韦达定理
两点间距离公式韦达定理
两点间距离公式韦达定理
两点间距离公式韦达定理：
1、设两点（x1，y1），（x2，y2），距离公式：d=√[（x1-x2）²+（y1-y2）²]。
2、设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）两根为x1，x2。
3、韦达定理：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
两点间距离公式用韦达定理推导过程：x1-x2的绝对值等于
（x1-x2）的平方再开根号，（x1-x2）的平方等于（x1-x1）×（x1-x2）-4x1x2=（b/a）（b/a）-4c/a（x1+x2=b/a，x1/x2=c/a），得到两点间的距离为根号下（b×b-4ac）再除以a的绝对值。
扩展资料：
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
一元二次方程的根的判别式为（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理
韦达定理韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
基本介绍英文名称：Vieta's formulas韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a定理内容一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，若b^2-4ac<0 则方程没有实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根证明结论由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a （注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a 1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a所以X1﹢X2=-b/a2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]所以X1X2=c/a（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a 又因为X1.X2的值可以互换，所以则有X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a韦达定理推广的证明设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。
韦达定理详细讲解
韦达定理详细讲解韦达定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于代数、几何和概率等领域。
该定理的内容较为复杂，但通过详细的讲解，我们可以更好地理解和应用韦达定理。
我们来了解一下韦达定理的基本概念。
韦达定理又称作“韦达三角定理”或“韦达方程”，它是代数中关于多项式根与系数之间的关系的一个重要定理。
韦达定理是指对于一个二次方程，其两个根的和等于系数b的相反数，而两个根的乘积等于方程的常数项c。
为了更好地理解韦达定理，我们以一个具体的例子来说明。
假设我们有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用韦达定理来求解该方程的根。
根据韦达定理，我们知道两个根的和等于系数b的相反数，即根的和等于5的相反数，即-5。
所以，我们可以得到一个等式：x1 + x2 = -5。
接下来，根据韦达定理，我们知道两个根的乘积等于方程的常数项c，即根的乘积等于6。
所以，我们可以得到另一个等式：x1 * x2 = 6。
通过这两个等式，我们可以得到一个由根和系数构成的方程组，进一步求解得到方程的根。
在本例中，我们可以得到x1 = 2和x2 = 3，即方程的两个根分别为2和3。
除了二次方程，韦达定理也可以扩展到高次方程。
对于一个n次方程，韦达定理可以表示为：方程的n个根的和等于系数b的相反数，而n个根的乘积等于方程的常数项c。
韦达定理在代数中的应用非常广泛。
它可以用于求解方程的根，进一步用于因式分解、求解多项式的系数和揭示方程与根之间的关系。
通过韦达定理，我们可以更好地理解和解决各种代数问题。
除了代数中的应用，韦达定理在几何和概率中也有重要的应用。
在几何中，韦达定理可以用于求解三角形的边长，利用三角形的边长关系来解决几何问题。
在概率中，韦达定理可以用于计算多个独立事件同时发生的概率，从而帮助我们进行概率分析和计算。
总结一下，韦达定理是数学中的一个重要定理，它可以用于代数、几何和概率等领域。
通过韦达定理，我们可以求解方程的根，进行因式分解，揭示方程与根之间的关系，解决几何问题和计算概率等。
韦达定理公式推导方法三种
韦达定理公式推导方法三种
：
（一）基本定理法 1. 令S(x,y)为满足条件的集合，即存在x，y使得S(x,y)=0； 2. 把所有的变量放入函数中，并把变量用未知量表示，如a1,a2,…an； 3. 用韦达定理将函数分解成n个部分，如S1，S2，…Sn； 4. 将每个部分作为一个式子，并逐步求解，从而得到韦达定理公式。
（二）特例定理法 1. 首先选取一个特例，使得变量满足某些条件； 2. 根据特例，将原函数的多项式化为n 项式，并用不等式的形式表示； 3. 将n项式的不等式进行求解，得到韦达定理的推导公式。
（三）图像定理法 1. 根据函数的定义，绘制函数的图像，并确定其所有极值点； 2. 在极值点处，将函数的多项式分解为n项式，并将其表示为不等式； 3. 将n项式的不等式进行求解，得到韦达定理的推导公式。
韦达定理坐标公式
韦达定理坐标公式韦达定理在数学中可是个相当重要的知识点，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多与方程相关的难题。
咱们先来说说韦达定理到底是啥。
韦达定理指出，在一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a$、$b$、$c$ 是实数且$a ≠ 0$）中，两根 $x_1$、$x_2$ 有这样的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \times x_2 =\frac{c}{a}$ 。
记得我之前教过一个学生小明，他在刚开始接触韦达定理的时候，那叫一个迷糊。
每次做题，不是把公式记错，就是不知道该怎么用。
有一次做作业，碰到一道题：已知方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两根为$x_1$ 和 $x_2$，求 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 \times x_2$ 的值。
小明愣是盯着题目看了半天，然后乱写一通。
我一看，他把 $a$、$b$、$c$ 的值都找错了，导致结果完全不对。
我就把小明叫到身边，耐心地给他讲解：“小明啊，你看这个方程$x^2 - 5x + 6 = 0$ ，这里 $a = 1$，$b = -5$，$c = 6$ 。
所以根据韦达定理，$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1} = 5$，$x_1 \times x_2 = \frac{6}{1} = 6$ 。
你可别再记错啦！”小明听了之后，似懂非懂地点点头。
为了让小明彻底搞明白，我又给他出了几道类似的题目让他练习。
一开始，他还是会出错，但慢慢地，他掌握了诀窍，做得越来越顺。
后来有一次考试，试卷上有一道比较难的题目：已知方程 $2x^2 +3x - 5 = 0$ 的一根为 $1$，求另一根。
这道题可把好多同学都难住了，但小明看到题后，心里有了底。
他先根据韦达定理算出两根之和为 $-\frac{3}{2}$，因为已知一根为 $1$，所以另一根就很容易算出来是 $-\frac{5}{2}$ 。
韦达定理
韦达定理韦达生于法国西部普瓦图的丰特标勒贡特，曾经在法王亨利四世手下任职，还当过律师，数学原本只是他的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。
他在数学方面的主要贡献有，第一次用字母代替已知量，确定了符号代数的原理和方法，使当时的代数学系统化，并把代数学作为解析的方法使用，因此有“代数学之父”之称。
在几何学方面，他利用阿基米德的方法，通过多边形来计算圆周率π，在计算中，他使用了393216边形，得到π的近似值为3.141592653……。
精确到小点后面的第9位，是第一个超越祖冲之的人（祖冲之当时算到第六位）。
韦达不仅是一个数学家，而且还是一个破译密码的专家。
他在法国政府任职时，曾经帮助法国政府破译了西班牙国王菲利浦二世使用的密码，对法国战胜西班牙起了重要作用，这样引起了西班牙国王的大怒，致使菲利蒲二世认为是法国人使用了什么“巫术”，因而还向罗马教皇指控法国“犯罪”。
青少年朋友们在初中学了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）方程的根α，β和系数a、b、c的关系式是这就是我们熟悉的韦达定理。
但是这种说法不是很确切。
请看下面几个定理的发表时间就清楚了。
定理1.一元二次方程ax2+px+q=0两个根为α和β，则α+β=-p，αβ=q定理2.一元三次方程x3+px2+qx+r=0的三个正根是α、β、γ，则α+β+γ=-p，αβ+βγ+αγ=q，αβγ=-r定理3.一元n次方程x n+ax n-1+ax n-2+x n-3+…+a n-1x+a n=0的n个正根为x1，x2，x3，…x n，则x1+x2+x3+…x n=-a1x1x2+x1x3+x1x4+…x2x3+x2x4+…x n-1x n=a2x1x2x3+x1x2x4+…+x2x3x4+x2x3x5+…+x n-2x n-1x n=-a3……。
x1x2…xn=（-1）n a n定理4.（把定理2中的“正”字去掉就得到定理4）定理1的发表时间在历史上没有记载，然而定理2却是意大利数学家卡丹（1501～1576年）在1545年发表的，所以定理1应在此之前，而法国数学家的创作年代应在1550年之后，因此定理2也不应当是韦达的功劳。
韦达定理7个公式
韦达定理7个公式韦达定理是高等数学中的重要概念之一，是描述多个向量之间关系的一种方法。
在三维空间中，韦达定理可以表示为：若三个向量a,b,c满足a·b×c=0，则这三个向量共面。
其中，a·b表示向量a与向量b的点积，a×b表示向量a与向量b 的叉积。
在韦达定理的基础上，可以推导出一系列与向量相关的公式。
以下是七个基于韦达定理的公式。
公式一：点积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则(a+b)·c=a·c+b·c证明：(a+b)·c=(a+b)·c=a·c+b·c公式二：叉积的分布律若a,b,c为任意三个向量，则a×(b+c)=a×b+a×c证明：左边等于(a×(b+c))=a·(b+c)×(b+c)=(a·b+a·c)×(b+c)=a·b×b+a·b×c+a ·c×b+a·c×c=a×b+a×c公式三：叉积的差的负若a,b为任意两个向量，则a×(b-c)=a×b-a×c证明：左边等于(a×(b-c))=a·(b-c)×(b-c)=(a·b-a·c)×(b-c)=(a·b-a·c)×b+(a·b-a·c)×c=a×b-a×c公式四：叉积的反交换若a,b为任意两个向量，则a×b=-b×a证明：a×b=a·b×b=-b·a×b=-b×a公式五：叉积与点积的混合积若a,b,c为任意三个向量，则a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c证明：右边等于(a·c)b-(a·b)c=(a·b)c-(a·c)b+a·b×c=(a·c-b·c)a+a·b×c=a×(b×c)公式六：叉积与向量长度的关系若a, b为任意两个向量，则，a×b， = ，a，b，sinθ其中，θ为a、b之间的夹角。
韦达定理经典例题及解题过程
韦达定理经典例题及解题过程韦达定理经典例题及解题过程一、概述韦达定理是初中数学中的一个重要定理，它是数学中的基本原理之一，广泛应用于初中数学和高中数学的相关知识点中。
韦达定理通过等比的概念，可以解决一些复杂的代数方程问题，具有很强的普适性和实用性。
本文将重点介绍韦达定理的相关概念、经典例题及解题过程，希望能让读者对韦达定理有更深入的理解。
二、韦达定理的相关概念1. 韦达定理的基本概念韦达定理是数学上一个重要的定理，它通过等比的概念，解决了关于代数方程的一些问题。
韦达定理的基本说法是：对于一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0，如果它有三个不等实根，那么这三个根分别是p、q、r，那么有以下等式成立：p+q+r=-b/apq+qr+rp=c/apqr=-d/a2. 韦达定理的证明韦达定理的证明可以通过多种方式来完成，其中一种比较常见的方法是使用代数方程的解法和数学归纳法。
我们可以通过对一元三次方程的通解进行分析，最终得到韦达定理的结论。
这个过程需要一定的代数方程知识和数学推理能力。
三、经典例题及解题过程为了更好地理解韦达定理，我们将通过几个经典例题来演示解题过程。
例题一：已知一元三次方程x³-6x²+11x-6=0的根为p、q、r，求p+q+2r的值。
解题过程：根据韦达定理，我们可以得到以下等式：p+q+r=6pq+qr+rp=11pqr=6根据题目中的要求，我们需要求p+q+2r的值，所以我们可以先求出p+q+r的值，然后再将r的值替换为2r即可。
通过代数方程的解法，我们可以求得p+q+r=6，再将r替换为2r，得到p+q+2r=6+2r的值。
例题二：已知一元三次方程2x³-7x²+7x-3=0的根为p、q、r，求p²+q²+r²的值。
解题过程：同样地，根据韦达定理我们可以得到以下等式：p+q+r=7/2pq+qr+rp=7/2pqr=3/2题目中要求的是p²+q²+r²的值，我们可以通过(p+q+r)²-2(pq+qr+rp)的公式来求得。
韦达定理
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理介绍韦达定理英文名称：Viete theorem韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里讲一元二次方程两根之间的关系。
一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达简介韦达他1540年生于法国的普瓦图。
1603年12月13日卒于巴黎。
年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。
韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。
韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。
韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。
他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。
给出三次方程不可约情形的三角解法。
著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。
他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。
他被称为现代代数符号之父。
韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。
他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
韦达定理
韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
韦达定理及其应用
韦达定理及其应用
韦达定理是一种基本的数学定理，它描述了一个三角形中两条边的长度与第三边的夹
角之间的关系。
它可以用来求解一个三角形的性质，甚至解决更复杂的几何问题。
韦达定理由法国数学家查尔斯·韦达提出，于1806年于科学期刊《乌拉法叶斯特》
上发表。
它首先被用来证明三角形的直角性质，然后被扩展用来证明更多其它的相关性质。
韦达定理可以用下面的公式表示：
a^2+b^2=c^2-2*c*a*cos(B)
其中a,b,c分别表示三角形ABC的3条边的长度，B表示边AC与BC之间的夹角。
由于韦达定理可以用来求解三角形的特性，因此它可以用来解决几何问题。
例如，如
果我们有一个三角形ABC，我们想求解它的外角A、边BC的长度和边AB的长度，则可以
用韦达定理：
假设a=3,c=4,B°=30°，根据韦达定理，
即 b^2= 16-24*cos(30°)=16-24*3^(1/2)/2
所以b=√5
另外，由余弦定理可以求出A°=60°
因此，三角形ABC的三角形性质为a=3,b=√5,c=4,A=60°,B=30°。
此外，韦达定理还有许多额外的应用。
例如，它可以用来求解由全等三角形的边来确
定的三角形的外角的性质，用来解决椭圆的几何上的直角形之间的关系等等。
它的应用非常广泛，几乎每一门数学和几何课程中都会涉及到它。
韦达定理不但可以
帮助我们在解决几何问题中取得关键性的进展，而且还多次提供了无穷多有用的解法。
韦达定理公式推导过程
韦达定理公式推导过程韦达定理是初中数学中非常重要的定理，它解决的问题是如何求解一个三角形内部点到三条边的距离比例。
本文将详细讲解韦达定理的公式推导过程，帮助读者更好地理解和应用这一定理。
1.韦达定理的提出韦达定理是由法国数学家韦达（Francois Viète）在16世纪时提出的。
他主要研究代数学，但在三角学中也有一些杰出的贡献。
他的定理指出，如果一个三角形ABC内部存在一点P，则可以用三条边AB、BC和CA的长度以及AP、BP和CP的长度比例关系来描述这个点P 的位置。
2.韦达定理的公式表述韦达定理的公式可以用以下方式表述：设在三角形ABC内部有一点P，则有：AP×BC+BP×CA+CP×AB=2S其中S是三角形ABC的面积。
这个公式描述了点P到三条边的距离与三条边长度的比例关系。
具体来说，AP与BC的比值等于BP与CA 的比值等于CP与AB的比值。
3.推导过程现在来推导一下韦达定理的公式。
考虑三角形ABC和它内部的一点P：首先，我们需要知道三角形ABC的面积S。
根据海伦公式，我们可以用三条边的长度计算出S：S=√[s(s-AB)(s-BC)(s-CA)]其中s是三角形的半周长，即s=(AB+BC+CA)/2第二步，我们考虑如何求解点P到三条边的距离。
为了方便计算，我们引入一个垂足H，使得PH与AB垂直：由于PH与AB垂直，所以有PH^2+AH^2=AP^2。
根据勾股定理，我们可以得到：AH=√(AB^2-PH^2)同理，我们还可以计算出BH和CH：BH=√(BC^2-PH^2)CH=√(CA^2-PH^2)第三步，我们来推导韦达定理的公式。
我们将点P到三条边的距离分别记为d1、d2和d3，它们的比例与三条边的比例相同：d1/d2=AB/CAd2/d3=BC/ABd3/d1=CA/BC将d1、d2和d3表示为AP、BP和CP，我们可以得到：AP=(d1/d2)×CABP=(d2/d3)×ABCP=(d3/d1)×BC将这三个式子代入AP×BC+BP×CA+CP×AB=2S，可以得到：[(d1/d2)×CA]×BC+[(d2/d3)×AB]×CA+[(d3/d1)×BC]×AB=2S整理后得到：d1×BC+d2×CA+d3×AB=2S这个式子就是韦达定理的公式。
韦达定理推导
韦达定理推导韦达定理（Waerden's theorem），又称为冯蒂特定理、Van der Waerden定理或Van der Waerden-Schur定理，是数论中一个非常重要的定理，它可以用于求解欧拉线性等式。
由德国数学家Bernhard Waerden于1927年发明的定理，定义了一个布尔代数的如下不变性：设$(a_1,...,a_N)$为N个整数，如果$\sum_{i=1}^{N} a_i = 0$，则存在一组$1 \leq i_1 <i_2 < ...<i_s \leq N$，使$a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{is}$有序（即排列为非减序列）。
这里说明一下，韦达定理中允许$i_1、i_2、...、i_s$有重复，但它们必须满足$i_1 \leq i_2 \leq ...\leq i_s$的不减排列条件，也就是说$i_1$的值最小，而$i_s$的值最大。
例如，如果$N=4$，且$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(2,-2,4,2)$，则可以选取$i_1=1, i_2=3$，从而获得$a_{11}=2$，$a_{13}=4$，$a_{13} > a_{11}$，即得到一组$1 \leq i_1 < i_2 \leq 4$，使$a_{i1}, a_{i2}$有序。
对于韦达定理，可以进行以下推导：首先，由于$\sum_{i=1}^{N} a_i = 0$，因此可以得到$\sum_{i=1}^{s}a_{is}=0$，即$\sum_{i=1}^{s} (a_{i1} + a_{i2} +...+ a_{is}) = 0$。
定义$d_i=a_{i1} -a_{i2}$，因此得到$\sum_{i=1}^{s} (d_1 +d_2+...+d_s)=0$，即$\sum_{i=1}^{s} d_i = 0$；相同地，定义$c_i=d_1+d_2 +...+d_i$，则$\sum_{i=1}^{s}c_i =0$。
韦达定理(多元方程)
3. σk =
xi1 xi2 · · · xik
1≤i1 <···<ik ≤n
··· ··· ··· ··· ··· ···
4. σn = x1x2 · · · xn
以 5 個變元 x1, x2, x3, x4, x5 的初等對稱多項式為例，σ3 可以理解為，從 5 個變元選取 3 個， 共有 5C3 = 10 個不同組合，將每個組合的變元相乘，再將得到的積加總，便可得到 σ3：
f (x1, · · · , xi, · · · , xj, · · · , xn) = f (x1, · · · , xj, · · · , xi, · · · , xn)
則稱 f (x1, x2, · · · , xn) 為對稱多項式
例一. 若 g(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 g(x1, x3, x2) = x1 + x3 + x2 = x1 + x2 + x3 = g(x1, x2, x3)
m − 重根(m-mutiple root)。 4. 與重根相對的是 單根(simple root)，單根是一個根，而不是重根。故若 c 是 f (x) 的一
個單根，則 f (x) 不能被 (x − c)2 整除。
代數基本定理(Fundamental Theorem of Algebra)
在複數範內，任何一個一元 n (n ≥ 1) 次多項式最少有一個根。
a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an = 0 = a0(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn)
將上式的右邊展開再與左式比較系數，便可得出：
韦达定理及其推广
扩展形式
研究韦达定理的扩展形式，将其应用于更广泛 的数学问题中。
应用实例
收集和整理韦达定理在不同领域的应用实例，展示其实际价值。
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韦达定理及其推广
目录
• 韦达定理的概述 • 韦达定理的证明 • 韦达定理的推广 • 韦达定理的应用实例 • 韦达定理的局限性 • 韦达定理的未来发展
01 韦达定理的概述
韦达定理的定义
韦达定理
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其根的和等于方程的一次项系数 除以二次项系数的负值，根的积等于 常数项除以二次项系数。
推广到复数域
韦达定理在复数域中的推广，主要是将实数 域中的根与系数的关系扩展到复数域。在复 数域中，根和系数的关系可以通过共轭复数 进行表述，并涉及到复数的模和幅角。
具体来说，如果一个n次多项式在复数域中的 根为α1, α2, ..., αn，那么这些根的共轭复数 和为0，即α1 + α2 + ... + αn = 0。此外， 根的乘积等于常数项除以首项系数，即α1 *
04 韦达定理的应用实例
在数学竞赛中的应用
代数方程的求解
函数性质分析
韦达定理在数学竞赛中常用于求解代数方程， 特别是二次方程和其变种。通过利用根与系 数的关系，可以快速找到方程的解。
利用韦达定理，可以分析函数的性质，如对 称性、单调性等。例如，通过分析二次函数 的根，可以判断函数的开口方向和顶点位置。
数学表达式
根的和 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，根 的积 $x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$。
韦达定理所有公式
韦达定理所有公式韦达定理是解决三角形中任意三边与其对应的角之间的关系的重要定理。
在本文档中，我们将讨论韦达定理的各种公式及其应用。
一、韦达定理的基本形式韦达定理的一个基本形式是：在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. a² = b² + c² - 2bc·cosA2. b² = a² + c² - 2ac·cosB3. c² = a² + b² - 2ab·cosC这三个公式是韦达定理的基本形式，可以用来计算三角形中的任意一边的长度。
二、角的余弦定理韦达定理还可以通过角的余弦定理进行推导。
角的余弦定理是说，在一个三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，则有以下公式成立：1. cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)2. cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)3. cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)将上述公式代入韦达定理的基本形式，可以得到：1. a² = b² + c² - 2bc·[(b² + c² - a²) / (2bc)]2. b² = a² + c² - 2ac·[(a² + c² - b²) / (2ac)]3. c² = a² + b² - 2ab·[(a² + b² - c²) / (2ab)]经过简化，得到了韦达定理的基本形式。
三、韦达定理的特殊情况1. 直角三角形在一个直角三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，对应的角为A、B、C，其中角C为直角，则有以下公式成立：1. a² = b² + c²2. b² = a² + c²3. c² = a² + b²这是因为在直角三角形中，余弦函数的值为0，所以角的余弦定理可以简化为上述形式。
什么是韦达定理
什么是韦达定理韦达定理（Vandermonde's Identity）是组合数学中一个重要的等式，经常用于解决排列组合问题。
由于题目并未明确要求按照特定的格式书写，因此以下内容将以段落形式呈现。
韦达定理是由18世纪法国数学家亚历山大·韦达（Alexandre-Théophile Vandermonde）提出的。
韦达定理的表述如下：对于任意非负整数m、n和非负整数k，韦达定理给出了如下等式：C(n + m, k) = ∑C(n, i) * C(m, k - i)其中，C(n, i)表示从n个元素中选择i个元素的组合数，也可以写作"n choose i"。
韦达定理的等式右侧为一个求和式，该式中的i从0到k，表示在一次组合中从n个元素中选择i个元素，以及在另一次组合中从m个元素中选择k-i个元素。
而通过累加，即可得到从n+m个元素中选择k个元素的组合数。
这个等式看起来可能有些抽象，我们来看一个具体的例子。
假设有两个集合A和B，分别包含1,2,3和4,5,6三个元素。
我们要从这两个集合中总共选择两个元素，即m = 3, n = 3, k = 2。
根据韦达定理，我们可以计算从这两个集合中选择两个元素的所有组合数。
根据等式左侧，C(3+3, 2) = C(6, 2) = 15，从6个元素中选择2个元素总共有15种组合方式。
接下来，我们可以使用等式右侧的求和式来计算这个结果。
当i = 0时，C(3, 0) = 1；C(3, 2-0) = C(3, 2) = 3，所以C(3, 0) * C(3,2-0) = 3。
当i = 1时，C(3, 1) = 3；C(3, 2-1) = C(3, 1) = 3，所以C(3, 1) * C(3,2-1) = 9。
当i = 2时，C(3, 2) = 3；C(3, 2-2) = C(3, 0) = 1，所以C(3, 2) * C(3,2-2) = 3。
韦达定理推导公式
韦达定理推导公式韦达定理呀，在数学的世界里可是个相当重要的家伙！咱们先来说说啥是韦达定理。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$（$a≠0$），它的两个根$x_1$和$x_2$有这样的关系：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
那这韦达定理是咋推导出来的呢？咱们来一步步瞧瞧。
假设一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）的两个根分别是$x_1$和$x_2$。
因为$x_1$是方程的根，所以把$x_1$代入方程，就得到$ax_1^2 +bx_1 + c = 0$。
同理，把$x_2$代入方程，就有$ax_2^2 + bx_2 + c = 0$。
接下来，咱们用$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$减去$ax_2^2 + bx_2 + c = 0$，可得：\[\begin{align*}ax_1^2 + bx_1 + c - (ax_2^2 + bx_2 + c)&=0\\a(x_1^2 - x_2^2) + b(x_1 - x_2)&=0\\a(x_1 + x_2)(x_1 - x_2) + b(x_1 - x_2)&=0\\\end{align*}\]因为$x_1 ≠ x_2$，所以可以把$(x_1 - x_2)$约掉，就得到$a(x_1 + x_2) + b = 0$，也就是$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
再看，由$ax_1^2 + bx_1 + c = 0$可得$bx_1 = -ax_1^2 - c$，同理$bx_2 = -ax_2^2 - c$。
所以$bx_1 × bx_2 = (-ax_1^2 - c)(-ax_2^2 - c)$\[\begin{align*}b^2x_1x_2&=(ax_1^2 + c)(ax_2^2 + c)\\b^2x_1x_2&=a^2x_1^2x_2^2 + ac(x_1^2 + x_2^2) + c^2\\\end{align*}\]又因为$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$，所以$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$。
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三、已知两数的和与积，求这两个数。
例4、已知两数的和是 -4，两数积是 3，则这两个数是 -1和-3 。
提示：根据韦达定理，可将两数看成方程 x² +4x+3=0 的两根，再求得 方程的两根 -1、-3，从而求得这两数。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。
例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ Ｄ ） x² +x-2=0； x² +x+2=0； x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
二、已知方程的一个根，求另一个根。 三、已知两数的和与积，求这两个数。 四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。 五、不解方程，求作一个一元二次方程，使其根与原一元二次方程的根有给定的某些关系。 六、应用二次方程的根所满足的条件，确定方程中字母系数（或范围）。 七、把一元二次方程的根的判别式与韦达定理结合起来，可判别二次方程的根的符号。
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1、定理：如果方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2， 那么 x1+x2=
b a
， x1•x2=
c a
。
2、在实数范围内，韦达定理成立的条件是什么？ （答：△≥0） 应用韦达定理的前提是什么？ [答：一般形式: ax²+bx+c=0(a≠0)]
一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ）
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
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二、已知方程的一个根，求另一个根。
5 例3、若关于x的方程 4x² +(k-2)x-10=0 的一个根是-2， 则另一个根= 4 k= 5 。
提示：设另一个为，根据韦达定理，得
，
10 5 2 , 4 4
k 2 5 3 2 2 k 5. 4 4 4
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
八、解方程或方程组。
九、二次三项式的因式分解。 十、利用韦达定理还可以解决其它问题。
一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ）
3、推论：如果方程 x² +px+q=0的两根是x1、x2，那么 x1+x2= - p， x1•x2= q 。
4、以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x² - (x1+x2)x + x1•x2 = 0
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5、口答：
（1）方程 3x² -7x+2=0 的两个根之和是
7 3
，两根之积是
2 3
。
（2）方程 x² +4x+2=0 的两个根之和是 - 4
，两根之积是
2
。
（3）写出以3-√2与3+√2为两根的一元二次方程是
x²-6 x +7 =0 。
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说明：
韦达定理所反映的一元二次方程的根与系数关系是一 元二次方程的重要性质，它在方程的有关研究和讨论中有 着重要的地位。 只要有牵涉到一元二次方程的根与系数的问题，就可 以运用韦达定理去解决。 主要归纳如下十个方面：
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四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。
例5、设x1, x2 是方程 x² +2x-1=0 的两个根，则 x1² + x2 ² = 6 ；（x1- x2）² = 8。
提示：根据韦达定理可得， x1+x2 = -2，x1• x2 = -1。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
Байду номын сангаас
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ）
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