静电场之均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场
第七章 静电场
er
r
q e ( r R ) 2 r E 4 0 r 0( r R )
q 4 0 R 2
O
R
r
7(14)
例7-7:【书P267例题7-8(1)】求均匀带电球体的电场分布。已 知R，q 。 （设q＞0） 解：电荷分布的球对称性 电场分布的球对称性 选取同心球面为“高斯面”
§7-3 静电场的高斯定理 （重点、难点）
一、静电场的高斯定理
e
S
E dS
q内
0
二、高斯定理的应用 （重点、难点）
解题步骤：
e
S
E dS
q内
0
E
重点：选择一个合适的闭合曲面作为高斯面
要求：高斯面首先应是通过待求场强点的闭合面，其次高斯 面上各点的场强应大小处处相等，方向与高斯面正交；若有的地 方场强大小不等，或不能肯定相等，则应使这部分高斯面上的场 强与高斯面相切。
7(2)
§7-2
静电场 电场强度
（SI）V/m ；1V/m = 1N/c
F 定义场强： E = q0
一、点电荷的场强
F 1 qq0 er 2 4πε0 r
F E q0
E
1 q e 2 r 4πε0 r
7(3)
二、电场强度的计算
1. 点电荷系的场强计算
上 下 侧
r
h
h 0 ( r R ) 0 0 E dS E 2 rh 2 2 侧 hr 0 R r R )
2 r er ( r R ) 0 E r e r R ) 2 0 R 2 r
应用高斯定理求静电场的场强
应用高斯定理求静电场的场强摘要：静电场的场强可以应用库仑定律及叠加原理、高斯定理、电势与场强间关系三种方法求得。
应用高斯定理求静电场场强具有简单易算的特点，但高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体静电场场强。
带电体电荷的对称性的正确分析和高斯面的恰当选取是应用高斯定理求静电场场强的关键。
其中带电体电荷分布的对称性一般可以分为轴对称、面对称和中心对称三类。
根据电荷分布的对称性通常选取可划分为几部分曲面的高斯面，且划分的曲面面矢量s d 的方向和场强E 的方向垂直或平行，可化矢量积分为标量积分以达到便于计算的目的。
关键词：场强；高斯定理；对称性；高斯面。
1引言已知静电场的高斯定理：静电场中任一闭合曲面的E 通量等于该曲面内电荷的代数和除以 ε，即ε内q S d E s =⋅⎰⎰ . (1)应用高斯定理可以计算闭合曲面的E 通量和求静电场的场强。
本文首先分析为什么高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体静电场场强，然后对应用高斯定理求静电场场强求解步骤中关于带电体电荷的对称性分析和高斯面选取两个问题加以分析和讨论。
3应用高斯定理求场强的适用范围高斯定理是关于闭合曲面E 通量的定理，反映的是闭合曲面E 通量与电荷的关系，而不是场强E 与电荷的关系。
只有带电体的电荷分布具有对称性，即静电场的分布具有对称性时，才可以通过选取合适的高斯面，化矢量积分为标量积分εθ内q dS E S d E s s =⋅⋅=⋅⎰⎰⎰⎰cos (2) 将场强的大小E 从积分号中提出。
所以高斯定理只适用于求电荷对称分布的带电体的静电场场强E 的大小，场强E 的方向需要根据对称性来判断。
4应用高斯定理求场强的求解步骤应用高斯定理求电场强度可以分为以下四个步骤。
第一，分析带电体电荷分布的对称性；第二，根据带电体电荷分布的对称性选取适当的高斯面；第三，计算高斯面内的E 通量和高斯面内电荷的代数和；第四，化矢量积分为标量积分，求出场强的大小，并根据对称性分析场强的方向。
静电场的高斯定理
例7-10 求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时 所激发的电场强度。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为h,半径为r
•当r>R 时，
sE dS 侧面 E dS E 2 r h 为什么?
r h
E 2 r h h 0
P点的场强
E 2 0 r
1
0
d V
V
关于高斯定理的几点讨论
以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释， 不是高斯定理的证明
高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的 静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场， 高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
③ 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直 圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。
(2) 选取高斯面
用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。
选取高斯面的原则：
① 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 ② 应使高斯面上各点的场强大小相等， 方向与该处面元 的
法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)； 或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与 的法线 平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的 法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。
高斯定理解题步骤： 总结
(1)分析电场的对称性
根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场 线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场 源电荷的分布看出。
常见的情况有以下几种：
① 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带 电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；
静电场之均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场
电场的唯一性定理
在给定的边界条件下，对于一个封闭的静电场，其电场分布 是唯一的。
唯一性定理是静电场的基本性质之一，它确保了在给定电荷 分布和边界条件下，电场分布的唯一性和确定性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
电场强度与电荷密度的关系
电场强度与电荷密度成正比，即电荷 密度越大，电场强度越大。
在均匀带电圆柱面中，电场强度的大 小与电荷密度的大小成正比，比例系 数为介电常数。
电场分布的几何解释
电场分布的几何解释可以通过高斯定理来理解，高斯定理表明，在静电场中，穿过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合 曲面内所包围的电荷量。
电场线的疏密
由于电场强度与距离成反比，因此电 场线在靠近圆柱体的一侧较为密集， 远离圆柱体的一侧较为稀疏。
04
均匀带电圆柱壳的电场
均匀带电圆柱壳的电场分布
圆柱壳内
电场强度为零，因为内部没有电荷分布。
圆柱壳外
电场强度与电荷密度成正比，方向垂直于圆柱壳表面。
电场强度与电荷密度的关系
电场强度E与电荷密度ρ成正比，即E=kρ，其中k是常数。 电场强度的大小与电荷密度的分布范围有关，电荷密度越大，电场强度越高。
对于均匀带电圆柱面，由于电场分布是轴对称的，因此可以通过计算垂直于轴线的任意一个圆环上的电场强度通量来理解整 个圆柱面的电场分布。
03
均匀带电圆柱体的电场
均匀带电圆柱体的电场分布
圆柱体电荷分布
假设圆柱体长度Biblioteka L，半径为R，电荷线密度为λ，则电荷均匀分布在圆柱体的轴线 上。
电场分布
根据高斯定理，圆柱体外部的电场线与圆柱体轴线平行，且电场强度E与距离圆柱体 轴线的距离r成反比，即E=λ/2πrε0。
一圆柱形电场,电荷密度e
一圆柱形电场,电荷密度e
一个圆柱形电场是指一个具有圆柱形状的电场区域。
电荷密度（通常用符号ρ表示）是指单位体积内所包含的电荷量。
在圆柱形电场中，电荷密度可以是均匀的，也可以是非均匀的，这取决于圆柱内电荷的分布情况。
从电场的角度来看，圆柱形电场的电场强度会随着距离圆柱表面的距离而变化。
在圆柱表面附近，电场强度会受到电荷分布的影响而发生变化，而远离圆柱表面时，电场强度会趋向于均匀分布。
从电荷密度的角度来看，如果圆柱形电场中的电荷密度是均匀的，那么整个圆柱内的电荷总量可以通过电荷密度和圆柱的体积来计算。
如果电荷密度是非均匀的，那么需要对圆柱进行分段处理，然后计算每一部分的电荷量，最后将它们进行累加。
此外，圆柱形电场还涉及到高斯定律、电场线分布以及电势分布等问题。
通过高斯定律，可以求出圆柱形电场的电场强度分布情况。
电场线分布可以帮助我们直观地理解圆柱形电场的特性。
而电势分布则可以告诉我们在圆柱形电场中任意点的电势大小。
总的来说，圆柱形电场以及其中的电荷密度问题涉及到电场理论、高斯定律、电势理论等多个方面的知识。
对于圆柱形电场中的电荷密度问题，需要综合运用这些知识，从多个角度进行分析和计算，以得出全面而准确的结论。
大学物理(第四版)课后习题及答案 静电场
证2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在点P激发的电场强 度dE在Oxy平面内且对x轴对称，因此，电场在y轴和z轴方向上的分量之 和，即Ey、Ez均为零，则点P的电场强度应为
积分得 电场强度E的方向为带电平板外法线方向。 上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。
（2）由于正、负电荷分别对称分布在y轴两侧，我们设想在y轴上能 找到一对假想点，如果该带电环对外激发的电场可以被这一对假想点上 等量的点电荷所激发的电场代替，这对假想点就分别称作正、负等效电 荷中心。等效正负电荷中心一定在y轴上并对中心O对称。由电偶极矩p 可求得正、负等效电荷中心的间距，并由对称性求得正、负电荷中心。 解：（1）将圆环沿y轴方向分割为一组相互平行的元电偶极子，每一元 电偶极子带电
行，对电场强度通量贡献为零。整个高斯面的电场强度通量为 由于，圆柱体电荷均匀分布，电荷体密度，处于高斯面内的总电荷 由高斯定理可解得电场强度的分布， 解：取同轴柱面为高斯面，由上述分析得 题7.16：一个内外半径分别R1为R2和的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球 壳外同心罩一个半径为 R3的均匀带电球面，球面带电荷为Q2。求电场 分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。
题7.16分析：以球心O为原点，球心至场点的距离r为半径，作同心球面 为高斯面。由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面 上电场强度沿径矢方向，且大小相等。因而，在确定高斯面内的电荷 后， 利用高斯定理 即可求的电场强度的分布 解：取半径为r的同心球面为高斯面，由上述分析 r < R1，该高斯面内无电荷，，故
E=0 在距离圆孔较远时x>>r，则 上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽 略不计。 题7.15：一无限长、半径为R的圆柱体上电荷均匀分布。圆柱体单位长 度的电荷为，用高斯定理求圆柱体内距轴线距离为r处的电场强度。
2015级大学物理-I-计算题-03电学-有答案
2015级大学物理I 复习题-03电学【重点考核知识点】1.电场强度的概念，由电场强度叠加原理求带电体的电场强度分布。
⑴ 公式① 点电荷的电场强度分布：r e r Q E204επ=② 由电场强度叠加原理求点电荷系的电场强度分布：∑=ir i i i e r Q E204πε③ 视为点电荷的q d 的电场强度分布：r e r q E204d d επ=④ 由电场强度叠加原理求连续带电体的电场强度分布：⎰⎰==Qr e r q E E204d d επ⑤ 由电荷密度表示的q d ： 电荷体分布： V q d d ρ= 电荷面分布： S q d d σ= 电荷线分布： l q d d λ=⑥ 均匀带电球面的电场强度分布：⎪⎩⎪⎨⎧><=)( 4)(020R r r Q R r E πε，方向：沿径向。
⑦ 无限长均匀带电直线的电场强度分布：rE 02πελ=，方向：与带电直线垂直。
⑧ 无限大均匀带电平面的电场强度分布：02εσ=E ，方向：与带电平面垂直。
⑵ 相关例题和作业题【例10.2.1】 求电偶极子轴线和中垂线上任意一点处的电场强度。
解：⑴ 以q ±连线中点为原点，由q -指向q +方向建坐标轴，如图10.2.3（a ）所示，在距 O 点为x 远处P 点，由场强叠加原理，-++=E E E其大小 -+-=E E E 其中 20)2/(41l x q E -=+πε 20)2/(41l x qE +=-πε ()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=-+22202204/242/12/14l x xlql x l x q E E E πεπε 对于电偶极子来说，考虑到l x >>，上式中2224/x l x ≈-。
于是得点P 处的总的电场强度E的大小为3042xqlE πε=，E 的方向沿Ox 轴正方向。
⑵ 建立坐标轴如图10.2.3（b ）所示，同理在y 轴上离O 点y 远处P ′点的-++=E E E点电荷+q 和-q 在点P ′处产生的电场强度大小相等，其值为204r q E E πε==-+其中()222l y r r r +===-+，由分量式αααcos 2cos cos +-+-+-=--=+=E E E E E E x x x 0sin sin =-==-+-+ααE E E E E y y y ＋式中 42cos 22l y l +=α，所以-图 10.2.3（b ）电偶极子中垂线上一点的电场强度q - 图 10.2.3(a ) 电偶极子()23220441l y qlE E x +==πεE的方向沿Ox 轴的负向。
9.0静电场之基本内容
空间某点的所产生的场强等于各个 ri是电荷Qi到场点P的矢径。 点电荷在该点产生场强的矢量和 当电荷连续分布时，可将带电体分成许 dE = dq 3 r 4πε 0 r 多点电荷，每个点电荷产生的场强为 全部电荷产生 E = 1 dq r 4πε 0 ∫ r 3 的合场强为 点电荷dq可根据线密度λ， 面密度σ或体密度ρ决定 dq = λdl，dq = σdS和dq = ρdV。
4．典型源电荷的电场 (1)点电荷 E = 1 Q r 4πε 0 r 3 的电场为 其中r是点电荷 Q到场点的矢径。 Q>0 Q<0 r r P E EP
点电荷产生的场强与其电量Q成正比， 与场点到点电荷的距离的平方成反比， 方向在场点到点电荷的连线上。 正点电荷产生场强的方向沿径向向外， 负点电荷产生场强的方向沿径向向内。 (2)无限长均匀带 E = λ r 2 ε 2 π r 电直线的场强为 0
n
θ
E
∫
S
E ⋅ dS 对于封闭的曲面，通常取外
法线方向为曲面的正方向。
7．高斯定理：在静电场中，通过任一闭合曲面(称为高 斯面)的电通量等于该曲面包围的电量的代数和除以ε0
ΦE =
∫
S
E ⋅ dS =
1
ε0
高斯定理说明电场是有源场，正电荷 q ∑ i
i
是电场的源头，负电荷是电场的汇尾。
注意：任何一点的场强E是所有电荷在 该处产生的，而 ∑ qi 是高斯面内的电 i 荷，不包括高斯面外的电荷，因为高 斯面外的电荷产生的电通量为零。
湖南大学物电院周群益第九章第九章静电场静电场基本内容基本内容范例范例92电偶极子的电场电偶极子的电场范例范例93均匀带电线段的电场均匀带电线段的电场范例范例91点电荷的电场点电荷的电场范例范例94平行直线电荷的电场平行直线电荷的电场范例范例95均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场均匀带电圆环圆盘和圆圈在轴线上的电场范例范例98直线电荷与共面带电线段之间的作用力直线电荷与共面带电线段之间的作用力范例范例97均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场均匀带电圆柱面圆柱体和圆柱壳的电场范例范例99直线电荷与共面圆弧电荷之间的作用力直线电荷与共面圆弧电荷之间的作用力范例范例910点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律点电荷在有孔带电平面轴线上的运动规律范例范例96均匀带电球面球体以及球壳的电场均匀带电球面球体以及球壳的电场基本内容基本内容1
《真空中静电场》选择题解答与分析
《真空中静电场》选择题解答与分析12 真空中的静电场 12.1电荷、场强公式1. 如图所⽰，在直⾓三⾓形ABC 的A 点处，有点电荷q 1 = 1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，则C 点的场强的⼤⼩为(A) 4.5?104(N ?C -1). (B) 3.25?104(N ?C -1). 答案：(B)参考解答：根据点电荷的场强⼤⼩的公式，点电荷q 1在C 点产⽣的场强⼤⼩为)C (N 108.1)(4142011-??==AC q E πε，⽅向向下．点电荷q 2在C 点产⽣的场强⼤⼩为)C (N 107.2)(4142022-??==AC q E πε，⽅向向右．C 处的总场强⼤⼩为：),C (N 1025.3142221-??=+=E E E总场强与分场强E 2的夹⾓为.69.33arctan 021==E E θ对于错误选择，给出下⾯的分析：答案(A)不对。
你将)C (N 105.410)7.28.1(14421-??=?+=+=E E E 作为解答。
错误是没有考虑场强的叠加，是⽮量的叠加，应该⽤),C (N 1025.3142221-??=+=E E E进⼊下⼀题：2. 真空中点电荷q 的静电场场强⼤⼩为2041rqE πε= 式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这⼀推论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适⽤于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适⽤．若仍⽤此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的⼤⼩和电荷分布，这样求得的Ｅ就有确定值．进⼊下⼀题： 12.2⾼斯定理1. 根据⾼斯定理的数学表达式?∑?=Sq S E 0/d ε可知下述各种说法中，正确的是：(A) 闭合⾯内的电荷代数和为零时，闭合⾯上各点场强⼀定为零．(B) 闭合⾯内的电荷代数和为零时，闭合⾯上各点场强不⼀定处处为零．(C) 闭合⾯上各点场强均为零时，闭合⾯内⼀定处处⽆电荷．答案：(B) 参考解答：⾼斯定理的表达式：∑?==?ni i S q s E 101d ε .它表明：在真空中的静电场内，通过任意闭合曲⾯的电通量等于该闭合⾯所包围的电荷电量代数和的0/1ε倍。
静电场
麦克斯韦《电磁通论》A TREATISE ON ELECTRICITYAND MAGNETISM=⋅∇BtD j B ∂∂+=⨯∇t B E ∂∂-=⨯∇ρ=⋅∇D麦克斯韦方程组：)(cos 0u xt E E -=ω)(cos 0uxt H H -=ω00/1με=u 8100.3⨯=麦克斯韦方程组：电磁波函数：静电场（一）STATIC ELECTRIC FIELD点电荷的电场：(electric field due to a point charge)re rQq F⋅⋅=2041πεq F E /=电场强度：库仑定律：re rQ ⋅⋅=2041πε1201085.8-⨯=ε电场叠加原理：nE E E E+⋅⋅⋅++=21(electric field )(Coulomb’s law )(superposition principle of electric field )⎰=Ed E orx O q -q +0r Ax -E +E 电矩：0r q p=(electric dipole moment )i r x q E 200)2/(41-=+πεi r x qE 200)2/(41+-=-πε-++=E E E i r x q xr 220200)4/(241-=πεi x qr 300241πε≈30241x pE πε=q -q +0r xO By E-E +E 4/412020r y qE E +==-+πε4/2020r y r E E +=-2/3202002020)4/(414/r y qr r y r E E +=+=-πε3041ypE πε-=3041y qr πε-≈例1:求均匀带电圆环轴线上的场强。
圆环半径为R ，带电量为Q 。
ORxxdE⊥dE xdE θr P dl2041r dq dE πε=dlR Q dq π2=2028rdlR Q επ=2028cos r dl R Q dE x επθ=dl Rr Qx 3028επ=⎰⎰==dl Rr QxdE E x 3028επ2/3220)(4R x Qx+=πε⎪⎩⎪⎨⎧=>>≈0420x R x x Q πε带电体在外场中所受的作用力：点电荷：E q F =带电体：⎰=dqE F 电偶极子：qEF +=+qEF -=-q +Eq-θo θθθsin sin 2sin 2qlE lF l F M =+=-+E p M ⨯=可见：力矩最大；力矩最小。
大学物理 电荷和静电场
3 带电体电荷分布为面对称，电场为面对称
一维：
点电荷
无限长带电直线
无限长带电直圆柱面
二维：
带电球面 无限大平板面 无限长带电直圆柱体 带电球体 带电球壳 无限大平板厚板面
三维：
第三节
高斯定理
你知道下面几种特殊带电体的电 一.电场线
场线吗？
二.电通量 三.高斯定理
点，线，球，面
E
e E S
n
s
q
S
q
S
1 E dS
0 ( S内)
q
i
四.利用高斯定理求场强
利用高斯定理求解场强大小的解题步骤：
1.根据题意画出电场线，确定是什么对称 的场强分布； 2.根据电场线选择闭合高斯面；
S
qn
e E dS ( E1 E2 ... En ) dS S S E1 dS E2 dS ... En dS S S S qn q1 q2 e1 e1 ... e1 ...
第三节
高斯定理
（求场强的方法3）
一.电场线的特点
（1）曲线上每点的切线方向与该点的场强方向一致；
（2）起于正电荷（或来自无限远处）,止于负电荷（或 伸向无限远处）;
（3）不是闭合曲线,也不会在没有电荷的地方中断;
（4）任何两条电场线不会相交；
（5）电场线密的地方平均场强大，电场线疏的地方平均 场强小。
R
R3 E外 2 3 0 r1
(r1 R )
2)球体内：设B为球体内任意一点，距球心o为r2。
电学 大学物理试卷及答案
r 1．（本题3分） 如图所示，一个电荷为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于： (A)06εq ． (B) 012εq ． (C) 024εq ． (D) 048εq ． ［ ］2．（本题3分）如图所示，两个同心球壳．内球壳半径为R 1，均匀带有电荷Q ；外球壳半径为R 2，壳的厚度忽略，原先不带电，但与地相连接．设地为电势零点，则在两球之间、距离球心为r 的P 点处电场强度的大小与电势分别为： (A) E ＝204r Q επ，U ＝rQ04επ．(B) E ＝204r Q επ，U ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πr R Q 11410ε． (C) E ＝204r Qεπ，U ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π20114R r Q ε．(D) E ＝0，U ＝204R Qεπ． ［ ］3．（本题3分）半径分别为R 和r 的两个金属球，相距很远．用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电．在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR / σr 为(A) R / r ． (B) R 2 / r 2．(C) r 2 / R 2． (D) r / R ． ［ ］4．（本题3分）一平行板电容器始终与端电压一定的电源相联．当电容器两极板间为真空时，电场强度为0E ϖ，电位移为0D ϖ，而当两极板间充满相对介电常量为εr 的各向同性均匀电介质时，电场强度为E ϖ，电位移为D ϖ，则(A) r E E ε/0ϖϖ=，0D D ϖϖ=． (B) 0E E ϖϖ=，0D D r ϖϖε=．(C) r E E ε/0ϖϖ=，r D D ε/0ϖϖ=． (D) 0E E ϖϖ=，0D D ϖϖ=． ［ ］5．（本题3分）如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知 (A)0d =⎰⋅L l B ϖϖ，且环路上任意一点B = 0．(B)0d =⎰⋅Ll B ϖϖ，且环路上任意一点B ≠0．(C)0d ≠⎰⋅Ll B ϖϖ，且环路上任意一点B ≠0．(D) 0d ≠⎰⋅Ll B ϖϖ，且环路上任意一点B =常量． ［ ］C, C, D, B, B,1．（本题 在电荷为－Q 的点电荷A 的静电场中，将另一电荷为q 的 点电荷B 从a 点移到b 点．a 、b 两点距离点电荷A 的距离分别为r 1和r 2，如图所示．则移动过程中电场力做的功为(A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π-21114r r Q ε． (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π210114r r qQ ε．(C)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-π-210114r r qQ ε． (D) ()1204r r qQ -π-ε ［ ］ 2．（本题3分）一“无限大”均匀带电平面A ，其附近放一与它平行的有一定厚度的不带电的“无限大”平面导体板B ，如图所示．已知A 上的电荷面密度为+σ ，则在导体板B 的两个表面1和2上的感生电荷面密度为：(A) σ 1 = - σ， σ 2 = + σ．(B) σ 1 = σ21-， σ 2 =σ21+． (C) σ 1 = σ21-， σ 2 = σ21-．(D) σ 1 = - σ， σ 2 = 0． ［ ］3．（本题3分）在静电场中，作闭合曲面S ，若有0d =⎰⋅SS D ϖϖ (式中D ϖ为电位移矢量)，则S面内必定(A) 既无自由电荷，也无束缚电荷． (B) 没有自由电荷． (C) 自由电荷和束缚电荷的代数和为零． (D) 自由电荷的代数和为零． ［ ］8．（本题3分）粒子在一维无限深方势阱中运动. 图为粒子处于某一能态上的波函数ψ(x )的曲线．粒子出现概率最大的位置为(A) a / 2． (B) a / 6，5 a / 6．(C) a / 6，a / 2，5 a / 6． (D) 0，a / 3，2 a / 3，a ． ［ ］11．（本题3分）已知某静电场的电势函数U ＝6x －6x 2y －7y 2(SI)．由场强与电势梯度的关系式可得点(2，3，0)处的电场强度E ϖ＝___________i ϖ+____________j ϖ +_____________k ϖ (SI)．12．（本题3分）电荷分别为q 1，q 2，q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U ＝___________ ．三、计算题（共40分）21．（本题10分）一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强度．A +σ2xaa31a 32ψ(x )Oq 1q 322．（本题10分）一根同轴线由半径为R 1的实心长金属导线和套在它外面的半径为R 3的同轴导体圆筒组成．R 1与R 2之间充满磁导率为μ的各向同性均匀非铁磁介质，R 2与R 3之间真空，如图．传导电流I 沿实心导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B 的分布． 23．（本题10分）如图所示，一根长为L 的金属细杆ab 绕竖直轴O 1O 2以角速度ω在水平面内旋转．O O 2在离细杆a 端L /5处．若已知地磁场在竖直方向的分量为B ϖ．求ab 两端间的电势差b a U U -．C, B, D, E, D; D, B, C, B, A 二、填空题（共30分）11. 66 1分；66 1分；0 1分12.()32102281q q q R++πε21.解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 d q = λd l =2Q d θ / π 1分 它在O 处产生场强θεεd 24d d 20220R QR q E π=π= 2分按θ角变化，将d E 分解成二个分量：θθεθd sin 2sin d d 202R QE E x π== 1分θθεθd cos 2cos d d 202R QE E y π-=-=1分对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=⎰⎰πππθθθθε2/2/0202d sin d sin 2R QE x ＝0 2分2022/2/0202d cos d cos 2R QR Q E y εθθθθεππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π-=⎰⎰ 2分 所以 j RQ j E i E E y x ϖϖϖϖ202επ-=+= 1分 22. 解：由安培环路定理： ∑⎰⋅=i I l H ϖϖd 2分0< r <R 1区域：212/2R Ir rH =π212R Ir H π=，2102RIrB π=μ 3分R 1< r <R 2区域：I rH =π2r I H π=2， rIB π=2μ 2分R 2< r <R 3区域：02IB rμ=π2分r >R 3区域： H = 0，B = 0 1分IIR1R 2R 3d qR Oyθd θθbO 1OO L /5 ωB ϖ23. 解：Ob 间的动生电动势：⎰⎰=⋅⨯=5/405/401d d )v (L L l Bl l B ωεϖϖϖ225016)54(21BL L B ωω== 4分 b 点电势高于O 点．Oa 间的动生电动势：⎰⎰⋅=⨯=5/05/02d d )v (L L l Bl l B ωεϖϖϖ22501)51(21BL L B ωω== 4分 a 点电势高于O 点．∴22125016501BL BL U U b a ωωεε-=-=-221035015BL BL ωω-=-= 2分图示为一具有球对称性分布的静电场的E ~r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的．(A) 半径为R 的均匀带电球面． (B) 半径为R 的均匀带电球体． (C) 半径为R 、电荷体密度ρ＝Ar (A 为常数）的非均匀带电球体．(D) 半径为R 、电荷体密度ρ＝A/r (A 为常数)的非均匀带电球体． ［ ］答案：D 解：解法一：由高斯定理iSiD dS q ⋅=∑⎰⎰rr Ò，得当r R ≤，有222004442rr A AE r dV r dr r r επρππ⋅==⋅=⎰⎰，即 0()2A E r R ε=≤当r R >，有2200442RA E r dV R επρπ⋅==⎰，即 220()2AR E r R r ε=>解法二：2220, 444dq A dE dq r dr r dr r rρπππε''''==⋅=⋅'所以20AdE r dr rε''=⋅ 200200()()r R Ar dr r R r E dE A r dr r R r εε⎧''⋅≤⎪⎪==⎨⎪''⋅>⎪⎩⎰⎰⎰E积分得：220 ()2 ()2Ar R E AR r R r εε⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩2. 如图所示，边长为a 的等边三角形的三个顶点上，分别放置着三个正的点电荷q 、2q 、3q ．若将另一正点电荷Q 从无穷远处移到三角形的中心O 处，外力所做的功为：(A)0．(B)0．(C) 0(D)0 ［ ］答案：C 解：各顶点到中心O的距离相等，均为/cos302ad a =︒=O 点的电势为0064O q U dπε==所以，将点电荷Q 从无穷远处移到O 处时，外力所做的功为：0O A QU ==3．如果在空气平行板电容器的两极板间平行地插入一块与极板面积相同的各向同性均匀电介质板，由于该电介质板的插入和它在两极板间的位置不同，对电容器电容的影响为： (A) 使电容减小，但与介质板相对极板的位置无关． (B) 使电容减小，且与介质板相对极板的位置有关． (C) 使电容增大，但与介质板相对极板的位置无关． (D) 使电容增大，且与介质板相对极板的位置有关． ［ ］ 答案：C解：电容器的电容：00r r SC C dεεε==，式中0C 是电容器两极板间为真空（空气）时的电容。
无限长均匀带电圆柱面上的电场强度如何计算
结论
本文利用功能原理和圆柱形电容器能量的 变化定量计算出了无限长均匀带电圆柱面上的 电场强度大小为．；【／（４瓶ｏＲ），从而采用面模型 表达了整个空间电场的全貌，在教学中具有一
定的意义。
和如相对来说都很大，ｄ＝Ｒｎ一心《心，因此
参考文献 ［１］边志华，马湘东．均匀带电球面和长直 圆柱面上一点的电场强度［．，］．太原理工大学学 报，１９９８．２９（２）：２１４—２１６． ［２］陈正武．关于长直圆筒面上电场和磁场’ 的定量计算［＿，］．甘肃教育学院学报（自然科学 版），２００２．１６（１）：７４—７６．（ｅ－目编辑罗琬华）
栏目编辑罗琬华无限长均匀带电圆柱面上的电场强度如何计算陕西宝鸡文理学院物理系72loar7刘景世在静电场中当电荷激发的电场具有均匀球对称均匀面对称均匀轴对称时我们可根据具体的对称性特点找出合适的高斯面使电场强度都垂直于这个闭合面而且大小处处相等
至堂生茎！！塑生型垡垒！塑堂
第２１卷总第１９ｒ７期
物理教学探讨
ｌ １．１
方向上统一发生虚位移由时，外力克服静电场 力Ｆ所做的功为一Ｆ・由。根据能量守恒定律， 此机械功转化为电容器所储存的静电能形，使 电容器的能量增加了ｄＷ。根据圆柱形电容器的
均匀带电圆柱面上的电场强度 利用功能原理来求解这个问题
能量公式形＝音９２／ｃ和电容公式Ｃ＝
百１ ｅｏｓ／ｄ，可得矽＝ｑ２ｄ／（２ｅｏｓ），于是ｄ形＝
此时圆柱形电容器的电容Ｃ＝石２碱尢＇ｅＯｌ
１
＝
２确２五百≠万雨一２ｎ芑ｏｌＲＡ／ｄ
ａ ２７ｒ￡ｏｌＲ／ｄ
＝ｅｏｓ／ｄ（ｓ＝２ａｒＲｌ为此时圆柱壳的面积）。 当Ａ极板离开曰极板在垂直于轴线向内的
（栏目编辑
Ｉ＝上■。—一
（ｃ） 图
圆柱体和圆柱壳载流导体内外的磁场
根据安培环路定理得B2πr = μ0I，所以
2πr
无限长圆柱形载流导线外的磁场
(r > a)
a
r
B Pds
与无限长直载流导线的磁场相同。
{范例10.5} 圆柱面，圆柱体和圆柱壳载流 导体内外的磁场
(1)一半径为a的无限长圆柱面，沿轴向的电流强度为I，求柱面 内外的磁感应强度，磁感应强度随距离变化的规律是什么？如 果电流均匀分布在同样大小的圆柱体截面上，求解同样的问题。
在圆柱体外面，根据安培环路定理可得
2πr
在空腔之中可得B =ห้องสมุดไป่ตู้0 (r < b)
Ia
如图所示，电流垂直纸面流出。
L
B
圆柱壳的横截面积为S = π(a2 - b2)，
O b
r
P ds
电流的面密度为δ = I/π(a2 - b2)， (b < r < a)
在过P点的半径为r的圆形 环路L中穿过的电流为
I π(r2 b2 )
[解析](1)如图所示，由于电流在圆柱的表面呈轴对称分布，因
此磁场具有轴对称性，磁感应线在垂直轴线平面内是以轴线为
中心的同心圆。过P点作一半径为r的磁感应线为积分环路L，
由于线上任一点的B量值相等，
方向与ds一致，所以环流为
B ds B2πr
L
L
如果r > a，则全部电流I穿过积分回路，B 0I I
r2 b2 a2 b2
I
所以
根据安培环
路定理得
L
B ds
B2πr
0 I
0
r2 a2
b2 b2
I,
B
0I
2π
r2 a2
真空中静电场场强的计算
q 4 0 r
q
图4
即：U ( z )
4 0 ( z 2 R 2 )
1
2
所以 P 点电场强度：
U qz E U k k z 4 0 ( R 2 z 2 ) 3 2
1．4、补缺法 有些带电体具有一定的规则缺陷， 求解该类带电体的场强分布， 行之有效的方法是补缺 法， 该方法的基本思想是： 先将原带电体的规则缺陷补全， 使之成为一个完整的规则带电体， 再在原带电体的规则缺陷处叠加一个与原带电体缺陷形状相同但带异号电荷的规则带电体， 也就是说， 将原带电体视为由两个带异号电荷的规则带电体叠加而成， 原带电体激发的电场 与两个规则带电体分别激发的电场叠加等同。 而对两个规则带电体， 其激发电场的场强分布 已知或易于求解，这样可简化原场强的求解。 例 1．4、在半径为 R1，电荷体密度为 的均匀带电球体内，挖 去一个半径为 R2 的球体空腔， 空腔中心 O2 与带电球体中心 O1 间的距 离为 b， 且 R1>b>R2， 如图 5 所示。 求空腔内任一点 p 的电场强度 E 。 解：这是一个电荷非对称分布的问题，不能直接用高斯定理求 解。 但半径为 R1 的球和半径为 R2 的空腔是球对称的， 利用这一特点， 把带电体看成半径为 R1 的均匀带电+ 的球体与半径为 R2 的均匀带 电- 的球体迭加，这相当于空腔处补上电荷体密度分别为 和 的两个球体，这时 空腔内任一点 p 的场强： 图5
������������������ cos ������ 4������������������ 2 ������������������ sin ������ 4������������������ 2
D������������ = ������������ sin ������ =
基于无限长均匀带电圆柱壳产生的静电场的探讨
中图 分 类 号 ： Ｏ ４ ４ １
文 献 标识 码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） １ ０ — ０ ０ １ ０ － ０ ２
众所周知 ， 静电场的高斯定理说明静电场是有源场 ， 而
安培环路定理 又说 明它是无旋场 ，即静 电场是有 源无旋 的 保守 力场 ． 一般带 电体电场强度主要利用 电场强度的叠加
Ｖｏ ｌ ＿ ２ ９ Ｎｏ． １ ０ Ｏｃ ｔ ． ２ ０１ ３
基 于无 限长均匀带 电圆柱壳产生 的静 电场 的探讨
张 丽琴 ， 张金 锋 ， 徐 士涛 ， 尹新 国
（ 淮北师 范大 学 物理 与 电子信 息 学院 ，安徽 淮北
摘
２ ３ ５ ０ ０ ０ ）
要 ：静 电 场是 物 理 学 中重 要 内容之 一 ， 本 文主 要 通 过 静 电 场 高斯 定 理 、 电 势的 定 义 式 计 算 了无 限 长 均 匀 带 电 圆柱 壳
设点（ ８ ０ ０ ５ ５ １ ）
一
１ Ｏ一
ｖ
＝ —
ｃ ｒ 一 竿
Ｌ
ｖ－ ＝
志 ［ ｝ （ Ｒ ２ ２ ． ２ １ ｎ 鲁］
Ｘ Ｒ １ ２ １ ｎ ￣ Ｒ
—
２ １ ｒ ｓｏ （ Ｒ ￣ － Ｒ ， ｚ ）
［ ｝ ＿ Ｒ ｌ ｚ １ ｎ 鲁］
（ ４ ）
４ ￣ ｒ — ｅ ｏ一
原理来计算 ， 文献 【 ３ — ５ 】 指 出对于一些具有 高度对称性 的带
９ ・ ｄ ｉ ＝ 』 ・ ｄ ｓ ＋ ｆ 底 ・ ｄ ｓ ＋ 』 侧 ・ ｄ ；
＝ ０＋ ０＋２ ａ ｒ ｄＥｎ ＝２￣ ｒ ｒ ｌ Ｅ
大学物理静电场习题课
的电场 Ex
4 0a
(sin 2
sin 1 )
Ey
4 0a
(cos1
cos2 )
特例：无限长均匀带电(dài diàn)直线的
场强
E 20a
（2）一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场
xq
E
4 0 (
x2
a2
3
)2
i
（3）无限大均匀带电平面的场强
精品文档
E 2 0
五、高斯定理可能应用(yìngyòng)的
搞清各种(ɡè zhǒnɡ) 方法的基本解题步 骤
4、q dV Ar 4r 2dr
精品文档
6.有一带电球壳，内、外半径分别为a和b，电荷体 密度r = A / r，在球心处有一点电荷Q，证明当A = Q / ( 2pa2 )时，球壳区域内的场强的大小(dàxiǎo) 与r无关．
证：用高斯定理求球壳内场强：
一、一个实验(shíyàn)定律：库仑定F律12
二、两个物理(wùlǐ)概念：场强、电势；
q1q2
4 0r122
e12
三、两个基本定理：高斯定理、环流定理
有源场
E
dS
1
0
qi
LE dl 0
（ qi 所有电荷代数和）
（与
VA VB
B
E
dl等价）
A
（保守场）
精品文档
四、电场(diàn c1h.ǎ点n电g)荷强的度电的场计(d算iàn
b
Wab qE dl q(Ua Ub ) qUab (Wb Wa )
a
3. 电势叠加原理
(1)点电荷的电势分布:
q
U P 4 0r
(2)点电荷系的电势分布:
练习册-第12章《真空中的静电场》答案
第12章 真空中的静电场 参考答案一、选择题1(D)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)， 二、填空题(1). 电场强度和电势，0/q F E =，l E q W U aa⎰⋅==00d /(U 0=0).(2). ()042ε/q q +， q 1、q 2、q 3、q 4 ；(3). 0，λ / (2ε0) ； (4). σR / (2ε0) ；(5). 0 ； (6).⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π00114r r qε ；(7). －2×103 V ； (8).⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πa br r q q 11400ε(9). 0，pE sin α ； (10). ()i a x A2+-.三、计算题1. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L xq -+π=ε 总场强为⎰+π=Lx d L xL q E 020)(d 4－ε()d L d q +π=04ε方向沿x 轴，即杆的延长线方向．2．一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，LPd E O沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强度．解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 d q = λd l = 2Q d θ / π 它在O 处产生场强θεεd 24d d 20220RQRq E π=π= 按θ 角变化，将d E 分解成二个分量：θθεθd sin 2sin d d 202RQE E x π== θθεθd cos 2cos d d 202RQE E y π-=-=对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=⎰⎰πππθθθθε2/2/0202d sin d sin 2R QE x ＝0 2022/2/0202d cos d cos 2R QR Q E y εθθθθεππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π-=⎰⎰所以 j RQ j E i E E y x202επ-=+=3. “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为λ，试求轴线上一点的电场强度．解:设坐标系如图所示．将半圆柱面划分成许多窄条．d l 宽的窄条的电荷线密度为θλλλd d d π=π=l R取θ位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为θελελd 22d d 020RRE π=π=如图所示. 它在x 、y 轴上的二个分量为：d E x=d E sin θ , d E y=－d E cos θ对各分量分别积分RRE x 02002d sin 2ελθθελππ=π=⎰0d cos 2002=π-=⎰πθθελRE y场强 i Rj E i E E y x02ελπ=+=4.实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100 N/C ；在离地面1.5 km 高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C ．(1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0ε＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2)解：(1) 设电荷的平均体密度为ρ面如图(1)(侧面垂直底面，底面∆S 平行地面)底面处的场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度通量为：⎰⎰E·S d ＝E 2∆S -E 1∆S ＝(E 2-E 1) ∆S 高斯面S 包围的电荷∑q i ＝h ∆S ρ 由高斯定理(E 2－E 1) ∆S ＝h ∆S ρ /ε 0∴ () E E h1201-=ερ＝4.43×10-13 C/m 3(1)(2) 设地面面电荷密度为σ．由于电荷只分布在地表面，所以电力线终止于地面，取高斯面如图(2)由高斯定理 ⎰⎰E·S d =∑i 01q ε-E ∆S =S ∆σε01∴ σ =－ε 0 E ＝－8.9×10-10 C/m35. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R )， A 为一常量．试求球体内外的场强分布．解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为r r Ar V q d 4d d 2π⋅==ρ在半径为r 的球面内包含的总电荷为403d 4Ar r Ar dV q rV π=π==⎰⎰ρ (r ≤R) 以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π⋅得到 ()0214/εAr E =， (r ≤R )方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里．在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有 0422/4εAR r E π=π⋅得到 ()20424/r AR E ε=， (r >R ) 方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里．6. 如图所示，一厚为b 的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为ρ＝kx (0≤x ≤b )，式中k 为一正的常量．求：(2)(1) 平板外两侧任一点P 1和P 2处的电场强度大小； (2) 平板内任一点P 处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E ． 作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S ，如图所示．按高斯定理∑⎰=⋅0ε/d q S E S，即 022d d 12εερεkSbx x kSx S SE bb===⎰⎰得到 E = kb 2 / (4ε0) (板外两侧)(2) 过P 点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S ．设该处场强为E '，如图所示．按高斯定理有()022εεkSb xdx kSS E E x==+'⎰得到 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='22220b x k E ε (0≤x ≤b )(3) E '=0，必须是0222=-b x ， 可得2/b x =7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为σ．如图所示，试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O 点的电势为零)．'解：将题中的电荷分布看作为面密度为σ的大平面和面密度为－σ的圆盘叠加的结果．选x 轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x 处产生的场强为i xx E012εσ=圆盘在该处的场强为 i x R x x E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=2202112εσ∴ix R x E E E 220212+=+=εσ该点电势为 ()220222d 2x R R xR x x U x +-=+=⎰εσεσ8. 一半径为R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为ρ =Ar (r ≤R )，式中A 为常量．试求： (1) 圆柱体内、外各点场强大小分布； (2) 选与圆柱轴线的距离为l (l ＞R ) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．解：(1) 取半径为r 、高为h 的高斯圆柱面(如图所示)．面上各点场强大小为E 并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：⎰π=⋅S rhE S E 2d为求高斯面内的电荷，r ＜R 时，取一半径为r '，厚d r '、高h 的圆筒，其电荷为 r r Ah V ''π=d 2d 2ρOxP则包围在高斯面内的总电荷为3/2d 2d 302Ahr r r Ah V rVπ=''π=⎰⎰ρ由高斯定理得 ()033/22εAhr rhE π=π 解出 ()023/εAr E = (r ≤R )r ＞R 时，包围在高斯面内总电荷为：3/2d 2d 302AhR r r Ah V RV π=''π=⎰⎰ρ 由高斯定理 ()033/22εAhR rhE π=π解出 ()r AR E 033/ε= (r >R )(2) 计算电势分布 r ≤R 时⎰⎰⎰⋅+==l R R rlr rrAR r r A r E U d 3d 3d 0320εε ()Rl AR r R A ln 3903330εε+-=r ＞R 时 rlAR r r AR r E U l rlrln 3d 3d 0303εε=⋅==⎰⎰9．一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1＝5×10-4 m 的圆柱形阴极A 和一个套在阴极外的半径R 2＝4.5×10-3m的同轴圆筒形阳极B ，如图所示．阳极电势比阴极高300 V ，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e ＝1.6×10-19 C)解：与阴极同轴作半径为r (R 1＜r ＜R 2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为λ．按高斯定理有 2πrE = λ/ ε0得到 E = λ / (2πε0r ) (R 1＜r ＜R 2) 方向沿半径指向轴线．两极之间电势差⎰⎰π-=⋅=-21d 2d 0R R B AB A rrr E U U ελ 120ln 2R R ελπ-=得到()120/ln 2R R U U A B -=πελ， 所以()rR R U U E A B 1/ln 12⋅-=在阴极表面处电子受电场力的大小为()()11211/c R R R U U eR eE F A B ⋅-==＝4.37×10-14 N 方向沿半径指向阳极．四 研讨题1. 真空中点电荷q 的静电场场强大小为 2041rq E πε=式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？参考解答：点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用． 若仍用此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的E 就有确定值．2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场．参考解答：证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda ．在ab 和cd 段场强方向与路径方向垂直．在bc 和da 段场强大小不相等（电力线疏密程度不同）而路径相等．因而0d d d ≠⋅'-⋅=⋅⎰⎰⎰c b a d l E l E l E按静电场环路定理应有0d =⋅⎰l E，此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场．3. 如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某点的电势，能否求出该点的场强？为什么？参考解答：由电势的定义： ⎰⋅=零势点场点l E U d式中E为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。