数学建模-生物种群模型概述
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为内禀增长率。
N (t) N (t0 )er (tt0 )
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN r(1 N )N K 表示该种群的最大容纳量。
dt
K
K
N (t)
1
K N (t0 ) N (t0 )
er (t t0 )
2021/3/24
3） 一般的种群模型
dN Nf (N ) dt
4) 开发了的单种群模型
C） B） A）
2021/3/24
说明下列微分方程组的生态意义
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )
A） B） C）
4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1 2
5）种群 1 与种群 2 互惠共存： 1 2
2021/3/24
如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系， 则三者关系有三种： 两个食饵种群，一个捕食者种群。 一个食饵种群，两个捕食者种群。 捕食链。
C
C
A
BA
B CBA
2021/3/24
下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两 种群间的影响都是线性的，建立其相互作用 的数学模型（Volterra模型）
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
B
A） C
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
r1
f1(x)
g1( y)
dy
ydt
r2
f2 (x)
g2 ( y)
线性化，得
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x
a22 y)
2021/3/24
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x a22 y)
1) a10 (a20 ) 表示甲（乙）种群的自然生长率； 2) a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为非密度制约，
a33x3 )
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2
a23 x3 )
2021/3/24
（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B ， C 。
dx1
dt
x1 (a10
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
A
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )（
B
C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
C
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3（)
A
B）
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
相互竞争、相互依存、弱肉强食。 三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。
这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2021/3/24
记三个种群分别为 1 2 3 并约定
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1
2
2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1
生物种群模型
2021/3/24
生物种群模型
简介 种群(Population)：是指在特定时间里占据 一定空间的同一物种的有机体集合。 种群生态学： 主要研究种群的时间动态及调节机理。 种群分为单种群和多种群。
2021/3/24
1 单种群的数学模型：
1)马尔萨斯(Malthus)模型
dN rN N 表示 t 时刻的种群数量，r 称 dt
wenku.baidu.com
dN Nf (N ) h dt
具有常数收获率
dN Nf (N ) h(t) dt
具有时变收获率
2021/3/24
2 两种群的一般模型
两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种 情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。 设甲、乙两种群在 t 时刻的数量为 x(t), y(t) ，则
dx xdt
（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x1(t), x2 (t), x3 (t) 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互 竞争。图示如下：
2021/3/24
a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为密度制约； 3) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互竞争； 4) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互依存； 5) a12a21 0 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。
2021/3/24
3 三种群的一般模型 三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但 建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中 每两个种群之间的关系仍可归结为：
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
2021/3/24
（3）捕食链：A是B的食饵， B是C的食饵。
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a32 x2
a33 x3 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
N (t) N (t0 )er (tt0 )
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN r(1 N )N K 表示该种群的最大容纳量。
dt
K
K
N (t)
1
K N (t0 ) N (t0 )
er (t t0 )
2021/3/24
3） 一般的种群模型
dN Nf (N ) dt
4) 开发了的单种群模型
C） B） A）
2021/3/24
说明下列微分方程组的生态意义
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )
A） B） C）
4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1 2
5）种群 1 与种群 2 互惠共存： 1 2
2021/3/24
如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系， 则三者关系有三种： 两个食饵种群，一个捕食者种群。 一个食饵种群，两个捕食者种群。 捕食链。
C
C
A
BA
B CBA
2021/3/24
下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两 种群间的影响都是线性的，建立其相互作用 的数学模型（Volterra模型）
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
B
A） C
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
r1
f1(x)
g1( y)
dy
ydt
r2
f2 (x)
g2 ( y)
线性化，得
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x
a22 y)
2021/3/24
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x a22 y)
1) a10 (a20 ) 表示甲（乙）种群的自然生长率； 2) a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为非密度制约，
a33x3 )
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2
a23 x3 )
2021/3/24
（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B ， C 。
dx1
dt
x1 (a10
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
A
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )（
B
C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
C
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3（)
A
B）
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
相互竞争、相互依存、弱肉强食。 三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。
这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2021/3/24
记三个种群分别为 1 2 3 并约定
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1
2
2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1
生物种群模型
2021/3/24
生物种群模型
简介 种群(Population)：是指在特定时间里占据 一定空间的同一物种的有机体集合。 种群生态学： 主要研究种群的时间动态及调节机理。 种群分为单种群和多种群。
2021/3/24
1 单种群的数学模型：
1)马尔萨斯(Malthus)模型
dN rN N 表示 t 时刻的种群数量，r 称 dt
wenku.baidu.com
dN Nf (N ) h dt
具有常数收获率
dN Nf (N ) h(t) dt
具有时变收获率
2021/3/24
2 两种群的一般模型
两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种 情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。 设甲、乙两种群在 t 时刻的数量为 x(t), y(t) ，则
dx xdt
（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x1(t), x2 (t), x3 (t) 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互 竞争。图示如下：
2021/3/24
a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为密度制约； 3) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互竞争； 4) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互依存； 5) a12a21 0 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。
2021/3/24
3 三种群的一般模型 三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但 建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中 每两个种群之间的关系仍可归结为：
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
2021/3/24
（3）捕食链：A是B的食饵， B是C的食饵。
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a32 x2
a33 x3 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3