数学建模-生物种群模型概述
种群问题模型
(P2，M) M (M, ) + +
许可证的数量要小于
P t m
考虑到不可控因素数量为
P t P2 或许更好。
17
4.2.2.受年龄性别影响的种群模型
例2．人口增长的年龄结构模型
1.问题的提出 根据资料建立描述人口增长的模型，并对每 一个时间段和每一个年龄组，计算出相应的 总人口数（计算年限为19个5年的时间段）
P 0, P m, P M , P 1
mM mM , P2 , m 2 M 2 mM 3 3
m2 M 2 2mM mM , m2 M 2 mM 0 0
1 m M m M mM P 0 1 3 mM m M P M 1 1 P m 1 m mM M M m P2 1 M 1 P2 m, 1 1 m 3 m m2 mm M P2 1 m 1 P2 M 1 1 2 M M 3 M
dY F (Y ) dt T Y (t ) y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) 式中的向量值函数
F (Y ) f1 (Y ), f 2 (Y ),, f n (Y )
与自治微分方程类似，称使方程组 F (Y ) 0 的
* * * * T 解Y y1 , y2 ,, yn 为系统
第4章 种群问题模型
• 种群问题是指种群在数量或密度上随时间 的变化问题，有单物种种群和多物种种群 问题之分。 • Malthus模型和Logistic模型就是在历史上很 有名的研究人口增长的单种群数学模型的 案例，种群数学模型对种群生态学的发展 起到了难以估计的作用。
数学建模生物种群模型(课件资料)
THANKS
感谢观看
06
生物种群模型的实践应用与案例分析
生物种群模型是数学建模的一个重要分支，用于描述生物种群随时间变化的规律和预测未来发展趋势。
实践应用中，生物种群模型可以帮助我们理解种群动态，预测种群数量变化，制定合理的资源利用和保护策略。
生物种群模型的应用范围广泛，包括野生动物、农作物、微生物等多种生物类型。
详细描述
Verhulst模型是在Logistic模型的基础上引入了一个额外的项，以考虑种群增长过程中的饱和效应。这个模型可以更好地描述种群数量的变化趋势，特别是在种群数量接近
总结词
Malthus模型假设种群增长是无限的，没有考虑到资源限制对种群增长的影响。该模型通过一个简单的微分方程描述种群数量的指数增长，但与实际情况相比，预测结果往往过于乐观。
详细描述
VS
描述种群数量变化趋势更为准确的模型
详细描述
Gompertz模型是一个改进的种群增长模型，它考虑了种群增长初期的缓慢和后期的加速增长趋势。该模型通过一个非线性的微分方程来描述种群数量的变化，可以更好地拟合实际数据，并给出更为准确的预测结果。
总结词
03
数学建模在生物种群模型中的应用
03
风险决策分析
根据决策者对不同方案的主观偏好和效用函数，选择最优方案。
效用决策分析
在多个目标之间进行权衡和取舍，选择最优方案。
多目标决策分析
通过时间序列分析，预测某种群在未来一段时间内的数量变化趋势。
种群数量预测
根据种群数量变化趋势，制定合理的资源分配方案，以实现种群数量的有效控制和管理。
数学建模生物种群模型
( t) c e c te x 11 12 y t t 1 1 t) c e c te ( 21 22
2019/2/27
t 1
t 1
p ( a d ), q ad bc
2 p p 4 q 1 ,2 2
f ( x0 , y0 ) 0 g( x0 , y0 ) 0
记为
P 0 (x 0, y 0)
2019/2/27
稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的 解 (x 从这个邻域内的某一初值 (x (t),y (t)) ( 0 ),y ( 0 ))
出发，满足
lim x ( t ) x , lim y ( t ) y 0 0
的数学模型（Volterra模型）
（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。
( t ),x ( t ), x ( t ) 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x 1 2 3
假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互
N 表示 t 时刻的种群数量，r 称
为内禀增长率。
r ( t t ) 0
N ( t ) N ( t ) e 0
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN N r( 1 )N K表示该种群的最大容纳量。 dt K K N ( t) K N ( t) r ( t t) 1 N e ( t)
x ,y ), g ( x ,y ) ， 在平面区 假定方程组(1)的右端函数 f( 域 G 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点 有唯一的轨线。
2019/2/27
生物数学模型第6讲 生物系统论-生物种群模型
det A 0
系统（2）有唯一的平衡点（0，0）。
2018/10/10
记组(2)的系数矩阵构成的特征方程为：
a b D( ) 2 p q 0 c d (3)
其中 p (a d ), q ad bc
相互竞争、相互依存、弱肉强食。
三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。 这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2018/10/10
记三个种群分别为
1
2
3
并约定 2
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1 2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1 4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1
假定方程组(1)的右端函数 f ( x, y), g ( x, y) ， 在平面区 域 G 满足解的存在唯一的条件，则过相平面中任一点 有唯一的轨线。
2018/10/10
平衡点 （Equilibrium） ：使得 f 2 ( x0 , y0 ) g 2 ( x0 , y0 ) 0 的点 ( x0 , y0 ) 为组(1)的平衡点，否则称为常点。 即 平衡点满足
C） B） A）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2018/10/10
说明下列微分方程组的生态意义
dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
种群生态数学模型 环境生态学课件
x(2010)=306.0
种群的相互竞争
• 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量。
• 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程， 分析产生这种结局的条件。
模型假设 • 有甲乙两个种群，它们独自生存
时数量变化均服从Logistic规律;
S1 : x1 0, x2 0 S2 : x1 0, x2 0 S3 : x1 0, x2 0
t x1, x2 t x1 , x2 t x1, x2
0
从任意点出发(t=0)的相轨
S1
•P1
线都趋向P1(N1,0) (t)
0
N1 / 2
N1 x1
P1(N1,0)是稳定平衡点
平衡点稳 定性的相 轨线分析
x1 (t )
r1 x1 1
x 1
N 1
1
x 2
N 2
x2 (t)
r2 x2 1 2
x1 N
1
x2 N
2
(x1,
x2 )
1
x1 N1
1
x2 N2
(x , x ) 1 x1 x2
12
N 2 1
N2
(1) 2>1, 1<1
x2 S3
N /
2
1
0
N2 S2
S1 : 0, 0
x 2
A
N 2
(2)
0
1>1,
2>1
有相轨线趋向A 有相轨线趋向B
A, B都不 (局部)稳定
N /
2
1
• P3
P1稳定的条件：直接法2>1
0
高中二年级下学期生物《种群“S”形增长的数学建模》模教学设计
种群“S”形增长的数学建模课题种群“S”形增长的数学建模教学目标 1.能阐述“S”形曲线形成的条件。
2. 能准确阐述环境容纳量的定义。
3. 能将K值和K/2值运用到生产生活当中。
教学重点 1. “S”形曲线形成的条件。
2. K值和K/2值的应用。
教学难点 1. “S”形曲线形成的条件。
教学方法利用课件通过举例分析实例构建“S”形曲线形成的原因及条件。
学法指导讲练结合、注重现象与本质的联系和推导教具（资料）多媒体课件板书设计一、“S”形曲线1.定义2.条件二、环境容纳量1.定义2.应用作业教学后记教学过程组织教学：引言：通过前面的学习，我们已经知道了在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有天敌和其他竞争物种等理想条件下，种群的数量每年将以一定的倍数增长，可是自然状态下，并不会呈现这样的理想条件。
那么在实际情况下，种群的数量又将怎么变化呢？这就是今天将要学习的内容。
新课：生态学家高斯曾经做过单独培养大草履虫的实验，在0.5ml培养液中放入5个大草履虫，每隔24h统计一次大草履虫的数量，将数据绘制成表格，同时为了更好的反映出在这段时间内种群数量增长的差异，可以将数据绘制成柱形图，而为了更好的反映出未来的一段时间内种群数量变化的趋势，将数据绘制成曲线图。
在第4天之前，种群的数量是一直增加的，在第5天左右，种群数量基本维持稳定。
像这样，种群经过一定时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线呈“S”形。
这种类型的种群增长称为“S”形增长。
结合前面学过的知识，种群的数量在增加，意味着出生率大于死亡率。
而随着种群数量越来越多，食物和空间的竞争趋于剧烈，导致出生率降低死亡率升高。
当死亡率升高至与出生率相等时。
种群的增长就会停止，有时会稳定在一定的水平。
其实刚刚的过程也是符合数学模型构建的过程的。
复习一下之前学过的步骤。
第一步观察研究对象，提出问题，第二步提出合理的假设，第三步根据实验数据，用适当的数学形式对事物的性质进行表达，即建立数学模型，第四步通过进一步实验或观察等，对模型进行检验或修正。
第1讲生物数学建模简介.ppt
P (r, t) p(r,
t p(r,0) p0 (r)
t)
p(0, t) f (t)
p(rm , t) 0
→难!
模型求解
– 若假设 (r,t)=(r)
p(r, t )
p0 (r
r
t
)e
r
1
(
s
)
ds
,0
r
t
r
f (t r)e0 (s)ds , t r
➢ 模型分析(略)
r
p0
(r
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
不符合实际
符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
三、数学模型的分类
应用领域： 人口、生理、经济、生态 …
初等模型、几何模型、优化模型、微分方程
数学方法： 模型、图论模型、逻辑模型、统计模型等
表现特性： 确定和随机
离散和连续
静态和动态 线性和非线性
建模目的： 描述、优化、预报、决策 … …
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万）
1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4
r=0.2557, xm=392.1
阻滞增长模型(Logistic模型)
数学建模生物种群问题
In [1] :=X=200.0; xs=75.0;x0=5.0;c=6.0. Alpha=0.5;beta= 1.0.gama= 1.5;
In [8] :=temp=gama*X/(X-xs)- (c*alpha+beta). Result=If[temp<0,X/alpha*Log [(c*alpha+beta)*(Xx0)/(gama*X)],X/alpha*Log [(X-x0)/(X-xs)]] Out[9] :=382.205
第九页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
■ 假设 ：
■ 1.本模型只对某一 品种猪进行讨论 ，故设计猪 的性质的有关 参数均可视为固定的常数。
■ 2. 由于开始进行商业性饲养时已具有一定体重 ，所以可以假设猪的
体重增长的速度将不断减慢 。设反映猪体重增长速度的参数为a。
■ 3. 由于猪的体重越大 ，单位时间消耗的饲养费用就越多 ，达
第十五页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
感谢大家观看
第十六页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
第十三页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日
■ 由C dx/dt=dy/dt，
■ 有C e- 1 /xt0 (1-x0/X)=2 - βe- α /Xt0 (1-x0/X)
■ 解得t0=X/α ln (Cα+ β)(X-x0)/γX
■ 现考虑如下两种情况：
■ (1) t0>ts， 即 γX/（X-xs ） <Cα+ β ■ 这时猪应在t*=t0=X/α ln (Cα + β)(X-x0)/ γ X时售出 ■ (2) t0<=ts ， 即 γX/（X-xs)>=Cα+ β ■ 这时猪应在t*=ts=X/ α ln (X-x0)/(X-xs)时售出（因为
生物学中的数学模型及其应用研究
生物学中的数学模型及其应用研究生物学中的数学模型是指用数学语言和方法，对生物学领域或生境中的生物系统或生物现象进行描述、分析和预测的模型。
生物学中的数学模型应用于从基础研究到应用研究等方面，在生物学的各个分支领域中均有着广泛的应用。
一、生物学中的数学模型种类与应用研究1.模拟模型模拟模型是生物学中的一种数学模型，通过对生物系统的相关数据进行建模和仿真，预测和模拟生物系统的动态行为和进化过程。
生物学中，一个生物群体的增长和演化都可以被建模和仿真。
生物系统的生长率和死亡率是影响生物群体增长的主要因素。
为了预测生物群体的状态，动态方程可以用来预测时间步骤中的生物增长和死亡情况，给出一个群体的数量 vs 时间的曲线，以便了解生物群体增长和演化的情况。
2.计算模型计算模型是一种应用于生物学中的数学技术，用于研究物种之间的互动、动物行为、疾病影响等方面。
利用概率、统计学和计算机科学等技术，实现对生物进化和演化的模拟和计算。
例如：利用计算模型，研究治疗和药物治疗的效果，或者研究物种之间的交叉适应。
3.动力学模型动力学模型是生物学领域中另一个流行的模型，以研究复杂系统中的各种过程如生物进化和群体行为为目的。
动力学模型通过建立一系列方程来描述数量、时间、速度、能量等物理量的变化，模拟物种群体数量的变化过程以及物种间的相互作用，并预测物种数量的趋势和变化规律。
二、生物学中的数学模型在应对生物问题中的作用生物学中的数学模型在研究生物问题中发挥着重要的作用，它为生物学家提供了一种比较直观、全面可信的分析工具，促进了对生物系统和生态系统行为的理解。
通过使用数学模型研究生态系统的相互关系和动力学，可以了解自然界中不同物种之间的交互作用和它们对生物多样性的影响。
此外，生物学中的数学模型还有以下应用：1.预测疾病流行趋势许多生物病原体的流行趋势与时间相关。
因此，通过使用预测模型，可以预测人口密度、食品供应、气候等影响疫情的因素，从而促进公共卫生策略的制定并有效地应对流行病爆发。
数学建模 种群模型
(9)
数学建模
种群模型
15
近似方程 (9) 的一般解为：
p(t ) C e
于是有下述结论：
若
F ( p )t
p
F ( p ) 0 ，则p*
是稳定平衡点。
若
F ( p ) 0 ，则p* 不是稳定平衡点。
数学建模
种群模型
16
回到我们的问题，由于 F ( p0 ) k r F ( p1 ) r k
dh 2k r N 1 0 km dk r 2
数学建模
种群模型
19
对应的
r 1 rN hm N 1 2 2 4
N pm 2
结论
控制捕捞强度k = r/2 ，使渔场产量pm保持在
最大鱼量N 的一半时，可以获得最大的持续产 量hm = rN / 4。
1r2 a11 0 a12 2
a21
2
特征方程为
r 1r 2 0
此时，两个特征根是共轭复数，实部为0，故无法直 接判断平衡点稳定性。 为分析解的渐进行为，一种变通方法是到相空 间中去分析解轨迹的图形。在（14）、（15）中消 去dt ，得：
数学建模 种群模型 33
dx1 x1 (r1 1 x2 ) dx2 x2 (r2 2 x1 )
数学建模 种群模型 27
年份
1914 1915 1916 1917 21.4 22.1 21.2
1918 36.4
1919 27.3
1920 16.0
1921 15.9
1922 14.8
鲨鱼比例 11.9
他无法解释这种现象，于是求助于著名意大利数学 家V.Volterra，希望他能帮助建立一个P—P系统的数 学模型，来解释这种现象。 模型建立（Volterra模型）
[数学]生物种群模型
![[数学]生物种群模型](https://img.taocdn.com/s3/m/1839e43a4b35eefdc9d33302.png)
F ( x0 ) 0 x0稳定(对(2), (1)) F ( x0 ) 0 x0不稳定(对(2), (1))
二、二阶方程的平衡点和稳定性
x1 ' (t ) f ( x1 , x2 ) x2 ' (t ) g ( x1 , x2 ) (2)
平 x1 x10 称为方程（2）的平 f ( x1 , x2 ) 0 衡 方程组 的实根 0 0 0 p ( x , x 衡点记为 g ( x , x ) 0 0 1 2) 1 2 x2 x2 点 稳 如果从所有可能的初始条件出发，方程（2）的解 0 定 x1 (t ), x2 (t ) 都满足 lim x1 (t ) x10 , lim x2 (t ) x2 t t 点 则称平衡点p 是稳定的；否则称平衡点是不稳定的 0 线性常 x1 ' (t ) a1 x1 a 2 x2 系数方 a1 a 2 A 程稳定 x ' ( t ) b x b x 1 1 2 2 2 b b 2 1 性判别 方法
• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润
R T S pEx cE
E R( E ) T ( E ) S ( E ) pNE(1 ) cE r r c r E ( 1 ) E* 求E使R(E)最大 R 2 pN 2 2 rN c 渔场 x N (1 E R ) N c hR (1 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r
平衡点p0(0,0)的系数矩阵A的特征值1，2的性质所决定
设 p (a1 b2 ),
q detA 0
高考生物预测种群数量变化模型知识归纳总结
种群数量变化模型知识归纳总结一、J 型曲线：（1）形成条件：食物和空间条件充裕、气候适宜、无天敌、无病疾等理想条件。
即不存在自然选择。
○1不存在生物个体因生活改变而发生的生存斗争，无种内斗争和种间斗争，如无捕食和竞争等。
○2影响种群数量变化因素只有出生率和死亡率。
○3出生率远大于死亡率，种群数量持续增加，无K 值。
（2）种群数量增长公式：设0N 为种群的起始数量，每年种群增长率不变，且次年均是前一年的λ倍。
则第t 年种群数量为：0t t N N λ= （注：λ不表示种群增长率） 种群增长率＝1000001N N N N N N λλ--==- (1)λ> （3）J 型曲线特点：○1种群数量呈指数增长。
○2种群增长率不变，与密度大小无关。
（4）种群增长率变化：J 型曲线的种群增长率不随时间变化而变化，是一个定植为1λ-。
种群增 长 率时间（5）J 型增长的两种情况：a. 实验室条件下，当一种细菌接种于适宜培养基中，在细菌增长的开始阶段，由于条件适宜，细菌增殖可看作J 型增长。
b. 自然环境中，当一个种群刚刚迁入一个适宜环境，如外来物种入侵，由于条件适宜，没有天敌，该种群增长可看作J 型增长，二、S 型曲线：（1）曲线形成条件：食物和空间资源有限。
在资源有限的环境中，随着种群密度上升，各个体间因为食物、空 间引起的种内斗争加剧，种群增长率随时间不断发生变化。
（2）K 值理解：○1K ：表示环境最大容量；可以认为是种群中生物数量的最大值，此时 种群不再扩大，种群不会增长。
○22K ：此时曲线斜率最大，种群增长率最大，种群数量恢复到K 值所需时间最短。
○3小于K/2：种群密度过低，很容易因为无法交配而种群灭绝，需要很长时间才能恢复到K 值。
（3）种群增长率变化 ：0−−−−→逐渐增加最大（种群数量为K/2时种群增长率大到最大值）−−−−−−−−−逐渐下降种群密度增长，种内斗争加剧0种群增 长 率0 （K/2） （K ） 时间（4）应用：○1在实际环境中，种群增长一般都呈“S”型曲线，但生物迁入一个新的环境后，一定时期内可看作“J”型曲线。
《生物种群模型》课件
蒙特卡罗模型
使用随机抽样和模拟 的方法来模拟种群的 动态演化。
神经网络模型
使用人工神经网络来 模拟种群的行为和互 动。
遗传算法模型
使用遗传算法来优化 种群的适应度和进化 过程。
生物种群模型的应用
生态系统管理
帮助管理者了解和预测生态系统的变化，优化 资源拟演化过程来研究物种的进化机制。
《生物种群模型》PPT课 件
这是一份关于生物种群模型的PPT课件，将介绍生物种群模型的定义、种类、 应用，以及生物种群模型的基本前提和常见的应用领域。
什么是生物种群模型
生物种群模型是研究生物种群数量、分布和动态演变的数学模型。他们可以帮助我们理解种群的增长、衰退和 相互作用。
生物种群模型的基本前提
物种保护和恢复计划
帮助制定保护和恢复濒危物种的计划和政策。
疾病传播预测
模拟疾病在人群中的传播过程，为疾病控制和 预防提供决策依据。
生物种群模型的局限性与挑战
1
模型简化对结果的影响
模型的简化假设可能导致结果的不准确
数据获取和处理的难度
2
性。
获得和处理种群相关的大量数据是一个
挑战。
3
生态系统的复杂性和不确定性
1 独立个体假设
模型假设每个个体的行为和生存都是独立的，不受其他个体的影响。
2 独立复制假设
模型假设每个个体的繁殖都是独立的，没有基因流失或突变。
3 存在选择、突变和迁移的影响
模型考虑了选择、突变和迁移等因素对种群的影响。
常见的生物种群模型
马尔科夫模型
基于概率转移矩阵的 模型，用于描述状态 之间的转移概率。
生态系统的复杂性和不确定性使模型的
不完全理解和不可预测的影响因
生物群体(两物种群体系统) 数学建模课件
S4 O
S2 φ＝0
N1/ σ2
N1 P2 x1
轨线总会进入S1区 域或S2区域
结论2：σ1 >1 ，σ2 >1 时局稳定的，仅为局部稳定。
参数 σ1 <1 以及 σ2 >1时,分析（x1(t),x2(t)）轨线趋向。
x2
N2/σ1
N2 P3
S1: φ<0, ψ>0, x 10,x 20
轨线往区域的左上方运动，P3为局部稳定点。
N2 xP23
ψ＝0
S2: φ>0, ψ<0, x 10,x 20 轨线往区域的右下方运动，P2为局部稳定点。
N2/σ S1
1
S3
P4
S3: φ<0, ψ<0, S4: φ>0, ψ>0,
x 10,x 20 轨线总会进入S1区 域或S2区域
数学建模与模拟
讨论平衡点 P4 的稳定性 P41 111 2N1,1 1 1 2 2N2
平衡点 P4 只有在第一象限内方有实际意义，为此 应有σi(i=1,2)同时大于“1”或同时小于“1”。
采用类似的分析，可以得到当 σi(i=1,2)同大于 “1”时，平衡点 P4 为一鞍点，是不稳定的；当 σi(i=1,2) 同小于“1”时，平衡点 P4 为一稳定的结 点。
种群增长方程组化简得
x x 1 2 r r2 1x x 1 2( (1 1 x 1 2/N x 1 1/ N 1 1 x x 2 2//N N 2 2)) （4.1）
数学建模与模拟
注
在两个种群的相互竞争中，参数σi(i=1,2)是关键的 指标。 一般来说， σ1和σ2没有确定的关系，但是可以把 这样一种特殊情况作为较常见的一类实际情况的 典型代表，即：两个种群在消耗资源中对A增长的 阻滞作用与对B的阻滞作用相同。
数学建模生物种群模型
y种群以外的自然资源时， a1； 而0 x种群仅以y种群
的生物为食时， 。a1 0 反映b1x的,c是2 y各种群内部的密
度制约因素，即种内竞争，故
。b1 0,c2 0
b2,的c1 正负要根据这两种群之间相互作用的形 式而定，一般分为以下三种情况。
1.相互竞争型：两种群或者互相残杀，或者竞争同
y(r2
2 x)
1,2, r1, r2 0
模型分析
平衡点
O(0,0),
R( r2 , r1 )
2 1
按照判断平衡点稳定性的方法，发现不能判 断平衡点R是否稳定，下面用分析相轨线的方法 来解决这个问题。
相轨线
dy y(r2 2x) dx x(r1 1 y)
积分得 r2 ln x 2x r1 ln y 1y c1
r1 x(1
x k1
1
y k2
)
dy dt
r2 y(1
2
x k1
y k2
)
四、三种群模型
三种群相互作用的情况要比二种群作用的情况 复杂，但建立模型的规律基本上相同，既要考虑 种内的增长，也要考虑种间的相互作用。建立模 型时，考虑各种群的相对增长率，然后假设线性 的相互作用关系，就可得三种群相互作用的伏特 拉模型。设x（t）、y（t）、z（t）分别表示t时 刻三种群的数量，则一般形式的伏特拉模型
y k2
)
dy dt
r2
y(1 2
x k1
y k2
)
稳定性分析：
由微分方程的稳定性理论，方程组的平衡点
r1 x(1
x k1
1
y k2
)
0
r2
y(1
2
x k1
生物系统的数学模型
生物系统的数学模型
生物系统的数学模型是指利用数学方法和模型来描述生物系统的运作和行为规律。
生物系统包括生物个体、群体、生态系统等多个层次，数学模型可以分为定量模型和定性模型两种类型。
定量模型是基于数学方程和统计方法来描述生物系统的运作规律和参数变化。
例如，生物个体的生长模型可以使用差分方程或微分方程来表示，种群动态模型可以使用Lotka-Volterra模型或行为规则模型来描述。
定性模型则是基于生物学知识和图形理论来描述生物系统的结构和行为规律。
例如，食物链、生态位等概念可以用生态图或关系图来表示。
生物系统的数学模型在生态学、生物医学、生物工程等领域有广泛的应用。
通过建立合理的数学模型，可以预测生物系统的响应和变化，优化生物系统的设计和管理，推动生物科学的发展。
- 1 -。
种群生态学模型
设种群甲可以独立存在，按 Logistic 规律 增长，种群乙为甲提供食物，有助于甲的增长 。类似于竞争模型中的第一个方程，种群甲的 数量演变规律可以写作
dN1 dt
r1N11K N11 1 K N22
其中 r1、N1、N2 的意义同前。1 前面由“”
变成“+”，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲 提供资源。
这个初值问题称为有限资源环境中单个种群增长的
Logistic 模型。
11
需要注意的是：
① 显然，当 K 时 Logistic 模型退化为 Malthus 模型。
② r 仍表示种群的内禀增长率。 ③ K 为种群在特定环境内的饱和水平，生态 学上也称之为环境对这个种群的承载力。
使用分离变量法，不难求得Logistic模型的解 析解为
D ( x ,t) u ( x ) u ( x ,t)或 u u ( x ) u ( x ,t) x t
19
因为新生儿是 0 岁的个体，因此有边界条件
u(0,t)(x)u(x,t)dx 0
（0 意味着所有年龄的个体都有
生育能力，生育率为 (x)）
此外，还有初始条件 u(x, 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = u0(x)
致的对它本身增长的阻滞作用，N1/K1 可解释为：
相对于 K1 而言，单位数量的甲消耗的供养甲的资
源（设资源总量为 1）。
23
由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产 生影响，可以合理地在因子 1N1/K1 中再减去 一项，该项及种群乙的数量 N2（相对于 K2 而 言）成正比。于是，当两个种群在同一自然环 境中生存时，种群甲增长的方程为
K N(t)1Cer(tt0) ,
C K N0 N0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4）种群 1 与种群 2 相互竞争： 1 2
5）种群 1 与种群 2 互惠共存： 1 2
2021/3/24
如，设A，B，C三种群为捕食与被捕食关系， 则三者关系有三种： 两个食饵种群，一个捕食者种群。 一个食饵种群，两个捕食者种群。 捕食链。
C
C
A
BA
B CBA
2021/3/24
下面对于食饵种群增长是线性密度制约，两 种群间的影响都是线性的，建立其相互作用 的数学模型（Volterra模型）
（1）两个食饵种群A，B，一个捕食者种群C 。 设 A，B，C t 时刻的密度分别为 x1(t), x2 (t), x3 (t) 假设：C 种群主要以A，B种群为食饵， A，B不 存在时，C 要逐渐绝灭，C 不是密度制约的； A， B种群不靠本系统为生，它们为密度制约且相互 竞争。图示如下：
2021/3/24
a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为密度制约； 3) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互竞争； 4) a12 0, a21 0 表示甲、乙种群相互依存； 5) a12a21 0 表示甲、乙种群为弱肉强食（捕食与被捕食）。
2021/3/24
3 三种群的一般模型 三种群相互之间的作用要比两种群更复杂，但 建立模型的思想和方法是相同的。在三种群中 每两个种群之间的关系仍可归结为：
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
2021/3/24
（2）一个食饵种群A，两个捕食者种群B ， C 。
dx1
dt
x1 (a10
a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
A
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )（
B
C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
生物种群模型
2021/3/24
生物种群模型
简介 种群(Population)：是指在特定时间里占据 一定空间的同一物种的有机体集合。 种群生态学： 主要研究种群的时间动态及调节机理。 种群分为单种群和多种群。
2021/3/24
1 单种群的数学模型：
1)马尔萨斯(Malthus)模型
dN rN N 表示 t 时刻的种群数量，r 称 dt
a33x3 )
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
2021/3/24
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2
a23 x3 )
为内禀增长率。
N (t) N (t0 )er (tt0 )
2) 罗杰斯特(Logistic)模型
dN r(1 N )N K 表示该种群的最大容纳量。
dt
K
K
N (t)
1
K N (t0 ) N (t0 )
er (t t0 )
2021/3/24
3） 一般的种群模型
dN Nf (N ) dt
4) 开发了的单种群模型
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
C
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3（)
A
B）
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
相互竞争、相互依存、弱肉强食。 三种群两两关系不同的组合就得到种类繁多的 数学模型。
这些模型用方程组表示，或用图形表示。
2021/3/24
记三个种群分别为 1 2 3 并约定
1）种群 1 供食于种群 2 表示为 1
2
2）种群 1 为密度制约可表示为 1 ）
3）种群 1 不主要靠吃本系统（1，2，3个种群组 成的系统）为生， 1
C） B） A）
2021/3/24
说明下列微分方程组的生态意义
dx1
dt
x1 (a10
a11x1 a12 x2
a13x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2
a33x3 )
A） B） C）
2021/3/24
（3）捕食链：A是B的食饵， B是C的食饵。
dx1
dt
x1 (a10
a11x1
a12 x2 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a22 x2 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a32 x2
a33 x3 )
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
r1
f1(x)
g1( y)
dy
ydt
r2
f2 (x)
g2 ( y)
线性化，得
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x
a22 y)
2021/3/24
dx dt
x(a10
a11 x
a12 y)
dy
dt
y(a20
a21 x a22 y)
1) a10 (a20 ) 表示甲（乙）种群的自然生长率； 2) a11 0, a22 0 表示甲（乙）种群为非密度制约，
2021/3/24
dx1
dt
x1 (0
a11x1 a12 x2
a13 x3 )
dx2 dt
x2 (a20 a21x1 a23 x3 )
dx3 dt
x3 (a30
a31x1 a32 x2 )
B
A） C
aij 0, i, j 1,2,3; ai0 0, i 1,2,3
dN Nf (N ) h dt
具有常数收获率
dN Nf (N ) h(t) dt
具有时变收获率
2021/3/24
2 两种群的一般模型
两种群生活在同一自然环境下，存在下面三种 情形，相互竞争、相互依存、弱肉强食。 设甲、乙两种群在 t 时刻的数量为 x(t), y(t) ，则
dx xdt