数学模型的应用

数学建模

数模作业（第一章）

P21

第一章

6、利用节药物中毒施救模型确定对于孩子(血液容量为2000ml)以及成人(血液容量为

4000ml)服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。

解：设孩子服用氨茶碱能引起严重中毒的最小剂量为1A ，则由节中的药物中毒施救模型可知:

在胃肠道中药物的量为

0.13861()t

x t A e -=，而在血液系统中药物的量为

0.11550.13861()6()

t t y t A e e --=-，再令0.11550.13861()()/6()t

t y t y t A e

e --==-再做出()y t 的图像如下：

《

;

由图可知()y t 具有最大值，设在这个最大值max ()y t 在孩子血液中容量的比例为严重中

毒的比例100/g ml μ以及致命的比例200/g ml μ即为孩子服用氨茶碱的最小剂量。于是可以去求这个最小剂量。由上图可知最大值位于8t h =左右, 利用Mathematics 去找出这个最大值。求得max ()=0.0669y t ，而7.892t h =。于是孩子服用氨茶碱引起严重中毒的最小剂

量1A 有式子1max 6()/2000100/A y t ml g ml μ=，从而得此时1498256.1A g μ=同理可以求的孩子服用氨茶碱致命的最小剂量为996512.2g μ。而成人服用氨茶碱严重中毒与致命的最小剂量分别为996512.21993024.4g g μμ、。

7、对于节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液中药量的变化并作图。 解：由题可算得：

t=0:2:20

y=275*exp*t)+*exp*t) plot(t,y,'b:')

第二章

3、根据节中的流量数据(表2)和(2)式作插值的数值积分，按照连续模型考虑均流池的容量(用到微积分的极值条件)。

解：可以将表2中的数据建立散点图以及平均值，如下： h=0:1:23 ，

y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,] x1=0::23; t=sum(y)/24; plot(h,y,'-',x1,t) hold on

02468101214161820

50100150200250300350

400

plot(h,y,x1,'b.')

0510152025

另一方面由(1)()()c t c t f t g +=+-，经过转化(1)()

()lim ()1

c t c t c t f t g +-'≈=-，从而

即可转为0

00()()(),()()t

t c t f x dx g t t f x f t t =

--⎰

是的插值函数，是某个初始时刻。又

因为要求出均流池的最大容量max ()c t ，就要令()=0c t '，即().f t g =从中求出时间t 的值，

再去求max ()c t 。从书中可知23

31

1()203.67/24t g f t m h ===∑，又有散点图中可知存在两个时间点12(8,9),(2223)t t ∈∈，

使得().f t g =接下来我们来求出这两个时间12,t t ，不妨在时间段(89)(2223)，、

，做插值并求出12,t t 即可求得128.45,22.208.t h t h ≈≈于是()c t 在1t 时刻或者2t 时刻达到最大值，显然不可能在1t 时刻。事实上，在1t 之前()f t 均小于g 所以()c t 不可能达到最大值，故只能在222.208t h ≈达到最大值。利用插值后的数值以及以直代曲的方法来求积分

()t

t f x dx ⎰

，从而可以利用数学软件MATLAB 求得最大值(代码见附录4)为

3917.08m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.4m 来设计均流池。

数模作业（第二章插值法）

P56

3、题目：根据节中的流量数据（表2）和（2）式作插值和数值积分，按照连续模型考虑考虑均流池的容量（用到微积分的极值条件）。

时间/h01234567

流量/

时间/h89101112131415

流量/

时间/h1617181920212223

流量/

分析：我们已知的只有数据的散点。通过已学知识，用matlab画图，画出散点所形成的曲线。

建立matlab文件e。m文件，输入的代码为：

h=0:1:23

y=[,,,,,,,,,,,,,,,279,,,,,,,,]

x1=0::23;

t=sum(y)/24;

plot(h,y,'*-',x1,t)

hold on

plot(h,y,x1,'r+')

在matlab工作区间运行结果为：

现用插值进行运算：

在matlab 中建立M 文件 x = 0:23;

y = [ 261 279 ]; h = 0::23;

t = interp1(x, y, h, 'spline') %一维插值

利用插值后的数值来求积分

()t

t f x dx

⎰，从而利用如下MATLAB 代码求得最大值为

3917.0773m .若要考虑25%的裕量，可按照31146.346625m 来设计均流池。

在matlab 中建立M 文件

clear; a = ; x = 0:23;

y = [ 261 279 ]; h = 0::23;

t = interp1(x, y, h, 'spline'); %一维插值 t1 = t(2:22209);

m = * (sum(t1)') - * ; Max = m + a %容量

数模作业（第四章）

1、（1）解：根据题意及表格信息，可列出下列关系试。 设投资证券A ，B,C,D,E 的证券的金额分别为

54321,,,,x x x x x ，则：

⎪⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪⎪⎨

⎧≥≤++++≤+++++++≤++++++≥++++++=0,,,,1052341594

.15224045.0022.0025.0027.0043.0max 543215432143215

43214321532143254321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x z （1）