函数专题：数学归纳法

函数专题：数学归纳法

梁久阳

一．基本步骤：

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n 有关的命题P(n)，有如下步骤：

（1）证明当n 取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k （k ≥n0，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），命题P(n)都成立。 （二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立；

（2）假设n0≤n<=k 时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），命题P(n)都成立。 （三）倒推归纳法（反向归纳法）：

（1）验证对于无穷多个自然数n 命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k ，k ≥1）；

（2）假设P(k+1)（k ≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立， 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），命题P(n)都成立； （四）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立；

（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），P(n)，Q(n)都成立。 二．实际应用

（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 （3）证明数列前n 项和与通项公式的成立。 （4）证明和自然数有关的不等式。 等等。

数学归纳法其实是一件很有用的工具，如果能够使用得当的话，会使解决问题的难度大大降低。

三．试题研究

（1）直接证法与数学归纳法的比较

①所谓直接证法，便是置n 的任何具体值于不顾，仅仅把它看成是一个任意的自然数，也就是说，假定它只具备任何自然数都具备的共同性质，并在这样的基础上进行推导。 【例3】 证明：对任何自然数n ，如下的等式都能成立： 证明：我们有

2

1+cosx+cos2x+…+cosnx=x

sin x

n sin 2

1221

）（

=

x

sin 2

121（sin

21x+2cosxsin 21x+2cos2xsin 21x+…+2cosnxsin 2

1

x ） 利用积化和差公式

2cos αsin β=sin （α+β）-sin （α-β） 即知 sin

21x+2cosxsin 21x+2cos2xsin 21x+…+2cosnxsin 2

1x =sin

21x+(sin 23x-sin 21x)+(sin 25x-sin 23x)+…+(sin(n+21)x-sin （n-21

）x) =sin(n+

2

1

)x 综合上述等式即得所证，可见不论n 为任何自然数，所证的恒等式都能成立。这就是我们所说的“置n 的任何具体值于不顾”的含义。

②运用数学归纳法，也可以使像例1这样一些可以通过直接证法证明的问题得到解决。

例1又证 当n=1时，我们有

左式=

2

1

+cosx 右式=x sin x sin 21223=x

sin x sin 4-x 3sin 2

1221213）（）（ =

23-2sin ²21x=23

-(1-cosx)

=

2

1

+cosx 所以对于n=1，等式是成立的。 假设对于n=k ，等式成立，即有

2

1+cosx+cos2x+…+coskx=x

sin x

k sin 2

1221

）（

我们要来证明对于n=k+1,等式也成立。我们有

2

1

+cosx+cos2x+…+coskx+cos （k+1）x

=x

sin x

k sin 21221

）（++cos(k+1)x =

x

sin x

21

1)xsin 2cos(k x k sin 2

1221+++）（ =x

sin x)

k sin -x k (sin x k sin 2

1221

2321）（）（）（++++

=x

sin x

k sin 2

1223

）（+ =x

sin x 1)k sin 2

1221⎥⎦⎤⎢⎣⎡

++）（

所以，对于n=k+1，等式也成立。从而对一切自然数n ，等式都成立。

我们可以比较一下直接证法与数学归纳法，我个人认为，直接证法虽然漂亮，但比较难想，一试时没有充裕的时间，因此很难想出来。相反，数学归纳法简洁明了，步骤清晰，很容易想到。由此看来，这种解题方式确实有着它独特的优越性。 （2）学会从头看起 有时，为了实现归纳过渡，我们在证明n=1成立的同时，还要证明n=2,3…使命题在n=k+1时更容易做出。下面便是一例： 【例3】

设正数数列{

}满足关系式

²≤

-+1,证明，对一切n ∈N ，有

＜

n

1。 证明：n=1的情形显然，而当n=2时，由于a 2≤a 1-a 1²=

41-(21-a 1)²＜2

1

知断言也成立。假设当n=k 时，断言成立，即有a k ＜

k

1

，则当n=k+1时，有 a k +1≤a k -a k ²=

41-(21-a k )²≤41-（21-k 1）²=k 2-k 1＜1

21-k -k =11+k

知断言也成立。因此由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＜

n

1

。