2017-2018学年度学业水平考试数学(文科)试题

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揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试

数学(文科)

本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4,5A =，{}2,3,4B =，则()U A B 等于

（A ）{}1,4,5,6 （B ）{}1,5

（C ）{}4

（D ）{}1,2,3,4,5

（2）设复数z 满足(1)3i z i +=-，则z 等于

（A ）12i -- （B ）12i - （C ）12i + （D ）12i -+ （3）“2

2

lg lg a b >”是“0a b >>”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 （4）平行于直线210x y ++=且与圆2

2

5x y +=相切的直线的方程是

（A ）250x y ++=或250x y +-= （B

）20x y ++=

或20x y += （C

）20x y -+=

或20x y -= （D ）250x y -+=或250x y --= （5）给出平面α以及直线,m n ，其中,m n 为共面直线，下列命题中正确的是 （A ）若m α⊥，m n ⊥，则//n α （B ）若//m α，//n α，则//m n （C ）若m 、n 与α所成的角相等，则//m n （D ）若m α⊂，//n α，则//m n （6）函数()f x 的部分图象如图1示，则()f x 的解析式可以是

（A ）222()()f x x x π=- （B ）()cos f x x x π=+

（C ）()sin f x x x = （D ）2()cos 1f x x x =+-

（7）已知等比数列{}n a 满足2

214724,a a a a +==，则数列{}n a 的前6项和为

（A ）31 （B ）63 （C ）64 （D ）126

否 输出lg S

是

k =k +1 开始 结束 输入k =1,S =1 S =S ×k

图2

（8）已知实数x 、y 满足条件2030230x x y x y +≥⎧⎪

-+≥⎨⎪+-≤⎩

，则6x y +的最大值为

（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40

（9）右面程序框图2是为了求出10099321⨯⨯⨯⨯⨯ 的常用对数值，

那么在空白判断框中，可以填入

（A ）99≤k （B ）100≤k （C ）99≥k （D ）100≥k （10）记函数2()2f x x x =+-的定义域为A ，在区间[-3,6]上随机取一

个数x ，则x ∈A 的概率是

（A ）

23 （B ）13 （C ）29 （D ）1

9

（11）已知双曲线22221x y a b

-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与抛物线2

4y x =的准线围成的三角形的

3

（A ）2 （B 3 （C 6 （D ）23（12）自原点O 向曲线()ln 2f x x =+引切线，切点为P ；点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，满足

2OA OB OP +=，则AOB ∆的面积为

（A ）12e (B)3

2e

(C)23e (D)2e

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．

（13）若向量2(1,2),(1,log )a b x =-=，且a //b ,则x 的值为 .

（14）如图3，圆柱O 1 O 2 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，记圆柱

O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则

1

2

V V 的值是 . 图3 （15）设函数()cos()3

f x x π

=-

，则以下结论:

①()f x 的一个周期为2π- ②()f x 的图象关于直线43

x π

=

对称 ③()f x π+为偶函数 ④()f x 在(

,)2

π

π单调递减

其中正确的是 .（请将你认为正确的结论的代号都填上）

D

C

B A

P E

D

C

B

A

（16）某单位用5万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保

养费用为

48

()10

n n N *+∈元，若使用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用了 天. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2cos()4sin sin 1A B A B --=． （Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）已知ABC ∆的周长为15153

,求ABC ∆最长边的长度． （18）（本小题满分12分）

从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ）， 得到如图4的茎叶图，整数位为茎，小数位为叶，如27.1mm 的茎为27，叶为1．

根据茎叶图给出的数据：

（Ⅰ）分别估计甲、乙两种棉花纤维长度的中位数； （Ⅱ）分别估计甲、乙种棉花纤维长度不低于33.1mm 的概率；

（Ⅲ）对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出一个 不同于（Ⅰ）的统计结论.（只需写出统计结论，不需说明 理由）

图4

（19）（本小题满分12分）

如图5（1）所示，平面多边形ABCDE 中， AE=ED ，AB=BD ，且5AB =2AD =，

2AE =1CD =，AD CD ⊥，现沿直线AD 5（2）

将ADE ∆折起，得到四棱锥P ABCD -，如图5（2）示． （Ⅰ）求证：PB AD ⊥； 图5（1）

（Ⅱ）若图5（2）中，已知三棱锥P-ABD 的体积为1

2

，求棱锥C PBD -的体积．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点的坐标分别为(3,0)3,0)，并且经过点1

(3,)2

．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）记椭圆左、右顶点分别为A 、B ，给出y 轴上两点()0,M m 和()0,N n （均不与原点O 重合），且满足直线AM 和BN 的交点在椭圆上，试问x 轴上是否存在一个定点T ，使得OMB OTN ∠=∠？若存

在，求出点T 的坐标；否则，说明理由． （21）（本小题满分12分）

设函数2

()3ln f x x x a x =-+，其中a 为非零实数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的极值点的个数；

（Ⅱ）若()f x 仅有一个极值点0x ，解关于a 的不等式0(2)f x a <．