BLACK-SCHOLES期权定价模型计算公式(套用数据)教学内容
布莱克斯科尔斯模型计算公式
布莱克斯科尔斯模型计算公式【原创版】目录1.布莱克斯科尔斯模型简介2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例5.总结正文【1.布莱克斯科尔斯模型简介】布莱克斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是一种用于估算欧式期权价格的数学模型，由 Fisher Black 和 Myron Scholes 于 1973 年提出。
该模型基于假设：标的资产价格符合对数正态分布、市场无风险利率和波动率恒定等。
布莱克斯科尔斯模型为金融市场提供了一种较为准确的期权定价方法，被广泛应用于金融领域。
【2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述】布莱克斯科尔斯模型的计算公式较为复杂，包含多个变量和数学函数。
公式主要包括以下几个部分：标的资产价格、无风险利率、行权价格、到期时间、波动率和正态分布函数。
通过这些变量和函数的组合，可以计算出期权的理论价格。
【3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解】布莱克斯科尔斯模型的计算公式如下：C = S * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)P = X * e^(-r * T) * N(-d2) - S * N(-d1)其中，C 表示看涨期权的价格，P 表示看跌期权的价格，S 为标的资产价格，X 为行权价格，T 为到期时间，r 为无风险利率，e 为自然对数的底数，约等于 2.71828，N(d) 为正态分布函数，d1 和 d2 为中间变量，计算公式如下：d1 = (ln(S / X) + (r + σ^2 / 2) * T) / (σ * sqrt(T))d2 = d1 - σ * sqrt(T)其中，σ表示波动率，ln 表示自然对数函数。
【4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例】假设某股票的当前价格为 100 元，行权价格为 105 元，无风险利率为 5%，波动率为 20%，到期时间为 1 年。
实验三Black-Scholes 期权定价方法
实验三Black-Scholes 期权定价方法一、实验概述本试验用Matlab7.0 工具绘制期权到期收益图，在此基础上进一步了解欧式期权的特征。
进一步利用Black-Scholes 期权定价对看涨期权进行定价过程。
二、实验目的1.理解欧式期权的形态特征2.掌握欧式期权的参数估计方法3.利用国泰安和锐思数据库对股票的收益率进行参数估计。
4.培养学生利用数据库和相关软件进行金融计算的能力。
三、实验工具天琪期货据库和锐思数据库，MATLAB7.0软件。
四、实验原理4.1 欧式看涨期权的到期收益计算()S T 表示股票在交割日的价格，K 表示交割价，看涨期权到期收益为max{(),0}S T K -。
4.2欧式看跌期权的到期收益计算()S T 表示股票在交割日的价格，K 表示交割价，看涨期权到期收益为max{(),0}K S T -。
4.3 二元期权和备兑认购期权的到期收益计算()S T 表示股票在交割日的价格，K 表示交割价，二元期权到期收益为1,()1,()if S T K if S T K>⎧⎨-≤⎩。
备兑认购期权的到期收益()max{(),0}S T K S T +-4.4 Black-Scholes 股票期权定价股票价格服从对数正态分布；●在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；● 市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；● 股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；● 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施;● 金融市场不存在无风险套利机会；● 金融资产的交易可以是连续进行的；● 可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。
股票的价格为 ()20exp /2t t S S z t σμσ⎡⎤=+-⎣⎦对上述方程两边取自然对数可得，20ln 2t t S z t S σσμ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中右边的表达式是一个均值为 2(/2)t μσ-，方差为t 2σ的正态随机变量，波动率是σ，漂浮率是μ。
第八章：Black-Scholes期权定课件
止损策略示意图
第八章：Black-Scholes期权定
止损策略的问题
n „止损策略的表面结果 n „履约成本小于期权价（有时为零） n „原因：
第八章：Black-Scholes期权定
止损策略的成本
n „买卖价差
n „必须等股价略微超出执行价，即S=K+δ时才能买入股票， 同样，出售股票的决策也要等到股价略微低于执行价， 即S=K-δ时才能作出
n „而如果在到期日，S&P500指数期货价低于1100 点的话，则该期权不会被执行。 第八章：Black-Scholes期权定
例：期货期权(cont.)
n „再考虑一执行价为1100点的S&P500指数期 货看跌期权合约。
n „如果在到期日，S&P500指数期货价为1060点的 话，则该期权将被执行，期权持有者将得到一 个S&P500指数期货的空头头寸和现金：(11001060)x$250=$10,000
n „期权合约A n „期权持有者可以以1英镑对1.6美元的汇率用美元购买 62.5万英镑 n „看涨期权，其价格用B-S公式中的看涨期权定价公式计 算
n „期权合约B n „期权持有者可以以1美元对0.625英镑的汇率出售100万美 元 n „看跌期权，其价格用B-S公式中的看跌期权定价公式计 算
n „期货期权与直接期权的比较
n „对欧式期权，到期日相同时，两者相同
n „对美式期权可能略有不同
n „期货期权的优点
n „期货期权更易于交割
„期货的价格更具权威性 n
第八章：Black-Scholes期权定
期货期权的定价
n „风险中性世界中期货价格的增长率
n „期货价格的期望增长率为零
期权定价模型：Black-Scholes期权定价模型 期货理论与实务 (金融期货) 教学课件
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 2S2的伊藤过程来表示：
dSSdtSdz
两边同除以S得：
dSdtdz （6.6）
S
则： SS tS z （6.12）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
d f( S fS ft1 2 S 2f22S2)d t S fS（d 6.z 13） f ( S fS ft 1 2 S 2f22 S 2 ) t S fS票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函 数G将遵循如下过程： dG ( G xa G t1 2 2 xG 2b2)d t G xb（d6z.8）
由于 dSSdtSdz （6.9）
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22S2)d t G SSd (6.1z0)
i1
当0时，我们就可以得到极限的标准布
朗运动： dz dt
（6.3）
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BS期权定价公式
BS期权定价公式Black-Scholes 期权定价模型⼀、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循⼏何布朗运动，即dz dt SdS σµ+=。
其中，dz 为均值为零，⽅差为dt 的⽆穷⼩的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的⼀个随机值），µ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
µ和σ都是已知的。
简单地分析⼏何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个⽅⾯：⼀是单位时间内已知的⼀个收益率变化µ，被称为漂移项，可以被看成⼀个总体的变化趋势；⼆是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费⽤和税收，不考虑保证⾦问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续⽽均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被⾃由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，⽆风险利率r 保持不变，投资者可以此利率⽆限制地进⾏借贷。
6．在衍⽣品有效期间，股票不⽀付股利。
7．所有⽆风险套利机会均被消除。
⼆、Black-Scholes 期权定价模型（⼀）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分⽅程：rf Sf S S f rS t f =??+??+??222221σ其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分⽅程，Black 和Scholes 得到了如下适⽤于⽆收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为⽆收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量⼩于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
Black-Scholes期权定价模型和特性
Black-Scholes期权定价模型和特性Black-Scholes期权定价模型是一个广泛应用于金融市场的数学模型，它被用来计算欧式期权的价格。
该模型是由美国经济学家费希尔·布莱克（Fischer Black）和莱蒙德·斯科尔斯（Myron Scholes）于1973年开发的，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
Black-Scholes模型基于一些假设，包括市场无摩擦、标的资产价格服从几何布朗运动、无风险利率恒定不变、期权可以无限制地买卖等。
它利用随机微分方程和偏微分方程来描述期权价格的变化以及与标的资产价格和时间的关系。
Black-Scholes模型的公式如下：C = S*N(d1) - X*e^(-r*T)*N(d2)P = X*e^(-r*T)*N(-d2) - S*N(-d1)其中，C代表期权的买入价格，P代表期权的卖出价格，S代表标的资产的当前价格，X代表期权的行权价格，r代表无风险利率，T代表期权的时间，在期权到期日之间的年份，N(d1)和N(d2)代表标准正态分布的累积分布函数。
Black-Scholes模型的特性有以下几点：1. 理论完备性：Black-Scholes模型是一个完备的期权定价模型，可以通过输入特定的参数来计算期权的价格。
它提供了一种可行的方法，用来解决期权定价的问题。
2. 自洽性：Black-Scholes模型是自洽的，意味着如果市场满足了模型的所有假设条件，那么模型计算的期权价格将与实际市场价格一致。
3. 敏感性分析：Black-Scholes模型可以用来分析期权价格对各个因素的敏感性。
通过改变模型中的参数，例如标的资产价格、无风险利率、期权行权价格和时间等，我们可以研究它们如何影响期权的价格。
4. 适用性：Black-Scholes模型广泛适用于欧式期权的定价，包括股票期权、货币期权和商品期权等。
然而，对于美式期权和一些特殊类型的期权，Black-Scholes模型可能不适用。
b-s期权公式课件
连续复利收益率的问题: 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是
横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是
2和024/的9/1对5 数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的
11
RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
ST
Se（T-t），＝
1 T-t
ln
ST S
,
由ln
ST
ln
S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t ]可得
~
[(
2 2
),
]
T t
2024/9/15
16
结论
几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
2024/9/15
17
参数的理解
μ:
几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。
根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险 利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素， 因此的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，
益率单位时间的标准差，简称证券价格的波动率 （Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ的 单位都是年。
很显然，这是一个漂移率为μS、方差率为σ2S2的
伊藤过程。也被称为几何布朗运动
2024/9/15
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为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？
一般认同的“弱式效率市场假说”:
证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的 信息。
这个随机过程dG的 (特 征 2:)dt dz 普通布朗运动: 恒定的2 漂移率和恒定的方差率。
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
2024/6/27
11
▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
2024/6/27
22
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
2024/6/27
4
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
2024/6/27
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B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
2024/6/27
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
第四节 期权定价的鞅方法
• 一、问题 • 前述B-S微分方程解法很复杂，不实用
• 二、鞅方法的提出
• 是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于 现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。等价鞅测 度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测 度和原来随机过程伴随的测度等价。转化成鞅后，可 是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的 价格，如期权，而不用解偏微分方程了。
• 五、伊藤引理 • 若变量x遵循伊藤过程
dx=a(x,t)dt b(x,t)dz
• 则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
2G x2
b2
)dt
G x
bdz
• 证明如下：
• 由于G是x和t的函数，根据泰勒展开式：
G
G x
x
G t
• BSM 期权定价公式在定价方面存在一定偏差， 但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳 模型之一，应用广泛，影响深远
• BSM 期权定价与市场价格存在差异的主要原 因： 期权市场价格偏离均衡； 使用错误的参数； BSM 定价公式建立在众多假定的基础上
BS 期权定价公式的缺陷与拓展
• 无交易成本假设的放松 • 常数波动率假设的放松 • 参数假设的放松 • 资产价格连续变动假设的放松
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
此即B S微分方程
三、风险中性定价原理
四、无收益资产欧式看涨期权的定价公式
五、 对BS 定价公式的理解之一
六、 对BS 定价公式的理解之二
Black-Scholes模型
例1
假设当前英镑的即期汇率为$1.5000，美 国的无风险连续复利年利率为7％，英国 的无风险连续复利年利率为10％，英镑 汇率遵循几何布朗运动，其波动率为10 ％，求6个月期协议价格为$1.5000的英镑 欧式看涨期权价格。
由于英镑会产生无风险收益,现在的1英镑 等于6个月后的e0.1×0.5英镑,而现在的 e0.1×0.5英镑等于6个月后的1英镑，因此可 令S＝1.5000×e-0.1×0.5 ,并代入式（10）可 求出期权价格：
美式看跌期权可以用蒙特卡罗模拟、二 叉树和有限差分三种数值方法以及解析 近似方法求出。
三、有收益资产的期权定价公式
到现在为止，我们一直假设期权的标的 资产没有现金收益。
那么，对于有收益资产，其期权定价公 式是什么呢？
实际上，如果收益可以准确地预测到， 或者说是已知的，那么有收益资产的期 权定价并不复杂。
(ft 12S2f22S2)t r(f Sf S)t
f t
rSSf 122S2
2f S2
rf7
6、注意(1)组合的风险性
当S和t变化时，
f S
的值也会变化，因此上
述投资组合的价值并不是永远无风险的，
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据
BLACKSCHOLES期权定价模型计算公式套用数据Black-Scholes期权定价模型是一种用于计算欧式期权价格的数学模型，它基于以下假设：资产价格的波动性是已知且恒定的、市场无摩擦、无风险利率是已知且恒定的、欧式期权只能在到期日行使以获得支付。
根据Black-Scholes模型，欧式期权的价格可以通过以下公式计算：C=S*N(d1)-X*e^(-rT)*N(d2)P=X*e^(-rT)*N(-d2)-S*N(-d1)其中C表示认购期权的价格P表示认沽期权的价格S表示标的资产的当前价格X表示期权的行权价格r表示无风险利率T表示剩余期限，单位为年份d1 = (ln(S/X) + (r + σ^2/2)T) / (σ * √T)d2=d1-σ*√TN(d)和N(-d)是标准正态分布函数。
标准正态分布函数可以通过查找Z表或使用计算机程序进行近似计算。
在应用Black-Scholes模型时，需要提供以下数据：1.标的资产的当前价格（S）2.期权的行权价格（X）3.无风险利率（r）4.剩余期限（T）（以年为单位）5.标的资产的波动率（σ）下面举一个实例来说明如何使用Black-Scholes模型计算期权价格。
假设只股票的当前价格为100美元，期权的行权价格为105美元，无风险利率为5%，剩余期限为6个月（0.5年），股票的波动率为20%。
首先，根据给定的数据，计算d1和d2：d1 = (ln(100/105) + (0.05 + 0.2^2/2) * 0.5) / (0.2 * √0.5) d2=d1-0.2*√0.5然后，使用标准正态分布函数计算N(d1)、N(d2)、N(-d1)和N(-d2)的值。
假设N(d1)=0.6、N(d2)=0.5、N(-d1)=0.4和N(-d2)=0.3接下来，根据公式可计算出认购期权和认沽期权的价格：C=100*0.6-105*e^(-0.05*0.5)*0.5=7.16美元P=105*e^(-0.05*0.5)*0.3-100*0.4=3.84美元因此，在给定的条件下，该认购期权的价格为7.16美元，认沽期权的价格为3.84美元。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型课件
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
例：假设一个遵循维纳过程的变量z，其最初值为25，以 年为单位计时。
那么，则有： 在第一年末，变量值服从均值为25；标准差为1.0的正态 分布； 在第二年末，Z将服从均值为25、标准差为 2 或1.414的 正态分布。
分析：之所以第2年末标准差变为 2 ，是因为变量值在未 来某一确定时刻的不确定性（用标准差来表示）是随着时间长 度的平方根而增加的。
描述布朗运动的随机过程的定义是维纳(wiener)给出的， 因此布朗运动又称维纳过程，布朗运动是马尔科夫随机过程的 一种特殊形式 。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
（一）马尔科夫过程（Markov Stochastic process) 1、无记忆性：只有变量的当前值才与未来预测有关，变
其中：D表示期权有效期内红利的现值
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
一、期权
注： 1、提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的。 2、不付红利的美式看跌期权可能提前执行。 3、在红利的影响下，美式看涨期权可能提前执行。
Return
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二、随机过程
如果某变量的值以某种不确定的方式随时间变化，则称该 变量遵循某种随机过程(stochastic process)。
那么，则有： 在第6个月末，该头寸将服从正态分布，均值为60,标准差 为：30√0.5=21.21的正态分布； 在第1年末，该头寸将服从正态分布，均值为70，标准差为 30。
分析：随机变量值在未来某一确定时刻的不确定性（用标准 差来表示）是随着时间长度的平方根增加而增加的。
8-布莱克-斯科尔斯期权定价模型
4、期权价格的上限： （1）股票价格是期权价格的上限：S>C, S>c。
5.3.8--Black-Scholes期权定价公式
金融工程概论期权的风险中性定价Black-Scholes期权定价公式Black-Scholes期权定价公式C t=e−r(T−t)E Q(max(S T−X,0))其中，r为无风险利率。
当给定了S T的分布，就可以确定上述欧式看涨期权的价格。
E Q为风险中性概率计算过程在风险中性测度下：C t=e−r(T−t)E Q(max(S T−X,0))由dS t=(rS t dt+σS t dW t)可以得到：其中，S T=S t exp r−σ2(T−t)+σW T−t2二. B-S 公式的推导则有：max(S T −X,0)=(S T −X)IA 1．引入示性函数：I A =ቊ1,S T >X0,S T ≤X计算过程在风险中性测度下：C t=e−r(T−t)E Q max S T−X,0=e−r(T−t)E Q S T−X I A=e−r(T−t)×E Q S T I A−e−r(T−t)×E Q XI A =e−r(T−t)×E Q S T I A−e−r(T−t)×X×E Q I A命题1:如果记d 2=1σT −t ln S t X +r −σ22(T −t)则我们有：I A =ቊ1,Z >−d 20,Z ≤−d 2其中，Z 为标准正态分布。
命题1:等价于：S t exp r −σ22T −t +σZ T −t >XZ >1σT −t ln X S t −r −σ22T −t =−d 2命题2：E Q I A=N(d2)命题3：e−r T−t E Q S T I A=S t N(d1)其中d1=d2+σT−tN为标准正态分布的累积分布函数。
由此得到：Black-Scholes期权定价公式c t=S t N d1−Xe−r T−t N d2p t=Xe−r T−t N−d2−S t N−d1d1=1σT−tlnS tX+r+σ22T−t d2=d1−σT−t其中，应用例子某公司股价的有关数据如下:•S=74.625•K=100•T−t=1.646年•r=0.05•σ＝0.375•d1=−0.207，d2=−0.688，•N d1=0.39358，N(d2)= 0.2451•C=$8.37。
Black-Scholes期权定价模型解析
虑任何交易成本和其他费用
二、无收益资产的期权定价公式
• （一）无收益欧式看涨期权的价格
c SN (d1) Xer(T t) N (d2 )
（1）
式中：N(d)为标准正态分布函数值。
• 使用Black-Scholes期权模型可能出现一下问题：
• 1. 计算错误； • 2. 期权市场价格偏离均衡； • 3. 使用的参数错误；
• 4. Black-Scholes期权定价模型建立在众多假定
的基础上，假设与市场实际情况有较大偏差。
d1
ln( S
/
X)
(r 2 T t
/ 2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d1
T t
(T-t)为期权的剩余期限，r为无风险利率，X为期权的行权价 格， σ为标的资产价格波动率，S为标的资产价格。
(二)无收益欧式看跌期权的价格
• 在标的资产无收益情况下，由于C=c，因此式（1） 也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。
• 近似为7.2824元。
2．美式看跌期权
• 由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减 小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美 式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只 能通过较复杂的数值方法来求出。
• Black-Scholes不合用于美式期权的定价。
四、Black-Scholes微分分程
欧式期货期权的定价公式
• 对于欧式期货期权，其定价公式为：
Black-Scholes公式
rt / n t / n 2t / 2n 2 t / n
1 r 2 / 2 (1 t / n) 2
Nankai University
Black-Scholes公式
n阶近似模型里唯一的风险中度测度是基于下面的假设得 到的：在每个时间段，证券价格要么以概率p上涨为原来 的 e
Black-Scholes公式
在风险中度布朗运动下， S(t)/ S(0)是一个均值参数(rσ2/2) t，方差参数为tσ2的对数正态随机变量。 因此，时刻t到期的执行价格为K的上述证券的看涨期权 的无套利价格C是
C e rt E[( S (t ) K ) ]
e rt E[( S (0)eW K ) ]
Z t
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Black-Scholes公式的证明
引理2
E[ I ] P{S (t ) K } ( t )
其中Φ是标准正态分布函数。 证明：由定义可知
E[ I ] P{S (t ) K }
P( Z t )
2
2
E[ S (t )] e
t (
)
S (0)
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几何布朗运动
用Δ表示一个小的时间增量，并假定，在每个Δ时间单 内，证券的价格或者以概率p增长u倍，或者以概率（1p）下跌d倍，其中
u e
, d e
,
1 p (1 ) 2
p (1 p ) [ uS (i 1) dS (i 1) S (i 1)] 1 r 1 r
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