2.3 反证法与放缩法 课件(人教A选修4-5)

2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？
提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适 当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母 放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小， 则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放 大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数 相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中
的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．
[研一题]
[例1]
设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－
b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.
[精讲详析]
本题考查反证法的应用．解答本题若采用
直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手 解决．
假设 4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1， 4d(1－a) ＞1，则有 1 1 a(1－b)＞ ，b(1－c)＞ ， 4 4 1 1 c(1－d)＞ ，d(1－a)＞ . 4 4 1 1 ∴ a1－b＞ ， b1－c＞ ， 2 2 1 1 c1－d＞ ， d1－a＞ . 2 2 a＋1－b b＋1－c 又∵ a1－b≤ ， b1－c≤ ， 2 2
[读教材· 填要点] 1．反证法 先假设 要证的命题不成立 ，以此为出发点，结合已知条 件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得 到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 矛盾 的结论，以说明 假设 不正确，从而证明原命题成立，我 们称这种证明问题的方法为反证法． 2．放缩法 证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 放大 或 缩小 ，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法 称为放缩法．
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y－1＝k x 1 的坐标(x，y)满足 y＋1＝k2x
，
k ＝y－1， x 1 故知 x≠0，从而 y＋1 k2＝ x . y－1 y＋1 代入 k1k2＋2＝0，得 x · x ＋2＝0， 整理后，得 2x2＋y2＝1， 所以交点 P 在椭圆 2x2＋y2＝1 上．
c＋1－d d＋1－a c1－d≤ ， d1－a≤ ， 2 2 a＋1－b 1 b＋1－c 1 ∴ ＞ ， ＞ ， 2 2 2 2 c＋1－d 1 d＋1－a 1 ＞ ， ＞ . 2 2 2 2 将上面各式相加得 2＞2，矛盾． ∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不 可能都大于 1.
3．已知：an＝ 1×2＋ 2×3＋ 3×4＋…＋ nn＋1(n∈N＋)， nn＋1 nn＋2 求证： ＜an＜ . 2 2 证明：∵ nn＋1＝ n2＋n，
∴ nn＋1＞n， ∴an＝ 1×2＋ 2×3＋…＋ nn＋1 nn＋1 >1＋2＋3＋…＋n＝ . 2 n＋n＋1 ∵ nn＋1< ， 2
于是有f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．
当a＜b时，－a＞－b，于是有f(a)<f(b)，f(－b)<f(－a)， ∴f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)与已知矛盾． ∴a<b.
[研一题] [例2] 实数a、b、c、d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1， 求证：a、b、c、d中至少有一个是负数． [精讲详析] 本题考查“至多”、“至少”型命题的证明方 法．解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得 出矛盾． 假设a、b、c、d都是非负数， 即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0， 则1＝(a＋b)(c＋d)＝(ac＋bd)＋(ad＋bc)≥ac＋bd， 这与已知中ac＋bd＞1矛盾， ∴原假设错误， ∴a、b、c、d中至少有一个是负数．
∵函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1＜x2， ∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，
∴原假设不成立．
∴函数y＝f(x)在(a，b)上至多有一个零点．
[研一题]
[例 3] n≥2)． 3 1 1 1 1 求证： － ＜1＋ 2＋…＋ 2＜2－n(n∈N*且 2 n＋1 2 n
[小问题· 大思维] 1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？
提示：用反证法证明不等式要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进 行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证， 就不是反证法． (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛 盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与 已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．
[悟一法] (1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等 词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体． (2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形
式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相
矛盾．
[通一类] 1．已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)＋f(－b)＞f(－a) ＋f(b)．求证：a＜b. 证明：假设a≥b，则当a＝b时－b＝－a，
这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
[通一类] 2．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：y＝f(x) 在区间(a，b)上至多有一个零点．
证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，
不妨设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零 点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.
[悟一法] (1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变 换，即欲证a>b，可换成证a>c且c>b，欲证a<b，可换成证 a<c且c<b.
(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放
缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结 论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、 利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进 行放缩等．比如：
[证明] k1＝k2.
(1)反证法．假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行，有
代入 k1k2＋2＝0，得 k2＋2＝0， 1 此与 k1 为实数的事实相矛盾．从而 k1≠k2，即 l1 与 l2 相交． (2)法一
y＝k x＋1， 1 ：由方程组 y＝k2x－1，
x＝ 2 ， k2－k1 解得交点 P 的坐标(x，y)为 k2＋k1 y＝k2－k1
12 3 12 舍去或加上一些项：a＋2 ＋ ＞a＋2 ； 4
1 1 1 将分子或分母放大(缩小)： 2＜ ， ＞ k kk－1 k2 1 1 2 1 2 ， ＜ ， ＞ (k∈R，k kk＋1 k k k＋ k－1 k＋ k＋1 ＞1)等．
[通一类]
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＋ － ＋…＋n－ ＜ 2＋ 2＋…＋ 2＜1－ 2 3 3 4 n 2 n＋1 2 3 1 1 1 1 ＋ － ＋…＋ － ， 2 3 n－1 n 1 1 1 1 1 1 即 － ＜ ＋ ＋…＋ 2＜1－n， 2 n＋1 22 32 n 1 1 1 1 1 1 ∴1＋ － ＜1＋ 2＋ 2＋…＋ 2＜1＋1－n， 2 n＋1 2 3 n 3 1 1 1 1 1 即 － ＜1＋ 2 ＋ 2 ＋…＋ 2 ＜2－ n (n∈N* 且 2 n＋1 2 3 n n≥2)成立．
1＋2 2＋3 3＋4 n＋n＋1 ∴an< ＋ ＋ ＋…＋ 2 2 2 2 n＋1 nn＋2 1 ＝ ＋(2＋3＋…＋n)＋ ＝ . 2 2 2 nn＋1 nn＋2 综上得： ＜an＜ . 2 2
反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大， 一般以解答题一问的形式出现，但反证法和放缩法是一种 重要的思维模式，在逻辑推理中有着广泛的应用．
2 2 k2＋k1 2 而 2x ＋y ＝2( ) ＋( ) k2－k1 k2－k1
2 2
8＋k2＋2 ＝ 2 ＝1. k2＋k1－2k1k2 k1＋k2＋4 2 此即表明交点 P(x，y)在椭圆 2x2＋y2＝1 上．
法二：l1 与 l2 的交点 P
[考题印证] (2011· 安徽高考)设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，
其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交； (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上． [命题立意] 本题考查直线与直线的位置关系，线线相
交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，考查学生推 理论证的能力．
[精讲详析]
本题考查放缩法在证明不等式中的应用，
解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不 能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放 大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．
∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)， 1 1 1 ∴ ＜ 2＜ ， k kk－1 kk＋1 1 1 1 1 1 即k－ ＜ 2＜ －k(k∈N*且 k≥2)． k＋1 k k－1 分别令 k＝2,3，…，n 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＜ ＜1－ ， － ＜ 2＜ － ， 2 3 22 2 3 4 3 2 3 … 1 1 1 1 1 n－n＋1＜n2＜n－1－n，将这些不等式相加得
[悟一法]
(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或
证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证 明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显 然的事实矛盾，也可以自相矛盾． (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的
假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用