中考数学压轴题专集三正反比例函数综合.doc

中考数学压轴题专集三：正反比例函数综合

1、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，－3），反比例函数y＝

k

x （x＞

0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．

（1）求△BMN面积的最大值；

（2）若MA⊥AB，求t的值．

（1）将A（8，1）代入y＝

k

x ，得k＝8

∴y＝8 x

易求直线AB的解析式为y＝

1

2 x－3

则M（t，8

t ），N（t，

1

2 t－3），MN＝

8

t －

1

2 t＋3

S△BMN ＝

1

2 (

8

t －

1

2 t＋3)t＝－

1

4 t

2＋3

2 t＋4＝－

1

4 (t－3)

2＋25

4

∴当t＝3时，△BMN面积的最大值为25 4

（2）作AQ⊥y轴于Q，延长AM交y轴于P ∵MA⊥AB，∴△ABQ∽△PAQ

∴

AQ

BQ ＝

PQ

AQ ，∴

8

4 ＝

PQ

8 ，∴PQ＝16

∴P（0，17）

∴直线AP：y＝－2x＋17

令－2x＋17＝8

x ，解得x1＝

1

2 ，x2＝8（舍去）

∴t＝

1 2

2、如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝5，分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建

立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数y ＝ k

x （k ＞0）的图象经过点D 且与边BA 交于点E ，连接DE ．

（1）若△BDE 的面积为 10

3 ，求k 的值；

（2）连接CA ，DE 与CA 是否平行？请说明理由；

（3）是否存在点D ，使得点B 关于DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）设D （k 5 ，5），E （3，k 3 ），则BD ＝3－ k 5 ，BE ＝5－ k

3 ∵S △BDE ＝ 10 3 ，∴1 2 ×( 3－ k 5 )( 5－ k 3 )＝ 10 3 解得k ＝5或k ＝25（舍去） ∴k ＝5

（2）DE ∥CA

∵BD ＝3－ k 5 ，BE ＝5－ k 3 ，∴BD

BE ＝ 3－ k 5

5－

k 3 ＝ 3 5

∵BC BA ＝ 3 5 ，∴BD BE ＝ BC BA

又∠B ＝∠B ，∴△BDE ∽△BCA ∴∠BDE ＝∠BCA ，∴DE ∥CA

（3）设点B 关于DE 的对称点F 在OC 上 过E 作EG ⊥OC 于G 则△DCF ∽△FGE

∴CF GE ＝ DF EF ，∴CF 3 ＝ 3－ k 5

5－

k 3 ＝ 3 5 ，∴CF ＝

9 5 在Rt △DCF 中，DC 2＋CF 2＝DF 2

∴( k 5 )2＋( 9 5 )2＝( 3－ k 5 )2，解得k ＝ 24 5 ∴D （24

5 ，5）

3、如图，反比例函数y ＝ k

x （x ＞0）的图象经过点A 、B （2，2），AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D ，AC 与BD 交于点F ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．

（1）若AC ＝ 3

2 OD ，求a 、b 的值； （2）若BC ∥AE ，求BC 的长．

）的图象上

0＞x （k

x

＝y ）在函数2，2（B 点∵）1（ 4

x

＝y ，4＝k ∴ ∵BD ⊥y 轴，∴D （0，2），OD ＝2

3

点的纵坐标为A ，即3＝AC ∴，OD 3

2

＝AC 轴，x ⊥AC ∵ ）3， 4

3

（A ∴的图象上， 4 x ＝y 在A 点∵ ∵一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A 、D

⎩⎪⎨

⎪⎧a ＝

3 4 b ＝2

解得 ⎩⎪⎨⎪⎧4 3 a ＋b ＝3b ＝2∴ ）0，m （C ）

，则4

m ，

m （A ）设2（ ∵BD ∥CE ，且BC ∥DE ， ∴四边形BCED 为平行四边形

∴CE ＝BD ＝2

∵BD ∥CE ，∴∠ADF ＝∠AEC

，

4

m －2 m ＝ AF

DF

＝ADF tan ∠∵ 4 m 2

＝ AC

EC

＝AEC tan ∠ 1＝m ，解得 4 m

2

＝ 4 m －2 m ∴ ∴C （1，0），BC ＝5

4、如图，直线y＝ax＋b与双曲线y＝

k

x （x＞0）交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），

直线AB与x轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C．

（1）若b＝y1＋1，x0＝6，且AB＝BP，求A、B两点的坐标；（2）猜想x1、x2、x0之间的关系并证明．

（1）作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E

则AD∥BE，AD＝y1，BE＝y2

∵AB＝BP，∴BE＝

1

2 AD，即y2＝

1

2 y1，DE＝EP

∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在双曲线y＝

k

x 上

∴x1y1＝x2y2＝k

∴x2＝2x1，∴OD＝DE＝EP＝x1

∵x0＝6，∴OP＝6，∴3x1＝6，∴x1＝2∴x2＝2x1＝4

∵AD∥OC，∴△PAD∽△PCO

∴

AD

OC ＝

PD

OP ，∴

y1

y1＋1

＝

4

6

解得y1＝2，∴y2＝

1

2 y1＝1

∴A（2，2），B（4，1）（2）猜想x1＋x2＝x0

令y＝ax＋b＝0，得x＝－

b

a ，即x0＝－

b

a

令ax＋b＝

k

x ，即ax

2＋bx－k＝0

∴x1＋x2＝－

b a

∴x1＋x2＝x0