二次量子化方法

对于
•
•
3 i 1
( xi
)
(
xi )
•
t
3 i 1
( xi
)
xi
将上式带入动力学方程可得
S t2 dt t1
dx
t
•
3 i 1
xi
(
( xi
)
)
0
由于 任意，所以上式可得出
3
t
•
i1
xi
( (
)0 xi )
我们引入广义坐标相联系的广义动量
本证函数集
a (x) k (x)
1 eik x
利用的正交归一性 a (x) (x)dx
可得算符展开式是逆变换关系
a (x) (x, t)dx ba (t)
a (x) (x, t)dx ba (t)
利用变换关系和算符对易关系得出
ba (t ), b (t ) 0
ba
(t
)
,
b
V dx (x)x (x)
b a
b
V
其中矩阵元
V
dx
(
x)V
(
x)
动力学方程
二次量子化中的力学量是通过场算符来构造的，如果一次量子化中采用薛定谔绘景， 那么二次量子化采用海森堡绘景
F t
1
i
F
(t
),
H
以算符是运动方 程为例
(x,t)
t
1
i
( x, t ),
H
(t)
量子场的哈密顿算符 H (t) dx (t)H (x) (t)
( x, t )
•
•
场的哈密顿密度 (x, , t)
总的哈密顿量
系统的动力学 方程
H dx
•
•
•
3 i 1
xi
( (
xi
) )
薛定谔波场的量子化
薛定谔方程
2
2
(x, t)
V
•
(x, t)
(x, t)
•
i
(x, t)
2u
为经典场的波动方程，但它是一个复数场，所以又存在
2
2
V
•
i
0
2u
找到拉式密度，得出相应的正则动量和哈密顿量
正则动量 哈密顿密度
(x,t)
•
i
(
x,
t
)
0
•
2
V
2u
总哈密顿量
H dx dx ( 2 2 V )
2u
薛定谔波场的量子化
采用正则量子化的方法对薛定谔波场进行量子化 其中要求广义坐标和正则动量满足下面对易关系
海森堡动力学方程化简为
i
( x, t )
H (x)
( x, t )
t
i
(
x)
坐标算符
二次量子化中的算符是由量子力学中的坐标算符平均值转换而来
x dx (x)x (x,)
粒子数表象
x
b a
b
x
其中x
dx
(
x)
x
(
x,
)
计算只有一个态指标i的坐标期望 b 0
a
x
0
bi
b a
b
bi
0
x
xii
dx
i
(
x)
x
i
(
x)
和量子力学中结果相同
外场中粒子化波场中的势能算符
场的量子化方法
使力学量变成算符的量子化手续称为一次量 子化，使波场量子化手续称为二次量子化。
场的拉氏形式和哈密顿形式
为了对波场采用量子化手续，需要建立场的场的拉氏 和哈密顿形式 。对于实数波场，我们通过广义速度， 和梯度，考虑到连续，我们引入拉格朗日密度
场的作用量
S t2 Ldt t2 dt
n (x)dx
b a
b
粒子数密度期望
假设 b 0 a
(x) (x) (x)
b a
b
(x)
0
b i
b a
b
b i
0
0 (i bi b )(i bi b ) 0
因为 0 b 0 和 b 0 0 化简上式
(x)
0
0
ii
(x)
ii (x)
i
(
x)
•
dx ( , , )
t1
t1
•
描写场的变换分为随时间变化的广义速度 (x, t) 和随空间变化的梯
度 (x, t) ，进而引入了拉格朗日密度
根据最小作用量原理，场的实际运动满足下列极值
.
S 0, ( (x,tt ) (x,tt ) 0)
场的动力学方程
S t2 dt dx t1
(t
)
0
ba
(t )
, b
(t
)
a
量子化波场的哈密顿算符公式
H
dx
( 2
2
V
)
2u
ba b
dx
( x)(
2
2u
2
V
)
(
x)
H ba b H
其中H
dx
(x)(
2
2u
2
V
)
(
x)
二次量子化中的力学量
一次量子化理论中概率密度和粒子数密度，以及所有力学量 的平均值都变成了算符，这种算符就是二次量子化中的力学量。
H
dx
(
2
2
V )

的算符性，所以是二次量子化
的算符。
转化到粒子数表象
为了引入粒子数表象，我们取了正交完全函数集，将场算符展开
( x, t ) ba (t )a ( x)
a
( x, t )
ba
(t
)
a
(
x)
a
a (x)可取一次量子化理论中一单粒子力学量算符的
概率密度和粒子数密度
(x) (x) (x) dx (x) (x x,) (x,)
二次量子化中它变成了算符
(x) (x) (x) dx (x) (x x,) (x,)
在粒子数表象中可表示为
(x)
b a
b
(x)
注： (x)
dxa
(
x)
(
x
x,
)
(
x,
)
a
(
x)
(
x,
)
总概率
( x, t),
(
x,
,
t
)
0
( x, t),
(
x
,
,
t
)
0
( x, t),
(
x
,
,
t
)
i
(x
x, )
利用正则动量公式
( x, t )
•
i
可将上面对易关系转换为
( x, t),
(
x
,
,
t
)
0
(
x,
t
),
(
x
,
,
t
)
0
( x, t),
(
x
,
,
t
)
(x
x, )
由于场量 已转换为算符，所以总的哈密顿量也变成了算符
其中H (x)=( 2 2 V（x,t）)
2u
将哈密顿算符带入运动方程中
i
t
dx,
(x,
t)
,
(x,
,
t
)H
(x,
)
(x,
,
t
)
dx, (x x, )H (x, ) (x, ,t)
将哈密顿算符代人运动方程
i (x,t)
t
dx,
(x
, t ),
(
x
,
,
t
)
H
(
x)
(
x,
,
t
)
dx, (x x, )H (x) (x,,t)
•
i
2u
这里将外势场视为实数场
拉氏密度
i 2 V
2u 拉氏密度需要将它代入拉式方程中得到上面的薛定谔方程
V
,
•
i V
•
i
,
0
2
2
,
( xi ) 2u xi ( xi ) 2u xi
对于
i
•
(
x,
t
)
2
2
(
x,
t
)
V
(
x,
t)
(
x,
t
)
0
2u
对于
2
2
V