数学物理方程

如果着重研究不靠近两端的那段弦，不妨认
为两端都不存在，或者说两端都在无限远，当
然就无需提出边界条件了。这样，有限长的真
实的弦抽象成无界的弦。
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衔接条件
针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点 失去意义
板书推导 笔记 P 2~3 页
衔接条件
针对研究区域里的跃变点，泛定方程在跃变点 失去意义
板书推导
第二类边界条件，规定了所研究物理量在边界 外法线方向上方向导数的数值。
第三类边界条件，规定了所研究物理量及其外 法向导数的线性组合在边界上的数值。
边界条件
第一类
u x, y, z,t
fLeabharlann Baidu
boundaryx0 , y0 ,z0
x0, y0, z0,t
第二类
u
f
n boundaryx0 , y0 ,z0
一维输运方程：扩散方程、热传导方程都是标 准形式的抛物型方程
椭圆型方程
——两个自变数方程的分类
uxx uyy 0 2u 0
二维拉普拉斯方程：静电场方程、稳定温度分 布方程都是标准形式的椭圆型方程
达朗贝尔公式 定解问题
大家已经熟悉常微分方程的常规解法: 先不考虑任何附加条件, 从方程本身求出通 解, 通解中含有任意常数 (积分常数), 然后 利用附加条件确定这些常数. 偏微分方程能 否仿照这种办法求解呢?
f x y f x f y, f x kx, f x y k x y kx ky.
板书推导反例
线性二阶偏微分方程
满足如下特征的函数称为线性函数： 2. 常数因子不变
f ax af x, f x kx, f ax k ax a kx.
板书推导反例
线性二阶偏微分方程
二阶偏微分方程如果可以表示为
线性非齐次常微分方程的通解等于非齐次方程 的特解 + 齐次方程的通解。
适当解释
双曲型方程
——两个自变数方程的分类
utt a2uxx f x,t
一维波动方程：弦的横振动方程,杆的纵振动方 程,电报方程等都是标准形式的双曲型方程。
抛物型方程
——两个自变数方程的分类
ut a2uxx f x,t
nn
n
a uij xixj biuxi cu f 0,
j1 i1
i 1
其中,aij, bi, c, f 只是x1,x2,…,xn 的函数,就叫做
线性的方程.
f 0,
x, y, z,t
则方程称为齐次的,否则叫非齐次的. 板书验证线性 解释P3页 笔记 P68页
课堂作业（5 分钟）
1. 如下方程是否为线性偏微分方程？给出说明。
弦的两端固定而振动，边界条件为
u 0,u 0
x0
xL
具体的例子（第一类边界条件）
热传导问题，杆的两端恒温，边界条件为
u x,t x0 uFire ,u x,t xL uIce
具体的例子（第二类边界条件）
具体的例子（第二类边界条件）
板书推导 笔记 P1 ~ P2 页
具体的例子（第二类边界条件）
x0, y0, z0,t
第三类
u Hun
f
boundaryx0 , y0 ,z0
x0 , y0, z0,t
课堂作业（5 分钟）
• 弦的横振动问题，一端固定，另一端与一 竖直弹簧相连，弹簧的另一端固定，求这 个定解问题的边界条件。
• 板书画图。 • 笔记 P66 页。
具体的例子（第一类边界条件）
什么是边界？
由连接研究对象和环境的所有点组成的物理区 域
对于一维系统，它是两个端点
对于二维系统，它是闭合曲线
对于三维系统，它是封闭曲面
要确定一个由数理方程描述的物理问题的解， 必须给定所有边界上的信息：确切说明边界上 的物理状况
边界条件
常见的线性边界条件，数学上分为三类：
第一类边界条件，直接规定了所研究的物理量 在边界上的数值。
杆的一端通过弹簧与固定点连接，经过受力分 析，边界条件为
Ku YS u 0 x xL
一个完整的定解问题的边界条件可以是三类边 界条件的组合，例如：
一端固定另一端受力的杆的纵振动问题的完 整边界条件为（第一类和第二类边界条件的 组合）
u 0, u F t
x0
x xL YS
一端恒温，另一端有已知热流的热传导问题 的完整边界条件为（第一类和第二类边界条 件的组合）
数学物理方程的分类 ——偏微分方程的分类
偏微分方程：关于具有多个 独立变量的未知函数及其偏 导数的方程。
不同物理现象可以由相同的 偏微分方程描述，因而具有 相同的动力学规律。（举例 说明）
观看动画
线性二阶偏微分方程
线 性
二 次
指 数
线性二阶偏微分方程
满足如下特征的函数称为线性函数： 1. 叠加性
u
x0
uFire , k
u x
xL
F
t
还有其他类型的边界条件……
边界条件只要确切说明边界上的物理 状况就行。
具体问题具体分析：把物理定律应用 到边界上，就能得到需要的边界条件。
没有边界条件的问题
拿弦振动问题为例, 如果弦很长, 着重研究靠 近一端的那段弦。在不太长的时间里, 另一端 的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不 存在，或者说另一端在无限远，当然就无需提 出另一端的边界条件。这样，有限长的真实的 弦抽象成半无界的弦。
纵振动杆一端受沿外法向方向外力，根据胡克 定律，边界条件为
u F t
x xL YS
具体的例子（第二类边界条件）
一端有已知热流流入的热传导问题，根据热传 导定律，边界条件为
k u F t
x xL
板书推导
具体的例子（第三类边界条件）
具体的例子（第三类边界条件）
板书推导 笔记 P2 页
具体的例子（第三类边界条件）
课堂作业（5 分钟）
• 在无界空间内求如下定解问题的解：
t
2
u
t
2u t 2
T
x
2
x
2u x2
,
x
u x
t
u t
0,
ut tT x . 注意方程是线性的
笔记 P 68 页
达朗贝尔公式
运用达朗贝尔公式，给出无界或半无界条件下 波动方程解的物理图象；数学上把偏微分方程 化为常微分方程求解。
u a2 2u 0,
t
x2
u t 2
a2
2u x2
0,
2u 0.
u u 2u 0, t x2
叠加原理
如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把 定解问题的解看作几个部分的线性叠加，只要 这些部分各自所满足的泛定方程和定解条件相 应的叠加正好是原来的泛定方程和定解条件就 行。这叫做叠加原理。