一次函数图象的平移规律

一次函数图象平移的探究

我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 它可以看作由直线y=kx平移I b I个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b v 0时，向上平移）•例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3,将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-i .需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移•这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移.

以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平

移.对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？

【探究一】函数图像的上下平移

我们先从一些具体的函数关系开始.

问题1已知直线I : y=2x-3，将直线I向上平移2个单位长度得到直线I 1, 求直线11的解析式.

分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线I i的解

析式为y=2x+ b,由于直线l i的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可.怎样得到这个条件呢？注意到直线I i与两条坐标轴分别交于两点，而直线

11与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线11的解析式可求.

解：设直线11的解析式为y=2x+b，直线I i交y轴于点（0，-3），向上平移2 个单位长度后变为（0，-1）.把（0，-1）坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线11 的解析式为y=2x-1 .

问题2 已知直线I : y=2x-3，将直线I向下平移3个单位长度得到直线I 2, 求直线12的解析式.

对比直线I和直线丨1、直线丨2的解析式可以发现：

将直线I : y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线I i的解析式为：y=2x-3+2 ; 将直线I : y=2x-3向下平移3个单位长度得到直线12的解析式为：y=2x-3-3 . （此时你有什么新发现？）

我们再来探究一般情况.

问题3 已知直线I : y=kx+b,将直线I向上平移m个单位长度得到直线I 1, 求直线11的解析式.

简解：设直线11的解析式为y=kx+p，直线I交y轴于点（0 , b），向上平移m 个单位长度后变为（0, b+n），把（0 , b+n）坐标代入I i的解析式可得，p=b+m从而直线11的解析式为y=kx+b+m

问题4已知直线I : y=kx+b，将直线I向下平移m个单位长度得到直线丨2, 求直线12的解析式.

答案：直线12的解析式为y=kx+b- m （解答过程请同学们自己完成）

由此我们得到：

直线y=kx+b向上平移m（ m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m 直线y=kx+b向下

平移m（ m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-n] 这是直线直线y=kx+b上下（或沿y 轴）平移的规律.

这个规律可以简记为：函数值：上加下减

向上平移单勺（m > 0）

向下平移沏督单何（m>0）

以上我们探究了直线y=kx+b的上下（或沿y轴）的平移，如果直线y=kx+b 不是上下（或沿y轴）平移，而是左右（或沿x轴）平移，又该怎样进行平移呢？

【探究二】函数图像的左右平移

问题5 已知直线I : y=3x-12，将直线I向左平移5个单位长度得到直线

l 1,求直线I i的解析式.

简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数k相等”，可设直线l i

的解析式为y=3x+b，直线I交x轴于点（4，0），向左平移5个单位长度后变为（-1，0）.把（-1，0）坐标代入y=3x+b，得b=3，从而直线I i的解析式为y=3x+3.

问题6 已知直线I : y=3x-12，将直线I向右平移3个单位长度得到直线

12,求直线丨2的解析式.

答案：直线丨2的解析式为y=3x-21 .（解答过程请同学们自己完成）

那么我们尝试着探究一般情况问题7已知直线I : y=kx+b，将直线I向左平移n个单位长度得到直线I 1,

求直线11的解析式.

简解：设直线11的解析式为y=kx+p，直线I交x轴于点（b ,0），向左平移k

n个单位长度后变为（b n,0），把（b n,0）坐标代入I 1的解析式可得k k

0 k（- n） p，p=kn+b.从而直线11 的解析式为y=kx+km+b，即y=k（x+n）+b. k

问题8已知直线I : y=kx+b，将直线I向右平移n个单位长度得到直线丨2,

求直线12的解析式.

答案：直线丨2的解析式为y=k（x-m+b.（解答过程请同学们自己完成）

通过对于一般情况的研究，我可以发现一些变化的规律，现在我们用刚才的具体的

函数关系来验证一下我们得到的规律.

将直线I : y=3x-12向左平移5个单位长度得到直线I i的解析式为：y=3x+3, 这个函数关系可以改写为：y=3(x+5)-12 ；

将直线I : y=3x-12向右平移3个单位长度得到直线12的解析式为：y=3x-21，这个函数关系可以改写为：y=3( x-3)-12.

由此我们得到：

直线y=kx+b向左平移n(n为正)个单位长度得到直线y=k(x+n)+b，直线y=kx+b 向右

平移n (n为正)个单位长度得到直线y=k(x- n)+b，这是直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律.

这个规律可以简记为：自变量：左加右减

向右平移川个单位(n > 0)

向左平聒也亍单啞in > Oj

总结：一次函数图像平移的规律函数值：上加下减；自变量：左加右减

向左平移博个单忖i n>0)

向下平tp位A E

※特别注意：注意区别点坐标的平移规律与函数图像的平移规律