人教版九年级上册圆切线证明综合题型整理

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数学九年级上册专题24.7 圆的切线的判定与性质-重难点题型(人教版)(学生版)

专题24.7 圆的切线的判定与性质--重难点题型【人教版】【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A 作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD ＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【题型3 切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是．（填序号）【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，P A和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且P A＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【题型4 切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD ＝CD＝5，求AC的长．【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（）A ．1B ．2√33C ．2D ．2√55【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 的切线DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝10，BD ＝8，求DE 的长．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接BC ，F 为BC 的中点，连接FO 并延长交⊙O 于点D ，过点D 的切线与CA 的延长线交于点E ．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若AC ＝OA ＝2，求AE 的长．【题型5 切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．（1）若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；（2）若AC ＝2√3，CE ＝2，求⊙O 半径的长．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，∠ABC ＝15°，切线P A 交OC 延长线于点P ，AP =√3，则⊙O 的半径为（）A ．√33B ．√32C ．√3D ．3【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，作OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD ＝8，EF ＝2，求⊙O 的半径．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．【题型6 切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF 的大小．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120°B．60°C．90°或120°D．60°或120°【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．。

九年级数学上册章节重点复习考点讲义(人教版)切线定理综合题(解析版)

专题11 切线定理（综合题）知识互联网易错点拨知识点1：切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.细节剖析:切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.细节剖析:切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.知识点2：切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 细节剖析:切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.细节剖析:切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.知识点3：三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.细节剖析:(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). (3) 三角形的外心与内心的区别：内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.一．选择题1．（2022•吉林一模）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O直径，过点B的切线交CA的延长线于点P．若∠P＝32°，则∠ACB的度数是（）A．29°B．30°C．31°D．32°【易错思路引导】连接OB，根据切线的性质可得∠OBP＝90°，再根据直角三角形的两个锐角互余可得∠AOB＝58°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答．【规范解答】解：连接OB，∵PB与⊙O相切于点B，∴∠OBP＝90°，∵∠P＝32°，∴∠AOB＝90°﹣∠P＝58°，∴∠ACB＝∠AOB＝29°，故选：A．【考察注意点】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．2．（2017秋•昆明期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，⊙A半径为3，且点A的坐易错题专训标为（5，0），将⊙A沿x轴的负方向平移，使⊙A与y轴相切，则平移的距离为（）A．2 B．5 C．8 D．2或8【易错思路引导】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【规范解答】解：当⊙A位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为2；当⊙A位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为8．故选：D．【考察注意点】本题考查了切线的判定与性质，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．3．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，D 是⊙O上一点，连接BD，CD，∠BDC＝30°，延长AB至点F，使得BF＝AB，连接OF，过点B作BG⊥OF于点G，BG＝2，则OC的长为（）A．B．C．D．2【易错思路引导】连接OB，由切线的性质得出∠OBF＝∠OBA＝90，设OB＝x，则AB＝x，由锐角三角函数的定义得出，解得x＝，则可得出答案．【规范解答】解：连接OB，∵∠BDC＝30°，∴∠BOC＝2∠BDC＝60°，∵AB为⊙O的切线，∴AF⊥OB，∴∠OBF＝∠OBA＝90，设OB＝x，则AB＝x，∵BF＝AB，∵BF＝x，∵BG＝2，∴OG＝＝，∵∠FBG+∠GBO＝90°，∠GBO+∠BOG＝90°，∴∠FBG＝∠BOG，∴cos∠FBG＝cos∠BOG，∴，∴，解得x＝，∴OB＝OC＝，故选：A．【考察注意点】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键．4．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，AD是⊙O的直径，PA，PB分别切⊙O于点A，B，若∠BCD ＝α，则∠P的度数是（）A．90°﹣2αB．90°﹣αC．45°D．2α【易错思路引导】连接OB，利用圆周角定理可得∠BOD＝2α，然后利用切线的性质可得∠OAP＝∠OBP＝90°，从而利用四边形内角和可得∠P+∠AOB＝180°，最后利用同角的补角相等即可解答．【规范解答】解：连接OB，∵∠BCD＝α，∴∠BOD＝2∠BCD＝2α，∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠P+∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP＝180°，∵∠AOB+∠BOD＝180°，∴∠P＝∠BOC＝2α，故选：D．【考察注意点】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【易错思路引导】利用三角形内心的性质得到∠BAD＝∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明∠DEB ＝∠DBE得到DB＝DE，则可对④进行判断．【规范解答】解：∵E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；如图，连接BE，CE，∵E是△ABC的内心，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵点G为BC的中点，∴G一定在OD上，∴∠BGD＝90°，故③正确；如图，连接BE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，故④正确．∴一定正确的①②③④，共4个．故选：D．【考察注意点】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．6．（2022•临沭县二模）如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（）A．4 B．C．D．6【易错思路引导】设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，根据垂径定理可得AC＝2AE，再利用切线的性质可得∠MDO＝90°，然后根据点M的坐标可得ME＝2，MA＝MD＝3，最后在Rt△AEM中，利用勾股定理进行计算即可解答．【规范解答】解：设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E，∴AC＝2AE，∵⊙M与x轴相切于点D，∴∠MDO＝90°，∵M（2，3），∴ME＝2，MD＝3，∴MA＝MD＝3，在Rt△AEM中，AE＝＝＝，∴AC＝2AE＝2，故选：B．【考察注意点】本题考查了切线的性质，垂径定理，坐标与图形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二．填空题7．（2022•南关区校级模拟）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，使点O'落在圆O上，边A′B交线段AO于点C．若∠A ＝15°，⊙O的半径长为2，则BC的长为 2 ．【易错思路引导】连接OO′，根据旋转可得△BOO'为等边三角形，进而可求出∠A'BO，再利用∠A＝15°，可证明△BCO是等腰三角形，得到答案．【规范解答】解：如图，连接OO′，由题意得：BO＝OO'＝BO'，∴△BOO'为等边三角形，∴∠OBO'＝60°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠A'BO'＝90°，∴∠A'BO＝∠A'BO'﹣∠OBO'＝30°，∵∠A＝15°∴∠AOB＝90°﹣∠A＝75°，∴∠BCO＝180°﹣∠AOB﹣∠A'BO＝75°，∴BC＝BO＝2，故答案为：2．【考察注意点】本题考查的是切线的性质、旋转变换的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．8．（2022•香坊区校级开学）如图，在⊙O中，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，连接PO，若PA＝，∠APB＝60°，则线段PO的长为 2 ．【易错思路引导】连接OA，根据切线长定理得到∠APO＝∠APB＝30°，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据余弦的定义计算，得到答案．【规范解答】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴OA⊥PA，∠APO＝∠APB＝30°，在Rt△PAO中，cos∠APO＝，∴OP＝＝＝2，故答案为：2．【考察注意点】本题考查的是切线的性质、切线长定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．9．（2022•南岗区三模）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的切线，连接AD，若AD经过圆心O，且∠D＝50°，则∠C的大小为70 度．【易错思路引导】连接OB，如图，根据切线的性质得到∠OBD＝90°，再利用三角形外角性质计算出∠AOC＝140°，然后根据圆周角定理计算∠C的度数．【规范解答】解：连接OB，如图，∵BD为⊙O的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵∠AOC＝∠OBD+∠D＝90°+50°＝140°，∴∠C＝∠AOC＝×140°＝70°．故答案为：70．【考察注意点】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．10．（2022•老河口市模拟）PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不与A，B重合的一点，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为55°或125°．【易错思路引导】根据切线的性质得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根据四边形内角和得到∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求∠ACB的度数．【规范解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，∵∠APB＝70°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，当点C在劣弧AB上，则∠ACB＝∠AOB＝55°，当点C′在优弧AB上，则∠AC′B＝180°﹣55°＝125°．则∠ACB的度数为55°或125°．故答案为：55°或125°．【考察注意点】本题切线的性质，圆周角定理和圆内接四边形的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．11．（2021•鹤峰县模拟）已知正方形ABCD边长为2，DE与以AB的中点为圆心的圆相切交BC于点E，求三角形DEC的面积 1.5 ．【易错思路引导】根据已知可得DA与圆O相切于点A，EB与圆O相切于点B，设DE与圆O相切于点F，利用切线长定理可得DA＝DF＝2，EB＝EF，然后设EB＝EF＝x，表示出DE，CE的长，最后在Rt△DEC中利用勾股定理进行计算即可解答．【规范解答】解：设∴DE与圆O相切于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAD＝∠OBC＝∠C＝90°，AB＝BC＝AD＝CD＝2，∵OA、OB是圆O的半径，∴DA与圆O相切于点A，EB与圆O相切于点B，∵DE与圆O相切于点F，∴DA＝DF＝2，EB＝EF，设EB＝EF＝x，则EC＝BC﹣EB＝2﹣x，DE＝DF+EF＝2+x，在Rt△DEC中，DC2+CE2＝DE2，∴22+（2﹣x）2＝（2+x）2，解得：x＝，∴EC＝BC﹣EB＝2﹣x＝，∴三角形DEC的面积＝EC•DC＝××2＝1.5，故答案为：1.5．【考察注意点】本题考查了切线的性质，正方形的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．12．（2020秋•亭湖区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，M为AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作圆P，当圆P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为 2.5或4﹣2．【易错思路引导】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．【规范解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x．在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2+PB2，∴x2＝22+（4﹣x）2，∴x＝2.5，∴CP＝2.5；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．∴PM＝PK＝CD＝2BM，∴BM＝2，PM＝4，在Rt△PBM中，PB＝＝2，∴CP＝BC﹣PB＝4﹣2．综上所述，CP的长为2.5或4﹣2．故答案是：2.5或4﹣2．【考察注意点】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．13．（2021秋•广丰区期末）已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M 上的动点，当P的坐标为（1，0），（3，0）（，）时，△POA是等腰三角形．【易错思路引导】根据题意画出图形分三种情况讨论：当点P在x轴上，PA＝PO＝1，OA ＝OP″＝3，当点P是切点时，AO＝AP＝，进而可以解决问题．【规范解答】解：如图，当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形．理由如下：连接AM，∵M（2.0），⊙M的半径为1，∴OM＝2，AM＝PM＝1，∴OP＝1，∵OA切⊙M于点A，∴∠MAO＝90°，∴∠AOM＝30°，∴∠AMO＝60°，∴PA＝AM＝PM＝1，∴OP＝PA＝1，∴P（1，0）；当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H，∵OA切⊙M于点A，∴OP′切⊙M于点P′，∴∠P′OM＝∠AOM＝30°，∴∠AOP′＝60°，∴△AOP′是等边三角形，∴AP′＝OA＝＝＝，∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝，∴P′（，）；∵MA＝MP″，∠AMO＝60°，∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°，∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°，∴OA＝OP″，∴P″（3，0）．综上所述：当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形．故答案为：（1，0），（3，0），（，）．【考察注意点】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，坐标与图形性质，解决本题的关键是得到△AOP′是等边三角形．14．（2021•宁波模拟）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD是腰AC上的高，点O 是线段BD上一动点，当半径为的⊙O与△ABC的一边相切时，OB的长为或．【易错思路引导】作AH⊥BC于点H，根据等腰三角形的性质可得HC的长，再利用三角函数可得DC，根据勾股定理得到BD的长，根据半径为的⊙O与△ABC的一边相切，分三种情况讨论根据相似三角形的性质求解即可得到结论．【规范解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴HC＝3，∵∠AHC＝90°，AC＝5，∴cos C＝＝＝，∴DC＝，∴BD＝＝，①⊙O与AC相切时，切点为D，∵半径为，∴OD＝，∵BD＝，∴OB＝BD﹣OD＝﹣＝；②⊙O与BC相切时，切点为M，∴OM⊥BC，∴∠BMO＝∠BDC＝90°，∵∠MBO＝∠DBC，∴△MBO∽△DBC，∴＝，∴＝，∴BO＝；③⊙O与AB相切时，切点为N，∴ON⊥AB，∴∠BNO＝∠BDA＝90°，∵∠NBO＝∠DBA，∴△NBO∽△DBA，∴＝，∴＝，∴BO＝．当圆O与AB相切时，OB的长为，∵BD＝，∵＞，也就是说，圆O与AB相切，是圆心O在线段BD外即在直线BD上的时候，不符合题意，故答案只有两种情况，即圆O与AC，AB相切时．综上所述，AP的长为或．故答案为：或．【考察注意点】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．三．解答题15．（2022•长清区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且∠ACB＝60°．（1）求证：AE＝AB；（2）若DE＝2，求⊙O的半径．【易错思路引导】（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOB＝120°，从而利用等腰三角形的性质可得∠OBA＝∠OAB＝30°，然后根据切线的性质可得∠OAE＝90°，从而利用三角形的外角可求出∠E＝30°，最后根据等腰三角形的判定即可解答；（2）设⊙O的半径为r，然后根据含30度角的直角三角形可得OE＝2OA，进行计算即可解答．【规范解答】（1）证明：连接OA，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵AE与⊙O相切于点A，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝∠AOB﹣∠OAE＝30°，∴∠E＝∠OBA＝30°，∴AB＝AE；（2）设⊙O的半径为r，∵∠OAE＝90°，∠E＝30°，∴OE＝2OA，∵DE＝2，∴2+r＝2r，∴r＝2，∴⊙O的半径为2．【考察注意点】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握切线的性质，以及含30度角的直角三角形是解题的关键．16．（2022•内黄县二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，过点D作⊙O的切线DM交BC于点M．（1）求证：CM＝BM．（2）若AD＝2，P为AB上一点，当PM+PD为最小值时，求AP的长．【易错思路引导】（1）连接OD，OM，先利用圆周角定理求出∠DOB＝60°，再利用切线的性质可得∠ODM＝90°，然后利用HL证明Rt△ODM≌Rt△OBM，从而利用全等三角形的性质可得∠DOM＝∠BOM＝30°，进而可得AC∥OM，即可解答；（2）连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而在Rt△ADB中，求出DB，AB的长，再在Rt△ABC中，求出BC的长，从而求出BM的长，然后证明△DOB是等边三角形，再利用等腰三角形的三线合一性质求出OE的长，从而求出DE的长，最后证明8字模型相似三角形△MBP∽△D′EP，利用相似三角形的性质求出BP的长，进行计算即可解答．【规范解答】（1）证明：连接OD，OM，∵∠BAC＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∵DM与⊙O相切于点D，∴∠ODM＝90°，∵∠ABC＝90°，OD＝OB，OM＝OM，∴Rt△ODM≌Rt△OBM（HL），∴∠DOM＝∠BOM＝∠DOB＝30°，∴∠A＝∠BOM，∴AC∥OM，∵OA＝OB，∴BM＝CM；（2）连接DB，过点D作DE⊥AB，垂足为E，并延长交⊙O于点D′，则DE＝D′E，∴点D与点D′关于AB对称，连接D′M交AB于点P，连接DP，此时PM+PD的值最小，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AD＝2，∠DAB＝30°，∴BD＝AD•tan30°＝2×＝2，∴AB＝2BD＝4，∴OA＝OB＝OD＝AB＝2，在Rt△ABC中，BC＝AB•tan30°＝4×＝，∴CM＝BM＝BC＝，∵∠DOB＝60°，∴△DOB是等边三角形，∵DE⊥OB，∴OE＝EB＝OB＝1，∴DE＝OE＝，∴DE＝D′E＝，∵∠D′EP＝∠CBP＝90°，∠MPB＝∠EPD′，∴△MBP∽△D′EP，∴＝，∴＝，∴BP＝，∴AP＝AB﹣BP＝，∴AP的长为．【考察注意点】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，轴对称﹣最短路线问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．【易错思路引导】（1）连接OD，理由切线的性质可得∠ODE＝90°，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得OE平分∠DOB，从而可得∠DOE＝∠EOB，进而可证△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性质即可解答；（2）设⊙O的半径为r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理进行计算即可解答．【规范解答】解：（1）直线BE与⊙O相切，理由：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，∴82+BE2＝（4+DE）2，∴64+DE2＝（4+DE）2，∴DE＝6，∴DE的长为6．【考察注意点】本题考查了切线的判定与性质，直线与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及勾股定理是解题的关键．18．（2022•津南区一模）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC＝36°．（Ⅰ）如图①，若CD平分∠ACB，连接BD，求∠ABC和∠CBD的大小；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE＝AC，求∠P的大小．【易错思路引导】（Ⅰ）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分线的定义可得∠ACD＝∠DCB＝45°，从而求出∠ABC的度数，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠D＝36°，最后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答；（Ⅱ）连接OC，OD，根据切线的性质可得∠ODP＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠OCA＝36°，∠ACB＝∠ABC＝72°，从而求出∠OCD的度数，然后再根据OD＝OC，求出∠ODC的度数，最后利用三角形的外角求出∠DOC的度数，从而求出∠P的度数．【规范解答】解：（Ⅰ）∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°，∵∠A＝∠D＝36°，∴∠CBD＝180°﹣∠D﹣∠DCB＝99°，∴∠ABC的度数为54°，∠CBD的度数为99°；（Ⅱ）连接OC，OD，∵DP与⊙O相切于点D，∴∠ODP＝90°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA＝36°，∵AE＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠OCD＝∠ACE﹣∠OCA＝36°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝36°，∴∠DOE＝∠AEC﹣∠ODC＝36°，∴∠P＝90°﹣∠DOE＝54°，∴∠P的度数为54°．【考察注意点】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．19．（2022•佛山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠OFA＝60°，半径为4，在圆O上取点P，使∠PDE＝15°，求点P到直线DE的距离．【易错思路引导】（1）连接OD，利用角平分线的定义，同圆的半径相等，平行线的判定与性质和切线的判定定理解答即可；（2）利用分类讨论的思想方法分：①当点P在上时，PH的长为点P到直线DE的距离，②当点P在上时两种情形解答：①连接OD，OP，过点O作OM⊥DE于点M，过点P 作PN⊥OM于点N，利用等边三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理求得MN．即可得出结论；②连接OP，交DE于点H，则PH的长为点P到直线DE的距离，利用等腰三角形的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可．【规范解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴∠OAD＝∠CAD．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODC+∠C＝180°．∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：①当点P在上时，PH的长为点P到直线DE的距离，连接OD，OP，过点O作OM⊥DE于点M，过点P作PN⊥OM于点N，如图，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∴∠EOD＝60°，∵OE＝OD，∴△ODE是等边三角形，∴DE＝OE＝4．∵OM⊥DE，∴DM＝EM＝2，∠EOM＝∠EOD＝30°，∴OM＝2．∵∠PDE＝15°，∴∠POE＝30°，∴∠POM＝∠POE+∠EOM＝60°．∵PN⊥OM，∴ON＝OP•cos60°＝2，∴MN＝OM﹣ON＝2﹣2．∵PH⊥DE，OM⊥DE，PN⊥OM，∴四边形PHMN为矩形，∴PH＝MN＝2﹣2．∴点P到直线DE的距离为2﹣2；②当点P在上时，连接OP，交DE于点H，如图，∵∠EOP＝2∠PDE，∠PDE＝15°，∴∠EOP＝30°．由①知：∠EOD＝60°，∴∠EOP＝∠EOD，即OP为∠EOD的平分线，∵OE＝OD，∴OH⊥DE，∴PH的长为点P到直线DE的距离，∵OH＝OD•cos30°＝2，∴PH＝OP﹣OH＝4﹣2．综上，若∠PDE＝15°，则点P到直线DE的距离为2﹣2或4﹣2．【考察注意点】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，矩形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．20．（2022•西青区二模）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C为⊙O上一点，连接AC，BC．（Ⅰ）如图①，若∠APB＝70°，求∠ACB的大小；（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径交BC于点D，若四边形PACB是平行四边形，求∠EAC的大小．【易错思路引导】（Ⅰ）连接OA、OB，由PA，PB是⊙O的切线得∠OAP＝∠OBP＝90°，而∠APB＝70°，根据四边形的内角和等于360°可以求出∠AOB＝110°，再根据圆周角定理即可解决问题；（Ⅱ）连接CE，由AE为⊙O的直径得∠ACE＝90°，然后根据圆周角定理、三角形内角和定理即可解决问题．【规范解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝70°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ACB＝∠AOB＝55°，∴∠ACB的大小为55°；（Ⅱ）连接CE，AB，OB，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵四边形PACB是平行四边形，∴∠ACB＝∠P，∴∠BCE＝90°﹣∠P，∴∠BAE＝∠BCE＝90°﹣∠P，∵∠AOB＝180°﹣∠P，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝∠P，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠P+∠P＝90°，∴∠P＝60°，∴∠ACB＝60°，∠BAE＝∠BCE＝30°，∵AC∥PB，∴＝，∴∠EAC＝30°．【考察注意点】本题考查圆的切线的性质定理、四边形的内角和等于360°、圆周角定理、三角形内角和定理及其推论等知识，根据切线的性质定理求得∠OAP＝∠OBP＝90°是解题的关键。

人教版九年级数学上册 24.2.2 圆的切线的性质及判定综合运用培优 (无答案)

A Ol圆的切线的性质及判定综合运用知识点：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的．几何符号语言表达：∵ l 是⊙O 的，OA 是， ∴ l ⊥OA切线的判定：经过半径的并且的直线是圆的切线。

几何符号语言表达： ∵ OA 是，OA ⊥l 于A ， ∴ l 是⊙O 的。

归纳：证明切线添加辅助线的方法：1）直线与圆的公共点已知时，连半径，证（应用判定方法3）2）直线与圆公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明（方法2）一、典型例题例1．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点C ，AD 交⊙O 于点F ，∠AC 平分∠BAD ，连接BF ．（1）求证：AD ⊥ED ；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O 的半径．利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:(1)直线经过半径的 ;(2)直线与这半径。

▲判断一条直线是圆的切线的方法：1.利用切线的定义:与圆有公共点的直线是圆的切线。

2.利用d 与r 的关系作判断:圆心到直线的距离等于 (即d r)的直线是圆的切线。

3.利用切线的判定定理:经过半径的并且这条半径的直线是圆的切线。

例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．例3．如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,试求△ABC的内切圆的半径.例4．如图，已知抛物线y=mx2+2mx+c（m≠0），与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A（﹣4，0）和点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若P是线段OC上的动点，过点P作PE∥OA，交AC于点E，连接AP，当△AEP的面积最大时，求此时点P的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，⊙Q为△ABD的外接圆，求证⊙Q与直线y=2相切．二、综合训练1．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE=2，DE=8，则AB 的长为（）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（）A ．25cmB ．45cmC ．25cm 或45cm D. 23cm 或43cm3．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A ．33B ．36C ．323D ．6234．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线2-=x y 与⊙O 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能5．若⊙O 的半径等于5cm ，P 是直线l 上的一点，OP=5cm ，则直线l 与圆的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交6．已知⊙O 的面积为9πcm 2，若点O 到直线l 的距离为πcm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定7．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．55°8．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．49．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为．，10．如下左图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=21则∠ACD= °．11．如上右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．12．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；14. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠P AE，过，垂足为D.C作CD PA（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．三、课外作业： 1.如图，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE=190，则∠AFB 的度数为（）A.97°B.104°C.116°D.142°第1题图第2题图2.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,以AB 为弦的⊙M 与x 轴相切.若点A 的坐标为(0,8),则圆心M 的坐标为( )A.(-4,5)B.(-5,4)C.(5,-4)D.(4,-5)3.如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A.2B.3C.3D.32第3题图4.如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC.若∠A=400,则∠C= ．5.如图,∠ABC=900,O 为射线BC 上一点,以点O 为圆心,OB 21长为半径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转时与⊙O 相切.第4题图第5题图6.已知AB 是⊙O 的直径,AP 是⊙O 的切线,A 是切点,BP 与⊙O 交于点C.（1）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）；（2）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.7.如图,已知直线ABC 与⊙O 相交于B,C 两点,E 是的中点,D 是⊙O 上一点,若∠EDA=∠AMD ．求证:AD 是⊙O 的切线．。

2023学年九年级数学上册重要考点题(人教版)切线的判定与性质及切线长定理(10大题型(解析版)

切线的判定与性质及切线长定理（答案版）切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点二是直线与过交点的半径垂直缺一不可）.题型1：切线的判定-连半径证垂直1.如图AB为⊙O的直径AC平分∠BAD交⊙O于点C CD⊥AD垂足为点D．求证：CD是⊙O 的切线．【答案】证明：连接OC∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC∵OC=OA∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠ACO∴OC∠AD∵CD∠AD∴OC∠DC∵OC过圆心O∴CD是∠O的切线．【解析】【分析】连接OC 根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠BAC 根据平行线的判定得出OC∠AD 根据平行线的性质得出OC∠DC 再根据切线的判定得出结论。

【变式1-1】如图在∠O中AB为直径BP为∠O的弦AC与BP的延长线交于点C 且AB=AC PE⊥AC于点E 求证：PE是∠O的切线．【答案】解：连接AP OP∵AB为∠O直径∴∠APB=90°即AP⊥BC又∵AB=AC∴点P是BC的中点又∵O是AB的中点∴OP是△ABC的中位线∴OP∠AC∴∠OPE=∠PEC又∵PE⊥AC∴∠PEC=90°∴∠OPE=90°∴OP⊥PE．∴PE是∠O的切线．【解析】【分析】连接AP OP 由AB为直径可知AP⊥BC结合AB=AC可得点P为BC的中点而O是AB的中点可得OP是△ABC的中位线可知OP∠AC 进而∠OPE=∠PEC 然后结合PE⊥AC可得OP⊥PE即可得到结论。

【变式1-2】如图D为∠O上一点点C在直径BA的延长线上且∠CDA=∠CBD.求证：CD是∠O 的切线.【答案】证明：连接OD∵AB为直径∴∠ADO+∠BDO=90°又∵∠CDA=∠CBD∴∠CDA=∠BDO∴∠ADC+∠ADO=90°∴OD⊥CD∴CD是∠O的切线.【解析】【分析】连接OD 由圆周角定理可得∠ADO+∠BDO=90° 由已知条件以及等腰三角形的性质可得∠CDA=∠BDO 进而得到∠ADC+∠ADO=90° 据此证明.题型2：切线的判定-作垂直证半径2.ΔABC为等腰三角形O为底边BC的中点腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【答案】证明：过点O作OE∠AC于点E 连结OD OA∵AB与O相切于点D∴AB∠OD∵∠ABC为等腰三角形O是底边BC的中点∴AO是∠BAC的平分线∴OE=OD 即OE是O的半径∵AC经过O的半径OE的外端点且垂直于OE∴AC是O的切线。

人教版九年级数学上册《圆的综合》期末证明题练习-附带答案

人教版年九年级数学上册《圆的综合》期末证明题练习-附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在O 的内接正八边形ABCDEFGH 中，AB=2，连接DG ．(1)求证DG AB ∥；(2)DG 的长为．2．如图①，在Rt ABC △中，,90,CA CB ACB CD =∠=︒为AB 边上的中线，以点D 为顶点的直角绕点D 旋转，两边分别与BC AC 、交于点E F 、，连接EF ．(1)求证：CDF BDE ≌；(2)若4AB =，则DEF 面积的最小值为_______；(3)拓展应用：如图②，点O 是半径为2的正十二边形的中心，点A B 、在此正十二边形的边上，连接OA OB 、，若90AOB ∠=︒，则阴影部分面积为______．3．如图，AB 是O 的直径，6AB =，AC 是O 的弦，30BAC ∠=︒，延长AB 到D ，连接CD ，AC=CD ．(1)求证：CD是O的切线；(2)以BC为边的圆内接正多边形的周长等于．4．如图，正方形ABCD内接于O，E是BC的中点，连接AE DE CE，，．(1)求证：AE DE=；(2)若1CE=，求四边形AECD的面积．5．如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，O是PAD的外接圆，O交边AB于点E．(1)求证：PA PD=；(2)当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：AE EP=．6．如图，O是ABC的外接圆，AB=AC．点D在AC上，连结AD，BD，延长CD至点E．求证：AD平分BDE∠．7．如图，四边形ABCD内接于O，AB=AC，BD AC⊥垂足为E．（1）若40=，求ADCBAC∠︒∠的度数；（2）求证：2BAC DAC∠=∠．8．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AC，延长CD至点E，使CE＝BD，连结AE．（1）求证：AD平分∠BDE；（2）若AB∥CD，求证：AE是⊙O的切线．10．如图1，AB是⊙O的直径，过⊙O上一点C作直线l，AD⊥l于点D．（1）连接AC、BC，若∠DAC=∠BAC，求证:直线l是⊙O的切线；（2）将图1的直线l向上平移，使得直线l与⊙O交于C、E两点，连接AC、AE、BE，得到图2．若∠DAC=45°，AD=2cm，CE=4cm，求图2中阴影部分(弓形)的面积．11．如图所示，圆内接ABC中AB BC CA==，OD和OE为O的半径，OD BC⊥于点F，OE AC⊥倍．于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC的面积的1312．如图，正方形ABCD内接于O E，是BC的中点，连接AE DE CE，，.(1)求证：AE DE=；(2)求证：2+=；AE CE DE答案： 1．（1）证明：连接AD ，正八边形ABCDEFGH ∴AB BC CD DE EF FG GH AH =======1802458BAD ︒∠=⨯=︒ 1802458ADG ︒∠=⨯=︒ ∴BAD ADG ∠=∠∴DG AB ∥．（2）∵2DE EF FG AB ==== 同理可证：EF DG ∥ EF AB ∥∴四边形DGFE 为等腰梯形∴135GFE DEF ∠=∠=︒ 作EP DG ⊥ FQ DG ⊥∵EF DG ∥∴18013545DGF ∠=︒-︒=︒在Rt QGF 中45DGF ∠=︒ 2GF =2QG QF ∴==同理可得2DP EP ==∵EF DG ∥ EP DG ⊥ FQ DG ⊥ ∴四边形PQFE 是矩形2PQ EF ∴==222222DG ∴=++=+．2．解、（1）证明：在Rt ABC 中 90ACB ∠=︒ 90A B ∴∠+∠=︒CA CB =45A B ∠CD 为AB 边上的中线12CD AB BD ∴== 1452ACD ACB ∠=∠=︒ CD AB ⊥ ,90ACD B CDB EDF ∴∠=∠∠=∠=︒ FDC EDB ∴∠=∠()AAS CDF BDE ∴△≌△；（2）解：∵CDF BDE ≌∴DF DE =∵21122DEF S DF DE DF =⨯⨯= ∴当DF 最短时 DEF 面积最小根据垂线段最短即DF AC ⊥ DEF 面积最小如图∵DF AC ⊥ 45A ∠=︒∴ADF △是等腰直角三角形 AF DF = ∴22222AF DF DF AD +==∵CD 为AB 边上的中线 4AB =∴122AD AB == ∴2224DF AD ==解得：2DF =即min 2DF = ∴2min min 112DEF S DF =⨯= ∴DEF 面积的最小值为1；（3）作辅助线如图所示其中DF OE ⊥由正十二变形的性质可得：,2OCA ODB OC OD ∠=∠==，90COD ∠=︒ 又∵90AOB ∠=︒∴AOB BOC COD BOC ∠-∠=∠-∠ 即AOC BOD ∠=∠∵,OCA ODB OC OD AOC BOD ∠=∠=∠=∠， ∴()ASA AOC BOD ≌∴AOC BOD S S =△△∴3OCG OGH ODH ODE S S S S S =++=阴影∵DF OE ⊥ 13603012DOE ∠=⨯︒=︒ ∴112DF OD ==∵112DOE S OE DF∴阴影面积33DOE S； 3．解、（1）证明：如图连接OC∵OA OC =∴30OAC OCA ∠=∠=︒∵AC CD =∴30OAC ODC ∠=∠=︒∴180306090OCD ∠=︒-︒-︒=︒ 即OC CD ⊥又∵OC 是半径∴CD 是O 的切线；（2）解：∵60BOC ∠=︒ ∴以BC 为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形 ∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AB = ∴132BC AB ==∴以BC 为边的圆内接正六边形的周长为1863=⨯．故答案为：18．4．解、（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB CD =∴AB CD =∵E 是BC 的中点∴BE EC =∴AE DE =∴AE DE =．（2）解：连接BD AO ，过点D 作DF DE ⊥交EC 的延长线于F ． ∵四边形ABCD 是正方形 ∴45DBC DEC DA DC ∠=∠=︒=， ∵90EDF ∠=︒∴904545F EDF DEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴DE DF =∵1452AED AOD ∠=∠=︒ ∴45AED F ∠=∠=︒∵90ADC EDF ∠=∠=︒∴90ADE EDC CDF EDC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴ADE CDF ∠=∠∴ADE CDF ≌∴AE CF =∴ADE CDF S S =△△∴DEF AECD S S =四边形∵21EF DE EC DE EC ==+=， ∴12DE DE +=∴21DE =+∴212DEF AECD S S DE ==四边形322=+．5．解、（1）四边形ABCD 是矩形且点P 是边BC 的中点 AB DC B C BP CP ∠∠∴===，，，在ABP 和DCP 中BP CP B C AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABP DCP SAS ≅， PA PD ∴=；（2）证明：如图连接,OA OE OD OP ，，并延长PO 交AD 于点M四边形ABCD 是矩形 ∴90BAD ∠=︒∵OA OD = PA PD =∴点P 、O 都在线段AD 的垂直平分线上 ∴PO 垂直平分AD∴90DMP BAD ∠∠=︒=OP AB ∴∥AE 是以点O 为中心的正六边形的一边 ∴由正六边形性质可得∶60∠AOE=∵OA OE =AOE ∴是等边三角形60AEO ∠∴=又OP AB ∥60EOP AEO ∠∠∴==60AOE EOP ∠∠∴==AE EP ∴=．6．解、∵AB AC =∴A ABC CB =∠∠∵O 是ABC 的外接圆点D 在AC 上 ∴180ABC ADC ∠+∠=︒∵180ADE ADC ∠+∠=︒∴ABC ADE ∠=∠∵∠ACB 和∠ADB 是AB 所对圆周角∴ACB ADB∴ADE ADB ∠=∠∴AD 平分BDE ∠．7．（1）解：AB AC=40∠︒=BAC∴∠=∠=︒ABC ACB70四边形ABCD是O的内接四边形ADC BAC∴∠=︒-∠=︒180110（2）证明：BD AC⊥AEB BEC∴∠=∠=︒90ACB CBD∴∠=︒-∠90=AB AC∴∠=∠=︒-∠90ABC ACB CBD∴∠=︒-∠=∠BAC ABC CBD18022∠=∠DAC CBD∴；∠=∠BAC DAC28．（1）证明：在⊙O中∵∠BAC与∠CPB是BC对的圆周角∠ABC与∠APC是AC所对的圆周角∴∠BAC＝∠CPB∠ABC＝∠APC又∵∠APC＝∠CPB＝60°∴∠ABC＝∠BAC＝60°∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D 连接OB则∠OBD＝30°∠ODB＝90°∵OB＝2∴OD＝1∴等边△ABC的边心距为1．9．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠ABC＋∠ADC＝180°∴∠ABC＝∠ADE∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB∵∠ACB＝∠ADB∴∠ADB＝∠ADE∴AD平分∠BDE（2）解：AB∥CD∴∠ADE=∠DAB∵∠ADB=∠ADE∴∠BAD=∠ADB∴AB=BD∵CE＝BD∴AB=CE∵AC=AB∴=AC AB连接OA并延长交BC于T∴AT⊥BC∵AB∥CE AB=CE∴四边形ABCE是平行四边形∴AE∥BC∴AT⊥AE∴AE是⊙O的切线．10．（1）连接OC∵OA OC=∴BAC OCA∠=∠∵∠DAC=∠BAC∴DAC OCA∠=∠∵在Rt△ADC中∠DAC+∠ACD=90°∴90ACD OCA∠+∠=︒即直线l⊥OC∴直线l是⊙O的切线；（2）∵ 四边形ACEB内接于圆∴1809045∠=︒-∠=∠=︒-∠=︒B ACE ACD DAC又∵直径AB所对圆周角90∠=︒AEB∴△ADC 与△ABE 都是等腰直角三角形 ∴2222()2(24)210BE AE AD DC DE cm ==++=++=∴221(210)202ABE S cm ∆=⨯= ∵22112522OB AB AE BE cm ==+= 连接OE 则90BOE ∠=︒∴2290(25)5360OBE S cm ππ⨯==扇形 ∴图中阴影部分面积=21(510)2OBE ABE OBE OBE S S S S cm π∆∆-=-=-扇形扇形．11．解、连OA 、OB 和OC 如图(2)所示图(2)则OA OB OC == 又AB BC CA ==．∴ OAB OBC OCA ≌≌又OD BC ⊥于F OE AC ⊥于G 由垂径定理得AG =12AC FC =12BC∴ AG CF =．∴ Rt Rt AOG COF ≌ ∴ 13OCG OCF OCG AOG AOC ABC OFCG S S S S S S S =+=+==四边形．即阴影部分四边形OFCG 的面积是ABC 的面积的13倍．12．解、（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB CD =∴AB CD =．∵E 是BC 的中点∴BE EC =∴AE DE =∴AE DE =．（2）解：连接BD 过点D 作DF DE ⊥交EC 的延长线于F ．∵四边形ABCD 是正方形 ∴45DBC DEC DA DC ∠=∠=︒=，． ∵90EDF ∠=︒∴904545F ∠=︒-︒=︒ ∴DE DF =．∵90ADC EDF ∠=∠=︒ ∴ADE CDF ∠=∠．在ADE 和CDF 中ADE CDFAED FDA DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ADE CDF AAS ≌（） ∴AE CF =∴2EF DE EC CF EC AE ==+=+ 即2AE CE DE +=．。

人教版九年级上册圆专题复习2切线证明及计算

人教版九年级上册圆专题复习2切线证明及计算一、知识回顾1、切线证明的两种主要类型：（1）已知直线经过圆上某一点,辅助性的作法是连接圆心和这一点,判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。

（2）未知直线是否经过圆上的某一点,辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段,判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。

二、例题讲解：例1：如图1,在Rt △ABC 中,C 90∠=,BE 平分∠ABC 交AC 于点E,点D 在AB 上,DE EB ⊥.（１）求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；（２）若26,62==AE AD ,求EC 的长.注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中,任意两个作为条件都可以推导出第三个。

（2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。

例2：如图2,在Rt △ABC 中,∠B=90°,∠A 的平分线交BC 于D,E 为AB 上一点,DE=DC,以D 为圆心,以DB 的长为半径画圆。

求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC 。

证明：（1）过点D 作DF ⊥AC 于F.∵AB 为⊙D 的切线, AD 平分∠BAC, ∴BD=DF .∴AC 为⊙D 的切线 .（2）在△BDE 和△DCF 中, ∵BD=DF, DE=DC,∴△BDE ≌△DCF （HL ）, ∴EB=FC .又AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC .三、课堂练习：1、如图3,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,在∠ACD的外部作∠ACE=∠ACD,CE的反向延长线交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若PC=4,PA=8,求sinP的值．2、如图4,在Rt△ABC中,∠B＝90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE＝DC,以D为圆心,DB长为半径作⊙D,AB＝5,EB＝3.求证:⑴AC是⊙O的切线；⑵求线段AC的长.3、如图5,已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O,∠B的平分线BE交AC于D,交⊙O于E,过E作EF∥AC交BA的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O切线；（2）若AB = 15,EF = 10,求AE的长．4、已知：如图6,∠ACB=60°,CE为∠ACB的角平分线,O为射线CE上的一点,⊙O切AC于点D．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6,P为⊙O上一点,且使得∠DPC=90°,求DP的长．5、（2009年元月调考试题）如图7,在边长为4的正方形ABCD中,以AD为直径作⊙O,以C为圆心,CD长为半径作⊙C,两圆交于正方形内一点E,连CE并延长交AB于F.(1)求证：CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF周长之比.四、课后作业：1、如图8,AB为⊙O的直径,D是⊙O 外一点, AD交⊙O于C,AE平分∠BAD交⊙O于E,AD⊥ED于D。

2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明【含答案】

2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明1．如图，直线AD经过⊙O上的点A，⊙ABC为⊙O的内接三角形，并且⊙CAD＝⊙B.（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙CAD＝30°，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）2．已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=．BC，AC=12OB（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．3．如图，△ABC内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG=EC．（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC=22.5°时，连接CF，①求证：AC=CF；②若AD=1，求线段FG的长．4．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为4，求⊙ABC的面积．5．如图，在⊙ABC中，⊙C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE（1）求证:直线DE是⊙O的切线，AC＝6，OA＝2，求图中阴影部分的面积（2）若BE＝10√336．如图，在⊙ABC中，⊙C=90°，⊙ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是⊙BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊙AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EF= √10，求AF长．7．如图，在⊙ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN⊙BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝√3．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．8．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．（1）求证：MC是⊙O的切线；（2）若OB=152，BC＝12，连接PC，求PC的长．9．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且⊙AED=45°．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O半径为6cm，AE=10cm，求⊙ADE的正弦值．10．如图，以Rt⊙ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE．（1）DE 与半圆O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；（2）若AD 、AB 的长是方程x 2﹣10x+24=0的两个根，求直角边BC 的长．11．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，⊙ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE⊙BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF⊙AB 于点F ，若BE=3 √3 ，DF=3，求图中阴影部分的面积．12．如图，在Rt⊙ABC 中，⊙C ＝90°，AD 平分⊙BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接DF ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，求证：⊙BDE ∼⊙BAD（3）若BE ＝52，sinB ＝35，求AD 的长． 13．如图，已知 ΔABC 内接干 ⊙O ， AB 是 ⊙O 的直径， ∠CAB 的平分线交 BC 于点 D ，交 ⊙O 于点 E ，连接 EB ，作 ∠BEF =∠CAE ，交 AB 的延长线于点 F .（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF=10，EF=20，求⊙O的半径和AD的长.14．如图，在△ABC中，AC=AB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，2∠BCP=∠BAC．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若BC=6，tan∠BCP=12，求点B到线段AC的距离．15．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，⊙BCP＝⊙BAC，⊙ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：⊙PEC是等腰三角形；（3）若AC＋BC＝2时，求CD的长．16．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．（1）求证：⊙ABC=⊙D；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：直线AD与⊙O的位置关系是相切，理由是：作直径AE，连接CE，∵AE为直径，∴⊙ACE＝90°，∴⊙E+⊙EAC＝90°，∵⊙B＝⊙DAC，⊙B＝⊙E，∴⊙E＝⊙DAC，∴⊙EAC+⊙DAC＝90°，即OA⊙AD，∵OA过O，∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；（2）解：连接OC，过O作OF⊙AC于F，则⊙OFA＝90，∵⊙CAD＝30°，⊙DAO＝90°，∴⊙OAC＝60°，∵OC＝OA＝1，∴⊙OAC是等边三角形，∴AC＝OA＝1，⊙AOC＝60°，∵OA ＝OC ，OF⊙AC ，∴AF ＝FC ＝ 12，由勾股定理得：OF ＝ √12−(12)2=√32， ∴阴影部分的面积为： 60π×12360−12×1×√32=π6−√34【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算【解析】【分析】（1）作直径AE ，连接CE ，求出⊙OAD ＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出⊙OAC 是等边三角形，再分别求出⊙OAC 和扇形OCA 的面积，即可得出答案.2．【答案】（1）证明：如图，连接OA ； ∵OC =BC,AC =12OB,∴OC=BC=AC=OA. ∴⊙ACO 是等边三角形. ∴∠O =∠OCA =60∘，∵AC=BC ， ∴⊙CAB=⊙B ，又⊙OCA 为⊙ACB 的外角， ∴⊙OCA=⊙CAB+⊙B=2⊙B ， ∴∠B =30∘, 又 ∠OAC =60∘， ∴∠OAB =90∘，∴AB 是 ⊙O 的切线（2）解：作AE⊙CD 于点E ， ∵∠O =60∘，∴∠D =30∘.∵∠ACD =45∘，AC =OC =2，∴在Rt⊙ACE 中, CE =AE =√2；∵∠D =30∘，∴AD =2√2，∴DE =√3AE =√6，∴CD =DE +CE =√6+√2.【知识点】圆周角定理；切线的判定【解析】【分析】（1）如图，连接OA ，根据题意得出OC =BC =AC =OA . 根据三边相等的三角形是等边三角形得出 ⊙ACO 是等边三角形，根据等边三角形的性质得出⊙O=⊙OCA=60°,根据等边对等角得出 ⊙CAB =⊙B ，根据三角形外角的定理得出 ⊙OCA =⊙CAB +⊙B =2⊙B ，故⊙B=30°,根据角的和差得出⊙OAB=90°，故 AB 是 ⊙O 的切线；（2）作AE ⊙CD 于点E ，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出⊙D=30°,然后根据等腰直角三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系得出CE,DE 的长，进而根据线段的和差即可算出答案。

人教版九年级数学上知识点巩固与综合运用专题12 切线证明的常用方法

又∵ OD ⊥ AC ，∴ AC 是☉ O 的切线.
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Thank you for watching!
又点 D 在☉ O 上，∴ OD 为☉ O 的半径.
∴ DE 与☉ O 相切.
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◆类型二
无切点，作垂直，证半径
4. 原创题
如图，在Rt△ ABC 中，已知 AB ＝4，
BC ＝3，以 AB 边上一点 O 为圆心， OB 为半径作圆.

若 OB ＝，求证： AC 是☉ O 的切线.

证明：如图，过点 O 作 OD ⊥ AC
径，弦 AB ⊥ CD ，垂足为点 F ，点 P 是 CD 延长线上
一点， DE ⊥ AP ，垂足为点 E ，∠ EAD ＝∠ FAD . 求
证： AE 是☉ O 的切线.
证明：如图，连接 OA .
∵ AB ⊥ CD ，
∴∠ AFD ＝90°.
∴∠ FAD ＋∠ ADF ＝90°.
1பைடு நூலகம்
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∵ OA ＝ OD ，
∴∠ ODB ＝∠ B .
∵ AB ＝ AC ，
∴∠ C ＝∠ B .
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∴∠ ODB ＝∠ C .
∴ OD ∥ AC .
∵ DE ⊥ AC ，
∴ DE ⊥ OD .
∵ OD 是☉ O 的半径，
∴ DE 是☉ O 的切线.
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2. （2023·凉山州中考节选）如图， CD 是☉ O 的直
AB 为☉ O 的直径，延长 AC 到点 G ，使得 CG ＝ CB ，

人教版九年级上册数学圆的切线相关证明题训练

人教版九年级上册数学圆的切线相关证明题训练 1．如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，点C 是切点，弦CF AB ⊥于点E ，连接AC ．(1)求证：AC 平分DCF ∠；(2)若AD CD ⊥，2BE =，8=CF ，求AD 的长．2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC =CD ，AC 与BD 相交于点E ．连接BC ，⊙BCF =⊙BAC ，CF 与AB 的延长线相交于点F ．(1)求证：CF 是⊙O 的切线；(2)求证：⊙ACD =⊙F ；(3)若AB =10，BC =6，求AD 的长．3．如图AB 是圆O 的弦，过点O 做OC ⊥OA ，OC 交AB 于点P ，且CB ＝CP ．(1)求证：BC 是圆O 的切线；(2)已知∠BAO ＝25，点Q 是圆O 上的一点（与点A ，B 不重合）⊙求∠AQB 的度数；⊙若OA ＝12，求AmB 的长．4．已知AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)如图⊙，⊙OPC 的最大面积是________；(2)如图⊙，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．5．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，延长CA 到点D ，以AD 为直径作O ，交BA 的延长线于点E ，延长BC 到点F ，使BF EF =．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若9OC =，4AC =，8AE =，求BE 的长．6．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．(1)求证：CD 是B 的切线；(2)若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．7．如图，AB 为半圆的直径，点O 为圆心，BC 为半圆的切线，连接OC ，过半圆上的点D 作AD ⊙OC ，连接BD ．BA 、CD 的延长线相交于点E ．(1)求证：DC是O的切线；(2)若4ED=，AE=，8⊙求O的半径．⊙将ABD∆以点A为中心逆时针旋转120︒，求AB扫过的图形的面积（结果用π表示）．8．已知⊙ABC内接于⊙O，AB＝AC，⊙BAC＝42°，点D是⊙O上一点．(1)如图⊙，若BD为⊙O的直径，连接CD，求⊙DBC和⊙ACD的大小；(2)如图⊙，若CD⊙BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求⊙E的大小．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．(1)求证：FG与⊙O相切；(2)连接EF，若AF＝2，求EF的长．10．如图，AB 为⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线CD 交BA 的延长线与点C ，过点O 作//OE AD 交CD 于点E ，连接BE ．(1)直线BE 与⊙O 相切吗？并说明理由；(2)若2CA =，4CD =，求DE 的长．11．如图，点A 、B 、C 在半径为6的⊙O 上，过点B 作BD //AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且⊙BCA ＝⊙OAC ＝30°．(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．12．已知AB 为O 的直径，6AB =，C 为O 上一点，连接,CA CB ．(1)如图⊙，若C 为AB 的中点，求CAB ∠的大小和AC 的长；(2)如图⊙，若2,AC OD =为O 的半径，且OD CB ⊥，垂足为E ，过点D 作O 的切线，与AC 的延长线相交于点F ，求FD 的长．13．如图，ABC 内接于O ，45ACB ∠=︒，AD 是O 的直径，过点B 作AD 的平行线，交AC 的延长线于点P ．(1)求证：PB 是O 的切线．(2)若2AB =，30CAB ∠=︒，则BC 的长为_________．（结果保留π）14．如图，在BCE 中，点A 是边BE 上一点，以AB 为直径的O 与CE 相切于点D ，AD OC ∥，点F 为OC 与O 的交点．(1)求证：CB 是O 的切线；(2)连接DB 与OC 交于点G ，2FG =，BD =15．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上两点，C 是BD 的中点，过点C 作AD 的垂线，分别交AB与AD的延长线于点E和点F．(1)求证：EF是O的切线；(2)若9,AE CE==AC的长．16．在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，⊙ABC＝63°．(1)如图⊙，若⊙APC＝100°，求⊙BAD和⊙CDB的大小；(2)如图⊙，若CD⊙AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求⊙E的大小．图⊙图⊙17．已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，⊙BAC=36°．(1)如图⊙，若CD平分⊙ACB，连接BD，求⊙ABC和⊙CBD的大小；(2)如图⊙，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE=AC，求⊙P的大小．18．如图，在Rt⊙AOB 中，⊙AOB ＝90°，⊙O 与AB 相交于点C ，与AO 相交于点E ，连接CE ，已知⊙AOC ＝2⊙ACE ．(1)求证：AB 为⊙O 的切线；(2)若AO ＝20，BO ＝15，求AE 的长．19．如图，ABC 内接于O ，AC 是O 的直径，点D 是O 上一点，连接CD 、AD ，过点B 作BE AD ⊥，交DA 的延长线于点E ，AB 平分CAE ∠．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若30ACB ∠=︒，O 的半径为6，求BE 的长．20．如图，AB ＝2，射线BM AB ⊥，点P 为BM 上一点，以BP 为直径作C ，点D 在C 上，AD ＝AB ，连接PD ，点Q 为弦PD 上一点，射线QC 交C 于点E ．(1)求证：AD 为C 的切线；(2)若30ACB ∠=︒，求劣弧PD 的长．。

人教版九年级数学上册专题复习圆的切线证明与相关计算

BBA人教版九年级数学上册专题复习圆的切线证明与相关计算1AB 为⊙O 的直径，PA 为⊙O 的切线，BC//OP 交⊙O 于C，PO 交⊙O 于D，(1)求证：PC 为⊙O 的切线；（2）过点D 作DE⊥AB 于E,交AC 于F，PO 交AC 于H,BD 交AC 于G,DF=FG,DF=5,CG=6,求⊙O 的半径。

2如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于D，与边AC 交于E，过D 作DF⊥AC 于F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若DE=25，AB=25,求AE 的长．3如上右图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，E 为AB 上一点，∠C=∠BEO，O 是BC上一点，以D 为圆心，OB 长为半径作⊙O，，AC 是⊙O，的切线．(1)求证：OE=OC；(2)若BE=4，BC=8，求OE 的长.4如图，△ABE 中，AB=AE ，以AB 为直径作⊙O ，⊙O 交BE 于D ，交AE 于F ，过D 点作CD ⊥AE 于M ，交AB 的延长线于C（1）求证：直线CM 是⊙O 的切线OM F EDCBAOECBA（2）若CD=5，DM=3，求EF的长。

5在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点O，E为AB上一点，OE=OC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AC=10，AB=6，求BE的长．6.如图D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交ΔABC三边于E,F,G三点，连接FE,FG.（1）求证∠EFG=∠B;(2)若AC=2BC=45,D为AE的中点，求CD的长。

7如图9，⊙0是 ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，DE ⊥BC于E，AF⊥BC于F(1)求证BE=CF;(2)作OG⊥BC于G，若DE=BF=3，OG=1，求弦AC的长．FE BDOCA8．如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于D，与边AC 交于E，过D 作DF⊥AC 于F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；2)若DE=25，AB=25,求AE 的长．9.已知：如图8，AD 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF⊥BC，F 为垂足．(1)求证：BF=EC;(2)若C 点是AD 的中点，且DF=3AE=3，求BC 的长．10.在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.（1）求证CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比11．小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD 于点N，若OM=ON，则AB=CD．（1）请帮小雅证明这个结论；（2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心，以O为圆心，OB为半径的O D与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G．若AD=9，CF=2，求△ABC的周长．。

人教版九年级上册数学24章圆-切线的性质与判定的综合应用

人教版九年级上册数学24章圆-切线的性质与判定的综合应用一、解答题1．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 延长线相交于点P ．若∠COB ＝2∠PCB ，求证：PC 是⊙O 的切线．2．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为C ，BE CD ⊥，垂足为E ，连接,AC BC .（1）求证：BC 平分ABE ∠；（2）若60A ∠=︒，2OA =，求CE 的长.3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是和⊙O 相切于点B 的切线，⊙O 的弦AD 平行于OC ．求证：DC 是⊙O 的切线.4．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，点D 在AB 的延长线上，CD 是O 的切线．（1）证明：ACO BCD ∠=∠；（2）若O 的半径是5，12CD =，求BD 的长．5．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，点D 是弧BC 的中点，连接AC 、BD ，过点D 作AC 的垂线EF ，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）判断直线EF 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB ＝5，BD ＝3，求线段AE 的长．6．已知P 是O 外一点，PO 交O 于点C ，2OC CP ==，弦AB OC AOC ⊥∠，的度数为60°，连接PB ．()1求BC 的长；()2求证：PB 是O 的切线．7．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D，且AB2＝AC•AD．求证：BC是⊙O的切线．8．如图，P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．（1）求证：△P AB是等边三角形；（2）求AC的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且=AC BD，过点O作OE⊥AC于点E⊙O的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G.（1）求证：∠F＝∠B；（2）若AB＝12，BG＝10，求AF的长.10．如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分DAB.11．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，请直接写出弧AE的长．12．如图，点C在以AB为直径的☉O上，BD平分∠ABC交☉O于点D，过D作BC 的垂线，垂足为E．（1）求证：DE与☉O相切；（2）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由；（3）若AB=5，BE=4，求BD的长．13．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，点P 在∠ABC 平分线上，以点P 为圆心作⊙P ．（1）如图，当⊙P 经过点C 时，求证：⊙P 与直线AB 相切；（2）当⊙P 同时与直线BC 、AC 相切时，求⊙P 的半径．14．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90°，D 为AB 边上的一点，以AD 为直径的⊙O 交BC 于点E ，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，交AE 于点F ，过点E 作EP ⊥AB ，垂足为P ，∠EAD =∠DEB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求证：CE =EP ；（3）若CG =12，AC =15，求四边形CFPE 的面积．15．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC //OP 交⊙O 于点C ，点E 是AB 的中点．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若10,6AB BC ==，求CE 的长．16．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．17．如图，四边形ABCD 为矩形，以AD 为直径作O ，过点C 作CF 与O 相切于点F ，连接AF 交BC 于点E ，连接OC ．（1）求证：四边形AOCE 为平行四边形；（2）若点F 为AE 的中点，2AD =，求DC 的长．18．如图，已知AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，点C 是O 上异于点A ，B 的一点，且PA PC =．（1）求证：PC 是O 的切线；（2）若30BAC ∠=︒，6AB =，求PA 的长．参考答案1．【详解】连接AC ，∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠ACO ． ∴∠COB ＝2∠ACO ．又∵∠COB ＝2∠PCB ， ∴∠ACO ＝∠PCB ． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO+∠OCB ＝90°．∴∠PCB+∠OCB ＝90°，即OC ⊥CP ． ∵OC 是⊙O 的半径， ∴PC 是⊙O 的切线． 2．（1）证明：∵CD 是O 的切线， ∴OC DE ⊥，又∵BE DE ⊥， ∴OCBE ，∴OCB CBE ∠=∠， ∴OBC CBE ∠=∠，即BC 平分ABE ∠；（2）解：∵AB 为O 的直径， ∴90ACB ∠=︒， ∵60A ∠=︒，∴OAC 是等边三角形，2AC OA ==. ∴24AB OA ==，∴BC ===∵1302OBC AOC ∠=∠=︒，且OBC CBE ∠=∠，∴30CBE ∠=︒.∴12CE BC ==3．证明：连接OD,∵BC 是和⊙O 相切于点B 的切线 ∴∠CBO=90°. ∵AD 平行于OC ，∴∠COD=∠ODA ，∠COB=∠A ； ∵∠ODA=∠A ，∴∠COD=∠COB ，OC=OC ，OD=OB ， ∴△OCD ≌△OCB ， ∴∠CDO=∠CBO=90°． ∴DC 是⊙O 的切线． 4．证明：（1）AB 是圆О的直径，90ACB ∴∠=︒，即90ACO OCB ∠+∠=︒，又CD 是圆О的切线，90OCB BCD ∴∠+∠=︒，ACO BCD ∴∠=∠；（2）在Rt OCD △中，由勾股定理得222OC CD OD +=，512OC OD CD ===，∴13OD ∴1358BD OD OB =-=-=．BD ∴的长为8．5．解：（1）相切，理由如下：连接OD ，∵点D 是弧BC 的中点， ∴∠BOD ＝∠F AE ， ∴OD ∥AE ， ∵AE ⊥EF ， ∴OD ⊥EF ，∴直线EF 是⊙O 的切线，即直线EF 与⊙O 相切；（2）连接AD ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∵AB ＝5，BD ＝3， ∴AD ＝4，∵∠E ＝∠ADB ＝90°，∠BAD ＝∠DAE ， ∴△ABD ∽ADE ， ∴AE AD ＝ADAB， ∴AE ＝3.2. 6．()1解：如图，连接OB ．AB OC ⊥，60AOC ∠=︒，30OAB ∴∠=︒， OB OA =，30OBA OAB ∴∠=∠=︒， 60BOC ∴∠=︒，OB OC =，OBC ∴的等边三角形，BC OC ∴=．又2OC =， 2BC ∴=；()2证明：由()1知，OBC 的等边三角形，则60COB ∠=︒，BC OC =．OC CP =， BC PC ∴=， P CBP ∴∠=∠．又60OCB ∠=︒，2OCB P ∠=∠，30P∴∠=︒，90OBP∴∠=︒，即OB PB⊥．又OB是半径，PB∴是O的切线．7．证明：连接BD，∵AB是⊙O的直径∴∠ADB＝90°，∵AB2＝AC•AD，∴AB AC AD AB=，又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，∴∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线．8．解：（1）∵P A，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴P A＝PB，且∠P＝60°，∴△P AB是等边三角形；（2）∵△P AB是等边三角形；∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，∵BC是直径，PB是⊙O切线，∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，∴∠ABC＝30°，∴tan∠ABC＝ACAB∴AC＝2.9．（1）证明：∵AC BD=，∴AD BC=.∴∠GAB＝∠B，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AO.∴∠GAB+∠GAF＝90°.∵OE⊥AC，∴∠F+∠GAF＝90°.∴∠F＝∠GAB，∴∠F＝∠B；（2）解：连接OG.∵∠GAB＝∠B，∴AG＝BG.∵OA＝OB＝6，∴OG⊥AB.∴8 OG==，∵∠F AO＝∠BOG＝90°，∠F＝∠B，∴△F AO∽△BOG，∴AF OB AO OG=.∴66982OB AOAFOG⋅⨯===.10．连接OC .∵CD 是O 的切线，∴OC CD ⊥.∵AD CD ⊥，∴OC AD ∥，∴12∠=∠.∵OC OA =，∴13∠=∠，∴23∠∠=.∴AC 平分DAB ∠.11．(1)证明：如图，连接OD ，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∴∠ODB=∠ACB ，∴OD ∥AC ，∵过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F ，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC ．(2)解：如图，连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，∵OA=OE ，∴∠AOE=90°，∵⊙O 的半径为4，∴弧AE 的长为90π42π180⨯=．12．解：（1）连接OD ，∵OD =OB ，∴∠ODB =∠OBD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD =∠CBD ，∴∠ODB =∠CBD ，∴OD ∥BE ，∵BE ⊥DE ，∴OD ⊥DE ，∴DE 与⊙O 相切；（2）CE =AB -BE ，理由如下：过D 作DH ⊥AB 于H ，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BE ，∴DH =DE ，在Rt △BED 与Rt △BHD 中，DE DHBD BD =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≅Rt △BHD （HL ），∴BH =BE ，∵∠DCE=∠A，∠DGA=∠DEC=90°，∴△ADH≅△CDE（AAS），∴AH=CE，∵AB=AH+BH，∴AB=BE+CE，∴CE=AB-BE；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB=∠BED=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD∽△DBE，∴AB BD BD BE=，∴54BD BD=，∴BD．13．证明：（1）如图，过点P作PD垂直AB，交AB于D点，∵AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，∴222222534AB AC BC ==+=+ ，∴∠ACB ＝90°，∴PC ⊥BC ，∵BP 平分∠ABC ，PC ⊥BC ，PD ⊥AB ，∴PC ＝PD ＝r ，∴⊙P 与直线AB 相切．（2）如图，当⊙P 同时与直线BC 、AC 相切时，点P 在∠ACB 或∠ACM 的角平分线上存在两种情况：①当圆心在△ABC 内部，即⊙P 1分别与直线BC 、AC 相切时，∴P 1G ＝P 1F ＝P 1E ＝r ，P 1G ⊥BC ，P 1E ⊥AB ，P 1F ⊥AC ，∴111ABC ABP ACP BCP S S S S ∆∆∆∆=++＝111111222AB PE AC PF BC PG ⋅+⋅+⋅＝12ABC C r ∆⋅，∴1234221345ABC ABC S r C ∆∆⨯⨯⨯===++，②当圆心在△ABC 外部，⊙P 2分别与直线BC 、AC 相切时， ∴P 2M ＝P 2N ＝P 2Q ＝R ，P 2M ⊥BC ，P 2Q ⊥AB ，P 2N ⊥AC ， ∴S △ABC ＝222222111222ABP BCP ACP S S S AB PQ BC P M AC P N ∆∆∆+-=⋅+⋅-⋅1()2AB BC AC R =+-⋅， ∴1234223534ABC S R AB BC AC ∆⨯⨯⨯===+-+-，综上，⊙P 的半径为1或3．14．证明：（1）连接OE ，∵OE =OD ，∴∠OED =∠ADE ，∵AD 是直径，∴∠AED =90°，∴∠EAD +∠ADE =90°，又∵∠DEB =∠EAD ，∴∠DEB +∠OED =90°，∴∠BEO =90°，∴OE ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线；（2）∵∠BEO =∠ACB =90°，∴AC∥OE，∴∠CAE=∠OEA，∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO，∴∠CAE=∠EAO，∴AE为∠CAB的角平分线，又∵EP⊥AB，∠ACB=90°，∴CE=EP；（3）连接PF，∵CG=12，AC=15，∴AG，∵∠CAE=∠EAP，∴∠AEC=∠AFG=∠CFE，∴CF=CE，∵CE=EP，∴CF=PE，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴CF∥EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CF=PF，∴四边形CFPE是菱形，∴CF=EP=CE=PF，∵∠CAE=∠EAP，∠EP A=∠ACE=90°，CE=EP，∴△ACE≌△APE（AAS），∴AP=AC=15，∴PG=AP-AG=15-9=6，∵PF2=FG2+GP2，∴CF2=（12-CF）2+36，∴CF=152，∴四边形CFPE的面积=CF×GP=152×6=45．15．（1）证明：如图，连接OC ，∵P A切⊙O于A∴PAO90∠=∵OP∥BC∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∴∠AOP=∠COP又∵OA=OC，OP=OP∴△P AO≌△PCO∴∠P AO=∠PCO=90 º又∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）解：连接AE，BE，AC过点B作BM⊥CE于点M∴∠CMB =∠EMB =∠AEB =90ºAB 是直径，∴90ACB ∠=︒，10,6AB BC ==8AC ∴，84cos 105AC CAB AB ∴∠=== 又∵点E 是AB 的中点∴∠ECB =∠CBM =∠ABE =45º，∴BE =AB ⨯cos45︒=cos 456CM BC =⨯︒==CB CB = CAB CEB ∴∠=∠4cos cos 5CEB CAB ∴∠=∠=∴EM =cos BE CEB ⨯∠45==∴CE =CM +EM =∴CE 的长为16．解：（1）证明：过O 作⊥OD AB 于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒OC AC ∴⊥， OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=， OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB =90°，∵∠CAO =30°，∠ACB =90°，∴AC∵∠AOC =90°-30°=60°，∴∠COD =2∠AOC =120°，由（1）得：AB 是⊙O 的切线，OC ⊥AC ，∴AC 为⊙O 的切线，∴AD =AC∴阴影部分面积=△AOC 的面积+△AOD 的面积-扇形OCD 的面积21112044422360π⨯=⨯+⨯- 163π=． 17．（1）如图，连接DF 、OF ，DF 交于G ，∵AD 为O 直径，∴∠AFD =90°，∵CF与O相切于点F，∴∠OFC=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC=∠DAB=90°，OA//CE，∴DC是O切线，∴DC=CF，∵OD=OF，∴OC是线段DF的垂直平分线，∴∠OGD=90°，∴OC//AE，∴四边形AOCE是平行四边形．（2）如图，连接OE、OF，∵AD=2，OA=OD，∴OF=OA=1，∵四边形AOCE是平行四边形，∴OA=CE，∵AD=BC，∴OA=BE，∵OA//BE，∴四边形AOEB是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形AOEB是矩形，∴∠AOE=90°，OE=AB=DC，∵F为AE中点，∴AE =2OF =2，∴DC =OE18．解：（1）连接OC ．∵PA 是O 的切线，AB 是O 的直径，∴PA AB ⊥（圆的切线垂直于过切点的半径）∴90PAB ∠=︒，∴90PAC CAB ∠+∠=︒，∵PA PC =，∴PAC PCA ∠=∠（等边对等角）∵OA OC =，∴CAB ACO ∠=∠，∴90PCA ACO ∠+∠=︒，即90PCO ∠=︒，∴PC OC ⊥，又∵OC 是O 的半径，∴PC 是O 的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．（2）连接BC ．∵90PAB ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴60PAC ∠=︒，又∵PA PC =，∴PAC △是等边三角形（有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形） ∴PA AC =，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒（直径所对的圆周角是直角）在Rt ACB 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，6AB =，∴3BC =，∴AC∴PA AC ==答：PA 的长是。

24.2.2 切线的判定与性质综合运用+课件++2023-2024学年人教版数学九年级上册

微专题7 切线的判定与性质综合运用分层检测
（2）作DG⊥AB于点F，交⊙O于点G，若∠A＝30°， AB＝8，求弦DG的长． (2)解：∵∠A＝30°，∴∠DOF＝2∠A＝60°， ∵DG⊥AB，AB 为直径，∴DG＝2DF，在 Rt△DOF 中，∵∠ODF＝90°－∠DOF＝30°， ∴OF＝12 OD＝2，∴DF＝ OD2－OF2 ＝2 3 ， ∴DG＝2DF＝4 3 .
微专题7 切线的判定与性质综合运用课堂学练
2.如图，以AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M. （1）求证：直线DE是⊙O的切线；
(1)证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AC，∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD，∴ DE是⊙O的切线；
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（2）已知⊙O的半径为2，求EF的长． (2)解：在 Rt△OBF 中， ∵∠FOB＝60°，∴∠OFB＝30°， ∴OF＝2OB＝4，BF＝ OF2－OB2 ＝2 3 ， ∵∠E＝30°，∴EF＝2BF＝4 3 .
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（2）若AC＝6 cm，DE＝4，求CD的长． (2)解：∵AC 是⊙的直径， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴BC＝2DE＝8，在 Rt△ABC 中，AB＝ AC2＋BC2 ＝10. ∵S△ABC＝12 AB·CD＝12 BC·AC， ∴CD＝4.8.
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（2）若OC＝3，OD＝5，求AC的长．

2021年人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习(含答案)

人教版数学九年级上册《切线的性质与判定》证明题专项练习1.如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是弧DE的中点.（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）若PA=6，求PB的长2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CF=2，CE=4，求⊙O的半径.3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．4.如图，Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，⊙O为△ADB的外接圆，DH⊥AB于点H，现将△AHD沿AD翻折得到△AED，AE交⊙O于点C，连接OC交AD于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，求线段OG的长．5.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．6.如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AC=4，CE=2，求⊙O半径的长．7.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.（1）如图①，若∠P=35°，求∠ABP的度数；（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.8.如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O；过点C作直线CD交AB的延长线于点D，且BD=OB，CD=CA.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）如图（2），过点C作CE⊥AB于点E，若⊙O的半径为8，∠A=30°，求线段BE.9.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，点D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长.10.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CF=2，DF=4，求⊙O的直径的长.11.如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．(1)求的度数．(2)如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠OCE的度数．12.如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE 的延长线于点F，已知BC=8，DE=2.(1)求⊙O的半径；(2)求CF的长.13.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF=FD；（3）若EF=4，DE=3，求AD的长．15.已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．16.如图,已知直线PA交⊙0于A、B两点,AE是⊙0的直径.点C为⊙0上一点,且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA,垂足为D.(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB的长度.17.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）已知：CD=1，EH=3，求AF的长.18.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；（3）求证：CD=HF.参考答案1.（1）证明：连接DE，OA.∵PD是直径，∴∠DEP=90°，∵PB⊥FB，∴∠DEP=∠FBP，∴DE∥BF，∵，∴OA⊥DE，∴OA⊥BF，∴直线l是⊙O的切线.（2）作OH⊥PA于H.∵OA=OP，OH⊥PA，∴AH=PH=3，∵OA∥PB，∴∠OAH=∠APB，∵∠AHO=∠ABP=90°，∴△AOH∽△PAB，2.（1）证明：连接OE.∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r.过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE=4，CH=OE=r，∴BH=FH=CH－CF=r－2，在Rt△BHO中，∵OH2+BH2=OB2，∴42+（r－2）2=r2，解得r=5.∴⊙O的半径为5.3.解：过D作DH⊥AC于H，由角平分线的性质可证DB=DH，∴AC与⊙D相切4.解：（1）连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，由翻折得：∠OAD=∠EAD，∠E=∠AHD=90°，∴∠ODA=∠EAD，∴OD∥AE，∴∠E+∠ODE=180°，∴∠ODE=90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵将△AHD沿AD翻折得到△AED，∴∠OAD=∠EAD=30°，∴∠OAC=60°，∵OA=OD，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOG=60°，∵∠OAD=30°，∴∠AGO=90°，∴OG=2.5．5.（1）证明：连接OB，如图所示：∵E是弦BD的中点，∴BE=DE，OE⊥BD，=，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC==10，∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE===4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD的长为9.6．6.解：（1）连接OA，∵∠ADE=25°，∴由圆周角定理得：∠AOC=2∠ADE=50°，∵AC切⊙O于A，∴∠OAC=90°，∴∠C=180°﹣∠AOC﹣∠OAC=180°﹣50°﹣90°=40°；（2）设OA=OE=r，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2+AC2=OC2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，答：⊙O半径的长是3．7.（1）解：∵AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°；又∵∠P=35°，∴∠AB=90°﹣35°=55°.（2）证明：如图，连接OC，OD、AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠ACP=90°；又∵D为AP的中点，∴AD=CD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）；在△OAD和△OCD中，，∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠OAD=∠OCD（全等三角形的对应角相等）；又∵AP是⊙O的切线，A是切点，∴AB⊥AP，∴∠OAD=90°，∴∠OCD=90°，即直线CD是⊙O的切线.8.（1）证明：如图1，连结OC，∴OC=OA=OB.∴点C 在⊙O 上，∵BD=OB ，∴AB=DO ，∵CD=CA ，∴∠A=∠D ，∴△ACB ≌△DCO ，∴∠DCO=∠ACB=90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：如图2，在Rt △ABC 中，BC=ABsin ∠A=2×8×sin30°=8，∵∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴BE=BCcos60°=8×=4.9.解：(1)证明：如图，连接OC.∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∴∠ACB=90°，即∠ACO ＋∠OCB=90°.∵OA=OC ，∠BCD=∠A ，∴∠ACO=∠A=∠BCD ，∴∠BCD ＋∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴OC ⊥CD.又∵OC 是⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线.(2)由(1)及已知得∠OCD=90°，OB=OC=3，CD=4，在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD=5，∴BD=OD －OB=5－3=2.10.解：(1)证明：如图，连接OD ，CD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠BDC=90°.又∵E 为BC 的中点，∴DE=12BC=CE ，∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴∠EDC＋∠ODC=∠ECD＋∠OCD=∠ACB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE.又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线.(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中，根据勾股定理，得OD2＋DF2=OF2，即x2＋42=(x＋2)2，解得x=3.∴⊙O的直径的长为6.11.解：(1)连接OB，∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，∴的度数为45°；(2)连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH=t，∵OH⊥EC，∴EF=2HE=2t，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=CO=EF=2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=t，则HO===t，∵OC=2OH，∴∠OCE=30°．12.解：(1)设⊙O的半径为x，∵E点是的中点，O点是圆心，∴OD⊥BC，DC==4，在Rt△ODC中，OD=x﹣2，∴OD2+DC2=OC2∴(x﹣2)2+42=x2∴x=5，即⊙O的半径为5；(2)∵FC是⊙O的切线，∴OC⊥CF又∵E是的中点.∴OD⊥BC，∴OC2=OD•OF，即52=3•OF,∴在Rt△OCF中，OC2+CF2=OF2∴13.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．14.解：15.解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．16. (1)证明：连接OC,∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练 --切线的证明

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--切线的证明一、综合题1．如图，⊙O是Rt⊙ABC的外接圆，⊙ABC＝90°，BD＝BA，BE⊙DC交DC的延长线于点E．（1）若⊙BAD＝70°，则⊙BCA＝°；（2）若AB＝12，BC＝5，求DE的长：（3）求证：BE是⊙O的切线．2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD=∠B．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF=45∘，⊙O的半径为5，sinB=35，求CF的长．3．如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD 交于点F，作AH⊙CE，垂足为点H，已知⊙ADE＝⊙ACB．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若OB＝4，AC＝6，求sin⊙ACB的值；（3）若DFFO＝23，求证：CD＝DH．4．如图，⊙ O是⊙ ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：（1）∠ECB=∠BAD；（2）BE是⊙ O的切线．5．如图，已知Rt⊙ABC，⊙C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．6．如图，在Rt⊙ABC中，⊙C=90°，⊙BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，⊙B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）7．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊙AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）求cos⊙E的值．8．如图，已知⊙ABC是等边三角形，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点D，E，点F在AB 的延长线上，2⊙BCF=⊙BAC．（1）求⊙ADE的度数．（2）求证：直线CF是⊙O的切线．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F.（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC⊙EF时.①求证：⊙KGD⊙⊙KEG；②若cosC=45，AK= √10，求BF的长.10．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC边上的点，⊙O与AB相切，切点为D，AC与⊙O相交于点E，且AD=AE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）如果F为DE弧上的一个动点（不与D、E重合），过点F作⊙O的切线分别与边AB、AC相交于G、H，连接OG、OH，有两个结论：①四边形BCHG的周长不变，②∠GOH的度数不变．已知这两个结论只有一个符合题意，找出正确的结论并证明；（3）探究：在（2）的条件下，设BG=x，CH=y，试问y与x之间满足怎样的函数关系，写出你的探究过程并确定变量x的取值范围，并说明当x=y时F点的位置．11．如图，在⊙ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊙AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N.（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cosC＝35，求DN的长.12．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是AB⌢的中点.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝8，CD•DE＝15，求PA的长.13．如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝CE，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAD=13，AB＝6，求DF的长．14．如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.（1）求证：BD是⊙O的切线.（2）若AB=√3，E是半圆AGF⌢上一动点，连接AE，AD，DE.填空：①当AE⌢的长度是时，四边形ABDE是菱形；②当AE⌢的长度是时，ΔADE是直角三角形.15．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE=GE；（2）如图2，连接CA ，BG，若⊙FGB= 12⊙ACH，求证：CA⊙FE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE= 35，AK= √10，求CN的长．16．如图，已知在Rt⊙ABC 中，⊙C=90° ，点D为AC的中点.（1）请利用尺规作出以BC为直径的⊙O ；（保留作图痕迹）（2）AB交⊙O于点 E ，连接DE ，求证：DE 是⊙O的切线.（3）若⊙ABC=30° ，BC=6 ，求⊙O与DE 、DC 组成的阴影部分面积.答案解析部分1．【答案】（1）70（2）解：在Rt⊙ABC中，AC＝√BC2+AB2＝13，⊙BDE＝⊙BAC，⊙BED＝⊙CBA＝90°，∴⊙DEB⊙⊙ABC，∴DEAB=BDAC，即DE12=1213，解得，DE＝14413；（3）证明：连接OB，∵OB＝OC，∴⊙OBC＝⊙OCB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴⊙BAD+⊙BCD＝180°，∵⊙BCE+⊙BCD＝180°，∴⊙BCE＝⊙BAD，∵BD＝BA，∴⊙BDA＝⊙BAD，∵⊙BDA＝⊙ACB，∴⊙ACB＝⊙BAD，∴⊙OBC＝⊙BCE，∴OB⊙DE，∵BE⊙DC，∴BE⊙OB，∴BE是⊙O的切线．2．【答案】（1）解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠BCO+∠OCA=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠BCO，∴∠ACD+∠OCA=90∘，即∠OCD=90∘，∴DC为⊙O的切线（2）解：(2)Rt△ACB中，AB=10，sinB=35=ACAB，∴AC=6，BC=8，∵∠ACD=∠B，∠ADC=∠CDB，∴△CAD⊙ △BCD，∴AC BC=ADCD=68=34，设AD=3x，CD=4x，Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，52+(4x)2=(5+3x)2，x=0(舍)或307，∵∠CEF=45∘，∠ACB=90∘，∴CE=CF，设CF=a，∵∠CEF=∠ACD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠BDF，∴∠CDE=∠BDF，∵∠ACD=∠B，∴△CED⊙ △BFD，∴CE CD=BF BD，∴a 4×307=8−a10+3×307，a=247，∴CF=2473．【答案】（1）证明：连接OA，由圆周角定理得，⊙ACB＝⊙ADB，∵⊙ADE＝⊙ACB，∴⊙ADE＝⊙ADB，∵BD是直径，∴⊙DAB＝⊙DAE＝90°，在⊙DAB和⊙DAE中，{∠BAD=∠EADDA=DA∠BDA=∠EDA，∴⊙DAB⊙⊙DAE，∴AB＝AE，又∵OB＝OD，∴OA⊙DE，又∵AH⊙DE，∴OA⊙AH，∴AH是⊙O的切线（2）解：由（1）知，⊙E＝⊙DBE，⊙DBE＝⊙ACD，∴⊙E＝⊙ACD，∴AE＝AC＝AB＝6．在Rt⊙ABD中，AB＝6，BD＝8，⊙ADE＝⊙ACB，∴sin⊙ADB＝68＝34，即sin⊙ACB＝34（3）证明：由（2）知，OA是⊙BDE的中位线，∴OA⊙DE，OA＝12DE．∴⊙CDF⊙⊙AOF，∴CDAO＝DFOF＝23，∴CD＝23OA＝13DE，即CD＝14CE，∵AC＝AE，AH⊙CE，∴CH＝HE＝12CE，∴CD＝12CH，∴CD＝DH．4．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴⊙ECB=⊙BAD．（2）证明：连结OB，OD，在⊙ABO和⊙DBO中，{AB=BD BO=BOOA=OD，∴⊙ABO⊙⊙DBO（SSS），∴⊙DBO=⊙ABO，∵⊙ABO=⊙OAB=⊙BDC，∴⊙DBO=⊙BDC，∴OB⊙ED，∵BE⊙ED，∴EB⊙BO，∴BE是⊙O的切线5．【答案】（1）证明：连接OE、EC，∵AC是⊙O的直径，∴⊙AEC=⊙BEC=90°，∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴⊙1=⊙2，∵OE=OC，∴⊙3=⊙4，∴⊙1+⊙3=⊙2+⊙4，即⊙OED=⊙ACB，∵⊙ACB=90°，∴⊙OED=90°，∴DE是⊙O的切线（2）解：由（1）知：⊙BEC=90°，∵在Rt⊙BEC与Rt⊙BCA中，⊙B=⊙B，⊙BEC=⊙BCA，∴⊙BEC⊙⊙BCA，∴BEBC=BCBA，∴BC2=BE•BA，∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，∵BC=6，∴62=2x•3x，解得：x= √6，即AE= √66．【答案】（1）解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，如图所示，∵OA=OD，∴⊙OAD=⊙ODA，∵⊙BAC的角平分线AD交BC边于D，∴⊙CAD=⊙OAD，∴⊙CAD=⊙ODA，∴OD⊙AC，∴⊙ODB=⊙C=90°，即OD⊙BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）解：①设OA=OD=r，在Rt⊙BDO中，⊙B=30°，∴OB=2r，在Rt⊙ACB中，⊙B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．②在Rt⊙ACB中，⊙B=30°，∴⊙BOD=60°．∴．∴所求图形面积为．7．【答案】（1）证明：如图，方法1：连接OD、CD．∵BC是直径，∴CD⊙AB．∵AC=BC．∴D是AB的中点．∵O为CB的中点，∴OD⊙AC．∵DF⊙AC，∴OD⊙EF．∴EF是圆O的切线．方法2：∵AC=BC，∴⊙A=⊙ABC，∵OB=OD，∴⊙DBO=⊙BDO，∵⊙A+⊙ADF=90°∴⊙EDB+⊙BDO=⊙A+⊙ADF=90°．即⊙EDO=90°，∴OD⊙ED∴EF是圆O的切线.（2）解：连BG．∵BC是直径，∴⊙BDC=90°．∴CD= √AC2−AD2=8．∵AB•CD=2S⊙ABC=AC•BG，∴BG= AB⋅CDAC=9610=485．∴CG= √BC2−BG2= 145．∵BG⊙AC，DF⊙AC，∴BG⊙EF．∴⊙E=⊙CBG，∴cos⊙E=cos⊙CBG= BGBC=2425．8．【答案】（1）解：∵⊙ABC是等边三角形，∴⊙ACB=⊙ACE=60°，∴⊙ADE=180°﹣⊙ACE=120°（2）解：∵⊙O的直径是AC，∴⊙AEC=90°，即AE⊙BC．又∵AB=AC，∴⊙BAE=⊙CAE．∵2⊙BCF=⊙BAC，∴⊙BCF=⊙CAE．∵⊙CAE+⊙ECA=90°，∴⊙BCF+⊙ECA=90°，即⊙ACF=90°．又AC是直径，∴直线CF是⊙O的切线9．【答案】（1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK，∴⊙KGE=⊙GKE=⊙AKH，又OA=OG，∴⊙OGA=⊙OAG，∵CD⊙AB，∴⊙AKH+⊙OAG=90°，∴⊙KGE+⊙OGA=90°，∴EF是⊙O的切线.（2）解：①∵AC⊙EF，∴⊙E=⊙C，又⊙C=⊙AGD，∴⊙E=⊙AGD，又⊙DKG=⊙CKE，∴⊙KGD⊙⊙KGE.②连接OG，如图所示.∵cosC=45，AK= √10，设cosC=45=CHAC=k，∴CH=4k，AC=5k，则AH=3kKE=GE，AC⊙EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k.在Rt⊙AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即(3k)2+k2=(√10)2，k=1，CH=4，AC=5，则AH=3，设⊙O半径为R，在Rt⊙OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k，由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2，(R−3)2+42=R2，∴R=256在Rt⊙OGF中，cosC=cos∠GOF=45=OGOF，∴OF=12524，∴BF=OF−OB=12524−256=252410．【答案】（1）解：如图，连接OA，OD，OE，∵AB是⊙O的切线，点D为切点，∴⊙ADO=90°，∵AD=AE，OD=0E，AO=AO，∴⊙AOD⊙⊙AOE，∴⊙ADO=⊙AEO=90°，∴AC是⊙O的切线，点E为切点；（2）解：根据题意，四边形BCHG的周长为BC+CH+BG+HG，∵∠A=90°，AB=AC=4，∴⊙B=⊙C=45°，BC=4 √2，∵⊙ADO=⊙AEO=90°，OD=0E，∴⊙DOB=⊙EOC=45°，⊙BOD⊙⊙COE，∴OB=OC，BD=CE，∴⊙EOD=90°，⊙AOB=90°，⊙BAO=45°，∴BD=OD=DA=CE= 12AB=2，∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，∴HF=HE，GD=GF，∴四边形BCHG的周长为BC+CE+EH+GH+BD+GD=BC+CE+BD+GH+HF+FG= BC+CE+BD+2GH=4+4 √2+2GH，∵GH是变量，∴四边形BCHG的周长不是定值，这个结论不符合题意；∵AB，AC，GH都是⊙O的切线，根据切线长定理，得GO平分⊙DOF，HO平分⊙EOF，∴⊙GOH=⊙GOF+⊙HOF= 12⊙DOF+12⊙EOF=12（⊙DOF+⊙EO）= 12⊙EOD，∵⊙EOD=90°，∴⊙GOH=45°，是个定值，故该结论符合题意（3）解：根据题意，GD=GF=x-2，HE=HF=y-2，∴GH=x+y-4，AG=4-x，AH=4-y，在直角三角形AGH中，AG2+AH2=GH2，∴(x−2)2+(y−2)2=(x+y−4）2，整理，得y= 8x，且2＜x＜4，当x=y时，∴AG=AH，∴AG：AB=AH：AC，∴GH⊙BC，∴OF⊙GH，∵BG=CH，⊙B=⊙C，BO=CO，∴⊙BOG⊙⊙COH，∴GO=HO，∴GF=FH，∴A，F，O三点一线，∴⊙DOF=⊙EOF，∴弧DF=弧EF，故点F是弧DE的中点．11．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵AB是直径，∴⊙ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，⊙BAD＝⊙CAD，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD⊙AC，∵DM⊙AC，∴OD⊙MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；（2）证明：∵AB＝AC，∴⊙ABC＝⊙ACB，∵⊙ABC+⊙BAD＝90°，⊙ACB+⊙CDM＝90°，∴⊙BAD＝⊙CDM，∵⊙BDN＝⊙CDM，∴⊙BAD＝⊙BDN，又∵⊙N＝⊙N，∴⊙BDN⊙⊙DAN，∴BNDN=DNAN，∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；（3）解：∵BC＝6，BD＝CD，∴BD＝CD＝3，∵cosC＝35＝CDAC，∴AC＝5，∴AB＝5，∴AD＝√AB2−BD2＝√25−9＝4，∵⊙BDN⊙⊙DAN，∴BNDN=DNAN＝BDAD＝34，∴BN＝34DN，DN＝34AN，∴BN＝34（34AN）＝916AN，∵BN+AB＝AN，∴916AN+5＝AN∴AN＝80 7，∴DN＝34AN＝607.12．【答案】（1）证明：连接OC，OE，∵OC=OE，∴⊙OEC=⊙OCE，∵E是AB⌢的中点，∴AE⌢=BE⌢，∴⊙AOE=⊙BOE=90°，∴⊙OEC+⊙ODE=90°，∵PC=PD，∴⊙PCD=⊙PDC，∵⊙PDC=⊙ODE，∴⊙PCD=⊙ODE，∴⊙PCD+⊙OCD=⊙ODE+⊙OEC=90°，∴OC⊙PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接AC，BE，BC，∵⊙ACD=⊙DBE，⊙CAD=⊙DEB，∴⊙ACD⊙⊙EBD，∴ADDE=CDBD，∴CD•DE=AD•BD=（AO-OD）（AO+OD）=AO2-OD2；∵AB为⊙O的直径，∴⊙ACB=90°，∵⊙PCO=90°，∴⊙ACP+⊙ACO=⊙ACO+⊙BCO=90°，∴⊙ACP=⊙BCO，∵⊙BCO=⊙CBO，∴⊙ACP=⊙PBC，∵⊙P=⊙P，∴⊙ACP⊙⊙CBP，∴PCPB=PAPC，∴PC2=PB•PA=（PD+DB）（PD-AD）=（PD+OD+OA）（PD+OD-OA）=（PD+OD）2-OA2=PD2+2PD•OD+OD2-OA2，∵PC=PD，∴PD2=PD2+2PD•OD+OD2-OA2，∴OA2-OD2=2OD•PD，∴CD•DE=2OD•PD；∵AB=8，∴OA=4，由CD•DE=AO2-OD2；∵CD•DE=15，∴15=42-OD2，∴OD=1（负值舍去），∴AD=3，由CD•DE=2OD•PD，∴PD= CD•DE2OD=152，∴PA=PD-AD= 9 2.13．【答案】（1）证明：∵AD为⊙O的直径，BE＝CE，∴AD⊥BC，∴∠AEC=90°，∵DF∥BC，∴∠ADF=∠AEC=90°，∴DF⊥AD，且OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵sin∠BAD =13，AB ＝6，∴CE ＝BE ＝2，∴AE =√AB 2−BE 2=4√2， ∵AD ⊥BC ， ∴AC ＝AB ＝6， ∵cos∠CAD =AE AC =ACAD， ∴4√26=6AD，∴AD =9√22，∵tan∠CAD =DF AD =CEAE， ∴9√22=4√2，∴DF =94（注：答案不唯一，可利用两个三角形相似进行解答）.14．【答案】（1）证明：如图，连接OD ，∵在RtΔABC 中，∠BAC =90°，∠C =30°，∴AB =12BC ，∵D 是BC 的中点，∴BD =12BC ，∴AB =BD ，∴∠BAD =∠BDA ， ∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ， ∴∠ODB =∠BAO =90°，即OD ⊥BC ， ∴BD 是⊙O 的切线. （2）23π；13π或π15．【答案】（1）证明：如图1，连接OG．∵EF切⊙O于G，∴OG⊙EF，∴⊙AGO+⊙AGE=90°，∵CD⊙AB于H，∴⊙AHD=90°，∴⊙OAG+⊙AKH=90°，∵OA=OG，∴⊙AGO=⊙OAG，∴⊙AGE=⊙AKH，∵⊙EKG=⊙AKH，∴⊙EKG=⊙AGE，∴KE=GE（2）证明：设⊙FGB=α，∵AB是直径，∴⊙AGB=90°，∴⊙AGE=⊙EKG=90°﹣α，∴⊙E=180°﹣⊙AGE﹣⊙EKG=2α，∵⊙FGB= 12⊙ACH，∴⊙ACH=2α，∴⊙ACH=⊙E，∴CA⊙FE（3）解：作NP⊙AC于P．∵⊙ACH=⊙E，∴sin⊙E=sin⊙ACH= AH AC=35，设AH=3a，AC=5a，则CH= √AC2−CH2=4a，tan⊙CAH= CHAH=4 3，∵CA⊙FE，∴⊙CAK=⊙AGE，∵⊙AGE=⊙AKH，∴⊙CAK=⊙AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan⊙AKH= AHHK=3，AK= √AH2+HK2=√10a，∵AK= √10，∴√10a=√10，∴a=1．AC=5，∵⊙BHD=⊙AGB=90°，∴⊙BHD+⊙AGB=180°，在四边形BGKH中，⊙BHD+⊙HKG+⊙AGB+⊙ABG=360°，∴⊙ABG+⊙HKG=180°，∵⊙AKH+⊙HKG=180°，∴⊙AKH=⊙ABG，∵⊙ACN=⊙ABG，∴⊙AKH=⊙ACN，∴tan⊙AKH=tan⊙ACN=3，∵NP⊙AC于P，∴⊙APN=⊙CPN=90°，在Rt⊙APN中，tan⊙CAH= PNAP=43，设PN=12b，则AP=9b，在Rt⊙CPN中，tan⊙ACN= PNCP=3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b= 513，∴CN= √PN2+CP2= 4√10⋅b= 2013√10．16．【答案】（1）解：如图1，作BC的垂直平分线，交BC于O，以OB为半径作⊙O ，则⊙O 即为所作；（2）解：如图2，连接OD，OE，∵O是BC的中点，D是AC的中点，∴OD是△ACB的中位线，∴OD//AB，∴∠COD=∠B，∠DOE=∠OEB，∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，∴∠COD=∠DOE，∵OC=OE，OD=OD，∴△OCD⊙ △OED(SAS)，∴∠OED=∠OCD=90°，∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（3）解：如图2，∵OB=OE，∴∠OEB=∠B=30°，∴∠COE=∠OEB+∠B=60°，由（2）知：△OCD⊙ △OED，∴∠COD=∠DOE=30°，∵BC=6，∴OC=3，Rt△OCD中，CD=√3，∴⊙O与DE、DC组成的阴影部分面积=2S△OCD −S扇形OCE=2×12×3×√3−60π×32360=3√3−3π2.。

圆切线的判定与性质综合(3大类题型)(解析版)--初中数学专项训练

圆切线的判定与性质综合(3大类题型)重难点题型归纳【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】【题型3圆切线的判定与性质综合】满分必练【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】1(2023春•保德县校级期中)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．【答案】见解答．【解答】证明：连接OD，∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODE=∠AED=90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．2(2022秋•大连期末)如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．求证：CD是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】解：连OD，如图，∵∠ADE=60°，∠C=30°，∴∠A=∠ADE-∠C=60°-30°=30°，又∵OD=OA，∴∠ODA=∠A=30°，∴∠EDO=90°，所以CD是⊙O的切线．3(2022秋•龙川县校级期末)如图，OA是⊙O的半径，∠B=20°，∠AOB=70°．求证：AB是⊙O的切线．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠AOB=70°，∠B=20°，∴∠OAB=180°-∠B-∠AOB=90°，∴OA⊥AB，∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．4(2022秋•利通区期末)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，在⊙D中，AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-60°-30°=90°，∴AD⊥AC，又∵DA是半径，∴AC是⊙D的切线．5(2022秋•天河区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求证：DE是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD，∵AO=OB，D为AC的中点，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．6(2022秋•阿瓦提县校级期末)已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB= AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．7(2022•昭平县一模)如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC=2，∠ABC=30°．(1)求AB的长；(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】(1)解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC=30°，OP⊥AB，∴∠AOC =60°，∴∠OAD =30°，∴OD =12OA =12×2=1，∴AD =3OD =3，又∵OP ⊥AB ，∴AD =BD ，∴AB =23；(2)证明：由(1)∠BOC =60°，而OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∴BC =OB =OC ，∠OBC =∠OCB =60°，∴C 是OP 的中点，∴CP =CO =CB ，∴∠CBP =∠P ，而∠OCB =∠CBP +∠P ，∴∠CBP =30°∴∠OBP =∠OBC +∠CBP =90°，∴OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线．8(2022•漳州模拟)已知：△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB =AC ，∴BD =DC ，∵BO =OA ，∴OD ∥AC ，∴∠ODE =180°-∠AED =90°，∴DE 是⊙O 的切线．9(2022秋•芜湖期末)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AC =CD =DB，DE ⊥AC ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接OD ，∵AC =CD =DB，∴∠BOD =13×180o =60o ，∵CD =DB ，∴∠EAD =∠DAB =12∠BOD =30°，∵OA =OD ，∴∠ADO =∠DAB =30°，∵DE ⊥AC ，∴∠E =90°，∴∠EAD +∠EDA =90°，∴∠EDA =60°，∴∠EDO =∠EDA +∠ADO =90°，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】10(2022秋•长乐区期中)如图，在△OAB 中，OA =OB =5，AB =8，⊙O 的半径为3．求证：AB 是⊙O 的切线．【答案】证明见解析．【解答】证明：如图，过O 作OC ⊥AB 于C ，∵OA =OB ，AB =8，∴AC =12AB =4，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3，∵⊙O 的半径为3，∴OC 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．11(2022•八步区一模)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，E 为AB 上一点，DE =DC ，以D 为圆心，DB 的长为半径作⊙D ，AB =5，BE =3．(1)求证：AC 是⊙D 的切线；(2)求线段AC 的长．【解答】(1)证明：过点D 作DF ⊥AC 于F ；∵AB 为⊙D 的切线，∴∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵AD 平分∠BAC ，DF ⊥AC ，∴BD =DF ，∴AC 与⊙D 相切；(2)解：在△BDE 和△DCF 中；BD =DF DE =DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △DCF (HL )，∴EB =FC ．∵AB =AF ，∴AB +EB =AF +FC ，即AB +EB =AC ，∴AC =5+3=8．12(秋•莆田期末)如图，半圆O 的直径是AB ，AD 、BC 是两条切线，切点分别为A 、B ，CO 平分∠BCD ．(1)求证：CD 是半圆O 的切线．(2)若AD =20，CD =50，求BC 和AB 的长．【解答】(1)证明：过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE=OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；(2)解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB=90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO=90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD=BF=20，DF=AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE=AD=20，EC=BC，∵CD=50，∴EC=CD-DE=50-20=30，∴BC=30，∴CF=BC-BF=10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=DC2-CF2=502-102=206，∴AB=DF=206，∴BC的长为30，AB的长为206．【题型3　圆切线的判定与形式综合】13(2023•银川校级四模)如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．(1)求证：⊙D与AC相切；(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：过D 作DF ⊥AC 于F ，∵∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴BD =DF ，∴⊙D 与AC 相切；(2)解：设圆的半径为x ，∵∠B =90°，BC =3，AC =5，∴AB =AC 2-BC 2=4，∵AC ，BC ，是圆的切线，∴BC =CF =3，∴AF =AB -CF =2，∵AB =4，∴AD =AB -BD =4-x ，在Rt △AFD 中，(4-x )2=x 2+22，解得：x =32，∴AE =4-3=1．14(2022秋•五莲县期中)如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若正方形ABCD 的边长为10，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OE ，并过点O 作OF ⊥CD ．∵BC 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥BC ，OE =OA ，又∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB =∠ACD ，∴OF =OE =OA ，即：CD 是⊙O 的切线．(2)解：∵正方形ABCD 的边长为10，∴AB =BC =10，∠B =90°，∠ACB =45°，∴AC =AB 2+BC 2=102，∵OE ⊥BC ，∴OE =EC ，设OA=r，则OE=EC=r，∴OC=OE2+EC2=2r，∵OA+OC=AC，∴r+2r=102，解得：r=20-102．∴⊙O的半径为：20-102．15(2023•甘南县一模)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若AB=4，∠DAB=60°，求AD的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OC，如图1所示：∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；(2)解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°，AB=2，AC=3BC=23，∴BC=12∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，AC=3，AD=3CD=3．∴CD=1216(2023•夹江县模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若EA=1，ED=3，求⊙O的半径．【答案】(1)见解答；(2)4．【解答】解：(1)如图，连接OD，由OD=OA得：∠OAD=∠ODA，∵OC∥AD，∴∠DOC=∠ODA，∠BOC=∠OAD，∴∠DOC=∠BOC，又∵OD=OB，OC=OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC=∠OBC，∵BC⊥AB，∴∠ODC=∠OBC=90°，又∵D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x，则：OD=x，OA=x+1，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，在Rt△ODE中，由勾股定理得：ED2+OD2=OE2，∴32+x2=(x+1)2，解得：x=4，∴⊙O的半径为4．17(2022秋•盘山县期末)如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线与AB的延长线相交于点P，且AC=PC，∠P=30°．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AB=6，求PC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)33．【解答】(1)证明：如图所示，连接OC，∵AC=PC，∠P=30°，∴∠A=∠P=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠PCO=180°-∠P-∠POC=90°，即OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(2)解：∵AB=6且AB是⊙O的直径，∴OC=1OA=3，2在Rt△POC中，∠PCO=90°，∠P=30°，∴OP=2OC=6，∴PC=PO2-OC2=33．18(2023春•东营期末)如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．(1)求证：HB是⊙O的切线；(2)若HB=4，BC=2，求⊙O的直径．【答案】见试题解答内容【解答】证明：(1)如图，连接OH，∵PH平分∠APB，∴∠HPA=∠HPB，∵OP=OH，∴∠OHP=∠HPA，∴∠HPB=∠OHP，∴OH∥BP，∵BP⊥BH，∴OH⊥BH，∴HB 是⊙O 的切线；(2)如图，过点O 作OE ⊥PC ，垂足为E ，∵OE ⊥PC ，OH ⊥BH ，BP ⊥BH ，∴四边形EOHB 是矩形，∴OE =BH =4，OH =BE ，∴CE =OH -2，∵OE ⊥PC∴PE =EC =OH -2=OP -2，在Rt △POE 中，OP 2=PE 2+OE 2，∴OP 2=(OP -2)2+16∴OP =5，∴AP =2OP =10，∴⊙O 的直径是10．19(2023•汉川市模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，直线BF 与AD 延长线交于点F ，且∠AFB =∠ABC ．(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；(2)若CD =12，BE =3，求⊙O 的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)152．【解答】(1)证明：∵AC =AC ，∴∠ABC =∠ADC ，∵∠AFB =∠ABC ，∴∠ADC =∠AFB ，∴CD ∥BF ，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∵OB 为⊙O 的半径．∴直线BF 是⊙O 的切线；(2)解：设⊙O 的半径为R ，连接OD ，如图，∵AB ⊥CD ，CD =12，∴CE =DE =12CD =6，∵BE =3，∴OE =R -3，在Rt △OED 中，∵OE2+DE2=OD2，∴R2=(R-3)2+62，解得：R=15 2．即⊙O的半径为15 2．20(2022秋•斗门区期末)如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP=∠OBC．(1)求证：PC与⊙O相切；(2)若PA=4，PC=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)4．【解答】(1)证明：连接OC，则OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACP=∠OBC，∴∠ACP=∠OCB，∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=∠OCA+∠OCB=∠ACB=90°，∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，∴PC与⊙O相切．(2)解：∵PC=BC，∴∠P=∠B，∵∠ACP=∠B，∴∠ACP=∠P，∴CA=PA=4，∵∠OCP=90°，∴∠ACO+∠ACP=90°，∠AOC+∠P=90°，∴∠ACO=∠AOC，∴CA=OA=OC=4．21(2023•黑龙江模拟)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BD=3，求AE的长．【答案】(1)见解析；(2)658．【解答】(1)证明：(1)连接OC ；∵AE ⊥CD ，CF ⊥AB ，又CE =CF ，∴∠1=∠2．∵OA =OC ，∴∠2=∠3，∠1=∠3．∴OC ∥AE ．∴OC ⊥CD ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵OC ⊥ED ，AB =10，BD =3，∴OB =OC =5．CD =OD 2-OC 2=39，∵S △OCD =12OC ⋅CD =12OD ⋅CF ，即12×5×39=125+3 ⋅CF ，∴CF =5398，∴OF =OC 2-FC 2=658，∴AF =OA +OF =5+258=658，在Rt △AEC 和Rt △AFC 中，CE =CF ，AC =AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △AFC (HL )，∴AE =AF =658．22(2023•宿豫区三模)如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AC 边上，以AD 为直径作⊙O 交BD 的延长线于点E ，CE =BC ．(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若CD =2，BD =2，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图，连接OE，∵∠ACB=90°，∴∠1+∠5=90°．∵CE=BC，∴∠1=∠2．∵OE=OD，∴∠3=∠4．又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴∠2+∠3=90°，即∠OEC=90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．(2)在Rt△BCD中，∠DCB=90°，CD=2，BD=25，BC=CE=4．设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=r+2，在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∴OE2+CE2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，解得r=3，∴⊙O的半径为3．23(2023•东港区校级三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)当AD=3BD，且BE=4时，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)3．【解答】(1)证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵∠C=90°，∴∠OEC =90°，∴OE ⊥BC ，∵OE 为半径，∴BC 是⊙O 切线；(2)解：∵AD =3BD ，设BD =2x ，则AD =6x ，∴AO =OD =OE =3x ，∴OB =5x ，在Rt △OBE 中，根据勾股定理得：OE 2+BE 2=OB 2，∴(3x )2+42=(5x )2，∴x =1，∴OE =3x =3，∴⊙O 半径为3．24(2023•泗县校级模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AB 为直径作⊙O ，在⊙O 上取一点D ，使CD =BC，过点C 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；(2)若AB =10，AD =6，求AC 的长．【答案】(1)见详解；(2)45．【解答】(1)证明：连接OC ，如图，∵CD =CB，∴∠EAC =∠CAB ，∵EF ⊥AD ，∴∠EAC +∠ACE =90°，∵OC =OA ，∴∠CAB =∠OCA ，∴∠EAC =∠OCA ，∴∠ACO +∠ACE =90°，即半径OC ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：连接BD ，交OC 于点G ，如图，∵AE ⊥EF ，OC ⊥EF ，∴AE ∥OC ，∵O 为AB 为中点，∴OG 为△ABD 中位线，∴OG=1AD=3，DG=BG，2∴DG=BG=CE，DB⊥OC，GC=OC-OG=2，∵AB=10，∴OB=5，∴BG=OB2-OG2，∴DG=BG=4，∵AE⊥EF，OC⊥EF，DB⊥OC，∴四边形DECG是矩形，∴DE=CG=2，EC=DG=4，∴AE=8，∴在△AEC中，AC=AE2+EC2=45．25(2023•荔湾区校级一模)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若△ABC的边长为2，求EF的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)12．【解答】(1)证明：如图所示，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如图所示，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴DC=12BC=1，FC=12AC=1．∵∠EDC=30°，∴EC=12DC=12．∴EF=FC-EC=12．。

人教版九年级第二十四章：圆的切线的证明题分类总结

切线的证明题证明思路：已知点在圆上，证垂直；已知垂直，证点在圆上（一）已知点在圆上，证垂直1、已知如图所示，AB为⊙O的直径，C、D是直径AB同侧圆周上两点，且，过D作DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线.2、如图所示，△ABC内接于⊙O，如果过点A的直线AE和AC所成的角∠EAC=∠B，那么EA是⊙O的切线.3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.求证：AC是⊙O的切线．4、如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长．5、如图，在中，＝，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若＝，＝，求的半径．6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC的中点，且∠A＋∠CDB＝90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E.求证：直线BD与⊙O 相切．7、如图，AB是⊙O的直径，∠PAB＝90°，连接PB交⊙O于点C，D是PA边的中点，连接CD．求证：CD是⊙O的切线．8、如图，四边形内接于⊙O ，是⊙O 的直径，，垂足为，平分．求证：是⊙O 的切线； 9、如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于B ，AC 交⊙O 于P ，CE=BE ，E 在BC上. 求证：PE 是⊙O 的切线．ABCD BD AE CD ⊥E DA BDE ∠AEB E C10、如图，是⊙O 的直径，是弦，∠DAB=22.5°，延长到点，使得∠ACD=45°。

（1）求证：是⊙O 的切线；（2）若，求的长．11、如图，⊙O 的直径AB=4，∠ABC=30°，BC 交⊙O 于D ，D 是BC 的中点．（1）求BC 的长；（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：直线DE 是⊙O 的切线．AB AD AB CCD ABBC12、如图,已知A是⊙O上一点,半径OC的延长线与过点A的直线交于B点,OC=BC,AC=OB21.（1）求证:AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=450，OC=2,求弦CD的长.（二）证明点在圆上，即证明点到线的距离等于半径1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3.（1）求证：AC是⊙D的切线;（2）求线段AC的长.2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC与⊙D相切．3、如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O 与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.求证：CD与⊙O相切.4、如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.。