单调性与最大(小)值PPT教学课件
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3.2.1-单调性与最大(小)值课件-2025届高三数学一轮复习
f x1 − f x2 > 0,
f x1 − f x2 < 0,
f x1 > f x2 ,
或
即
或
x1 < x2
x1 − x2 < 0
x1 − x2 > 0,
f x1 < f x2 ,
∴ f x 在 a, b 上是减函数，C是真命题，同理可得D也是真命题.
x1 > x2 ,
例1-2 (2024·河北省石家庄市期末)下列四个函数中，在 0, +∞ 上单调递增的是
= − +
−
因为 ， ∈ , +∞ 且 < ，可得 − < ， > ， <
−
> ，
所以 − = −
−
< ，即 < ，
所以函数 在 , +∞ 上单调递增．
3
, (−1, ]，单调
2
3
2
递减区间为[ , 4), 4, +∞ .
所以由复合函数的单调性可知函数y =
D.∀x1 ,x2 ∈ a, b ,且x1 ≠ x2 ,当 x1 − x2 [f x1 − f x2 ] > 0时，f x 在 a, b 上单调递
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
1
x
以f x = 为例，知B是假命题；
∵
f x1 −f x2
x1 −x2
< 0 x1 ≠ x2 等价于[f x1 − f x2 ] ⋅ x1 − x2 < 0,而此式又等价于
[1, +∞)，单调递减区间是(−∞, −3]和[−1,1].（函数的单调区间
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
函数的单调性与最大(小)值(第一课时)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
符号语言、文字语言三方面类比得到增函数的定义，最终归纳
总结，并阐述单调区间的定义，加深同学们对函数单调性的理
解。
教学过程
教材分析
学情分析
教学目标
教法学法
教学过程
板书设计
三、知识应用
通过练习和例题讲解：
1、让学生学会通过图像来判断函数的单调区间及
在各区间的单调性，加深对概念的理解。
2、使学生掌握利用定义证明函数的单调性方法，
那么就称函
f ( x数
)在 区 间
I上 单 调 递 增 （ 如
1）图
.）（
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，
我们就称它是增函数.
如果x1 , x2 I，当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),
那么就称函数f ( x)在区间I上单调递减（如图（2））
.
特别地，函数f（x） 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
1.函数单调性的定义：
2.判断函数的单调性：（1）图象法；
（2）定义法.
3.用定义证明单调性的步骤：
(1)取值；（2）作差；（3）变形；
（4）定号；（79页
练习题 第2题
第3题
2.预习下节课内容——最大(小)
值。
一
板书设计
3.3函数的单调性
一、单调性定义
二、单调区间
取值
作差变形
定号
结论
定号
结论
方法总结
函数的单调性
用定义证明函数的单调性的步骤:
1.取值:任取x1，x2∈I，且x1<x2；
2.作差变形:f(x1)－f(x2)；通常是因式分解和配方；
3.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；
总结，并阐述单调区间的定义，加深同学们对函数单调性的理
解。
教学过程
教材分析
学情分析
教学目标
教法学法
教学过程
板书设计
三、知识应用
通过练习和例题讲解：
1、让学生学会通过图像来判断函数的单调区间及
在各区间的单调性，加深对概念的理解。
2、使学生掌握利用定义证明函数的单调性方法，
那么就称函
f ( x数
)在 区 间
I上 单 调 递 增 （ 如
1）图
.）（
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，
我们就称它是增函数.
如果x1 , x2 I，当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),
那么就称函数f ( x)在区间I上单调递减（如图（2））
.
特别地，函数f（x） 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
1.函数单调性的定义：
2.判断函数的单调性：（1）图象法；
（2）定义法.
3.用定义证明单调性的步骤：
(1)取值；（2）作差；（3）变形；
（4）定号；（79页
练习题 第2题
第3题
2.预习下节课内容——最大(小)
值。
一
板书设计
3.3函数的单调性
一、单调性定义
二、单调区间
取值
作差变形
定号
结论
定号
结论
方法总结
函数的单调性
用定义证明函数的单调性的步骤:
1.取值:任取x1，x2∈I，且x1<x2；
2.作差变形:f(x1)－f(x2)；通常是因式分解和配方；
3.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；
高中数学人教A版必修第一册3.2.1单调性与最大(小)值课件
8.函数 f (x) x2 3| x | 2 的单调递减区间是__-_∞__,_-__23__∪____0_,_23____.
解析：
f
(x)
x2
3
|
x
|
2
x2
x2
3x 3x
2 ，x 2 ，x
0 0
，
f
(x)
x x
3 2
3 2
2
2
1 4
1 4
，x ，x
0 0
，
结合二次函数的图象可得，
所以函数
f
(x)
2 x 1
在区间 [2, 6]
上单调递减.
因此函数
f
(x)
2 x 1
在区间 [2, 6]
的两个端点上分别取得最大值与最小值.
在 x 2 时取得最大值，最大值是 2；在 x 6 时取得最小值，最小值是 0.4.
课堂小测
C 1.函数 y 2x2 2x 1 在区间[ 1,1] 上的最小值为( )
f
(x2 )
2
x1 1
2 x2 1
=
2(x2 1) (x1 1)
(x1 1)(x2 1)
= 2(x2 x1) (x1 1)(x2 1)
.
由 2 x1 x2 6 ，得 x2 x1 0 ， (x1 1)(x2 1) 0 ，
于是 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 ) .
C.
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售 x 辆该品牌车的利润（单位：
万元）分别为 L1 x2 21x 和 L2 2x .若该公司在两地共销售 15 辆该品牌车，
C 则能获得的最大利润为( )
新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性 教学课件
第五页，共四十一页。
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。
ppt-0302--函数单调性与极值、最值
y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.
3.2.1单调性与最大(小)值(第二课时)课件(人教版)
= (x1 −
x2 −x1
x2 ) +
x 1 x2
1
)
x1
=
− (x2 +
1
)
x2
x1 −x2
(x1 x2
x1 x2
= (x1 − x2 ) +
1
(
x1
1
− )
x2
− 1).
由x1 , x2 ∈ (1, +∞)，得1 < x1 < x2 ，所以x1 x2 > 0, x1 x2 − 1 > 0.
又x1 < x2 ，所以x1 − x2 < 0，所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
①存在x0∈I，使得f(x0)＝m
②对于任意x∈I，都有f(x)≥m
几何意义
函数y＝f(x)图象上
最高点的纵坐标
函数y＝f(x)图象上
最低点的纵坐标
常用的求函数最值的方法：
(1)利用函数图像判断最值.
(2)利用函数的单调性判断最值.
所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
所以函数f(x) = −3 +
那么f(x)max = −3
1
在区间[2,4]上单调递增.
1−x
+
1−4
=
10
− ；f(x)min
3
= −3
1
+
1−2
= −4.
=
x1 −x2
.
(1−x1 )(1−x2 )
练习巩固
练习4：已知函数f(x) = x 2 − ax + 1.
x2 −x1
x2 ) +
x 1 x2
1
)
x1
=
− (x2 +
1
)
x2
x1 −x2
(x1 x2
x1 x2
= (x1 − x2 ) +
1
(
x1
1
− )
x2
− 1).
由x1 , x2 ∈ (1, +∞)，得1 < x1 < x2 ，所以x1 x2 > 0, x1 x2 − 1 > 0.
又x1 < x2 ，所以x1 − x2 < 0，所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
①存在x0∈I，使得f(x0)＝m
②对于任意x∈I，都有f(x)≥m
几何意义
函数y＝f(x)图象上
最高点的纵坐标
函数y＝f(x)图象上
最低点的纵坐标
常用的求函数最值的方法：
(1)利用函数图像判断最值.
(2)利用函数的单调性判断最值.
所以f(x1 ) − f(x2 ) < 0.即f(x1 ) < f(x2 ).
所以函数f(x) = −3 +
那么f(x)max = −3
1
在区间[2,4]上单调递增.
1−x
+
1−4
=
10
− ；f(x)min
3
= −3
1
+
1−2
= −4.
=
x1 −x2
.
(1−x1 )(1−x2 )
练习巩固
练习4：已知函数f(x) = x 2 − ax + 1.
函数的单调性与最大(小)值PPT课件
∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
x≤1,
.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
,
选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数
在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2 ,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不 等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此 种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利 用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1
单调性与最大(小)值PPT
【互动探究】 2．(2010 年天津)设函数 f(x)＝x－1x，对任意 x∈[1，＋∞)，f(mx)
＋mf(x)<0 恒成立，则实数 m 的取值范围是___m_<_－__1__. 解析：已知 f(x)为增函数且 m≠0，所以 2mx2＜1＋mm2.显然 m>0
时不符合题意．则 m<0，即有 1＋m12<2x2.因为 y＝2x2 在 x∈[1， ＋∞)上的最小值为 2，所以 1＋m12＜2，即 m2>1，解得 m<－1.
【互动探究】 1．试用函数单调性的定义判断函数 f(x)＝ x－2x1在区间(0,1)上
的单调性． 解：任取 x1，x2∈(0,1)，且 x1<x2. 则 f(x1)－f(x2)＝x12－x11－x22－x21＝x12－x12－xx2－1 1. 由于 0<x1<x2<1，x1－1<0，x2－1<0，x2－x1>0， 故 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． 所以，函数 f(x)＝x－2x1在(0,1)上是减函数．
函数的单调性与最（小）值
考纲要求
考纲研读
利用函数单调性、图象等方法求
1.会求一些简单函数的值域． 一些简单函数的值域或最值；或
2．理解函数的单调性、最大值、 以最值为载体求参数的范围，并
最小值及其几何意义.
能解决实际生活中的一些优化
问题.
1．函数的单调性的定义 设函数 y＝f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A，如果对于区间 I 内 的任意两个值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_，那么就说 y ＝f(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 y＝f(x)的___单__调__增__区__间___； 如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1<x2 时，都有_f_(_x1_)_>_f_(x_2，) 那么就说 y ＝ f(x) 在区间 I 上 是单调减函数 ，I 称 为 y ＝ f(x) 的 _单__调__减__区__间___．
3.2.1+单调性与最大(小)值(共2课时)高一数学优秀课件(人教A版2019必修第一册)
【答案】(−∞, 1)和
3
2
,2
【解析】当 ≥ 2或 ≤ 1时， ( ) = 2 − 3 + 2，
3
对称轴为 = 2 ，
当1 < < 2时， ( ) = − 2 + 3 − 2，对称轴为
3
= 2，
作出 ( )的图象如图所示，
3
由图可知 ( )单调递减区间为(−∞, 1) 和 ( 2 , 2)，
(2)用定义法证明： 在 2,6 上单调递增；
【解析】（1）函数 =
2−3
有意义，则
−1
− 1 ≠ 0，
即 ≠ 1，
所以函数 =
2 −3
的定义域为
−1
−∞, 1 ⋃ 1, +∞ .
（2）任取2 ≤ 1 < 2 ≤ 6，
2 − 1 =
2 2 −3
区间D为f(x)的单调递减区间.
图
示
注意：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
新知：单调性的定义
问题2：(1)设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且∀1 ，2 ∈ ，当1 < 2 时，
则 1 − 2 =
= 1 − 2 +
= 1 − 2
1
1−
∵ 0 < 1 < 2 <
，
1
−
+ 1 −
2
1 2
2
∵
− 2
= 1 − 2 +
= 1 − 2
必修1课件1.3.1-2单调性与最大(小)值 (二)
思考3:设函数f(x)=1-x2，则 f ( x ) 2 成立吗？ f(x)的最大值是2吗？为什么？
f ( x) 思考4:怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号 表示？
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
理论迁移
2 例2.求函数 y 在区间[2，6]上的最大值和 x 1 最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 2[( x2 1) ( x1 1)] 2( x2 x1 ) ( x2 1)( x1 1) ( x2 1)( x1 1)
记作:
f ( x )max M
思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？ 如果函数y=f(x)的值域是(a,b)，则函数y=f(x)存在 最大值吗？ 思考6:函数 f ( x ) 2 x 1, x (1, ) 有最大值吗？为什么？
思考:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数y=f(x) 的最小值？
§1.3.1-2单调性与最大(小)值 (二)
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？ 2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性， 如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象： y M x o x0 o
y M
x0 图2
x
图1
思考1:这两个函数图象有何共同特征？ 函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？ 思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？
【同步课堂】人教A版高中数学必修1第一章1.3.1 单调性与最大(小)值—函数的最大(小)值课件(共12张PPT)
2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
最小值．
x 1
例3：画出函数y | x 1| | 2x 4 |的图像， 写出它们的单调区间和最值。
例4：求函数f (x) x2 2ax 1在区间[1, 2]内的最值。
（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的 方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 值域__[2_1_,_3_9_] _____.
3、常用初等函数的最值求法.
例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度.
存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
最小值．
x 1
例3：画出函数y | x 1| | 2x 4 |的图像， 写出它们的单调区间和最值。
例4：求函数f (x) x2 2ax 1在区间[1, 2]内的最值。
（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的 方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 值域__[2_1_,_3_9_] _____.
3、常用初等函数的最值求法.
例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度.
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例2:
已知函数f ( x) 2 ( x [2,6]), x1
求 函 数 的 最 大 值 和 最 小值.
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学法归纳
1. 函数最值研究方法：
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学法归纳
1. 函数最值研究方法：
单调性与最大（小）值
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问题探究
函数单调性的应用
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例1:
“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制 造时一般是期望在它达到最高点时爆炸。如 果烟花距地面高度h(m)与时间t(s)之间关系为 h(t)=－4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么 时候是它爆炸的最佳时刻？这时距离地面的 高度是多少(精确到1m)?
利用函数单调性
1)图象法 2)定义法
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2. 最值定义： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果存在实数m满足：
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2. 最值定义： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果存在实数m满足： (1)对于任意的x∈I，都有 f(x)≤m;
阴阳离子定向移动， 在两极上失得电子成 为原子或分子。
通电
CuCl2==Cu+Cl2 ↑
特 只产生自由移动 发生氧化还原反应
点 的离子
生成了新物质
联系
电解必须建立在电离的基础上
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小结2 原电池和电解池知识总结比较表
内容
原电池
电极 较活泼金属做负极 规定
电极 负极发生氧化反应 反应
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2. 最值定义： 一满足： (1)对于任意的x∈I，都有 f(x)≤m; (2)存在x0∈I，使得f(x0)=m，
则m是函数y=f(x)的最大值；若f(x)≥m， 则m是y=f(x)的最小值.
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A.电解稀硫酸溶液，实质上是电解水，故溶 液pH不变 B.电解稀氢氧化钠溶液，要消耗OH－，故溶 液pH减小 C.电解硫酸钠溶液，在阴极上和阳极上析出 产物的物质的量之比为1:2 D.电解氯化铜溶液，在阴极上和阳极上析出 产物的物质的量之比为1:1
是什么？氯化铜为强酸弱碱盐,铜离子水解使溶液呈酸性.
（2）“实验派”的实验结论是
，该观点
的理由是（从化学原理上加以简述）:
随着电解的进行,溶液的pH下降.生成的氯气溶
于湖南水长郡使卫星溶远程液学校酸性增强.
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【跟踪训练】
例.(2003江苏16)用惰性电极实现电解，下列
说法正确的是 D
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作业
《学法大视野》P25－26
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59《电解原理的 应用》
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小结1
电离与电解的区别与联系
电离
电解
条件 电解质溶于水或 电解质电离后，
受热融化状态
再通直流电
过 程
电解质电离成为自 由移动的离子。 CuCl2=Cu2++2Cl-
阴极：2Cu2++4e—=2Cu 阳极：4O制H作—0-64e—=O2↑+2H2O
溶液pH 溶液复 变化 原方法
减小 增大 H2O 不变
增大 HCl CuCl2
增大 HCl 减200小9年下学期CuO
【思考】“实验派”经过反复、多次、精确的实验测 定，证明电解氯化铜溶液时pH值的变化如下图曲线：
（1）电解前氯化铜溶液的 pH 值处于A点位置的原因
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练一练
求 函 数y x 2 2 | x | 3的 单 调 区 间.
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4.利用不等式与恒等式确定函数的单调性
例4. 已知函数y f ( x)的定义域为R,且对任
意a, b R, 都有f (a b) f (a) f (b), 且当x 0时, f ( x) 0恒成立,证明:函 数y f ( x)是R上的减函数.
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离子放电顺序
（1） 电解池阴极
K+ Ca2+ Na+ Mg2+ Al3+H+ （水中）Zn2+Fe2+ Pb2+ H+（酸中）Cu2+Hg2+Ag+
阳离子放电能力（得电子能力）逐渐增强
（2）电解池阳极
（Fe Cu Ag等金属）> S2-> I－ > Br－> Cl－> OH－ > 含氧酸根
电子移 动方向
负极流向正极
能量 转变
化学能变为电能
电解池 阴极：连接电源负极 的一极 阳极氧化、阴极还原
阳极流向阴极
电能变为化学能
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分析电解反应的一般思路：
明确溶液中存在哪些离子 阴阳两极附近有哪些离子
根据阳极氧化，阴极还原分析得出产物
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阳极2Cl—-2e— =Cl2↑ 阴极：4H++4e—=2H2↑
阳极2Cl—-2e- =Cl2↑
阴极：Cu2++2e—=Cu
溶质和 活泼金属的 NaCl 水同时 无氧酸盐 电解 不活泼金属 CuSO4
湖的南长含郡氧卫星酸远盐程学校
阳极2Cl—-2e— = Cl2↑
阴极：2H2O+2e—=H2↑+2OH-
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学法大视野P24
1.利用函数的单调性比较大小
例1. 若f ( x)的定义域为R且在(,)上
是减函数,试比较f ( 3 )与f (a2 a 1) 4
的大小关系.
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2.利用函数的单调性求函数的值域
例2. 求 函 数y x 1 2 x的 值 域.
阴离子放电（失电子）能力：逐渐减弱
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电解的基本规律
举例
电解
类型 物质类别 实例
电极反应
水
含氧酸
H2SO4
电
强碱
NaOH
解 活泼金属的 Na2SO4
含氧酸盐
溶
无氧酸
HCl
质
电 不活泼金属 CuCl2 解 的无氧酸盐
阳极：4OH—-4e—=O2↑+2H2O 阴极：4H++4e—=2H2↑
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练一练
证明：函数f ( x) x2 1 x在其定
义 域 内 是 减 函 数.
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3.利用函数的图象确定函数的单调区间
例3. 求函数f ( x) x2 | x |的单调递减 区 间.
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