第五章机械系统建模

系统建模与响应
机械系统建模 机械系统等效模型 机械系统建模实例
第五章 典型机械系统的建模
机械系统遍及工程技术和社会各个领域，除机械设备与 装置外，还是构成其他复杂系统的基础和基本环节，如控制 系统地执行机构、飞机舵面传动装置、导弹发射架、飞行模 拟器的运动平台等。 这些系统建模目标多是建立选定参考坐 标系下的系统运动方程和动力学方程，属于“白箱”问题。 因此，采用的建模方法不外乎是机理分析法或图解法，对复 杂的机械系统还可能应用辨识方法。
F z m dt
在极坐标系中有
F
r
m
..
..
(r r 2)
..
F m ( r 2 2 r )
应用牛顿定律建模
❖弹簧－质量系统 ❖弹簧－质量－阻尼系统
弹簧－质量系统
❖ 数学模型建立过程如下：
my F ky mg
my ky mg y x mx k(x ) mg k mg
相似系统
二、基于力学理论的机械系统建模
❖ 空间任意力系的平衡方程
❖ 由理论力学可知，空间任意力系平衡的必要和充分条件是： 力系中所有各力在三坐标轴中每一轴上的投影和分别等于零， 又这些力对于这些轴的力矩的代数和也分别等于零。其数学 表达式为：
F x0, F y0, F z0
m o(x F )0, m o(yF )0, m o(zF )0
❖ 表现的特征可由x(t)描述。 ❖ 拉氏变换求解x(t)：
弹簧－质量系统的自然响应
m[s2 X (s) sx(0) x(0)] kX (s) 0
X (s)(ms2 k ) msx(0) mx(0)
msx(0) mx(0) x(0) sx(0)
X (s)
ms2 k
s2 k s2 k
sin
6t
cos
6t)x0
弹簧－质量－阻尼系统
❖ 其响应曲线如图： ❖ 该系统为一欠阻尼正旋
振动系统。由于阻尼存 在振动随时间变小。
欠阻尼：阻尼很小，振 动可以发生； 过阻尼：阻尼很大，振 动将不发生。
能量法
❖ 力可以做功，做功就具有能量。 ❖ 功－力与力作用距离的乘积或力矩与角
位移的乘积；
WFx或 T
二、基于力学理论的机械系统建模
• 牛顿第二定律告诉 我们，物体受外力 作用时，所获得的 加速度大小与合力 大小成正比，与物 体的质量成反比， 加速度的方向与合 外力的方向相同。 其数学表达式为：
F ma
d 2s
dv
m m
dt
dt
在直角坐标系下有
Fx
m
d 2x dt
d2y
F y m dt
d 2z
❖ 周期为：
T 2
k m
kt m
❖ ❖
频 数学率模为型：总f 结T1 为k：m 2
固有频率为：2f
k m
x k x0 m
x 2x 0
Simulink仿真
❖ 假设系统m=1,k=1, ❖ 初值x(0)=1，x’(0)=0;
k
x(t) x0 cos
t cost m
T 2
2
k
m
2 f
惯量。
J k 0
k 0 J
k T 2 2
J
k
J
J
kT 4
2 2
弹簧－质量－阻尼系统
❖ 建立系统数学模型： m xbxkx0
❖ 带入具体参数值后求解微分方程：
m 1.459 kg ,b 5.837 N s / m , k 58.37 N / m
x 4x 40x 0
[s2 X (s) sx(0) x(0)] 4[sX (s) x(0)] 40 X (s) 0
m
m
m x(0)
k / m x(0)
s
k
s2 ( k / m )2
s2 ( k / m )2
x(t) m x(0) sin k t x(0) cos k t
k
m
m
弹簧－质量系统：简谐振动系统
❖ 该系统的数学模型可看出为简谐振动系统。
❖ 初始条件为：速度＝0；位移为x0
❖ 该系统数学模型为：x(t) x0 cos
❖ 能量：
储存能量：形式为势能与动能
势能－因位置而具有的能量 动能－因速度而具有的能量
消耗能量
能量公式
❖势能U：质量和弹性元件可储存势能。
质量体m
h
U 0 mgdx mgh
弹簧体U x NhomakorabeaFdx
x kxdx 1 kx2
0
0
2
扭转弹簧
U
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
1 2
kx22
1 2
kx12
U
2 Td
1
2 k d
1
1 2
k 2 2
1 2
k12
弹簧中储存的势能与弹簧受拉或压无关。
能量公式
❖动能T：质量体可储存动能。
直动 转动
T 1 mv2 2
T
1 2
J
2
T x2 F d x t2 F d x d t t2 F v d t t2 m v v d t
mx kx 0
❖ 注意：消除mg项简化了数学模型，因此质量的位移 都从平衡位置开始度量。
弹簧－质量系统的自然响应
❖ 该系统初始时刻拉下物体，将产生自由振动，可按 上述数学模型分析出该特性，因此数学模型只有代 表了物理系统的特征才有意义。
❖ 由该数学模型表现出的自由振动的特征推导如下：
❖ 该系统的数学模型为： mxkx0
k m
1
数学模型的作用示例
❖ 弹簧－质量系统的数学模型可看出其是一简 谐振动系统，且定义了各种参数。
❖ 利用该数学模型可以为其他系统进行类似分 析，如机械转动系统。
❖ 如图所示的机械转动系统，该系统是扭簧－ 惯量系统，系统的数学模型及特性应同弹簧 －质量系统类似。
数学模型的作用示例
❖ 从而可通过时间的测定而计算出系统的转动
x(0)
x0, x(0)
0 ,
X
(s)
(s 4)x0 s2 4s 40
X
(s)
s2
2 x0 4s
40
(s 2)x0 s2 4s 40
1
6
s2
3 x0 (s 2)2 62 x0 (s 2)2 62
x(t)
1 3
x0e 2t
sin
6t
x0e 2t
cos 6t
e 2t (1 3
在建模中，主要将利用牛顿力学定律、拉格朗日函数， 并结合能量守恒原理及有关近似理论等。
针对特殊的机械系统 — 机器人，其运动学及动力学分析 的数学建模和仿真与传统的机械动态特性研究因其多运动自 由度特点，多体动力学理论基础在机器人运动动力学分析中 特别适用。
机械系统建模方法
❖ 创建等效电路－相似系统 ❖ 应用牛顿定律－直接建模 ❖ 能量守恒法 ❖ 拉格朗日方程（多自由度系统）