期末复习要点

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一、简单计算

复习重点

1、已知零均值随机变量X、Y的方差匚X

2、匚Y2以及相关系数为r的具体值；它们服从二维联

合正态分布，如何写出f XY(x, y)的具体表达式？

2、均值为零、方差为匚2窄带正态随机过程X (t)二A(t)cos［「0t亠处(t)］的同相分量

代⑴=A(t)cos［①(t)］的概率密度分布函数为f^(a c；t) = ?，包络A(t)的概率密度分布函数f A(a;t)

二？，包络平方Z(t)=A2(t)的概率密度分布函数f z(z;t)二？，相位：•：」(t)的概率密度分布函数为

f：：( ：:;t) = ?。

3、第7章PPT中关于泊松分布的例子，推广到自上次发车后若乘客数达到n则立刻发下一趟车，

否则要等到T!分钟才发车，平均每分钟到达的乘客数为，的情况。等到n个乘客所需的时间S n(单

位：分钟)的概率密度分布函数为f s n(t) = ?，等到T !分钟才发车的概率P = ?平均发车间隔

T =？

4、设X(t)为马尔可夫过程，t s < t r ::: tn，条件概率密度f x(X n,t n | X s,t s)与f x (人,t「| X s,t s)、

f x(X n,t n |X r,t r)的关系。

5、若某随机过程X(t)的功率谱的负频部分为零，则该随机过程必为复数随机过程，X(t)与其实

部随机过程X R(t)的关系。

6、如果给出平稳正态随机过程X(t)的相关函数为R X(.)(零均值、相关函数绝对可积)的具体

1 T

表达式，对于任意样本函数x(t)，必有何-齐yX(t)［x(t)-x(t • .)］dt与RxC)的关系？

7、对平稳离散时间白色噪声序列X(1),X(2),…，X(n)按从小到大的顺序排序，得到新的非平稳有

色噪声序列Y(1),Y(2),…,Y(n)，若序列X的一维概率分布函数为F X (x)，则随机变量Y(1)的一维

概率分布函数为F Y(y,1)= ?。

8、功率谱为1的白色噪声通过传递函数为H (j「)=1/ (1 • j )的线性系统，如何求输出随机过

程X (t)的功率谱G X CJ 、相关函数R x (•)、一维概率密度分布函数

f X (X ；t) ?

9、乘积过程Z(t) =X(t)Y(t)的相关函数R z ()与相互独立随机过程 X(t)与Y(t)的均值m x 、 m y 、相关函数R X (.)、R Y ( )的关系？ 进一步了解：

1、若给出零均值二维联合正态分布随机变量

X 、Y 的联合概率密度分布函数

差、Y 的方差、X 、Y 的相关系数以及 A ？

2、零均值窄带正态随机过程 X(t) = A(t)cos 「o t ，」(t)］， E ［X 2(t)］ -；「2，其同相 分量A ；(t) = A(t) cos ［事(t)］与正交分量A s (t) = A(t)sin ［事⑴］的联合概率密度分布函数

f A c

A s

(a c ,a s ;t,t^？ X(t)与其希尔伯特变换 Y(t) = f(t)的联合概率密度分布函数

f XY (x, y;t,t) = ？， A(t)与"(t)的联合概率密度分布函数

f A .：』(a, ：:;t,t)二？；设

s(t) =Scos ［「0t T ］为确定性信号，Z(t) =X(t) s(t)，U (t)为Z(t)的幅度过程，则其概率密度

分布函数为f u (U ；t) 士 ？

3、设马尔可夫链的状态集为 {a ,,a 2,..., a N }， P q (s, n)二 P{X(n)二 a 」| X(s) = aj 与 p ik (s, r) = P{X(r) =a k 〔X (s) = aj 、p j (r, n) = P{X( n)=引 |X(r)二去}之间的关系?

4、某离散时间随机过程 X(n)二Acos(「0n ，」)，其中池、A 为常数，「为［0,2 ］区间上均匀分 布的随机变量，如何计算自相关函数

R X (m) =E ［X(n m)X(n)］ ？

5、均值为m x 、相关函数为R X ()的各态经历随机过程的任意样本函数

x(t)的特性:

1 T

何:亓.」x (t )x (t -)]x (t )dt 二？

6、对平稳离散时间白色噪声序列 X(1),X(2),..., X(n)按从小到大的顺序排序，得到新的

非平稳有色噪声序列 Y(1),Y(2),…，Y(n)，若序列X 的一维概率分布函数为 F X (x)，随机变量Y(2) 的一维概率分布函数为 F Y (y,2) =？

7、若给出平稳随机过程 X(t)的相关函数为R x ()(不隐含周期性)，X(t)的总功率与R x ()关 8、正态过程X(t)的功率谱密度为G X (•)=—6

12

，其一维概率密度分布函数 f X (x ；t)?

尬

+4

二、基本概念方面

f xY (x, y)

2 2

x xy

y

亠 .

exp{ -(

)}中 a 、b 、

a b c

c 的具体数值，如何求随机变量

X 的方

Tm

2T

T

2

Jx(t) -m x ] dt 二？

系？

复习重点

1、关于实平稳随机过程的相关函数

若给出若干函数的具体表达式，如何根据相关函数的性质(偶函数、|R x C )|的最大值为R X (0)、

不

--- 2

隐含周期性时，R x(：J二m x非负等)判断哪些函数可以作为相关函数？

2、关于正态随机过程

其任意的N维联合概率密度分布函数可以由其N维均值矢量以及N维协方差矩阵唯一确定吗？严格平稳与宽平稳等价吗？对于零均值过程，在任意两个不同时刻正交、不相关、相互独立三者等

价

吗？若该过程是窄带的，则该窄带过程及其同相分量、正交分量三者具有相同的一维概率密度分

布

函数吗？正交分量与同相分量在同一时刻相互独立吗？如果该过程由某一随机过程通过线性系

统

所产生，则该输入过程必定为正态随机过程吗？平稳正态随机过程与确定性信号之和依然为正态

随

机过程，而且是平稳的吗？

3、关于马尔可夫链

设P为齐次马尔可夫链的单步状态转移矩阵，p为状态概率矢量，若该链为渐近平稳链，

则P T V=V必定存在元素值满足0兰口兰1送P i =1的唯一解p，进一步，若该链为平稳链，则

初始状态列阵必定为p T v = V的解P吗？齐次马尔可夫链在某个时刻的状态概率列阵仅仅取决

于

单步状态转移矩阵以及初始状态概率列阵吗？对于某个状态有限的马尔可夫链，如果其存在周期性，则一定不是渐近平稳的，此时P T p = P无合理解吗？对于状态有限的马尔可夫链，若从某个

状态a i出发迟早返回该状态的概率小于1,则不管初始状态如何，经过有限次状态转移后，就再也不会到达状态a 了吗？

进一步了解：

1、关于正态过程相对于其他随机过程的特有性质

一般随机过程都具有如下性质吗：经过线性变换后依然具有相同类型的多维联合概率密度分布；

均

值矢量与协方差矩阵可以唯一确定其多维联合概率密度分布；任意两个不同时刻互不相关与相互

独

立等价；在已知某些时刻取值情况下，其他不同时刻随机变量的多维条件概率密度分布函数依然

为

相同类型的联合概率密度分布；广义平稳与严格平稳等价；在已知某些时刻取值情况下，其他时

随机变量的条件均值为这些取值的线性组合。

2、关于随机过程的特性

严格平稳随机过程任意N个时刻的N维联合概率密度分布与这N个时刻的选取无关吗？若某零均

值平稳随机过程X(t)不隐含周期性，相关函数为R X(.)，则必有Rx(：：) =0吗？白色噪声随机过程的