第六章静不定

列平衡方程 SMA=0 得
①
FN1 l FN2 2lFN1 2FN2
l A l l FN1 FAx
q q
② D l2
①杆在温度影响下伸长，在轴力作用 下缩短，②杆在轴力作用下缩短。刚 体绕A转动，变形几何关系图如图示。 由图可列出变形几何关系方程 2Dl1=Dl2
Dl1 a l Dt FN1l F l ， Dl2 N2 EA EA
①
450
d
D l1
A
D l2
②
C
2a a
B
2FN1 FN2 sin 450
两杆均为拉力，计算①杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。
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静不定结构的特点（3） ——温度应力
B C B
o
C
D
升温T C
aa
A
升温T C
aa
A
o
结构不因 温度变化 产生内力
结构会因 温度变化 产生内力
图示支架承受力F 作用，①杆的抗拉刚度 为EA，②杆的抗拉刚度为1.5EA，③杆的 抗拉刚度为2EA。求各杆的轴力。 解：平衡方程为
B
①
C
②
300 300
A
FN1 cos 300 FN2 FN3 cos 300 0 FN1 sin 30 FN3 sin 30 F 0
0 0
③
刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1m，c=0.25m， d=0.2m。1杆由黄铜制成，E1=100GPa，A1=2cm2，a1=16.5×10-6/ 0C。 2和3杆由碳钢制成，E2=E3=200GPa，A2=1cm2， A3=3cm2 ， a2=a3=12.5×10-6/0C，F=40kN。 设温度升高20 0C，求各杆的应力。

Ml G1I p1
1 2
T1l 1 G1 I p1
变形协调条件
2
T2l G2 I p2
T1－T2=0
T1l Tl Ml 2 G1 I p1 G2 I p2 G1 I p1
T1 T2
MG2 I p2 G1I p1 G2 I p2
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小技巧
2
Dl2 2Dl1 Dl1 1 l2 l1 2l1
2 E 2 1 1 E1
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静不定结构的特点（1）
内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？
B C D B C
aa
A
刚度较大 内力较大
aa
A
刚度增加 内力不变
F
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a
1 2
a
3
D l3
l
d
D l1
2(Dl1 Dl2 ) d (Dl3 Dl1 )
即
A
D l2
B
Dl1 2Dl2 Dl3 d
3杆用理论长度计算变形
刚 体 FN2 a a B 刚 体
3、物理方程
Dl1
FN1
FN3
FN1l F l F l ，Dl2 N2 ，Dl3 N3 EA EA EA
O
②
①
F
a
B
O
A
B
l
D l1
l
D l2
Dl1
C
l
②
b
A
Dl 2 2Dl1 sin 45
l
l
l
FN1 2l FN2 l 2 EA sin a cos a EA sin b cos b
FN1 sin 2a FN2 sin 2b
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Dl1 Dl 2 2 sin a sin b
Dl1 FN1 F 2l l ( )，Dl2 N2 ( ) EA cos a EA cos b
CB
T2b M Bb GI p GI p
代入上式
AC
T a ( M A )a 1 GI p GI p
建立补充方程 联立求解方程(a)与(b)
M A a M Bb 0
MA
(b)
Mb Ma ， MB ab ab
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设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这时把一个 薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除M。设轴和圆筒的抗扭刚度 分别是G1Ip1和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。 T2
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OAB为刚性梁，①、②两杆材料相同， EA2=2EA1。求②杆与①杆的应力之比。
解：变形协调关系
450 ① ②
Dl 2 2Dl1 0 sin 45
即
O a
D l1
A a
D l2
B
F
Dl2 2Dl1
由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联 立求出两杆轴力，再求应力后得结果。
∆l2
（ c）
∆l3
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5
还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。 FN1
∆l1
FN2
FN3
∆l2
∆l3
（a）
∆l1 ∆l2 ∆l3
（a）
F FN3
对应受力图
FN1
FN2
（b）
（b）
F FN3
FN1
∆l1 ∆l2
FN2
（ c）
∆l3
（ c）
F
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EA FN2 l cos q Dl 3 EA
B
2 1
C
3
D
Dl1 Dl2
qq
l
d
A
注意1杆变形计算时用l
物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得
2cos3 q d cos 2 q d FN1 EAFN2 =FN3 EA() 3 3 1 2cos q l 1 2cos q l
FN1
A
D l1
a
FN2
b
c
FN3
a
B
1 2
d
D l2
b
3
F
D l3
c
l
A
d
刚 体
B
解：平衡方程为
FN1+FN2+FN3－F=0
FN1a+Fc －FN3b=0
F
变形协调方程为
Dl2 d Dl1 a Dl3 Dl1 a b
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FN1l Dl1 a1DTl E1 A1
A
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4、补充方程
FN1l 2 FN2l FN3l + + d EA EA EA
补充方程与平衡方程联立解得: FN1 FN3
d EA
6l
；FN2
d EA
3l
()
1 3
dE
6l
； 2
dE
3l
AB为刚性梁，写出所需方程。 变形协调关系 Dl2 (d Dl1 ) 2 sin 450 平衡方程
5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得补充方程。
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图示静不定结构， 可列如右变形图。
几何方程
∆l1
∆l2
∆l3
2Dl2=Dl1 +Dl3
（a） a
1 2
a
3
∆l1
∆l2 ∆l3
2(Dl2+Dl1 ) = Dl3 +Dl1
（b）
刚 体
F
∆l1
2(Dl2+Dl3 ) =Dl1 +Dl3
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1
3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差，
也是需要补充的方程数目。
未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 4－2 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构
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2
4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束，若没有这 些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定)
物理方程为
FN1 A D l1
a
FN2 b c
FN3
F l Dl2 N2 a 2 DTl E2 A2 F l Dl3 N3 a 3DTl E3 A3
d
D l2
B
F
D l3
物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得： FN1=7.92kN，FN2=10. 2kN，FN3=21.9kN 由此求得应力为
2l
A 2 FN1l FN2l FAy 2a l Dt EA EA F 4 EAaDt 4 EaDt N1 1
FN2
5 5 结合平衡方程，求得 2 2 FN2 EAaDt 2 EaDt 5 5
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1=39.6MPa，2=102MPa，3=73MPa
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§6.3 扭转超静定问题
试求图示轴两端的约束力偶矩。 解: 受力分析,建立平衡方程
Mx 0 M A MB M 0
(a)
未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一次超静定
变形分析,列变形协调方程
AB AC CB 0
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2cos3 q d cos 2 q d 1 E 2 = 3 E 3 3 1 2cos q l 1 2cos q l
注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短 , 应为压力。
FN2 FN1
q q
FN3
FN2
FN1
q q
FN3
A
A
正确
不正确
第六章 简单超静定问题
§6.1～§6.2 概述及拉压静不定问题
一、静定静不定概念 1、静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部未知力， 这类问题称为静定问题.
实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。
2、静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未知力，
又称超静定问题。
实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。
装配应力是不容忽视的，如：d/l=0.001， E=200GPa， q=30° 1 =113MPa ，2 = 3 =－65.2MPa
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图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短d，求各杆装配应力。
解：1、平衡方程
FN1－FN2+FN3=0 FN1=FN3 2、几何方程
D FN1
F
l
变形协调方程
Dl3 Dl2 cot 300 0 sin 30 Dl2 (Dl1 ) 0 0 cos 30 D l tan 30 2 sin 300
Dl Dl3 A 2
300
Dl1
FN2 FN3
A
300
F
300 300 300
化简得
3Dl2 Dl1 Dl3
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物理关系为
Dl1
FN1
2 2 l FN3 l 3 ，Dl FN 2l ，Dl 3 2 3 EA 1.5EA 2EA
代入变形协调方程得补充方程
2FN2 2FN1 FN3
联立平衡方程求得
14 2 3 FN1 F 0.76 F 23
FN2 3 32 F 0.14F 23
23
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§6.4
弯曲简单超静定问题
一、相当系统的建立
1、相当系统的特点： 静定结构； 含有多余约束力； 主动力与原结构相同。 2、建立相当系统的步骤： 判断静不定次数； 解除多余约束，代之以多余约束力； 其余照原问题画。
32 2 3 FN3 F 1.24 F () 23
求拉压静 不定结构 注意事项
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内力假设与变形假设应一致。 内力假设受拉，变形只能假设伸长。 内力假设受压，变形只能假设缩短。
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8
OAB为刚性梁，写几何方程。
450 ①
OAB为刚性梁， ①、②两杆材料相同， 抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。 F
F
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静不定结构的特点（2） ——装配应力
B C B D
C
A
A
静定结构 ——无装配应力
静不定结构 ？——产生装配应力
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已知三根杆EA相同，1杆有制造误差d， 求装配后各杆的应力。
解：因制造误差，装配时各杆必须变形， 因此产生装配内力。 FN1 FN2 FN3 一次静不定问题。 q q 平衡方程：FN2=FN3 FN1－2FN2cosq=0 A 几何方程：Dl1＋Dl2 / cosq =d 物理方程： Dl1 FN1l Dl2
5、多余约束力：多余约束提供的约束力。 静不定次数 = 多余约束力数目
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3
二、拉压静不定问题的解法
1、判断静不定次数； 2、列静力平衡方程； 3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系(变形协调方
程)，具体问题具体分析，一般通过“变形几何图”列方程。
特别注意：力与变形相对应！！ （即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应） 4、列物理方程：变形与力的关系；
M
A
M
B
T1
百度文库
解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶M解除后，圆轴必然力图恢 复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭 矩 T1和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡 方程为 T1-T2=0
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M
M
2

1
焊接前轴在M作用下的扭转角为
当温度变化为 Dt =t2-t1 时，杆件因温度变化而产生的变形为：
Dlt a l Dt
式中：a ——材料的线膨胀系数。
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图示结构，EA及线膨胀系数a相同的两杆①和②与刚体相连，当杆① 温度升高Dt度时，两杆的内力和应力分别为多少？ Dl1 解：受力图如图示（设二杆均受压）