大数据环境下多决策表的区间值全局近似约简

软件学报ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@Journal of Software,2014,25(9):2119−2135 [doi: 10.13328/ki.jos.004640] +86-10-62562563 ©中国科学院软件研究所版权所有. Tel/Fax:∗大数据环境下多决策表的区间值全局近似约简徐菲菲1, 雷景生1, 毕忠勤1, 苗夺谦2, 杜海舟11(上海电力学院计算机科学与技术学院,上海 200090)2(同济大学电子与信息工程学院,上海 200092)通讯作者: 徐菲菲, E-mail: xufeifei@摘要: 在电力大数据中,很多具体的应用如负荷预测、故障诊断都需要依据一段时间内的数据变化来判断所属类别,对某一条数据进行类别判定是毫无意义的.基于此,将区间值粗糙集引入到大数据分类问题中,分别从代数观和信息观提出了基于属性依赖度和基于互信息的区间值启发式约简相关定义和性质证明,并给出相应算法,丰富和发展了区间值粗糙集理论,同时为大数据的分析研究提供了思路.针对大数据的分布式存储架构,又提出了多决策表的区间值全局约简概念和性质证明,进一步给出多决策表的区间值全局约简算法.为了使得算法在实际应用中取得更好的效果,将近似约简概念引入所提的3种算法中,通过对2012上半年某电厂一台600MW的机组运行数据进行稳态判定,验证所提算法的有效性.实验结果表明,所提的3种算法均能在保持较高分类准确率的条件下从对象和属性个数两方面对数据集进行大幅度缩减,从而为大数据的进一步分析处理提供支撑.关键词: 大数据;区间值;近似约简;多决策表;全局约简中图法分类号: TP181中文引用格式: 徐菲菲,雷景生,毕忠勤,苗夺谦,杜海舟.大数据环境下多决策表的区间值全局近似约简.软件学报,2014,25(9):2119−2135./1000-9825/4640.htm英文引用格式: Xu FF, Lei JS, Bi ZQ, Miao DQ, Du HZ. Approaches to approximate reduction with interval-valued multi-decision tables in big data. Ruan Jian Xue Bao/Journal of Software, 2014,25(9):2119−2135 (in Chinese)./1000-9825/4640.htmApproaches to Approximate Reduction with Interval-Valued Multi-Decision Tables in BigDataXU Fei-Fei1, LEI Jing-Sheng1, BI Zhong-Qin1, MIAO Duo-Qian2, DU Hai-Zhou11(College of Computer Science and Technology, Shanghai University of Electric Power, Shanghai 200090, China)2(College of Electronic and Information Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)Corresponding author: XU Fei-Fei, E-mail: xufeifei@Abstract: For the big data on electric power, many specific applications, such as load forecasting and fault diagnosis, need to consider datachanges during a period of time to determine their decision classes, as deriving a class label of only one data record is meaningless. Based on theabove discussion, interval-valued rough set is introduced into big data classification. Employing algebra and information theory, this paperdefines the related concepts and proves the properties for interval-valued reductions based on dependency and mutual information, and presentsthe corresponding heuristic reduction algorithms. The proposed methods can not only enrich and develop the interval-valued rough set theory,but also provide a new way for the analysis of big data. Pertaining to the distributed data storage architecture of big data, this paper furtherproposes the interval-valued global reduction in multi-decision tables with proofs of its properties. The corresponding algorithm is also given. Inorder for the algorithms to achieve better results in practical applications, approximate reduction is introduced. To evaluate three proposedalgorithms, it uses six months’ operating data of one 600MW unit in some power plant. Experimental results show that the three algorithms∗基金项目: 国家自然科学基金(61272437, 60305094); 上海市教育委员会科研创新项目(12YZ140, 14YZ131); 上海市自然科学基金(13ZR1417500)收稿时间:2014-03-31; 定稿时间: 2014-05-142120 Journal of Software软件学报 V ol.25, No.9, September 2014proposed in this article can maintain high classification accuracy with the proper parameters, and the numbers of objects and attributes can both be greatly reduced.Key words: big data; interval-value; approximate reduction; multi-decision tables; global reduction随着云计算、物联网、移动互联网等新兴信息技术的发展,将人类带进了大数据时代,无处不在的大数据成为了各界关注的焦点[1−9].有调查指出,如今大规模的企业系统包括由分布在不同位置的上千台服务器所构成的完整数据中心[10].如何从分布式存储的大数据中快速、准确地挖掘其潜在的价值,将大数据转化为经济价值的来源,日益成为企业超越竞争对手的有力武器.分布式存储的大数据呈现出许多鲜明的特征:数据体量巨大,数据种类繁多,流动速度快,价值密度低,这些对大数据的处理能力和效率提出了更高的需求.与以往的数据分析不同,对大数据的分析处理不再一味热衷于追求精确度和寻找因果关系[11].面对海量的即时数据,适当忽略微观层面上的精确度可以在宏观层面拥有更好的洞察力.同样,在大数据时代,寻求事物之间的相关关系而无须紧盯事物之间的因果关系,可以提供非常新颖且有价值的观点.在很多实际大数据环境中,均存在着大量的不确定性因素,采集到的数据往往包含着噪声、不精确甚至不完整.粗糙集理论[12]是继概率论、模糊集、证据理论之后又一个处理不确定性的强有力的数学工具.作为一种软计算方法,其有效性已在各应用领域中得到证实,是人工智能理论及其应用领域中的研究热点之一[13−27].粗糙集与概率论、模糊集、证据理论有很多相同的特征,但相比于后三者,粗糙集无需任何的先验知识,只通过数据本身就可以获得知识,而概率论、模糊集和证据理论分别需要概率、隶属度和概率赋值等信息.粗糙集研究中的核心问题之一是属性约简,通过属性约简,可以求得决策表的最小表达,即保持知识表达系统中分类能力不变的情况下,删除其中不相关或不重要的属性,这也是知识获取的关键.但已有证明,求解所有约简和求解最小约简都是NP-hard问题.目前提出的属性约简算法大都基于启发式的,且都是针对集中式单决策表(即一张完整决策表)的情况,并不适用于分布式存储的大数据分析与挖掘.目前,已有学者对粗糙集的属性约简算法在分布式平台下进行研究并实现[28,29].然而,这些算法仅仅是将约简算法本身在分布式平台的实现,仍然处理的是集中式单决策表,并未考虑数据集的分布式存储.对分布式存储的大数据环境下的约简算法研究还不多见.对大数据的条件属性进行约简,可以选取保持决策分类不变的最小条件属性子集,极大地减少大数据分析的工作量.分布式存储的带标签的大数据,每个站点都可看成是一张决策表,整体的大数据可认为是由多张决策表构成的,并且这些决策表的条件属性互不相同,但决策属性为同一个.因此,对分布式存储的大数据进行约简算法研究,可转化为求多决策表的约简方法研究.文献[30]针对分布式多决策表的近似约简进行了相关研究.文献[31]在前文基础上考虑到在某些应用场景中,各站点希望自己持有的本地决策表原始数据和敏感信息不被其他站点获取,加入隐私保护策略,设计了多决策表的隐私保护属性约简算法.由此可见,对多决策表(分布式存储的大数据)的研究离不开具体的应用.随着智能电网建设的推进,电力大数据格局逐步形成.目前,获得电力运行大数据的主要形式来源于分散在各地不同的系统数据库,所获得的数据类型也以连续值属性为主.与传统的分类方法不同,对大数据的分类研究不再单独考虑某一条数据,而是以数据块的形式作为一个研究对象.这是因为仅仅依靠某一条数据来判断它的类别信息已意义不大,而是应该考虑某个时间段内的数据特征,从而判断该数据段所属的类别.例如,基于电力大数据对负荷进行预测,单条数据不具备负荷预测的特质,而是应该将待预测的数据段与某时间段的数据进行相似性比较,从而确定负荷预测值.因此,对大数据的分类研究应从数据块开始.为了快速有效地对电力大数据建立分类模型,将数值型条件属性的数据块近似表示成区间值形式,即通过该数据块的最大最小值对数据块进行近似描述(对非数值型的条件属性可转化为数值型处理),从而研究区间值的属性约简策略,建立分类模型.已有学者对区间值条件属性约简方法进行了研究[32−35],但这些方法均是针对一个集中数据集,并未考虑多决策表的情况,因此不适用于分布式存储的大数据环境.本文将分布式存储的大数据看成是由多张决策属性相同、条件属性不同的决策表组成,在此基础上,将大数据进行分块使其区间化,研究多决策表的区间值全局近似约简方法.本文所做工作的意义在于:徐菲菲 等:大数据环境下多决策表的区间值全局近似约简 21211) 针对大数据的数据体量巨大、噪声多的特点,将粗糙集方法引入至大数据分析中,通过属性约简方法减少大数据分析所涉及的数据量;2)针对电力大数据以连续值属性为主,并且对大数据的分类研究实际应以数据块作为对象单位,提出将数据块近似描述为区间值形式,从而讨论了区间值决策表的启发式约简方法;给出基于依赖度的区间值属性约简相关概念和性质证明,并提出相应算法;给出基于互信息的区间值属性约简相关概念和性质证明,提出相应算法;为了增强算法实用性,提出区间值决策表的近似约简概念和方法;3) 针对大数据的分布式存储,给出条件属性不同、决策属性相同的多决策表下的全局近似约简相关概念和性质证明,并提出相应的约简算法,从而对分布式存储的大数据求得满足分类结果近似不变的全局约简;4) 将所设计的3种算法在电力大数据真实数据集中进行测试,并对结果进行分析和讨论;实验结果表明:3种算法在合适的区间长度时,选取的属性子集均能保持较高的分类准确率;随着属性个数的增加,基于依赖度的区间值约简方法比基于互信息的区间值约简方法运行时间略长,多决策表下的全局约简运行时间最短.本文第1节对多决策表以及区间值决策表的相关概念和性质进行介绍.第2节分别给出基于依赖度和基于互信息的区间值属性约简的相关定义和性质证明,并提出相应的算法;同时,将近似约简引入到上述方法中,增强算法的实用性.第3节给出多决策表下的区间值全局近似约简概念和性质证明,提出相应的算法.第4节将以上算法在电力大数据中进行实验、比较和分析,实验结果验证了算法的有效性.第5节对全文进行总结,并对未来的工作进行展望.1 相关基本概念本节主要介绍分布式环境中多决策表以及区间值决策表的相关概念和性质. 1.1 多决策表的相关概念和性质设有m 个站点S 1,S 2,…,S m ,相应的局部决策表DT i (或成员决策表)的属性集分别为C 1∪D ,C 2∪D ,…,C m ∪D ,1,mi i C ==∅∩各局部决策表具有相同的对象集U 且均隐含一个对象标识属性.通过该属性,可将各局部决策表连接成一个单决策表DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉,1,mi i C C ==∪并假设唯一的决策属性D 的取值范围是1,2,…,l .由D 导出的决策类构成U 的一个划分{ψ1,ψ2,…,ψl }.其中:ψi ={u ∈U :f (u ,D )=i },i =1,2,…,l ;U 中的对象个数为n .定义1.1[31]. 全局决策表DT 是四元组〈U ,C ∪D ,V ,f 〉.其中:U 是一组对象的非空有限集合,称为论域;设有 n 个对象,则U 可表示为U ={u 1,u 2,…,u n };C 为条件属性集,D 为决策属性集;(),a a C D V V ∈∪=∪V a 为属性a 的值域集;f是U ×(C ∪D )→V 的映射.定义1.2[31]. 在站点S i (i =1,2,…,m ),局部决策表DT i 是四元组DT =〈U ,C i ∪D ,V ,f 〉.其中:C i 为条件属性集,D 为决策属性集,(),i a a C D V V ∈∪=∪V a 为属性a 的值域集,f 是U ×(C i ∪D )→V 的映射.由于在大数据的复杂环境中,要求得全局决策表的精确约简所花费的代价较高,对大数据的分析应更多地考虑时间因素,因此定义ε-近似约简如下(由于基于信息熵的定义方法比代数观下的更加直观,本文所涉及的研究主要基于信息论观点):定义1.3. 对于给定的全局决策表DT 和ε(ε≥0),若|H (D |C )−H (D |A )|≤ε(A ⊆C ),且|H (D |C )−H (D |B )|>ε(∀B ⊂A ),则A 为决策表的一个ε-近似约简.其中,H (P |Q )表示为条件信息熵,且P ,Q ⊆C ∪D .上述定义中,如果条件属性集合C 的值域为有限离散集合,则H (P |Q )可依据等价类的分布情况来计算.而在大数据环境中,条件属性集合C 往往都是连续的,可选用Pazon 窗方法或文献[25]采用的模糊粗糙集方法计算连续值的条件熵.对大数据构建粗糙集分类模型的首要任务就是求得全局的ε-近似约简.2122 Journal of Software 软件学报 V ol.25, No.9, September 2014定义1.4. 设X 为论域U 的一个子集,即X ⊆U ,P ⊆C ,X 关于P 的全局下近似为PX (C )={u ∈U :[u ]p ⊆X },其中:[u ]p ={x ∈U |∀a ∈P ,f (u ,a )=f (x ,a )}.性质1.1. 若A ⊆C ,B ⊆C ,且A ⊆B ,则H (D |A )≥H (D |B ). 1.2 区间值决策表的相关概念和性质目前对区间值信息系统的研究大多都基于无分类标签的信息系统[34−36],也有学者对决策属性为区间值的决策系统进行了探讨.本文基于电力大数据的特点,讨论条件属性为区间值,而决策属性为类别标签的情况.定义1.5. 设区间值决策表DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉,非空有限属性集C ∪D 包括条件属性集C ={a 1,a 2,…,a h }和决策属性集D ={d }两部分;V =V C ∪V D ,其中,V C 为条件属性值集合,V D 为决策属性值集合;f :U ×C →V C 为区间值映射,f :U ×D →V D 为单值映射.表1为一个区间值决策表[33],其中:论域U ={u 1,u 2,…,u 10},条件属性集C ={a 1,a 2,a 3,a 4,a 5},决策属性集D ={d }; 条件属性值(,)[,]k k k i i i f a u l u =是区间值,如f (a 2,u 3)=[7.03,8.94];决策属性值d (u i )是单值,如d (u 3)=2.Table 1 An interval-valued decision table表1 区间值决策表U a 1 a 2 a 3a 4 a 5 d u 1 [2.17,2.96] [5.32,7.23] [3.35,5.59][3.21,4.37][2.46,3.59] 1 u 2 [3.38,4.50] [3.38,5.29] [1.48,3.58][2.36,3.52][1.29,2.42] 2 u 3 [2.09,2.89] [7.03,8.94] [3.47,5.69][3.31,4.46][3.48,4.61] 2 u 4 [3.39,4.51] [3.21,5.12] [0.68,1.77][1.10,2.26][0.51,1.67] 3 u 5 [3.70,4.82] [2.98,4.89] [1.12,3.21][2.07,3.23][0.97,2.10] 2 u 6 [4.53,5.63] [5.51,7.42] [3.50,5.74][3.27,4.43][2.49,3.62] 2 u 7 [2.03,2.84] [5.72,7.65] [3.68,5.91][3.47,4.61][2.53,3.71] 1 u 8 [3.06,4.18] [3.11,5.02] [1.26,3.36][2.25,3.41][1.13,2.25] 3 u 9 [3.38,4.50] [3.27,5.18] [1.30,3.40][4.21,5.36][1.11,2.23] 1 u 10[1.11,2.26] [2.51,3.61] [0.76,1.85][1.30,2.46][0.42,1.57]4经典粗糙集采用等价关系对论域进行划分,然而区间值决策表中,相同区间值形成的等价类很难对论域形成合理的划分.因此,引入相似率来表示2个区间值的相似程度,为论域的分类提供度量标准.定义1.6. 设区间值决策表DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉,a k ∈C ,(,)[,]k k k i i i f a u l u =,其中,k k i i l u ≤.当k k i i l u =时,表示对象u i在属性a k 上的取值为常数.若对任意的u i 和任意的条件属性a k ,k k i i l u =,则该决策表为传统的决策表.定义对象u i 与u j 关于属性a k 的相似度[35]为0, [,][,],([,][,]), [,][,](max{,}min{,})k k kki i j j k k k k kij i i j j k k k ki i j j k k k ki j i j l u l u r card l u l u l u l u card u u l l ⎧∩=⊄⎪=∩⎨∩≠⊄⎪−⎩ 其中,card (⋅)表示区间值的长度.显然,01k ij r ≤≤.如果0k ij r =,则条件属性值f (a k ,u i )与f (a k ,u j )相离;若01k ij r <<,则条件属性值f (a k ,u i )与f (a k ,u j )部分相离或真包含;若1k ij r =,则条件属性值f (a k ,u i )与f (a k ,u j )是完全不可分辨的.条件属性值相似度描述了区间值环境下不同对象之间的等价程度.定义1.7[35]. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是一区间值决策表,给定阈值水平λ∈[0,1]和任意属性子集A ⊆C ,定义U 上的二元关系:{(,):,}k AA i j ij k R R x x U U r a A λλλ=∈×>∀∈称为关于A 的λ-容差关系. 性质1.2. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,给定阈值水平λ∈[0,1]和任意属性子集A ⊆C ,显然,A R λ是自反的和对称的,但不一定是传递的.性质1.3. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],任意属性子集A ⊆C ,有{}.kk A a a AR R λλ∈=∩记()A i R u λ表示区间值对象u i 在属性集A 下的λ-相容类,以表1为例,当λ=0.7,A =a 1时,根据定义1.6和定义1.7计算可得:徐菲菲 等:大数据环境下多决策表的区间值全局近似约简 212311111111110.7{}11370.7{}22490.7{}31370.7{}42490.7{}550.7{}660.7{}71370.7{}880.7{}92490.7{}1(){,,}(){,,}(){,,}(){,,}(){}(){}(){,,}(){}(){,,}(a a a a a a a a a a R u u u u R u u u u R u u u u R u u u u R u u R u u R u u u u R u u R u u u u R u =========010){}u =.由于λ-容差关系满足自反和对称但不满足传递性,在计算λ-相容类时只需考虑当前对象之后的记录,对之前的对象可通过对称关系获取,在大数据环境下可极大地节省计算λ-相容类的时间.如果A 由多个属性组成,可根据性质 1.3,先分别计算区间值对象在每个属性下的λ-相容类(满足λ-容差关系的对象集合),再通过交运算得到多属性的λ-相容类.定义1.8. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],任意属性子集A ⊆C ,X ⊆U ,定义X 关于A 的粗糙上、下近似为(){,()},(){,()}.A i A i A i A i R X u U R u X R X u U R u X λλλλ=∈∩≠⊄=∈⊆以上定义和性质实际并未涉及到决策属性,仅仅是将无标签的区间值信息系统的概念简单地移植到区间值决策表中.2 区间值决策表的启发式约简文献[33]提出了一种基于区分函数的区间值决策表约简算法,然而该算法的计算复杂度较高,很难用于处理大数据.本节针对大数据分析中无须过度追求精确度的特点,分别从代数观和信息观给出了区间值决策表的启发式约简概念和性质证明,并提出相应算法.同时,为了增强算法的实用性,将近似约简概念引入,并提出相应方法.2.1 代数观下区间值决策表约简的相关概念和性质根据定义1.8,我们可以定义决策属性关于区间值条件属性子集的上、下近似为:定义2.1. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],由D 导出的决策类构成U 的一个划分{ψ1,ψ2,…,ψl }.任意条件属性子集A ⊆C ,定义决策属性D 关于A 的上、下近似为11()(),()(),lA A i i l A A i i R D R R D R λλλλψψ====∪∪其中,(){,()},(){,()},()A i A i A i A i A i R X u U R u X R X u U R u X R u λλλλλ=∈∩≠⊄=∈⊆表示区间值对象u i 在属性集A 下的λ-相容类.决策属性D 的下近似也称为正域,记为()A POS D λ.正域的大小反映的是分类问题在给定属性空间中的可分离程度.正域越大,表明各相容类的重叠区域越少.为了度量属性的重要度,定义决策属性D 相对于区间值条件属性A 的λ-依赖度为2124 Journal of Software 软件学报 V ol.25, No.9, September 2014|()|(),||A AR D D U λλγ= 其中,|⋅|表示集合的基.0()1AD λγ≤≤表示了区间值对象集合中根据条件属性A 的描述,那些能够被某一类决策 完全包含的对象所占全体对象的比率.显然,正域越大,决策属性D 对条件属性A 的依赖性越强.性质2.1. 给定区间值决策表DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉和λ,如果B ⊆A ⊆C 且()i B u POS D λ∈,则()i A u POS D λ∈成立. 证明:假设()i B j u R D λ∈,其中,D j 表示决策类别为j 的对象集合,即()B i j R u D λ⊆.由于B ⊆A ⊆C ,()(),Ai B i R u R u λλ⊆因此,()()A i B i j R u R u D λλ⊆⊆.从而有().i A u POS D λ∈□性质2.2. ()A D λγ是单调的.如果A 1⊆A 2⊆…⊆C ,则12()()...().A A C D D D λλλγγγ≤≤≤ 证明:根据性质2.1可知:1()i A u POS D λ∀∈,我们有2(),...,().i A i C u POS D u POS D λλ∈∈可能存在1()j A u POS D λ∉,但2(),...,(),j A j C u POS D u POS D λλ∈∈因此有12|()||()|...|()|.A A C POS D POS D POS D λλλ≤≤≤由于|()|(),||A APOS D D U λλγ=所以有12()()...().A A C D D D λλλγγγ≤≤≤ □定义2.2. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],A ⊆C ,∀a k ∈A ,如果{}()(),k A a A D D λλγγ−<称属性a k 相对于属性集A 是必要的;否则,如果{}()(),k A a A D D λλγγ−=称属性a k 相对于属性集A 是多余的.如果∀a k ∈A 都是必要的,称属性集A 是独立的.如果{}()()k A a A D D λλγγ−=,表明从决策表中去掉属性a k ,决策表的正域不会发生改变,即各类的可区分性不变.也就是说,属性a k 没有给分类带来任何的贡献.因此,a k 是多余的.相反地,如果删除a k ,决策表的决策正域变小了,则表明各类的可区分性变差了.此时,a k 不能被删除.定义2.3. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],A ⊆C ,称属性子集A 是条件属性集C 的一个λ-约简,如果A 满足:(1) ()();AC D D λλγγ= (2){},()().k k A a A a A D D λλγγ−∀∈<该定义的条件(1)要求λ-约简不能降低决策表的区分能力,λ-约简应该与决策表中全部条件属性具有相同的分辨能力;条件(2)要求在一个λ-约简中不存在多余的属性,所有的属性都应该是必要的.这一定义与经典粗糙集模型中的定义在形式上是完全一致的.然而,该模型定义了区间值空间中的λ-约简,而经典粗糙集是定义在离散空间中的.定义2.4. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],A 1,A 2,…,A s 是该决策表的所有λ-约简,则定义1si i Core A ==∩为决策表的核.2.2 基于依赖度的区间值决策表λ-约简算法如果要找出区间值决策表的全部λ-约简,需要计算2h −1个属性子集,判断它们是否满足λ-约简的条件.其中, h 是条件属性的个数.这对于拥有上百个,甚至上千个属性的大数据而言,计算量是不可容忍的.本文将基于依赖度的概念构造启发式约简算法,极大地降低算法复杂度.由于依赖度描述了条件属性对分类的贡献,因此可以作为属性重要度的评价标准.定义2.5. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],A ⊆C ,a k ∈C −A ,定义a k 相对于C 的重要度为{}(,,)()().k k A a A SIG a A D D D λλγγ∪=−有了属性重要度的定义,我们可以构造区间值λ-约简的贪心算法.该算法以空集为起点,每次计算全部剩余属性的属性重要度,从中选取属性重要度值最大的属性加入到λ-约简集合中,直到所有剩余属性的重要度为0,即加入任何新的属性,依赖度不再发生变化为止.前向搜索算法能够保证重要的属性先被加入到λ-约简中,从而不损失重要的特征.后向搜索算法难以保证这个结果,因为对于有大量冗余属性的区间值决策表而言,即使那些徐菲菲 等:大数据环境下多决策表的区间值全局近似约简2125重要的属性被删除也不一定会降低整个决策表的区分能力.因此,最终可能保留了大量区分能力很弱、但作为一个整体依然能够保持原始数据的分辨能力的特征,而不是少量区分能力很强的特征.基于依赖度的区间值决策表的λ-约简算法描述见算法1.算法1. 基于依赖度的区间值决策表λ-约简(λ-reduction in interval-valued decision table based ondependence,简称RIvD).输入:DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉,λ; 输出:λ-约简red . Step 1. 令red =∅;Step 2. 对所有属性a ∈C ,计算属性a 下的λ-相容类{}a R λ;Step 3. 对任意的a k ∈C −red ,计算{}(,,)()()k k red a red SIG a red D D D λλγγ∪=−; //定义()0D λγ∅=Step 4. 选择a i ,满足:(,,)max((,,))i k kSIG a red D SIG a red D =;Step 5. 如果SIG (a i ,red ,D )>0,red =red ∪{a i },转至Step 3;否则,返回red ,结束.设条件属性C 的个数为h ,区间值对象个数为n ,则该算法的时间复杂度为O (n 2+hn ).以上为代数观点下的区间值λ-约简算法.在传统粗糙集中,对于一致决策表的启发式算法,已经证明代数观点与信息论观点等同.然而对于不一致决策表而言,信息论观点下对象的划分依然可以改变知识的条件信息熵,即基于条件信息熵的属性约简与影响不一致对象划分的粒度有一定的关系.主要体现在基于条件信息熵的属性约简可以增加一些属性,而这些属性影响了不一致对象划分的粒度.因此,粗糙集的信息论观点包含了其代数观点,为决策表的知识获取和规则提取提供了更加有效的途径.因此,非常有必要对基于条件信息熵的区间值属性约简作进一步研究.2.3 信息观下区间值决策表约简的相关概念和性质由于在区间值决策表中,λ-容差关系取代了等价关系,不再构成论域的划分而是覆盖,因此,我们先定义区间值决策表的λ-知识粗糙熵,进而定义λ-信息熵及λ-条件信息熵等概念.知识粗糙熵表征了知识整体的统计特征,是总体的平均不确定性的量度;信息熵也是度量信息的平均不确定性的量度,与知识粗糙熵的和为log 2|U |;条件信息熵表示如果已经完全知道某变量(集)的前提下,另一变量(集)的信息熵还有多少.为了计算条件信息熵,需要用到联合信息熵的概念.定义2.6. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],U ={u 1,u 2,…,u n }.任意属性子集A ⊆C ,则区间值决策表的λ-知识粗糙熵定义为||211()log (),||U Rough AA i i H R f u U λλ==∑ 其中,()A i f u λ表示u i 在所有u j (1≤j ≤|U |)的λ-相容类中出现的次数.性质2.3. 若R 是基于知识A 的等价关系,则有()()Rough A Rough H R H A λ=.证明:如果R 是基于知识A 的等价关系,则对象u i 所在的λ-相容类就是等价类.设属性集A 将论域划分为k个不同的等价类{X 1,X 2,…,X k },则有:||222111|()|11()log ()|()|log |()|log |()|().||||||U k k j Rough A A i j jj Rough i j j R u H R f u R u R u R u H A U U U λλ=====×=×=∑∑∑ 知识粗糙熵与信息熵的和为论域的信息量log 2|U |,所以等价关系下知识粗糙熵为22211|()||()||()|log ||log log |()|||||||kk i i i i i i R u R u R u U R u U U U ==+=×∑∑. □性质2.4. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],U ={u 1,u 2,…,u n }.B ⊆A ⊆C ,则有:()()Rough A Rough B H R H R λλ≤.2126 Journal of Software 软件学报 V ol.25, No.9, September 2014性质2.4可由定义2.6直接推理得到.性质2.4说明,区间值决策表的λ-知识粗糙熵随着知识分辨能力的增强而单调下降.有了上述对区间值决策表λ-知识粗糙熵的定义,根据知识粗糙熵与信息熵之和为log 2|U |,我们可以定义区间值决策表的λ-信息熵为:定义2.7. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],U ={u 1,u 2,…,u n }.任意属性子集A ⊆C ,则区间值决策表的λ-信息熵定义为||211()()log ||||U A i A i f u H R U U λλ==−∑. 性质2.5. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],U ={u 1,u 2,…,u n }.B ⊆A ⊆C ,则有()()AB H R H R λλ≥. 证明:如果B ⊆A ⊆C ,则有A B R R λλ⊆,则存在u i ∈U ,使得()()B i A i f u f u λλ≤.根据定义2.7,则有()()A B H R H R λλ≥.证毕.□性质2.5说明:λ-相容类形成对论域的覆盖块越小,知识所包含的信息量就越大.定义2.8. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],U ={u 1,u 2,…,u n },P ,Q ⊆C ∪D ,则P ,Q 的λ-联合信息熵可表示为||21()1()log ,||||U P Q i P Q i f u H R R U U λλλ∪=∪=−∑其中,()P Q i f u λ∪表示区间值对象u i 在属性集P ∪Q 下的u j (1≤j ≤|U |)λ-相容类中出现的次数.定义2.9. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],U ={u 1,u 2,…,u n },P ,Q ⊆C ∪D ,且P ≠Q ,则知识(属性集合)Q 相对于知识(属性集合)P 的λ-条件信息熵的定义为||211()(|)log ||()U P i Q P i P Q if u H R R U f u λλλλ=∪=∑.定理2.1. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],U ={u 1,u 2,…,u n },A ⊆C ,a k ∈A ,属性a k 是不必要的,其充分必要条件是{}(|)(|)k A A a H D R H D R λλ−=.证明:• 必要条件假设存在a k ∈A 是不必要的,对于任意u i ∈U ,则有{}()()k A i A a i R u R u λλ−=,易得{}(|)(|).k A A a H D R H D R λλ−=• 充分条件假设存在a k ∈A 满足{}(|)(|).k A A a H D R H D R λλ−=如果对于任意的a k ∈A 都是必要的,即存在u i ∈U ,使得不等式{}()()k A i A a i R u R u λλ−≠成立.又由于A −{a k }⊂A ,有{}(|)(|),k A A a H D R H D R λλ−<这与假设{}(|)(|)k A A a H D R H D R λλ−=相矛盾.由此可知:对于任意的a k ∈A ,当{}(|)(|)k A A a H D R H D R λλ−=时,a k 是不必要的.□定义2.10. 设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],A ⊆C ,称属性子集A 是条件属性集C 的一个λ-约简,如果A 满足:(1) (|)(|);A C H D R H D R λλ=(2){},(|)(|)k k A A a a A H D R H D R λλ−∀∈≠.区间值的λ-条件信息熵描述的是一个属性集对另一属性集的依赖程度.由定理2.1可知,λ-条件信息熵可以应用到区间值决策表的λ-约简中. 2.4 基于互信息的区间值λ-约简算法为了能够进行有效的知识约简,必须要建立一个衡量属性重要性的标准.在传统粗糙集理论的信息观点下,提出在决策表中添加某个属性所引起的互信息的变化大小可以作为该属性重要性的度量.设DT =〈U ,C ∪D ,V ,f 〉是区间值决策表,λ∈[0,1],B ⊆C .那么,在B 中添加一个区间值条件属性a ∈C −B 之后,互信。