函数的奇偶性和周期性

第5讲 函数的奇偶性和周期性

★知识梳理

1．函数的奇偶性的定义：

①对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-〔或0)()(=+-x f x f 〕，则称)(x f 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-〔或0)()(=--x f x f 〕，则称)(x f 为偶函数. 偶函数的图象关于y 轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

1． 函数的周期性命定义：

对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足 )()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

★重、难点突破

重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用

难点：函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用 重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式 )0)((1)

()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f ,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意①若0)(=x f ,则)(x f 既是奇函数又是偶函数,若

)0()(≠=m m x f ,则)(x f 是偶函数；

②若)(x f 是奇函数且在0=x 处有定义，则0)0(=f ③若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f ≠-，则可以断定)(x f 不是偶函数，同样，若在函数)(x f 的定义域内有)()(m f m f -≠-，则可以断定)(x f 不是奇函数。

2．奇偶函数图象的对称性

（1） 若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的

图象关于直线a x =对称；

（2） 若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；

3．函数的周期性 周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：

（1）函数值之和等于零型，即函数)(0)()(b a x b f x a f ≠=+++

对于定义域中任意x 满足)(0)()(b a x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=

（2）函数图象有a x =，)(b a b x ≠=两条对称轴型

函数图象有a x =，)(b a b x ≠=两条对称轴，即)()(x a f x a f -=+，

)()(x b f x b f -=+，从而得)()]22([x f a b x f =-+，

故函数)(x f 的周期是)(2a b T -=

（3） 两个函数值之积等于1±，即函数值互为倒数或负倒数型

若)(1)()(b a b x f a x f ≠=+⋅+，则得)]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是a b T 22-=；同理若)(1)()(b a b x f a x f ≠-=+⋅+，则)(x f 的周期是)(2a b T -=

（4） 分式递推型，即函数)(x f 满足)()

(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+ 由)()(1)(1)(b a b x f b x f a x f ≠+-++=+得)

2(1)2(b x f a x f +-=+，进而得 1)2()2(-=+⋅+b x f a x f ，由前面的结论得)(x f 的周期是)(4a b T -=

★热点考点题型探析

考点1 判断函数的奇偶性及其应用

题型1：判断有解析式的函数的奇偶性

[例1] 判断下列函数的奇偶性：

（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·x

x -+11； （3）2|2|1)(2

-+-=x x x f ；（4）⎩⎨⎧>+<-=).0()1(),0()1()(x x x x x x x f

[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。

[解析] （1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.

∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ），

∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.

（2）先确定函数的定义域.由x

x -+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.

（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.

由⎩

⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且 故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.

从而有f （x ）= 2212-+-x x =x x 21-，∴f （－x ）=x x ---2)(1=－x

x 2

1-=－f （x ） 故f （x ）为奇函数.

（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）.

当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）.

故函数f （x ）为奇函数.

【名师指引】○

1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则D x ∈时D x ∈-) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 ○

2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 题型2：证明抽象函数的奇偶性

[例2] （11年山东梁山）定义在区间)1,1(-上的函数f (x )满足：对任意的)1,1(,-∈y x ， 都有)1()()(xy

y x f y f x f ++=+. 求证f (x )为奇函数；

[思路点拨]欲证明)(x f 为奇函数，就要证明)()(x f x f -=-，但这是抽象函数，应设法充 分利用条件“对任意的)1,1(,-∈y x ，都有)1(

)()(xy y x f y f x f ++=+”中的y x ,进行合理 “赋值”

[解析]令x = y = 0，则

f (0) + f (0) = )0()0100(f f =++

∴ f (0) = 0 令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1)

∴ f (x ) + f (－x ) = f (21x

x x --) = f (0) = 0 ∴ f (－x ) =－f (x )

∴ f (x ) 在(－1，1)上为奇函数

【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不