线性规划及其对偶
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题中提炼数学模型的一般型（General）；便于转化为对偶 问题的规范型（Standard），以及用于单纯形法求解的标 准型（Canonical）。要知道了一般型，便很容易变换为规 范型及标准型。
第二讲（2） 用对偶分析原问题最 优解
§1 初步分析线性规划解的几种可能 性
§2 线性规划解的求解方法之一：图 解法
§1 初步分析线性规划解的几种可能 性 （2）
2．存在可行解，但找不到最优解，例如规划 x1－x2=0 x1，x2≥0
(目标函数)
写成矩阵形式为
§2原问题与对偶问题的对应关系（2）
其中，
§2原问题与对偶问题的对应关系（3）
2、相应的对偶问题表达式为：
（约束）
y1，y2不限制 写成矩阵形式
（目标函数）
§2原问题与对偶问题的对应关系（4）
其中，
由此例看出，线性规划AX=b，X ≥0，
的对偶问题，
即为
，
。
3、原问题与对偶问题的转换，对称
若把上例原问题的约束条件由等式变为不等式，则对偶问题的
自变量取值由无限制变为有限制，即原问题变为
（约束）
（目标函数）
§2原问题与对偶问题的对应关系（5）
则对偶问题变为：
（约束）
（目标函数）
于是作为一般形式，二者关系可归纳如下。 对于原问题定义为： 约束条件
当iI1
§2原问题与对偶问题的对应关系（6）
§3 对偶性质及平衡定理
§1 初步分析线性规划解的几种可能 性 （ห้องสมุดไป่ตู้）
已知线性规划的标准形式为 AX=b, X≥O, CTX=min
满足前2条的解为可行解，同时又满足第3条的为最优解。 从解的性质看，线性规划有下述几种可能：
1．不存在可行解或无解，例如规划
x1≥ 0
x1=－１ 无可行解 3 x1=min
§1 对偶问题的现实来源（3）
2、反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租 机器用于接受外加工，只收加工费，那未４种机器的机时 如何定价才是最佳决策？
也许有人会马上回答，定价愈高，收益愈大，故必是最 佳决策。然而这是错误的，因为定价太高，势必失去顾客， 从而也必减少收益，在市场竞争的时代，厂长的最佳决策 显然应符合两条：
（不吃亏原则）
yj 0， j=1,2,3,4
（定价必为正） (目标函数，使收费最低)
§1 对偶问题的现实来源（5）
把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会
发现一个有趣的现象。
表2 原问题与对偶问题对比表
甲（x1） 乙（x2）
A（y1） 2 2
B（y2） 1 2
C（y3） 4 0
D（y4） 0 4
Y=y1,…,ym
自变量限制 目标函数
=cj yi≥0
yi不限
当jJ1 当jJ2 当iI1 当iI2
§3 线性规划的规范型（1）
旧规范型：
其相应的对偶问题必为：
§3 线性规划的规范型（2）
特定义一个新的线性规划规范型如下：
约束 目标函数
X 0 或不限
则相应的对偶问题形式为
约束
目标函数
Y 0 或不限
1、问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多 少件才能获得最大利润？试列出相应线性规划数学模型。
设，甲及乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为：
2x1＋2x2 ≤12
x1+2x2 ≤8 (机时限制)
4x1 ≤16
4x2 ≤12
xj≥0 j=1,2
(变量限制，产品量必为正)
ｚ＝2x1＋3x2＝max （目标函数，使利润最大）
§1 对偶问题的现实来源（1）
设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B， C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的 利润值及每种设备的可利用机时数列于表１。 表1 产品数据表
设备
产品利润
产品
A
B
C
D
（元／件）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
设备可利用
机时数（时） 12
8
16
12
§1 对偶问题的现实来源（2）
§3 线性规划的规范型（3）
下面主要介绍新规范型之变换及如何写出对偶规则。 本文不加说明，规范型是指新型范型。
举例，写出下述线性规划的规范型：
变换为规范型如下： 则令得x’3= -x3把“≤”变为“≥”，把“max”变为“min”，
§3 线性规划的规范型（4）
按照前面定义，知： I={1,2,3}，J={1,2,3}， I1={1,2}，I2={3}， J1={1,3}，J2={2} 于是相应的对偶形式为：
12
8
16
12
2 3
minω
max z
表2，直接去看是原问题，将它转900看便是对偶问题。当 然，对偶是相互的，若把表转900看成是问题，则原表亦可 看成是相应的对偶问题。
§2原问题与对偶问题的对应关系（1）
1、原问题表达式(结合实例)，不对称 例如，给定一线性规划为
(约束)
x10，x2 0， x3 0
（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、 乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式 约束条件。
§1 对偶问题的现实来源（4）
（2）竞争性原则，即在上述不吃亏原则下，尽量降低机 时总收费，以便争取更多用户。 设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新 的线性规划数学模型为：
§4 对偶线性规划规范型及其变换 （略）
§5 线性规划的标准型及其转换（1）
为适应单纯形法求解，必须把线性模型变为下述标准形式：
AX=b, X≥0, CTX=min 或 AX=b, X≥0，CTX=max
不加说明，本文指前一种形式
§5 线性规划的标准型及其转换（2）
由线性规划一般型变为规范型（新规范型）方法前已阐明， 现介绍如何把规范型变为标准型。 1．若出现
则增加剩余变量zi, 使“≥”变为“=”得
xj≥0，zi≥0
§5 线性规划的标准型及其转换（3）
2．若出现xj不限，即－∞<xi<∞,(jJ2) 则令
xj=uj－vj
(jJ2),uj≥0，vj≥0
这样，便使所有约束变为等式，且自变量全大于或等于0。
综合上述，线性规划主要有三种表达形式：便于从实际问
= bi
当iI2
其中，I1，I2是整集I中的拆集，I=I1∪I2={1,2,…，m}。
自变量限制xj≥0 当 j J1
J1 J ={1,2,…,n}
若J1为空集，则无符号约束（即自变量无限制） 若J1=J，则所有xj≥0 目标函数
§2原问题与对偶问题的对应关系（7）
则，相应的对偶问题定义为：
令对偶变量 约束条件
第二讲（2） 用对偶分析原问题最 优解
§1 初步分析线性规划解的几种可能 性
§2 线性规划解的求解方法之一：图 解法
§1 初步分析线性规划解的几种可能 性 （2）
2．存在可行解，但找不到最优解，例如规划 x1－x2=0 x1，x2≥0
(目标函数)
写成矩阵形式为
§2原问题与对偶问题的对应关系（2）
其中，
§2原问题与对偶问题的对应关系（3）
2、相应的对偶问题表达式为：
（约束）
y1，y2不限制 写成矩阵形式
（目标函数）
§2原问题与对偶问题的对应关系（4）
其中，
由此例看出，线性规划AX=b，X ≥0，
的对偶问题，
即为
，
。
3、原问题与对偶问题的转换，对称
若把上例原问题的约束条件由等式变为不等式，则对偶问题的
自变量取值由无限制变为有限制，即原问题变为
（约束）
（目标函数）
§2原问题与对偶问题的对应关系（5）
则对偶问题变为：
（约束）
（目标函数）
于是作为一般形式，二者关系可归纳如下。 对于原问题定义为： 约束条件
当iI1
§2原问题与对偶问题的对应关系（6）
§3 对偶性质及平衡定理
§1 初步分析线性规划解的几种可能 性 （ห้องสมุดไป่ตู้）
已知线性规划的标准形式为 AX=b, X≥O, CTX=min
满足前2条的解为可行解，同时又满足第3条的为最优解。 从解的性质看，线性规划有下述几种可能：
1．不存在可行解或无解，例如规划
x1≥ 0
x1=－１ 无可行解 3 x1=min
§1 对偶问题的现实来源（3）
2、反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租 机器用于接受外加工，只收加工费，那未４种机器的机时 如何定价才是最佳决策？
也许有人会马上回答，定价愈高，收益愈大，故必是最 佳决策。然而这是错误的，因为定价太高，势必失去顾客， 从而也必减少收益，在市场竞争的时代，厂长的最佳决策 显然应符合两条：
（不吃亏原则）
yj 0， j=1,2,3,4
（定价必为正） (目标函数，使收费最低)
§1 对偶问题的现实来源（5）
把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会
发现一个有趣的现象。
表2 原问题与对偶问题对比表
甲（x1） 乙（x2）
A（y1） 2 2
B（y2） 1 2
C（y3） 4 0
D（y4） 0 4
Y=y1,…,ym
自变量限制 目标函数
=cj yi≥0
yi不限
当jJ1 当jJ2 当iI1 当iI2
§3 线性规划的规范型（1）
旧规范型：
其相应的对偶问题必为：
§3 线性规划的规范型（2）
特定义一个新的线性规划规范型如下：
约束 目标函数
X 0 或不限
则相应的对偶问题形式为
约束
目标函数
Y 0 或不限
1、问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多 少件才能获得最大利润？试列出相应线性规划数学模型。
设，甲及乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为：
2x1＋2x2 ≤12
x1+2x2 ≤8 (机时限制)
4x1 ≤16
4x2 ≤12
xj≥0 j=1,2
(变量限制，产品量必为正)
ｚ＝2x1＋3x2＝max （目标函数，使利润最大）
§1 对偶问题的现实来源（1）
设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B， C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的 利润值及每种设备的可利用机时数列于表１。 表1 产品数据表
设备
产品利润
产品
A
B
C
D
（元／件）
甲
2
1
4
0
2
乙
2
2
0
4
3
设备可利用
机时数（时） 12
8
16
12
§1 对偶问题的现实来源（2）
§3 线性规划的规范型（3）
下面主要介绍新规范型之变换及如何写出对偶规则。 本文不加说明，规范型是指新型范型。
举例，写出下述线性规划的规范型：
变换为规范型如下： 则令得x’3= -x3把“≤”变为“≥”，把“max”变为“min”，
§3 线性规划的规范型（4）
按照前面定义，知： I={1,2,3}，J={1,2,3}， I1={1,2}，I2={3}， J1={1,3}，J2={2} 于是相应的对偶形式为：
12
8
16
12
2 3
minω
max z
表2，直接去看是原问题，将它转900看便是对偶问题。当 然，对偶是相互的，若把表转900看成是问题，则原表亦可 看成是相应的对偶问题。
§2原问题与对偶问题的对应关系（1）
1、原问题表达式(结合实例)，不对称 例如，给定一线性规划为
(约束)
x10，x2 0， x3 0
（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、 乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式 约束条件。
§1 对偶问题的现实来源（4）
（2）竞争性原则，即在上述不吃亏原则下，尽量降低机 时总收费，以便争取更多用户。 设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新 的线性规划数学模型为：
§4 对偶线性规划规范型及其变换 （略）
§5 线性规划的标准型及其转换（1）
为适应单纯形法求解，必须把线性模型变为下述标准形式：
AX=b, X≥0, CTX=min 或 AX=b, X≥0，CTX=max
不加说明，本文指前一种形式
§5 线性规划的标准型及其转换（2）
由线性规划一般型变为规范型（新规范型）方法前已阐明， 现介绍如何把规范型变为标准型。 1．若出现
则增加剩余变量zi, 使“≥”变为“=”得
xj≥0，zi≥0
§5 线性规划的标准型及其转换（3）
2．若出现xj不限，即－∞<xi<∞,(jJ2) 则令
xj=uj－vj
(jJ2),uj≥0，vj≥0
这样，便使所有约束变为等式，且自变量全大于或等于0。
综合上述，线性规划主要有三种表达形式：便于从实际问
= bi
当iI2
其中，I1，I2是整集I中的拆集，I=I1∪I2={1,2,…，m}。
自变量限制xj≥0 当 j J1
J1 J ={1,2,…,n}
若J1为空集，则无符号约束（即自变量无限制） 若J1=J，则所有xj≥0 目标函数
§2原问题与对偶问题的对应关系（7）
则，相应的对偶问题定义为：
令对偶变量 约束条件