2017-2018学年度学业水平考试数学(文科)试题

绝密★启用前揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4,5A =，{}2,3,4B =，则()U A B 等于（A ）{}1,4,5,6 （B ）{}1,5（C ）{}4（D ）{}1,2,3,4,5（2）设复数z 满足(1)3i z i +=-，则z 等于（A ）12i -- （B ）12i - （C ）12i + （D ）12i -+ （3）“22lg lg a b >”是“0a b >>”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 （4）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（A ）250x y ++=或250x y +-= （B）20x y ++=或20x y += （C）20x y -+=或20x y -= （D ）250x y -+=或250x y --= （5）给出平面α以及直线,m n ，其中,m n 为共面直线，下列命题中正确的是 （A ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （B ）若//m α，//n α，则//m n （C ）若m 、n 与α所成的角相等，则//m n （D ）若m α⊂，//n α，则//m n （6）函数()f x 的部分图象如图1示，则()f x 的解析式可以是（A ）222()()f x x x π=- （B ）()cos f x x x π=+（C ）()sin f x x x = （D ）2()cos 1f x x x =+-（7）已知等比数列{}n a 满足2214724,a a a a +==，则数列{}n a 的前6项和为（A ）31 （B ）63 （C ）64 （D ）126否 输出lg S是k =k +1 开始 结束 输入k =1,S =1 S =S ×k图2（8）已知实数x 、y 满足条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则6x y +的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40（9）右面程序框图2是为了求出10099321⨯⨯⨯⨯⨯ 的常用对数值，那么在空白判断框中，可以填入（A ）99≤k （B ）100≤k （C ）99≥k （D ）100≥k （10）记函数2()2f x x x =+-的定义域为A ，在区间[-3,6]上随机取一个数x ，则x ∈A 的概率是（A ）23 （B ）13 （C ）29 （D ）19（11）已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与抛物线24y x =的准线围成的三角形的3（A ）2 （B 3 （C 6 （D ）23（12）自原点O 向曲线()ln 2f x x =+引切线，切点为P ；点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，满足2OA OB OP +=，则AOB ∆的面积为（A ）12e (B)32e(C)23e (D)2e第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）若向量2(1,2),(1,log )a b x =-=，且a //b ,则x 的值为 .（14）如图3，圆柱O 1 O 2 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是 . 图3 （15）设函数()cos()3f x x π=-，则以下结论:①()f x 的一个周期为2π- ②()f x 的图象关于直线43x π=对称 ③()f x π+为偶函数 ④()f x 在(,)2ππ单调递减其中正确的是 .（请将你认为正确的结论的代号都填上）DCB AP EDCBA（16）某单位用5万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费用为48()10n n N *+∈元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了 天. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2cos()4sin sin 1A B A B --=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）已知ABC ∆的周长为15153,求ABC ∆最长边的长度． （18）（本小题满分12分）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ）， 得到如图4的茎叶图，整数位为茎，小数位为叶，如27.1mm 的茎为27，叶为1．根据茎叶图给出的数据：（Ⅰ）分别估计甲、乙两种棉花纤维长度的中位数； （Ⅱ）分别估计甲、乙种棉花纤维长度不低于33.1mm 的概率；（Ⅲ）对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出一个 不同于（Ⅰ）的统计结论.（只需写出统计结论，不需说明 理由）图4（19）（本小题满分12分）如图5（1）所示，平面多边形ABCDE 中， AE=ED ，AB=BD ，且5AB =2AD =，2AE =1CD =，AD CD ⊥，现沿直线AD 5（2）将ADE ∆折起，得到四棱锥P ABCD -，如图5（2）示． （Ⅰ）求证：PB AD ⊥； 图5（1）（Ⅱ）若图5（2）中，已知三棱锥P-ABD 的体积为12，求棱锥C PBD -的体积．（20）（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点的坐标分别为(3,0)3,0)，并且经过点1(3,)2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）记椭圆左、右顶点分别为A 、B ，给出y 轴上两点()0,M m 和()0,N n （均不与原点O 重合），且满足直线AM 和BN 的交点在椭圆上，试问x 轴上是否存在一个定点T ，使得OMB OTN ∠=∠？若存在，求出点T 的坐标；否则，说明理由． （21）（本小题满分12分）设函数2()3ln f x x x a x =-+，其中a 为非零实数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的极值点的个数；（Ⅱ）若()f x 仅有一个极值点0x ，解关于a 的不等式0(2)f x a <．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，],0[πα∈）；现以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为ρ=，（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设1C 和2C 的交点为M 、N ，求MON ∠的值． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数||||)(a x a x x f --+=，（Ⅰ）设3)2(>f ，求a 的取值范围；（Ⅱ）当1||<a 时，试比较)1(af 与|)(|x f 的大小．揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．解析：（12）设点P 的坐标为00(,)x y ，依题意得00(2,0),(0,2)A x B y ，故002AOB S x y ∆=，由题意知)('0x f k OP =，又x x f 1)('=，得OP 的方程为01y x x =，所以00011y x x =⋅=，又2ln 00+=x y ，得01x e=，所以002AOB S x y ∆==2e，选（D ）. 解析（16）设一共用了n 天，日平均费用为y 元，则485000010n ny n++++=97500002020n n =++， 当50000,20n n=即1000n =时y 取得最小值.三、解答题（17）解：（Ⅰ）由2cos()4sin sin 1A B A B --=得2cos cos 2sin sin 4sin sin 1A B A B A B +-=-------------------------------2分1cos cos sin sin 2A B A B -=，即()1cos cos()2A B C π+=-=，----------------------------------------------4分1cos 2C =-∵0C π<< ∴23C π=；----------------------------------------------------6分（Ⅱ）在ABC ∆中，因C 最大，故最长边为cODCBA P由1sin 2ABCSab C ==，得15ab =，-----------------------------------8分 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，∴2222()c a b ab a b ab =++=+-，--------------------------------------------10分 把15a b c +=-代入上式得22(15)15c c =--，解得7c =，即△ABC 最长边的长为7．------------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）由所给的茎叶图知，甲种棉花25根棉花的纤维长度按由小到大排序，排在第13位的是30.7mm ，即样本的中位数为30.7mm ，故可估计甲种棉花纤维长度的中位数为30.7mm ；-------2分 同理，因乙种棉花样本的中位数为31.8mm ，故可估计乙种棉花纤维长度的中位数为31.8mm.--4分（Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度不低于33.1的比率分别为：40.1625=，--------------6分； 60.2425=，---------------------------------------------------8分 故估计甲、乙种棉花纤维长度不低于33.1的概率分别为0.16和0.24.-------------9分（Ⅲ）以下结论供参考：①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．③乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（35.2）外，也大致对称，其分布较均匀．【注：依题意写出一个合理的统计结论给3分】 （19）证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，---------------1分∵BA BD =，EA ED =，即PA PD =，∴OB AD ⊥且OP AD ⊥，------------------------------------------3分 又OB OP O =，∴AD ⊥平面BOP ，---------------------------------------------------5分 而PB ⊂平面BOP ，∴PB AD ⊥；-----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）设三棱锥P-ABD 的顶点P 到底面ABD 的距离为h ，∵1122222ABD S AD OB ∆=⋅=⨯⨯=,----------------------7分 由121332P ABD ABD V S h h -∆===，得34h =,-----------------9分∵1122BCD S CD OD ∆=⋅=,-------------------------------10分∴13C PBD P BCD BCD V V S h --∆===11313248⨯⨯=.---------------12分（20）解：（Ⅰ）依题意得c =由椭圆的定义得1242a =+=，2a =，-----------------------------------2分 又222a b c -=得1b =--------------------------------------------------------------------------------3分故所求椭圆的方程为2214x y +=；----------------------------------------------------------------4分 【其它解法请参照给分】（Ⅱ）法1：依题意可知直线AM 、BN 的方程分别为：:(2)2m AM y x =+-------①------------5分, :(2)2nBN y x =--，------------②------------6分 设AM 与BN 的交点为0000(,)(0)Q x y x y ≠，代入①②并相乘可得2200(4)4mn y x =--又点Q 在椭圆上有220044x y -=-，得220044mn y y =--（），整理得1mn =，---------------------------------------------------------9分 假设存在点(),0T t 符合题意， 由OMB OTN ∠=∠可得||||||||OB ON OM OT =，即2n m t=，解得12t =±，----------------11分 故满足题意的定点T 存在，其坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．----------------------------------12分 【法:2：依题意可知直线AM 、BN 的方程分别为：:12x y AM m +=--------①------------5分, :12x yBN n+=，------------②------------6分 解①②联立组成的方程组可得AM 与BN 交点坐标为222,n m mn m n m n -⎛⎫⎪++⎝⎭，--------7分代入椭圆的方程得2222244n m mn m n m n-+=++（）（），整理得1mn =，------------------------------------------------------------------------------------9分 假设存在点(),0T t 符合题意， 由OMB OTN ∠=∠可得||||||||OB ON OM OT =，即2n m t=，解得12t =±，-----------------11分 故满足题意的定点T 存在，其坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭或1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．--------------------------------12分】 【其它解法请参照给分】（21）解：(Ⅰ)()f x 的定义域为()0,+∞，()22323a x x af x x x x-+'=-+=，---------------------------------------------------1分记()223g x x x a =-+，0x >，显然()g x 与()f x '的符号相同， ∵方程()=0g x 根的判别式98a ∆=-当0∆≤，即98a ≥时，()0g x ≥恒成立，()f x 单调递增，极值点个数为0；----2分 当0∆>，即98a <时，记()g x 的两个零点分别为1x 和2x （不妨设12x x <），则有1232x x +=、122ax x =，若0a <，则120x x <<，当()20,x x ∈时，()0g x <，()f x 单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()f x 单调递增，极值点个数为1；----------------------4分 若908a <<，则120x x <<，当()10,x x ∈时，()0g x >，()f x 单调递增， 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()f x 单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()f x 单调递增，极值点个数为2；----------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）∵()f x 仅有一个极值点0x ，由（Ⅰ）知，0a <，且20x x =，∴0x 满足200230x x a -+=，0x =，--------------------------------------------7分()()200000246ln 2ln 22f x x x a x a x =-+=-，----------------------------------------------8分由()02f x a <，得()0ln 22a x a -<，由于0a <，得0ln 221x ->，即0ln 23x >，∴302x e >，-------------------------------9分把032x +=代入，得33e >，解得3668e e a -<．------------------------------------------------------------------------------------12分选做题（22）解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程知，1C 是以原点O 为半径的圆的上半圆，----2分其极坐标方程为[])0,ρθπ=∈；-----------------------------------------4分（Ⅱ）联立方程[])0,ρθπ=∈，ρ=,得sin 2cos20θθ-=，-----5分于是tan 21θ=，[]20,2θπ∈，--------------------------------------------------------6分 解得24πθ=或524πθ=，即M N θθ和的值为858ππ和------------------------8分所以2||πθθ=-=∠M N MON ．--------------------------------------------------------10分（23）解：（Ⅰ）3|2||2|)2(>--+=a a f --------------------------------------------------------1分①当2-<a 时，得322>-+--a a ，无解；--------------------------------------------2分②当22<≤-a 时，得322>-++a a ，解得23>a ，所以223<<a ；---------3分③当2≥a 时，得322>+-+a a ，恒成立；-----------------------------------------------4分综上知，a 的取值范围为),23(∞+．------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）|||1|||1|1||1|)1(22a a a a a a a a a f --+=--+=，---------------------------------------------6分当1||<a 时，012>-a ，||2||2||1||1)1(222a a a a a a a a f ==--+=，-------------------7分 |2||)(||||||||)(|a a x a x a x a x x f =--+≤--+=，---------------------------------------9分所以|)(|)1(x f af ≥．------------------------------------------------------------------------------10分。