第二节相似矩阵与矩阵对角化

对于特征值
3 2 ，解
1 p3 0 1
( A 2 I ) X 0 得基础解系
令
1 0 P p1 p2 p3 0 1 1 0
0 P 1 AP 1 2
。
1 0 1
定理5.5设A的特征值 i 为 ni
i 1, 2,, r
重
则 A≌
对于每一 ni 重特征值 i
均能找到
ni
个线性无关的特征向量 （或齐次线性方程组）
( A i I ) X 0 的解空间为
ni 维）。
证略。
习惯上称方阵特征值 i 的重数为代数重数， 而与之对应的齐次线性方程组 ( A i I ) X 0 的解空间的维数（或基础解系含解向量 的个数）为相应的几何重数， 则定理5.5又可叙述为：方阵A可对角化 A的每一特征值的代数重数都等于相应 的几何重数。
，有
2.如果有重特征值，则可能存在n个线性 无关的特征向量，也可能不存在n个线性 无关的特征向量。因此， 可能与对角矩 阵相似，也可能不与对角矩阵相似 。例5.2。1及例5.2.2都是有重特征值 的情况。例5.2.1不能与对角矩阵相似 ，而例5.2.2可与对角矩阵相似。 （请同学们对照定理5.4说明为什麽？） 下面的定理告诉我们在有重特征值时， 满足怎样的条件可与对角矩阵相似。
：
定理5.3 设 A B 则 1) A B 2)A与B有相同的特征多项式， 因而有相同的特征值 证明：仅对2）证明， 1）的证明留给读者。
A B 则存在可逆矩阵p使
，
P AP B
B I P 1 AP I P 1 ( A I ) P P
1
1
定理5.4
A≌

A有n个线性无关的特征向量。且 的对角元为A的特征值，而相似 变换矩阵对应的向量，是特征值 i 对应的A的特征向量 （矩阵对角化有何实际意义？ 任意方阵都能对角化吗？）

在上一节我们给定方阵特征值、特征 向量的定义时，读者一定感到有些突 然，当我们引入了矩阵对角化的慨念， 推导了定理5.3后读者一定会觉得这 定义是很自然的。问题对于具体的A 能否给出一个更具体的判断其是否可 对角化的方法呢？下面回答这一问题。
B
1
的特征值为
1 1 1, , 2 5
例5.3.2设n阶矩阵A与B相似，且 X 0 是A对应于特征值 0 的特征向量， 证明
P 1 X 0 为B对应于特征值
0 的特征向量。
p 1 Ap B ，由 AX 0 0 X 0 证明：设
用 p 1 左乘等式两端。得：
p AX 0 0 p X 0
1 1 1
p Ap ( p X 0 ) 0 p X
1 1 1 1
0
B( p X 0 ) 0 ( p X 0 )
故B对应的特征值 0 的特征向量为：
P 1 X 0
证毕。
注：请将上节性质4与例 5.3.2进行比较， 会有什么结论？矩阵相 似于对角矩阵B 对应的条件是什么？
3 1,
2 1 0 (I A ) X 0, ( I A ) 0 0 1 0 0 0
1 x k 2 0
3 P 1AP
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3
0 ,P 0 1 1
第二节相似矩阵与矩阵对角化
§5.3 相似矩阵与对角化 一。矩阵相似的概念：在本章的引例中， 我们利用
P1 AP A P P1
，求得A1000，我们称A与对角矩阵 相似
下面我们给出矩阵相似的一般概念。 定义5.6 设n阶方阵A，如果存在可逆方阵p使
P
1
AP B称矩阵A,B相似，记 A B
有
AP i P i i
i 1, 2,, n
故
i 是A的特征值
，
Pi
是与其对应的特征向量。
p可逆，故这些特征向量线性无关，即 存在n个线性无关的特征向量。 反之，如n个线性无关的特征向量
p1 , p2 ,, pn ，令 P p1 p2 pn
，
设其对应的特征值依次为 1 , 2 ,, n
，
2 0 0 A 0 2 3 0 3 2
且
A B
2）. B1 的特征值。
2 0 0 A 0 2 3 10 0 3 2
，
由定理5.2，即知
1 1 B 10
B 10
。
B
1
2）.可求得A的特征值为 -1，2，5。由定理5.2.1知
的特征值为-1，2，5。 再利用上节性质4）得
，有
APi i Pi i 1, 2,, n
1 2 A p1 p2 pn 1 p1 , 2 p2 ,, n pn p1 , p2 ,, pn n
从而
即
AP P P AP
1
，
（1）求A的特征值， （2）确定a使矩阵相似于对角 矩阵并由此求对角矩阵 及可逆矩阵p使
P 1AP
解：（1）
1 I A 4
0
，
1
0 a ( 3) 2 ( 1)
1
0
3
1,2 3 3 1
a 0, r (3I A) 1
从定义看，显然两矩阵间的相似关系 是比等价关系更为“密切”的一种关系。 从定义看，如果
A B A B
。但反之不成立。（想想为甚磨？） 因此，等价关系同样满足自反、对称、 传递性且秩相等。但是相似关系是比 等价关系更强的一种关系， （请比较一下矩阵等价与相似概念的 背景及异同点） 除了上述满足等价关系满足的性质外， 还具有如下性质
当
1,2
2 1 0 2 1 0 3, (3I A ) 4 2 a 0 0 a 0 0 0 0 0 0
(3I A) X 0
就有两个无关解，则A可对角化。
0 1 x k1 0 k2 2 1 0
，
可逆矩阵p称相似变换矩阵。
为了更好的理解矩阵的相似关系 ，我们不妨将其与矩阵的等价作一比较。 矩阵之间的相似与等价关系有一定联系， 先回顾一下矩阵等价的定义及性质。设 A,B为同阶m×n矩阵，如果存在m阶及n阶 可逆矩阵p，Q使 PAQ B 则称矩阵A,B等价，记 A B 等价关系具有如下性质： 1）.满足自反、对称、传递性； 2）.如果 A B R( A) R( B)
在实际应用中，我们常常关心的是， 方阵是否与一个对角矩阵相似。我们 自然要问 是否任一方阵都能与一个对角矩阵相 似呢？回答是否定的。那麽怎样的矩 阵可以与对角矩阵相似呢？如果矩阵 可与对角矩阵相似，则称该矩阵可以 对角化，那麽，矩阵可对角化的条件 是什麽呢？又如果矩阵可对角化，那 麽，如何求相似变换矩阵及对角矩阵 呢？下面我们来研究这些问题》
(A I ) P (A I )
请同学们考虑一下，相似· 的上述 性质，等价有吗？两矩阵相似其 特征向量是否相等
从定理来看，相似有比等价更多 的性质，相似关系的确是比等价 更强的一种关系。还要注意相似 是对方阵而言的，而等价对任意 矩阵都可。
例5.3.1设 求1） 解：1）.
B 1
1.如果的特征值互异，由定理5.1，A有n 个线性无关的特征向量，故这时一定可对 角化，
例5.3.3
1 0 1 A 0 1 0 1 0 1
问A可否对角化？如能，求出相似变换 1 矩阵p使 P AP
。
1 1
0 1 0
1 0 (1 )(2 ) 0 1
1 2 0
1 2 0
注：要想对角化需满足代数重数= 几何重数，相对于
1,2 3
的基础解系必含2个解
r (A) 3 2 1
行阶梯形仅含一个阶梯 a 0

读者不妨用此定理去验证例5.2.1 及例5.2.2的情形。 显然情况1是定理5.5的特殊情况。 注：（1）请将矩阵可对角化的条 件作一总结。 （2）如如果矩阵不能与对角矩 阵相似，和它能相 似的最简单的矩阵会是什么样的 矩阵呢？
例5.3.4．设矩阵
1 A 4 0
1 1 0
0 a 3
解： A I 0
得特征值
，
1 0, 2 1, 3 2
故可对角化。
对于特征值
，解 ( A 0 I ) X 0 得基础解系
1 p1 0 1
1 0
对于特征值
( A 1I ) X 0
2 1
，解
得基础解系
0 p2 1 0
从上例我们看到，如果方阵A可与一个 对角矩阵相似，则可利用对角矩阵的 优良性质大大简化其相关计算。如果矩 阵相似，则称可对角化。下面寻找矩阵 可对角化的条件
设A≌

存在可逆矩阵p
P p1 p2 pn
有
P AP
1
1 2 AP P A p1 p2 pn p1 p2 pn n