《几何原本》 第一卷《几何基础》
国外数学名著系列
国外数学名著系列一、欧几里得的《几何原本》二、卡尔·弗里德里希·高斯的《算术研究》《算术研究》是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1801年发表的一部关于数论的著作。
该书首次提出了同余理论，并系统研究了二次互反律、二次剩余等数论问题。
高斯在书中提出的许多理论和方法，对后来的数论研究产生了重要影响，奠定了现代数论的基础。
三、大卫·希尔伯特的《几何基础》《几何基础》是德国数学家大卫·希尔伯特于1899年出版的一部关于几何学的著作。
该书对欧几里得的《几何原本》进行了深刻的反思和改进，提出了几何学公理系统，并探讨了欧氏几何、非欧几何以及拓扑学等几何学分支的基本问题。
希尔伯特在书中提出的许多理论和方法，对20世纪数学的发展产生了重要影响。
四、约翰·冯·诺伊曼的《量子力学的数学基础》《量子力学的数学基础》是美国数学家约翰·冯·诺伊曼于1932年出版的一部关于量子力学的著作。
该书系统阐述了量子力学的数学原理，提出了希尔伯特空间、自伴算符等概念，并解决了量子力学中的许多基本问题。
冯·诺伊曼在书中提出的许多理论和方法，对量子力学的发展产生了重要影响，奠定了现代量子力学的基础。
五、安德烈·魏尔斯特拉斯的《函数论》《函数论》是德国数学家安德烈·魏尔斯特拉斯于19世纪中期发表的一系列关于函数论的论文。
这些论文系统研究了实数域上的连续函数、可微函数和解析函数，提出了魏尔斯特拉斯级数、魏尔斯特拉斯函数等概念。
魏尔斯特拉斯在书中提出的许多理论和方法，对现代分析学的发展产生了重要影响，奠定了实分析的基础。
本系列将陆续介绍更多国外数学名著，敬请期待。
希望这些著作能激发读者对数学的兴趣，为数学学科的发展贡献自己的力量。
六、勒内·笛卡尔的《几何学》《几何学》是法国哲学家、数学家勒内·笛卡尔于1637年发表的一部著作。
欧几里德和《几何原本》
欧几里得 古希腊数学家，以其所
著旳《几何原本》（简称《原本》） 闻名于世．欧几里得将公元前7世纪以 来希腊几何积累起来旳既丰富又纷纭 庞杂旳成果整顿在一种严密统一旳体 系中，从最原始旳定义开始，列出5条 公理和5条公设为基础．经过逻辑推理， 演绎出一系列定理和推论，从而建立 了被称为欧几里得几何旳第一种公理 化旳数学体系．
欧几里德诞生旳重大意义
欧几里德《几何原本》旳诞生在几何学发展旳历史中具 有主要意义。它标志着几何学已成为一种有着比较严密 旳理论系统和科学措施旳学科。
因为欧氏几何具有鲜明旳直观性和有着严密旳逻辑 演绎措施相结合旳特点，在长久旳实践中表白，它已成 为培养、提升青、少年逻辑思维能力旳好教材。历史上 不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了 伟大旳贡献。
再如欧几里德提出了5个公理和5个公设： 公理1 与同一件东西相等旳某些东西，它们彼此也是相等旳。 公理2 等量加等量，总量仍相等。 公理3 等量减等量，余量仍相等。 公理4 彼此重叠旳东西彼此是相等旳。 公理5 整体不小于部分。 公设1 从任意旳一种点到另外一种点作一条直线是可能旳。 公设2 把有限旳直线不断循直线延长是可能旳。 公设3 以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能旳。 公设4 全部旳直角都相等。 公设5 假如一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和不不
欧几里德也反对那种急功近利旳
狭隘实用观点。据说有一次一位 刚开始学几何旳年轻后生，在第 一道命题开讲时，他就提出来： “老师，学了几何有什么用，能 得到什么好处？”欧几里德立即 对身边旳人说：“给他3个钱币， 因为他想在学习中得到实利。” 欧几里德这句话旳意思是：追求 知识旳目旳不应该是取得钱财旳 实利，而应该是追求知识本身。
几何《原本》简介.
几何《原本》简介欧几里得（Euclid，希腊人，生于公元前300年前后），著名的数学家．欧几里得以数学经典名著几何《原本（Elements）》闻名于世．但他的生平后世所知并不多，从一些典籍中知道他是托勒密一世时代的人（公元前323—公元前285在位），他对柏拉图（Plato，公元前427—前347）的学说颇有研究，曾给托勒密讲授几何学．当托勒密问他说，除了几何原本之外，还有没有什么学习几何的快捷方式时，他说出了“几何无王者之道！”（“There is no royal road to geometry．”）的千古名言．几何原本前6卷讲几何，7至10卷是用几何方式来叙述数论，其余各卷也是几何，基本上一本几何书．它的内容和中国传统的算学书大异其趣，为了区别起见，所以应创新词来代表，由于“几何”二字既和geometric的字音相近，又反映了数量大小的意思，采用它可以音意兼顾．第1卷，首先给出23个定义．如“点是没有部分的”，“线只有长度而没有宽度”等，以及平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义．接着是5个公设，前4个是显而易见的，第5个就很复杂:“一直线与两直线相交，所构成的同侧内角和若小于两直角，则这两直线延长后一定会在这两个同侧内角的那一侧相交”，这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设．公设之后有5个公理，之后给出48个命题．第47命题就是著名的勾股定理:“直角三角形斜边上的正方形等于两股上正方形的和”．第2卷，包括14个命题，用几何的语言叙述代数的恒等式．第11命题是分线段为中末比，也就是后来所称的黄金分割；第12、13命题相当于余弦定理．第3卷，包含37个命题，讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及与圆有关的图形．第4卷，有16个命题，包括圆内接与外切三角形、正方形的研究，及圆内接正多边形（5边、10边、15边）的作图．第5卷，比例论，有25个命题．第6卷，把第5卷中已建立的理论用到平面图形上，共33个命题．第7、8、9卷，这三卷是数论，分别有39、27、36个命题，完全用几何的方法来叙述．第7卷，第1命题是欧几里得辗转相除法的出处．第9卷第20命题是数论中的欧几里得定理:“质数的个数有无限多．”第10卷，包含115个命题，分量占全书的四分之一，主要讨论无理量．第1命题“给定大小两个量，从大量中减去它的一大半，再从剩下的量中减去它的一大半，如此继续下去，可使所余的量小于所给的小量”相当重要，它是极限论的雏形，也是穷尽法的理论基础．第11卷，讨论空间的直线与平面的各种关系．第12卷，利用穷尽法证明“圆面积的比等于直径平方的比”．此外还证明了“球体积的比等于直径立方的比”、“锥体体积等于同底等高的柱体的三分之一”．第13卷，着重研究五个正多面体．。
几何原本-第一卷几何基础
命题1.35
• 命题：在同底上且在相同的二平行线之间的平行 四边形面积相等；
Hanjing shanxi jincheng
命题1.36-41
• 命题1.36、在等底上且在相同的二平行线之间的平行四边 形面积相等； • 命题1.37、同底等高的三角形面积相等； • 命题1.38、等底等高的三角形面积相等； • 命题1.39、有共同底边位于同侧面积相等的三角形的令两 点的连线平行于底边； • 命题1.40、等底并在同一边的面积相等的三角形，定点的 连线平行于底边； • 命题1.41、如果一个平行四边形与三角形同底边，并同一 顶点连线平行与底边，那么平行四边形的面积是三角形的 两倍；
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命题1.13-15
• 命题1.13、两条直线相交，邻角是两个直角或者 其和为180度； • 命题1.14、平面上两条不在一边的射线过任意直 线上一点，所成的邻角之和若等于两个直角的 和，那么这两条射线构成一条直线； • 命题1.15、两直线相交对顶角相等；
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定义
• 定义1.18、 半圆：是直径与被它切割的圆弧围成 的图形，半圆的圆心与原圆心相同；
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定义
• 定义1.19、 直线图形是由线段首位顺次相接围成 的。 三角形是由三条线段围成的， 四边形是由四条线段围成的， 多边形是由四条以上线段围成的； • 定义1.20、三角形中，三条变相等称为等边三角 形，两条变相等称等腰三角形，三边都不相等称 不等边三角形；
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命题1.16-17
• 命题16：任意三角形，其任意一边的延长线所形 成的外角大于任意不相邻的内角；
几何原本
第6卷共有33个命题，将第5卷已建立的理论用到平面图形上去，为相似多边形的理论。
创作背景
公元前8至公元前6世纪，在小亚细亚地区，希腊移民建立了一群经济上繁荣富裕的工商业城市，发展出了希 腊城邦制度。希腊人凭借地理上的优势，大力发展海上贸易，广泛吸收先进的古埃及和古巴比伦的文化，成为古 希腊文明的中心，培育出了公元前6世纪以后的小亚细亚诸城邦的一批思想家和学者，小亚细亚、尤其爱奥尼亚成 了古希腊自然哲学和科学的故乡。希波战争以后，雅典取得了希腊城邦的领导地位，海上贸易更加发达。经济生 活更加繁荣，古希腊文明中心由小亚细亚移向希腊本土雅典，此时，希腊民主城邦制度逐步走向全盛时代。“各 城邦实行独立的主权在民和直接民主制度，即城邦的政治主权属于它的公民，公民们直接参与城邦的管 理。”“在这种制度下，凡享有政治权利的公民的各项决议无论在寡头、贵族或民主政体中总是最后的裁断，具 有最高的权威”，这种“民主生活又使得议会、陪审法庭和公民大会成为说话的艺术即雄辩术的广阔的用武之地。 雄辩术可以使一个普通的公民成为民众的领袖”。在这种环境下，雅典学术气氛十分活跃，雅典公民在公开的政 治生活中获得广泛的知识，希腊世界各地的知识分子也群趋雅典，希腊哲学、艺术、文化科学等各方面呈现出百 花齐放、各炫异彩的空前盛况。马其顿王亚历山大的帝国崩溃以后，作为东西海陆交通枢纽的埃及的亚历山大里 亚逐渐成为古希腊文化中心。其时，托勒密一世重视科学文化，在那里修建科学中心。修建博物园，建立图书馆， 藏书70余万卷，几乎包括所有古希腊的著作和东方的一部分典籍，还把当时所有学术中心的许多学者请到亚历山 大里亚，欧几里得就是在公元前300年左右受邀到那里从事教学和研究的。数学在一个自由的学术气氛中最能获 得成功，而希腊的民主城邦制度则提供了这种自由的学术环境，在那里古希腊人创立了思辩的哲学，发展和积累 了丰富的自然科学和数学知识，《几何原本》就是在这样的环境中诞生的。
数学史古希腊数学
几何《原本》第十二卷
▪ 第十二卷主要论述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理。 并用穷竭法加以证明。
▪ 命题5 等高三棱锥之比等于它们底之比。 ▪ 命题7 三棱柱可以分成三个彼此相等的三棱锥。 ▪ 命题10 圆锥是同底等高圆柱的三分之一。
欧几里得与几何《原本》
• 《原本》在我国传播 • 1607年徐光启（1562－1633）与意大利传教士利玛窦（M.Ricci，
1552-1610）合译O.Clauvius（1537－1612）校订、增订的拉丁文本 《原本》前6卷。 • 1857年，李善兰（1811－1882）与英国传教士伟烈亚历（A.Wylie， 1815－1887）续译后9卷。
▪ 命题14 同圆内等弦的弦心距相等；弦心距相等则弦相等。 ▪ 命题22 内接于圆的四边形，其对角和是二直角。 ▪ 命题32 直线切于一圆，弦与切线的夹角等于弦所对圆周角。 ▪ 命题35 圆内有相交二弦，其中一弦上所截线段围成的长方形等于
另一弦上所截线段围成的长方形。
几何《原本》第四卷
▪ 第四卷，有16个命题，主要论述圆的内接和外切图形 ▪ 命题12 作已给圆的外切正五边形。 ▪ 命题15 作已给圆的内接正六边形。
▪ 命题2 求不互素数的最大公约数。 ▪ 命题19 四数成比例，则第一、四两数乘积等于第二、三两数乘积，
反之亦然。
几何《原本》第七、八、九卷
▪ 命题35：给出了关于完全数的一个著名定理：若几何
级数（从1开始）一些项之和 1 2 22 2n1是
质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，即
(1 2 22 2n1 )2n1
《几何原本》利玛窦徐光启（合译）
《几何原本》利玛窦徐光启（合译）展开全文中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552－1610）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的。
该译本第一次把欧几里德几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国，同时确定了许多我们如今耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似、外似等。
他们只翻译了前6卷，后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。
徐光启翻译中的重要贡献徐光启译《几何原本》徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献在于确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。
“几何”的原文是“geometria”，徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”，而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。
用“几何”译“geometria”，音义兼顾，确是神来之笔。
几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。
这些译名一直流传到今天，且东渡日本等国，影响深远。
前六卷的翻译工作《几何原本》传入中国，首先应归功于明末科学家徐光启。
徐光启(1562～1633)，字子先，上海吴淞人。
他在加强国防、发展农业、兴修水利、修改历法等方面都有相当的贡献，对引进西方数学和历法更是不遗余力。
他认识意大利传教士利玛窦之后，决定一起翻译西方科学著作。
利玛窦主张先译天文历法书籍，以求得天子的赏识。
但徐光启坚持按逻辑顺序，先译《几何原本》。
对徐光启而言，《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。
这种区别于中国传统数学的特点，徐光启有着比较清楚的认识。
他还充分认识到几何学的重要意义，他说“窃百年之后，必人人习之”。
他们于1606年完成前6卷的翻译，1607年在北京印刷发行。
再读《几何原本》第一卷(一)
再读《几何原本》第一卷（一）本阅读将第一册的48个命题平均分为三部分。
每部分有16个命题。
第一部分研究相等关系，包括三边相等的三角形、两个全等的三角形、等线段、两边相等的三角形、两个角相等的部分、相交成等邻角的直线等等。
第二部分研究不等关系和平行关系，≠ ，不等号是这样的，研究平行线时，也是这样的，用一条斜线交两线。
第三部分研究等面积变换。
先从第三部分开始讨论，然后第一部分，最后第二部分。
因为第三部分，相对容易理解。
这部分的目标：化任意多边形为等面积的正方形。
内容：从第三十三命题到第四十八命题。
因为这些命题，大部分是夹在平行线之间的平行四边形以及三角形，只要预先假定两平行线之间，距离处处相等。
距离由于欧氏几何独特的性质，如图，从S点向直线TV引垂线ST，这垂线必然也垂直于直线SU。
因此，可以定义平行线之间的距离。
这些距离，图中ST,UV,WZ,等，都相等。
有了这个假设，则大部分命题比较容易理解。
其实，这个命题也可以作为公设，代替传说中的第五公设。
这个命题与第五公设是等价的。
有了第五公设，就有了平行线的性质，这个假设也就不是假设，而是可以证明的定理。
但书中似乎没有出现“距离”这样的字样。
一直用线段度量线段，就是考虑线段与线段的比值。
这一点，同《九章算术》明显不同。
《九章》中，（刘徽）在计算圆周率的时候，就使用了各种长度单位；在《海岛算经》中，各种长度单位的转化更是繁复。
在单位中，实际上定义了一个固定的线段。
其他的与它成比例。
只有利用阿基米德公理才能完成测量。
用比例，就避免了单位的转化。
相同单位的两个量一比，单位就消失了。
更重要的原因是，继承了毕达哥拉斯学派的传统，一定要找到线段和线段之间的“最大公约数”，就是“可公度量”。
让线段之间可以产生比。
当时比的是除法，就是分数还不知道。
这与无理数不能精确地用比例表示有关。
无理数的危机怎么解决？我要看完那一章才知道。
因为现在倒着看这一章书，所以先假定有“距离”这概念。
《九章算术》与《几何原本》作业
《九章算术》与《几何原本》异同一、《九章算术》与《几何原本》的内容相似有以下几个方面：1、《九章算法》的第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。
包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法；而《几何原本》第一卷：几何基础。
重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：几何与代数。
讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。
第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；它们都是在平面上来研究几何图形的面积及性质。
2、《九章算术》第四章“少广”：已知面积，体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；而《几何原本》第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.它们研究都涉及立体几何的内容。
3、《九章算术》第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；而《几何原本》第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是“最重要的数学杰作之一”。
第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。
第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论。
它们都涉及到比例的算法。
4、《九章算术》第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题，提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，《几何原本》中的命题1.47，证明了是欧几里德最先发现的勾股定理。
在它们研究的范围内都用到勾股定理。
二、《九章算术》与《几何原本》的思维方面有很大的区别：1、《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年〔公元前一世纪〕。
九章算术与几何原本的比较讲解
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目录
第一卷 几何基础
第二卷 几何与代数
第三卷 圆与角
第四卷 圆与正多边形
第五卷 比例
第六卷 相似
第七卷 数论（一）
第八卷 数论（二）
第九卷 数论（三）
第十卷 无理量
第十一卷 立体几何
第十二卷 立体的测量
第十三卷 建正多面体
定理。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；
第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最
《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标 志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从 《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由 国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行 刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。
可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰
出贡献
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关于《九章算术》的历史考证:
现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西
汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的作者不详。 很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补 充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会
出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因
第五章“商功”：土石工程、体积计算；
第六章“均输”：合理摊派赋税；
第七章“盈不足”：即双设法问题；
第八章“方程”：一次方程组问题；
几何原本
《几何原本》简介《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，是当时整个希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶，其内容和形式对几何学本身和数学逻辑的发展有着巨大的影响。
自它问世之日起，在长达二千多年的时间里一直盛行不衰。
它历经多次翻译和修订，自1482年第一个印刷本出版后，至今已有一千多种不同的版本。
除了《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。
但《几何原本》超越民族、种族、宗教信仰、文化意识方面的影响，却是《圣经》所无法比拟的。
公元前7世纪之后，希腊几何学迅猛地发展，积累了丰富的材料。
希腊学者们开始对当时的数学知识作有计划的整理，并试图将其组成一个严密的知识系统。
首先做出这方面尝试的是公元前5世纪的希波克拉底（Hippocrates），其后经过了众多数学家的修改和补充。
到了公元前4世纪时，希腊学者们已经为建构数学的理论大厦打下了坚实的基础。
欧几里得在前人工作的基础之上，对希腊丰富的数学成果进行了收集、整理，用命题的形式重新表述，对一些结论作了严格的证明。
他最大的贡献就是选择了一系列具有重大意义的、最原始的定义和公理，并将它们严格地按逻辑的顺序进行排列，然后在此基础上进行演绎和证明，形成了具有公理化结构的，具有严密逻辑体系的《几何原本》。
《几何原本》的希腊原始抄本已经流失了，它的所有现代版本都是以希腊评注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写的修订本为依据的。
《几何原本》的泰奥恩修订本分13卷，总共有465个命题，其内容是阐述平面几何、立体几何及算术理论的系统化知识。
第一卷首先给出了一些必要的基本定义、解释、公设和公理，还包括一些关于全等形、平行线和直线形的熟知的定理。
该卷的最后两个命题是毕达哥拉斯定理及其逆定理。
这里我们想到了关于英国哲学家T．霍布斯的一个小故事：有一天，霍布斯在偶然翻阅欧几里得的《几何原本》，看到毕达哥拉斯定理，感到十分惊讶，他说：“上帝啊！这是不可能的。
一)几何原本与几何基础共16页
1902年清朝政府正式颁布了钦定学堂章程，于 1905年下诏“立停科举，以广学校”，建立了初 小5年，高小4年，中学5年的洋学制，并正式开 始在中学讲授平面几何。由于日本十九世纪后半 叶的明治维新运动对我国触动很大，当时所用课 本大都为日本教材的中译本。数学教育逐步走上 了正轨。
辛亥革命后，1912至1922年，民国政府教育 部将学堂改为学校，算学改称数学，（这一称谓 于三十年代在民间普及），学制改为初小4年， 高小3年，中学4年，教育部审定教学用书，平面 几何教材逐步开始使用一些英译本，如美国人温 德华氏几何学，和我国自己编的课本，数学教育 的水平已大大提高。
1922年，民国政府教育部制定了课程纲要， 学制改为小学6年，初中3年，高中3年，平面几 何在初中三年级与高中一年级讲授。 高中课程 为升入大学进行准备，初中纲要已包括了平面几 何的基本内容。
从三十年代初直到五十年代初，我国很多初 中使用3S平面几何作为教材，作者为美国的 Schultz-Sevenoak-Schuyler三位姓氏以S开头的 数学工作者。这本书可以看作是《几何原本》中 平面几何部分的改写本，结合了中学生的接受能 力，体系严谨，语言平实。二战胜利后，经过修 订又出了一套新3S平面几何，由上海中学余元 庆老师等人翻译，一直沿用到50年代初。
几何原本》第一卷《几何基础》
《几何原本》第一卷《》23条定义1、点是没有部分的2、线只有长度而没有宽度3、一线的两端是点4、直线是它上面的点一样地平放着的线5、面只有长度和宽度6、面的边缘是线7、平面是它上面的线一样地平放着的面8、平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度.9、当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角.10、当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。
11、大于直角的角叫钝角。
12、小于直角的角叫锐角13、边界是物体的边缘14、图形是一个边界或者几个边界所围成的15、圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。
16、这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。
17、圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。
18、半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
（暂无注释，可能是接着17的）19、直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线围成的，多边形是由四条以上线段围成的。
20、在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.21、此外，在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。
22、在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形.23、平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.五条1、等于同量的量彼此相等；2、等量加等量，其和相等；3、等量减等量，其差相等；4、彼此能重合的物体是全等的；5、整体大于部分。
五条公设1、过两点能作且只能作一；2、(有限直线)可以无限地延长；3、以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；4、凡是直角都相等；5、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
生活中的几何
生活中的几何“几何”这个词在汉语里是“多少？”的意思，但在数学里“几何”的涵义就完全不同了。
“几何”这个词的词义来源于希腊文，原意是土地测量，或叫测地术。
几何是人们对现实世界思维的抽象图形化表示。
它在现实生活中的应用有很多。
比如水桶总是圆柱形的，这个是考虑到在同样条件下圆柱形的体积更大，可以装更多的水，而且可以让桶的边缘受力均匀。
再比如你看舰艇上的海军一般是张开双腿，手背向后站着，这是因为人张开双腿后和地面加起来组成一个三角形，而三角形的稳定性是最好的。
再说人们吃饭时，尤其是大型家宴，用的桌子一般是圆的，因为在面积一定时，只有圆的周长最大，一张桌子可以容纳的人也就最多。
再说人在出行时吧，你总是抬一只脚就放下一只脚，不会两个脚同时抬起与放下，因为抬一只脚就放下一只脚相当于人的下半身与地面总是构成三角形可以轻易地稳定自己，而你在跳时很费劲而且容易摔跤，因为那时你整个人相对于地面就一条直线，没有稳定性。
几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。
在远古时代，人们在实践中积累了十分丰富的各种平面、直线、方、圆、长、短、款、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。
正是生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。
虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何知识之上的。
几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。
古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发源地。
大量出土文物证明，在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。
几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。
欧几里得原本十三卷
主讲人：xxxx
《几何原本》（希腊语Στοιχεῖ）
是古希腊数学家欧几里得所著的一部数
学著作，共13卷。这本著作是现代数学
的基础，在西方是仅次于《圣经》而流
传最广的书籍。
欧几里得约于前300年写成《几何
原本》。它翻译成阿拉伯文，然后再
二手翻译成拉丁文。最先的印制本出 现于1482年。希腊文版的文字仍然存
足球是由二十个正六边形、十二个正五边形组成若 正二十面体棱边的三分之一处切去角。
食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面
体,硫化铁结晶体有时会出现接近正十二面体的形状。
金字塔是正四面体。
病毒都是正二十面体（SARS） 具有正二十面体的艾滋病病毒 ——魔鬼与天使的结合体
构 成 面 正 八 面 体 等 边 三 角 形
图形
几何数据
表面积： 12a 2 体积： 2 a 3 3 二面角角度： arccos( 1 ) 外接球半径：
内接球半径：
2 a 2 a 6
3
构 成 面 正 十 二 面 体 正 五 边 形
图形
几何数据
表面积： 25 10 5 a 2 3
1 (15 7 5 ) a 3 4 5 arccos( ) 二面角角度： 5
对称性:每个正多面体是相似多 面体所属点群中对称性最高的。 对偶性：正六面体与正八面体对 偶，正十二面体与正二十面体对偶。 欧拉公式：V-E+F=2 五个正多面体间的关系
正四面体
正八面体
正六面体
正二十面体
正十二面体
正多面体的应用：
柏拉图视火、空气、水、土四个元
素为原子，其形状如正多面体中 其中四个 。
体积：
人教版数学七年级下册-几何原本
《几何原本》欧几里得的《几何原本》共有十三卷，其中第一卷讲三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件；第二卷讲如何把三角形变成等积的正方形；第三卷讲圆；第四卷讨论内接和外切多边形；第六卷讲相似多边形理论；第五、第七、第八、第九、第十卷讲述比例和算术得里论；最后讲述立体几何的内容。
从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。
因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。
属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧式几何。
《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）。
《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设。
（其中最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。
它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。
）这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础。
全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的。
比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证。
都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明。
关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。
所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。
它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，但是欧几里得几何学仍旧是中学生学习数学基础知识的好教材。
欧几里得算法在历史上的不同呈现
欧几里得算法在历史上的不同呈现二国外的欧几里得算法2.1 几何原本中的欧几里得算法2.11 欧几里得和他的几何原本欧几里得（Eudides 或 Eucleides，公元前三百年前后），是希腊数学家。
欧几里得的《几何原本》是一部划时代的著作。
中国传统数学的最大特点是以算为中心，没有形成如同古希腊数学那样的公理化体系。
《几何原本》开创了数学公理化的正确道路，促进了整个数学的发展。
《几何原本》全书共由十三卷组成，第一卷到第六卷为平面几何学，它是由徐光启，利玛窦在1607年共同译完，明末传入我国，补救我国数学研究中的不足。
第七卷到第十卷为数论，但与中算不同的是，全用几何方式来叙述。
其中第Ⅶ卷命题Ⅰ就是用几何方式来叙述欧几里得算法。
第十一卷到第十三卷为立体几何学。
早在半个世纪以前，日本数学家小仓金之助把《九章算术》与《几何原本》进行比较，他认为《九章算术》是“中国的欧几里得”，作为东西方数学的代表作，《九章算术》与《几何原本》在数学发展史上的产生和流传有相似之处。
欧几里得算法来源于《几何原本》，但欧几里得算法中算法思想却与古印度，日本，意大利，德国，以及我国古代现代许多数学研究一致。
2.12欧几里得算法《几何原本》第Ⅶ卷命题Ⅰ中原文如下“设有不相等的二数，若依次从大数中不断地减去小数，若余数总是量不尽它前面的一个数，直到最后的余数为一个单位，则该二数互素”。
命题二中“已知两个不互素的数，求它们的最大公度数。
术文如下设 AB,CD是不互素的两数，求 AB,CD 的最大公度数。
如果 CD 量尽AB ，那么它也能量尽它自己，那么 CD 就是CD,AB 的最大公度数。
且显然CD 也是最大公度数，这是因为没有比CD大的数能量尽CD ，但是，如果CD量不尽AB，那么从AB,CD 中的较大者中不断地减去较小者，如此，将有某个余数能量尽它前面的一个。
这最后的余数不是一个单位，否则AB,CD 就是互素的。
”2.2印度的不定方程组问题一次不定分析在中国，印度，古希腊数学中多有研究，特别是对印度数学家来说是非常重要的。
梅须逊雪三分白,雪却输梅一段香
首先看《九章算术》。关于《九章算术》的成书年代， 历代多有争议，各家更是众说纷纭。但还是基本可以确定约 是在公元50年至100年之间，即东汉中期。
表现1：
时代特征1：儒学昌盛
东汉史学家，古称‚良史‛，也就是称 赞他在注史书时能够做到公允客观、不偏不 倚。但他在为《汉书· 艺文志》作序时，曾经 对春秋战国‚百家争鸣‛时代发展起来各种 学派进行逐一评价，多有批评之词。唯独对 儒学，却是一味的褒奖，且对各家学说的批 评都是以儒学的观点为标准和论据的。
二、内容比较
（一）章节简介：
《几何原本》全书十三卷 ：道应用题，按问题的性质分为九章，每章又 《九章算术》九卷，包括 246 第一卷：几何学基础，角、平行与面的理论； 以应用题解法归类： 卷一 第二卷：几何代数问题； 方田——以御田畴界域； 卷二 第三卷：圆的理论； 粟米——以御交质变易； 卷三 第四卷：圆内接与圆外切正方形； 衰分——以御贵贱禀税； 卷四 第五卷：抽象比例问题； 少广——以御积冥方圆； 卷五 第六卷：相似形及几何学中的比例问题； 商功——以御工程积实； 卷六 第七卷：数论基础； 均输——以御远近劳费； 卷七 第八卷：数论中的连续比例问题； 盈不足——以御隐杂互见； 卷八 第九卷：数论； 方程——以御搓揉正负； 第十卷：不可公度数（无理数）的分类； 卷九 句股——以御高深广远。 第十一卷：立体几何； 第十二卷：形的测量（锥体问题）； 第十三卷：正立体几何（柏拉图立体几何）
3、尤其重要是，在形式逻辑上柏拉图的特殊贡献：
众所周知，他是一位理念主义者 在几何学上，柏拉图形成了两个很重要的思想： 理念的图形是最完全的形势；理念 一个是关于‚证明‛的思想，事物的真理性，必须 的逻辑是最令人信服的逻辑；理念的国 在证明的基础上才能确定其真理性；另一个是关于 家是最合理的国 家 ‚完全形式‛的思想，没有部分的是‚点‛、有长 度没有宽度的是‚线‛等等。这些自然界不存在的、 从自然界抽象出来的、高度理想化的思维形式，就 是‚完全形式‛。
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《几何原本》第一卷《几何基础》
23条定义
1、点是没有部分的
2、线只有长度而没有宽度
3、一线的两端是点
4、直线是它上面的点一样地平放着的线
5、面只有长度和宽度
6、面的边缘是线
7、平面是它上面的线一样地平放着的面
8、平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度.
9、当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角.
10、当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。
11、大于直角的角叫钝角。
12、小于直角的角叫锐角
13、边界是物体的边缘
14、图形是一个边界或者几个边界所围成的
15、圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。
16、这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。
17、圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。
18、半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。
（暂无注释，可能是接着17的）
19、直线形是由线段围成的，三边形是由三条线段围成的，四边形是由四条线围成的，多边形是由四条以上线段围成的。
20、在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.
21、此外，在三边形中，有一角是直角的，叫做直角三角形；有一个角是钝角的，叫做钝角三角形；有三个角是锐角的，叫做锐角三角形。
22、在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形.
23、平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.
五条公理
1、等于同量的量彼此相等；
2、等量加等量，其和相等；
3、等量减等量，其差相等；
4、彼此能重合的物体是全等的；
5、整体大于部分。
五条公设
1、过两点能作且只能作一直线；
2、线段(有限直线)可以无限地延长；
3、以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
4、凡是直角都相等；
5、同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
（近代数学不区分公设，公理，统一称为公理）。