量子力学试题教学内容

量子力学试题

量子力学试题（一）及答案

一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中

()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0

,0

中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212

1

31210,ϕϕϕψ+-=

状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。

（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；

（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为

()x

a

n a x n n ma E n n π

ϕπsin 2,3,2,1 ,222

2

2===

Λ

η

（1） 首先，将()0,x ψ归一化。由

12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 13

12=

c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113

31341360,ϕϕϕψ++-= 能量的取值几率为

()()()13

3 ;13

4 ;136321===

E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为

()()()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136,ηηηϕϕϕψ

（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱

()⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00

,0

.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2

V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。

解：对于02

<-

=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()⎪⎩⎪

⎨⎧-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03

21

其中， η

η

E m V E m k 2 ;)

(20=

+=

α

在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()

()()a a a a '3'

2

32ψψψψ==

得到

()()

a B ka Ak a B ka A ααα--=-=ex p cos ex p sin

于是有

α

k

ka -

=tan

此即能量满足的超越方程。

当02

1

V E -=时，由于

1tan 00

0-=-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛ηηηmV mV a mV

故

4

0π

π-

=n a mV η

，Λ,3,2,1=n

最后，得到势阱的宽度

0 41mV n a ηπ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=

三.（20分）设厄米特算符H

ˆ的本征矢为n ，{}n 构成正交归一完备系，定义一个算符

()n

m n m U ϕϕ=,ˆ （1）计算对易子()[]

n m U H

,ˆ,ˆ； （2）证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；

（3）计算迹(){}

n m U

,ˆTr ； （4）若算符A ˆ的矩阵元为n

m mn A A ϕϕˆ=，证明 ()n m U

A A n

m mn ,ˆˆ,∑= (){}

q p U A

A pq ,ˆˆTr +=

解：

（1）对于任意一个态矢ψ，有

()[](

)(

)()(

)()(

)ψψψψϕψϕϕψψψn m U

E E n m U E n m U E H H H n m U n m U H

n m U H

n m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=

故

()[]

()()n m U E E n m U H n

m ,ˆ,ˆ,ˆ-= （2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== （3）算符的迹为

(){}

(

)mn

m n k n k

m k

k

k

k n m U n m U δϕϕϕϕϕϕ

ϕ====∑∑,ˆ,ˆTr

（4）算符

()n m U

A A A A n

m mn n

n m n

m m m m

m ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ

而

(

)(){}

q p U A

q p U A A A A A k

k

k k

k p q k q

k k

k p q p pq ,ˆˆTr ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 四. （20分）自旋为

21

、固有磁矩为s ρργμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0ρρB B =中，设0=t 时，粒子处于2

η

=x s 的状态，

（1）求出0>t 时的波函数；

（2）求出0>t 时x s

ˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。