成都实验外国语学校2017年高中自主招生数学真卷

成都实验外国语学校
2017年高中自主招生数学真卷
一、选择题
1、下列计算正确的是（）
A.4
6
22
2-
=
-y
y B.5
3
2=
+ C.3
2
6x
x
x•
= D.y
x
y
x
y
x
+
=
-
-2
2
2、在数轴上已知点A表示3
-，把点A向右平移2个单位到达点B，设点B表示的数为n，则()21
1+
+
-n
n的值是（）
A.n3
B.1
+
n C.2 D.3
3、如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是正方形，边长分别为a、b，丙是长方形，
长为a，宽为b(其中b
a>).如果要用它们拼成若干个边长为()b
a3
+的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是（）
A.1:4:4
B.1:3:2
C.1:2:2
D.无法确定
4、如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，km
2
=
AB，从A测得船C在北偏东︒
45的方向，从B测得船C在北偏东︒5.
22的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）
A.km
4 B.()2
2+km C.km
2
2 D.()2
4-km
5、端午节到了，妈妈去超市买了1个豆沙粽，2个鲜花粽，3个腊肉粽，粽子从外观看都一
第4题图
样，小明从中拿走2个粽子，其中一个是鲜花粽，一个是腊肉粽的概率是 （ ）
A.31
B.65
C.52
D.15
8 6、由多个相同的小正方体堆成的一个物体，它的主视图、侧视图、俯视图都是同一个图（如
图所示），那么堆成该物体至少需要的小正方体个数为 （ ） A.12 B.15 C.19 D.27
第8题图
7、如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中折扇无重
叠），则梅花图案中五角星的五个锐角的度数均是 （ ） A.︒46 B.︒48 C.︒52 D.︒57
8、在平面直角坐标系中，矩形OABC 如图所示.点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴正半轴
上，且6=OA ，4=OC ，D 为OC 的中点，点E 、F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，3=EF .当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标是 （ ）
A.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21
B.()0,1
C.⎪⎭
⎫
⎝⎛023，
D.()0,2 9、如图所示，在正方形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使得︒=∠15BAE ，连接AE 、CE ，
延长CE 到F ，连接BF ，使得BF BC =.若1=AB ，有下列结论：①CE AE =；②点F 到
BC 的距离为
22；③EF EC BE =+；④8
2
41+=∆AED S .则其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10、如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，OP 交⊙O 于点C ，连接BO
并延长交⊙O 于点D ，交PA 的延长线于点E ，连接AD 、BC .下列结论：①PO AD //；②PCB ADE ∆∆~；③EA
ED
EAD =
∠tan ；④OP AD BD •=22.其中一定正确的是（ ） A.①③④ B.②④ C.①②③ D.①②③④
第10题图
二、填空题
11、分解因式：=+-363a a . 12、a 是不为1的数，我们把
a -11称为a 的差倒数，如：2的差倒数为1-2
-11=；-1的差倒数是
()211--11=；已知2
1
1-=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是4a 的差倒数……依次类推，则=2015a .
13、已知012=-+a a ，则=+-44a a .
14、在矩形ABCD 中，15=AD ，点E 在边DC 上，连接AE ，ADE ∆沿直线AE 翻折后点D 落
到点F ，过点F 作AD FG ⊥，垂足为点G ，如图，如果GD AD 3=，那么=DE . 15、（1）若40<<x ，化简
()5122--+x x 的结果是 .
（2）观察分析，寻找规律：0，3，6，3，32，15…那么第10个数应该是 . 16、对于任意实数m 、n ，定义一种新运算m ※3+--=n m mn n ，等式的右边是通常的加减
和乘法运算，例如：3※10353535=+--⨯=.请根据上述定义解决问题： 若2<a ※7<x ，且解集中有两个整数解，则a 的取值范围是 .
17、如图，在AOB Rt ∆中，23==OB OA ,⊙O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P
是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则切线PQ 的最小值为 .
18、（1）方程052=-+m x x 的一个根是2，则=m .另一个根 是 .
（2）设a 、b 是方程020102=-+x x 的两个实数根，则b a a ++22的值 为 .
19、如图，点A 为直线x y -=上一点，过A 作OA 的垂线交双曲线x
k
y =
（0<x ）于点B ，若1222=-AB OA ,则k 的值是 .
20、已知a 、b 、m 均为正整数，若存在整数k 使得km b a =-，则称a 、b 关于m 同余，记
作b a ≡（mod m ）.若a 、b 、c 、d 、m 均为正整数，则以下结论正确的是 .（填写出所有正确的序号） ①27≡（mod 5）；
②若b a ≡（mod 2），c b ≡（mod 2），则c a ≡（mod 2）； ③若b a ≡（mod m ），d c ≡（mod m ），则bd ac ≡（mod m ）； ④若bd ac ≡（mod m ），则b a ≡（mod m ），d c ≡（mod m ）.
三、解答题
21、化简：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a b a 4422÷ab a a b 2422
2+-
22、谋生活小区鲜奶店每天以每瓶3元的价格从奶场购进优质鲜奶，然后以每瓶6元的价格出
售，如果当天卖不完，剩余的只有倒掉，店主记录了30天的日需求量（单位：瓶），整理得下表：
（1）求这30天内日需求量的众数.
（2）假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，求这30天的日利润（单位：元）的平均数. （3）以30天记录的各需求量的频率作为各需求发生的概率.若鲜奶店每天购进28瓶，求在这
记录的30天内日利润不低于81元的概率.
23、如图，ABC ∆和DEF ∆是两个全等的等腰直角三角形，︒=∠=∠90EDF BAC ，DEF ∆的
顶点E 与ABC ∆的斜边BC 的中点重合.将DEF ∆绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q .
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AQ AP =时，求证：CQE BPE ∆≅∆.
（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上是，求证：CQE BPE ∆∆~；并求当a BP =，
a CQ 2
9
=
时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）.
24、已知一次函数()2--=k x y 的图象与反比例函数x
k
y 2=
的图象在第一、三象限交于A 、C 两点，并且过点（1-a ，k ），2=∆AOC S ,其中a 、k 为常数，求a 的值.
25、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上的两点，且CG AC =,过点C 的直线BG
CD ⊥于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F . （1）求证：CD 是⊙O 的切线. （2）连接AD ，若3
2
=FD OF ，3=CD ,求AD 的长.
26、如图，已知二次函数的图象M 经过A （1-，0），B （4，0），C （2，6-）三点. （1）求该二次函数的解析式.
（2）点G 是线段AC 上的动点（点G 与线段AC 的端点不重合），若ABG ∆与ABC ∆相似，
求点G 的坐标.
（3）设图象M 的对称轴为l ，点D （m ，n ）（21<<-m ）是图象M 上一动点，当ACD
∆的面积为
8
27
时，点D 关于l 的对称点为E ，能否在图象M 和l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形? 若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由.
答案： 一、选择题 1、D 2、C 3、A 4、B 5、C 6、B 7、B 8、B 9、B 10、A
二、填空题 11、2
)1(3-a 12、
3
2 13、7 14、53
15、（1）43-x （2）33 16、54<≤a 17、22
18、（1）14，-7 （2）2009
19、-6
20、①②
三、解答题。