行短时傅立叶变换并画出频谱图。
在频谱图上，我们可以看出该噪声的能量主要集中在哪个频带上，得到此频带的上下限。
根据此频带的上下限设计一个滤波器对语音信号进行滤波。
一般情况下，该方法可以比较有效的去除带通噪声。
（2）冲击噪声。
所谓冲击噪声就是语音信号中的能量在时域内突然变大。
这种噪声也很多，例如建筑工地上打桩机发出的打桩声，在语音信号中每隔一段时间就会出现一个能量峰值。
对于这种噪声的消除需要对语音信号进行加窗，再进行短时傅立叶变换画出频谱图。
在频谱图上对相应时间段上的语音信号的能量进行修改，即降低噪声的能量。
该降噪方法一般能取得较满意的效果。
（3）白色噪声。
所谓白色噪声就是在频域上不存在信号能量的突然变大的频带，在时域上也找不到信号能量突然变大的时间段，即它在频域和时域上的分布是一致的。
白噪声
-0.0156 0.9219 0.5703 0.4531 -0.2500 -0.4844
0.1016 -0.3672 0.8047 -0.1328 0.2188 0.3359
-0.9531 -0.7188 0.6875 -0.8359
0.0234 0.1406 0.8438 0.0820 0.4922 0.9609
0.7852 0.7266 0.3750 0.2578 0.5508 0.3164
0.9023 0.4336 0.6094 0.6680 0.0234 0.1406
0.8438 0.0820 0.4922 0.9609 0.7852 0.7266
0.0234 0.1406 0.8438 0.0820
。
1编程如下：
A=6;x0=1;M=255;f=2; N=100；%初始化；
x0=1;M=255;
fork=1:N %乘同余法递推100次；
x2=A*x0;%分别用x2和x0表示xi+1和xi-1；
x1=mod (x2,M);%取x2存储器的数除以M的余数放x1（xi）中；
白噪声
如果一个零均值、平稳随机过程的谱密度为常数，我们称之为白噪声（由白色光联想∞，τ=0
0，τ≠0
3 ，其中， 为Dirac函数，即 =
且
4 无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也不影响t时刻以后的将来值。从另一意义上说，即不同时刻的随机信号互不相关。
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-1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1
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随机信号处理笔记之白噪声
随机信号处理笔记之⽩噪声1 随机信号处理笔记：⽩噪声1 随机信号处理笔记：⽩噪声1.1 关于⽩噪声1.1.1 ⽩噪声的概念1.1.2 ⽩噪声的统计学定义1.1.3 ⽩噪声的⾃相关函数1.2 ⽩噪声通过LTI系统1.2.1 限带⽩噪声1.2.1.1 低通⽩噪声1.2.1.2 带通⽩噪声1.3 等效噪声带宽1.3.1 等效原则1.3.2 等效公式引⾔在⼏乎所有的电⼦通信中，都不可避免地会有噪声⼲扰正常的通信质量。
因此对噪声统计特性的研究就显得很重要。
在分析通信系统的抗噪声性能时，常⽤⾼斯⽩噪声作为通信信道的噪声模型。
常见的电⼦热噪声近似为⽩噪声。
本⽂就‘⽩噪声’统计特性及其通过线性时不变系统的输出特性做简要总结。
1.1 关于⽩噪声1.1.1 ⽩噪声的概念“⽩噪声”，Additive White Gaussian Noise(AWGN)，符合⾼斯分布。
“⽩”的概念来⾃于光学，和⽩光的“⽩”是同⼀个意思，指的是包含所有频率分量的噪声，且这所有的频率分量是等值的。
1.1.2 ⽩噪声的统计学定义如果⽩噪声的功率谱密度在所有频率上都是⼀个常数：其中，；，。
则称该噪声为⽩噪声。
⽩噪声的单边功率谱密度：其中，；，。
1.1.3 ⽩噪声的⾃相关函数根据维纳-⾟钦定理，平稳随机过程的功率谱密度函数和⾃相关函数是傅⾥叶变换对。
⽩噪声的⾃相关函数：对于所有的，都有，说明⽩噪声仅在时刻才是相关的，⽽在其他时刻（）的随机变量都是不相关的。
⽩噪声的平均功率：因此真正“⽩”的噪声是不存在的。
实际⼯程应⽤中，只要噪声的功率谱密度均匀分布的频率范围远⼤于通信系统的⼯作频带（3dB带宽），就可将其视作⽩噪声。
1.2 ⽩噪声通过LTI系统尽管⽩噪声是具有均匀功率谱的平稳随机过程，当它通过线性系统后，其输出端的噪声功率就不再均匀。
假设⽩噪声的功率谱密度，系统传函是，则LTI系统输出端的噪声功率谱密度函数为：由于LTI系统的传输函数，不是“⽩”的。
通信原理讨论课——高斯噪声和白噪声
通信原理讨论课报告题目：高斯噪声和白噪声信号的表示及各自特点姓名：郭耀华 学号：120104030030 班级：通信工程一班一、高斯噪声（依噪声幅度分布特性判定）定义：高斯噪声是一种随机噪声，在任选瞬时中任取n 个，其值按n 个变数的高斯概率定律分布。
中心极限定理（李雅普诺夫定理）：大量N 个统计独立的、具有有限的数学期望和方差的随机变量之和∑==Ni ixZ 1的分布律在∞→N 的极限情况下趋于高斯分布律。
1、高斯分布律1）一维概率密度函数: 是由均值 μ 和均方差2σ唯一确定的函数.<1> 概率密度：222)(21)(σσπμ--=x ex p<2> 分布函数:⎰∞---=<=xx dxex X P x F 222)(21)()(σσπμ<3> 当 m=0 时22221)(σσπx ex p -=<4> 高斯变量X 的N 阶中心矩与N 阶原点矩 中心矩:⎰∞∞----=dxem x m x NN 222)()(21σσπμ原点矩:⎩⎨⎧==⎰∞∞--为偶数为奇数N N dx exNx Nn σσπμσ0212222、满足高斯分布的充分条件（1）客观背景：事实上，噪声函数的瞬时值可视为大量的相互独立的被加项之和,且任意一个被加项与其它被加项相比,在方差或功率上都相差无几。
（2）满足高斯分布的条件：当被加项的数目很大而每一个被加项与所有被加项的总贡献比很小时，这些随机变量之和的分布即趋于高斯分布。
（3）结果：此时，个别分量在很宽范围内的分布特性无关紧要3、高斯分布的特点与高斯噪声特性（1）高斯分布的特点：<1> 以 x=m 为轴，呈对称分布，x=m 时取最大值。
<2> ±∞→x 时逼近横轴 <3>σ±=x 处有拐点<4> σσ33+<<-m x m 域内的概率为99.7% σσ22+<<-m x m 域内的概率为95.4%σσ+<<-m x m 域内的概率为68.3%（2）高斯噪声特性<1> 高斯噪声的线性组合仍是高斯噪声。
3.7理想白噪声及特性
随机信号分析目录CONTENTS白噪声的定义白噪声的时频域特性物理可实现的白噪声小结随机过程的分类⚫按分布函数或概率密度函数特性：正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程等；⚫按功率谱特性：宽带过程、窄带过程；白噪声、色噪声等。
定义：若N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀的分布在整个频率区间，即其中，N0为一个正实常数，则称N(t)为白噪声过程或简称白噪声。
“白”字借用光学中的“白光”术语。
N 120S N ω()白噪声的功率谱ω0=ωS N N 2()10∈−∞+∞ω(,)结论：功率谱在整个频率轴上满足均匀分布。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）根据维纳-辛钦定理，白噪声的自相关函数为00111()()222j N R N e d N ωττωδτπ+∞−∞==⎰0)(τN R 021N 结论：白噪声的自相关函数是一个δ函数，其面积等于功率谱密度。
白噪声的时频域特征白噪声的自相关系数为⎩≠⎨===⎧=τττττK R r K R N N N N N (0)(0)0 0()()() 1 0 结论：白噪声在任何两个相邻时刻的取值都是不相关的，白噪声过程随时间的起伏极快，过程的功率谱密度极宽。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）物理可实现的白噪声实际上，白噪声是不存在的，因为在实际应用中，当研究随机过程通过某一系统时，只要过程的功率谱密度在一个比系统带宽大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以把它作为白噪声来处理。
2(0)(0)N N R σδ==→∞白噪声的功率谱在整个频率轴上满足均匀分布。
白噪声的自相关函数是一个δ函数，其面积等于功率谱密度，在任何两个相邻时刻的取值都是不相关的。
理想白噪声不存在，但某些情况下随机过程可近似看作白噪声。
对于一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀的分布在整个频率区间，则称其为白噪声。
高斯白噪声原理范文
高斯白噪声原理范文随机过程是一组随机变量的序列，它的值在不同时间上取决于随机事件的结果。
高斯白噪声可以被认为是一个无记忆性的随机过程，即每个随机变量的取值只与当前时间有关，与以前的取值无关。
在产生高斯白噪声时，通常采用一个随机数发生器。
这个发生器基于一种随机数生成算法，每次生成一个均匀分布的随机数。
然后，这些随机数通过一个滤波器，使其在所有频率上都得到均匀分布。
在滤波器中，高斯白噪声的频谱被设计成平坦的。
这意味着在所有的频率上，噪声的能量都是均匀分布的。
为了实现这种频谱特性，可以使用一个特殊的滤波器，称为横向噪声滤波器。
这个滤波器通过调整其传递函数，使得噪声在所有的频率上都得到衡量。
横向噪声滤波器可以通过许多方法来实现，其中一种常见的方法是使用数字滤波器。
通过选择适当的滤波器系数，可以使滤波器的频率响应变得平坦，从而实现高斯白噪声的特性。
在实际应用中，高斯白噪声可以用于模拟和数字信号处理中的各种应用。
例如，在电子通信中，噪声是不可避免的，特别是在无线通信中。
了解和模拟高斯白噪声的原理，可以帮助工程师更好地理解和处理通信系统中的噪声。
此外，高斯白噪声也被广泛应用于信号处理算法的性能分析和设计中。
通过将算法应用于高斯白噪声信号，可以评估其在真实噪声环境中的性能。
这种分析对于优化算法的性能和改进系统的可靠性非常重要。
总结起来，高斯白噪声是一种均匀分布在所有频率上的随机信号。
它的产生基于随机过程和概率论原理。
通过适当的滤波器，可以实现高斯白噪声的频谱特性。
了解高斯白噪声的原理，对于理解和处理噪声在通信系统和信号处理中的影响非常重要。
白噪声的自相关函数
白噪声的自相关函数白噪声是一种未经处理的不受任何控制的噪音，它的概率密度函数是完全相同的，而且不依赖于时间和空间的变化。
白噪声的自相关函数（ACF）是统计学中在描述白噪声特性时所使用的重要参数，表明了一个系统的噪声和差异的变化情况。
自相关函数的定义是某一时刻的噪声与另一时刻的噪声之间的相关性。
首先，定义白噪声的自相关函数。
白噪声自相关函数指示了白噪声信号在两个不同时刻之间的相关性，它可以被表示为：ρ（τ）=E （X（t）X（t+τ）），其中，E表示期望值。
上式中X（t）与X（t+τ）是同一时刻及其延时τ后的噪声。
白噪声的自相关函数可以通过以下方程来计算：ρ（τ）=E（X （t）X（t+τ））=CX（0），其中CX（0）为任意时刻的噪声的均值。
由此可知，白噪声的自相关函数对延迟τ时刻的值是完全相同的，也就是说，不管两个时刻的延迟是多长，白噪声的自相关函数的值都是一样的。
白噪声的自相关函数也可以用来表示其他形式的信号噪声。
如果在某一时刻，信号有一定的非定型噪声，那么这一特性将体现在白噪声自相关函数中。
相反，如果信号是完全一致的，那么白噪声的自相关函数将为0，因为它不存在相关性。
另外，白噪声的自相关函数也可以用来大致推断一个系统的差异，只要比较不同时刻的噪声，就能够找到系统中实际发生的变化情况。
因此，白噪声的自相关函数在研究噪声特性方面显得尤为重要。
尽管白噪声的自相关函数是一种简单的函数，但它有着巨大的应用价值。
它可以帮助人们研究噪声和信号的关系，找出系统中可能存在的差异，从而有助于人们更好地掌握它，并从中获得有用的信息。
总之，白噪声的自相关函数可以帮助人们更好地理解噪声的变化，从而更好地控制和管理它们。
它可以应用于各种研究领域，如声学科学、电子学、信号处理和信息论等，有助于更好地掌握噪声及其差异变化情况，从而改善信息传输效率。
(整理)通信原理复习提纲-
10级通信原理内容提纲第一章 绪论1． 通信系统的组成和各部分的功能；2． 通信系统的两个主要性能要求、在模拟和数字通信系统中分别反映为哪个指标。
3． 信源信息量的有关计算● 单个符号的信息量：I=−log 2p(x) bit ● 平均每符号的信息量：211()()()()log()/M Miiii i i H x p x I x p x p x bit symbol ====-∑∑● 信源等概时平均每符号的信息量：H(x)=log 2M bit/symbol ● 整个消息的信息量：I=N·H(x)=I 1+I 2+···+I N bit 4． 比特率、符号率、频带利用率的概念，以及有关计算 ● R b =R s ×每符号所含比特数 bit/s ，对信源有R b =R s ·H(x) ● R b =R s ·log 2M bit/s ，M 个符号等概下5． 误符号率与误比特率的概念、二者关系，以及有关计算 * 说明：本课程中，“比特（bit ）”有两种含义，一是信息量单位，一是二进制的“位”，应根据具体情况判断是哪种含义。
本章内容基本，要求全面掌握。
第二章 随机信号分析本章内容注重概念、结论、参数的物理意义、必要的计算推导，特定函数的付利叶变换与反变换关系。
以下ξ(t )表示随机过程。
1． ξ(t )的概率密度函数与概率分布的关系，E[ξ(t )]、D[ξ(t )]、R(t 1,t 2)的定义及简单计算，广义平稳ξ(t )的定义及判定。
2． 平稳ξ(t )的功率谱密度与R(τ)的关系。
3． 正态分布统计特性特点，一维正态分布概率密度表达式及其参数的物理意义。
4． 白噪声及带限白噪声的功率谱密度和自相关函数的有关计算和结论。
5． 窄带随机过程的统计特性结论。
6． 平稳ξ(t )通过线性系统的统计特性结论。
本章内容，重点掌握基本概念如要点1、3、5、6，并进行相应的随机信号分析。
白噪声的产生
Se (ω ) =
σ2
, −π < ω < π;
a <1
H ( z −1 ) =
假定 e(0) = 0 ，则有： 相关函数计算可得：
σ
1 − az −1
,
a <1
e(k ) = σ [ w(k ) + aw(k − 1) + L + a k −1w(1)] Re (l ) = σ 2 a l 1 − a 2k al 2 ≈ σ 1 − a2 1 − a2
且 C ( z −1 ), D( z −1 ) 的根都在 z 平面的单位圆内。 ● 例子 设平稳有色噪声序列 {e(k )} 的自相关函数为：
1 − a2 则相应的功率谱密度函数为：
Re (l ) =
σ 2a l
, l = 0, ± 1, ± 2,L;
a <1
1 − 2a 2 cos ω + a 2 成型滤波器的脉冲传递函数为：
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
白噪声的产生方法
1.1 白噪声及其产生方法 1.1.1 白噪声的概念 ● 白噪声过程（一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程） 相关函数： RW (τ ) = σ 2δ (τ ) 谱密度： SW (ω ) = σ 2 − ∞ < ω < +∞ 近似白噪声过程
● 重要结果： G ( s ) =
注意 3：不是任何多项式都可以作为生成 M 序列的特征多项式，它必须满足以
4
中科院研究生院 2009～2010 第一学期 随机过程在工程中的应用讲稿
孙应飞
下条件。 ● 必要条件：特征多项式 F ( s ) 是既约多项式 ● 充分必要条件： 特征多项式 F ( s ) 是本原多项式， 即 F ( s ) 是多项式 s N P ⊕ 1 的 一个因子。 ● 满足以上两个条件的部分特征多项式见表 2.11，注意表的使用 1.2.4 M 序列的性质 ● M 序列的循环周期 N P = ( 2 P − 1) bit ● M 序列的“游程” M 序列中某种状态连续出现的段称为“游程”。一个 P 级 M 序列的“游程”总 数为 2 P −1 ，其中“0”游程与“1”游程各占一半。长度为 i bit（ 1 ≤ i ≤ P − 2 ）的 游程占 1 / 2 i ，即有 2 P −1−i 个，但长度为 ( P − 1) bit 的游程只有一个，为“0”游程， 长度为 P bit 游程也只有一个，为“1”游程。 ● M 序列的可加性 所有 M 序列都具有移位可加性（模 2 和）。 1.2.5 M 序列的自相关函数 幅度的选取：作变换： M (i ) = a(1 − 2 xi ) ，幅度变为 a 和 − a 。 ● 计算式： R M (τ ) =
10 白噪声过程通过线性系统讲解
f
df
FY f0
H jf 2 df
0 H jf0 2
2、噪声等效通频带－低通
对低通滤波器来说：
fe
0
FY
f
df
FY 0
0
H jf 2 H 0 2
df
3、噪声等效通频带－结论：
噪声通频带如信号通频带那样，仅 由线性电路本身决定。
0
cos cos0 sin sin 0 d
N0
K
2 0
2
0 0
e2 / 2
cos
cos0 d
N0
K
2 0
cos 0
0 e2 / 2 cos d
0
N0
K
2 0
cos 0
e2 / 2 cos d
2
H j 2d
0
或
2 Y
N0
H
jf
2
df
这里
2
f
0
4、冲击响应法
RX ( )
N0 2
( ),因此
RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
N0 ( ) h( ) h( )
2
N0 h( ) h( ) N0
(0)
sin
相关时间0
sin d 1
0
2 4f
3、噪声通频带
由于输出噪声的功率谱为矩形，系统 的噪声通频带等于信号的通频带，即：
fe
通信原理之白噪声
§3.7通信原理之白噪声
通信原理之白噪声综述
1.1 白噪声
定义：凡功率谱密度在整个频域内都是均匀分布的噪声，称为白噪声。
即：
双边谱密度：
单边谱密度：
其中：n0为常数，W/Hz。
一般默认白噪声为平稳的。
1.2 白噪声的功率
由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大。
即或。
因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。
实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。
如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
1.3 自相关函数
据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。
图3-6 白噪声的功率谱密度与自相关函数
图3-6 白噪声的功率谱密度与自相关函数
2.1 带限白噪声
1.低通白噪声白噪声经理想低通滤波器| f |≤后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率谱密度为：
由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f |≤内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。
2.2带通白噪声
白噪声经理想带通滤波器后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率谱密度为：
式中：f c －中心频率，B－通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为：
2.3窄带高斯白噪声
通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。
其统计特性与一般窄带随机过程相同：
平均功率N=n0B。
系统辨识与自适应控制
1.白噪声（white noise ）系统辨识中所用到的数据通常都含有噪声。
从工程实际出发，这种噪声往往可以视为具有有理谱密度的平稳随机过程，是由一系列不相关的随机变量组成的理想化随机过程。
白噪声的数学描述如下：如果随机过程()t ξ均值为0、自相关函数为2()σδτ，即2()()R ξτσδτ=式中，()δτ为单位脉冲函数（亦称为Dirac 函数），即,0(),0,τδττ∞ =⎧=⎨ ≠0⎩且()1d δττ∞-∞=⎰ 则称该随机过程为白噪声。
2.白噪声序列白噪声序列是白噪声过程的一种离散形式，可以描述如下：如果随机序列{}()k ξ均值为0，且两两不相关，对应的自相关函数为2()(),0,1,2,R k k k ξσδ= =±±⋅⋅⋅式中，()k δ为Kronecker 函数，即1,0()0,k k k δ =⎧=⎨ ≠0⎩ 则称随机序列{}()k ξ为白噪声序列。
可以将标量白噪声序列的概念推广到向量的情况，向量白噪声序列{}()k ξ定义如下：{}{}{}()0(),()()()()T E k Cov k k l E k k l R l ξξξξξδ=⎧⎪⎨+=+=⎪⎩ 式中，R 为正定常数矩阵，()l δ为Kronecker 函数。
3.有色噪声（colored noise ）从上述定义可知，理想白噪声只是一种理论上的抽象，在物理上是不能实现的，现实中并不存在这样的噪声。
因而，工程实际中测量数据所包含的噪声往往是有色噪声。
所谓有色噪声（或相关噪声）是指噪声序列中每一时刻的噪声和另一时刻的噪声相关。
“表示定理”表明，有色噪声序列可以看成由白噪声序列驱动的线性环节的输出，如图2.6所示。
{}{}1()()()k e k G z ξ-−−−→−−−−→白噪声有色噪声图2.6有色噪声图2.6中，1()G z -为线性传递函数，也称为成形滤波器，可写成111()()()C z G z D z ---= 式中1121211212()1()1c c d d n n n n C z c z c z c z D z d z d z d z--------⎧=+++⋅⋅⋅⎪⎨=+++⋅⋅⋅⎪⎩ 且1()C z -、1()D z -均为稳定多项式，即其根均在z 平面的单位圆内。
白噪声相关资料
白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
所有频率具有相同能量密度的随机噪声称为白噪声。
定义白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声能量相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。
换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。
相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。
理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。
实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。
然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。
一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。
例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。
高斯白噪声高斯白噪声：如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，则称它为高斯白噪声。
热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。
所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。
这是考查一个信号的两个不同方面的问题。
（一阶矩就是随机变量的期望，二阶矩就是随机变量平方的期望）。
高斯白噪声是指信号中包含从负无穷到正无穷之间的所有频率分量，且各频率分量在信号中的权值相同。
白光包含各个频率成分的光，白噪声这个名称是由此而来的。
它在任意时刻的幅度是随机的，但在整体上满足高斯分布函数。
参数功率谱密度恒定：S(ω)=S0信号自相关：R(τ)=S0δ(τ)数学期望：E(X(t)]=0均方值：E[X(t)^2]<∞其中δ(τ)是Dirac函数。
通信原理 第五讲
ϕ (t )
A + nI (t )
ϕ (t ) = arctan
nQ (t ) A + nI (t )
结论： 结论： (1)余弦信号和窄带高斯噪声的随机包络服从广 (1)余弦信号和窄带高斯噪声的随机包络服从广 义瑞利(莱斯)分布。 义瑞利(莱斯)分布。 (2)余弦信号和窄带高斯噪声的随机相位分布和 (2)余弦信号和窄带高斯噪声的随机相位分布和 信道中的信噪比有关。 信道中的信噪比有关。
∫
+∞
−∞
n0 jωτ n0 e d ω = δ (τ ) 2 2
R(τ )
ω
τ
2.5.2高斯噪声 2.5.2高斯噪声 高斯噪声是指它的概率密度函数服从高斯 分布(即正态分布)的一类噪声。 分布(即正态分布)的一类噪声。
( x − a) 2 1 exp− p( x) = 2σ 2 2π σ
Φ ( x) = 2π ∫
−∞
exp − dz 2
正态概率分布函数还经常表示成与误差函 数相联系的形式, 数相联系的形式,所谓误差函数它的定义式为
erf (x) = 2
π
∫
x 0
e
− z
2
dz
互补误差函数
erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) = 2
2.5.3 高斯型白噪声 高斯白噪声是指噪声的概率密度函数满足 正态分布统计特性， 正态分布统计特性，同时它的功率谱密度函数 是常数的一类噪声。 是常数的一类噪声。
S C = B log 2 1 + n0 B ( bit / s )
令N为信道输出端的噪声功率，则 N = n0 B ( w) 为信道输出端的噪声功率， S 信噪比定义为信号功率与噪声功率之比 定义为信号功率与噪声功率之比, 信噪比定义为信号功率与噪声功率之比,即
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20ln 216.2 2.9131
250.1
，也就是说 3dB 带宽约为 5kHz，与设计值相符，说明可以使
用该脉冲函数对网络特性进行分析。
与网络分析仪相比，该方法省去了扫频源，在得到数据后仅需输入 Matlab 进行频 谱分析便可得到网络的频率特性，简便易行。
白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。是一种功率频谱密度为常数 的随机信号或随机过程。换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白 光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的 性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。相对的，其他不具有这一 性质的噪声信号被称为有色噪声。
图 1 5kHz 巴特沃斯低通滤波器
图 2 5kHz 巴特沃斯低通滤波器频率响应
图 3 系统响应
将示波器收集到的数据保存，并选取包含了输出脉冲的 512 组数据，在 Matlab 中 进行 FFT 变换，分析输出信号的频谱，如图 3、4 所示。
图 4 直流分量幅度
图 5 5kHz 附近的幅度
通过数据分析可知，输出最大值为 250.1，频率为 4758Hz 时输出约为 216.2，
随机过程课题研究
白噪声随机过程、脉冲函数、单位元的联系及其应用
组员：朱晨，蒋铼，卢桓
单位脉冲函数 (t) 是物理及工程技术中的一个重要的函数，有相当多的物理背景。 其物理意义为 t 0 在时刻有一个强度为 1 的冲击。工程上一般采用弱极限来定 义，但 (t) 与普通函数又不一样，不是值与值的对应关系，它是一个广义函数，而 其本质是一泛函。下面将给出 (t) 严格的数学定义以及结合傅里叶变换给出它的一 些性质及应用。
系统函数。
当一个网络的结构十分复杂，而我们并不了解它的特性，或是要检测一个已制好的 模块性能是否满足需求时，我们就需要对这个网络的传输特性进行分析。这一过程 通常通过网络分析仪来实现，网络分析仪包含扫频源，可输出不同频率的信号，将 这些信号输入系统，观测输出，即可得到系统的频率响应。这是一种常用的系统特 性分析方法。 利用脉冲函数通过线性系统的特点，我们可以使用脉冲函数来分析系统的传输特 性。将脉冲函数输入系统，对系统的输出信号进行采样，并利用 FFT 等算法分析输 出信号的频谱，便可得到系统函数。 然而现实世界中并不存在脉冲函数，仿真软件也不提供脉冲函数激励源。我们只能 做一个近似。可以在输入端加一大功率、高电压或电流输出的激励源，通过一个开 关将其接入电路，然后迅速断开，这样激励就近似为一个脉冲函数，系统的响应也 近似等于系统的单位冲激相应。 为了验证这个想法，使用 Multisim 进行仿真。设计一个如图 1 所示的巴特沃斯低 通滤波器，由于 Multisim 示波器的采样率较低，信号频率不应过高，故选其 3dB 带宽为 5kHz，其频率响应如图 2 所示。输入信号为 10V~0V、占空比 1%、频率为 10Hz 的方波。系统响应波形如图 3 所示。
设 D 是 t 上无限次可微且在某有限区间以外为 0 的函数全体，则 (t) 可 定义为：对一切 f D ，对应数值 f (0) ，称这一泛函为 (t) 。根据实际应用，我们 又可简单地表示为：
(t) f (t)dt f (0)
这一定义为数学上的严格定义，但一般工程技术人员难以理解，所以工程上 (t) 的 定义一般采用弱极限来定义：
布尔逻辑
∨ (逻辑或)
⊥（假值）
闭二维流形
# (连通和)
S²
只两个元素{e, f}
* 定义为 e*e=f*e=e且 f*f=e*f=f
e 和 f 都是左单位元，但不存在 右单位元和双边单位元
应用举例：
a. 建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声（如人 的交谈)，使用持续的低强度噪声作为背景声音。一些紧急车辆的警报器也使用白 噪声，因为白噪声能够穿过如城市中交通噪声这样的背景噪声并且不会引起反射， 所以更加容易引起人们的注意。
b. 催眠应用 Sleep Bug， 很多朋友有过这样的经历——夜里开着电视或收音 机，不知不觉就睡着了，而电视或收音机没信号之后发出的那种“沙沙”声对自己 的睡眠似乎毫无干扰。这种“沙沙”声即为白噪声，它在各个频段的功率是一样 的，在音量适宜时可以起到遮蔽其他噪音、帮助睡眠、放松精神和防止分心的功 效。
3) 用于电路和系统的检验
当白噪声通过线性系统后，出过程自相关函数与系统权函数形式上相同，只差一个 系数。即若系统输入为白噪声过程，通过实验方法测定过程 Y(t)的特征，则该系 统的特性就可以求出来。同时，用白噪声驱动线性系统的合理性还有，线性系统的 卷积模型广泛应用于描述电磁波、声波、光波等信号在介质中的传播，若介质中影 响信号传播的因素非常多，那么可以高斯白噪声来近似其系统特征。
对应于加法的单位元称之为加法单位元（通常被标为 0），而对应于乘法的单位元 则称之为乘法单位元（通常被标为 1）。这一区分大多被用在有两个二元运算的集 合上，如环。
下面列出一些已知的单位元的例子
一些单位元的例子
集合
运算
单位元
实数
+ (加法)
0
实数
·(乘法)
1
实数
ab (幂)
1（只为右单位元）
矩阵
+ (加法)
举例：M 序列发生器
2) 物理方法
所谓物理方法就是在电子计算机上装一台物理随机数发生器，它是把具有随机性质 的物理过程直接在机器上变换为随机数字。例如：以放射性物质为随机源的放射型 随机数发生器、以电子管或晶体的固有噪声为随机源的随机数发生器。 举例：利用齐纳二极管的固有噪声
单位元（幺元）是集合里的一种特别的元素，与该集合里的二元运算有关。当单位 元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。单位元被使用在群和其他相关概念之 中。 设 (S,*)为一带有一二元运算* 的集合 S（称之为原群），则 S 内的一元素 e 被称 为左单位元若对所有在 S 内的 a 而言，e * a = a；且被称为右单位元若对所有在 S 内的 a 而言，a * e = a。而若 e 同时为左单位元及右单位元，则称之为双边单 位元，又简单称之为单位元。
应用举例：如书本 3.5 节中的举例，白噪声通过 RC 积分器，低通，带通，高通网 络，所得的自相关函数 Ry，均有有线性系统函数 h(t)的特征。且通过查阅资料以 白噪声作为激励的检测系统还可用于检测接地电阻甚至非线性系统等，由于涉及专 业知识较强，就不做引用了。
1) 数学方法
目前白噪声的产生方法主要以数字方法为主，即以数学的方法产生伪随机数，是目 前使用较广，发展较快的一种方法。如用计算机上各种伪随机数的算法。或者用单 片机或 FPGA 产生 M 序列。由于这种方法属于半经验性质，只能近似地具备随机性 质。理论定量分析结果表明，为保证随机数学期望的最大容量（对应循环周期）、 独立性及均匀性，递推公式及其有关参数的正确选择是极为重要的。
定义 1 在区间 (, ) 具有如下性质的函数
0
(t t0)
t t
t0 t0
且
+
-
(t
t0 )dt
1
称为 函数。
0 t t0
(t
t0
)
1 2
t0
t t0
定义 2 型函数序列
0 t t0
，如果对于任何一个无穷次可
微的函数 f (t) 都满足
+
+
lim 0 - (t t0) f (t)dt - (t t0) f (t)dt
则称 (t t0) 的弱极限为 函数，也称为单位脉冲函数。
值得一提的是，由等式
(t) f (t)dt
高斯白噪声:
如果一个噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的， 则称它为高斯白噪声。热噪声和散粒噪声是高斯白噪声。
白噪声序列:
白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列 {W（k）}满足：相关函数： 称为白噪声序列。
谱密度为
1) 过滤分散噪声
白噪声是同一个单位的随机信号功率谱。 这是一个良好的信号频率，是一种理论 建构，就像全彩色白颜色的光频谱，白噪声充满整个人类耳朵可以听到的振动频 率，可以帮助一个人放松或睡眠。人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、狗 叫、打鼾、警报器、大喊大叫。 白噪声并不增加鼓噪噪音白色噪音，而是包含所 有同等频率的叫声。 研究表明,一个稳定、平和的声音一样流单调,如白噪声，可 过滤和分散噪音，帮助减轻噪音分心，这也正是为什在数字信号处理中常用到有色随机序列，可以把抽样的 白噪声通过适当的滤波器，以数字形式产生这类随机序列。这样经过数字滤波算法
产生的样本与白噪声样本不同，它所产生的样本是相关的，具有非白色的频谱，所 以叫有色随机序列，所得序列的“颜色”是由滤波器的传递函数决定的。
b．电子音乐中，白噪声被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪 声信号，在音频合成中，经常用来重现类似于铙钹这样在频域有很高噪声成分的打 击乐器。
零矩阵
方阵
·(乘法)
单位矩阵
所有从集合 M 映射 至其自身的函数
∘ (函数复合)
单位函数
所有从集合 M 映射 至其自身的函数
* (折积)
δ（狄拉克 δ 函数）
字串
串接
空字符串
扩展的实轴
最小值
+∞
扩展的实轴
最大值
−∞
集合 M 的子集
∩ (交集)
M
集合
∪ (并集)
{ }（空集）
布尔逻辑
∧ (逻辑与)
⊤（真值）
值，因此，证明一个与 (t) 有关的等式成立时，是指它们的运算值相等。
脉冲函数只有在 0 时刻的值为无穷大，而在其他时刻的值为 0，但在整个时域上的 积分为 1。也就是说，脉冲函数的宽度为 0，面积不为 0。