《公式法》-课件(共张PPT)

用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
写出一元二次方程的根：
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根：
什么？
△ b 2 4 a ( c 4 ) 2 4 5 ( 1 ) 3 ＞ 0 6
则：方程有两个不相等的实数根
x b b 2 4 a c ( 4 )3 64 6
2 a
2 5
10
即 结论x1 ： ： 当4 1 6 △ 0 1 b ,x 22 4a4 1 ＞ c6 00 时 ，1 5 一元二次方程有两个不
b
x1
x2
; 2a
（3）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 没有实数根．
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式。通 常用希腊字母△表示它，即△= b2-4ac。
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时， 方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根。
解一元二次方程
-
回顾旧知
利用配方法解一元二次方程 x2 x 7 0。 4
解： 移项，得 x 2 x 7 4
配方 x2 x122 74122
x
1 2
2
2
由此可得
x1 2
2
x1
1 2
2，
x2
1 2
2
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x＋px＋q = 0 的形式。
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q。
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
x2＋px＋ ( p )2 = －q＋ ( p )2
方程右边
开方：根据平方根的2 意义，方程两边2 开平方。是非负数
( x+ p )2 =－q＋ ( p )2
2
2
求解：解一元一次方程。
定解：写出原方程的解。
新课导入
一元二次方程的 一般形式是什么？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
c的值分别 是什么？
△ b 2 4 a c ( 22 )2 4 2 1 0
则：方程有两个相等的实数根：
x1x22ba222222
结论：当 △ b24ac 0时，一元二次方程有两个 相等的实数根.
例 （ 23 ） 5x23xx 1
解：原方程可化为： 5x2 4x10
a5 ,b 4 ,c 1
这里的a、b、 c的值分别是
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解a 1,b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
方程有两个不相等的实数根：
1.变形:化已知方 程为一般形式;
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数;
x b b2 4ac 2a
4 44 4 2 11 .
相等的实数根.
例 （ 24 ） x21 78x
解 ： 原 方 程 可 化 为 x 2 8 x 1 7 0
a1,b8,c17
这里的a、 b、c的值 分别是什
么？
△ b 2 4 a c ( 8 )2 4 1 1 7 4 ＜ 0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b24a＜ c0时，一元二次方程没有 实数根.
x1 = x2 = ______ 。
(b)当∆<0时，方程实数根。
b x1 x2 2a
求本章引言中的问题，雕像下部高度x(m)满足方程
x22x40
解这个方程，得
x 2 2 2 4 1 4 2 2 0 1 5 ,
2 1
2
x11 5,x2 1 5(x不能为负数，舍
精确到0.001，x1≈ 1.236，
2 1
2
3.计算: △=b24ac的值;
4.代入:把有关数 值代入公式计算;
2 – 11
5.定根:写出原方
x 2 11; x 2 11 结论：当 △ b24a＞ c0 时，一元二程次的方根程. 有两个不
1
相等的实2 数根.
例 2(2)2x222x10 这里的a、b、
解：a2,b22,c1
如果使用配方法解 出一元二次方程一般形 式的根，那么这个根是 不是可以普遍适用呢？
任何一元二次方程都可以写成一般形式
ax2 bx c 0 （a 0）. ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得
ax2 bx c.
二次项系数化为1，得 x2 b x c .
a
a
配方
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
,
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
.
②
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
x1 b2 b a 24ac,x2 b2 b a 24ac;
（2）当 b24ac0时，一元二次方程 a2x b xc0（ a0 ） 有实数根．
解： a 3,b 6, c 2.
b2 4ac 62 4 3 2 60.
x 6 60 6 2 15 3 15 ,
6
6
3
3 15 3 15 x1 3 , x2 3 .
b2 4ac 12 416 25.
x 1 25 1 5 ,
21
2
x1 ２, x2 －3.
2 x2 3x10
4
解： a 1,b 3, c 1 . 4
b2 4ac
3
2
4
Байду номын сангаас
1 4
4.
x 3 4 32,
21
2
x1
2 2
3 , x2
32. 2
3 3x2 6x20
虽然方程有两个根，但是其中只有x1≈1.236符合问题的实 际意义，所以雕像下部高度应设计为约1.236m．
练习
（1）解下列方程：
1 x2x60; 2 x2 3x10;
4
3 3x26x20; 4 4x26x0;
5 x24x84x11 ; 6 x2x458x.
解：（1） a 1, b 1, c 6.