概率与统计初步

第九章 概率与统计初步

一、计数原理

1、 (分类计数)加法原理:完成一件事情,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事情,共有:n m m m N +++=ΛΛ21种不同的方法;

2、 (分步计数)分步乘法原理:完成一件事情,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事情,共有:n m m m N ⨯⨯⨯=ΛΛ21种不同的方法;

3、 区分做事情的方法就是“分类”还就是“分步”主要瞧能否一步做完,能够一步做完的就就是分类(用加法原理),不能一步做完的,就就是分步(用乘法原理);

二、排列与组合

1、 排列数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数,叫

做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数,用符号n m

A 表示,且:

2、 n 的阶乘:自然数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,记作:!n ,且:

3、 组合数公式:从n 个不同的元素中取出()n

m m ≤个不同元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数,用符号n m

C 表示,且:

组合数公式也可写为: 4、 组合数的两个性质:()()n m n m n n m n m n n m C C C C C 1

121--+-+==

5、 排列与组合的区别:排列与顺序有关;组合与顺序无关。

三、概率

1、 基本概念

（1） 随机现象:在相同的条件下,具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种

结果的现象;

（2） 随机试验的特征:可以在相同的条件下重复进行;试验的所有可能结果就是可以

明确知道的,并且这些可能结果不止一个;每次试验之前不能准确预言哪一个结果会

()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121Λ()()10,1221!=⋅--=！规定：Λn n n n ()()()()()()1

,,1221121!0

=≤⋅--+---==n n m n

m

C n m m m m m n n n n m A C 规定：ΛΛ()!

!!m n m n C n m -⋅=

()!!

m n n A n m -=

为：易知排列数公式也可写

发生;

（3） 随机事件:随机试验的结果叫做随机事件,简称事件,常用大写字母A 、B 、C 表示; （4） 必然事件:在一次随机试验中必然要发生的事件,用Ω表示(Ω读作“omiga ”, Ω

对应的小写希腊字母就是“ω”); （5） 不可能事件:在一次随机试验中不可能发生的事件,用φ表示(φ读作“fai ”); （6） 基本事件:随机事件中不能分解的事件称为基本事件,即:最简单的随机事件; （7） 复合事件:由若干个基本事件组成的事件称为复合事件; 2、 频数与频率

（1） 频数:在n 次重复试验中,事件A 发生了m 次()n m ≤≤0,m 叫做事件A 发生的

频数;

（2） 频率:在n 次重复试验中,事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例

n

m

,叫做事件A 发生的频率; 3、 概率

（1） 一般地,当试验的次数充分大时,如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近,那

么就把这个常数叫做事件发生的概率,记作:; （2） 概率的性质:

i. 对于必然事件Ω:()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ:()0=φP iii. ()10≤≤A P

4、 古典概型

（1） 古典概型:如果一个随机试验的基本事件只有有限个,并且各个基本事件发生的

可能性相同,那么称这个随机试验属于古典概型;

（2） 概率:设试验共有n 个基本事件,并且每一个基本事件发生的可能性都相同,事件

A 包含m 个基本事件,那么事件发生的概率为:

（3） 事件的“交”:“

B A I ”表示B A 、同时发生,记作:AB ; （4） 事件的“并”:“B A Y ”表示B A 、中至少有一个会发生,又称为事件A 与事件

B 的与事件;

（5） 事件的“否”:A 表示事件A 的对立事件;(A 读作a bar,“A 拔”)

（6） 互为对立的事件:若事件A 就是事件B 的对立面,且Ω==B A B A Y I ,φ;(对

立事件的理解:在任何一次随机试验中,事件A 与B 有且仅有一个发生)

（7） 互斥事件(互不相容事件):不可能同时发生的两个事件,即:φ=B A I ;(对立事件

就是互斥事件,但互斥事件不一定就是对立事件)

（8） 相互独立事件:在随机试验中,如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能性

的大小,即在事件A 发生的情况下,事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率,那么

()n

A A P m

==基本事件总数包含的基本事件

称事件A 与事件B 相互独立;(事件A 发生与否,不影响事件B 的概率) （9） 若A 、B 就是互斥事件,则:()()()B P A P B A P +=Y

（10） 若A 、B 就是对立事件,则:()()B P A P +=1,即:()()

A P A P -=1 （11） 若A 、

B 不就是互斥事件,则:()()()()B A P B P A P B A P I Y -+= （12） 若A 、B 就是相互独立事件,则:()()()()B P A P AB P B A P ⋅==I

四、总体、样本与抽样方法

例1:为了了解全校1120名一年级学生的身高情况,从中抽取100名学生进行测量;

1、 总体:在统计中,所研究对象的全体;例1中“全校1120名一年级学生的身高”就是总体;

2、 个体:组成总体的每一个对象;例1中“全校每一位一年级学生的身高”就是个体;

3、 样本:被抽取出来的个体的集合;例1中“抽取的100名一年级学生的身高”就是样本;

4、 样本容量:样本所含个体的数目;例1中“100”就是样本容量;

5、 抽样的方法有三种:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样;

6、 说明:当总体中的个数比较小时,常采取简单随机抽样;当总体中的个数比较多,且其分布没有明显的不均匀情况,常采用系统抽样;当总体由差异明显的几个部分组成时,常采用分层抽样;

五、用样本估计总体

1、 样本均值:()n x x x n

x +++=

Λ211

2、 样本方差:(

)()(

)[]

222212

1x x x x x x n

S n -++-+-=Λ

3、 样本标准差:(

)()(

)[]

222211

x x x x x x n

S n -++-+-=

Λ 4、 说明:均值反映了样本与总体的平均水平;方差与标准差则反映了样本与总体的波动大小程度;

5、 作频率分布直方图的方法:①把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的组距;②然后以此线段为底作一矩形,它的高等于该组的频率/组距;这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好就是该组上的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图。

注:频数就是指各组内数据的个数;每组的频数与全体数据的个数之比叫做该组的频率; 例:作出表格1中数据的频率分布直方图(本例题引用来自百度搜索)

表格 1