《离散数学》几个典型的代数系统-1(群)讲解
离散数学第六章资料
如例2中的 Z, ，Q, ，R, ， P(A), ，
Zn, 都是阿贝尔群。
例3、Klein四元群。
G e, a,b,c，运算o由下表给出：
3、群的阶。 群 有 无限 限群 群
有限群 G 的阶， 记 G 。 例如： Zn, 的阶为 n ，
Klein 四元群的阶为4。
4、群中元素的幂 xn 。 对于群 G ，定义：xn (x1)n 则可以把独异点中的关于 xn 的定义扩充为： x0 e xn1 xn ox ( n 为非负整数) xn (x1)n ( n 为正整数) 有关幂的两个公式：xm oxn xmn
(xm )n xmn (m, n Z )
5、群中元素 x 的阶 (或周期)。
群 G中元素 x 的阶x
的阶
有限，记 x k 无限(不存在以上的k
)
例如：Klein 四元群中，
a,b, c的阶都是2，记 a b c 2。
e 的阶为1，记 e 1 。
例如： Z , ， N, 都是 Z, 的子半群，
且 N, 是 Z, 的子独异点。
二、群。 1、定义。
代数系统 G,o 满足：
①结合律， ②有幺元， ③任意元有逆元，
则称 G,o 为群。
例2、(1) Z, ，Q, ， R, 都是群， 因任意元素 x 的逆元(x)存在， 而 Z , ，N, 不是群， Z , 没有幺元，
第六章 几个典型的代数系统 第一节 半群与群
内容：半群，群，子群。 重点：1、半群，可交换半群，独异点的定义，
2、群，交换群 (阿贝尔群)的定义及性质， 3、群的阶的定义， 4、循环群，生成元的定义及例子， 5、子群的定义及判定。
一、半群。
1、定义：满足结合律的代数系统 S,o 称为半群。 例1、(1) Z , ，N, ，Z, ，Q, ，
《离散数学》代数系统的一般性质-1
定义 设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为 S 上的 二元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 特点： - 变量和函数值的取值限定在同一个集合上。 例1 - (1) N 上的二元运算：加法、乘法. - (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. - (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除 法. - (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘ 为 S 上二元运算.
二元运算的特异元素 5.1 二 元 运 算 及 其 性 质 单位元
定义 设∘为S上的二元运算,如果存在el（或er）S，使得 对任意x∈S 都有 el ∘x =x (或x∘er =x)， 则称el(或er )是S中关于∘运算的左(或右)幺元（单位元）. 若e∈S关于∘运算既是左单位元又是右单位元，则称 e 为S上关于∘运算的幺元. 例：N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1 Mn(R)上加法的么元是0矩阵，乘法的幺元是单位阵
第5章 代数系统的一般 性质
代数结构
【引例】 （1）在Z集合上，x∈Z,
5.1 二 元 运 算 及 其 性 质
则f(x)=-x是将x映为它的相反 数。-x是由x唯一确定的，它是对一个数施行求相反数运 算的结果。这个运算可表示为函数： f ：Z→Z
（2）在R+ 集合上，x∈R+,则f(x)= 1/x是将x映为它的倒 数。1/x是由x唯一确定的，它是对R+中的一个数施行倒数 运算的结果。这个元算可以表示为函数 f : R+ → R+。 （3）设a,b∈R,则f(a,b)=a+b(a-b，a×b)是将两个数a， b映为R中的唯一的一个数，它是对R中的两个数施行加 （减，乘）法运算的结果。这个运算可以表示为函数f : R2 → R。
《离散数学》几个典型的代数系统-1(群)
第六章 几个典型的代 数系统
6.1 半群与群
6.1
半 群 与 群 半群与独异点 - 半群定义与性质 - 交换半群与独异点 - 半群与独异点的子代数和积代数 - 半群与独异点的同态 群 - 群的定义与性质 - 子群与群的直积 - 循环群 - 置换群
7
半群与独异点的子代数
6.1
半 群 与 群 定义 半群的子代数称为子半群，独异点的子代数称 为子独异点。 判断方法： 设 V=<S,>为半群， T 是 S 的非空子集， T是V的子半群当且仅当T对o运算封闭. 设V=<S, , e>为独异点，T是V的子独异点当且仅当T 对o运算封闭，且eT 实例： <Z+,+>, <N,+>是<Z,+>的子半群，<N,+>是<Z,+> 的子独异点， <Z+,+>不是<Z,+>的子独异点.
实例 nZ（n是自然数）是整数加群 <Z,+> 的子 群. 当 n≠1 时, nZ 是 Z 的真子群. 对任何群 G 都存在子群. G 和 {e} 都是 G 的 子群，称为 G 的平凡子群.
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子群判定定理
6.1
半 群 与 群
判定定理 设 G 为群，H 是 G 的非空子集. H 是 G 的子群 当且仅当 x, y∈H 有 xy1∈H. 证明 H 为 G 的子群的步骤： 通过给出 H 中的元素说明 H 是 G 的非空子集 任取 x, y属于 H，证明 xy-1属于H
离散数学及其应用课件：典型代数系统简介
典型代数系统简介
9.3.2 布尔代数的概念与性质 定义9.20 如果一个格是有补分配格,则称它为布尔格或
布尔代数。布尔代数通常记为<B,∨,∧,',0,1>,其中“¢”为求 补运算。
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.21 设<B,*,·>是一个格代数系统,*和·是B 上的两 个二元运算,如果*和·满足交换律、分配律、同一律和互补 律,则称<B,*,·>为布尔代数。
(2)若 H 是G 的子群,且 H ⊂G,则称 H 是G 的真子群,记作
H <G。 定理9.6 假设G 为群,H 是G 的非空子集,则 H 是G 的子
群当且仅当下面的条件成立:
(1)∀a,b∈H 必有ab∈H; (2)∀a∈H 有a-1∈H。 证明 必要性是显然的。为证明充分性,只需证明e∈H。 因为 H 非空,必存在a∈H。由条件(2)知a-1∈H,再根据条件(1)
典型代数系统简介
典型代数系统简介
定义9.10 令<R,+,·>是环,若环中乘法·适合交换律,则称R 是交换环。若环中乘法·存在单位元,则称R 是含幺环。 注意
(1)在环中通常省略乘法运算·; (2)为了区别含幺环中加法幺元和乘法幺元,通常把加法 幺元记作0,乘法幺元记作1。可以证明加法幺元0恰好是乘法 的零元。 (3)环中关于加法的逆元称为负元,记为-x;关于乘法的逆 元称为逆元,记为x-1。
有aa-1∈H,即e∈H。
典型代数系统简介
定理9.7 假设G 为群,H 是G 的非空子集,H 是G 的子群当
且仅当∀a,b∈H 有ab-1∈H。
证明 根据定理9.6必要性显然可得出,这里只证充分性。
因为 H 非空,必存在a∈H。根据已知条件得aa-1∈H,即e∈H。 任取a∈H,由e,a∈HH得ea-1∈H,即a-1∈H。任取a,b∈H,知b1∈H .再利用给定条件得a (b-1)-1∈,即ab∈H。
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学第六章
第六章几个典型的代数系统6.1 半群与群引言：简略介绍群论产生的背景1. 图形的对称性如正三角形、正方形（一般地正n 边形）、长方形、 等腰三角形、等腰梯形等；三维空间中的正四面体、 正方体、长方体等都各有自己的对称性。
画图解释：2．用根式求解代数方程的根（1）一元二次方程：20x bx c ++=⇒122b x -±=，。
注：①约公元前2000年即出现二次方程求根问题； ②约公元9世纪时，阿拉伯人花拉子米首次得到上述求根公式。
（2）三次及四次方程的求根公式一般三次方程: 320x ax bx c +++=。
先作变换：用3a x -代替x 后可化成 3x mx n +=（不含二次项）， （*）其中 332,3327a ab a m b n c =-=--。
利用恒等式：333()3()u v uv u v u v -+-=-，把它与（*）比较得：33,3,x u v uv m u v n =-=-=。
由后面两个关于33,u v 的方程可得u x u v v ⎫⎪=⎪⇒=-= （即*方程的解） 以上求解三次方程的公式叫做卡丹公式， 出现在公元1545年出版的著作《大书》中。
关于四次方程的求根公式这里从略，可以肯定的是， 四次一般方程也有求根公式，并且也叫卡丹公式。
（3从1545年之后的近300年间，人们都没能找到五次(当然，这并不排除对 某些特殊的五次及五次以上的方程可以求出它们的根）。
直到1830年由法国人Galois （伽珞瓦）解决，证明出：五次及五次以上的一般方程不存在用加、减、乘、除及开方表示的求根公式，所用方法就是现在已广为接受的群的思想。
可是在当时，很多同时代的大数学家都无法理解和接受他的思想方法。
3．群在其它方面的应用：如编码理论、计算机等。
一．群的定义及简单性质1定义：设,G ⋅是一个具有二元运算⋅的代数系统，如果⋅同时满足（1）结合律：即,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅总成立；（2）存在单位元（也称为幺元，记为e ），即 ,;a e e a a a G ⋅=⋅=∀∈（3）中每个元素a 都有逆元（记为1a -）：即存在1a G -∈，使得11a a a a e --⋅=⋅=，则称G 关于运算⋅构成一个群。
离散数学代数结构部分
离散数学代数结构部分离散数学是数学的一个分支，主要研究离散的、分离的、离散化的对象和结构。
其中代数结构是离散数学的一个重要部分，涉及到一些常见的代数结构，如群、环和域等。
下面将从群、环和域三个方面展开，对离散数学中的代数结构进行详细介绍。
一、群群是离散数学中的一个基本代数结构，它由三个主要部分组成：集合、运算和满足一定性质的公理。
具体地，一个群G是一个非空集合，也即G={a,b,c,...}，其中的元素a、b、c等叫做群的元素。
除此之外，群还具有一个二元运算，记作"·"，满足以下四个公理：1.封闭性公理：对于群的任意两个元素a、b，它们的乘积c=a·b仍然属于G，即c∈G。
2.结合律公理：对于群的任意三个元素a、b、c，(a·b)·c=a·(b·c)。
3.单位元公理：群中存在一个特殊的元素e，称为单位元，满足对于任意元素a，有a·e=e·a=a。
4.逆元公理：对于群中任意元素a，存在一个元素b，使得a·b=b·a=e，其中e是群的单位元。
群结构的研究对于解决各类数学问题具有重要意义。
例如，在密码学中，通信双方使用群的运算来实现加密和解密的功能。
二、环环是另一个重要的代数结构，在离散数学中有广泛的应用。
一个环R由一个非空集合以及两个满足一定条件的二元运算分别组成。
对于一个环R={G,+,·}，其中G是一个非空集合，"+"和"·"分别是R上的两个二元运算，满足以下四个公理：1.集合G关于"+"构成一个阿贝尔群，即对于任意的a、b、c∈G，满足以下性质：(a+b)+c=a+(b+c)，存在单位元0，对于任意元素a，有a+0=0+a=a，对于任意元素a，存在一个元素-b，使得a+(-b)=-b+a=0，且满足交换律性质：a+b=b+a。
离散数学 第四章 4
(3)
S={1,2,3,…,n}到自身的双射称为 元置换, 到自身的双射称为n元置换 到自身的双射称为 元置换 记为σ 记为σ，可表示为
2 n 1 σ = σ (1) σ (2) σ ( n )
上的双射即置换的个数共n!个 上置换 注：S上的双射即置换的个数共 个,S上置换 上的双射即置换的个数共 的全体记作S 的全体记作 n
2 设f是含有格中元素以及符号 是含有格中元素以及符号=,≤,≥，∨和∧ 是含有格中元素以及符号 ， 的公式， 是将f中的符号分别替换成 的公式，令f*是将 中的符号分别替换成 ， 是将 中的符号分别替换成=， ≥ ,≤, ∧与∨所得到的公式，则称 为f的对偶 所得到的公式，则称f*为 的对偶 命题。 命题。 3 对偶原理：f* f 对偶原理：
第六章
几个典型的代数系统
半群与群
格与布尔代数
6.1 半群与群
是一个代数系统, 设V=(G, )是一个代数系统 是一个代数系统 上的二元运算, 是G上的二元运算 上的二元运算 1 若 在G上成立结合律 则称 为半群。 上成立结合律 则称V为半群。 上成立结合律,则称 如：〈Z+, +〉, 〈N, +〉, 〈Z,+〉 〉 〉 〉 2 若 在G上成立结合律 且有单位元，则称 为 上成立结合律 上成立结合律, 有单位元，则称V为 独异点（含幺半群） 独异点（含幺半群）。 如： N, +〉, 〈Z,+〉 〈 〉 〉
轮换其乘法
例 设f=(15342), g=(125)(34) 求fg, g f, f-1, g-1
(4) 设M是非空集合 有n个元素 上所有置换 是非空集合,有 个元素 个元素,M上所有置换 是非空集合
的集合关于置换的乘法(函数的复合运算 构成 的集合关于置换的乘法 函数的复合运算)构成 函数的复合运算 一个群,称为 元对称群， 称为n元对称群 一个群 称为 元对称群， 它的任何子群称为n元置换群 元置换群。 它的任何子群称为 元置换群。 例题: 元对称群。 例题 S3是3元对称群。 元对称群
离散数学几个典型的代数系统
{ a, b, c, e, f }是 L2的子格, 并且同构于五角格；
{ a, c, b, e, f }是 L3的子格, 也同构于钻石格.
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全上界与全下界
定义 设L是格, 若存在 a∈L 使得 x∈L 有 a ≼ x, 则称 a 为 L 的全 下界； 若存在 b∈L 使得 x∈L 有 x ≼ b, 则称 b 为 L 的全 上界. 说明：
对偶原理 交换律、结合律、幂等律、吸收律
格的等价定义 子格 格的同构 特殊的格：分配格、有界格、有补格、布尔格
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格的定义
定义 设<S, ≼>是偏序集，如果x,y≼S，{x,y}都有 最小上界和最大下界，则称S关于偏序≼作成一个
格. 由于最小上界和最大下界的惟一性，可以把求{x,y} 的最小上界和最大下界看成 x 与 y 的二元运算∨和 ∧，即 x∨y 和 x∧y 分别表示 x 与 y 的最小上界和 最大下界. 注意：这里出现的∨和∧符号只代表格中的运算， 而不再有其他的含义.
由 a ≼ a, a∧b ≼ a 可得 a∨(a∧b) ≼ a (VI)
由式 (V) 和 (VI) 可得 a∨(a∧b) = a 根据对偶原理, a∧(a∨b) = a 得证.
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格作为代数系统的定义
定理 设<S,∗, >是具有两个二元运算的代数系统, 若对于∗和运算适合交换律、结合律、吸收律, 则 可以适当定义S中的偏序≼,使得<S, ≼>构成格, 且 a,b∈S有 a∧b = a∗b, a∨b = ab.
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零因子的定义与存在条件
设<R,+,>是环，若存在 ab =0, 且 a0, b0, 称 a 为左零因子，b为右零因子，环 R 不是无零因子 环. 实例 <Z6,,>，其中 23=0，2 和 3 都是零因 子.
离散数学代数系统中的群与域知识梳理
离散数学代数系统中的群与域知识梳理离散数学是研究不连续量的数学分支，而代数系统是离散数学的基础概念之一。
在代数系统中，群与域是两个重要的概念。
本文将对离散数学代数系统中的群与域的相关知识进行梳理。
一、群的定义及性质群是代数系统中一种基本的代数结构，它是一个集合与一个二元运算的组合，满足四个条件：封闭性、结合律、单位元和逆元。
1.1 封闭性在群中的任意两个元素进行运算后，结果仍然属于这个群。
即对于群 G 中任意的 a、b，有 a * b ∈ G。
1.2 结合律在群中进行运算的结果不受运算元素的顺序影响。
即对于群 G 中任意的 a、b、c，有 (a * b) * c = a * (b * c)。
1.3 单位元群中存在一个特殊元素，称为单位元，它与群中的任意元素进行运算后得到这个元素本身。
即对于群 G 中任意的 a，有 a * e = e * a = a，其中 e 是群 G 的单位元。
1.4 逆元对于群 G 中的每个元素 a，群中存在一个元素 b，使得 a * b = b * a = e，其中 e 是群 G 的单位元，并且称元素 b 是元素 a 的逆元，记作 b = a^(-1)。
二、群的例子2.1 整数环（Z，+）整数环是一个群，其中的运算为加法。
整数环满足群的四个条件：封闭性、结合律、单位元和逆元。
例如，对于整数环中的任意两个整数 a、b，其和仍然为整数，满足封闭性；整数的加法满足结合律；0 是整数环的单位元，对于任意整数 a，有 a + 0 = 0 + a = a；对于任意整数 a，存在一个整数 -a，使得 a + (-a) = (-a) + a = 0。
2.2 二进制群（Zn，⊕）二进制群是一个有限集合，其中的运算为模 n 的加法（⊕）。
二进制群也满足群的四个条件：封闭性、结合律、单位元和逆元。
例如，对于二进制群中的任意两个元素 a、b，其模 n 的和仍然在这个群中，满足封闭性；模 n 的加法满足结合律；0 是二进制群的单位元，对于任意元素 a，有 a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a；对于任意元素 a，存在一个元素 b，使得 a ⊕ b = b ⊕ a = 0。
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解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
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5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
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解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
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5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
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2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
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例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
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➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
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➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
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➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
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➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
6几个典型的代数系统
不是所有的群都是交换群
7
Algebra
代数
有限群和无限群
设 G, 是一个群。如果 G 是一个有限集，那么称
G, 为有限群， G 中元素的个数通常称为该有限
群的阶数，记为 G ；如果 G 是无限集，则称 G, 为无限群。
就是一个有限群，且 F 4 上例中所述的 F，
8
Algebra
代数
至此， 我们可以概括地说： 代数系统仅仅是一个具 有封闭二元运算的非空集合； 半群是一个具有结合 运算的代数系统； 独异点是具有幺元的半群； 群是 每个元素都有逆元的独异点。即有：
{群} {独异点} {半群} {代数系统}
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Algebra
代数
定理 2 群中不可能有零元。
证明 当群的阶为 1 时，它的唯一元素视作幺元， 否则不是群 设|G|>1 且群<G,*>有零元θ 。 那么群中任何元素 x∈G，都有 x*θ =θ *x=θ ≠e 所以，零元θ 就不存在逆元，这与<G,*>是群矛盾 故假设不成立，即无零元
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6.2环与域
是一个代数系统，如果满足： 设 A, ★，
⑴ A, ★ 是阿贝尔群；
⑵ A, 是半群；
Algebra
代数
⑶运算 对于运算★是可分配的，则称 A, ★， 是环。
通常称★为加法运算 *为乘法运算 即对加法是可交换的群,对乘法是半
群,乘法对加法是可分配的.
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Algebra
注意，存在着非结合的代数系统，不为半群
例如
I,
R, /
都不为半群
2
Algebra
代数
独异点 含有幺元的半群称为独异点。(也称单元半群) 可换半群 运算满足交换律的半群称为可换半群
离散数学 群
定理 设循环群G=(a), 若a为无限周期，则 (a)与<I,+>同构； 若a的周期为m，则 (a)与<Zm, +m>同构；
注 循环群只有两种， 生成元的周期无限时，它与整数加群 代数相等； 生成元的周期为m时，它与模为m的剩余加群 代数相等。 例 定理 任何一个循环群必是阿贝尔群。 证 设G=(a)，则G中任一元素都可写成a的幂的形式。
(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*b*a=a*a*b=a*b 说明a*b也是等幂的，故a*bH，即*对于H是封闭的。 故 <H,*>是<S, *>的子含幺半群。
4 循环半群
定义7.1.4 给定半群<S,*> (或含幺半群<S,*,e> ), 若存在g∈S，对任意a∈S，都有n∈N，使得a=gn， 则称该半群为循环半群（或循环含幺半群）。 称g为循环半群的生成元，亦称元素g生成了循环半群。 例 代数系统<I+, +>是个循环半群，它的生成元是1. 例7.1.8 P172 循环半群证明
有两个是相等的，则G中存在最小的正整数n使 得an=e，且有
G=(a)={a0,a1,a2…,an-1}
定义 设群<G,*>中任一元素a，若存在使an=e的最小的正 整数n，则称a的周期(或阶)为n。 若正整数n不存在，则称a的周期（或阶）是无限的。
注 周期的概念是对群中任一元素来定义的，任意群其幺 元的周期一定是1。 对循环群，有时称其生成元的周期为循环群的周期。
群的基本概念群的定义设是一个代数系统若二元运算满足1可结合性结合律2存在幺元单位元素有限群设是一个群若集合g是无限集阿贝尔群设是一个群若是可交换的721是阿贝尔群
离散数学-第三部分-代数结构-第十章 群与环
6
7
群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1.a
例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元.
在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
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群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
对于阿贝尔群G，因பைடு நூலகம்G中所有的元素互相都可交换，G的中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.
22
10.3 循环群与置换群
定义10.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元.
循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则
aiG = {aiaj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G.
证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n.
必有aj,ak∈G使得
几个典型的代数系统
第六章几个典型的代数系统本章讨论几类重要的代数结构：半群、群、环、域、格与布尔代数等．我们先讨论最简单的半群．6.1 半群定义 6.1称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．例6.1 <I+，＋>，<N，·>，<∑*，并置>都是半群，后两个又是独异点．半群及独异点的下列性质是明显的．定理6.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*,e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，*, e>的子独异点．证明简单，不赘述．定理6.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理6.3设<S，*>为一半群,那么（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．证（l）是显然的．为证（2）定义函数h:S→S S：对任意a∈Sh（a）= f af a：S→S 定义如下: 对任意x∈S，f a（x）= a*x现证h为一同态．对任何元素a,b∈S．h(a*b)＝f a*b （l1－1）而对任何x∈S，f a*b（x）= a*b*x = f a（f b（x））= f a○f b （x）故f a*b = f a○f b ,由此及式（l1－1）即得h（a*b）= f a*b = f a○f b ＝h（a）○h（b）本定理称半群表示定理。
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25
重要子群（续）
6.1
半 群 与 群
群G的中心C 设 G 为群, 令 C = { a | a∈G∧x∈G(ax=xa)}， 则 C是 G 的子群，称为 G 的中心. 证：e∈C. C是 G 的非空子集.任取 a, b∈C，证 明 ab1与 G 中所有的元素都可交换. x∈G，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1= a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理可知 C≤G.
6.1
半 群 与 群
={ ak | k∈Z }，则H是G的子群，称为由a 生成 的子群，记作<a>. 证：首先由a∈<a> 知道<a>≠. 任取 am, al ∈<a>，则 am (al)1 = am al = aml∈<a> 根据判定定理可知<a>≤G.
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实例
整数加群<Z,+>， - 由 2 生成的子群是 <2> = { 2k | k∈Z } = 2Z 模 6 加群 <Z6, >中 - 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 } Klein四元群 G = { e, a, b, c } 的所有生成子群 是： - <e> = { e }, - <a> = { e, a }, <b> = { e, b }, <c> = { e, c }.
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同态的实例
6.1
半 群 与 群
例2 设半群 V1 = <S,· >，独异点 V2= <S,· ,e>. 其中 · 为矩阵乘法，e 为 2 阶单位矩阵,
a 0 S | a, d R 0 d
a 0 a 0 令 ：SS, 0 d 0 0 , 是半群 V1 的自
3
元素的幂运算性质
6.1
半 群 与 群
由于半群中的运算是结合的，可以定义运算的 幂。设V=<S, >为半群，对任意 x∈S，规定： x1 = x xn+1 = xnx, n∈Z+ 幂运算规则： xn xm = xn+m (xn)m= xnm m, n∈Z+ 证明方法：数学归纳法
4
特殊的半群
6.1
半 群 与 群
整数 k 称为 x 的阶（或周期），记作 |x| = k，称
x为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 x 为 无限阶元. 在<Z6,>中，2 和 4 是 3 阶元，3 是 2 阶元，1 和
5 是 6 阶元，0 是 1 阶元
在<Z,+>中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在. 注：在任何群中，幺元的阶都是1
8
半群与独异点的积代数
6.1
半 群 与 群
定义 设 V1=<S1, >，V2=<S2,∗> 是半群 (或独异 点)，令S = S1×S2，定义 S 上的 ·运算如下： <a,b>,<c,d>∈S， <a,b>· <c,d> = < ac, b∗d > 称 <S,· >为 V1 和 V2 的 积半群（直积），记作 V1×V2. 若 V1 = <S1,, e1> 和 V2 = <S2,∗, e2> 是独 异点，则 V1×V2 = <S1×S2, · ,<e1,e2>> 也是独异 点, 称为独异点的 积独异点 (直积).
( x1 x2 ...xn ) xn xn1 ...x2 x1
1
1
1
1
1
18
群的性质---群方程存在唯一解
6.1
半 群 与 群
定理2 G为群，a,b∈G，方程 ax=b 和 ya=b 在G中有解且仅有惟一解. a1b 是 ax=b的解. ba1 是 ya = b 的唯一解. 例 设 G=<P({a,b}),>，其中为对称差. 群方程 {a} X = ，Y {a,b} = {b} 的解 X = {a}1 = {a} = {a}， Y = {b}{a,b}1 = {b}{a,b} = {a}
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群的性质---消去律
6.1
半 群 与 群
定理6.3 G为群，则G适合消去律，即a,b,c∈G 有 (1)若ab = ac，则 b = c. (2)若ba = ca，则 b = c. 例、设G={a1,a2, …, an} 是 n 阶群，令 aiG = { ai aj | j =1,2, … , n } 证明：aiG=G. 证：由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG， 即|aiG|<n. 必有aj, ak∈G使得 ai aj = ai ak （j≠k） 由消去律得 aj = ak, 与 |G| = n 矛盾.
12
Klein四元群
设G = { e, a, b, c }，G上的运算由下表给出，
6.1
半 群 与 群
称为 Klein四元群 e a b c e a e a a e b c c b b c 运算表特征： • e为G中的幺元 • 对称性---运算可交换 • 主对角线元素都是幺元 ---每个元素是自己的逆元 • a, b, c 中任两个元素运算 都等于第三个元素.
n0 e x n x n 1 x n 0 ( x 1 ) m m n, n 0 n Z
实例 在<Z3, >中有 23=(21)3=13=111=0
在 <Z,+> 中有
(2)3=23=2+2+2=6
16
群中的术语（续）
设G是群，x∈G，使得等式 xk = e 成立的最小正
17
群的性质---幂运算规则
6.1
半 群 与 群
定理1 设 G 为群, 则 G 中的幂运算满足： (1) x∈G，(x1)1 = x. (2) x, y∈G，(xy)1 = y1x1. (3) x∈G，xnxm = xn+m，n, m∈Z. (4) x∈G，(xn)m = xnm，n, m∈Z. 注意 (xy)n = (xy)(xy)…(xy), 是 n 个xy 运算，G为 交换群，才有 (xy)n = xnyn.
第六章 几个典型的代 数系统
6.1 半群与群
6.1
半 群 与 群 半群与独异点 - 半群定义与性质 - 交换半群与独异点 - 半群与独异点的子代数和积代数 - 半群与独异点的同态 群 - 群的定义与性质 - 子群与群的直积 - 循环群 - 置换群
2
半群的定义与实例
6.1
半 群 与 群
定义 设 V=<S, o> 是代数系统，o为二元运算，如果 运 算是可结合的，则称 V 为半群. 实例 （1）<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，+ 是普通加法. （2）设 n 是大于1的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),· >都是 半群，其中+和 ·分别表示矩阵加法和矩阵乘法. （3）<P(B),>为半群，其中为集合的对称差运算. （4）<Zn, >为半群，其中 Zn={0,1, …, n1}，为模 n 加 法. （5）<AA, >为半群，其中 为函数的复合运算. （6）<R*,>为半群，其中R*为非零实数集合，运算定义 如下：x, y∈R*, x y =y
6.1
半 群 与 群 定义 设V = <S, >是半群 (1) 若 运算是可交换的，则称V 为交换半群 .
(2) 若 e∈S 是关于 运算的幺元，则称 V 是含幺半群
，也叫做 独异点. 独异点 V 记作 V = <S, , e>
5
独异点的幂
6.1
半 群 与 群
独异点的幂运算定义 x0 = e xn+1 = xn x,
<Z,+> 和 <R,+>是无限群 <Zn,>是有限群，也是 n 阶群 Klein四元群 G = {e, a, b, c}是 4 阶群
上述群都是交换群 n 阶 (n≥2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构 成的群是非交换群.
15
群中的术语（续）
6.1
半 群 与 群
定义 设G是群，x∈G，n∈Z，则 x 的 n 次幂 xn 定义为
n∈ N
幂运算规则
x n x m = x n +m (xn)m= xnm
m, n∈N
6
交换半群和独异点的实例
6.1
半 群 与 群 例1 （1）<N,+,0>,<Z,+,0>,<Q,+,0>,<R,+,0>都是交 换半群，也是独异点，+ 是普通加法. （2）设 n 是大于 1 的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),· >都是 独异点，其中+和 ·分别表示矩阵加法和矩阵乘法. 加 法构成交换半群，乘法不是交换半群. （3）<P(B),,>为交换半群和独异点，其中为集合的对 称差运算. （4）<Zn, ,0>为交换半群与独异点，其中 Zn = {0, 1, …, n1}， 为模 n 加法. （5）<AA, ,IA>为独异点，不是交换半群，其中 为函数 的复合运算.
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群的性质---运算表排列规则