福建省初中数学竞赛题的多种解法
全国初中数学竞赛试题(福建)及参考答案
全国初中数学竞赛试题（福建）及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数x ，y 满足42423x x -=，423y y +=，则444y x+的值为（ ）。
A 、7B 、12 C 、72 D 、5 ［答］A解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得21x ==，2y ==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x++-=-+= 2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。
A 、512 B 、49 C 、1736D 、12 ［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736p =3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。
A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。
4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。
2017初中数学联合竞赛省初赛试题解答及评分标准(八年)
)
B
D E
C
2 SADC CD AF 7 12 28 法可得 CE . AD AD 15 5 1 1 6．已知 a ＝ 5 ， 那么代数式 a 最大值与最小值之差等于 a a
A． 2． B． 4．
1
（ B ）
C． 6．
D．8.
解析
欲使代数式
1 a 取到最大值，则 a 0 , 于是 a
(15 分)
(18 分) (20 分) (5 分)
a 2b b2c c2a ab2 bc2 ca 2 (a b)(b c)(c a) 0 .
(a 1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)(a 1)=k 1 ,
令 ab a b bc b c ac c a =k , 则 因此 [(a 1)(b 1)(c 1)] (k 1) ，
4．设 a,b 是实数，若 a b 2 a 1 4 b 1 5 ，则 a b 的值等于 A. 3 ． 解析
a b 2 a 1 4 b 1 5 ( a 1 1)2 ( b 1 2)2 0
a 2 , b 3 a b 1. 5 ． 如 图 , 在 △ ABC 中 , AB=13,BC 21, CA 20 . D 是 BC 上 一 点 , 满 足
1 1 1 ． 3 1 7 1 7
解析
1 1 1 7 1 7 1 7 1 7 1
7
1 1
7 1
7
. 7 3
1
A
8. 如图, ABC 、 CDE 均为等边三角形, 且 A, D, E 三 点共线, 点 D 在 A, E 之间, BDE 30 . 则 解析
2017-2018学年福建省八年级(上)竞赛数学试卷及答案与解析
2017-2018学年福建省八年级（上）竞赛数学试卷;一、选择题（每小题5分，共40分）1．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．6，8，10 C．9，12，15 D．3，4，62．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定3．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．94．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=05．已知△ABC中，AB=AC，高BD、CE交于点O，连接AO，则图中全等三角形的对数为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．77．点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣5）B．（5，3） C．（﹣3，5）D．（3，5）8．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每小题5分，共40分）;9．若2a3x b y+5与5a2﹣4y b2x是同类项，则xy=．10．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为．11．如果（a2+b2+2）（a2+b2﹣2）=45，则a2+b2的值为．12．已知（a+25）2=1000，则（a+15）（a+35）的值为．13．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．14．如图，在△ABC中，I是三内角平分线的交点，∠BIC=130°，则∠A=．15．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是．16．如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为．三、解答题（每小题10分，共40分）17．已知：3a=2，3b=6，3c=18，试确定a、b、c之间的数量关系．18．已知a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．19．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．20．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：2，AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．2017-2018学年福建省八年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（）A．7，24，25 B．6，8，10 C．9，12，15 D．3，4，6【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；B、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；C、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长．故选D．2．设M=（x﹣3）（x﹣7），N=（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M=N D．不能确定【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．【解答】解：M=（x﹣3）（x﹣7）=x2﹣10x+21，N=（x﹣2）（x﹣8）=x2﹣10x+16，M﹣N=（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）=5，则M＞N．故选：B．3．观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，解答下列问题：3+32+33+…+32015的末位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．9【考点】尾数特征．【分析】根据31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…得出3+32+33+34…+32015的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+7+9，进而得出末尾数字．【解答】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…∴末尾数，每4个一循环，∵2015÷4=503…3，∴3+32+33+34…+32015的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+7+9=（3+9+7+1）×503+19=10079的末尾数为9．故选：D．4．若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0【考点】完全平方公式．【分析】首先将原式变形，可得x2+z2+2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，则可得（x+z﹣2y）2=0，则问题得解．【解答】解：∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，∴（x+z）2﹣4y（x+z）+4y2=0，∴（x+z﹣2y）2=0，∴z+x﹣2y=0．故选：D．5．已知△ABC中，AB=AC，高BD、CE交于点O，连接AO，则图中全等三角形的对数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定．【分析】根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质定理解答．【解答】解：∵高BD、CE交于点O，∴∠AEO=∠ADO=90°，图中的全等三角形有：①在△AEC与Rt△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（AAS），∴∠ABO=∠ACO，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CBO=∠BCO，∴OB=OC；②在△ABO与Rt△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠BAO=∠CAO，③在△AEO与Rt△ADO中，，∴△AEO≌△ADO（AAS），④在△BOE与△COD中，，∴△BOE≌△COD（AAS）；⑤在△BCE与△CBD中，∴△BCE≌△CBD（AAS）．共有5对．故选C．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=8，AD平分∠BAC，点PQ分别是AB、AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】轴对称﹣最短路线问题；含30度角的直角三角形．【分析】如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，由△AQP≌△AQP′，得PQ=QP′，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，即当BP′⊥AC 时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接QP′，在△AQP和△AQP′中，，∴△AQP≌△AQP′，∴PQ=QP′∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP′的最小值，∴当BP′⊥AC时，BQ+QP′的值最小，此时Q与D重合，P′与C重合，最小值为BC的长．在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=8，∠BAC=30°，∴BC=AB=4，∴PQ+BQ的最小值是4，故选A．7．点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣5）B．（5，3） C．（﹣3，5）D．（3，5）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．【解答】解：点P（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5），故选：A．8．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题与定理．【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据三角形外角性质对③进行判断；根据非负数的性质对④进行判断．【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，所以②正确；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误；如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．故选A．二、填空题（每小题5分，共40分）9．若2a3x b y+5与5a2﹣4y b2x是同类项，则xy=﹣2．【考点】同类项．【分析】根据同类项的定义，含有相同的字母，相同字母的指数相同，即可列出关于x和y的方程组，求得x和y的值，进而求得代数式的值．【解答】解：根据题意得：，解得：，则xy=2×（﹣1）=﹣2．故答案为﹣2．10．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，则∠1+∠2的度数为45°．【考点】平行线的性质．【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，可得出∠2=∠3，∠1=∠4，故∠1+∠2=∠3+∠4，由此即可得出结论．【解答】解：过点B作BD∥l，∵直线l∥m，∴BD∥l∥m，∴∠4=∠1，∠2=∠3，∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠ABC，∵∠ABC=45°，∴∠1+∠2=45°．故答案为：45°．11．如果（a2+b2+2）（a2+b2﹣2）=45，则a2+b2的值为7．【考点】换元法解一元二次方程．【分析】根据题意，可以设a2+b2=m，从而可以求得m的值，进而求得a2+b2的值，注意a2+b2的值不小于0．【解答】解：设a2+b2=m，则（m+2）（m﹣2）=45，∴m2﹣4=45，解得，m=7或m=﹣7，∴a2+b2=7或a2+b2=﹣7（舍去），故答案为：712．已知（a+25）2=1000，则（a+15）（a+35）的值为900．【考点】平方差公式．【分析】将（a+15）（a+35）变形为（a+25﹣10）（a+25+10），根据平方差公式得到原式=（a+25）2﹣100，再将（a+25）2=1000整体代入即可求解．【解答】解：（a+15）（a+35）=（a+25﹣10）（a+25+10）=（a+25）2﹣100，∵（a+25）2=1000，∴原式=1000﹣100=900．故答案为：900．13．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．【考点】整式的混合运算．【分析】设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，然后根据整式的乘法与加减混合运算进行计算即可得解．【解答】解：设a=1﹣﹣﹣﹣，b=+++，则原式=a（b+）﹣（a﹣）•b=ab+a﹣ab+b=（a+b），∵a+b=1﹣﹣﹣﹣++++=1，∴原式=．故答案为：．14．如图，在△ABC中，I是三内角平分线的交点，∠BIC=130°，则∠A=80°．【考点】三角形内角和定理．【分析】先根据角平分线的定义得到∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°，则∠BIC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BIC=90°+∠A，然后把∠BIC=130°代入计算可得到∠A的度数．【解答】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，∵∠BIC+∠IBC+∠ICB=180°，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BIC=180°﹣=90°+∠A，∵∠BIC=130°，∴90°+∠A=130°∴∠A=80°．故答案为：80°．15．如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是12°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．16．如图，AB=AC，则数轴上点C所表示的数为﹣1．【考点】勾股定理；实数与数轴．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答．【解答】解：由勾股定理得，AB==，∴AC=，∵点A表示的数是﹣1，∴点C表示的数是﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（每小题10分，共40分）17．已知：3a=2，3b=6，3c=18，试确定a、b、c之间的数量关系．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘法以及幂的乘方即可列出等式求出a、b、c之间的数量关系．【解答】解：∵2×18=62，∴3a×3c=（3b）2，∴3a+c=32b，∴a+c=2b18．已知a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016．求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．【考点】因式分解的应用．【分析】原式变形后，利用完全平方公式配方后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a=2015x+2014，b=2015x+2015，c=2015x+2016，∴a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，则原式=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]=×（1+1+4）=3．19．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵点P、Q速度相同，∴AP=BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．20．已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：2，AD、BE是角平分线．求证：AB+BD=AE+BE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】延长AB到F，使BF=BD，连DF，首先证明△ADF≌△ADC，推出AF=AC，由BE是角平分线，推出∠CBE=∠ABC=40°推出∠EBD=∠C，推出BE=EC，推出BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．【解答】证明：延长AB到F，使BF=BD，连DF，∴∠F=∠BDF，∵∠A：∠B：∠C=3：4：2，∴∠ABC=80°，∠ACB=40°，∴∠F=40°，∠F=∠ACB，∵AD是平分线，∴∠BAD=∠CAD，在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC，∴AF=AC，∵BE是角平分线，∴∠CBE=∠ABC=40°∴∠EBD=∠C，∴BE=EC，∴BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．∴AB+BD=AE+BE．2017年3月1日。
2017年全国初中数学联合竞赛福建省赛区初赛试题参考答案及评分标准(1)
l 4a2b2 (a2 b2 c2 )2 ，则 l ( p a)( p b)( p c)
（D）
A． 8. 解析
B． 16.
C．32.
D．64.
l
4a2b2 (a2 b2 c2 )2
8(2ab a2 b2 c2 )(2ab a2 b2 c2 )
因此， AHE ≌ ABC ，则 HE BC ， 所以
EG
GH
HE
BA BC
12 5 17 ，故 SBCE
1 2
BC EG
1 517 2
85 2
.
9. 设 A、B、C 为 1—9 中的任意数字， BC,CA, AB 都表示两位数， 那么
D
E H
D G
A BC BCA C AB 一定能被11 整除.
(a b c a)(a b c b)(a b c c)
(a b c)(a b c)(a b c)
2
2
2
8[(a b)2 c2 ][c2 (a b)2 ] 8(a b c)(a b c)(a b c)(a b c)
解析一 由二次函数的三项系数特征和 y1 0 ，可画出二次函数的图象，由图可得 y2 大
于 0.
解析二 由于 x m 时， y m2 2m a2 0 ，即
(m 1)2 (1 a2 ) 0 ，得到 1 a2 m 1 1 a2 ，
于是， m 2 1 1 a2 0 ，由此得到当 x m+2 时
（C）
A． 2015．
B．2016．
解答数学竞赛题的几种常见方法
解答数学竞赛题的几种常见方法黎仕鹏一、循常规思路出奇制胜例1：若1=abc ，则111++++++++c ca cb bc b a ab a =？分析：分式的加减运算的基本方法是通分，找出公分母．循这种常规思路，结合对称式的特点和条件，可以把第二、三个分式的分母变成与第一个分式的分母一样，把第二个分式的分子分母同乘以a ，第三个分式的分子分母同乘以ab ，即可见答案为1．同类题型练习：已知1=ab ，b a m +++=1111， bb a a n +++=11， 试讨论m 、n 的大小关系.略解:∵0)1)(1(221111=++-=+-++-=-b a abb b a a n m ， ∴n m =. 例2：已知等腰三角形ABC 中，2==AC AB ，在底边BC 上有100个点i P （1=i ，2、3…100），连结i AP ，记i i i i CP BP AP m ⋅+=2，则=+++10021m m m对于等腰三角形，底边上的高是常见的辅助线，带故作高AD ，则222i i DP AD AP +=， ))((i i i i DP CD DP BD CP BP +-=⋅22iDP CD -=，4222==+=AC CD AD m i ，可见答案为400．例3：如图，点B 、C 是线段AD 的三等分点，点P 是以BC 为直径的圆O 上一点，则DPC APB ∠⋅∠tan tan 的值是分析：在直角三角形中才能求出角的正切值，基于这样的思路，可考虑构筑直角三角形．过点B 作PB 的垂线交PA 于E ,则PB BEAPB =∠tan ，过点C 作PC 的垂线交PD 于F ,则PC CF DPC =∠tan ，于是DPC APB ∠⋅∠tan tan 41=⋅=PB CF PC BE ．例4：如图，延长圆O 的弦AB 和直径DE 交于圆外一点C ，若OA BC =，则AOD ∠∶C ∠=在圆中，半径是最常用是元素，连结OB 就可以搭起AOD ∠到C ∠的桥梁，利用三角形的外角性质，容易得出结果为3∶1．字母代表数是最简单和最有用的数学方法，要在解题练习过程中领会其要领．例5：甲、乙两人到商场购买商品，已知两人购买商品的件数相同，每件商品的单价只有8元和9元两种，若两人购买商品一共用了172元求其中单价为9元的商品有几件？解：设每人都购买了n 件商品，其中单价为8元的有x 件，单价为9元的有y 件，则⎩⎨⎧=+=+172982y x n y x 解得 ⎩⎨⎧-=-=n y n x 1617217218 ∵0,0≥≥y x ∴⎩⎨⎧≥-≥-016172017218n n 解得 4310959≤≤n 从而得121016172=⨯-=y ， 故单价为9元的有12件. 例6：一列客车始终作匀速运动, 它通过长为450米的桥时, 从车头上桥到车尾下桥共用33秒; 它穿过长760米隧道时, 整个车身都在隧道里的时间为22秒. 在客车的对面开来一列长度为a 米, 速度为每秒v 米的货车, 两车交错, 从车头相遇到车尾相离共用t 秒. (1) 写出用a 、v 表示t 的函数解析式;(2) 若货车的速度不低于每秒12米, 且不到15米, 其长度为324米, 求两车交错所用时间的取值范围.解：（1）设客车的速度为每秒x 米，客车的长度为y 米，则 ⎩⎨⎧=-=+x y x y 2276033450 解得⎩⎨⎧==27622y x 所以，22276++=v a t （v ＞0，a ＞0）（2）当324=a ，12≤v ≤15时，由（1）得22600+=v t又因为34≤v +22 ≤37 所以，37600＜22600+v ≤17300故t 的取值范围为37600＜22600+v ≤17300．此题有多个未知数,引入多个字母表示,其数量关系就容易显示出来． 例7：设1x , 2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根， 求)2)(21221x x x x --（的最大值.分析：求最大（小）值，按现在我们掌握的方法是根据二次函数式求解，因此，解题的思路是把式子向二次函数形式方向变形．解：由4)2()2(422+-=--=∆a a a ＞0知，a 为任意实数，a x x -=+21，221-=a x x ， )2)(21221x x x x --（212221522x x x x +--=212219)(2x x x x ++-=)2(922-+-=a a 8634922-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a ，当49=a 时，)2)(21221x x x x --（取最大值864-. 二、在等式变形中，特别注意22b a +，b a +和ab 三者之间的关系：ab b a b a 2)(222-+=+，ab b a b a 2)(222+-=+，[])()(412222b a b a ab --+=例1：设m 是不小于－1的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x .（1）若62221=+x x , 求m 的值；（2）求22212111x mx x mx -+-的最大值 解：)1(4)33(4)2(422--=+---=∆m m m m ＞0， 解得m ＜1，又－1≤m ＜1， (1)2122122212)(x x x x x x -+=+101022+-=m m ＝6， 解得2175±=m , 由－1≤m ＜1，所以2175-=m , (2) 22212111x mx x mx -+-[])1)(1()1()1(21122221x x x x x x m ---+-=[]1)()(212121212221++-+-+=x x x x x x x x x x m ＝[]1)42()33()42)(33()10102(222+-++--+-++-m m m m m m m m m )13(2)1()13)(1(222+-=-+--=m m m m m m m m ＝252322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ,因为－1≤m ＜1，所以当1-=m 时，22212111x mx x mx -+-有最大值，最大值为10. 三、11=⋅-x x 的神奇功效1、已知51=+-xx ，则=+-22x x ？2、已知012=--x x ，求441xx +的值. 由012=--x x 得，,112=-xx ∴11=-x x ，两边平方得7144=+x x . 3、若712=+-x x x ，求1242++x x x 的值.解法一（倒数法）：由条件知0≠x ，7112=+-x x x ， 即781=+x x ， 491511111222224=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++x x x x x x x , 1242++x x x ＝1549.解法二：1242++x x x 15494915111122==++=x x .4、已知11=-a a ，求代数式a a+1值. 解：由a a a a a ,1,,011知＞+= 全是正数, 所以541122=+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a故 51=+a a.四、巧妙利用数学概念会出现意想不到的效果例1：满足1-=+ab b a 的非负整数对),(b a 的个数有____对.解：∵01≥-=-ab b a ，1≤ab ，而a 、b 都为非负整数，故a 、b 取值为0和1，经检验知，(0，1)(1，0)，（1，1）共3对满足条件.绝对值是最简单的数学概念，一个数的绝对值是非负数，利用这一概念得到1≤ab 是答题的突破口．例2：若q p ,为质数，且2975=+q p ，求22q p +的值.解：若q p ,都为奇质数，则q p 75+是偶数，若q p ,都为偶质数2，则q p 75+≠29，所以q p ,中必有一个为偶质数2，另一个为奇质数，若2=p ，则q 不是整数，故只有2=q ，此时3=p ，22q p +＝13.例3：实数y x b a ,,,满足5,2=+=+=+by ax y x b a , 求()()2222yx ab xy b a +++的值解：2=+=+y x b a , 4))((=+++=++bx ay by ax y x b a5=+by ax , 1-=+bx ay ，()()=+++2222y x ab xy b a 5))((-=++by ax bx ay条件2=+=+y x b a 是三个等式，这里巧妙地用其两个等量得出4))((=++y x b a ，从而使题目的条件进一步扩大，例4、已知实数b a ≠, 且满足()()()()221313,1331+-=++-=+b b a a ,则baaa b b+值为( ) (A) 23 (B) -23 (C) -2 (D) –13 解：b a ,是关于x 的方程03)1(3)1(2=-+++x x ，即0152=++x x ，1,5=-=+ab b a ，故b a ,均为负数，b a aa b b +ab b a ab a b --=232)(222-=-+-=+-=ababb a ab abb a ．例5、设实数s 、t 分别满足0199192=++s s , 019992=++t t ，并且1≠st ,求ts st 14++的值. 解：第一个等式可化为 01919912=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛s s , 又019992=++t t ，t s ≠1,∴s 1和t 是一元二次方程019992=++x x 的两个不相同的实数根，于是有， 991-=+t s ，191=⋅t s 即s st 991-=+, s t 19=,∴51949914-=+-=++ss s t s st五、消元法是竞赛题常用的方法例1、放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒子有7个小球，且每四个相邻的盒子里共有30个小球，求最右面的盒子里有多少个小球？解：设从左到右小盒里的球数为7，2a ，3a ，4a ，… 1993a ∵307432=+++a a a ，305432=+++a a a a ，∴75=a 同理得===17139a a a …＝14+k a ＝…＝1993a ＝7例2：实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++52154154354324321321a x x x a xx x a x x x a x x x a x x x 其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是实常数，且54321a a a a a >>>>，试确定1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序．思路：对于方程组怎样消元，可根据题目条件的特点找出方向．解：在给定的方程组中的方程按顺序两两相减得2141a a x x -=-，5252a a x x -=-，4313a a x x -=-，5424a a x x -=-∵54321a a a a a >>>>， ∴ 41x x >，52x x >，13x x >，24x x >， ∴52413x x x x x >>>>消元法在很多方面有重要的作用2、某次竞赛共有15个题，下表是对于做对n 0(=n ，1， 215）个题的人数的统计:若又知其中做对4个题和4个题以上的学生每个人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题，问这个表至少统计了多少人.解：由表中可知，做对0个题到3个题的总人数为7＋8＋10＋21＝46人；做对题目总数为7×0＋8×1＋2×10＋3×21＝91题；做对12个题到15个题的总人数为15＋6＋3＋1＝25人；做对题目总数为15×12＋6×13＋3×14＋1×15＝315题；设做对0个题到15个题的人数分别为15210,,,,x x x x ，则有6155415541554=++++++x x x x x x ， 41020101010210=+++++++x x x x x x x即 )(6155415541554x x x x x x +++=+++)(410010101010x x x x x x +++=+++ 两式相减得 )32()151211(321151211x x x x x x ++-+++ ＝ )(4)(610101554x x x x x x +++-+++＝)(2)(4)(610543210151211x x x x x x x x x x ++++++-+++＝)(2)(4)(415432101511x x x x x x x x ++++++-++ ＝)(2)(6)(415132101511x x x x x x x x ++++++-++ ＝)(2)(6)(441513210151211x x x x x x x x x ++++++-+++＝)(2466254415111x x x +++⨯-⨯+ 又913203210=+++x x x x ， 3151514131215141312=+++x x x x ，故 ∑+-+=-+1511111227610049131511i x x x ，111515.3200x x i +=∑（11x ＞0）， 当011=x 时，统计的总人数为最少，最少200人．六、数形结合是解决函数问题的有力武器例1：若abc ≠0，且p bac a c b c b a =+=+=+, 则直线p px y +=一定通过（ ） （A ）第一，二象限 （B ）第二，三象限 （C ）第三，四象限 （D ）第一，四象限 解：由pb a c pa c b pc b a =+=+=+,,, 三式相加得)()(2c b a p c b a ++=++，所以2=p , 或0=++c b a ；当2=p 时，直线22+=x y 通过第一，二，三象限；当0=++c b a 时，1-=p , 直线1--=x y 通过第二，三，四象限；可见，直线一定通过二，三象限.例2：一个一次函数的图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A,B ，并且过点），（251--，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？解：设这个一次函数为b x y +=45, 因为直线过点），（251--，所以495-=b , 可求得A （19，0）B （0，495-），由4)19(5-=x y 知，19-x 能被4整除. 又因为x 是整数，且0≤x ≤19，所以取x ＝3，7，11，15，19时，y 是整数．因此在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有5个.例3：若函数kx y =（k ＞0）与函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则ΔABC 的面积为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) k (D) 2k解：设),(y x A ，则1=xy ，ABO ∆的面积为2121=xy ，又CB O ∆与ABO ∆同底等高，故ABC ∆=2ABO ∆=1．例4：一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为(4,-11), 且与X 轴的两个交点的横坐标为一正一负, 则c b a ,,中为正数的( )(A) 只有a (B) 只有b (C) 只有c (D) 只有a 和b解：由于抛物线顶点为(4,-11), 与X 轴有两个交点，知a ＞0， 设抛物线与X 轴的两个交点坐标为1x ，2x ，则acx x =⋅21＜0，所以c ＜0，又由对称轴4=x ，得ab2-＞0，知b ＜0，可见只有a ＞0. 七、等底等高的两个三角形面积相等是竞赛题的热点 例1：E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，若BEG ∆的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积是略解：由条件得21==AD EB GA EG，∴31=EA EG ， ∴31=∆∆ABE BEG S S ，∴3=∆A B E S ，∴．平行四边形ABCD 的面积124==∆ABE S S例2：如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，1=FC DF ，2=EBCE，若ADF ∆的面积为m ，四边形AECF 的面积为n (m n >),则四边形ABCD 面积是略解：连AC ，则m S S ADF AFC ==∆∆， m n S ACE -=∆，)(2121m n S S ACE AEB -==∆∆， 四边形ABCD 面积是m n m n n m 2123)(21+=-++例3：设H 是等腰三角形ABC 的重心，在底边BC 不变的情况下，让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小？变大？还是不变？略解：不妨设A ∠是锐角，连结AH 并延长交BC 于点D ，延长BH 、CH ，分别交AC ，AB 于点E 、F ， ∵AHE BHD ∠=∠，∴HAE HBD ∠=∠， ∴BDH Rt ∆ADC Rt ∆，∴HDDCBD AD =， 又BC DC BD 21==，∴241BC DC BD HD AD =⋅=⋅，于是HBC ABC S S ∆∆⋅41612121BC BC HD BC AD =⋅⋅⋅=， ∴当︒≥∠90A 时，上式也成立，故A ∠是不变．例4：（03联赛）设ΔABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且31=AB AD ，若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EACE 的值为（ ） (A) 21 (B) 31(C) 41 (D) 51AD E BCDF CE解：连结BE ，41431=-=∆ADE S ，设x AC CE =，则x S ABE -=∆1，4131=-=∆x S ADE，41=x ，31=EA CE ，选B ． 例5： (99竞赛)在ΔABC 中, D 是边BC 上的一点, 已知5=AC ,6=AD ,10=BD , 5=CD , 求ΔABC 的面积。
“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案.docx
2019 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019 年 3 月 17 日9∶00－11∶00满分 150 分一、（共 5 小，每小 7 分，共 35 分）。
每道小均出了代号 A ，B， C，D 的四个，其中有且只有一个是正确的。
将正确的代号填入后的括号里，不填、多填或填都得0 分）1．若一次函数y x 2 与反比例函数y 4的像交于 A(x1，y1) ， B( x2，y2 ) 两点，xx1 x2y1 y2的（）A ．8B．6C．6D．8【答案】Dy x2【解答】由4，得x22x40⋯⋯⋯⋯⋯①。
yx依意，x1， x2是方程①的两根，于是 x1x22 ， x1 x2 4 。
∴x1 x2y1 y24416416x1 x2x1x2x1 x28。
x1x242．如，△ABCO 的内接三角形， D BC 中点， EOA 中点，ABC40 ，BCA80，OED 的大小（）A ．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】如， OC 。
（第 2 ）由 ABC40 ，BCA80 ，得BAC60。
∵ D BC 中点，∴OD BC ，DOC 1。
BOCBAC 602∴OCD 30， OD 1OC 。
2又 E OA 中点，∴OE 1OA OD 。
2（第 2 答）合ABC 40，知EOD AOC COD 2 40 60 140 ，1OED 1(180EOD )1(180140 )20。
223．已知二次函数 f ( x)2x2ax b ，若 f (a) f (b1) ，其中 a b 1 ，则 f(1) f (2) 的值为（）A ．8B．10C．12D．14【答案】A【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知a b 1a。
于是， 3a2b 2 。
24所以， f (1) f (2)(2a b)(82a b)3a2b102108 。
4．如图，在四边形ABCD中，AB BC ， BCD 120，CD DA ，且 BC 6 ， CD 3 ，则四边形 ABCD 外接圆的面积为（）A ．7B．21C．63D．84【答案】B【解答】如图，设 BC 、 AD 的延长线交于点 P 。
初中数学竞赛常用解题方法代数
初中数学竞赛常用解题方法（代数）一、 配方法例1练习：若2()4()()0x z x y y z ----=，试求x+z 与y 的关系。
二、 非负数法例21()2x y z =++. 三、 构造法（1）构造多项式例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.，那么它们的立方和被6除，得到的余数是( )(A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的（2）构造有理化因式例4、 已知(2002x y ++=.则22346658x xy y x y ----+=___ ___。
（3）构造对偶式例5、 已知αβ、是方程210x x --= 的两根，则43αβ+的值是___ ___。
（4）构造递推式例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,227ax by +=,3316ax by +=,4442ax by +=.求55ax by +的值___ ___。
（5）构造几何图形例7、（构造对称图形）已知a 、b 是正数，且a + b = 2. 求u =___ ___。
练习：（构造矩形）若a ，b 形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于___________。
四、 合成法例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组123451234512345123451234520212224248296x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。
五、 比较法（差值比较法、比值比较法、恒等比较法）例9、71427和19的积被7除，余数是几？练习：设0a b c >>>，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.六、 因式分解法（提取公因式法、公式法、十字相乘法）1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+例10、设n 是整数，证明数323122M n n n =++为整数，且它是3的倍数。
2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛解析版
2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2021年3月14日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.若当13x -≤≤时，二次函数223y x x m =-+的最大值为6，则m =（）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【解答】∵13x -≤≤时，2239232()48y x x m x m =-+=--+的有最大值为6。
∴3x =时，6y =。
∴1896m -+=。
∴3m =-。
2.已知a ，b ，c 为正数，且满足3815a b ab b c bc c a ca ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，则32a b c ++=（）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B【解答】由3815a b ab b c bc c a ca ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得(1)(1)4(1)(1)9(1)(1)16a b b c c a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩。
∴222(1)(1)(1)4916a b c +++=⨯⨯。
∵a ，b ，c 为正数，∴(1)(1)(1)24a b c +++=。
于是，16c +=，813a +=，312b +=。
∴53a =，12b =，5c =，3251511a b c ++=++=。
3.已知0x >，且13x x +=，则551x x+=（）A ．121B ．122C ．123D ．124注：参考资料“杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。
如下所示，由“杨辉三角”可以得到()n a b +展开式中各项的系数。
【答案】C 【解答】由“杨辉三角”，知3322333111111(33()()3()x x x x x x x x x x x x+=+⋅+⋅+=+++。
1_福建省2019年“大梦杯”初中数学竞赛试题含参考答案
2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2019年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=︒。
将OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）A ．(13)，B ．(33)，C ．(33)，D ．(31)， 【答案】 B【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。
依题意，23CA OA ==，260CAO BAO ∠=∠=︒。
所以，3CD =，3AD =，3OD =。
因此，点C 的坐标为(33)，。
2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 【答案】 A【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。
因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。
[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。
或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。
3．若关于x 的方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）A ．6-B ．30-C ．32-D ．38- 【答案】 D 【解答】方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。
-2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案共四页
2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2015年3月15日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题(共5小题，每小题7分，共35分)1．已知a =3222621a a a a ++=-( ) A ．B C ． 2 D 2【答案】A 【解答】 由a =21a =，21a +=24413a a ++=，2212a a =-。
∴3232222626112133212222a a a a a a a a a a a a ++++-==---=-----211)1a =--=--= 2．将编号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子内，每个盒子放2个球。
则编号为1，2的小球放入同一个盒子内的概率为( ) A ．215 B ．15 C ．25 D ．35【答案】B 【解答】 将6个小球分成3堆，每堆2球，共有下列15种不同的分堆方法(堆与堆之间不考虑顺序)：(12)，，(34)，，(56)，；(12)，，(35)，，(46)，；(12)，，(36)，，(45)，；(13)，，(24)，，(56)，；(13)，，(25)，，(46)，；(13)，，(26)，，(45)，；(14)，，(23)，，(56)，；(14)，，(25)，，(36)，；(14)，，(26)，，(35)，；(15)，，(23)，，(46)，；(15)，，(24)，，(36)，；(15)，，(26)，，(34)，； (16)，，(23)，，(45)，；(16)，，(24)，，(35)，；(16)，，(25)，，(34)，。
其中，编号为1，2的小球分在同一堆的情形有3种。
∴编号为1，2的小球放在同一个盒子内的概率为31155=。
3．已知圆O 是边长为ABC 的内切圆，圆1O 圆O 外切，且与ABC△的CA 边、CB 边相切，则圆1O 的面积为( )A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】A 【解答】 如图，设圆O 切CB 边于D ，圆1O 切CB 边于E ，且圆O 的半径为R ，圆1O 的半径为r 。
福州市数学奥林匹克竞赛解题方法大全
福州市数学奥林匹克竞赛解题方法大全数学奥林匹克竞赛是一项针对中小学生的竞赛活动，旨在培养学生的数学思维能力、发展数学创造力和解决问题的能力。
在福州市的数学奥林匹克竞赛中，学生们需要展示他们的数学才能，并在一系列复杂的问题中找到解题的方法。
下面将介绍一些在福州市数学奥林匹克竞赛中常用的解题方法：1.简化问题：在解决问题之前，要先理解问题的关键，确定所给条件、所求或者要证明的结论，并对问题进行逐步简化。
可以通过等价转化或者引入适当的变量等方式将问题转化为更简单的形式，从而降低解题难度。
2.利用数学工具：在解题过程中，充分运用各种数学知识和工具。
例如，可以使用代数、几何、组合数学等相关知识，结合计数原理、概率、不等式等方法，来解决具体的问题。
3.创造性思维：数学奥林匹克竞赛注重培养学生的创造性思维能力。
要善于发现规律、找到问题的特殊性质，从而使用一些独特的方法解决问题。
有时候，需要一些灵感和直觉，以及一定的数学洞察力。
4.构造反证法：反证法是一种常用的证明方法，也可以用来解决问题。
设想所要解决的问题不成立，从而推导出一个矛盾的结论，进而排除这种情况。
通过反证法，可以推断出满足条件的唯一解或者结论的正确性。
5.分析条件和限制：解决数学竞赛问题时，不能仅仅是按照题目的要求机械地套用公式或方法。
学生们应该深入分析问题的条件和限制，理解其背后的数学原理，并根据这些限制条件提出解题思路。
6.逆向思维：有时候，在解决数学竞赛问题时，很难直接从已知信息出发找到解题方案，这时可以考虑逆向思维。
即从所求结果出发，逆向推导出一些可能的条件或者结论，从而找到解题的线索。
7.综合运用：在解决问题时，往往需要综合运用多个不同的数学知识点和解题技巧，或者将不同的方法进行组合，以达到解决问题的目的。
在福州市的数学奥林匹克竞赛中，能够灵活地综合运用各种方法是非常重要的。
总之，福州市数学奥林匹克竞赛解题方法包括简化问题、利用数学工具、创造性思维、构造反证法、分析条件和限制、逆向思维以及综合运用等。
九年级竞赛辅导《数学竞赛常用解题方法》
【点评】本例我们可采用“换元法”． “换元法”最根本的作用 之一就是使复杂的问题简单化，排除那些不必要的形式上的干扰， 从纷纭混乱的结构中，简洁明快的提示出总是的本质特征，从而 找到解决问题的捷径．
一、换元法
一、换元法
分析：本题从方程组的形式上看比较复杂，但通过比较不难发 现，两个方程有着相似之处，于是考虑可采用换元法，从而使 问题简化．
二、特殊化法
二、特殊化法
特殊位置
二、特殊化法
三、整体处理法
例．九个袋子分别装有9，12，14，16，18，21，24， 25，28只球，甲限走若干袋，乙也取走若干袋，最后 只剩下一袋，已知甲取走的球的总数是乙的两倍，则 剩下的那一袋有球（ ）． A．14个 B．16个 C．25个 D．28个 【点评】本题如果试图分别求出甲和乙取走的是那几 袋，然后确定其总球关系，显然不现实，但要是我们 整体考虑球的总数，问题就会变得简单多了．
造性地联想．
((
五、数字化法
例：将平面上n个点P1，P2，P3，…，Pn顺次排列在同一 条直线 l上，每个点均被染上红色或蓝色．如果相邻点间 的线段PiPi+1的两端为不同的颜色，则称PiPi+1为“好线 段”.已知P1和Pn为异色，求证：“好线段”的条数一定 是奇数．
【点评】初看本题似乎无从下手，究其原因，是题目中根本就没 有可以让我们动手操作的数或量．因此我们只有另辟蹊径，把原 本与数字似乎毫不相干的颜色赋以了具体的数值，从而使原有问 题变成了一个纯数学运算问题．将原实际问题中的某些事物赋以 具体的数量，并运用数学运算的结果来回答实际问题，这就是 “数字化法”．需要指出的是，数字化的赋值不是任意的，所赋 的数值要根据实际问题中事物的具体性质而定．本题中“＋1，－ 1”赋值法，是常用的一种数字化赋值的方法．
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标...
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每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得21nm=+（舍负根）。
∴ 21nm=+。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
初中的数学奥赛题解答技巧
初中的数学奥赛题解答技巧数学奥赛是对学生数学能力的一种全面考核，无论是脑筋急转弯题还是数学运算题，都需要学生具备一定的解题技巧。
下面将介绍一些初中数学奥赛题解答的技巧，希望对同学们有所帮助。
一、理清题意，仔细分析数学奥赛题往往是以文字题的形式呈现，考察学生对于问题的理解和解题思路的合理运用。
因此，理清题意是解答问题的第一步。
在阅读题目时，同学们需要仔细分析问题，明确求解的目标，并确定解题步骤。
可以对问题进行拆解，将复杂的问题转化为简单的子问题，以便更好地解决。
二、多角度思考，运用多种解题方法在解答数学奥赛题时，多角度思考是非常重要的。
同一个问题，可以有多种解题方法和思路，不要局限于一种解法。
同学们可以根据题目的特点，灵活运用已学的数学知识，选择合适的方法解决问题。
例如，在解决几何问题时，可以尝试使用几何知识和图形的性质，利用相似三角形、圆的性质等进行推理和计算。
而在代数问题中，可以尝试建立方程、列方程组等方式进行解答。
多角度思考有助于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
三、学会归纳总结，积累解题经验数学奥赛题荟萃了各种各样的题型，通过不断练习和归纳总结，可以积累解题经验。
学会看到问题的本质和规律，将问题分类并归纳总结共同点和特点，有助于学生以往经验的运用和新题目的解答。
阅读数学奥赛的解题经验分享，勤记笔记，将每一个题目的解法、思路和技巧记录下来，并及时复习巩固。
在解答新题目时，可以参考已有的解题经验，在问题类似的情况下更快地找到解题思路，提高解题效率。
四、边做边检查，注意细节错误解答数学奥赛题需要保持清晰的思维和准确的计算，因此边做题边检查是非常重要的。
在解答过程中，同学们要注重计算的准确性，避免疏漏和粗心错误。
可以逐步推进解答，将每一步的结果代入，检查是否符合题目要求，排除答案错误的可能性。
另外，注意题目中给出的限制条件和假设，避免在解答过程中违反这些条件。
同时，在解答选择题时，要注意仔细阅读选项，对比每个选项的优劣，并根据题目给定的条件进行逐一排除，找出正确答案。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准(解析版)
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得21nm=+（舍负根）。
∴ 21nm=+。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
2021年“学会杯”福建省泉州南安市初二数学竞赛试卷和参考答案及评分标准
2021年“学会杯”南安市初二数学竞赛 参考答案及评分标准（考试时间：2021年5月23日上午9∶00-11∶00 总分150分）一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）.每道小题均给出了代号为 A ，B ，C ，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分1. 已知5x y -=，则点(),x y 一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】由5x y -=得5y x =-，图象是一条直线，过一、三、四象限，不经过第二象限. 故选：Ｂ2. 如果a b c ，，是正数，且满足6a b c ++=，111103a b b c c a ++=+++， 那么c a ba b b c c a+++++的值为( ) A ．17 B ．18 C ．19 D ．20 【解答】a ，b ，c 是正数，6a b c ++=，∴6a b c =--，6b a c =--，6c a b =--，∴原式666a b b c a ca b b c c a ------=+++++666111a b b c c a =-+-+-+++ 1063173=⨯-= 故选：Ａ．3. 在式子|||2||3||5|x x x x ++++++中，用不同的x 值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是( )A ．2B ．4C ．5D ．6 【解答】令|||5|a x x =++，|2||3|b x x =+++，|||2||3||5|t x x x x a b =++++++=+，根据绝对值的几何意义，a 表示点x 到0与5-两点的距离之和，分析可得当−5≤x ≤0时，a 最小，其值为5， b 表示点x 到2-与3-两点的距离之和，分析可得当−3≤x ≤−2时，b 最小，其值为1， 综合可得，当−3≤x ≤−2时，a 、b 均取得最小值， 故此时t 取得最小值，且t 的最小值为516+=， 故答案为6．故选：D ．4. 如图，点P 在双曲线11k y x=( x ＞0)上，P A ⊥x 轴于点A ，PB ⊥ y 轴于点B ，P A ，PB 分别与双曲线22k y x=（0＜k 2＜k 1，x ＞0）交于点C ，D ，DN ⊥x 轴于点N .若PB ＝3PD ，S 四边形PDNC ＝4，则 k 1的值为（ ） .A ．8B ．9C ．18D ．19 【解答】P 在双曲线11(0)k y x x=>上，PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，1APBO S k ∴=矩形， 点D 在双曲线22k y x=上，DN x ⊥轴， 2BOND S k ∴=矩形，连接OC ， 点D 在双曲线22k y x=上， 212ACO S k ∆∴=， 3PB PD =，11133APDN APBO S S k ∴==矩形矩形，2123BOND S k k ==矩形，PD AN =，PB OA =，13AN OA ∴=，21111369ACN AOC S S k k ∆∆∴===，1111439ACN PDNC APDN S S S k k ∆=-=-=四边形矩形，118k ∴=，故答案为：Ｃ．5. 如图，△ABC 中，∠ABC =30°，AB =5，BC =6，P 是△ABC 内部的任意一点，连接P A ，PB ，PC ，则P A+PB+PC 的最小值为（ ）.A ．8BC ．11D ．30【解答】如图，将ABP ∆绕着点B 逆时针旋转60︒，得到DBE ∆，连接EP ，CD ， ABP DBE ∴∆≅∆ABP DBE ∴∠=∠，6BD AB ==，60PBE ∠=︒，BE PE =，AP DE =，BPE ∴∆是等边三角形EP BP ∴=AP BP PC PC EP DE ∴++=++ ∴当点D ，点E ，点P ，点C 共线时，PA PB PC ++有最小值CD 30ABC ABP PBC ∠=︒=∠+∠30DBE PBC ∴∠+∠=︒ 90DBC ∴∠=︒CD ∴=二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）6. 已知三个数：662、444、226，则最小的数是 . 解：16661112(2)64==，4441111(44)256==， 22211116(6)36==，36<64<25，∴662244624<<，∴最小的数是226，答案为226.7. 如图，∠ACB =90°，AB =10，ＢC =6，点Ｄ是AB 边上 的一个动点，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ， 则EF 的长最小值为 ． 解：连接CD ，如图所示：90BCA ∠=︒，10AB =，6BC =，8AC ∴==，90BCA ∠=︒，DE BC ⊥，DF AC ⊥ ∴四边形EDFC 为矩形，EF CD ∴=，∴当CD AB ⊥时，CD 最短，5241068=⨯=⋅=AB BC AC CD ， EF ∴的最小值是245，故答案为：245． 8. 对于有理数x 、y ，定义新运算“※”：x ※y mx ny p =++，其中m 、n 、p 均为常数， 等式右边的运算是通常的加法与乘法，已知3510=※，46410=※，则810※的值为 ． 解：根据定义的新运算等量关系可以得到：353510m n p =++=※ 4646410m n p =++=※即：3510m n p ++= ①46410m n p ++= ②式子②-①得：400m n +=， 反代入①得：33210m n n p +++=10)2()（3=+++p n n m10)2(4003=++⨯p n即：21190n p +=-，∴()810810882840011902010m n p m n n p =++=+++=⨯+-=※. ∴答案为2010.9. 如图1，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．由三角形内角和为180︒易得A C B D ∠+∠=∠+∠．如图2，已知CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与CD 、AB 分别相交于点M 、N ．若∠B = m°，∠C = n°，则P ∠的度数（用含m 、n 的代数式表示）为 ︒．解：以M 为交点的“8字型”中，有P CDP C CAP ∠+∠=∠+∠，以N 为交点的“8字型”中，有P BAP B BDP ∠+∠=∠+∠ 2P BAP CDP B C CAP BDP ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，AP 、DP 分别平分CAB ∠和BDC ∠， BAP CAP ∴∠=∠，CDP BDP ∠=∠， 2P B C ∴∠=∠+∠，又 ∠B = m°，∠C = n°，∴∠P=21(∠B+∠C)= 21( m+ n)∴答案为21( m+ n)10. 如图，ABC ∆的边4AB =，3AC =，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示 以AB 、AC 、BC 为边的正方形，求图中三个阴影部分的面积之和的最大值是 .解：把CFH ∆绕点C 顺时针旋转90︒，使CF 与BC 重合，H旋转到H '的位置，四边形ACHM 为正方形，90ACH ∠=︒，CA CH CH =='， A ∴、C 、H '在一直线上，且BC 为ABH '∆的中线，CHF ABC BCH S S S '∆∆∆∴==，同理：BDG AEM ABC S S S ∆∆∆==，所以阴影部分面积之和为ABC S ∆的3倍，即当ABC ∆面积最大时，阴影部分面积之和最大， 又4AB =，3AC =若过点B 作BM ⊥AC 于M 点，则BM BA ≤(垂线段最短）， 即4BM ≤，BM 的最大值为4 即当AB AC ⊥时，ABC S ∆最大值为：13462⨯⨯= ∴阴影部分面积的最大值为3618⨯=（平方单位）．故答案为：18三、解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分）11.某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，乙种水果的进价比甲种水果的进价每千克多2元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？（2）该水果商根据平常的销售情况，决定甲种水果的销售价定为每千克12元，乙种水果的销售价定为每千克15元，若购进甲种水果的数量是乙种水果数量的4倍少5千克，且购买资金不超过4160元，按定价全部出售后至少可获利1450元.设购进乙种水果数量a 千克. ① 求a 的取值范围；② 水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）设甲种水果的进价是每千克x 元，则乙种水果的进价是每千克(2)x +元， …………………………………………………………1分根据题意，得80010002x x =+， …………………………………………………5分 解得，8x =， ……………………………………………………8分 经检验，8x =是所列分式方程的解， ……………………………9分 ∴210x +=，答：甲、乙两种水果的进价分别是每千克8元、10元 …………10分（2）由购进乙种水果a 千克，得购进甲种水果5a -（4）千克， ………11分设利润为w 元，AB(128)45(1510)2120w a a a =--+-=-（）， ……………………13分∵购买资金不超过4160元，按定价全部出售后至少可获利1450元 ∴2120145085104160a a a -≥⎧⎨-+≤⎩（4），…………………………………………………15分解得：70100a ≤≤， .………………………………………………………17分 ∵2120w a =-，w 随a 增大而增大. ………………………………………18分 ∴当100a =时，w 取得最大值，此时2080,45395w a =-=， ………19分 答：水果商进货甲种水果395千克，乙种水果100千克，才能获得最大利润，最大利润是2080元． ……………………………………………20分12. 为了预防春季传染病的传播，某校对教室采取喷洒药物进行消毒．在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y (3/m mg )与药物在空气中的持续时间x (分钟)之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）当室内空气中的含药量不低于3/5m mg 且持续时间不低于30分钟时，才能完全有效杀灭传染病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效?（3）当室内空气中的含药量低于3/m mg a 时，对人体才是安全的，若从喷洒药物开始，至少需要经过60分钟后，学生才能进入室内，求a 的取值范围.解：（1）设线段OA 的解析式为：()0≠=k kx y OA ，……………………………1分把点()10,5A 代入kx y =，得：2=k . ………………………………2分∴线段OA 的解析式为：x y OA 2=()50≤≤x ………………………3分 由题意得：()8,15B . …………………………………………4分 设线段AB 的解析式为：b ax y AB +=，…………………………………5分把点()10,5A 、()8,15B 代入得⎩⎨⎧+=+=ba ba 158510 ………………………………7分解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=1151b a …………………………………………9分∴线段AB 的解析式为：1151+-=x y AB ()155≤≤x …………………10分 当15≥x 时，设双曲线的解析式为xmy =， ……………………11分 把点()8,15B 代入xmy =，得：120=m . ……………………12分 ∴双曲线的解析式为xy 120=)15(≥x ……………………13分 ∴2(05)111(515)5120(15)x x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪≥⎪⎩……………………14分（2）在x y OA 2=()50≤≤x 中，当5=y 时，5.2=x……………………15分在xy 120=()15≥x 中，当5=y 时，24=x . ……………………16分 ∵305.215.224<=-，∴不符合有效杀灭某种传染病毒的时间，故此次消毒不完全有 …………17分 （3）依题意得：12060a≥ ……………………19分 ∴a 的取值范围是a ≤2. ……………………20分13. 规定：在平面直角坐标系内，某直线l 1绕原点O 顺时针旋转90°，得到的直线l 2称为l 1的“旋转垂线”.（1）直接写出直线3y x =-+的“旋转垂线”的解析式为：y = ； （2）若直线)0( 111≠+=k x k y 的“旋转垂线”为直线b x k y +=2. 求证：121-=⋅k k （3）由特殊到一般，我们可以通过证明得到结论：如果直线1111(0)y k x b k =+≠与直线)0( 2222≠+=k b x k y 互相垂直，那么121k k ⋅=-. 你可以直接利用这个结论解决下面问题：如图，在平面直角坐标系中，点Ａ（6，0），点Ｂ（0，2），点Ｐ是直线1y x =--上 一点，45ABP ︒∠=度，求点Ｐ的坐标.解：（1）直线3y x =-+的“旋转垂线”为：3y x =- ……………………4分附解答过程：∵直线3y x =-+经过点（3，0）、（0，3），∴这两点绕原点O 顺时针旋转90°的对应点为（0，3-）、（3，0） 设直线3+-=x y 的“旋转垂线”的解析式为)0( ≠+=k m kx y把（0，3-）与（3，0）代入 m kx y +=得：330b k m =-⎧⎨+=⎩.解得13k m =⎧⎨=-⎩.即直线3y x =-+的“旋转垂线”为3y x =-；（2）证明：∵直线)0( 111≠+=k x k y 经过点（11k -，0）、（0，1）……6分 这两点绕原点O 顺时针旋转90°的对应点为（0，11k ）、（1，0）， ……8分 把（0，11k ）与（1，0）代入b x k y +=2，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=0121b k k b ……………………10分∴0112=+k k ，∴121-=⋅k k . ……………………12分 （3） 将线段BA 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BD ，则(2,4)D --， ………………13分 设直线AD 的函数解析式为y kx b =+ 把(6,0)A 、(2,4)D --代入得：2460k b k b -+=-⎧⎨+=⎩，解得123k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………14分 ∴直线AD 的函数解析式为132y x =- ……15分∵1452ABP ABD ︒∠==∠ ∴BP AD ⊥ ……………………16分 由题目提供的结论，可设直线BP 的函数解析式为12y x b =-+． ∵Ｂ为（0，2）∴BP 为直线22y x =-+ ……………………17分 由221y x y x =-+⎧⎨=--⎩，解得34x y =⎧⎨=-⎩， ……………………19分∴点P 坐标为(3,4)- ……………………20分14. 如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点B 在x 轴负半轴上，四边形OACB 是平行四边形，OA 所在直线的解析式为y =，4OA =，反比例函数(0)k y k x=＜在第二象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，过点F作//EF OB ，交OA 于点E ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点F OACB 的面积；（3）在第（2）题的条件下，若点P 在直线EF 上，△PBC 是以BC 为一条直角边的直角三角形，求点P 的坐标．解：（1）∵OA 所在直线的解析式为y =，∴设第二象限的Ａ为(),m ……………………1分4OA =4=4= 解得22m m ==-或， ……………………2分∵点Ａ在第二象限，∴2m =-∴Ａ为(- …………………3分反比例函数(0)k y k x =＜在第二象限内的图象经过点A ，2k ∴-，解得：k =-，∴反比例函数解析式为：y = ………………4分（2）点F 在反比函数的图象上，点F ∴点(F -，……………5分∵//EF OB ，∴点Ｅ ……………………6分∵点Ｅ在ＯＡ上，即Ｅ在直线y ==，∴1x =-，…7分 ∴()143EF =---= ……………………8分∴3OB EF == ……………………9分 平行四边形OACB 的面积＝36323=⨯=⋅A y OB ……………………10分（3）由（2）得(C - ……………………11分//EF OB ，∴点P ……………………12分设点(P x ，2222C (5)1028P x x x ∴=++=++，……………………13分2222B 3612P x x x =++=++（）， ……………………14分216BC =，当△PBC 是以BC 为一条直角边的直角三角形时，存在两种情况：① 当90PCB ∠=︒时，222PC BC PB +=，即22102816612x x x x +++=++， ……………………15分解得：8x =-， ……………………16分1(P ∴-； ……………………17分 ② 当90PBC ∠=︒时，222PB BC PC +=， ……………………18分即22612161028x x x x +++=++，解得：0x =，2P ∴． ……………………19分综上可得：点P 的坐标为：1(P -，2P ．……………………20分。
初中数学竞赛福建赛区试题参考答案140
建阳外国语学校八年级下数学奥赛兴趣班培训资料二2012年全国初中数学竞赛试题参考答案（05.26）一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．（第1（甲）题）（A）2c-a（B）2a-2b（C）-a（D）a1（乙）．如果，那么的值为（）．（A ）（B ）（C）2 （D ）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）．（A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2）2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．（A）1 （B ）（C ）（D ）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC 是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（）．（第3（乙）题）（A ）（B）4 （C ）（D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（A） 5 （B） 6 （C）7 （D）85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．（A ）（B ）（C ）（D ）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是.（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .（第7（甲）题）（第7（乙）题）7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于x的方程x2+kx +k2－3k += 0的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012.若能被5整除，则所有的个数为.9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c ，则的取值范围是.10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为.（第10（甲）题）10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系xOy中，AO = 8，AB = AC，sin∠ABC =．CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE 的延长线与交于点，求证：△BOC ∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD 的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n ，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．2012-04-16 人教网一、选择题1（甲）．C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）．B解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2.因为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）．D解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）．B解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.（第3（乙）题）由于AC = BC，CD = CE，∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，所以△BCD≌△ACE，BD = AE.又因为，所以.在Rt △中，于是DE =，所以CD = DE = 4.4（甲）．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y 元，均为非负整数. 由题设可得消去x得(2y－7)n = y+4，2n =.因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．4（乙）．C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即. 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．5（甲）．D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．5（乙）．C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，．二、填空题6（甲）．7＜x≤19解：前四次操作的结果分别为3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.由已知得27x－26≤487，81x－80＞487.解得7＜x≤19.容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是7＜x≤19．6（乙）．7解：由已知可得．7（甲）．8解：连接DF ，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以，由此得，所以.（第7（甲）题）在Rt△ABF 中，因为，所以，于是.由题设可知△ADE≌△BAF，所以，.于是，，.又，所以.因为，所以.7（乙）．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．（第7（乙）题）所以.8（甲）．解：根据题意，关于x的方程有=k2－4≥0，由此得 (k－3)2≤0．又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x +=0，解得x1=x2=.故==．8（乙）．1610解：因为==.当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；当被5除余数是0时，不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为．9（甲）．8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0≤b≤43.又，所以. 于是0≤≤43，87≤≤130，由此得，或.当时，；当时，，，不合题设.故．9（乙）．≤1解：由题设得所以，即.整理得，由二次函数的图象及其性质，得.又因为≤1，所以≤1.10（甲）．解：如图，连接AC，BD，OD.（第10（甲）题）由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠BCF =∠BAD,所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此.因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，于是. 因此.由△∽△，知．因为，所以，BA =AD，故.10（乙）. 12解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．三、解答题11（甲）．解：因为当时，恒有，所以，即，所以．…………（5分）当时，≤；当时，≤，即≤，且≤，解得≤．…………（10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得．因为，所以，解得，或．因此．…………（20分）11（乙）．解：因为sin∠ABC =，，所以AB = 10．由勾股定理，得BO =.（第11（乙）题）易知△ABO≌△ACO，因此CO = BO = 6.于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB. 所以，，解得n=－4.因此D为AB的中点，点D的坐标为（3，－4）.…………（10分）因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△A BC的重心，所以点E 的坐标为.设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.…………（20分）12（甲）．证明：连接BD ，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．（第12（甲）题）…………（5分）设与交于点，连接OM ，则．又因为，所以．…………（15分）又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC ∽△．…………（20分）12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知（第12（乙）题）所以CI = CD．同理，CI = CB.故点C是△IBD的外心.连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI.故OI是△IBD外接圆的切线.…………（10分）（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F. 由，知OC⊥BD.因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE，所以BF = AE.又因为I是△ABD的内心，所以AB+AD－BD = 2AE = BD.故AB+AD = 2BD．…………（20分）13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.因为(a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2，(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.…………（5分）因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以2a－m+2n m 2，2a－m－2n1.解得a，.于是= a－m.…………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a ≥=2025.当时，，，.因此，a的最小值为2025.…………（20分）13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；…………（5分）（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．…………（10分）（3）若，且≤≤．当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．由≤可得；由≥8可得，且．…………（15分）（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．…………（20分）14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是≤．…………（10分）当时，令，则.…………（15分）当时，其中≤≤，令，则．综上，满足条件的所有正整数n为．…………（20分）14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．所以，≥．…………（10分）下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．。
福建初中数学几何解答压轴大题讲解
福建初中数学几何解答压轴大题讲解摘要：一、引言二、福建初中数学几何压轴大题类型及解题策略1.几何图形的性质与应用2.几何变换与组合图形3.几何证明与推理三、解题步骤与技巧1.分析题目，确定解题思路2.运用几何知识与公式3.熟练掌握解题方法与技巧4.验算与总结四、实战演练与例题解析1.题目一：三角形性质与应用2.题目二：四边形性质与应用3.题目三：圆的相关问题五、总结与建议正文：一、引言在福建初中数学考试中，几何解答题一直是压轴大题的热门题型。
许多学生对此感到困惑和无助，因此我们专门针对这一题型进行讲解，帮助大家掌握解题方法和技巧。
二、福建初中数学几何压轴大题类型及解题策略1.几何图形的性质与应用这类题目主要考察学生对基本几何图形（如三角形、四边形、圆等）的性质和应用的理解。
解题关键是熟悉各类图形的性质，并能灵活运用。
2.几何变换与组合图形此类题目要求学生对几何图形进行变换（如平移、旋转、翻转等），并分析组合图形的性质。
解题时要注意观察图形的变换规律，运用组合图形的性质。
3.几何证明与推理这类题目主要考察学生的证明能力和推理能力。
解题时要熟练掌握几何证明的方法，如综合法、分析法、反证法等，并能根据已知条件和结论进行合理推理。
三、解题步骤与技巧1.分析题目，确定解题思路：首先要认真阅读题目，分析题目的要求和条件，确定解题思路。
2.运用几何知识与公式：解题时要熟练运用几何知识和公式，如三角形、四边形、圆的性质和公式。
3.熟练掌握解题方法与技巧：针对不同类型的题目，要熟练掌握相应的解题方法和技巧，如求解几何图形周长、面积的方法，证明题目的方法等。
4.验算与总结：解题过程中要注意验算，确保计算准确无误。
解题结束后要进行总结，积累经验，提高解题能力。
四、实战演练与例题解析1.题目一：三角形性质与应用（略）2.题目二：四边形性质与应用（略）3.题目三：圆的相关问题（略）五、总结与建议通过对福建初中数学几何解答压轴大题的讲解，希望能帮助同学们掌握解题方法和技巧。
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D.
4 7
2 试题解析 分析 本题以三角形为基本图形,主要考查三角
形重心的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角 形的判定与性质等知识点. 求线段比的常用方法是构 造平行线,利用平行线分线段成比例定理及相似三角 形的性质求解. 对本题而言,一方面,可构造平行线求 解;另一方面,可利用梅涅劳斯定理求解.
4 7
.
故选
D.
解法 3 如图 4,连接 AG 并延长
交 BC 于点 F. 过点 G 作 GH / / BC,交
AC 于点 H.
因为点
G
为△ABC
的重心,所以GCHF
=
AG AF
=
2 3
.
因为 GH
/
/ BC,所以ECHE
=
GH CD
=
2 3
CF
3CF
=
2 9
.
令 EH = 2k,则 CE = 9k,CH = 7k,AH = 14k.
=
DF DH
=
1 2
.
所以CAEE
=
CD DH
=
3 2
DFLeabharlann DH=3 4
.
所以AAEC
=
4 7
.
故选
D.
解法 8 如图 9,连接 AG 并延
长交 BC 于点 F. 过点 C 作 AF 的平
行线,交 DE 的延长线于点 H.
易知 AG = 2FG,BD = BF = CF.
易知CFHG
=
DF CD
=
2 3
BF = FC,AG = 2FG.
因为
BD
=
1 2
BC,所以
BD
= BF
= CF.
由△DHF∽△DEC,知FCHE
=
DF CD
=
2 3
.
令 FH = 2k,则 CE = 3k.
由△GHF∽△GEA,知FAEH
=
FG AG
=
1 2
.
所以 AE = 2FH = 4k.
所以AAEC
=
4k 4k + 3k
=
万方数据
2020 年 8 月 10 日
理科考试研究·数学版
· 3·
解法 4 如图 5,连接 AG 并延长
交 BC 于点 F. 过点 G 作 GH / / AC,交
CD 于点 H.
易知GACH
=
FG AF
=
FH CF
=
1 3
.
令 FH = k,则 CF =3k,BD = BF =3k,DH =7k,CD =9k.
.
令 FG = 2k,则 CH = 3k,AG = 4k.
由△AGE∽△CHE,知CAEE
=
AG CH
=
4k 3k
=
4 3
.
所以AAEC
=
4 7
.
故选
D.
解法 9 如图 10,连接 AG 并延
长交 BC 于点 F. 过点 C 作 DE 的平
行线,交 AF 的延长线于点 H.
易知 AG = 2FG,BD = BF = CF.
如图 3,三角尺 ABC,∠ACB = 90°,
∠CAB = 60°, 将 三 角 尺 ABC 在 平
面内绕 点 A 旋 转 到 △AB’ C’ 的 位
置,使 C’B’ / / AB,则∠ACC’的度数为( ) .
A. 35°
B. 50°
C. 65°
D. 75°
答案 D
例题 3 (枣庄卷)已知:如图 4,在平面直角坐标
所以DCDF
=
2 3
,FAGG
= 2.
在△AFC 中,由梅涅劳斯定理,得DCDF·CAEE·FAGG = 1.
所以CAEE
=
3 4
.
万方数据
·4·
理科考试研究·数学版
2020 年 8 月 10 日
所以AAEC
=
4 7
. 故选 D.
由此可知,构造平行线,利用平行线分线段成比例
定理及相似三角形的性质是求线段之比的通性通法. 求
2 k
·GH
=
7 2
GH,知 k
=
4 7
. 故选 D.
解法 6 如图 7,连接 AG 并延长交 BC 于点 F. 过
点 A 作 BC 的平行线,交 DE 的延长线于点 H.
易知 AG = 2FG,BD = BF = CF.
由△AGH∽△FGD,知DAHF
=
AG FG
=
2.
因为 DF =
2 3
CD,所以CAHD =
=
AG FG
= 2.
令 CH = k,则 CE = 3k,EH = 2k,AE = 4k.
所以 AC = AE + CE = 7k.
所以AAEC
=
4k 7k
=
4 7
. 故选 D.
解法 2 如图 3,连接 AG 并延长
交 BC 于点 F. 过点 F 作 FH / / AC,交
DE 于点 H.
因为点 G 为△ABC 的重心,所以
所以 AE = AH - EH = 12k,AC = CE + AE = 21k.
所以AAEC
=
12k 21k
=
4 7
.
故选
D.
基金项目:宁夏第五届基础教育教学课题“ 基于核心素养的初中学生几何推理能力培养策略的实践研究” ( 项目编号:JXKT ZS - 05 - 052) .
作者简介:张宁(1979 - ) ,男,宁夏彭阳人,本科,中学一级教师,研究方向:初中数学教学研究.
三角尺是学生常用的学习用具,也是两个特殊直 角三角形的原型. 近年来,以三角尺为背景,通过三角 尺的位置变化、组合变换,或将三角尺与其他图形结 合,设计出许多素材鲜活、生动有趣的中考试题. 1 一块三角板 1. 1 作图求解型
例题 1 ( 山 西 卷) 已 知: 如 图 1, 三 角 尺 ABC, ∠ACB = 90°,∠A = 30°.
(1) 作图:作⊙C,使它与 AB 相切于点 D,与 AC 交于点 E,保留作图痕迹,不写作法,请标明字母;
(2) 按(1) 中要求所作图形中,若 BC = 3,求 DE 的长.
( (
答案 (1) 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,以点 C 为 圆心,CD 长为半径作⊙C,交 AC 于点 E( 如图 2) .
关键词:构造;平行线;相似三角形;线段之比
1 试题呈现
试题 (2018 年“ 大梦杯” 福建省初中数学竞赛)
如图 1, 点 G 为 △ABC 的 重 心, 点 D
在 CB 延长线上,且
BD
=
1 2
BC,过点
D, G 的 直 线 交 AC 于 点 E, 则
AE AC
=
(
).
A.
2 5
B.
3 5
C.
3 7
4 3
.
由△AEH∽△CED,知CAEE
=
AH CD
=
4 3
.
所以AAEC
=
4 7
. 故选 D.
解法 7 如图 8,连接 AG 并延长交 BC 于点 F. 过
点 A 作 DE 的平行线,交 CD 的延长线于点 H.
因为点 G 为△ABC 的重心,所以 AG = 2FG.
由△FDG∽△FHA,知FAGG
解这类问题的关键是选择适当的点构造某条线段的 平行线,寻求建立已知线段之比与所求线段之比之间 的联系.
( 收稿日期:2020 - 02 - 18)
有趣的三角尺
———以三角尺为背景的中考题归类赏析
徐伟建
( 龙游县教育局教研室 浙江 衢州 324400)
摘 要:本文对一类以三角尺为背景的考题进行归类并作简要分析,为师生教与学提供参考. 关键词:三角尺;中考题;归类赏析
·2·
理科考试研究·数学版
2020 年 8 月 10 日
一道“ 大梦杯” 福建省初中数学竞赛题的多种解法
张宁
( 常乐镇康乐燕宝学校 宁夏 中卫 755000)
摘 要:2018 年“ 大梦杯” 福建省初中数学竞赛第三题是一道以三角形为基本图形,主要考查三角形重心的性质、 平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质等知识的几何问题,是培养学生几何推理能力的优质课程资源. 本文从两个不同角度入手,给出了十种解法. 一是构造平行线,利用平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质求 解;二是直接利用梅涅劳斯定理求解.
使△A2 B2 C2 与△ABC 位似,且位似比为 2 ： 1,点 C2 的
坐标是
;
(3) △A2 B2 C2 的面积是
平方单位.
作者简介:徐伟建(1969 - ) ,男,浙江龙游人,本科,中学正高级教师,浙江省特级教师,研究方向:初中数学课堂教学.
万方数据
所以GCHE
=
DH CD
=
7k 9k
=
7 9
.
所以CACE = GACH·GCHE =
1 3
×
9 7
=
3 7
.
所以AAEC
=
4 7
. 故选 D.
解法 5 如图 6,连接 AG 并延长
交 BC 于点 F. 过点 E 作 EH / / BC,交
AF 于点 H.
令AAEC
=
k,则AAHF
=
EH CF
=
AE AC
系内,三角尺 ABC 三个顶点的坐标分别为 A (0,3 ) ,
B(3,4) ,C(2,2) . ( 正方形网格中每个小正方形的边