三角函数概念图像与性质复习题型总结(最全)
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1.“五点法”作图原理在确定正弦函数])2,0[(sin π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ-.在确定余弦函数])2,0[(cos π∈=x x y 的图像时，起关键作用的5个点是)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-.2.3.)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质 （1）最小正周期：wT π2=. （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000x wx y wx Z k k wx xx wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置.（5）单调性. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ （6）平移与伸缩由函数x y sin =的图像变换为函数3)32sin(2++=πx y 的图像的步骤；方法一：)322(ππ+→+→x x x .先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.−−−−−→−=个单位向左平移的图像3sin πx y 的图像)3sin(π+=x y 12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变的图像)32sin(π+=x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变的图像)32sin(2π+=x y−−−−−→−个单位向上平移33)32sin(2++=πx y方法二：)322(ππ+→+→x x x .先周期变换，后相位变换，再振幅变换.的图像x y sin =12−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变−−−−−→−=个单位向左平移的图像62sin πx y的图像)22sin()6(2sin ππ+=+=x x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍横坐标不变−−−−−→−+=各单位向上平移的图像3)32sin(2πx y 3)32sin(2++=πx y注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角ϕ+wx ”变化多少.例如，函数x y 2sin =的图像向右平移6π个单位，得到的图像表达式是)32sin()6(2sin ππ-=-=x x y ，而不是)62sin(π-=x y ；再如，将图像)6sin(π+=x y 上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式是)621sin(x x y +=，而不是)6(21sin π+=x y .此点要引起同学们的的别注意.题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为)sin(ϕ+=wx A y 或)cos(ϕ+=wz A y ，0.0>>w A ，然后依据x y x y cos ,sin ==的性质整体求解.题型1 三角函数性质的应用一、函数的奇偶性例4.16函数)0)(sin(πϕϕ≤≤+=x y 是R 上的偶函数，则ϕ等于（ ） A .0 B .4π C .2πD .π 解析 因为函数)sin(ϕ+=x y 是R 上的偶函数，所以其图像关于y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当0=x 时，1sin ±=ϕ，又πϕ≤≤0，所以2πϕ=.故选C.评注 由x y sin =是奇函数和x y cos =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若)sin(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(Z k k ∈=πϕ； （2）若)sin(ϕ+=x A y 为偶函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ； （3）若)cos(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ；（4）若)cos(ϕ+=x A y 为偶函数，则)(Z k k ∈=πϕ； 若)tan(ϕ+=x A y 为奇函数，则)(2Z k k ∈=πϕ，该函数不可能为偶函数. 变式1 已知R a ∈，函数)(sin )(R x a x x f ∈-=为奇函数，则a 等于（ ）. A .0 B .1 C .-1 D .1±变式2 设R ∈ϕ，则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件 变式3设)sin()(ϕ+=wx x f ，其中0>w ，则)(x f 是偶函数的充要条件是（ ）.A .1)0(=fB . 0)0(=fC . 1)0(='fD . 0)0(='f 例4.17设函数))(22sin()(R x x x f ∈-=π，则)(x f 是（ ）.A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数解析 x x x f 2cos )22sin()(-=-=π，所以是最小正周期为x 的偶函数.故选B.变式1 若函数)(21sin )(2R x x x f ∈-=，则)(x f 是（ ）A. 偶函数且最小正周期为πB. 奇函数且最小正周期为πC. 偶函数且最小正周期为π2D. 奇函数且最小正周期为π2变式2 下列函数中，既是)2,0(π上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）A .x y 2cos =B .x y 2sin =C .x y cos =D .x y sin = 二、函数的周期性 例4.18函数)62cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期为（ ）A .2π B .4πC .π2D .π 解析 函数)34sin(21)62cos()62sin(πππ+=++=x x x y ，242ππ==T .故选A评注 关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数b wx A y b wx A y b wx A y ++=++=++=)tan(,)cos(,)sin(ϕϕϕ的周期分别为wT π2=，wT π=. （2）函数)cos(,)sin(ϕϕ+=+=wx A y wx A y ，)tan(ϕ+=wx A y 的周期均为wT π=（3）函数)0()cos(),0()sin(≠++=≠++=b b wx A y b b wx A y ϕϕ的周期均wT π2=.变式1 函数)32cos()62sin(ππ++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A .1,πB .2,πC .1,2πD .2,2π变式2 已知函数))(cos (sin sin )(R x x x x x f ∈-=，则)(x f 的最小正周期为_____. 变式3 设函数x x x f 3sin 3sin )(+=，则)(x f 为（ ）A. 周期函数，最小正周期为3πB. 周期函数，最小正周期为32πC. 周期函数，最小正周期为π2D. 非周期函数 二、函数的单调性 例4.19函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）A .]3,0[πB .]127,12[ππC .]65,3[ππD .],65[ππ解析 因为)62sin(2)26sin(2ππ--=-=x x y ，所以)26sin(2x y -=π的递增区间实际上是 )62sin(2π-=x y 的递减区间.令)(2326222Z k kx x k ∈+≤-≤+ππππ， 解得)(653Z k k x k ∈+≤≤+ππππ. 令0=k ，得653ππ≤≤x ，又因为],0[π∈x ， 所以653ππ≤≤x .即函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 的增区间为]65,3[ππ.故选C评注 三角函数的单调性，需将函数)sin(ϕ+=wx A y 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.如函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的单调区间的确定基本思想是吧ϕ+wx 看做是一个整体，如由)(2222Z k kx wx k ∈+≤+≤-πϕππ解出x 的范围，所得区间即为增区间；由)(23222Z k kx wx k ∈+≤+≤+πϕππ解出x 的范围，所得区间即为减区间.若函数)sin(ϕ+=wx A y 中0,0>>w A ，可用诱导公式将函数变为)sin(ϕ---=wx A y ，则)sin(ϕ--=wx A y 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.如)4sin()4sin(ππ--=-=x x y ，令22422πππππ+≤-≤-k x k ，即)(43242Z k k x k ∈+≤≤-ππππ，可得)](432,42[Z k k k ∈+-ππππ为原函数的减区间.对于函数)tan(),cos(ϕϕ+=+=wx A y wx A y 的单调性的讨论与以上类似处理即可. 变式1 若函数)(sin x f x y +=在]43,4[ππ-内单调递增，则)(x f 可以是（ ）.A .1B .x cosC .x sinD .x cos -变式2 已知0>w ，函数)4sin()(π+=wx x f 在),2(ππ上单调递减，则w 的取值范围是（ ） A .]45,21[ B .]43,21[ C .]21,0( D .]2,0( 变式3 已知函数)0(,),3cos()3cos(sin 3)(>∈-+++=w R x wx wx wx x f ππ.（1）求函数)(x f 的值域； （2）若)(x f 的最小正周期为]2,0[,2ππ∈x ，求)(x f 的单调递减区间. 四、函数的对称性（对称轴、对称中心） 例4.30函数)32sin(π+=x y 图像的对称轴方程可能是（ ）A .6π-=x B .12π-C .6π=x D .12π=x解析 解法一：已知x y sin =的对称轴方程是)(2Z k k x ∈+=ππ令)(232Z k k x ∈+=+πππ，得)(122Z k k x ∈+=ππ， 当0=k 时，12π=x ，故选D.解法二，当6π-=x 时，032=+πx .其正弦值为0；当12π-=x 时，632ππ=+x ，其正弦值不等于1或-1当6π=x 时，3232ππ=+x ，其正弦值不等于1或-1 当12π=x 时，232ππ=+x ，这时12sin=π.故选D评注 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数x y sin =的对称轴为)(2Z k k x ∈+=ππ，对称中心为))(0.(Z k k ∈π；（2）函数x y cos =的对称轴为)(Z k k x ∈=π，对称中心为))(0,2(Z k k ∈+ππ；（3）函数x y tan =函数无对称轴，对称中心为))(0,2(Z k k ∈π；（4）求函数)0()sin(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(2Z k k wx ∈+=+ππϕ，得)(2Z k w k x ∈-+=ϕππ；对称中心的求取方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ，得wk x ϕπ-=，即对称中心为)(b wk ，ϕπ-.（5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ得wk x ϕππ-+=2，即对称中心为))(,2(Z k b wk ∈-+ϕππ变式1 已知函数)0)(3sin()(>+=w wx x f π的最小正周期为π，则该函数的图像（ ）.A .关于点)0,3(π对称 B .关于直线4π=x 对称 C .关于点)0,4(π对称 D .关于直线3π=x 对称变式2 )4sin(π-=x y 的图像的一个对称中心是（ ）A .)0,(π-B .)0,43(π-C . )0,43(πD .)0,2(π变式3 52sin52cos xx y +=的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是______. 变式4 将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移a 个单位)0(>a ，所得图像关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ）.A .67πB .2πC .6πD .3π五、三角函数性质的综合 思路提示三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.因为对称性⇒奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数)(x f 为奇函数；若函数图像关于y 轴对称，则函数)(x f 为偶函数）；对称性⇒周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是2T ；相邻的对称中心之间的距离为2T；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4T）；对称性⇒单调性（在相邻的对称轴之间，函数)(x f 单调，特殊的，若0,0),sin()(>>=w A wx A x f ，函数)(x f 在],[21θθ上单调，且],[021θθ∈，设{}21,max θθθ=，则θ≥4T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）例4.21设x b x a x f 2cos 2sin )(+=，其中,0,,≠∈ab R b a 若)6()(πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，则①;0)1211(=πf ②)5()107(ππf f <； ③)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； ④)(x f 的单调递增区间是)](32,6[Z k k k ∈++ππππ； ⑤存在经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像不相交. 以上结论正确的是_______（写出所有正确命题的序号）分析 函数)2sin()(22ϕ++=x b a x f ，a b =ϕtan ，其中一条对称轴为6π=x ，函数的最小正周期π=T ，通过对称轴⇒对称中心（对称轴与零点相距4T的奇数倍）通过对称轴⇒奇偶性（若函数)(x f 为奇函数，则6π等于4T 的奇数倍；若函数)(x f 为偶函数，则6π等于4T的偶数倍）；通过对称性⇒单调性（在相邻的两条对称轴之间，)(x f 单调递增或单调递减）.解析 )2sin()(22ϕ++=x b a x f ，其中a b =ϕtan ，))6((πf x f ≤对一切R x ∈恒成立，知直线6π=x 是)(x f 的对称轴，又)(x f 的最小正周期为π. 对于①：)436()1211(πππ+=f f 可看做6π=x ，加了43个周期所对应的函数值，所以0)1211(=πf .故①正确对于②：函数)(x f y =周期2π=T ，因为25107πππ=-，所以)5()107(ππf f =，因此)5()107(ππf f <错误，故②不正确. 对于③：因为6π既不是4T 的奇倍数，也不是4T的偶倍数，所以函数)(x f 的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以函数)(x f 既不是奇函数也不是偶函数，故③正确 对于④：依题意，函数)(x f 相邻两条对称轴32,621ππ==x x ，在区间)](32,6[Z k k k ∈++ππππ上函数)(x f 单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确.对于⑤：因为x b x a x f 2cos 2sin )(+=)2sin(22ϕ++=x b a （其中ab =ϕtan ），所以22)(b a x f +≤，又0≠ab ，所以22b a b +≤，因此经过点),(b a 的直线与函数)(x f 的图像相交，⑤不正确，应填①③. 例4.22设)2cos(sin )6cos(4)(ππ+--=wx wx wx x f ，其中0>w（1）求)(x f 的值域； （2）若)(x f y =在区间]2,23[ππ-上为增函数，求w 的最大值. 解析12sin 32cos 2cos 12sin 32cos sin 2cos sin 322cos sin )6sin sin 6cos(cos 42cos sin )6cos(4)(12+=+-+=++=++=+-=wx wx wx wx wxwx wx wx wxwx wx wx wxwx wx x f πππ）（因为]1,1[2sin -∈wx 所以函数)(x f 的值域为]31,31[+-. （2）解法一：12sin 3)(+=wx x f ，由)(x f y =在区间]2,23[ππ-上为增函数，的)0](2,2[],3[>-⊆-w w w ππππ 故⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-223ππwx wx ，得610≤<w ，则w 的最大值为61. 解法二：由12sin 3)(+=wx x f )0(>w 在区间]2,23[ππ-上为增函数，含原点的增区间的对称型可知函数)(x f 在]23,23[ππ-上也为增函数，故π32≥T ，即π6≥T ，得ππ622≥w ，故610≤<w ，则w 的最大值为61评注 一般的，若))((R x x f ∈为奇函数，在],[21θθ上为增函数，其中210θθ<<，若令},max{21θθθ=，则4T≤θ，即可求出w 的范围. 变式1 已知函数)sin(2)(wx x f =，其中常数0>w ，若)(x f y =在]32,4[ππ-上单调递增，求w 的取值范围.变式2 已知函数)0)(sin(2)(>=w wx x f ，)3()6(ππf f =在]4,3[ππ-上的虽小值为-2，则w 的最小值为_____.例4.23若)0)(3sin()(>+=w wx x f π，)3()6(ππf f =且在)3,6(ππ上有最小值无最大值，则______. 解析 依题意，如图4-24所示，在4236πππ=+=x 处)(x f 取得最小值，故Zk k w ∈+=+,2323ππππ得3148+=k w.取0=k ，得314=w .评注 本题融汇了三角函数)sin()(ϕ+=wx x f 的最值（对称轴）、周期性、单调性之间的相互关系与转化 题型2 根据条件确定解析式方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式. 思路提示已知函数图像求函数)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定w ，由适合解析式点的坐标确定ϕ，但有图像求得的)0,0)(sin(>>+=w A wx A y ϕ的解析式一般不唯一，只有限定ϕ的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数ϕ,,w A ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与x 轴的交点）为0=+ϕwx ；“第二点”（即图像曲线的最高点）为2πϕ=+wx ；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为πϕ=+wx ；“第四点”（及图像曲线的最低点）为23πϕ=+wx ；“第五点”（及图像上升时与x 轴的交点）为πϕ2=+wx .例4.24函数),)(2(sin )(R A x A x f ∈+=ϕϕ的部分图像如图4-25所示，那么)0(f =（ A .21-B .-1C .23-D .3-分析 对于)sin(ϕ+=wx A y 的解析式的确定，通过最值确定A ，周期T 确定w ，特征点（尤其是极值点）来确定ϕ；对于零点要分析向上零点还是向下零点. 解析 解法一：依题意Z k k A ∈+=+=,2232,2ππϕπ得Z k k ∈-=,62ππϕ， 所以1)62sin(2sin 2)0(-=-==ππϕk f ，故选B解法二：由函数)2(sin )(ϕ+=x A x f ，得π=T ，则相邻的零点与对称轴之间的距离为44π=T ，因此图中向上的零点是120π=x ，则满足0)122sin()12(=+⨯=ϕππA f 所以.,62Z k k ∈-=ππϕ故1)62sin(2sin 2)0(-=-==ππϕk f ，故选B评注 对于三角函数问题中的“知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面 （1）周期（可推出w 的值域范围） （2）振幅（可推出A （A >0））（3）特征点（可形成三角方程，以求ϕ的值）对于本题代入零点)0,(0x ，（0x 为上零点），则满足0)sin(0=+ϕwx A ，所以)sin()sin(sin )0(,,2000wx A wx A A f Z k wx k -=-==∈-=ϕπϕ1)122sin(2-=⨯-=π，对于正弦型函数),0)(sin()(R w wx A x f ∈>+=ϕϕ，若已知上零点0x ，则)sin()0(0wx A f -=.同理，若已知下零点0x '，则)sin()0(0x w A f '=. 变式一 函数0,0,,,)(sin()(>>+=w A w A wx A x f是常数ϕϕ所示，则=)0(f _______.变式二 已知函数)cos()(ϕ+=wx A x f 的图像如图4-27所示，32)(-=πf ，则=)0(f （ ） A .32- B .32C .21- D .21例4.25已知函数),0,0)(sin(πϕϕ<>>+=w A wx A y 的部分图像如图4-28所示，求函数)(x f 的解析式.分析 有最小值为-2确定A ，由周期确定w ，但本题的周期不易求解，我们可抓住,2127T >π，且12743π>T ，建立周期 T 的不等关系，从而得到w 的取值范围，在建立w 的等量关 系（根据零点），最终建立求得w ，而ϕ的确定可通过特征点（0,1）得到.解析 有图知2=A ，将点（0,1），代入)sin(ϕ+=wx A y 中，得ϕsin 21=，即21sin =ϕ，又πϕπ<<-，且（0,1）点在函数的单调增区间上，故6πϕ=，又431272T T <<π，得6797π<<T T ，又因为wT π2=，得67297ππ<<w T ，故718712<<w ，又点)0,127(π-在函数图像上，且127π-为函数)(x f 的下零点，所以Z k k ∈+=+-,26127ππππ，解得Z k k w ∈--=,710724，因此7187********<--<k ，得121167-<<-k ，又Z k ∈，因此1-=k ，此时2=w . 所以).62sin(2)(π+=x x f变式一 已知),)((cos )(2为常数ϕϕw wx x f +=，如果存在正整数w 常数ϕ使得函数)(x f 的图像经过点（1,0）如图4-29所示，求w 的值.方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值） 求解函数解析式（即ϕ,,w A 的值的确定）例4.26已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<≤>+=w wx x f 为)0,43π是一个对称中心，且在区间]2,0[π上为单调函数，求函数)(x f 的解析式.分析 本题的目标是求φ,w 因为)sin(ϕ+=wx y 为偶函数，则必关于y 轴对称，因此化为wx y cos =的形式，由函数在]2,0[π上单调，则]2,0[π最多只会是半个周期，即22π≥T ，从而得wT π2=得w 的范围，再代入对称中心求解.解析 由函数)0,0)(sin()(πϕϕ<≤>+=w wx x f 为R 上的偶函数，则2πϕ=，得wx x f cos )(=，且在区间]2,0[π上为单调函数，得22π≥T ，即π≥T ，故ππ≥w 2，又0>w 得20≤<w .，同时点)0,43(π为函数)(x f 的一个对称中心，的Z k k w ∈+=,243πππ，则Z k k w ∈+=,324，因此23240≤+<k ，得Z k k ∈≤<-,121所以0=k 或1得32=w 或2，所以函数)(x f 的解析式为x y 32cos =或x y 2cos =.评注 根据函数必关于y 轴对称，在三角函数中联想到wx y cos =的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解.变式一：已知函数),20,0)(sin(4)(R x w wx x f ∈<<>+=πϕϕ图像的两条相邻对称轴的距离为3π，且经过点（0,2）.（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的解析式.题型3 函数的值域（最值） 思路提示求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理. （1）b x a y +=sin ，设x t sin =，化为一次函数b at y +=在]1,1[-上的最值求解. （2）c x b x a y ++=cos sin ，引入辅助角)(tan ab=ϕϕ，化为c x b a y +++=)sin(22ϕ，求解方法同类型（1）（3）c x b x a y ++=sin sin 2，设x t sin =，化为二次函数c bt at y ++=2在闭区间]1,1[-∈t 上的最值求解，也可以是c x b x a y ++=sin cos 2或c x b x a y ++=sin 2cos 型.（4）c x x b x x a y +±+=)cos (sin cos sin ，设x x t cos sin ±=，则x x t cos sin 212±=，故21cos sin 2-±=t x x ，故原函数化为二次函数c bt t a y ++-±⋅=)21(2在闭区间]2,2[-上的最值求解.（5）d x c b x a y ++=sin sin 与dx c bx a y ++=cos sin ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于x sin 或x cos 的函数求解释务必注意x sin 或x cos 的范围.例4.27函数x x x f cos sin )(=的最小值是（ ）A .-1B .21-C .21D .1分析 将函数)(x f 转化为)sin(ϕ+=wx A y 的形式求最值 解析 函数).(2sin 21cos sin )(R x x x x x f ∈==最小值为21-，故选B. 评注 若本题改为“]4,0[,cos sin )(π∈=x x x x f ”则最小值为0，在解题过程中，若存在换元环节，应注意新元取值范围的限定.变式1 函数)6cos(sin )(π+-=x x x f 的值域为（ ）.A .[-2,2]B .]3,3[-C .[-1,1]D .]23,23[-变式2 函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间]2,4[ππ-上的最大值是（ ）. A .1 B .231+ C .23D .31+ 例4.28函数)6sin(3)3sin(4x x y -++=ππ的最大值为（ ）A .7B .2332+ C .5 D .4 分析 由263πππ=-++x x ，利用诱导公式把)6(x -π转化为)3(π+x ，化不同角为相同角，将函数化为)sin()(ϕ+=wx A x f 的形式.解析 )]6(2cos[3)3sin(4x x y --++=πππ)3cos(3)3sin(4x x +++=ππ )43tan )(3sin(5=++=ϕϕπ其中x ，所以5=wax y .故选C.变式1 求函数)(2cos 2)32cos()(2R x x x f ∈++=ππ的值域 变式2 求函数])2,12[)(4sin()4sin(2)32cos()(πππππ-∈+-+-=x x x x x f 的值域.例4.29求函数x x x x f cos 4sin 2cos 2)(2-+=的最大值和最小值.分析 通过二倍角公式和同角公式将函数)(x f 的公式化简为)(cos cos 2R x c x b x a y ∈++=的形式，换元转化为求二次函数在给定区间上的最值.解析 ,1cos 4cos 3cos 4)cos 1()1cos 2(2)(222--=--+-=x x x x x x f 令]1,1[cos -∈=x t ，则])1,1[(37)32(3143)(22-∈--=--=t t t t t g ，因为]1,1[-∈t ，所以当1-=t 时，)(t f 取最大值6，即)(x f 的最大值为6；当32=t 时，)(t g 取最小值37-，即)(x f 的最小值为37-.变式1 已知4π≤x ，求函数x x y sin cos 2+=的最小值.变式2 求函数)20(2385cos sin 2π≤≤-+=x a xa x y 的最大值. 变式3 若0cos sin 2=++a x x 有实数解，试确定实数a 的取值范围. 变式4 若关于x 的方程0sin cos 2≥+-a x x 在]2,0(π上恒成立，求实数a 的取值范围.例4.30对于函数)0(sin 1sin )(π<<+=x xx x f ，下列结论中正确的是（ ）.A .有最大值无最小值B .有最小值无最大值C .有最大值且有最小值D .既无最大值又无最小值分析 形如dx c bx a y ++=sin sin 的函数的最值，可考虑用函数的有界性求解.解析 解法一：x x f sin 11)(+=，令]1,0(sin ∈=x t ，则ty 11+=在区间]1,0(上单调递减，即)(x f 只有最小值无最大值.故选B 解法二：1sin sin sin 1sin =-⇒+=x x y xx y ，得111sin 0≤-=<y x ，解得2≥y ，所以)(x f 只有最小值无最大值.故选B 变式1 求函数xxy sin 2cos 3+=的值域.变式2 若24ππ<<x ，则函数x x y 2tan 2tan =的最大值为_______.题型4 三角函数图像变换 思路提示由函数x y sin =的图像变换为函数)0,()sin(>++=w A b wx A y ϕ的图像.方法一：)(ϕϕ+→+→wx x x 先相位变换，后周期变换，再振幅变换.x y sin =的图像→<ΦΦ>ΦΦ）个单位（向左平移）个单位（向左平移00)sin(ϕ+=x y 的图像→<ΦΦ>ΦΦ）个单位（向左平移）个单位（向左平移00ϖϖ)sin(ϕ+=wx y 的图像→横坐标不变倍来的所有点的纵坐标变为原A)sin(ϕ+=wx A y 的图像→<>）个单位（向下平移）个单位（向上平移00b b b b b wx A y ++=)sin(ϕ 例4.31把函数12cos +=x y 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1分析 利用三角函数的图像与变换求解解析 12cos +=x y →纵坐标不变倍横坐标伸长2−−−−−−→−+=个单位长度向左平移11cos x y −−−−−−→−++=个单位长度向下平移11)1cos(x y ).1cos(+=x y结合选项可知，函数图像过)0,12(-π.故选A变式1 为得到函数)32cos(π+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）.A .向左平移125π个单位 B . 向右平移125π个单位 C .向左平移65π个单位 D . 向右平移65π个单位变式2 已知)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则)(x f 的图像（ ）.A .与)(x g 图像相同B .与)(x g 图像关于y 轴对称C .是由)(x g 的图像向左平移2π个单位得到D .是由)(x g 的图像向右平移2π个单位得到 变式3 已知函数)0,)(4sin()(>∈+=w R x wx x f π的最小正周期为π，为了得到)cos()(wx x g =的图像，只要将)(x f y =的图像（ ）C DA .向左平移8π个单位长度 B .向右平移8π个单位长度 C .向左平移4π个单位长度 D .向右平移4π个单位长度例4.32已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2πϕϕπϕϕ<<+-+=x x x f ，其图像过点)21,6(π.（1）求ϕ的值（2）将)(x f 图像上各点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值解析 由题意把点)21,6(π代入函数的解析式得21cos 21cos 43sin 3sin 21=-+ϕϕϕπ 1)6sin(cos 21sin 23=+=+⇒πϕϕϕ （1）1)6sin(=+πϕ，.3,26),67,6(6),,0(πϕππϕπππϕπϕ==+∈+∈ （2）41cos 21232sin 21)(2-+⋅=x x x f )62sin(2141)2cos 1(412sin 43π+=-++=x x x ， 依题意)64sin(21)622sin(21)(ππ+=+⋅=x x x g ， 当6764ππ=+x ，即4π=x 时，)(x g 取最小值41-；当264ππ=+x ，即12π=x 时，)(x g 取最大值21.变式1已知向量)0)(2cos 2,cos 3(),1,(sin >==A x Ax A n x m ，函数n m x f ⋅=)(的最大值为6.（1）求A（2）求将函数)(x f y =的图像向左平移12π个单位，再将所的图像上各点的横坐标缩短到原来的21倍，，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求)(x g 在]245,0[π上的值域最有效训练题1.已知函数)02,0)(sin()(<<->+=ϕπϕA wx A x f ，在65π=x 时取得最大值，则)(x f 在]0,[π-上的单调增区间是（ ）.A .]65,[ππ-- B .]6,65[ππ-- C .]0,3[π- D .]0,6[π- 2.若直线t x =与函数)42sin(π+=x y 和)42cos(π+=x y 的图像分别交于P ,Q的最大值为（ ）A .2B .1C .3D .2 3.已知函数x x x f sin cos )(2+=，那么下列命题中假命题是（ ）A .)(x f 既不是奇函数也不是偶函数B .)(x f 在]0,[π-上恰有一个零点C .)(x f 是周期函数D .)(x f 在)65,2(ππ上是增函数4,.已知函数)46sin()(π+=x x f 的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数一个对称中心是（ ）.A .)0,16(π B .)0,9(π C .)0,4(π D .)0,2(π5.如图4-30所示，点P 是函数0,)(sin(2>∈+=w R x wx y ϕx 轴的交点，若0=⋅PN PM ,则w 的值为（ ）A .8π B .4πC .4D .8 6.已知],0(π∈x ，关于x 的方程a x =+)3sin(2π，（ ）..[2]A 2]B 2]C 2)D7.已知函数22()2sin cos f x x x x x ωωω=+，其中0ω>，且()f x 的最小正周期为π，则()f x 的单调递增区间为 . 8.已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->的图象和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图象对称轴完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围为 .9.定义一种运算12341423(,)(,)a a a a a a a a ⊗=-，将函数()2sin )(cos ,cos 2)f x x x x =⊗的图象向左移(0)n n >个单位长度所得图像对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 .10.某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论：①函数()f x 在[,0]π-上为单调递增，在[0,]π上单调递减；②存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立；③点(,0)2π是函数()y f x =图像的一个对称中心；④函数()y f x =的图象关于直线x π=对称.其中正确的是 .（把所有正确的命题的序号都填上）. 11.已知函数22()cos(2)sin cos .3f x x x x π=-+-(1)求函数()f x 的最小正周期及图像的对称轴方程； (2)设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域.12.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中 (,0,0,)22x R A ππωϕ∈>>-<<的部分图 像如图4－31所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知函数()f x 图像上三点Ｍ，Ｎ，Ｐ的横坐标分别为－1，1，5，求sin MNP ∠ 的值.。
三角函数的图像和性质复习专题Microsoft Word 文档
2）计算
3）若 是奇函数或偶函数，求 取得最小值时的 的值
12.已知函数
1）求 的最大值及相应的 的值
2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围
13.已知函数 的最小正周期为 ，且
1）求 和 的值
2）在给定坐标系中作出 在 上的图像
3）若 ，求 的取值范围
A.向右平移 个单位B.向左平移 个单位C.向右平移 个单位D.向左平移 个单位
2.函数 的图像的一个对称中心是（）
A．（ ，0）B C. D.
3.函数 （ ）的一个对称中心是（）
A.（0，0）B.（ ，0）C.（ ，0）D.（ ，0）
4.函数 的振幅、周期、初像分别是（)
A. B. C. D.
5.函数 的最小正周期为（）
A. B. C. D.
6.设函数 的部分Байду номын сангаас像如图所示，则
7.函数 的值域为__________， 的值域是____________
8.求下列函数的单调增区间
1） 2）
9.若函数 在其中一个周期内的图像上有一个最高点（ ）和一个最低点（ ），求这个函数的解析式
10.设 的最大值为0，最小值为-4，求
11.已知函数 的最小正周期为6
例题2.求下列关于 的不等式
1） 2）
例题3.已知函数 的图像与 轴相交于两个相邻点的坐标为（ ，0）和（ ，0），且经过点（0，-3），求其解析式。
例题4.1）求函数 定义域________________
2)求函数 的定义域__________________
例题5.若函数 的图像和直线 围成一个封闭的图形，求这个封闭图形的面积
三角函数部分（二）
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。
首先，角的概念是基础。
我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
角可以用弧度制或角度制来度量。
弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。
接下来是三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。
二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。
3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。
高中 三角函数的图象与性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――三角函数的图象与性质余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增；[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时， y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时， y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ1．定义域和值域[例1] 函数216sin x x y -+=的定义域是______________.],0[],4[ππ --[巩固1] 函数x x y sin 3sin 3+-=的值域为________.]2,21[精典例题透析答案 (1) 2－3 (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．[巩固]（1）函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．（2）(2013·天津)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为____________. 答案 (1){x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z } (2) －22解析 (1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，令y ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin y 在y ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22.题型二：三角函数的单调性、周期性 [例] 写出下列函数的单调区间及周期： （1）y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；（2）y ＝|tan x |. 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.[巩固] (2014·北京)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三：三角函数的奇偶性和对称性[例]（1）已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________． （2）如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为_________. 答案 (1)π6 (2) π6解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称，7所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 6．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2. 7．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)， 所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 8．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. （1）求φ；（2）求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ， 又－π<φ<0，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，77。
三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义
专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅； (2)2T πω
=称为周期；
(3)1f
T
=
称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位；
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。
三角函数图像及性质题型归纳讲义-2023届高三数学一轮复习
三角函数图像及其性质题型6 三角函数性质周期性：1. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x2＋π4的最小正周期为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．π22. 函数y ＝|cos x |的最小正周期是( )A.π4 B ．π2C ．πD ．2π【变式训练】3. 若函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为2π3，则ω的值为()A ．3B ．32C.23 D ．134. 函数y ＝⎪⎪⎪⎪7sin ⎝⎛⎭⎫3x －π5的周期是( ) A ．2π B ．πC.π3 D ．π65. 已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.求出它的最小正周期．定义域：6. y ＝sin x 的定义域为____________，单调递增区间为________．7. 函数f (x )＝tan2x tan x的定义域为( ) A ．{x |x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z } B ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z } C ．{x |x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈Z } D ．{x |x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z } 【变式训练】8. 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________ .9. 函数)sin(cos lg x y =的定义域为______________________________。
值域：10. y ＝2sin x 2的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．R11. 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A. 2－3B. 0C. －1D. －1－312. 已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．【变式训练】13. 函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．14. 函数cos 2cos 1y -=-的值域为________ 定义域、值域综合运用：15. 已知函数f (x )＝2a sin(2x ＋π6)＋a ＋b 的定义域为[0，π2]，值域是[－5,1]，求a 、b 的值．16. 已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是____________．三角函数奇偶性：17. 函数y ＝sin x 2＋cos x是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数18. 函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数19. 函数y ＝lncos x (－π2<x <π2)的图象是( )20. 函数是（ ）.A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数【变式训练】21. 已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．±122. 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝() A.π2 B ．2π3C.3π2 D ．5π323. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos(2π－x )－x 3·sin x ；(2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )．24. 函数f (x)＝－cos x ln x 2的部分图象大致是图中的( )三角函数单调性：()lg |sin |f x x =π2ππ2π25. 函数＝2cos(2x －π3)的单调增区间是____________．26. 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上是增函数，求ω的取值范围．27. 函数y ＝|tan(x ＋π4)|的单调增区间为( ) A ．(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z ) B ．(k π－3π4，k π＋π4)(k ∈Z ) C ．(k π，k π＋π2)(k ∈Z ) D ．[k π－π4＋k π＋π4)(k ∈Z ) 【变式训练】28. 下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π2) C ．y ＝sin(x ＋π2) D ．y ＝cos(x ＋π2) 29. 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调增区间为( )A. [k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZB. [k π，k π＋π2]，k ∈Z C. [k π＋π6，k π＋23π]，k ∈Z D. [k π－π2，k π]，k ∈Z30. 函数y ＝sin(π3－2x )的递增区间________．31. 函数y ＝log 12cos2x 的递减区间________．32. 三个数cos 32，sin 110，－cos 74的大小关系是( ) A ．cos 32>sin 110>－cos 74 B ．cos 32>－cos 74>sin 110C ．cos 32<sin 110<－cos 74D ．－cos 74<cos 32<sin 110三角函数对称轴，对称中心：33. 函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为________________．34. 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A. x ＝π4 B. x ＝π2 C. x ＝－π4 D. x ＝－π2【变式训练】35. 若函数)(,)0,4()4sin()(x f P x y x f y 则对称的图象关于点的图象和ππ+==的表达式是 （ ） A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x36. 函数sin 2y x =的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．37. 若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是________.(0)ϕϕ>6x π=ϕ512π56π1112π116π()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ϕy ϕ38. 若将函数 的图像向左平移个单位得到的图像关于原点对称，则的值可能为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7综合：39. 对于函数f (x )＝sin2x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为240. 设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．41. 求函数sin(4)cos(4)36y x x ππ=++-的最小正周期，单调区间及最大，最小值，对称轴及其对称中心。
三角函数概念图像与性质复习题型总结(最全)
三角函数概念和性质复习1.终边相同的角: 与角α终边相同角的集合为（1）试写出与角16800终边相同的最小正角和最大负角.（2）已知与角的终边相同, 则为第象限角.（3）第二象限角的集合为________________________________________（4）如果角为第三象限角, 则为第________________象限角2.弧度制（1）, , 度≈（2）弧长公式: = , 扇形面积公式: =（1）扇形的圆心角为1200, 半径为6cm, 扇形的弧长是cm.（2）若弧度的圆心角所对的弧长为cm, 则这个圆心角所在的扇形面积为．3.任意角的三角函数定义角终边上任意一点P的坐标, 它与原点的距离是.规定: = ；= ；.（1）①已知角的终边经过点, 则= .②已知角的终边过点, 且, 则= .③已知角的终边在直线上, 则= ；= .（1）已知0tan cos <⋅θθ,则角θ是第 象限角.（2）设角 是三角形的一个内角, 在 中, 有可能取负值. （3）函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域为 . 5.同角三角函数关系: ①平方关系: ；②商关系: .（1）①已知 , 且 是第二象限角, 则 = ； = . ②若 , 则 = ； = . ③已知 , 则 的值为__________.（2）化简：①若 是第二象限角, 则 = ；= ； ③若(,0)2πα∈-,= （3）已知 . ①求 的值；②求sin αcos α－sin2α的值.（4）①已知 , 求 及 的值.6.诱导公式（2）已知 , 且 , 则sin( )= ． （3）整体角思维应用（角的内在关系）①已知, 则 = . ②已知 且 , 则 = . ③已知1sin(),64x π+=则25sin()sin ()63x x ππ-+-= .7.三角函数的周期设 为常数, 且 , 则 的周期T= ； 的周期T= ； 的周期T= . （1）①函数cos(2)3y x π=-的最小正周期是 ； ②函数tan(3)6y x ππ=+的最小正周期是 。
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型（已打）
三角函数图像与性质知识点总结和经典题型1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3p 2-5p 2-7p 27p 25p23p 2p 2-p 2-4p -3p-2p 4p3p2p p-poy x1-1y=cosx-3p2-5p 2-7p27p 25p 23p 2p 2-p 2-4p -3p -2p 4p3p2pp -po yxy=tanx3p 2pp 2-3p 2-p-p 2oyx2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是úûùêëé+-2222p p pp k k ，)(Z k Î，递减区间是úûùêëé++23222p p pp k k ，)(Z k Î；x y cos =的递增区间是[]p p p k k 22，-)(Z k Î，递减区间是[]p p p +k k 22，)(Z k Î，x y tan =的递增区间是÷øöçèæ+-22p p pp k k ，)(Z k Î，3．函数B x A y ++=)sin(j w ），（其中00>>w A最大值是B A +，最小值是A B -，周期是wp 2=T ，频率是pw 2=f ，相位是j w +x ，初相是j ；其图象的对称轴是直线)(2Z kk x Î+=+p p j w ，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sinx 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋j )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
高三三角函数的性质归纳总结
三角函数的图像与性质一、题型全归纳题型一 三角函数的定义域和值域【题型要点】1．三角函数定义域的求法（1）形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； 形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c ，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，将其转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c .（2）形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； 令t ＝sin x 或t ＝cos x ，进而将三角函数转化为关于t 的函数．形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，可设t ＝sin x ，将其转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (t ∈[－1,1])；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c ，可设t ＝sin x ±cos x ，则t 2＝1±2sin x cosx ，即sin x cos x ＝±12(t 2－1)，将其转化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c (t ∈[－2，2])．1.(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3 B.0 C.－1D.－1－32.函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎡⎭⎫76π，136π的值域是( )A.[－3，1] B.[－2，1] C.(－3，1] D.(－2，1] 3.(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A.4 B.5C.6D.74.(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.155.函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.．6.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6的值域是________．.8当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的值域为________.9. .已知函数f (x )=3cos (2x -π4)在[0,π2]上的最大值为M ,最小值为m ,则M+m 等于( ).A.0B.3+3√22C.3-3√22D.3210. 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 11. 设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. 12.当函数取得最大值时，的值是.13. 已知，则函数的值域是_________________ 14．(2020·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 15.．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 题型二 三角函数的单调性类型一 求三角函数的单调区间【题型要点已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图象利用y ＝sin x 的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．1.函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的递减区间是 2函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间为 . 3.函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的递增区间是 . 4．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．[0，π]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________.()R x x x y ∈-=sin 3cos 2x tan _______x R ∈sin cos sin cos y x x x x =++6.2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,4ππ上单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos2x |B ．f (x )＝|sin2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |7.．已知π3为函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πϕ的零点，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-122,1252ππππ B.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1272,122ππππ C.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππ D.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππ 类型二 根据单调性求参数【题型要点】已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；(3)周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解．【易错提醒】要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．1.若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B ．π2 C.3π4D ．π2.若f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是________．3.已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．4.. 已知ω＞0，函数f (x )＝12cos ωx －32sin(π－ωx )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2上单调递增，则ω的取值范围是( )A.[2，6]B.(2，6)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103 5.．（2012新课标）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(6.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ上单调递减，则ω的取值范围是________类型一 三角函数的周期性【题型要点】(1)公式法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；(2)图象法：利用三角函数图象的特征求周期． (3)函数y ＝|sin x |，y ＝|cos x |，y ＝|tan x |的周期为π，函数y ＝sin|x |，不是周期函数，y ＝tan |x |不是周期函数．2．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．1.(2020·南开区模拟)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4 B.π2 C ．π D ．2π2.(2020·云南保山模拟)在函数：①y ＝cos|2x |，①y ＝|cos x |，①y ＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ，①y ＝tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42πx 中，最小正周期为π的所有函数的序号为( )A ．①①①B ．①①①C ．①①D ．①①3.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4π B.2π C.πD.π24．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( )A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 6．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝____.类型二 三角函数的奇偶性1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．2.函数具有奇偶性的充要条件函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ①R )是奇函数①φ＝k π(k ①Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ①R )是偶函数①φ＝k π＋π2(k ①Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ①R )是奇函数①φ＝k π＋π2(k ①Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ①R )是偶函数①φ＝k π(k ①Z )． 【例3】已知函数f (x )＝3sin(2x －π3＋φ)，φ①(0，π)．1若f (x )为偶函数，则φ＝________； (2)若f (x )为奇函数，则φ＝________. 2．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝__________. 3．若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝cos x B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2 D ．f (x )＝cos6x4.设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为 .5设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝()A.－π6 B.π6C.－π3 D.π36(2020·北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的x ①R ，同时满足条件f (x )＝f (－x )和f (x －π)＝f (x )的函数是( )A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝sin x cos x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝cos 2x －sin 2x7.若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________类型三 三角函数的对称性【题型要点】(1)对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(2)函数图象的对称性与周期T 之间有如下结论：①若函数图象相邻的两条对称轴分别为x ＝a 与x ＝b ，则最小正周期T ＝2|b －a |；①若函数图象相邻的两个对称中心分别为(a ，0)，(b ，0)，则最小正周期T ＝2|b －a |；①若函数图象相邻的对称中心与对称轴分别为(a ，0)与x ＝b ，则最小正周期T ＝4|b －a |.1.已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称 D.关于直线x ＝π6对称2.若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是()A.2 B.4 C.6D.83..如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 4函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________． 5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝5π3对称 6. 若函数y ＝cos(ωx ＋π6)(ω∈N *)的图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A.1 B ．2C.4D ．87.(2020·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,6π对称 B ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,3π对称C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称 8.(2020·辽宁辽阳一模)已知偶函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6⎝⎛⎭⎫ω>0，π2<φ<π的图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，则⎪⎭⎫⎝⎛83πf ＝( )A.22 B ．－ 2 C ．－ 3 D.2三角函数中ω值的求法已知函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx (ω>0)的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π，则ω有( ) A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1【例4】已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． 【例5】已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ，且f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,6ππ内有最小值无最大值，则ω＝________．练习题3．(2020·河北衡水第十三中学质检(四))同时满足f (x ＋π)＝f (x )与⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f 4π＝⎪⎭⎫⎝⎛-x f 4π的函数f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝cos 2xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝sin 2x4．(2020·河南六市联考)已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πωx (ω>0)的图象与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<2πϕ的图象的对称中心完全相同，则φ为( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π35．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12B ．π3C.13π6 D ．7π66.已知函数f (x )＝tan2x ，则下列说法不正确的是( )A ．y ＝f (x )的最小正周期是πB ．y ＝f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,4ππ上单调递增 C ．y ＝f (x )是奇函数D ．y ＝f (x )的对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛0,4πk (k ①Z ) 7．(2020·福建六校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有⎪⎭⎫⎝⎛+x f 3π＝f (－x )，则⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝( ) A ．2或0 B ．0C ．－2或0D ．－2或25. 已知函数f (x )＝cos(x ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<20πϕ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f 4π是奇函数，则( )A ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛ππ,4上单调递减 B ．f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛4,0π上单调递减C ．f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,4上单调递增D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛4,0π上单调递增 9．(2020·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx －13在区间(0，π)内的所有零点之和为( )A.π6 B.π3 C.7π6 D.4π3 10.函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+-32πx 的单调递减区间为________． 11．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ①R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω①(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．12．已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx 的图象的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,3π，其中ω为常数，且ω①(1，3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．13.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f (π6)＋f (π2)＝0，且f (x )在区间(π6，π2)上递减，则ω＝________.14．(2020·江赣十四校第二次联考)如果圆x 2＋(y －1)2＝m 2至少覆盖函数f (x )＝2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+125ππx m－ 3 cos⎪⎭⎫⎝⎛+32ππx m(m >0)的一个最大值点和一个最小值点，则m 的取值范围是________． 15.(2020·赣州摸底)已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πωx ＋12，ω>0，x ①R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则⎪⎭⎫⎝⎛43πf ＝________，函数f (x )的单调递增区间为________． 三、解答题 1.已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ时，求函数f (x )的最大值和最小值． 2．已知函数f (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在[0，π2]上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．3.已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性． 4．已知函数f (x )＝2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π－3cos2x －1，x ①R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称，且t ①(0，π)，求t 的值； (3)当x ①⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)18．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念19用五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T4.20．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种方法联系：两种变换方法都是针对x 而言的，即x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少．区别：先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，平移的量是⎪⎪⎪⎪φω个单位题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【题型要点】(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．[记结论]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1.(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 2.(2022·天津二中模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0≤φ<π2个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，则φ等于( )A.π12B.π6C.π3D.5π33．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象，可以把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度4(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为( )A ．3 B ．6 C ．9 D ．125.将函数的图像沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为 A ．B ．C ．0D ． 6.将函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一)7.设ω>0,函数y=s in(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是8.若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是 若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原点轴对称，则ϕ的最小值是()sin 2y x ϕ=+x 8πϕ34π4π4π-若将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象关于原函数图像重合，则ϕ的最小值是题型二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【题型要点】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .“）即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二零点”⎪⎭⎫⎝⎛-0，ωϕπ(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；①五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(第一零点”），（0-ωϕ即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(⎪⎭⎫⎝⎛-0，ωϕπ即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.【例1】如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，|φ|<π2)的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x －π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)B ． D ．f (x )＝2sin(2x －π6)【例2】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f (－π3)＝________.3.知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 4.设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意x ∈R ，都有，f (x 1 )≤f (x )≤f (x 2 )成立，则|x 1—x 2|的最小值为 ( )5.已知函数)sin(2θω+=x y 为偶函数0(＜θ＜π)，其图象与直线y ＝2的某两个交点横坐标为1x ，2x ，||12x x -的最小值为π，则（ ） A.2=ω,2π=θ B.21=ω,2π=θ C.21=ω,4π=θ D.2=ω,4π=θ 6.已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是7.已知函数)0(tan >=w wx y 的图像与直线1y =的交点间的最小距离是3π，则w =______。
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
三角函数的图像与性质题型归纳总结
三角函数的图像与性质题型归纳总结The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020三角函数的图像与性质题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1 已知函数解析式确定函数性质【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。
一、函数的奇偶性例1 f (x )＝sin ()x ϕ+（0≤ϕ<π）是R 上的偶函数，则ϕ等于（ ） A.0 B ．4π C ．2πD ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(1)若是奇函数，则sin()+();2y A x k k Z πϕϕπ=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()();2y A x k k Z πϕϕπ=+=+∈(3)若是奇函数，则cos()();y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(4)若是偶函数，则tan()().2k y A x k Z πϕϕ=+=∈(5)若是奇函数，则.()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ）A.0 B ．1 C ．1- D ．1±2.0()cos()()R f x x x R ϕϕϕ∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ）A 充分不必要条件B ．必要不充分条C ．充要条件D ．无关条件3.()sin()0()f x x f x ωϕω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0f =2.()sin(2)()()2f x x x R f x π=-∈例设，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数C ．2π最小正周期为的奇函数D ．2π最小正周期为的偶函数2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( )A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数2.(0,)2ππ变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是( )A.cos 2y x = B ．|sin 2|y x = C ．|cos 2|y x = D ．|sin |y x =二、函数的周期性3.sin(2)cos(2)66y x x ππ=++例函数的最小正周期为( )A.2π B ．4πC ．2πD ．π【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：sin()b,cos()b,tan()b22,,.||||||y A x y A x y A x ωϕωϕωϕπππωωω=++=++=++(1)函数的周期分别为|sin()|,|cos()|,|tan()|.||y A x y A x y A x πωϕωϕωϕω=+=+=+(2)函数的周期均为2|sin()b |(b 0),|cos()b |(b 0).||y A x y A x πωϕωϕω=++≠=++≠(3)函数的周期均为1.sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++变式函数的最小正周期和最大值分别为( )A.,1π B．π．2,1π D．2π()sin (sin cos ),()f x x x x f x =-变式2.若则的最小正周期是________.()sin 3|sin 3|()f x x x f x =+变式3.若则是( )A.3π最小正周期为的周期函数 B ．23π最小正周期为的周期函数C ．π最小正周期为2的周期函数D ．非周期函数三、函数的单调性.sin(2)([0,])6y x x ππ=-∈例4函数的递增区间是( )A.[0,]3π B ．7[,]1212ππ C ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ【评注】求三角函数的单调区间：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>若函数则22()22322()22(3)sin()0,0sin()sin()(4)cos()tan()k x k k Z k x k k Z y A x A y A x y A x y A x y A x πππωϕππππωϕπωϕωωϕωϕωϕωϕ-≤+≤+∈+≤+≤+∈=+><=---=--=+=+(1)函数的递增区间由决定；(2)函数的递减区间由决定；若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；对于函数和单调性的讨论同上。
高考专题复习14三角函数的图象与性质
专题14 三角函数的图象与性质【知识精讲】一、正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 ,x x k k π⎧⎫≠π+∈⎨⎬Z二、函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 1．函数sin()y A x ωϕ=+的图象的画法 （1）变换作图法由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点.其步骤为： ①先确定最小正周期T =2ωπ,在一个周期内作出图象；②令=X x ωϕ+,令X 分别取0，2π,π,322ππ,,求出对应的x 值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到sin()y A x ωϕ=+的简图.2．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ−π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴.3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 三、三角函数的综合应用（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠−+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A −；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ−≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ−≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ−<+<+∈Z 来确定． 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后再求解． （6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=−+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω−∈Z ；函数cos()y A x ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=−∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω−+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω−∈Z .【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴.【题型精讲】题型一 三角函数的周期性【例1-1】求下列函数的周期： (1)2sin3x y =； (2)()cos 4y x =−； (3)3cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (4)tan y x =−． 【答案】(1)3π (2)2π (3)6π (4)π 【解析】 【分析】根据三角函数周期公式即可得到结果. (1) ∵2sin3x y = ∴周期2323T ππ==； (2)∵()cos 4y x =−， ∴周期242T ππ==−； (3)∵3cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴周期2613T；(4)∵tan y x =−， ∴周期1T ππ==.【例1-2】求函数|sin |y x =的最小正周期． 【答案】π 【解析】 【分析】根据函数图象的变换规则画出函数图象，即可得到函数的最小正周期； 【详解】解：函数|sin |y x =是将sin y x =位于x 轴下方的图象关于x 翻折上去， 函数图象如下所示，所以最小正周期为π【例1-3】设ω为实数，函数()3sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值为（ ） A ．2 B ．4± C ．4π D ．4π±【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期公式计算即可得到答案. 【详解】 由题意可得2||2ππω=，则4ω=±， 故选:B .【例1-4】函数22()cos sin 1f x x x =−+的周期为___________； 【答案】π 【解析】 【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案. 【详解】22()cos sin 1cos 21f x x x x =−+=+, 所以()f x 的周期为：22T ππ== 故答案为：π.【练习1-1】求下列函数的周期.（1）()2sin 36y x x R π⎛⎫=−∈ ⎪⎝⎭； （2）()sin 2y x x R =∈.【答案】（1）23π（2）2π 【解析】 （1）由2T πω=求解即可；（2）画出函数图像,根据图像得到周期即可 【详解】（1）由题,3ω=,则223T ππω==（2）（图像法）作出函数()sin 2y x x R =∈的图像,如图所示,由图像可得,函数()sin 2y x x R =∈的周期为2π【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期,考查正弦型函数的图像的应用【练习1-2】函数()()22cos 2sin 0f x x x ωωω=−>的最小正周期为π2，则ω的值为（ ）． A ．2 B ．4C ．1D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式可得()31cos 222f x x ω=−，结合求最小正周期的公式2πT ω=计算即可. 【详解】 解：()()1cos 2311cos 2cos 2222x f x x x ωωω+=−−=−， 由0ω>得函数的最小正周期为2ππ22T ω==， ∴2ω=， 故选：A ．【练习1-3】已知函数()tan (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由正切函数的周期公式可求解. 【详解】 由题意，22ππωω=⇒=. 故选：B题型二 三角函数的奇偶性【例2-1】判断下列函数的奇偶性．(1)2sin 2y x =−； (2)sin y x =； (3)3cos 1y x =+； (4)tan 1y x =−． 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数；(4)既不是奇函数，也不是偶函数. 【解析】 【分析】根据给定的各个函数，结合奇偶函数的定义逐一判断分别作答. (1)函数2sin 2y x =−的定义域为R ，因2sin 2()2sin(2)(2sin 2)x x x −−=−−=−−， 所以2sin 2y x =−是奇函数. (2)函数sin y x =的定义域为R ，因|sin()||sin ||sin |x x x −=−=， 所以sin y x =是偶函数. (3)函数3cos 1y x =+的定义域为R ，因3cos()13cos 1x x −+=+， 所以3cos 1y x =+是偶函数. (4)函数tan 1y x =−的定义域为{R |,Z}2x x k k ππ∈≠−∈，而tan()1tan 1x x −−=−−，显然tan()1(tan 1)x x −−≠−−，并且tan()1tan 1x x −−≠−， 所以tan 1y x =−既不是奇函数，也不是偶函数.【例2-2】已知()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ=__________．（写出一个值即可） 【答案】2π（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为()()2sin 32f x x ϕ=+是奇函数，所以2k ϕπ=，k Z ∈，解得2k πϕ=，k Z ∈． 故答案为：2π（答案不唯一） 【练习2-1】判断下列函数的奇偶性：(1)()()cos 2cos 2f x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=； (2)()cos 1sin x f x x =−； (3)()f x 【答案】(1)函数()f x 为奇函数 (2)函数()f x 为非奇非偶函数 (3)函数()f x 既是奇函数又是偶函数 【解析】 【分析】(1)把解析式化简成sin y A x ω=型或cos y A x ω=型，来判断其奇偶性； (2)先求一下定义域，再进行奇偶性判断； (3)先求一下定义域，再进行奇偶性判断； (1)函数()f x 的定义域为R ,()()cos 2cos (sin 2)(cos )sin 2cos 2f x x x x x x x ππ⎛⎫++=−=⎪⎝⎭=−故()()sin(2)cos()sin 2cos f x x x x x f x −=−−=−=−， 故函数()f x 为奇函数 (2)函数()f x 定义域为2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,不关于原点中心对称，故函数()f x 为非奇非偶函数 (3)由cos 1x =，得函数()f x 定义域为{}=2,x x k k Z π∈，关于原点中心对称，此时，()f x =则有()()0f x f x −==，且()()0f x f x −==− 故函数()f x 既是奇函数又是偶函数 【练习2-2】若02πα<<，()sin 2)4(g x x πα++=是偶函数，则α的值为________．【答案】4π 【解析】 【分析】正弦型函数()sin()(0,0)f x A x A ωφω=+>>若成为偶函数，则必有一条对称轴是y 轴，即(0)=f A ，解之即可.【详解】要使()sin 2)4(g x x πα++=成为偶函数，则必有()0=1g即1sin )4(=πα+，故=42k k Z ππαπ++∈，,又有02πα<<，所以=4πα 故答案为：4π 题型三 三角函数的对称性【例3-1】求函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴和对称中心.【答案】对称轴为,212k x k Z ππ=+∈；对称中心为,0,26⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭k k Z ππ 【解析】 【分析】结合3sin y x =的性质，分别令232x k πππ+=+和23x k ππ+=可解得对称轴和对称中心.【详解】 由232x k πππ+=+，得,212k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴为,212k x k Z ππ=+∈. 由23x k ππ+=，得,26k x k Z ππ=−∈， 所以对称中心为,0,26k k Z ππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭.【例3-2】函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，则ω可以为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C 【解析】 【分析】()cos()(0)3f x x πωω=−>的对称轴为3x k πωπ−=，化简得到22(0)3k ωω=+>得到答案.【详解】()cos()(0)3f x x πωω=−>对称轴为：22(0)()3233x k k k k Z πππωπωπωω−=⇒−=⇒=+>∈ 当0k =时，ω取值为23. 故选:C.【例3-3】已知函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是（ ） A ．（134，174] B ．（94，134]C ．[94，134）D ．[134，174） 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的对称轴方程为()144k x πω+=，k Z ∈，原题等价于()1404k ππω+≤≤有3个整数k符合，解不等式1424143ω+⨯≤<+⨯即得解. 【详解】解：()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭，令4x k πωπ−=，k Z ∈，则()144k x πω+=，k Z ∈，函数f （x ）在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，即()1404k ππω+≤≤有3个整数k 符合，()1404k ππω+≤≤，得140101444kk ωω+≤≤⇒≤+≤，则0,1,2k =， 即1424143ω+⨯≤<+⨯，∴91344ω≤<. 故选：C.【练习3-1】已知函数()sin cos f x x x =+，R x ∈.求：(1)()f x 的图像的对称轴方程； (2)()f x 的图像的对称中心坐标. 【答案】(1)4x k ππ=+，Z k ∈(2),04k ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭，Z k ∈【解析】 【分析】先将函数化简为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后整体代换ωx ＋φ即可求出对称轴和对称中心﹒ (1)()sin cos 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋．由42x k k Z πππ∈＋＝＋，，得4x kx k Z π∈＝＋，；(2)由4x k k Z ππ∈＋＝，，得4x k k Z ππ−∈＝，，∴对称中心为04k k Z ππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，，﹒ 【练习3-2】已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB C ．D 【答案】B 【解析】 【分析】先由对称性求得a ，再将4π代入函数解析式即可求得答案. 【详解】因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以()203f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1122=−，解得a =422f π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故选：B题型四 三角函数的单调性【例4-1】函数2cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为（ ）A ．()2ππ,2π,Z k k k −∈B ．()2π,2ππ,Z k k k +∈C ．7ππ(2π,2π),Z 66k k k −−∈ D ．π5π(2π,2π),Z 66k k k −+∈【答案】C 【解析】 【分析】根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答. 【详解】 由2ππ2π,Z 6k x k k π−≤+≤∈，解得2π2π,Z 66k x k k 7ππ−≤≤−∈， 所以所求函数的增区间为7ππ(2π,2π),Z 66k k k −−∈. 故选：C【例4-2】已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】 依题意可得22T ππ≥−，再根据周期公式即可求出ω的大致范围，再根据x 的取值范围，求出6x πω+的取值范围，根据ω的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可； 【详解】解：依题意222T πππ≥−=，即T π≥，又2T πω=，所以20ππωω⎧≥⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<≤， 又,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,2666x πππωωωππ⎥+∈+⎡⎤⎢⎣⎦+，所以76662ππωππ≤<+，要使函数在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，所以226362πππωπππω⎧≤+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得2433ω≤≤， 即24,33ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故选：B【练习4-1】已知函数2()22cos f x x x =+. （1）求函数()f x 的值域； （2）求函数()f x 单调递增区间.【答案】(1) [1,3]−, (2) (),36k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先对函数化简为()f x 2sin(2)16x π=++，然后利用正弦函数的取值范围可求出()f x 的值域； （2）由222262k x k πππππ−≤+≤+解出x 的范围就是所要求的递增区间.【详解】解：2()22cos 2cos 21f x x x x x =+=++1sin 2cos 2)122x x =++ 2sin(2)16x π=++（1）因为1sin(2)16x π−≤+≤，所以12sin(2)136x π−≤++≤所以()f x 的值域为[1,3]−； （2）由222,262k x k k Z πππππ−≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ−≤≤+∈，所以()f x 单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式，正弦函数的性质，属于基础题.【练习4-2】函数()=sin2+1(0)f x x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则ω取值范围为_____【答案】102⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】 【分析】根据题意可求得函数的单调区间，结合()=sin2x+1(0)f x ωω>在ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】 令ππ2π22π,(Z)22k x k k ω−+≤≤+∈， 可得ππππ,Z 4ω4k k x k ωωω−+≤≤+∈， 因为函数()sin2+1(0)f x x ωω=>在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故πππ46πππ42k k ωωωω⎧−+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得362,(Z)122k k k ωω⎧≥−+⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩， 结合0>ω，故当0k =时，ω取值范围为102⎛⎤⎥⎝⎦，，1k时不符合题意，故ω取值范围为102⎛⎤⎥⎝⎦，，故答案为：102⎛⎤⎥⎝⎦，题型五 “五点法”作sin()y A x ωϕ=+的图像【例5-1】已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭.(1)利用“五点法”完成下面的表格，并画出()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象； (2)解不等式()1f x ≥.【答案】(1)答案见解析(2)π7π,π()412k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的五点作图法可完成表格，利用五点作图法可得图象； （2）根据函数图象列式可求出结果. (1)完成表格如下：()f x 在区间π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：(2)不等式()1f x ≥，即1sin 232x π⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭.由ππ5π2π22π,636k x k k +≤−≤+∈Z ， 解得π7πππ,412k x k k +≤≤+∈Z . 故不等式()1f x ≥的解集为π7ππ,π()412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【练习5-1】设函数f (x )＝sin （2x +φ）（﹣π＜φ＜0），y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝8π，此对称轴相邻的对称中心为（308π，） (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)用五点法画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．【答案】(1)3()sin(2)4f x x π=−；(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）解方程sin 218πϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭即得解；（2）用五点法画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． (1) 解：8x π=是函数()y f x =的一条对称轴，sin 218πϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，即,42k k Z ππϕπ+=+∈0πϕ−<<，34πϕ∴=−所以3()sin(2)4f x x π=−.令32,4x k k Z ππ−=∈得3,28k x k Z ππ=+∈. 所以函数的对称中心为37(,0),(,0),(,0),888πππ−，，所以函数的解析式为3()sin(2)4f x x π=−.(2)解：由3sin 24y x π⎛⎫=− ⎪可知故函数3sin 24y x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭在区间[]0,π上的图像为：题型六 三角函数的图像变换【例6-1】怎样由函数sin y x =的图象变换得到sin(2)3y x π=−的图象，试叙述这一过程．【答案】答案见解析 【解析】 【分析】利用函数sin(2)3y x π=−与函数sin y x =的关系直接叙述即可.【详解】把函数sin y x =的图象向右平移3π个单位得函数sin()3y x π=−的图象，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，即得函数sin(2)3y x π=−的图象.【例6-2】要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度C ．向右平移12π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式化为同名函数，然后由图象平移变换求解． 【详解】因为函数sin 2cos 2cos 224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==−=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5cos 2cos 2cos 236412y x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=−+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度. 故选：B.【例6-3】将函数()2sin(2)3f x x π=−的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后得到的函数图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．6π B ．23π C ．3πD ．8π 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，求得()2sin(22)3g x x πϕ=−−，结合()14g π=±，列出三角方程，即可求解. 【详解】将函数()2sin(2)3f x x π=−的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，可得()22sin[2()]sin(22)33g x x x ππϕϕ=−−=−−， 因为()g x 的图象关于直线4x π=对称，()sin(2)146g ππϕ=−−=±，即sin(2)16πϕ+=±，可得2,62k k ϕππ+=+π∈Z ，解得,62k k ϕππ=+∈Z ，又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为6π. 故选：A.【练习6-1】【多选题】要得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭到的图象，只需将函数sin y x =的图象（ ）A ．向左平移π4单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12B ．向右平移π8单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12C ．每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移π8单位长度D ．每个点的横坐标缩短为原来的12，再向左平移π8单位长度【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象的两种变换方式即可求解;先平移再伸缩可判断A,B,先伸缩再平移可判断C,D. 【详解】方式一：（先平移再伸缩）；将sin y x =先向左平移π4单位长度得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后将πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 对，方式二：（先伸缩再平移）；将sin y x =图像上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变得到sin 2y x =，再将sin 2y x =向左平移π8单位长度得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 对，故选：AD【练习6-2】为了得到函数()sin2cos2f x x x =−的图像，可以将函数()f x x =的图像（ ）A ．向左平行移动8π个单位 B ．向右平行移动8π个单位 C ．向左平行移动4π个单位D ．向右平行移动4π个单位【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和差公式先将函数化简为()()sin f x A x =+ωϕ，然后再通过三角函数图像的伸缩平移得出答案. 【详解】由题意得()sin2cos2)2()48f x x x x x ππ⎡⎤=−=−=−⎢⎥⎣⎦，所以应把函数()f x x =的图像向右平移8π个单位.故选：B.【练习6-3】为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移5π24个单位 B ．向右平移7π24个单位 C ．向右平移5π24个单位 D ．向左平移7π24个单位 【答案】B 【解析】 【分析】先通过诱导公式将πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为()5πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设平移了ϕ个单位，从而得到方程，求出7π24ϕ=−，得到答案.【详解】πππ5πcos 2sin 2sin 23326y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平移了ϕ个单位，得到()5πsin 226g x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则5ππ264ϕ+=，解得：7π24ϕ=−， 即向右平移了7π24个单位. 故选：B题型七 已知函数图像求解析式【例7-1】已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为_______________．【答案】()122sin 23f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据给定的()f x 的图象，结合三角函数的性质，分别求得,A ω和ϕ的值，即可求解. 【详解】由题意，函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象， 可得1422,()2233A T πππ==−−=，所以4T π=， 可得212T πω==，即()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ， 又由4142()2sin()2sin()03233f πππϕϕ=⨯+=+=， 结合三角函数的五点对应法，可得22,3k k Z πϕπ+=∈，即22,3k k Z πϕπ=−∈， 又因为ϕπ<，所以23πϕ=−，所以()122sin 23f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭.故答案为：()122sin 23f x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭.【例7-2】函数()()tan f x x ωϕ=+（0>ω）的部分图像如下图，则ϕ最小值为（ ）A ．6πB ．3πC ．4π D ．12π 【答案】A 【解析】 【分析】由图象根据周期得出2ω=，再由62k ππωϕπ⋅+=−+即可求解.【详解】由图知22362ππππωω=−==>=，由62k ππωϕπ⋅+=−+解得5,6k k Z πϕπ=−+∈ 所以当1k =时，6π=ϕ. 故选：A【例7-3】如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y ).若初始位置为P 012⎫⎪⎪⎝⎭，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为（ ）A ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．y ＝sin 606t ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭C ．y ＝sin 306t ππ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭D ．y ＝sin 303t ππ⎛⎫−− ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择. 【详解】由题意可得，初始位置为P 0122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，不妨设初相为ϕ，故可得1sin 2ϕ=，cos ϕ6πϕ=.排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2||πω＝60， 所以|ω|＝30π，即ω＝－30π.故满足题意的函数解析式为：ππsin t 306y ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭.故选：C .【练习7-1】如图是函数()(π3sin 0,2)y x ωϕωϕ=+><的图像的一部分，则此函数的解析式为___________．【答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】首先由周期求出ω，再根据函数过点,06π⎛⎫− ⎪⎝⎭，即可求出ϕ，从而求出函数解析式.【详解】解：由图可知566T πππ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭，所以2T ππω==，解得2ω=， 再由函数过点,06π⎛⎫− ⎪⎝⎭，所以π3sin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭−，所以π2,Z 3k k ϕπ+=∈−，解得π2,Z 3k k ϕπ=+∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故答案为：π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【练习7-2】已知函数()()tan 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭,()y f x =的部分图象如图所示,则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．3 BC ．1D 【答案】A 【解析】 【分析】由124T π=可求得ω，由512k πωϕπ+=可求得ϕ，再由()01f =可求得A ，从而可得()y f x =的解析式，进而可求12f π⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】15,212642T T ππππ=−=∴=， 2Tπω∴==，代入512k πωϕπ+=得6π=ϕ， ()tan 26f x A x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又()0tan 16f A π==，A =()26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，312663f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.题型八 三角函数的综合应用【例8-1】已知函数()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的对称轴方程； (2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()1g x m −=在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有一解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）对称轴方程为,122k x k Z ππ=+∈；（2）){}11⎡⎣【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f （x ）的解析式，再利用正弦函数的对称性，求得函数f （x ）的对称轴方程． （2）由题意sin （2x ﹣3π）＝12m + 在[0， 2π）上恰有一解，再利用正弦函数的单调性，结合函数y ＝sin （2x ﹣3π） 的图象，求得实数m 的取值范围．【详解】（1）∵函数f （x ）＝2sin x cos x（x +4π）cos （x +4π）＝sin2x （2x +2π）＝sin2xx ＝2sin （2x +3π），∴令2x +3π＝k π+2π，求得x ＝212k ππ+，k ∈Z ，故函数f （x ）的对称轴方程为x ＝212k ππ+，k ∈Z ． （2）将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位长度，得到函数g （x ）＝2sin （2x ﹣23π+3π）＝2sin （2x ﹣3π）的图象，若关于x 的方程g （x ）﹣1＝m 在[0，2π）上恰有一解，即2sin （2x ﹣3π）＝1+m 在[0，2π）上恰有一解， 即sin （2x ﹣3π）＝12m + 在[0，2π）上恰有一解． 在[0，2π）上，2x ﹣3π∈[﹣3π，23π），函数y ＝sin （2x ﹣3π），当2x ﹣3π∈[﹣3π，2π]时，单调递增；当2x ﹣3π∈[2π，23π]时，单调递减，而sin （﹣3π）＝﹣2，sin 2π＝1，sin （23π2，12m +12m +＝11≤m ，或m ＝1，即实数m 的取值范围[11）∪{1}．【例8-2】建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：℃）随时间（t ≤≤024，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数()()sin 0,0,y A t b A ωϕωϕπ=++>><关系.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？【答案】（1）()()2248sin 024123f t t t ππ⎛⎫=+−≤≤ ⎪⎝⎭（2）上午10时开启，下午18时关闭.【解析】 【分析】（1）根据函数图象可知周期T ，进而根据2T πω=求得ω的值；结合函数的最大值和最小值，可求得A ，代入最低点坐标()216,，即可求得ϕ，进而得函数()f t 的解析式． （2）根据题意，令2248sin 28123t ππ⎛⎫+−> ⎪⎝⎭，解不等式，结合t 的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间． 【详解】（1）由图知，()214224T =−=， 所以224πω=，得12πω=.由图知，1632242b +==，321682A −==， 所以()8sin 2412f t t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.将点()216,代入函数解析式得248sin 21612πϕ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭， 得262k ππϕπ+=−，()k Z ∈即()223k k Z ϕππ=−∈又因为ϕπ<，得23ϕπ=−.所以()()2248sin 024123f t t t ππ⎛⎫=+−≤≤⎪⎝⎭. （2）依题意，令2248sin 28123t ππ⎛⎫+−>⎪⎝⎭， 可得21sin 1232t ππ⎛⎫−>⎪⎝⎭， 所以()252261236k t k k Z ππππππ+<−<+∈ 解得：()24102418k t k k Z +<<+∈， 令0k =得，1018t <<，故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.【练习8-1】已知函数2()sin 22cos (0)6f x x x πωωω⎛⎫=+−> ⎪⎝⎭，1x ，2x 是方程()0f x =的两个不相等的实根，且12x x −的最小值为π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围【答案】（1）()sin(2)16f x x π=−−；（2）,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质，可知函数()f x 最小正周期π，再根据三角函数的周期性即可求出ω，进而求出函数()f x 的解析式； （2）由题意可知22666x m πππ≤−≤−，又()f x 的值域是1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，可知1sin(2),162x π⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，结合sin y x =的图象可知，52266m πππ≤−≤，由此即可求出结果.31【详解】（1）2()sin 22cos 6f x x x πωω⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ sin 2cos cos2sin (cos21)66x x x ππωωω=+−+.12cos 212x x ωω=−− sin 216x πω⎛⎫=−− ⎪⎝⎭. 因为12x x −的最小值为π，所以()f x 的最小正周期22T ππω==，解得1ω=， 所以函数()f x 的解析式为()sin(2)16f x x π=−−.（2）由6x m π≤≤，可得22666x m πππ≤−≤−，因为()f x 的值域是1,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，所以1sin(2),162x π⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦， 结合sin y x =的图象可知，52266m πππ≤−≤ 解得32m ππ≤≤，所以m 的取值范围是,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
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三角函数概念和性质复习
1.终边相同的角: 与角α终边相同角的集合为
（1)试写出与角16８00终边相同的最小正角和最大负角. （２)已知α与0
240角的终边相同,则
2
α
为第 象限角. (3）第二象限角的集合为＿__＿＿＿___＿_____________＿_＿_______＿___＿__ （4)如果角α为第三象限角，则2
α
为第_____＿___＿____＿_象限角 2.弧度制 （1)0
180rad π= ,0
1180
rad π
=
,180
1rad π
=
（2）弧长公式：l ＝ ，扇形面积公式：s =
（1)扇形的圆心角为12０0,半径为6cm,扇形的弧长是 cm. （2)若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积为 2cm . ３
.任意角的三角函数定义
角α终边上任意一点Ｐ的坐标(,)x y ，它与原点的距离是(0)r r =
.
规定:sin α= ;cos α= ;tan α= (0)x ≠. （1）①已知角α的终边经过点(5,12)-,则sin cos αα-= ．
②已知角α的终边过点(,6)P x --,且5
cos 13
α=-
，则x = .
③已知角α的终边在直线y =上,则sin α= ;tan α＝ ． (２)特殊角的三角函数:
(１）已知0tan cos <⋅θθ,则角θ是第 象限角. (２)设角α是三角形的一个内角,在sin ,cos ,tan ,tan
2
α
ααα中, 有可能取负值.
(３)函数cos sin tan sin cos tan x x x
y x x x
=
++
的值域为 . 5.同角三角函数关系： ①平方关系: ；②商关系: . （1)①已知4
sin 5
α=
，且α是第二象限角，则cos α＝ ；tan α= ．
②若12tan ,(,0)52π
αα=-
∈-，则sin α= ;cos α= .
③已知sin α=
，则44
sin cos αα-的值为___＿＿＿____. (2）化简:①若α
是第二象限角，则tan ＝ ；
＝ ； ③若(,0)
2
πα∈-,
= (3)已知tan()3πα-=-.①求＼f （sin α＋c ｏｓα,sin α－c ｏs α)的值；②求s ｉn αc ｏs α－si ｎ2α的值．
（4)
①已知sin cos αα+=sin cos αα及44sin cos αα+的值．
６．诱导公式
（１)求值:①4sin
3π＝ ;②19cos 4π= ；③17tan()6π-= . (2
）已知cos α=
，且(,0)2
π
α∈-,则ｓi ｎ（πα-)= ． （３)整体角思维应用(角的内在关系）
①已知1
sin()123
π
α+
=，则7cos()12πα+= ． ②已知0
1
cos(75),3
α+=且018090α--＜＜,则0cos(15)α-＝ . ③已知1sin(),64x π
+=则25sin()sin ()63
x x ππ
-+-= ． 7.三角函数的周期
设,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠＞,则 sin()y A x ωϕ=+的周期T= ；
cos()y A x ωϕ=+的周期T= ; tan()y A x ωϕ=+的周期T= .
(１）①函数cos(
2)3
y x π
=-的最小正周期是 ； ②函数tan(3)6
y x ππ=+的最小正周期是 。
（2）若函数()sin()5
f x kx π
=+
的最小正周期为
23
π
,则k = . (3)设函数()f x 是定义域为R,最小正周期为32π的函数,若cos ,(0)()=2
sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪⎨⎪≤<⎩
，则15()4f π-= （4）绝对值号对周期的影响
8.三角函数的图象与性质 sin /cos /tan y x y x y x ===（图象/定义域／值域／最值/奇偶性/周期性/单调性/对称性) (１)①函数2sin ,(
)6
3
y x x π
π
=≤≤
的值域是 ； ②函数ｙ＝2sin(2x +错误!)+1在区间[0，错误!]的最小值为 ． (2）①已知函数23sin(2)3
y x π
=-
,则当x = ,函数取最大值 ； ②已知2cos
3
x
y =-，则当x = ,函数取最小值 . （３)①函数3sin(2)4
y x π
=-
的单调增区间是 ;
②函数[]2sin(
2),0,6
y x x π
π=-∈的增区间是
(4)①不等式1
sin 2
x ≤-
的解集为 ;②不等式cos2x ＞32的解集为 ；
(5）函数tan()26
y x π
=-+
+的定义域是 .
（6)函数()cos f x x =的最小正周期是 ．
(7)已知函数3
()sin f x x m x =+，若(1)2f -=，则(1)f = ． (８)函数2
sin 3cos y x x =+的值域是 ． 9．三角函数图象变换
（1）①要得到函数sin()26x y π=+
的图象，只需将函数sin 2
x
y =的图象向右平移 个单位． ②将函数ｙ＝si ｎx 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的＼f(1，2),得到函数y ＝f (x )的图象，再将函数y ＝f （x ）的图象沿着x 轴的正方向平移π
6个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,
则ｇ（x )的解析式为 .
③要得到函数()
πcos 24y x =-的图象,需将函数sin 2y x =的图象平移，则最短的平移距
离为 个单位． （2）把函数4cos()3
y x π
=+
的图象向右平移ϕ个单位，所得的图象恰好关于y 轴 对称,则ϕ的最小正值为
（3）已知函数()2sin(3)4
f x x π
=+，若存在实数12,x x ,使得对任意的实数x 都
有()()()12f x f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小值为 .
（4）已知函数sin()y x ωϕ=A +(0,0,||ωϕπA >><)的
一段图象如图所示，则函数的解析式为 .
10.综合
已知函数f （x)=Asin （ωx ＋φ) （Ａ>０,ω>０,|φ|<
π
2
,x ∈R)的图像一个最高点坐标为 （-π／12,2），与之相邻的与x 轴的一个交点为（π/6,0) (１) 求f(x)的解析式
(２) 求它的振幅、周期、频率、初相;
(３） 用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(4) 说明ｆ(x)的图象可由y=ｓin x 的图象经过怎样的变换而得到. (5) 求函数的单调区间;
（6) 求函数的对称轴、对称中心；
(7） 求函数值域并求函数取得最大值时的ｘ的取值集合; （８)函数ｆ(x)在区间[０,π
2
]的值域；。