8-第八章 组合变形时的强度

第八章组合变形

8.1 组合变形和叠加原理

一、组合变形的概念

1. 简单基本变形：拉、压、剪、弯、扭。

2. 组合变形：由两种或两种基本变形的组合而成的变形。

例如：烟囱、传动轴、吊车梁的立柱等。

烟囱：自重引起轴向压缩+ 水平方向的风力而引起弯曲；

传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲+ 扭转

立柱：荷载不过轴线，为压缩= 轴向压缩+ 纯弯曲

P

h g

水坝

q

P

h g

二、组合变形的计算方法

1. 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。

2. 求解步骤

①外力分解和简化

②内力分析——确定危险面。

③应力分析：确定危险面上的应力分布，建立危险点的强度条件。

§8.2 斜弯曲

一、 斜弯曲的概念

1. 平面弯曲：横向力通过弯曲中心，与一个形心主惯性轴方向平行,挠曲线在纵向对称面内。

2. 斜弯曲：横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行挠曲线不位于外力所在的纵向平面内。

二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解

对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算

形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z M 矩方程y M 或画出其弯矩图。

合成弯矩：2

Z 2y M M M +=

合成弯矩矢量M 与y 轴的夹角为：

y z M M

tan =ϕ

以上弯矩z M 和y M 均取绝对值计算，

由力偶的矢量表示法可知，合成弯矩M 3. 计算

x

y

z I z

I y y

z M M +=''+'=σσσ

4. 轴的位置

两平面弯曲组合成斜弯曲，只在横截面上正应力为零的点的连线才是斜弯曲

的中性轴。设中性轴上任一点的坐标）（00,y z ，将0y ，0z 代入应力计算公式，并令σ等于方程：零，得中性轴： 0M M 0

y 0z =+y

z I z I y

中性轴与y 轴的夹角α,ϕαtan tan z z 00

I I M M I I y z y y z y =⋅==

5. 最大正压力

中性轴把横截面分为两个区域，一个受拉区，另一个受压区，离中性轴最远的点，正应力最大。

（1） 矩形或矩形组合截面

对于有棱角的矩形（含正方形）或矩形组合截面，截面上的最大正应力一定发生在离形心最远的棱角上。将最远点的坐标代入应力计算公式

y

y

z z y z W M W M I z I y +=+=max y max z max M M σ

（2） 圆形截面

圆形截面的合成弯矩作用面与中性轴垂直。合成弯矩作用面与圆截面的两交点即最大拉应力和最大压应力点，其最大拉、压应力相等。 W M max =σ, 2

z 2y M M M += 例题

图示简支梁由22a 工字钢构成，许用应力[]MPa 140=σ。求该梁的许用载[]F ,图中长度l=1000mm 。

1.5F z

解：

查附录可得：2309W cm z =，2

cm 9.40W =y

对于A 截面，由强度条件有

[]σσ≤+=+=y z y y z z W Fl

W Fl W M W M 4.0max ，

得：kN 8.10≤F

对于B 截面，由强度条件有：

[]σσ≤+=+=y

z y y z z W Fl

W Fl W M W M 8.05.0max ，得：kN 6.6≤F

为了保证A 、B 两截面均能满足强度条件，许用载荷应取较小的数值，故许用载荷[]kN 6.6F =

§8.4 扭转与弯曲的组合

一、基本概念

工程实例：牛腿，水坝等 二、扭转与弯曲的组合的应力计算 1. 外力的简化

将两齿轮的啮合力分别沿一对相互垂直的形心主惯性矩分解并向传动轴简化，得到作用于轴上并位于两相互垂直的形心主惯性平面内的两组力系和作用于轴上的一对力偶（匀速转到），如a). 2. 内力计算

作出轴的扭矩图T M 和两个形心主惯性平面内的弯矩图z M 、y M 见图c 、d 、e 所示。其最大弯曲正应力的计算公式与平面弯曲时的最大正压力计算公式一致，

合成弯矩2

z 2y M M M +=。合成弯矩图反映了各截面合成弯矩的大小沿轴线的变

化情况。由合成弯矩图的大小可以判断危险截面的位置。

a)

3. 危险点应力状态分析

在危险截面上与合成弯矩M 对应的弯曲正应力在边缘上达到最大值，其值

为：W

M M W M 2

y

2+=

=z σ

与扭矩T M 对应的切应力在圆截面的边缘各点上达到最大值。其值为：P

T

W M =τ 三、强度条件

工程中承受弯扭组合的构件常为塑性材料，在二向应力状态下，其主应力为 0421

2222222231=+±=+±=⎭⎬⎫στσστσσσσ，）（ 对于圆形截面，有16

D W 3

P π=

, 32

D W 3

π=

,2W W P =

1. 采用第三强度理论计算

2

T 2y 2z 2T 2max 2P T 2max 224r M M M W

1M M W 1)W M 4()W M (

4++=+=+=+=τσσ

2. 采用第四强度理论计算

b) T M 图

c) z M 图

d) y M 图

e) M 图