函数专题：数学归纳法
函数的连续性、数学归纳法
课时5 函数的连续性一、复习目标了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值最小值的性质. 二、例题讲解例1．已知函数⎩⎨⎧>≤=)1|(|1)1|(|)(x x x x f 且有如下结论：①)(x f 在点1=x 处连续；②)(x f 在点1-=x 处连续；③)(x f 在点1=x 处极限不存在；④)(x f 在点1-=x 处极限不存在.其中正确的有___①④___.例2．指出下列函数的不连续点：（1）231)(22+--=x x x x f ；（2）x x x f tan )(=；⎩⎨⎧>-≤-=)1(,3)1(,1)(x x x x x f .解：（1）由0232=+-x x ，得2,1==x x ，所以函数的不连续点为2,1==x x . （2）当)(Z k k x ∈=π时，0tan =x ，分母为0，当)(2Z k k x ∈+=ππ，x tan 不存在，所以函数的不连续点为πk x =和)(2Z k k x ∈+=ππ.例3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<=),21(1),1(21),10()(x x x x x f（1）求)(x f 在点1=x 处的左、右极限.函数)(x f 在1=x 处是否有极限？ （2）函数)(x f 在点1=x 处是否连续？ （3）确定函数)(x f 的连续区间.解：（1）.11lim )(lim ,1lim )(lim 1111====++--→→→→x x x x x f x x f ∵)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→=， ∴函数函数)(x f 在1=x 处极限存在，且1)(lim 1=→x f x .（2）∵1)(lim 1=→x f x ，且21)1(=f ，∴)1()(lim 1f x f x ≠→.∴函数)(x f 在点1=x 处不不连续. （3）函数)(x f 的连续区间是(0,1),(1,2).例4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)3(6sin )3)(1(log )(22x x k x x x f π，在3=x 处连续，试确定k 的值. 解：∵3)1(log lim )(lim 2233=-=→→x x f x x ，又k k f =⋅=)36s i n ()3(π，而在3=x 处连续，∴)3()(lim 3f x f x =→，即3=k三、同步练习：《高考三人行—学生用书》P344课时6 数学归纳法一、复习目标掌握数学归纳法证题的两个步骤，能运用数学归纳法证题，有初步的猜想归纳能力. 二、例题讲解例1．设)(21312111)(*N n nn n n n f ∈+++++++= ，那么)()1(n f n f -+等于（ D ） A ．121+n B ．221+n C ．121+n +221+n D ．121+n -221+n例2．某个命题与正整数有关，若)(*N k k n ∈=时，该命题成立，那么可推得当1+=k n 时该命题也成立，现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当6=n 时该命题不成立B ．当6=n 时该命题成立C ．当4=n 时该命题不成立D ．当4=n 时该命题成立解：如果4=n 时命题成立，那么由题设，5=n 时命题也成立.上面的判断作为一个命题，那么它的逆否命题是：如果5=n 时命题不成立，那么4=n 时命题也不成立.原命题成立，它的逆否命题一定成立，故选C.例3．*N n ∈，求证：nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- .证明：略例4．证明不等式：*)(2131211N n n n∈<++++证明：略例5．已知93)72()(+⋅+=n n n f ，是否存在自然数m ，使得对任意，都能使m 整除)(n f ，如果存在，求出最大的m 值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.解：1224)4(,360)3(,108)2(,36)1(====f f f f ，猜想能整除)(n f 的最大整数是36. 下面证明)(n f 能被36整除，（1）当1=n 时，36)1(=f 能被36整除；（2）假设当k n =时，)(k f 能被36整除，则当1+=k n 时，)13(18]93)72[(393]7)1(2[)1(11-++⋅+=+⋅++=+-+k k k k k k f由归纳假设]93)72[(3+⋅+kk 能被36整除，而131--k 时偶数，∴)13(181--k 能被36整除，∴)1(+k f 能被36整除. 由（1）、（2）得)(n f 能被36整除，由于36)1(=f ，所以能整除)(n f 的最大整数是36.三、同步练习：已知点的序列)0,(n n x A ，*N n ∈，其中)0(,021>==a a x x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，….（1）写出n x 与1-n x 、2-n x 之间的关系式（3≥n ）；（2）设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测数列}{n a 的通项公式，并加以证明； （3）求.解：（1）当3≥n 时，221--+=n n n x x x . （2）22,1212232121ax x x x x a x x a -=-+=-==-= 42323343ax x x x x a =-+=-=，由此猜测)()21(*1N n a a n n ∈-=-.证法一：因为01>=a a ，且2221111---+-=--=-+=-=n n n n n nn n n ax x x x x x x a （2≥n ），所以)()21(*1N n a a n n ∈-=-.证法二：数学归纳法（3）当3≥n 时，有112211)()()(x x x x x x x x n n n n n +-++-+-=--- 121a a a n n +++=-- ， 由（2）知}{n a 是公比为21-的等比数列，所以a a x n n 32211lim 1=+=∞→.。
数学思想方法专题二(待定系数法、定义法数学归纳法)
数学思想方法专题二（待定系数法、定义法）一．待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。
使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：①利用对应系数相等列方程；②由恒等的概念用数值代入法列方程；③利用定义本身的属性列方程；④利用几何条件列方程。
例1已知函数y＝mx x nx22431+++的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
例2．设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线y＝2x＋7和抛物线截得的线段长是410, 求抛物线的方程。
练习一1.设f(x)＝x2＋m，f(x)的反函数f 1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. 52, －2 B. －52， 2 C.52, 2 D. －52，－22.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－12,13)，则a＋b的值是_____。
A. 10B. －10C. 14D. －143.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。
高一知识点归纳数学公式总结大全
高一知识点归纳数学公式总结大全一、代数与函数1. 二次方程的解法：- 一元二次方程 ax²+bx+c=0 的解法为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)。
- 当 b²-4ac = 0 时，方程有一个重根；当 b²-4ac > 0 时，方程有两个不等实根；当 b²-4ac < 0 时，方程有两个共轭复根。
2. 一次函数的斜率与截距：- 一次函数的标准方程为 y = kx + b，其中 k 为直线的斜率，b 为直线与 y 轴的截距。
- 两点 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 间的斜率 k = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
3. 二次函数的顶点和轴对称：- 二次函数的标准方程为 y = ax²+bx+c，其中 (h, k) 表示顶点的坐标。
- 顶点的 x 坐标为 h = -b/(2a)，y 坐标为 k = ah²+bh+c。
- 二次函数的图像关于直线 x = -b/(2a) 对称。
4. 绝对值函数的性质：- 绝对值函数 f(x) = |x| 分两段定义，当 x>=0 时，f(x) = x；当 x<0 时，f(x) = -x。
- 绝对值函数的图像为以原点为对称中心的 V 字形曲线。
- 绝对值函数是奇函数，即 f(x) = -f(-x)。
5. 指数函数的运算性质：- 指数函数aⁿ⁽⁻ᵐ⁾= aⁿ/aᵐ，aⁿ⋅aᵐ= aⁿ⁺ᵐ。
- 指数函数aⁿ/aⁿ⁽⁻ᵐ⁾ = aᵐ。
- 指数函数(aⁿ)ᵐ= aⁿ⁻ᵐ。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列的通项公式：- 等差数列的通项公式为 an = a₁+(n-1)d，其中 a₁为首项，d 为公差，an 表示第 n 项。
2. 等差数列的前 n 项和公式：- 等差数列的前 n 项和公式为 Sn = (a₁+an)n/2，其中 Sₙ 表示前 n 项和。
3. 等比数列的通项公式：- 等比数列的通项公式为 an = a₁⋅r⁽ⁿ⁻¹⁾，其中 a₁为首项，r 为公比，an 表示第 n 项。
高中数学：函数解析式的十一种方法
高中数学：函数解析式的十一种方法一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法七、利用给定的特性求解析式.六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法一、定义法：【例1】设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f =6)1(5)1(2++-+x x 65)(2+-=∴x x x f【例2】设21)]([++=x x x f f ，求)(x f . 【解析】设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([xx f +=∴11)(【例3】设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .【解析】2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f【例4】设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.【解析】)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
【例1】 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 【解析】设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 【例2】已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .【解析】显然，)(x f 是一个一元二次函数。
高二数学公式总结
高二数学公式总结高二数学公式总结一、函数与方程1. 一次函数：y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
3. 反函数：若y = f(x)，则x = f^(-1)(y)。
4. 三角函数：正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)，余切函数cot(x)。
5. 幂函数：y = x^a，其中a为常数。
6. 对数函数：y = loga(x)，其中a为底数。
7. 指数函数：y = a^x，其中a为底数。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列通项公式：an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
3. 等差数列前n项和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
4. 等比数列前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中n为项数，a1为首项，q为公比。
5. 数学归纳法：若能证明当n=k时命题成立，且当n=k+1时，命题成立，则对于所有自然数n，命题均成立。
三、几何1. 相似三角形：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角度。
3. 余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
4. 钝角余弦定理：c^2 > a^2 + b^2 - 2ab*cosC。
5. 射影定理：在直角三角形中，斜边上的垂直射影等于斜边与直角边的乘积。
6. 平行四边形性质：对角线互相平分，对角线互相交于中点，对角线长度平方和等于边长平方和的两倍。
7. 三角形面积公式：S = 1/2 * a * b * sinC，其中a、b为两边长，C为夹角。
如何合理利用数学归纳法得出结论
如何合理利用数学归纳法得出结论一、数学归纳法的基本概念知识点：数学归纳法的定义知识点：数学归纳法的基本步骤知识点：数学归纳法的适用范围二、数学归纳法的步骤及应用知识点：验证基础情况知识点：假设命题在某一情况下成立知识点：证明命题在下一情况下也成立知识点：归纳结论三、数学归纳法的常见题型知识点：数列问题知识点：函数问题知识点：几何问题知识点：组合问题四、数学归纳法的解题技巧知识点：善用数学归纳法的性质知识点：灵活运用数学归纳法知识点：注意归纳假设的合理性知识点：避免数学归纳法的滥用五、数学归纳法在实际应用中的案例分析知识点：求解等差数列的求和公式知识点：证明恒等式知识点：解决函数的性质问题知识点：分析几何图形的性质六、数学归纳法在学习中的重要性知识点：培养逻辑思维能力知识点：提高数学证明能力知识点：锻炼问题解决能力知识点：深化对数学知识的理解七、数学归纳法的拓展与延伸知识点：数学归纳法的变种知识点：数学归纳法与其他证明方法的结合知识点：数学归纳法在高等数学中的应用知识点：数学归纳法是一种强大的数学证明方法知识点：掌握数学归纳法的步骤和应用知识点：善于运用数学归纳法解决实际问题知识点：不断探索数学归纳法的拓展与延伸习题及方法：1.习题：证明对于所有的自然数n，等式n^2 + n + 41总是能够被41整除。
解答思路：使用数学归纳法，首先验证基础情况n=0时等式成立，然后假设对于某个自然数k，等式成立，即k^2 + k + 41能被41整除，接着证明当n=k+1时等式也成立。
答案：等式n^2 + n + 41可以被41整除。
2.习题：求解等差数列1, 3, 5, …, 2n+1的和。
解答思路：使用数学归纳法，首先验证基础情况n=1时等式成立，即1=1，然后假设对于某个自然数k，等式成立，即1+3+5+…+(2k+1)=k^2+k，接着证明当n=k+1时等式也成立。
答案：等差数列1, 3, 5, …, 2n+1的和为n^2 + n。
数学归纳法(各种全)
解：设椭圆221mx ny +=，则4191m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得335835m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆方程为223813535x y +=.六、数学归纳法（一）数学归纳法应用关于正整数的命题的证明可以用数学归纳法.本部分的数学归纳法指的是第一数学归纳法.第一数学归纳法的思维方法是：命题在1n =成立的条件下，如果n k =时命题成立能够推出1n k =+时命题也成立，我们就可以下结论，对于任意正整数命题都成立.1.证明等式典型例题：证明222112(1)(21)6n n n n ++⋅⋅⋅+=++，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边211==，右边11(11)(21)16=⨯⨯++=，等式成立.(2)假设n k =时等式成立，即222112(1)(21)6k k k k ++⋅⋅⋅+=++.则当1n k =+时，左边22222112(1)(1)(21)(1)6k k k k k k =++⋅⋅⋅+++=++++1(1)(2)(23)6k k k =+++1(1)[(1)1][2(1)1]6k k k =+++++=右边，即1n k =+时等式成立.根据（1）（2）可知，等式对于任意n N *∈都成立.2.证明不等式典型例题 1.证明1111223n n+++⋅⋅⋅+<，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，左边1=，右边2=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即1111223k k+++⋅⋅⋅+<，则当1n k =+时，左边11111122311k k k k =+++⋅⋅⋅++<+++，右边21k =+.要证左边<右边，536只需证12211k k k +<++，而此式2112(1)k k k ⇔++<+2121k k k ⇔+<+24(1)(21)01k k k ⇔+<+⇔<，显然01<成立，故1n k =+时不等式也成立.综上所述，不等式对任意n N *∈都成立.典型例题2.已知,0a b >，a b ≠，n N ∈，2n ≥，证明()22n nn a b a b ++<.证明：（1）当2n =时，2222222222()2442a b a ab b a b a b +++++=<=，不等式成立.（2）假设n k =时不等式成立，即()22k kk a b a b ++<，则当1n k =+时，左边1()2k a b ++11224k k k k k k a b a b a b a b ab +++++++<⋅=，因为11()()k k k ka b a b ab +++-+()()k k a b a b =--0>，所以11k k k k a b ab a b +++<+，则111142k k k k k k a b a b ab a b ++++++++<，即111()22k k k a b a b +++++<，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式对任意n N ∈，2n ≥都成立.3.证明整除性问题典型例题：证明22nn ab -能被a b +整除，其中n N *∈.证明：（1）当1n =时，显然22a b -能被a b +整除.（2）假设n k =时命题成立，即22k k a b -能被a b +整除，则当1n k =+时，2(1)2(1)2(1)2(1)2222k k k k k k a b a b a b a b ++++-=-+-222222()()k k k a a b b a b =-+-，因为22a b -与22k k a b -都能被a b +整除，所以222222()()k kk a a b b a b -+-能被a b +整除，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.4.证明几何问题典型例题：求证平面内n 条直线的交点最多有1(1)2n n -个.证明：平面内n 条直线的交点最多，只需任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，下面在此条件下证明.（1）当2n =时，显然两条直线只有1个交点，而1(1)12n n -=，命题成立.537（2）假设n k =时命题成立，即平面内k 条直线的交点有1(1)2k k -个，则当1n k =+即平面上有1k +条直线时，因为任意三条直线不过同一点，任意两条直线不平行，所以第1k +条直线与原来的k 条直线共有k 个交点.这时交点的总个数为1(1)2k k k-+1(1)[(1)1)]2k k =++-，即1n k =+时命题也成立.综上所述，原命题成立.（二）其他数学归纳法除了第一数学归纳法以外，还有一些特别的数学归纳法.1.第二数学归纳法典型例题:设n N *∈，且12cos x x α+=，证明：12cos n n x n x α+=.证明：（1）当1n =时，12cos x xα+=，命题成立.当2n =时，21()x x +2212x x =++24cos α=，得2212cos 2x xα+=，命题成立.(2)假设n k ≤(2)k ≥时命题成立，则当1n k =+时，有111k k x x +++11111()()()k k k k x x x x x x--=++-+2cos 2cos 2cos(1)k k ααα=⋅--2[cos(1)cos(1)]2cos(1)k k k ααα=++---2cos(1)k α=+，故1n k =+时不等式也成立.由（1）（2）可知，命题成立.2.反向数学归纳法典型例题:函数:f N N **→满足（1）(2)2f =，（2）对任意正整数m 、n ，()()()f mn f m f n =，（3）当m n >时，()()f m f n >；证明：()f n n =.证明：令2m =、1n =，则(2)(2)(1)f f f =，故(1)1f =.令2m =、2n =，则22(2)(2)(2)2f f f ==；令22m =、2n =，则323(2)(2)(2)2f f f ==；由第一数学归纳法易证(2)2mmf =.下面用反向数学归纳法证()f n n =.（1）由上面推证知，存在无数个形如2m的数使()f n n =成立.（2）假设1n k =+时成立，即(1)1f k k +=+.因为存在t N *∈满足1212t t k +<+≤，则122t t k +≤<.设2t k s =+，s N *∈，则1112(2)(21)(22)(2)(21)(2)2t t t t t t t t f f f f s f f +++=<+<+<⋅⋅⋅<+<⋅⋅⋅<-<=.所以1(21),(22),,(2),,(21)t t t t f f f s f +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-是区间1(2,2)t t +内的21t -个不同的自然数，538而区间1(2,2)t t +内恰好有21t -个不同的自然数121,22,,2,,21t t t t s +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-，于是11(21)21,(22)22,,(21)21t t t t t t f f f +++=++=+⋅⋅⋅-=-，即()f k k =.由反向数学归纳法知，对任意n N *∈都有()f n n =.3.跷跷板数学归纳法典型例题:n S 是数列{}n a 的前n 项和，设223n a n =，213(1)1n a n n -=-+，n N *∈，求证：2211(431)2n S n n n -=-+及221(431)2n S n n n =++.证明：设()P n ：2211(431)2n S n n n -=-+；()Q n ：221(431)2n S n n n =++.（1）当1n =时，111S a ==，则(1)P 成立.（2）假设n k =时，则()P k 成立，即2211(431)2k S k k k -=-+，则2212k k k S S a -=+=221(431)32k k k k -++21(431)2k k k =++，即()Q k 成立.当()Q k 成立时，21k S +=221k k S a ++21(431)3(1)12k k k k k =+++++21(1)[4(1)3(1)1]2k k k =++-++，即(1)P k +成立.由跷跷板数学归纳法可知，原命题成立.4.二重数学归纳法典型例题:设(,)f m n 满足(,)(,1)(1,)f m n f m n f m n ≤-+-，其中,m n N *∈，1mn >，且(,1)(1,)1f m f n ==，证明：12(,)m m n f m n C -+-≤.证明：设命题(,)P m n 表示(,)f m n .（1）112(,1)1m m f m C -+-==，012(1,)1n f n C +-==，即(,1)P m 、(1,)P n 成立.（2）假设(1,)P m n +、(,1)P m n +成立，即1(1,)m m n f m n C +-+≤，11(,1)m m n f m n C -+-+≤.则(1,1)(1,)(,1)f m n f m n f m n ++≤+++11111(1)(1)2m m m m m n m n m n m n C C C C -+++-+-++++-≤+==，即(1,1)P m n ++也成立.由二重数学归纳法知，原不等式成立.539。
高中奥数_函数 不等式 数列 极限 数学归纳法
函数 不等式 数列 极限 数学归纳法一 能力培养1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨问题1数列{n a }满足112a =,212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,(n N *∈). (I)求{n a }的通项公式; (II)求1100nn a -的最小值; (III)设函数()f n 是1100nn a -与n 的最大者,求()f n 的最小值.问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件:1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,⋅⋅⋅),21a a ≠,1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,⋅⋅⋅),其中a 为常数,k 为非零常数.(I)令1n n n b a a +=-(n N *∈),证明数列{}n b 是等比数列; (II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞.问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ⋅ ,PM PN ⋅ ,NM NP ⋅成公差小于零的等差数列.(I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM 与PN的夹角,求tan θ.三 习题探讨 选择题1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *∈),则k 的取值范围是A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n na b = A,23 B,2131n n -- C,2131n n ++ D,2134n n -+ 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是A,1(0,2+B,1(2C,1[1,2D,11(22- 4在等差数列{}n a 中,1125a =,第10项开始比1大,记21lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是A,475t > B,837525t <≤ C,437550t << D,437550t <≤5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22221x y a b+=(0a b >>)上三个点,F 为焦点,若,,AF BF CF 成等差数列,则有A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,213211x x x =+ D,2213x x x =⋅ 6在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = .8223323232323236666n nn n S ++++=+++⋅⋅⋅+,则lim n n S →∞= . 9在等比数列{}n a 中,121lim()15n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,22n n a =.则这个数列的前2m 项之和2m S = .11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <,②96S S <,③7a 是各项中最大的一项,④7S 一定是n S 中的最大项,其中正确的是 . 解答题12已知23123()nn f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,且123,,n a a a a ⋅⋅⋅组成等差数列(n 为正偶数). 又2(1)f n =,(1)f n -=,(I)求数列的通项n a ;(II)试比较1()2f 与3的大小,并说明理由.13已知函数2()31f x x bx =++是偶函数,()5g x x c =+是奇函数,正数数列{}n a 满足11a =,211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=.(I)若{}n a 前n 项的和为n S ,求lim n n S →∞;(II)若12()()n n n b f a g a +=-,求n b 中的项的最大值和最小值.14. 已知等比数列{}n x 的各项不为1的正数,数列{}n y 满足log 2n n x y a ⋅=(0a >且1a ≠),设417y =,711y =.(I)求数列{}n y 的前多少项和最大,最大值是多少? (II)设2n yn b =,123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+,求25lim2nn S →∞的值.(III)试判断,是否存在自然数M,使当n M >时1n x >恒成立,若存在求出相应的M;若不存 在,请说明理由.15设函数()f x 的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数1x ,2x ,都有12()()f x f x -12x x <-,且存在0x ,使得00()f x x =,数列{}n a 中,10a x <,1()2()n n n f a a a n N +=-∈,求证:对于任意的自然数n ,有: (I)0n a x <; (II)1n n a x +<.参考答案:问题1解:(I)212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,得n S =2n n a当2n ≥时,1n n n a S S -=-=2n n a 21(1)n n a ---,有221(1)(1)n n n a n a --=-,即111n n a n a n --=+. 于是3241123112313451n n n a a a a a n a a a a a n --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=2(1)n n +.又112a =,得n a =1(1)n n +. 由于1a 也适合该式,故n a =1(1)n n +.(II)1100nn a -=299n n -=2(49.5)2450.25n -- 所以当49n =或50时,1100nn a -有最小值2450-. (III)因()f n 是1100nn a -与n 的最大者,有(1100)()1100(100)nn n f n n n a ≤≤⎧⎪=⎨-<⎪⎩,有min ()f n =(1)f =1.问题2(I)证明:由1210b a a =-≠,得2322121()()()0b a a f a f a k a a =-=-=-≠. 由数学归纳法可证10n n n b a a +=-≠(n N *∈). 而,当2n ≥时,1111111()()()n n n n n n n n n n n n n n b a a f a f a k a a k b a a a a a a +---------====--- 因此,数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. (II)解:由(I)知,11121()()n n n b kb k a a n N --*==-∈当1k ≠时,112211()(2)1n n k b b b a a n k--++⋅⋅⋅+=-≥-当1k =时,12n b b b ++⋅⋅⋅+=21(1)()n a a --(2n ≥)而12213211()()()(2)n n n n b b b a a a a a a a a n -++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-≥,有当1k ≠时,1n a a -= 1211()(2)1n k a a n k---≥-;当1k =时,1n a a -=21(1)()n a a --(2)n ≥.以上两式对1n =时也成立,于是当1k ≠时,11211()1n n k a a a a k --=+--= 11(())1n k a f a a k--=+--当1k =时,121(1)()n a a n a a =+--=(1)(())a n f a a +--.(III)解:当1k <时,11()lim lim[(())]11n n n n k f a aa a f a a a k k-→∞→∞--=+-=+--. 问题3解:(I)设点P(,x y ),由M (1,0)-,N (1,0)得(1,)PM MP x y =-=--- ,(1,)PN NP x y =-=-- ,(2,0)MN NM =-=有2(1)MP MN x ⋅=+ ,221PM PN x y ⋅=+- ,2(1)NM NP x ⋅=- .于是MP MN ⋅ ,PM PN ⋅ ,NM NP ⋅成公差小于零的等差数列等价于 2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0x y x x x x ⎧+-=++-⎪⎨⎪--+<⎩,即2230x y x ⎧+=⎨>⎩ 所以点P 的轨迹是以原点为圆心为半径的右半圆C.(II)设P(00,x y ),则由点P 在半圆C 上知,22001PM PN x y ⋅=+-又PM PN ⋅=,得cos PM PN PM PNθ⋅==⋅又001x <≤,12≤<,有1cos 12θ<≤, 03πθ≤<,sin θ==由此得0tan y θ==. 习题解答:1由1(21)0n n a a n k +-=++>,n N *∈恒成立,有30k +>,得3k >-,选D.21211212112112121(21)22(21)21223(21)131(21)2n n n n n n n n n n a a n a a a a S n n b b b b T n n n ------+-+--======+-+--,选B. 3设三边长分别为2,,a aq aq ,且0,0a q >>①当1q ≥时,由2a aq aq +>,得112q ≤<②当01q <<时,由2aq aq a +>,得112q <<,于是得1122q +<<,选D. 4由10191a a d =+>,且9181a a d =+≤,而21lim ()2n nn da S t n →∞+==, 又1125a =,于是737550t <≤,选D. 5由椭圆第2定义得222132()()22()a a a AF CF x x BF x c c c+=+++==+,选A.6由条件得31444tan ,9tan 3A B =-+=,有tan 2A =,tan 3B =. 得tan tan[()]tan()1C A B A B π=-+=-+=,于是ABC ∆为锐角三角形,选B. 7由12345636a a a a a a +++++=,12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=有12165()()()216n n n a a a a a a --++++⋅⋅⋅++=,即16()n a a +=216,得1n a a +=36,又13242na a n +⨯=,解得18n =. 822111111()()333222n n n S =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+,得11332lim 1121132n n S →∞=+=--.9由条件知,公比q 满足01q <<,且11115a q =-,当01q <<时,11015a <<; 当10q -<<时,1121515a <<.于是1a 的取值范围是112(0,)(,)151515. 10当n 为奇数时,相邻两项为n a 与2n a +,由51n a n =+得25(2)1(51)n n a a n n +-=++-+ =10,且16a =.所以{}n a 中的奇数项构成以16a =为首项,公差10d =的等差数列.当n 为偶数时,相邻两项为n a 与2n a +,由n a = 22n ,得2222222n n n na a ++==,且22a = 所以{}n a 中的偶数项构成以22a =为首项,公比2q =的等比数列. 由此得212(1)2(12)610522212m m mm m S m m m +--=+⨯+=++--.11由6778,S S S S <>,得780,0a a ><,有0d <;96S S <;7S 是n S 中的最大值,选①②④. 12解:(I)由12(1)n f a a a =++⋅⋅⋅+=2n ,再依题意有1a +n a =2n ,即12(1)2a n d n +-=① 又121(1)n n f a a a a n --=-+-⋅⋅⋅-+=,(n 为正偶数)得2d =,代入①有21n a n =-. (II)2311111()3()5()(21)()22222n f n =+++⋅⋅⋅+-,2341111111()()3()5()(21)()222222n f n +=+++⋅⋅⋅+- 得2311111111(1)()2()2()2()(21)()2222222n n f n +-=+++⋅⋅⋅+--于是2111()12()(21)3222n f n n-=+---⋅<.13解: (I)可得2()31f x x =+,()5g x x =,由已知211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=,得11(32)()0n n n n a a a a ++-⋅+=,而10n n a a ++≠,有123n n a a +=,于是1lim 3213n n S →∞==-.(II)215832()()6()1854n n n n b f a g a a +=-=-+, 由12()3n n a -=知n b 的最大值为1143b =,最小值为4374243b =.14解: (I)22log log n n a n x y x a==,设11n n x x q -=有1122log 2log 2log log n n n a n a n a x y y x x q a++-==-=,又{}n y 成等差数列.742log 74a y y q d -==-,得2d =-,17(71)(2)23,y y =--⨯-=252n y n =-. 当0n y ≥时,即23(1)(2)0n +-⨯-≥,得252n ≤.于是前12项和最大,其最大值为144.(II)25222ny n n b -==,2312b =,得21124n n b b -+==,23112()4n n b -= 232522lim 1314n n S →∞==-,于是251lim 23n n S →∞=(III)由(I)知当12n >时,0n y <恒成立,由2log n a n y x =,得2n y n x a =.(i)当01a <<且12n >时,有2n y n x a =01a >=,(ii)当1a >且12n >时,1n x <,故当01a <<时,在12M =使n M >时,1n x >恒成立;当1a >时不存在自然数M,使当n M >时1n x >.15证明:用数学归纳法 (I)当1n =时,10a a <命题成立.假设当n k =(k N *∈)时,0k a a <成立,那么当1n k =+时,由1212()()f x f x x x -<-,得00()()k k f x f a x a -<-,又00()f x x =,有00()k k x f a x a -<-, 而0k a x <,得00()k k x f a x a -<-,于是000()k k k a x x f a x a -<-<-,即0()2()k k k ka f a x f a a +<⎧⎨>⎩,又1()2k k k f a a a +=-, 有10(2)2k k k a a a x ++-<,即10k a x +<,于是当1n k =+时,命题也成立. 综上所述,对任意的k N *∈,0n a a <.(II)由1212()()f x f x x x -<-,得00()()n n f x f a x a -<-, 又00()f x x =,得00()n n x f a x a -<-,又0n a a <,得00()n n x f a x a -<-,即000()n n n a x x f a x a -<-<-, 有()n n f a a >,而1()2n n n f a a a +=-,得12n n n a a a +->, 故1n n a a +>.。
数学归纳法知识点大全
数学归纳法知识点大全数学归纳法数学归纳法是用于证实与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理办法．在数学比赛中占有很重要的地位．（1）第一数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，假如① 0n n =（N n ①01．数学归纳法的基本形式）时，)(n P 成立；①假设),(0N k n k k n ①≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，按照①①对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．（2）其次数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，假如①当0n n =（N n ①0）时，)(n P 成立；①假设),(0N k n k k n ①≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，按照①①对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立．2．数学归纳法的其他形式（1）跳动数学归纳法①当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立，①假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，按照①①对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．（2）反向数学归纳法设)(n P 是一个与正整数有关的命题，假如① )(n P 对无限多个正整数n 成立；①假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么按照①①对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立．例如，用数学归纳法证实：为非负实数，有在证实中，由真，不易证出真；然而却很简单证出真，又简单证实不等式对无穷多个（只要型的自然数）为真；从而证实，不等式成立．（3）螺旋式归纳法P （n ），Q （n ）为两个与自然数有关的命题，如果①P(n0)成立；①假设P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立；（4）双重归纳法设是一个含有两上自立自然数的命题．①与对随意自然数成立；①若由和成立，能推出成立；按照（1）、（2）可断定，对一切自然数均成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时简单，因此用验证0=n 成立代替验证1=n ，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且简单验证就可以．因而为了便于起步，故意前移起点．（2）起点增多：有些命题在由k n =向1+=k n 跨进时，需要经其他特别情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特别情形，因此需要适当增多起点．（3）加大跨度：有些命题为了削减归纳中的困难，适当可以转变跨度，但注重起点也应相应增多．（4）挑选合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设k n =时命题成立”不行，需要按照题意实行第一、其次、跳动、反向数学归纳法中的某一形式，灵便挑选使用．（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证实时，需要引进一个辅助命题协助证实，或者需要转变命题即将命题普通化或加强命题才干满足归纳的需要，才干顺当举行证实．5．归纳、猜测和证实在数学中常常通过特例或按照一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理办法称为不彻低归纳法．不彻低归纳法得出的结论，只能是一种猜测，其正确与否，必需进一步检验或证实，常常采纳数学归纳法证实．不彻低归纳法是发觉逻辑、解决问题极好的办法．从0以外的数字开头假如我们想证实的命题并不是针对所有自然数，而只是针对全部大于等于某个数字b的自然数，那么证实的步骤需要做如下修改：第一步，证实当n=b时命题成立。
专题20 数学归纳法及其证明(解析版)
专题20 数学归纳法及其证明1、（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤； （Ⅲ）121122n n n x --≤≤．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0， 因此 2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得 由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ．2、（2016年江苏卷）. (1) 求7C 36－4C 47的值； (2) 设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋n C m n －1＋(n ＋1)C m n ＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.规范解答 (1) 7C 36－4C 47＝7×6×5×43×2×1－4×7×6×5×44×3×2×1＝0. (2) 解法1 当n ＝m 时，结论显然成立．当n >m 时，(k ＋1)C m k ＝k ＋1·k ！m ！·k －m ！＝(m ＋1)·k ＋1！m ＋1！·[k ＋1－m ＋1]！＝(m ＋1)C m ＋1k ＋1，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .又因为C m ＋1k ＋1＋C m ＋2k ＋1＝C m ＋2k ＋2，所以(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)(C m ＋2k ＋2－C m ＋2k ＋1)，k ＝m ＋1，m ＋2，…，n .因此，(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)·C m n ＝(m ＋1)C m m ＋[(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋(n ＋1)·C m n ]＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＋(m ＋1)[(C m ＋2m ＋3－C m ＋2m ＋2)＋(C m ＋2m ＋4－C m ＋2m ＋3)＋…＋(C m ＋2n ＋2－C m ＋2n ＋1)]＝(m ＋1)C m ＋2n ＋2.解法2 对任意的m ∈N *，①当n ＝m 时，左边＝(m ＋1)C m m ＝m ＋1，右边＝(m ＋1)C m ＋2m ＋2＝m ＋1，等式成立，②假设n ＝k (k ≥m )时命题成立，即(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＝(m ＋1)C m ＋2k ＋2，当n ＝k ＋1时，左边＝(m ＋1)C m m ＋(m ＋2)C m m ＋1＋(m ＋3)C m m ＋2＋…＋k C m k －1＋(k ＋1)C m k ＋(k ＋2)C m k ＋1＝(m ＋1)·C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C mk ＋1，右边＝(m ＋1)C m ＋2k ＋3，而(m ＋1)C m ＋2k ＋3－(m ＋1)C m ＋2k ＋2＝(m ＋1)×k ＋3！m ＋2！k －m ＋1！－k ＋2！m ＋2！k －m ！＝(m ＋1)×k ＋2！m ＋2！k －m ＋1！[k ＋3－(k －m ＋1)]＝(k ＋2)×k ＋1！m ！k －m ＋1！＝(k ＋2)C m k ＋1， 因此(m ＋1)C m ＋2k ＋2＋(k ＋2)C m k ＋1＝(m ＋1)C m ＋2k ＋3，因此，左边＝右边，因此n ＝k ＋1时命题也成立，综合①②可得命题对任意n ≥m 均成立．3、（2015年江苏卷） 已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．(1) 写出f (6)的值；(2) 当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．规范解答 (1) 因为S 6＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,6)}，故f (6)＝13.(2) 当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋n 2＋n3， n ＝6t ，n ＋2＋n －12＋n －13， n ＝6t ＋1，n ＋2＋n 2＋n －23， n ＝6t ＋2，n ＋2＋n －12＋n3， n ＝6t ＋3，n ＋2＋n 2＋n －13， n ＝6t ＋4，n ＋2＋n －12＋n －23， n ＝6t ＋5(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；②假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论：1) 若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；2) 若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－13，结论成立； 3) 若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－23，结论成立；4) 若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋13，结论成立； 5) 若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1－13，结论成立；6) 若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有 f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋k ＋1－12＋k ＋1－23，结论成立． 综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．4、（2014年江苏卷） 已知函数f 0(x )＝sin xx(x >0)，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *.(1) 求2f 1⎝⎛⎭⎫π2＋π2f 2⎝⎛⎭⎫π2的值；(2) 证明：对任意的n ∈N *，等式⎪⎪⎪⎪nf n －1⎝⎛⎭⎫π4＋π4f n⎝⎛⎭⎫π4＝22都成立． 规范解答 (1) 由已知，得f 1(x )＝f ′0(x )＝sin x x ′＝cos x x －sin xx2， 于是f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x x ′－sin x x 2′＝－sin x x －2cos x x 2＋2sin x x 3，所以f 1π2＝－4π2，f 2π2＝－2π＋16π3.故2f 1π2＋π2f 2π2＝－1.(2) 由已知，得xf 0(x )＝sin x ，等式两边分别对x 求导，得f 0(x )＋xf ′0(x )＝cos x ， 即f 0(x )＋xf 1(x )＝cos x ＝sin x ＋π2，类似可得2f 1(x )＋xf 2(x )＝－sin x ＝sin(x ＋π)，3f 2(x )＋xf 3(x )＝－cos x ＝sin x ＋3π2，4f 3(x )＋xf 4(x )＝sin x ＝sin(x ＋2π)．下面用数学归纳法证明等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．(ⅰ) 当n ＝1时，由上可知等式成立．(ⅱ) 假设当n ＝k 时等式成立，即kf k －1(x )＋xf k (x )＝sin x ＋k π2.因为[kf k －1(x )＋xf k (x )]′＝kf ′k －1(x )＋f k (x )＋xf ′k (x )＝(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )， sin x ＋k π2′＝cos x ＋k π2·x ＋k π2′＝sin x ＋k ＋1π2， 所以(k ＋1)f k (x )＋xf k ＋1(x )＝sin x ＋k ＋1π2. 因此当n ＝k ＋1时，等式也成立．结合(ⅰ)(ⅱ)可知等式nf n －1(x )＋xf n (x )＝sin x ＋n π2对所有的n ∈N *都成立．令x ＝π4，可得nf n －1π4＋π4f n π4＝sin π4＋n π2(n ∈N *)．所以对任意的n ∈N *，等式nf n －1π4＋π4·f n π4＝22都成立．一．数学归纳法：一般证明一个与正整数n 有关的命题，按下列步骤进行 ①归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立②归纳递推：假设n=k 时命题成立 ，证明当n=k+1时的命题也成立。
函数与方程思想在数学归纳法证明有关数列的不等式中的应用
（） ２ 求整数 ｍ， ｌ 一ｍｆ 使 ａ 最小． ２０ （０ ５年河 北省 高 中数学竞赛试题） 证明 ：１ ①当 一１ 命题显然成立． （） 时，
②假 设 当 一 ｋ 志 １ ｋ∈ Ｎ 时 命 题 成 立 ， （≥ ， ） 即
＜ 得１ 号 ２ ：ｚ ， ＜＜
３。１ｚ ；：＜。３ 以２啬 ／一＋。 得导 ｚ 所 ． 一 ｌ 苦 ＜， √ 一
：
。 ＋． 一 １ ； 一 ｚ 得 。
￣２ 一１ ／志 ≤ｍ≤ ￣３ 一２ ／忌 ，
构造函 数厂 ＝ ＋｛，／ （） 、 ／
是∈ Ｎ＋ ，
≤ ≤、 ／ ／
，
≥ ＋ ， ＜
则 一是 １ ， ＋ 时 即
３． ）
因为 厂 ｚ 一ｚ （ ） ＋ 在 ［ ， 。 上为增 函数 ， １＋。 ） 所 以 － 在 ［ 厂 ） （ ， ］ 上为增 函数 ， 以 所
、丽 ／ ，
， （ 厂、
可） ≥ 丽
， 目标 明确 ， 操作简单．
【 ２ 设 １ ｚ＜ ２ 对 于 一１ ２ ３ … ， 义 ＋ 例 】 ＜ 】 ， ，，， 定 １
一 ｌ＋ ｚ 一 １ ｚ ２
，
求证 ： 于 ， ３ 有 Ｉ ＝ 对 ２ ， －￣ ｌ １ ≥ ｘ 一
．
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在 造 数 （一＋ ， ≤≤／ 构 函 ，）－｛￣ ｚ￣ ｚｚ ／ ／
８ ０ 学教学参考 上旬 ｏ 总第 。 １‘ Ｏ 期
要 证 一是 １时 成 立 ， 要 证 一 ＋ 只
数学归纳法中函数单调性的应用
＿ 『 。 结 论 成 立 。
（ ２ ） 假 设 一 愚 时 结 论 成 立 ，即 口 ＞
ａ 一 ｆ （ ａ ） ≤ 言＜寺， 故 一 ２ 时 不等式也成
立 。
而 。
当 一 愚＋ １ 时 ， 因 为 厂（ ｚ） 一 ｚ ＋ 在
（ ２ ） 假 设 ＂一 是（ 是 ≥２ ） 时 ， 不等式 Ｏ ＜ ０ ＜
ｏ ＜ ｎ ＜ ” １ 矗成 － １ 立。
证明： ｛ 阳． （ ｒ １ ） 、 当 当＂ 一１ 时， 时． 口 ， Ｊ 一２ 一９ ＞～ ＼ ＞ ． ／ 可一 一
因 为， （ ｚ ） ＞ ｏ ， ｚ ∈ （ ｏ ， ２ ） ， 所 以。 ＜
１ １
（ 函数 ） 不 等 式 成 立 需 要 说 明 项 与 项 数 的 大 小
变化 关 系 ， 相 似 的 信 念 ， 共 同 的 理 想 ， 铸 就 了
ｎ ＜ ， 口
１
一 ，（ ｎ ） ， ∈ Ｎ＋。 证 明 口 ＜
“ 心病 终 须心 药 治 ， 解 铃 还 须 系 铃 人 ”￣ ４ －－ ｔ －
大小 变化 与 函数 值 大 小 变化 之 间的 关 系， 用
函数 的单调 性 说 明 、 比 较 两 个 量 的 大 小 是 函
两道 高考题 加 以说 明 。
＜ 例 １ 已 知 函 数 ，（ ｚ） 一 ｚ— ３ ｚ设 ｏ
，
数 的“ 祖传秘方” ； 而 用 数 学 归 纳 法 证 明 一 个
，。 、
、
，
、
。 、
， ，
（ １， － ＋ － 一） 上是 增 函数 ， 并 注 意 到归 纳假 设 得 ：
＿成 ｌ 立 ， 由， ｚ — ｚ 一 号 的 对 称 轴为
高中数学讲义：数学归纳法
数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。
证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ³，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。
在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k £的时依然成立。
第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k £，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。
可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N £³Î成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ³Î时，命题均成立二、典型例题例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：131n n S n S n++£思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ³+，n k =时，不等式为321k k ³+；当1n k =+时，所证不等式为1323k k +³+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：()11311n nn a q S q -==--，所证不等式为：1313131n n n n+-+£-()()()1313131n n n n +\-£+-1133331n n n n n n n ++Û×-£×+--321n n Û³+，下面用数学归纳法证明：（1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立（2）假设()1,n k k k N =³Î时，不等式成立，则1n k =+时，()()133332163211k k k k k +=׳+=+>++所以1n k =+时，不等式成立n N *\"Î，均有131n n S n S n++£小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=++Î（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设21log 1n n b a æö=+ç÷èø，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+æö>Îç÷èø解：（1）2632n n n S a a =++①()21116322,n n n S a a n n N *---=++³Î②①-②可得：()222211116333n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-Þ+=-0n a >Q 所以两边同除以1n n a a -+可得：13n n a a --={}n a \是公差为3的等差数列()131n a a n \=+-，在2632n n n S a a =++中令1n =可得：211116321S a a a =++Þ=（舍）或12a =31n a n \=-（2）思路：利用（1）可求出n b 和n T ，从而简化不等式可得：33633225312n n n +æö×××>ç÷-èøL ，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。
求函数最值的方法总结
求函数最值的方法总结1.图像分析法：将函数的图像绘制出来，通过观察图像的形状和变化趋势来确定函数的最值。
例如，对于单调递增的函数，最大值就是定义域的最右端点，最小值就是定义域的最左端点。
2.导数法：求函数的导数，通过导数的零点和变号的位置来确定函数的最值。
导数的零点对应函数的极值点，而导数的变号对应函数的区间最值。
使用导数法需要对函数的导数性质有一定的了解，例如导数的单调性和函数的凹凸性。
3.积分法：对于一些特殊的函数，可以使用积分法来求函数的最值。
积分法的思路是将函数的最值问题转化为求解区间上的面积问题。
例如，对于一个带有约束条件的函数，可以通过求解约束条件下的面积来确定函数的最值。
4.极值判别法：对于一个在闭区间上连续的函数，可以通过判别函数的驻点和端点来确定函数的最值。
首先求解函数在定义域内的驻点（即导数为零的点），然后求解函数在区间的端点上的值，最后比较这些点的函数值来确定最值。
5.约束条件法：对于一个函数在一个区域上的最值问题，可以引入一个或多个约束条件来求解。
这种方法常用于优化问题中，其中一个约束条件是函数的取值在一个约束集内。
6.数学归纳法：对于一些特殊的函数序列，可以使用数学归纳法来证明函数的最值。
数学归纳法的思路是先证明当n为一些初始值时函数的最值成立，然后再证明当n+1时函数的最值也成立。
7.动态规划法：对于一些复杂的问题，可以使用动态规划法来求解函数的最值。
动态规划法是将问题分解为多个子问题，然后通过求解子问题的最值来求解原问题的最值。
8.枚举法：对于一些简单的函数，可以通过枚举函数的值来确定最值。
枚举法的思路是列举函数在定义域上的所有可能取值，然后比较这些值来确定最值。
9.近似法：对于一些复杂的函数，可以使用近似法来求解函数的最值。
近似法的思路是将函数结合数值计算方法来进行近似求解。
常见的近似方法有牛顿迭代法和二分法等。
总之，求函数最值是一个重要的数学问题，有多种方法可以求解。
一轮复习专题18 三角函数(知识梳理)
专题18三角函数（知识梳理）一、知识点(一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
其中顶点，始边，终边称为角的三要素。
角可以是任意大小的。
(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。
①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。
(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。
(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。
集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。
2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。
任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ；rad 01745.01801≈π= 。
3、特殊角的三角函数值30 45 60 90 120 135 150 18006π4π3π2π32π43π65ππsin 021222312322210cos 1232221021-22-23-1-tan3313⨯3-1-33-0210 225 240 270 300 315 330 36067π45π34π23π35π47π611ππ24、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅n πk 2第一象限角平分线36045⋅+n π+πk 24x 轴负半轴360180⋅+n π+πk 2第二象限角平分线 360135⋅+n π+πk 243x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线360225⋅+n π+πk 245y 轴正半轴36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+n π+πk 247y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223第一、三象限角平分线18045⋅+n π+πk 4y 轴18090⋅+n π+πk 2第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43坐标轴90⋅n 2πk 象限角平分线9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。
数学归纳法高中知识点总结
数学归纳法高中知识点总结数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在高中数学中也是一个重点知识点。
在本文中，将对数学归纳法的概念、原理以及具体应用进行总结。
希望通过本文的阐述，能够帮助大家更好地理解和掌握数学归纳法的相关知识。
一、概念和原理数学归纳法是一种用于证明某个命题对于所有自然数都成立的方法。
它的基本思想是：首先证明当n=m时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而可以得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
数学归纳法的推理过程分为两步：归纳基础和归纳步骤。
归纳基础是证明当n=m时命题成立，通常情况下令m=1或m=0。
归纳步骤是证明当n=k+1时，命题也成立。
二、具体应用1. 证明数学等式或不等式的成立数学归纳法可以用来证明一些与自然数有关的等式或不等式的成立。
具体的做法是，首先证明当n=m时命题成立，再假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，从而得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
例如，我们要证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，显然等式两边相等。
然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳步骤，易知1+2+3+...+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
因此，通过数学归纳法，我们可以证明该等式对于任意正整数n成立。
2. 证明命题关于自然数集的成立数学归纳法还可以用于证明一些命题关于自然数集的成立。
通常情况下，我们需要在归纳步骤中利用归纳假设来进行推理。
例如，我们要证明命题P(n)：1+3+5+...+(2n-1) = n^2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，命题显然成立。
然后假设当n=k时命题成立，即1+3+5+...+(2k-1) = k^2。
我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
根据归纳步骤，易知1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)^2。
函数知识点归纳
函数知识点归纳函数是数学中的一个重要概念，它在计算机科学、统计学和物理学等领域也有广泛的应用。
本文将对函数的基本概念、性质和常见的函数类型做一个全面的归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用函数知识。
一、函数的基本概念函数是一种映射关系，将一个或多个自变量映射到一个因变量上。
函数通常表示为f(x)或y=f(x)，其中x是自变量，f(x)或y是因变量。
函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量的集合。
函数可以用不同的方式表示，如数学表达式、图形、表格或文字描述。
函数的图形通常用坐标系上的点表示，自变量在横轴上，因变量在纵轴上。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域确定了自变量可能取值的范围，值域确定了因变量的取值范围。
2. 单调性：函数的单调性描述了函数在定义域上的增减趋势，可以是递增、递减或不变。
3. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像的对称性质，奇函数关于原点对称，偶函数关于纵轴对称。
4. 周期性：周期函数具有一定的重复性，函数的图像在一定的区间内重复出现。
5. 极值点：函数的极值点是函数图像上的局部极大值或极小值点，可以通过导数求解。
三、常见的函数类型1. 多项式函数：多项式函数是由常数、变量和指数幂运算组成的函数，可表示为f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an为系数，n为次数。
2. 指数函数：指数函数的函数表达式为f(x) = ax，其中a为常数，x为自变量。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正数为底的幂运算的逆运算，常见的对数函数有自然对数函数ln(x)和以10为底的常用对数函数log(x)。
4. 三角函数：三角函数是以单位圆上的点坐标表示的函数，常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆运算，常见的反三角函数有反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)和反正切函数arctan(x)等。
数学解函数数学归纳法问题
数学解函数数学归纳法问题一、引言在数学中，解函数的问题一直是学生们较为头痛的难题之一。
在解函数的过程中，数学归纳法是一种常用的方法。
本教案将会介绍如何运用数学归纳法解决函数相关的问题。
二、数学归纳法的基本原理数学归纳法是一种证明数学命题成立的方法，它包含三个基本步骤：1.基础步骤：证明命题对于最小的自然数成立。
2.归纳假设：假设命题对于某个自然数n成立。
3.归纳步骤：证明当命题对于自然数n成立时，命题对于n+1也成立。
三、数学归纳法在函数解题中的应用1.首先，我们需要确定函数的定义域和值域，这将有助于我们正确地使用数学归纳法。
2.然后，对于最小的自然数，可以通过计算函数值验证命题是否成立。
3.接下来，我们假设命题对于某个自然数n成立，即函数在n处成立。
4.最后，通过利用归纳假设和定义域的递增性质，我们可以证明函数在n+1处也成立。
四、数学归纳法解函数问题的例子这里我们举一个简单的例子来说明数学归纳法在解函数问题中的应用：问题：证明函数f(n)=2^n在正整数集合上成立。
解答：基础步骤：当n=1时，f(1)=2^1=2，命题成立。
归纳假设：假设对于某个正整数k，f(k)=2^k成立。
归纳步骤：我们需要证明f(k+1)=2^(k+1)也成立。
根据函数定义，f(k+1)=2^(k+1)=2^k * 2。
根据归纳假设，f(k)=2^k，所以f(k+1)=2^k * 2=2 * f(k)。
因此，根据数学归纳法，函数f(n)=2^n在正整数集合上成立。
五、总结通过以上例子，我们可以看到，在解函数问题时，数学归纳法是一种非常有效的方法。
但我们需要注意的是，在使用数学归纳法时，要确保函数的定义域和值域是适用于数学归纳法的。
此外，对于更复杂的函数问题，我们可能需要更多的步骤和推理来完成证明。
六、延伸思考1.请你选择另一个函数进行尝试，并使用数学归纳法证明其成立。
2.数学归纳法在哪些数学领域中还可以应用？请给出一些例子。
多级全混流串联模型e(t)函数的数学归纳法推导
好的。
那么在开始推导之前，我们需要确定一些基本的概念。
多级全混流串联模型是指由若干个全混流单元相连构成的一种流体力学模型。
在这个模型中，流体从第一个单元的入口处进入，经过若干个单元后在最后一个单元的出口处流出。
在这个模型中，我们可以定义e(t)函数为流体在每个单元中的动能。
我们也可以定义一些其他的参数，例如每个单元的动压损失k(t)和静压损失p(t)。
下面是数学归纳法推导多级全混流串联模型e(t)函数的过程：1.首先，我们考虑一个包含一个单元的情况，其中流体进入单元的入口处，经过单元后流出单元的出口处。
我们可以将这个单元的动能表示为：e(t) = e1(t) = (p1(t) - p0) + k1(t) + m1(t)其中p1(t)和k1(t)分别表示流体在单元内的静压损失和动压损失，m1(t)表示流体在单元内的质量。
2.接下来，我们考虑一个包含两个单元的情况。
我们可以将第二个单元的动能表示为：e2(t) = (p2(t) - p0) + k2(t) + m2(t) + e1(t)其中e1(t)表示第一个单元的动能。
通过对第一个单元和第二个单元的动能进行求和，我们就可以得到两个单元的总动能：e(t) = e2(t) + e1(t) = (p2(t) - p0) + k2(t) + m2(t) + e1(t) + (p1(t) - p0) + k1(t) + m1(t)这就是一个包含两个单元的多级全混流串联模型的e(t)函数的形式。
希望这个推导能帮助您理解这个模型的工作原理。
如果您还有其他问题，欢迎继续提问。
3.对于一个包含N个单元的情况，我们可以得到如下的递推关系式：e(t) = eN(t) = (pN(t) - p0) + kN(t) + mN(t) + e(t-1)其中e(t-1)表示前N-1个单元的动能之和。
4.通过对步骤2和步骤3的推导，我们可以得到多级全混流串联模型的e(t)函数的通用形式如下：e(t) = eN(t) = (pN(t) - p0) + kN(t) + mN(t) + e(t-1) = (pN(t) - p0) + kN(t) + mN(t) + ... + (p1(t) - p0) + k1(t) + m1(t) 这就是多级全混流串联模型e(t)函数的数学归纳法推导。
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函数专题：数学归纳法梁久阳一．基本步骤：（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n 有关的命题P(n)，有如下步骤：（1）证明当n 取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k （k ≥n0，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），命题P(n)都成立。
（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设n0≤n<=k 时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。
综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），命题P(n)都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n 命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k ，k ≥1）；（2）假设P(k+1)（k ≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立， 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），命题P(n)都成立； （四）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），P(n)，Q(n)都成立。
二．实际应用（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。
（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。
（3）证明数列前n 项和与通项公式的成立。
（4）证明和自然数有关的不等式。
等等。
数学归纳法其实是一件很有用的工具，如果能够使用得当的话，会使解决问题的难度大大降低。
三．试题研究（1）直接证法与数学归纳法的比较①所谓直接证法，便是置n 的任何具体值于不顾，仅仅把它看成是一个任意的自然数，也就是说，假定它只具备任何自然数都具备的共同性质，并在这样的基础上进行推导。
【例3】 证明：对任何自然数n ，如下的等式都能成立： 证明：我们有21+cosx+cos2x+…+cosnx=xsin xn sin 21221）（=xsin 2121（sin21x+2cosxsin 21x+2cos2xsin 21x+…+2cosnxsin 21x ） 利用积化和差公式2cos αsin β=sin （α+β）-sin （α-β） 即知 sin21x+2cosxsin 21x+2cos2xsin 21x+…+2cosnxsin 21x =sin21x+(sin 23x-sin 21x)+(sin 25x-sin 23x)+…+(sin(n+21)x-sin （n-21）x) =sin(n+21)x 综合上述等式即得所证，可见不论n 为任何自然数，所证的恒等式都能成立。
这就是我们所说的“置n 的任何具体值于不顾”的含义。
②运用数学归纳法，也可以使像例1这样一些可以通过直接证法证明的问题得到解决。
例1又证 当n=1时，我们有左式=21+cosx 右式=x sin x sin 21223=xsin x sin 4-x 3sin 21221213）（）（ =23-2sin ²21x=23-(1-cosx)=21+cosx 所以对于n=1，等式是成立的。
假设对于n=k ，等式成立，即有21+cosx+cos2x+…+coskx=xsin xk sin 21221）（我们要来证明对于n=k+1,等式也成立。
我们有21+cosx+cos2x+…+coskx+cos （k+1）x=xsin xk sin 21221）（++cos(k+1)x =xsin x211)xsin 2cos(k x k sin 21221+++）（ =xsin x)k sin -x k (sin x k sin 212212321）（）（）（++++=xsin xk sin 21223）（+ =xsin x 1)k sin 21221⎥⎦⎤⎢⎣⎡++）（所以，对于n=k+1，等式也成立。
从而对一切自然数n ，等式都成立。
我们可以比较一下直接证法与数学归纳法，我个人认为，直接证法虽然漂亮，但比较难想，一试时没有充裕的时间，因此很难想出来。
相反，数学归纳法简洁明了，步骤清晰，很容易想到。
由此看来，这种解题方式确实有着它独特的优越性。
（2）学会从头看起 有时，为了实现归纳过渡，我们在证明n=1成立的同时，还要证明n=2,3…使命题在n=k+1时更容易做出。
下面便是一例： 【例3】设正数数列{}满足关系式²≤-+1,证明，对一切n ∈N ，有＜n1。
证明：n=1的情形显然，而当n=2时，由于a 2≤a 1-a 1²=41-(21-a 1)²＜21知断言也成立。
假设当n=k 时，断言成立，即有a k ＜k1，则当n=k+1时，有 a k +1≤a k -a k ²=41-(21-a k )²≤41-（21-k 1）²=k 2-k 1＜121-k -k =11+k知断言也成立。
因此由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＜n1。
细心的我们会发现，在上面的论证中，“n=2”（即a 2＜21）并未在归纳过渡中发挥作用，因此按理说来是不用验证这一步的。
但是，它却启示了我们如何将（a 1-a 1²）改写成一种便于使用归纳假设的形式，而这种启示对于实行归纳过渡是非常重要的。
可见这种对n=2情形的考察是很有好处的。
（3）“正确”选取起点与跨度 ①起点的选取【例3】 证明：任意n 条直线均能重合成一条直线。
证明：当n=1时，命题显然成立。
假设当n=k 时，命题已经成立。
那么当n=k+1时，可以先让其中k 条直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一条重合为一条直线，即知命题也可成立。
所以任意n 条直线均能重合成一条直线。
怎么会呢？这个定理与我们以前所了解到的知识明显不符啊。
最初看到这道题的证明时，我便感觉到，他对我的以前形成的几何观产生了深深的挑战。
后来仔细一想，我觉得，矛盾的产生不是因为我自身出现了问题，而是这道题本身有问题！这个证明上的逻辑漏洞，就在于在进行归纳过渡时，需要用到“可将任意两条直线重合为一条直线”的论断，即“n=2”时的命题。
但是我们只证明了“n=1”时的命题，并没有对“n=2”的命题加以证明，并且事实上它也是不能被证明的。
由此可见，认真考察起点附近的命题是多么的重要!但是，是不是在每一个问题的证明中，都要先对起点附近的命题“n=0”、“n=2”、“n=3”…呢？并不是的。
究竟是否需要验证以及需要验证几个，完全取决于命题本身的特点，尤其是取决于在进行归纳过渡时的需要。
【例4】是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：与上题一样，这道题的起点也需要我们费一些思考。
是“n=1”么？是“n=2”么？不，都不对，是“n=3”！本题需要采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即a1+2a2+3a3+…+ka k=k(k+1)(k+2)那么当n=k+1时，a1+2a2+3a3+…+ka k +(k+1)a k+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)[3(k+1)+3]=(k+1)(k2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列a n=3n+3使a1+2a2+3a3+…+na n=n(n+1)(n+2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+na n=n(n+1)(n+2)都成立．②跨度的选取【例5】证明：对任意整数n（n≥3），存在一个正整数的完全立方，使得它可以表示成n 个不同正整数的立方之和。
证明：这事实上是一个归纳构造问题。
如果我们采用常规的跨度为“1”的归纳，将会灰常困难，至少我不能做出。
这个时候，就需要我们的大胆想象，改变归纳的跨度。
那么这个跨度是几呢？别急，我们先对n进行分析。
不难算得，3³+4³+5³=6³；5³+7³+9³+10³=13³…再往下，我们就不好找了。
事实上，我们也不用找了，因为这些已经够了。
我们观察“3³+4³+5³=6³”，1变3，多出了2个数，这样我们便已经可以大胆地采用“2”为跨度了。
假设对n≥3，存在可表示成k个不同正整数立方之和的完全立方数m³，设m³=a1³+a2³+…+a k³（1）这里a1＜a2＜…a k都是正整数。
由（1）容易看出（6m）³=（6a1）³+（6a2）³+…+(6a k)³= (3a1) ³+(4a1) ³+(5a1)³+(6a2)³+…+(6a k)³而显然有，3a1＜4a1＜5a1＜6a2＜6a k，故它们是不同的正整数。
这表明，我们做出的（6m）³能表示成k+2个不同正整数的立方和。
综上所述，原命题得证。
注：可以证明，不存在能表示成两个正整数立方和的完全立方数，所以题目中“n≥3”的条件是必要的。
（4）强化命题作为“以退为进”的典范，反证法以它强大的本领和顽强的生命力，帮助我们解决了许多困难的问题。
相反，如果再让我们找一个“以进为退”的工具的话，那无疑就是强化命题了。
它能帮我们找出，那些出题人故意隐藏起来的，“无法言说”的东西。
①同侧加强：它的字面意思是，对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明A x f <)(,只要证明)0()(>-<B B A x f ,其中B 通过寻找分析,归纳完成.下面是一个可能比较困难的问题，需要我们认真去思考。