弹簧质量系统瞬态响应分析
瞬态动力学分析
第16章瞬态动力学分析第1节基本知识瞬态动力学分析，亦称时间历程分析，是确定随时间变化载荷作用下结构响应的技术。
它的输入数据是作为时间函数的载荷，可以是静载荷、瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用。
输出数据是随时间变化的位移及其它导出量，如：应力、应变、力等。
用于瞬态动力分析的运动方程为：M KJ+ C KJ+ K K}= F （t）}其中：式中［M］为质量矩阵；［C］为阻尼矩阵；［K］为刚度矩阵。
所以在瞬态动力分析中密度或质点质量、弹性模量及泊松比、阻尼等因素均应考虑，在ANSYS分析过程中密度或质量、弹性模量是必须输入的，忽略阻尼时可以选忽略选项。
瞬态动力学分析可以应用于承受各种冲击载荷的结构，如：炮塔、汽车车门等，应用于承受各种随时间变化载荷的结构，如：混凝土泵车臂架、起重机吊臂、桥梁等，应用于承受撞击和颠簸的办公设备，如：移动电话、笔记本电脑等，同时ANSYS在瞬态动力学分析中可以使用线性和非线性单元（仅在完全瞬态动力学中使用）。
材料性质可以是线性或非线性、各向同性或正交各项异性、温度恒定的或温度相关的。
分析结果写入jobname.RST 文件中。
可以用POST1和POST26观察分析结果。
ANSYS在进行瞬态动力学分析中可以采用三种方法，即Full（完全）法、Reduced （缩减）法和Mode Superposition （模态叠加）法。
ANSYS提供了各种分析类型和分析选项，使用不同方法ANSYS软件会自动配置相应选择项目，常用的分析类型和分析选项如表16-1所示。
在瞬态分析中，时间总是计算的跟踪参数，在整个时间历程中，同样载荷也是时间的函 数，有两种变化方式：Ramped :如图16-1（a ）所示，载荷按照线性渐变方式变化。
Stepped :如图16-1（b ）所示，载荷按照解体突变方式变化。
表16-2常用的分析类型和分析选项 Full （完全）法采用完整的系统矩阵计算瞬态响应。
功能最强大，允许包括非线性的类型。
实验五质量-弹簧系统的谐响应分析
实验五质量-弹簧系统的谐响应分析实验五质量-弹簧系统的谐响应分析（感受共振）⼀、实验⽬的1、学会分析实际⼯程问题的⽅法2、掌握谐响应分析分析⽅法3、学会对问题的抽象处理⼆、实验器材能够安装ANSYS软件，CPU2.0GHz以上，内存1G以上，硬盘5G空间的计算机三、实验说明（⼀）谐响应分析任何持续的周期载荷将在结构系统中产⽣持续的周期响应（谐响应）。
谐响应分析使设计⼈员能预测结构的持续动⼒特性，从⽽使设计⼈员能够验证其设计能否成功克服共振、疲劳及其他受迫振动引起的有害结果。
谐响应分析的⽬的是计算出结构在⼏种频率下的响应，并得到⼀些响应值（通常是位移）对频率的曲线。
从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进⼀步观察峰值频率对应的应⼒。
（⼆）实验问题的描述确定如图4所⽰的系统中的质量块m1上施加简谐⼒(F1)时两个质量块（m1和m2）的振幅响应和相位⾓响应。
该问题的材料属性如下：m1=m2==0.5 lb-sec2/in; k1=k2=kc=200lb/in。
载荷⼤⼩如下：F1=200 lb。
弹簧的长度是任意的，只是⽤来定义弹簧的⽅向，两个质量块的⾃由度都是沿着弹簧⽅向。
如图5-1.图5-1四、实验内容和步骤（⼀）前处理1.定义⼯作名：Utility Menu > File > Change Title,在弹出Change Title的对话框，输⼊Harmonic Response of the Structure,然后单击OK按钮。
2.定义单元类型：Main Menu > Preprocessor > ElementType>Add/Edit/Delete,弹出“Element Types”对话框，单击Add按钮，弹出“Library of Element Types ”对话框，在左边的滚动条中选择Structural及其下的Combination，在右边的滚动条中选择Spring-damper14 ，单击Apply按钮。
系统的瞬态响应分析
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第六章 系统的瞬态响应分析
一阶系统的单位斜坡响应
1 R(s) 2 s
C (s) 1 1 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T
1 t T
c ( t) t T Te
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R(s) 1
1 R(s) s
1 T t c(t) e T
1
c(t) 1e
1 t T
1 R(s) 2 s
c ( t) t T Te
1 t T
闭环极点（特征根）：-1/T 衰减系数：1/T
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1 t T
输入信号微分响应微分 输入信号积分响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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例
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第六章 系统的瞬态响应分析
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时 才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度 计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以 10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指 示误差是多少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误 差为10T=2.5度。
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实验五 质量-弹簧系统的谐响应分析
实验五高速旋转轮盘模态分析在进行高速旋转机械的转子系统动力设计时，需要对转动部件进行模态分析，求解出其固有频率和相应的模态振型。
通过合理的设计使其工作转速尽量远离转子系统的固有频率。
而对于高速部件，工作时由于受到离心力的影响，其固有频率跟静止时相比会有一定的变化。
为此，在进行模态分析时需要考虑离心力的影响。
通过该实验掌握如何用ANSYS进行有预应力的结构的模态分析。
一．问题描述本实验是对某高速旋转轮盘进行考虑离心载荷引起的预应力的模态分析，求解出该轮盘的前5阶固有频率及其对应的模态振型。
轮盘截面形状如图所示，该轮盘安装在某转轴上以12000转/分的速度高速旋转。
相关参数为：弹性模量EX ＝2.1E5Mpa，泊松比PRXY＝0.3，密度DENS＝7.8E-9Tn/mm3。
1-5关键点坐标：1(-10, 150, 0)2(-10, 140, 0)3(-3, 140, 0)4(-4, 55, 0)5(-15, 40, 0)L=10+（学号×0.1）RS=5二．分析具体步骤1.定义工作名、工作标题、过滤参数①定义工作名：Utility menu > File > Jobname②工作标题：Utility menu > File > Change Title（个人学号）2.选择单元类型本实验将选用六面体结构实体单元来分析，但在建模过程中需要使用四边形平面单元，所有需要定义两种单元类型：PLANE42和SOLID45，具体操作如下：Main Menu >Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete①“ Structural Solid”→“ Quad 4node 42”→Apply（添加PLANE42为1号单元）②“ Structural Solid”→“ Quad 8node 45”→ok（添加六面体单元SOLID45为2号单元）在Element Types (单元类型定义)对话框的列表框中将会列出刚定义的两种单元类型：PLANE42、 SOLID45，关闭Element Types (单元类型定义)对话框，完成单元类型的定义。
弹簧质子系统的谐响应分析
这个方程的解分为两部分，一部分为齐次方程的 解，就是阻尼系统的自由振动响应，自由振动响 应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也 叫瞬态响应。另一部分是特解，也就是强迫振动 响应。不会随时间衰减，所以称为稳态响应。
画出此响应曲线如下图：
Ansys中弹簧质子系统的谐响应分析
1.定义单元类型
如左图是一个典型的 单自由度弹簧振子系 统。假设此系统承受 谐激励载荷 F= F1cos（wt）其中 为F1激励载荷的幅值， w为载荷的周期。
2.理论基础
此系统的动力方程为：
(Hale Waihona Puke )方程两边同除以 m (2)
令（2）中
同时令
k c ω ,2n m m
2 n
n
n
，n分别为阻尼比及衰减系数
同时令n分别为阻尼比及衰减系数这个方程的解分为两部分一部分为齐次方程的解就是阻尼系统的自由振动响应自由振动响应随时间衰减最后消失所以自由振动响应也叫瞬态响应
弹簧质子系统的谐响应分析
班级：机械1504 姓名：XXX 学号：XXXXX
谐响应分析理论
单自由度的弹簧振子的 谐响应分析理论求解 1.问题描述
定义类型Harmonic,求解选项
10.施加集中载荷
11.后处理
定义位移变量UY1,UY2
设置坐标X and Y lines
12.得出谐响应图形
输入变量 得到分析图形
2.定义单元选项
3.定义两组实常数
4.创建节点
1号节点坐标（0，0，0），3号节点坐标（0，2，0）
5.创建梁的单元
（1号和2号节点之间） （2号和3号节点之间）
6.模态分析
1）定义求解类型为model 2）求解选项，输入参数
6.系统的瞬态响应分析
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第六章 系统的瞬态响应分析
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第六章 系统的瞬态响应分析
2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速， 系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越 好。
1 − t T
(t≥0)
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第六章 系统的瞬态响应分析
性质： 1）经过足够长的时间 (≥4T)，输出增长速率近 似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后 时间T； 3）稳态误差=T。
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c(t ) = t − T + Te
1 − t T
输入信号微分 响应微分 输入信号积分 响应积分 积分时间常数由零初始条件确定。
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例
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第六章 系统的瞬态响应分析
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用 其测量加热器内的水温，当插入水中一分钏时 才指示出该水温的98%的数值（设插入前温度 计指示0度）。如果给加热器加热，使水温以 10度/分的速度均匀上升，问温度计的温态指 示误差是多少？ 解：一阶系统，对于阶跃输入，输出响应达 98%，费时4T=1分，则T=0.25分。 一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误 差为10×T=2.5度。
直接法分析瞬态响应,模态法分析瞬态响应
直接法分析瞬态响应，模态法分析瞬态响应1.问题提出平板如图1所示，分别用直接法和模态法分析平板的瞬态响应，得到一些特殊点的位移时间图像，进行对比分析，得出自己的结论。
2.建模说明平板长度为5in，宽度为2in，厚度为0.1in。
总共划分了10*4=40个单元进行分析。
对平板左端进行固定约束。
在平板右下角的点施加沿z轴正方向，大小为25Ib的力；在平板板面上施加沿z轴正方向，大小为1psi的均布力。
情况如图2所示：材料属性如图3所示：其他说明：均布载荷和集中载荷的频率都是250HZ，时间为0~0.008s，阻尼比0.3（为了使瞬态响应的变化更加明显，阻尼比取值应当稍大一些），分析步长0.0004in，步长数100个，总共0.04in。
集中力和分布力的函数图像如图4所示：其中绿色为分布力，红色为集中力。
3.分析过程（1）用直接法分析瞬态响应：取施加集中力的点为分析点，如图5所示：取平板中心点分析，如图6所示经过对比得到：两者振动趋势是基本相同的。
在0.008s之前，系统处于受迫振动，在受力状态下，两者的位移幅值较大，在0.008s之后，没有力的作用，系统处于自由振动状态，由于阻尼存在，振动幅值逐渐减小，两点的振动情况从图上看均符合。
集中力点的最大位移为-0.195in，中心点最大位移为0.072in，由于受到集中力的作用，所以集中力点处的位移变化比中心点大，但最后都趋向于零。
（2）用模态法分析瞬态响应：取施加集中力的点为分析点，如图7所示：取平板中心点分析，如图8所示经过对比得到：两者振动趋势是基本相同的。
在0.008s之前，系统处于受迫振动，在受力状态下，两者的位移幅值较大，在0.008s之后，没有力的作用，系统处于自由振动状态，由于阻尼存在，振动幅值逐渐减小，两点的振动情况从图上看均符合。
集中力点的最大位移为-0.115in，中心点最大位移为0.041in，由于受到集中力的作用，所以集中力点处的位移变化比中心点大，但最后都趋向于零。
控制工程第4章_系统的瞬态响应与误差分析
准确性。
*
17
4-1 时间响应
➢ 求系统时间响应的方法：
➢系统的快速性
快速性是指输出量和输入量产生偏差时，系统消除 这种偏差的快慢程度。
*
4
引言
➢ 二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线
二阶系统 G (s) n 2/(s2 2 n s n 2)的单位阶跃响应曲线
2
=0
1.8
1.6
1.4
允 差
=0.4 =0.7 =1
y(t) 输出 Y(s)
Y (s)G (s)X (s)
系统对任意输入的响应
y ( t) L 1 [ Y ( s ) ] L 1 [ G ( s ) X ( s ) ]
*
零状态响应
18
4-2 一阶系统的时间响应
1. 一阶系统的数学模型 2. 一阶系统（惯性环节）的单位阶跃响应 3. 一阶系统（惯性环节）的单位脉冲响应 4. 一阶系统（惯性环节）的单位斜坡响应
*
14
4-1 时间响应
➢瞬态响应ctr(t)：对稳定的系统，瞬态响应是指时 间响应中随着时间的增加而逐渐减小，最终趋于0 的那部分响应。
➢教材中的定义：系统受到外加作用激励后，从初 始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。指 的是稳定状态之前的整个时间响应过程。
➢稳态响应css(t)：是指当时间趋于无穷大时系统的 输出状态。
质量-弹簧系统的谐响应分析
实验六质量-弹簧系统的谐响应分析（感受共振）一、实验目的1、学会分析实际工程问题的方法2、掌握谐响应分析分析方法3、学会对问题的抽象处理二、实验器材能够安装ANSYS软件，CPU2.0GHz以上，内存1G以上，硬盘5G空间的计算机三、实验说明（一）谐响应分析任何持续的周期载荷将在结构系统中产生持续的周期响应（谐响应）。
谐响应分析使设计人员能预测结构的持续动力特性，从而使设计人员能够验证其设计能否成功克服共振、疲劳及其他受迫振动引起的有害结果。
谐响应分析的目的是计算出结构在几种频率下的响应，并得到一些响应值（通常是位移）对频率的曲线。
从这些曲线上可以找到“峰值”响应，并进一步观察峰值频率对应的应力。
（二）实验问题的描述确定如图4所示的系统中的质量块m1上施加简谐力(F1)时两个质量块（m1和m2）的振幅响应和相位角响应。
该问题的材料属性如下：m1=m2==0.5 lb-sec2/in; k1=k2=kc=200lb/in。
载荷大小如下：F1=200 lb。
弹簧的长度是任意的，只是用来定义弹簧的方向，两个质量块的自由度都是沿着弹簧方向。
如图6-1.图6-1四、实验内容和步骤（一）前处理1.定义工作名：Utility Menu > File > Change Title,在弹出Change Title的对话框，输入Harmonic Response of the Structure,然后单击OK按钮。
2.定义单元类型：Main Menu > Preprocessor > Element Type>Add/Edit/Delete,弹出“Element Types”对话框，单击Add按钮，弹出“Library of ElementTypes ”对话框，在左边的滚动条中选择Structural及其下的 Combination，在右边的滚动条中选择 Spring-damper14 ，单击Apply按钮。
弹簧质量系统瞬态响应分析
弹簧质量系统瞬态响应分析一、弹簧系统研究的背景、研究的目的和意义及国内外研究趋势分析1.1 弹簧质量系统提出的背景、研究的目的和意义弹簧作为储能元件，在减振器机械缓冲器等方面得到越来越广泛的应用。
而由螺旋弹簧与质量块组成的螺旋弹簧系统可以说几乎在任何机电仪器和设备中都有它的存在。
作为一常用零部件，其各项性能指标，尤其是其强度指标，直接或间接地影响整机的性能和工作质量。
因此对螺旋弹簧质量系统的机械性解响应及其强度分析受到了国内外专家，学者和工程技术人员的普遍重视。
载荷下弹簧质量系统的瞬态响应，这个问题具有广泛的意义和实际应用价值。
1.2 弹簧质量系统在国内外同一研究领域的现状与趋势分析关于载荷作用下弹簧质量系统的工作和文献很多,大多数问题都是围绕着,螺旋弹簧质量系统在承受静载荷或低频周期性载荷的情况下进行分析的。
其结论主要适用于对螺旋弹簧质量系统的静强度分析和固定载荷下的可靠性。
实验结果和经验表明,造成弹簧失效的一个主要原因是:当它承受突加载荷时,产生的冲激响应。
在冲激载荷下,弹簧失效数目很多,往往经静强度分析或固定载荷分析的结论是可靠的,而实际情况是不可靠的。
所以激载荷下的可靠性设计就不得不被提出来了。
但这方面文献非常少,实验数据也不多。
就弹簧质量系统在57火炮输弹系统的应用而言，螺旋弹簧失效主要是冲激失效,对这个问题的研究,美国、俄罗斯的水平较高,它们的主要工作是从提高材料性能上大量的实验进行的。
其寿命指标可达2000次,我国的现有水平较差,平均寿命在500一1000次之间,所以,对输弹系统进行寿命估计,找出问题,具有很大的应用价值和经济价值。
二、一维单自由度弹簧质量系统固有频率理论推导2.1无阻尼弹簧质量系统的自由振动如图1 所示，就是本文要讨论的单自由度无阻尼系统。
该系统有质量为m 的重物（惯性元件）和刚度为k的弹簧（弹性元件）组成。
假设不考虑重物的尺寸效应，可以用一个简单质点来表示这一类重物。
第7章瞬态响应分析
第七章瞬态响应分析7.1 概述(1) 计算时变激励的响应(2) 激励在时间域中显式定义，所有作用的力在每时间点给定(3) 计算的响应通常包括节点位移、速度、加速度、单元力和应力(4) 计算瞬态响应有直接法(Direct)和模态法(modal)7.2 直接瞬态响应分析(1)过程动力学方程[Ml {ii(tn + [B]侦切 +[K] {□(!)} = (P(t»对固定时间段-t求出离散点的响应，用中心差分法{<J n} = 2Af{Un+1 -咕补Wnl _ 2u n + Un-l}使用Newmark-Beta 方法转化为(可以选择Willson-Theta 法、Hughes-Alpha . Bathe )r-'K ’H ]----------------At>Time Average ^Filters'1整理得到內％"} = [A 2]HA 3l{U n } + LA <]l u n _1}其中，气]=M + B/ 2At + K/3|Dynamic MatrixApplied ForceA 3| = |2M/At 2-K/3| IA 4I = [ M/At 2 + B/2At-K/3|（2）瞬态响应分析中的阻尼B = B 1 + B 2 + G WgK 1 + 1/W 4yG E K E其中，B 1 =阻尼单元（VISCQAMP ） + B2GGB 2 = B2PP 直接输入矩阵+传递函数 G =整体结构阻尼系数（PARAM,G ）W 3 =感兴趣的整体结构阻尼转化为频率-弧度/秒（PARAM,W3） K 1 =整体刚度矩阵G E =单元结构阻尼系数（GE 在MATi 卡中定义）W 4 =感兴趣的单元结构阻尼转化为频率-弧度/秒 （PARAM,W4） K E =单元刚度矩阵瞬态响应分析中的不允许复系数，因此 结构阻尼转化为等效粘性阻尼进行计算W3,W4的缺省为0,这时不计阻尼7.3 模态瞬态响应分析（1）过程物理坐标与模态坐标变化无阻尼的动力学方程A2' =Initial Conditions, a from Previous Time Step[M]{U} + [K|{u} = {P(t})变换得到[0T|[M]|(|>||^+|Q T|[IK||Q H5}■ [<h T]{P(t)}其中，= modal mass matrix (diagonal)0T K. J= modal stiffness matrix (diagonal) 『P = modal force vector解耦得到单自由度系统方程m占* 昭=Pj(t)其中，m| = i-th modal mass k； = i-th modal stiffness当存在阻尼时申T R即工diagonal宀1心屮} = lA2l*|A3lU n HlA4l{^n_p其中,^2 二割"+ 1 * ^*n +-1 ' Applied ForceInitial Conditions, >from Previous Time S怕p(2)模态瞬态响应分析中的阻尼使用模态阻尼，每阶模态都存在阻尼，方程变为解耦的方程m占 * bj£ * = Pjd)勺+ 2勺勺+以勺=i/mjpdi 卜th modal forceDynamic Matrix I® -〔"段帥Cj =严j = modal damping ratio= k|/ nij = modal frequency (eigenvalue)利用Duhamel积分得到(3) Nastran 中模态瞬态响应分析阻尼的输入・ TABDMP1 (Bulk Data entry defines the modal damping ratios.© = b/b cr = G/2 Q ==1/GExample: for 10% critical clampingCRIT = 0.10Q = 5.0 G-0.2a) TABDMP1卡用SDAMPING=ID 情况控制卡选择 b) f i (Hz)和g i 为频率和阻尼值，用线性内插值给定点间的频率，用线性外插值给定端点外的频率；如其中,TAHDMP1 ID TYPEMBC tAHC<191 f2 H92*3 r 93+ DLF+ DLF9s—■EN J IO, No Initial Condition^ Are Allowed in MSC/M ASTRA IM forModal Transient Response• Type = G (default), CRIT, or QC)定义非模态阻尼(PARAM, G; VISC; DAMP; GE on MAT!(4) 模态瞬态响应分析数据的提取a) 物理响应为模态响应的叠加u =冷Hg｝b) 计算量一般不如直接法大c) 不必输出每个时间步的值(5) 模态截断原因：a) 不需要所有模态，仅须很少的低阶模态就可以得到满意的响应b) 用PARAM,LFREQ 给出保留模态的频率下界c) PARAM,HFREQ 给出保留模态的频率上界d) PARAM,LMODES 给出保留模态的最小数目e) 截断高频模态即截断了高频响应7.4 瞬态激励力定义为时间的函数Nastran中定义方法・ TLOAOI"Brut目force TB; ordorod time, force pairs tzblm input* TLOAD2Efficient definition for analytical'type loadlings-LSEQ Generates dynamic loads from Static loads1) 时变载荷a) TLOAD1定义的载荷其中,DAREA (or LSEQ) entry DELAY entry =TABLEDi entryb) TLOAD2定义的载荷,t< 0 or t> T 2-T 1At B e Ct cos (2rcFt+<2) TLOAD 卡片P(t) ■ AF(t - i)F{t-T )= TABLEDi entrya) DELAY 定义自由度及时间延迟量 b) TABLEDi 定义时间和力对 C)由DLOAD 情况控制卡选择 d)TYPE 定义为3) TLOAD 2 卡片A= spatial load distribution and scale factor(DAREA or LSEQ) T= DELAY entry其中，0 t < 0 ar t > T2 —1 23^)56789 10TLOAD2 SID A TYPE Fl T2 F p ~C~A Defined as a spatial load distribution and scale factor (DAREAor LSEQ)T Defined on a DELAY entry (can only ba used with a DAREA entry)TYPE Defined as TLOAD1T1,T2FPTime constants (T2>T1)Frequency (Hz)Phase angle (degrees)C Exponential coefficientB Growth coefficient该卡片由情况控制卡DLOAD选取4）载荷的组合其中,S c = overall scale factorS K = scale factor for k-th load setP K諱SID of TLOAD12 3456789 10DLOAD I—SID I~~S]~~~~~注：a）TLOAD1 和TLOAD2 标号唯一b）用DLOAD 组合TLOADsc）由情况控制卡DLOAD选取5)DAREA卡At^e^t cos(2irFt ■+ P)定义动态载荷作用的自由度，与其他卡片关系DAREA 例子□LOAD = 35fl 7 3910TLOAD1SID DAWEATYPETlDTLOAD1 35 2931340DAREA SIDPOINT DDUP'ONCMTSCALE□AREA"SO -~1~5.2DELAYSID POINT CCM^UNENTLAGDELAY3130~T~0.2TABLED1ID XAXIS YAXISXIY1X2Y2X3Y3¥4TABLED140-3.0 4.0 2.0 5.6 60 5.6ENDT• Result is the load specified by the TLOAD1, scaled by 5,2, delayed by 0.2 seconds, and applied to grid point 30 component T1.6) SLEQ 卡片将静态载荷用为动态载荷 由情况控制卡LOADSET 选取 包括含一个DAREA 卡片，与其他卡片关系DLOADCase Control Bulk DataScale Factor DOF I Spatial DistributionTime Lag DOFTemporal DistributionLSEQ例子LOADSET = 27 □ LOAD = 25LSEQ SID□AREA LIDLSEQ2728V26TLOAD1SID DAREA\TLOAD12528\STATIC LOAD SID\\、DAREAPLOAD126ReferenceFORCE26Link7）初始条件a）瞬态响应分析中，初始位移与初始速度由TIC数据卡定义，在模态响应分析中无效b）由IC情况控制卡片选择c）未被约束的自由度为0d）由一个A-set DOFs.给定e）初始条件仅须在直接瞬态响应中给定，模态瞬态响应中为0f）初始条件用于计算{u 1 }时需要的{U 0 }, {u -1 },{P 0 }, {P -1 }，所有点的初始加速度设置为0 （t<0）= |K]{u0} + |BHu0J建议对任何类型的动态激励至少取一个时间步为0□LOAD LOADSET Ca關CgntrpIBulk DataDynamicLoadStaticLoadEntriesTemporalDistributionReferenceLinkSpatialDistribution□AREAForceTimeg）TIC卡定义初始条件其中，Field ContentsSlD ki&nlificabon number. (Irteg&r 0)G Grid, scalar, w atra point iderMificatiod number. > □)C Conpon^nl nimbars. fliM 旳er zero or blank tot scalar or &t\r& poirilg r any nn© al the inl^g^rA1 tnraogh 6 (or a grid p<^nl.)U0 Initial displaoefinenL {Real}VO Initial velocity. (Real)8)TSTEP卡a）定义直接瞬态响应和模态瞬态响应分析中的积分时间步长b）积分误差随频率的增加而增加c）建议在响应的一个周期内至少取8个时间步d）T STEP控制求解和输出，由情况控制卡TSTEP选取e）积分的代价与步长成正比f）对低频（长周期）响应用自适应方法更有效g）计算中可以改变积分步长，这时h) TSTEP 卡片Format:12345678910TfiTEPSIDN1 DTi NOiH?DT2NOS心一-_________________________ ________________________Example:TSTEP2 10 .001 590.011Field Contents£)□ idefllihcaboc number (Integer > 0) Ni Numt>ef of tirne steps d Q* DTi. (integ&f > 1》 DTiTim^ rKrameni. (R^ol > Q.O)NOi Skip factor kx output. E^y NOHh step wM be s&rtd tor oulpul. (Inteaar > 0; Default = 1)7. 5直接瞬态响应与模态瞬态响应比较ModalDirect* Small ModelXLarge ModelXFew Time StepsXMany Time StepsXHigh Frequency ExcitationXNonlinearitiesXUniform Acceleration AssumedInitial Conditions X7. 6瞬态响应求解控制emotive Cor~htrolSOIL(for reciuir^edl input s■日e b日law.* C^nitrol 吕QUtiQnDLOAO LOADSET METHODS DAMPING VC TSTEP (ft^otlh e require eft)■ opfionfiN j (moclaV - r<FCfwiir«ici> (modal ■ optiori-all> (diireiict ■ ot^ t ionuaiil> (botlh 二re c| ui rod)-Bulk Data SectionASET T OMIT EIGRL or EIGR TSTEPTICTLOADi LSEQ TABLED! □AREA DELAY □LOAD TABDMP1(both - optional) (modal - required} (both - required) (direct - optional) (both • required} (both - optional} (both - optional) (both - required*) (both - optional) (both - optional} (modal - optional)CASE CONTROL OUTPUT * Grid outputACCELERATIONDISPLACEMENT (or VECTOR)GPSTRESSNLLOAD (nonlinear load output)QLOAD (output appllied load)SACCELERATION [ (solution set output - A-set in direct SDISPLACEMENT } solutions, modal variables inSVELOCITY J modal solutions)SVECTOR (A-set eigenvector)SPCFORCESVELOCITYMPCFORCE・ Element outputEL STRESS (or STRESSJELFORCE {or FORCE) STRAIN・ SpecialOTIME (controls solution output times}例子1) DIRECT TRANSIENT RESPONSE1 psi over the total surfaceINPUT FILEID SEMINAR, PROB4SOL 109TIME 30CENDTITLE= TRANSIENT RESOPONSE WITH TIME DEPENDENT PRESSURE AND POINT LOADSSUBTITLE= USE THE DIRECT METHODECHO= PUNCHSPC= 1SET 仁11, 33, 55DISPLACEMENT= 1SUBCASE 1DLOAD= 70® SELECT TEMPORAL COMPONENT OF TRANSIENT LOADING LOADSET= 100SELECT SPACIAL DISTRIBUTION OF TRANSIENT LOADING TSTEP= 10PSELECT INTERGRATION TIME STEPS$OUTPUT (XYPLOT)XGRID=YESYGRID=YESXTITLE = TIME (SEC)YTITLE- DISPLACEMENT RESPONSE AT CENTER TIPXYPLOT DISP RESONSE / 11(T3)YTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT CENTER TIPXYPLOT DISP RESPONSE / 33 (T3)YTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT OPPSITE CORNERXYPLOT DISP RESPONSE . 55 (T3)$BEGIN BULKPARAM, COUPMASS, 1PARAM, WTMASS, 0.0025$INCLUED' plate.bdf '$$ SPECIFY STRUCTURAL DIAMPING$ 3 PERCENT AT 250 HZ. = 1571 RAD/SEC$PARAM, G, 0.06PARAM, W3, 1571$$ APPLY UNTI PRESSURE LOAD TO PLATE$LSEQ, 100, 300, 400$PLOAD2, 400, 4., 4, THRU, 40$$ VARY PRESSURE LOAD (250HZ)$TLOAD2, 200, 300, , 0, 0., 8.E-3, 250., -90.$$ APPLY POINT LOAD OUT OF PAHSE WITH PRESSURE LOAD $TLOAD2, 500, 600, , 0, 0., 8.E-3, 250., -90.$DAREA, 600, 11, 3, 1.$$ COMBINE LOADS$DLOAD, 700, 1., 1., 200, 50., 500$$ SPECIFY INTERGRATION TIME STEPS$TSTEP, 100, 100, 4.0E-4, 1$ENDDATA2)) MODAL TRANSIENT RESPONSEINPUT FILEID SEMINAR, PROB4SOL 112TIME 30CENDTITLE = TRANSIENT RESPONSE WITH TIME DEPENDENT PRESSURE AND POINT LOADS SUBTITLE = USE THE MODAL METHODECHO = UNSORTEDSPC = 1SET 111 = 11, 33, 55DISPLACEMENT(SORT2) = 111SDAMPING = 100SUBCASE 1METHOD = 100DLOAD = 700LOADSET = 100TSTEP = 100$OUTPUT (XYPLOT)XGRID=YESYGRID=YESXTITLE= TIME (SEC)YTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT LOADED CORNERXYPLOT DISP RESPONSE / 11 (T3)YTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT TIP CENTERXYPLOT DISP RESPONSE / 33 (T3)YTITLE= DISPLACEMENT RESPONSE AT OPPOSITE CORNERXYPLOT DISP RESPONSE / 55 (T3)$BEGIN BULKPARAM, COUPMASS, 1PARAM, WTMASS, 0.00259$$ PLATE MODEL DESCRIBED IN NORMAL MODES EXAMPLE PROBLEM$INCLUDE 'plate.bdf '$$ EIGENVALUE EXTRACTION PARAMETERS $EIGRL, 100, , ,5$$ SPECIFY MODAL DAMPING$TABDMP1, 100, CRIT,+, 0., .03, 10., .03, ENDT$$ APPLY UNIT PRESSURE LOAD TO PLATE $LSEQ, 100, 300, 400$PLOAD2, 400, 1., 1, THRU, 40$$ VARY PRESSURE LOAD (250 HZ)$TLOAD2, 200, 300, , 0, 0., 8.E-3, 250., -90 $$ APPLY POINT LOAD (250 HZ)$TLOAD2, 500, 600,610, 0, 0.0, 8.E-3, 250., -90. $DAREA, 600, 11, 3, 1.DELAY, 610, 11, 3, 0.004$$ COMBINE LOADS$DLOAD, 700, 1., 1., 200, 25., 500$$ SPECIFY INTERGRATION TIME STEPS $TSTEP, 100, 100, 4.0E-4, 1$ENDDATA<<z。
系统的瞬态响应资料课件
瞬态响应还可以用于信号去噪，通过分析信号的瞬态特征，可以识别出噪声成分，从而 进行有效的去噪处理。
在通信系统中的应用
01
调制解调
通信系统的调制解调过程中，瞬态响应用于实现信号的调制和解调，以
实现信号的传输和处理。
02
信号同步
在通信系统中，瞬态响应用于信号的同步处理，通过对接收到的信号进
行瞬态特征分析，可以实现信号的快速同步和稳定传输。
实时仿真技术
发展高精度、高效率的实时仿真技术，以模拟和预测系统的瞬态响 应，为系统的设计和优化提供有力支持。
多学科协同仿真技术
结合多学科知识，发展协同仿真技术，以实现多物理场、多尺度、 多目标优化的系统瞬态响应仿真。
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鲁棒性分析
通过比较不同系统在瞬态响应下 的性能差异，可以对系统的鲁棒 性进行分析，从而优化系统设计 。
在信号处理中的应用
信号滤波
瞬态响应在信号处理中可用于实现信号滤波，通过设计适当的滤波器，可以提取出所需 频率范围的信号，抑制噪声和干扰。
信号识别
瞬态响应可以用于信号的识别和分类，通过分析信号的瞬态特征，可以对信号进行分类 和识别，这在语音识别、图像识别等领域有广泛应用。
特点
瞬态响应具有非线性和时变性的 特点，其表现形式包括幅度响应 、相位响应和频率响应等。
瞬态响应的重要性
保证系统稳定性
瞬态响应的好坏直接影响到系统的稳定性，如果 瞬态响应不良，可能导致系统失稳。
提高系统性能
良好的瞬态响应可以提高系统的性能，如快速跟 踪ห้องสมุดไป่ตู้减小超调和震荡等。
保护系统元件
瞬态响应不良可能对系统元件造成过大的冲击， 影响其寿命和可靠性。
基于有限元分析软件的弹簧、质量、阻尼振动系统的瞬态动力分析
基于有限元分析软件的弹簧、质量、阻尼振动系统的瞬态动力分析本文对振动系统瞬态动力学分析方法进行了阐述。
以有限元分析软件ANSYS 10.0作为平台，对弹簧、质量、阻尼系统进行瞬态动力学求导与分析，详细论述了分析的过程，结果与理论分析吻合得很好。
本文的研究可以为制造业的信息化过程提供一定的参考。
0 振动力学简介振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。
从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为振动。
如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移、速度，加速度、应力及应变等等，这种振动便称为机械振动。
振动力学是指借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素，为合理解决各种振动问题提供理论依据的一门科学。
振动是普遍存在的物理现象，是受外界激励而使系统包含的质量、弹性、阻尼等元件对外界激励的响应。
在所有科学领域和日常生活中都会遇到各种不同程度的振动，基于振动对工业生产的重要影响，国内外许多学者在此领域进行了大量的研究。
在机械结构的动力学特性研究上主要体现在以下几方面：(1) 建立振动模型；(2) 确定结构系统的动态特性；(3) 采用非比例阻尼方法准确估计系统的阻尼矩阵；(4) 基于实验数据结构的有限元模型修正等方面。
1 振动系统瞬态动力学分析方法图1 振动模型关系图一般振动问题是由振动系统、激励和响应三部分组成，三者间的关系可表示为如图1所示。
振动问题的研究对象即为振动系统，外界激振力等因素叫做激励(输入)，作用于系统使之产生振动响应(输出)。
振动问题就是从以上三者中，已知两个量来求解另一个参数。
瞬态动力学分析（也称时间历程分析）是用于确定承受任意的随时间变化载荷的结构的动力学响应的一种方法。
可以用瞬态动力学分析确定结构在静载荷，瞬态载荷和简谐载荷的任意组合下的随时间变化的位移、应变、应力及力。
弹簧-阻尼系统系统阶跃响应曲线3北京科技大学自动化学院
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3.2 一阶系统的时域分析
2）单位斜坡响应
当输入信号
u(t)
t 1(t) 时，U (s)
1 s2
系统输出量的拉
氏变换为：
1 1 1 T T2
Y(s)
(s)U (s)
Ts 1
s2
s2
s
Ts 1
对上式取拉氏反变换，得单位斜坡响应为：
t
y(t) (t T Te T )1(t)
2019年9月6日1时51分
北京科技大学自动化学院自动化系
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动态性能指标定义1
h(t)
A
超调量σ% =
A B
100%
峰峰值值时时间间ttpp BB
时时上上间间升升ttrr 调调节节时时间间ttss
t
2019年9月6日1时51分
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动态性能指标定义2
h(t)
调节时间 ts 上升时间tr
调节时间ts: 在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取 响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，
称为调节时间。
ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态 所需的时间越短。
2019年9月6日1时51分
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3.1 典型输入信号与时域性能指标
超调量σ%：响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值
之比。即
h(t ) h()
% p
100%
h()
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量过大将 使系统元件工作于恶劣条件，同时加长了调节时间。
振荡次数N：在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
自动控制原理实验-典型系统的瞬态响应和稳定性分析
6、 误差分析 （1）对二阶系统分析可知，当0<ξ<1时，峰值时间tp和上升时间理
论计算值与实际测量值接近，误差较小；调节时间ts的理论计算值与实 际测量值有一定的误差，这是因为理论上当曲线在终值的2%以内就可 以，但实验中较难取到系统曲线刚好到达2%处的点，所以是以刚好达 到终值时的时间作为调节时间，此结果比计算值大些。
（2）典型三阶系统
R(s) E(s)
C(s)
开环传递函数为：G(S)H(S)== 其中：K=K1K2(开环增益)，用劳斯判据可得出系统的稳定、临界稳 定、不稳定时的开环增益的范围。 五、实验结果及数据分析 （1）二阶系统
① ξ>1的情况
图一
已知条件：ξ=2 ωn=4 K=1 T=1/16 由图可知： c(tp)=1.003 c(∞)=1.003 tp=5s tr=2.2174s ts：测量值为5s 计算值为4.732s
④ ξ=0的情况
图八 已知条件：ξ=0 ω=0 K=0 T=1 由图可知是一条与横轴重合的直线
（2）三阶系统 令开环传递函数中的T1=1，T2=2，来分析该系统的稳定性 开环传递函数为G(s)H(s)== 特征方程为：s(s+1)(2s+1)+k=0
2s^3+3s^2+s+k=021 3k0源自k有劳斯判据可知：
微分环节：增加系统的阻尼比ξ，使超调量下降，调节时间也下 降，不影响系统的稳态误差和自然振荡频率。
比例环节：是开环增益增大从而减小稳态误差。 测速反馈环节：降低了开环增益，加大了斜坡信号输入时的稳态 误差，不影响自然振荡频率，提高了阻尼比ξ。 3、 根据实验结果，分析二阶系统ts、δ%与ξ、ωn之间的关系。 答：有已知公式可知其关系为： 超调量。 调节时间 4、考虑当二阶振荡环节的阻尼系数ξ<0和ξ<-1时，系统会出现什 么样的情况？ 答：当ξ<0和ξ<-1时系统特征方程根实部为正数，特征根在s平 面的右半平面，系统为不稳定的系统。
两质量弹簧系统的随机响应
两质量弹簧系统的随机响应/PREP7 !进入前处理模块/TITLE, EX 8.4(2) by Zeng P, Lei L P, Fang GET,1,COMBIN40 !设定1号单元H1=1 $H2=1 !设定几何参数k1=42832 $k2=32416 !设定弹簧参数m1=0.5 $m2=1.0 !设定质量块参数R,1,k1,,m1 !设定1号实常数(第1个质量体)R,2,k2,,m2 !设定2号实常数(第2个质量体)!MP,EX,1,1 !设定1号材料参数，采用一个很小的弹性模量（该句可不使用）N,1,0,0 $N,2,1,0 $N,3,2,0 !生成3个节点E,2,1 !由节点2和1生成单元REAL,2 !指定2号实常数E,3,2 !由节点3和2生成单元D,1,UX,0 !对1号节点施加位移约束UX=0OUTPR,ALL,ALL !设置输出所有求解结果FINISH !退出前处理模块/SOLU !进入求解模块ANTYPE,MODAL !定义模态分析类型MODOPT,SUBSP,2 !设定子空间算法，提取2阶模态MXPAND,2,,,YES !定义模态扩展的阶数为2阶，并进行单元应力计算SOLVE !进行求解*GET,F1,MODE,1,FREQ !提取第1阶模态的频率值，赋给F1*GET,F2,MODE,2,FREQ ! 提取第2阶模态的频率值，赋给F2FINISH !退出/SOLU !进入求解模块ANTYPE,SPECTR ! 定义分析类型为谱分析SPOPT,PSD,2,ON ! 选定前2阶模态的进行PSD响应分析PSDUNIT,1,ACCG !设定谱分析的类型为加速度谱g2/HzD,1,UX,1.0 !在支撑点施加约束PSDFRQ,1,1,10.0,100.0 ! 设定频率范围为10~100HZ，，前两位数值为数据表的编号PSDV AL,1,.1,.1 ! 设定白噪声PSD值，前一位数为数据表的编号PFACT,1,BASE !计算PSD的参与系数(地基激振)DMPRAT,0.02 !定义阻尼比为0.02PSDCOM !设定模态合并方法为默认值PSDRES,ACEL,REL !设定加速度求解结果的输出SOLVE $FINISH !进行求解，结束求解模块/POST1 !进入后处理LCDEF,6,5,1 ! 从结果文件中调出最后一步结果(第5载荷步的第1子步)，生成第6工况LCFACT,ALL,1/386.4 ! 对所有工况给出乘子，将加速度结果转换为重力加速度的倍数LCASE,6 !读入工况6PRNSOL,U,COMP ! 打印节点的求解结果*GET,P2_UX,NODE,2,U,X !提取节点2的位移UX，赋给P2_UX *GET,P3_UX,NODE,3,U,X !提取节点3的位移UX，赋给P3_UX *STATUS !列显所有参数的内容FINISH。
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弹簧质量系统瞬态响应分析一、弹簧系统研究的背景、研究的目的和意义及国内外研究趋势分析1.1 弹簧质量系统提出的背景、研究的目的和意义弹簧作为储能元件，在减振器机械缓冲器等方面得到越来越广泛的应用。
而由螺旋弹簧与质量块组成的螺旋弹簧系统可以说几乎在任何机电仪器和设备中都有它的存在。
作为一常用零部件，其各项性能指标，尤其是其强度指标，直接或间接地影响整机的性能和工作质量。
因此对螺旋弹簧质量系统的机械性解响应及其强度分析受到了国内外专家，学者和工程技术人员的普遍重视。
载荷下弹簧质量系统的瞬态响应，这个问题具有广泛的意义和实际应用价值。
1.2 弹簧质量系统在国内外同一研究领域的现状与趋势分析关于载荷作用下弹簧质量系统的工作和文献很多,大多数问题都是围绕着,螺旋弹簧质量系统在承受静载荷或低频周期性载荷的情况下进行分析的。
其结论主要适用于对螺旋弹簧质量系统的静强度分析和固定载荷下的可靠性。
实验结果和经验表明,造成弹簧失效的一个主要原因是:当它承受突加载荷时,产生的冲激响应。
在冲激载荷下,弹簧失效数目很多,往往经静强度分析或固定载荷分析的结论是可靠的,而实际情况是不可靠的。
所以激载荷下的可靠性设计就不得不被提出来了。
但这方面文献非常少,实验数据也不多。
就弹簧质量系统在57火炮输弹系统的应用而言，螺旋弹簧失效主要是冲激失效,对这个问题的研究,美国、俄罗斯的水平较高,它们的主要工作是从提高材料性能上大量的实验进行的。
其寿命指标可达2000次,我国的现有水平较差,平均寿命在500一1000次之间,所以,对输弹系统进行寿命估计,找出问题,具有很大的应用价值和经济价值。
二、一维单自由度弹簧质量系统固有频率理论推导2.1无阻尼弹簧质量系统的自由振动如图1 所示，就是本文要讨论的单自由度无阻尼系统。
该系统有质量为m 的重物（惯性元件）和刚度为k的弹簧（弹性元件）组成。
假设不考虑重物的尺寸效应，可以用一个简单质点来表示这一类重物。
为了描述图示系统位置，采用如图 1 所示的单轴坐标系。
坐标原点选取在质点静平衡位置，用x 表示质点在任意时刻处于坐标系中的坐标，以向下的方向为正。
在此系统运动过程中，x 是时间t 的函数，可以称为质点的位移函数。
由于只需要一个空间坐标x，就可以完全确定图中质点任意时刻的位置，因此可以认为该系统就是单自由度系统。
不考虑阻尼的情形下，系统将在初始条件激励下，围绕静平衡点做无阻尼自由振动。
2.2 振动方程的建立方法2.2.1 用牛顿第二定律法建立微分方程牛顿第二定律又称运动定律，即物体动量的改变与施加的力量成正比。
对于图示系统，定义质点的静平衡位置为坐标原点，则质点与坐标原点O 的距离为x，可得作用在质点上的弹簧力为fs= - k（x + ξs）（1）式中，ξs= mg / k表示弹簧在重物作用下的静伸长（力的作用），符号表示力fs的方向始终与（x + ξs）的方向相反，其作用是始终试图恢复弹簧的原长，一般称为弹性恢复力。
又由牛顿第二定律有mg + fs= mx″（2）上两式运算结果得m x″+ kx = 0 （3）式（3）就是图1 所示单自由度无阻尼系统的自由振动微分方程，其是一个二阶线性常系数齐次微分方程。
为了使得图 1 所示系统产生自由振动，需要有一个初始激励，或者说系统应该有一个非零的初始状态。
初始激励，也就是初始扰动，通常由t = 0 时刻的位移和速度来表示，即为x(0) =x o x(o)′=x o′2.2.2用能量法建立系统微分方程对于本文讨论的假设情形无阻尼状态，那么可以认为是不存在能量耗散，也不会对外提供额外能量，那么系统的机械能是守恒的。
机械能守恒的数学表达式为T max= U max (4)式中，T max为系统动能最大值；U max为系统势能最大值；等式含义即是系统的动能最大值等于势能的最大值。
在此还有另一种表达方式T + U = 常数（5）求导后有d/d t(T+U) = 0 （7）根据图 1 的弹簧质量体系，若把坐标原点选在质点的静平衡位置，选择质点m 的任意时刻坐标为x，可以求得任意时刻系统动能为T =1/2mx2假定系统在静平衡的位置作为势能零点，对于质点m 处于x 位时刻的系统势能为U =1/2kx2把T 和U 代入（7）可得：(m x″+kx)x′= 0 （8）考虑到x′不可能恒为零，可得m x″+kx = 0即获得和式（3）相同的微分方程。
因此，可以得出结论，即使使用方法的不同，不影响同一系统具有相同的运动微分方程。
3 运动微分方程的求解通过上边的微分方程建立，可知同一系统的运动微分方程具有唯一形式，下边将对此微分方程进行求解。
3.1 振动微分方程的求解与振动特性分析这是一个常系数微分方程，可以直接解出。
假设方程（3）具有如下形式的特解x（t）= Ceλt，代入式（13）得（mλ2+k）Ceλt= 0由于系统的振动位移不恒等于零，因此可得mλ2+k = 0，此式即为式（3）的特征方程。
解方程易得λ= ±iω此式中i =(-1)1/2，ω=(k/m)1/2。
由特征根可以得到式（3）的通解为x（t）= C1e iω t+C2e-iω t（9）此式即为质点任意时刻的运动轨迹方程的复数表达方式，式中C1和C2均为待定常数。
为了更清楚看出运动的特点，可以用欧拉公式进行转化，以三角函数来表示运动的轨迹。
根据欧拉公式代入式（9）并整理有[4]x（t）=（C1+ C2）cos（ωt）+（i C1- C2）sin（ωt），由C1和C2均为待定常数，而且C1和C2必须为一对共轭复数，进一步整理得x（t）= C cos（ωt）+D sin（ωt）（10）式中，C 和D 均为待定常数，进一步三角变化得x（t）= Asin（ωt+φ）（11）式中的A 和φ均为由初始条件确定的待定常数。
此时可以看出，本文讨论的质量体系的运动方式为一个以 A 为振幅，以ω为固有频率，以φ为初始相位的无阻尼简谐振动。
其中ω=（k/m）1/2即为简谐振动的固有频率。
必须强调，以上计算都是以忽略弹簧自身质量作为基础的。
2.3.2 考虑弹簧自身质量情况下的固有频率计算一般的理论力学考虑中，弹簧自身质量都是不予考虑的。
但是在实际工程中，大型弹簧的实际质量很大，在固有频率的计算中，忽略弹簧自身质量之后的影响非常大，因此有必要给出考虑弹簧自身质量之下的弹簧质量系统固有频率的计算结果，并和理想状况下的固有频率进行对比。
方程的建立，使用能量法。
如图 2 所示，可设弹簧长度为l，单位长度的质量为ρ，坐标原点选在系统静平衡处，当弹簧端点的位移是x 的时候，静平衡时刻距离固定支点端距离为s 处，弹簧位移为sx / l，此处的质量为ρds。
此时可知，弹簧的动能为则系统的总动能为而系统的总势能为根据式（7）以及微分方程求解如文中第3节计算得考虑了弹簧质量情况下的弹簧质量系统的固有频率三、多弹簧系统下应用有限元对固有频率推导及推广3.1有限元单元法的基本思路弹性力学解法的问题弹性力学解法的问题在于：不论是应力函数解法数解法、扭转函数解法、挠曲函数解法、还是基于最小势能原还是基于最小势能原理的瑞利－李兹等方法，其困难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试探函数。
在有限单元法里在有限单元法里，这个问题通过定义分片插值的位移或应力函数得到了巧妙的解决。
对于任意单元对于任意单元(i,j,m)以结点位移以结点位移(u,u ,u )为待定系数，可以给出该单元的插值函数：线性代数方程组的求解在数学上是极其容易的。
也就是说有限元法通过单元离散和最小势能原理小势能原理，避开了微分方程直接求避微分方程直接求解在数学上的困难，把定解条件下的微分方程组的求解巧妙地转化为线性方程组的运算，实现了任何复杂弹性力学问题轻易分析计算。
3.2有限元单元法求解问题的的基本步骤(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2) 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。
区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
（ 3）确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。
有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4) 单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5) 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。
(6) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。
对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。
对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
(7) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
3.3求解计算结果的整理和有限元法后处理有限元方程是一个线性代数方程组，一般有两大类解法，一是直接解法，二是迭代法。
直接法有高斯消元法和三角分解法，如果方程规模比较大时，可用分块解法和波前解法。
迭代法有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。
通过选用合适的的求解法求解经过位移边界条件小处理的公式后，得到整体节点位移列阵，然后根据单元节点位移由几何矩阵和应力矩阵得到单元节点的应变和应力，对于非节点处的位移通过形函数插值得到，再由几何矩阵和应力矩阵求得相应的应变和应力。
3.4弹簧质量系统的有限元建模与变形分析在任意激励．f(t)作用下，其振动方程为:Mx〞+Cxˊ+Kx= f(t) (1)式中：肘为结构的质量矩阵；C为结构的阻尼矩阵；K为结构的刚度矩阵；X（t）为节点位移。
令系统的固有频率为f i：相应的正则主振型为，则V i有V i T MV i =I (2)3.5有限元求弹簧质量系统的固有频率推广四、多弹簧系统下利用数值对固有频率计算五、比较分析有限元和固有频率计算结果参考文献：[1] 诸德超，邢誉峰. 工程振动基础[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2005.[2]（美）Singiresu Rao. 机械振动[M]. 李欣业，张明路，译，北京：清华大学出版社，2009.[3] 尹冠生理论力学[M]. 西安: 西北工业大学出版社，2004.。