紊流理论(紊流模型)

切细节，但在实际工程中具有重要意义的并不是紊 流的一切细节，而是紊流对于时间的平均效应。 – 雷诺（Osborne Reynolds）建议用统计方法将N －S方程取时间平均。但取平均的过程产生了新问 题：方程增加了新未知项，时均方程组不再封闭， 因此各种类型的紊流模型应运而生。 – 紊流模型可定义为一组方程，这组方程确定时均流 方程中的紊动输运项，从而封闭时均流动方程组（ 零方程、单方程、双方程）。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
– 将上式i方向乘以u’j，j方向乘以u’i，然后相加， 进行时间平均得
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
– 令i=j，将k带入，可得
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型
– 可见二者相同。
雷诺方程数值模拟（RANS）
紊流理论(紊流模型)
概述
• 紊流运动的瞬时连续方程和运动方程 • 连续方程 • 运动方程
概述
• 直接求解连续方程和运动方程，即 DNS(Direct Numerical Simulation)。
• 原则上讲，DNS并无理论上的困难。
– 一方面，描述紊流运动的精确的微分方程已经得出 ，即N－S方程；从数学观点看来，紊流就是N－S 方程的通解。
概述
• 紊流模型分类
– 直接数值模拟（DNS）。直接求解N－S方程，必 须采用很小的时间步长与空间步长。
– 大涡模拟（LES）。 DNS模拟大尺度运动，亚网格 上模拟小尺度运动。
– Reynolds时均方程法（RANS）。将N－S方程对 时间平均，并通过一些假定建立模型，是目前工程 中所采用的基本方法。根据对雷诺应力的处理方式 不同，分为基于涡粘性假设的模型和应力输运模型 两类，根据引入方程的数量，前者又分为零方程、 单方程和双方程模型。
– 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比
：
，k=0.4（平板紊流边界层l~y 分布图）
– 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成 正比
–则
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。卡门假定：（1）除了在周界外， 紊流现象与水流的粘性无关；（2）水流中各点紊 动的基本格局彼此相似，所不同的只是时间和长度 尺度。
– 引入一个涡粘度 ，将紊流中的雷诺应力与流场 中的时均流速梯度建立下述关系：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 涡粘性假设（紊动粘性）
– 当i=j时，假设不合理，引入湍流脉动所产生的压力
– 紊流涡粘度与层流中的粘度相对应，也可称为表观 粘度。粘度是流体本身的物理特性，与流动情况无 关。但是涡粘度则不是流体的物理性质，而是紊流 的一种流动特性，决定于流动的时均流速场和边界 条件。
– 假定水层y1和y2处的流速分别为u1和u2，则在其附 近，流速变化可以用泰勒级数表示：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 卡门相似理论。既然水流中各点紊动的基本格局彼 此相似，则影响流速变化的各个因素之间应该成一 定比例：
– 因此
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
一致。这一运动距离l，相当于微团的生命跨度，称
为紊流的掺混长度。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 定义 根据泰勒展开
的平均流速差为脉动，则
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 根据 – v’与u’具有相同量级，且符号相反，则有
– 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 在气体运动中，气体分子以随机的方式运动，气体 分子运动一个平均分子自由程后与其他气体分子发 生碰撞，并产生动量交换。
– 普朗特（1925年）提出混掺长度理论：假设在紊流 运动中，与气体分子运动相似，流体微团在运动过 程中保持原有的运动特征不变，直到运行某一距离 后与周围其它微团相混掺，失去原有的运动特征（ 动量、热量、含沙量等），与当地的平均性质取得
– 另一方面，数值计算方法的发展，已足以求解N－S 方程。
– 但是，现代计算机的储存的能力和运算速度尚不足 以求解任何一个实际的紊流问题。
概述
• DNS实际应用中的困难
– 紊流运动所包含的单元，比流动区域的尺度要小得 多。为了用数值计算方法求解紊动单元的运动要素 ，数值计算的网格必须比紊动单元的尺度更小。如 此之多的网格点贮存各种变量，远远超过了现代计 算机的内存容量，而且，随着网格点的增加，算术 运算的次数显著增多，所需计算的时间令人望而却 步。
– 塞弗曼（P G Saffmann）在1977年曾经预言，大 约在本世纪末，高度发展的计算机将有足够的能力 用数值计算方法求解紊流的精确方程，但在较近的 未来，精确地求解紊流问题无疑是不可能的。
– 到现在，DNS算法已有很大发展。
概述
• DNS之外的其他方法
– 求解时均N－S方程（即雷诺方程）。 – 作为紊流的通解， N－S方程描述了流体运动的一
• 零方程模型——自由剪力层模型
– 普朗特在1942年提出了只能用于自由剪力层的模型 ，比混合长假设更为简单。
– 他假设在剪力层的任何截面上均为常数，紊动常数 比尺正比于宽度，速度比尺正比于横截面上的最大 速度差：
– 模型中的经验常数：
流 型
平面 混合 层
在静止 介质中Βιβλιοθήκη 平面 圆形 扇形 射流 射流 射流
概述
• DNS之外的其他方法
– 大涡模拟LES。 – DNS可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却
无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。 – 大涡模拟的思路是： DNS模拟大尺度紊流运动，而
利用亚网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度 紊流运动的影响。 – LES较DNS拟占计算机的内存小，模拟需要的时间 也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 写成紊动粘性系数的形式
– 如此则封闭了雷诺方程。
– 混掺长度l由实验确定，它不是流体的一种物理性质
，而是与流动情况有关的一个量度。 – 紊流切应力主要是动量交换产生，则动量交换系数
：
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或 Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性 质去寻找。称为一阶封闭格式。
– 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过 Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切 应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到 了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭 模型。70年代得到应用。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型
– 介绍三种比较简单的紊流模型（常数模型，混合长 模型，自由剪力层模型），均采用紊动粘性概念， 均不包含紊动量的微分输运方程。
• 确定紊动粘性系数的方法
– 一是直接根据实验资料，用尝试法建立经验公式； 主要是常数模型。
– 二是将紊动粘性系数与时均速度的分布建立联系。 主要指混合长模型，自由剪力层模型。
流切应力为零的错误结论；②均未考虑紊动量的对 流和扩散输运；③缺少通用性，对于不同形式的水 流需采用不同的经验常数。 – 一般说来，混合长模型可用以计算许多简单的剪力 层型的流动，因为这种情况下可用经验方法确定； 对于紊动输运过程占有重要地位的复杂的水流，很 难确定，混合长模型将不再适用。
雷诺方程数值模拟（RANS）
– 1945年，Prandtl 提出一个涡粘性依赖于紊动能k 的模型，建议使用一个偏微分方程的模型对精确的 k方程进行近似，得到了单方程模型，即k方程模型
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模 型，除了k方程，还引入了另外一个参数ε，能量耗 散率，得到了双方程模型，即k-ε模型。70年代得 到应用。
概述
• 雷诺时均方程模型发展史
– 1895年，Reynolds发表对紊流研究结果的文章。
– 1897年，Boussinesq((布辛涅司克))涡粘性假定。
– 他们都没有尝试对雷诺方程进行系统的求解，许多 粘性流动的机理尚未清楚。
– 1925年，Prandtl 提出了混合长度理论来计算涡粘 性，为早期的研究奠定了基础。早期贡献最为显著 的还有von Karman，1930 年提出相似性假定。此 类模型并没有引入微分方程，称为零方程或者代数 模型。
– 引入涡粘性假设并未构成紊流模型，只是提供了构 造紊流模型的基础，但使模拟紊动应力问题转化为 确定的分布。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 紊动扩散概念
– 将紊动热(或质量)输运与紊动动量输运直接类比， 假设热(或质量)输运与被输运的量有关：
– 对于热输运问题,称为紊动普朗特数；对于质量输 运问题，称为紊动施密特(Schmidt)数。实验表明, 在流场中各点，甚至在不同型式的水流中，紊动普 朗特数几乎不变。
– 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定 与混掺长度成比例，即
– 卡门在分析时只取上式的第一项
– k为卡门常数，一般为0.4。
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 由混掺长度理论和卡门相似理论，即
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 零方程模型——混掺长度模型
– 还存在其他混掺长度计算方法，不一一叙述。 – 缺陷： – ①对于速度梯度为零的点，零方程模型给出该点紊
雷诺方程数值模拟（RANS）
• 单方程模型