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线性代数的应用案例解析
案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩苹果 橘子 梨 人员 A 5 10 3 人员 B 4 5 5第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B,而第三个矩阵为 C 。
（1） 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2） 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？ 解：（1）设该矩阵为 D ，则 D=BA ，即：5 10 3 0.10 0.15D0.15 0.204 5 50.10 0.10此结果说明， 人员 A 在商店 A 购买水果的费用为 2.30 3.05 1.65 2.102.30，人员 A 在商店 B 购买水果的费用为3.50，人员 B 在商店 A 购买水果的费用为 1.65，人员 B 在商店 B 购买水果的费用为 2.10。
（2）设该矩阵为E,则E=CB ，即：1000 500 5 10 3 E2000 1000 4 5 5 7000 12500 5500 14000 25000 11000此结果说明， 城镇 1苹果的购买量为 7000，城镇 1橘子的购买量为 12500，城镇 1 梨的购买 量为 5500；城镇 2 苹果的购买量为 14000，城镇 2 橘子的购买量为 25000，城镇 2 梨的购买 量为 11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前， 我们也可以解出这一简单 的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1 和城镇 2）；城镇 1 中有人员 A （ 1000 人）和人员B （500人）,城镇2中有人员A （2000人）和人员B （1000人）；人员A 需苹果、橘子 和梨分别 5、10和 3，而人员 B 需苹果、橘子和梨分别 4、5和 5；现不妨假设每个城镇中 都有两个商店（商店 A 和商店B ），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
商店 A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤 0.10、 0.15 和 0.10，而商店 B 中苹果、橘子和梨的价 格分别为 0.15、 0.20、 0.10。
线性代数精彩应用案例_之一_
1 斐波那契数列
例 1 数列 F1 , F2 , , Fn , 如果 = Fn- 1 + Fn- 2 ( 对所有的正整数 n 3) , 就称为斐波那契( F ibonacci) 数列. 试求斐波那契数列的通项公式.
解 先求满足递推关系
an = an- 1 + an- 2
Fn=
qn2 q2 -
qn1 q1
=
n
n
1+ 5 2
-
1- 5 2
.
5
以上的解法的关键是: 满足条件( 1) 的两个等比数列{ an } , { bn} 之和{ cn } 仍然满足条件( 1) , ( 虽然
{ cn } 一般说来不再是等比数列) , 适当选择{ an } , { bn } 就可以使{ cn } 的前两项都等于 1. 实际上, 满足条件( 1) 的任意两个数列的和仍然满足条件( 1) , 满足条件( 1) 的任意一个数列{ an } 的
公式.
例 1 可以推广到更一般的情形:
问题 1 对任意给定的复数 b, c, 如果数列{ un} 满足条件
un = bun- 1 + c un- 2 ( n 3)
( 4)
并且已知这个数列的前两项 u1 , u2 , 求 un . 仍用 V 表示复数组成的全体数列{ an} 组成的复数域上线性空间. 则满足条件( 4) 的全体数列组成 V
列 , 与等比数列类似可以得到它的通项:
F n- 1 =
n- 1 = A n- 2 = A2 n- 3 =
Fn
= An- 2 1 = An- 2 F1 = An- 2 1 .
F2
1
只要算出了 An- 2 , 就能得到 F n . 为了算出 An- 2 , 利用矩阵相似的理论和方法, 先将 A 相似于尽可能
线性代数应用案例
线性代数应用案例线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射的理论。
线性代数的应用非常广泛，涉及到物理学、工程学、计算机科学等多个领域。
本文将介绍线性代数在实际应用中的一些案例，以帮助读者更好地理解和应用线性代数知识。
1. 机器学习中的特征空间转换。
在机器学习领域，特征空间转换是一种常见的数据预处理方法。
通过线性代数中的矩阵运算，可以将原始的高维特征空间转换为新的低维特征空间，从而实现对数据的降维处理。
这种方法不仅可以减少数据的维度，还可以保留数据的主要特征，提高机器学习模型的训练效果。
2. 图像处理中的矩阵变换。
在图像处理领域，矩阵变换是一种常用的技术。
通过线性代数中矩阵的旋转、缩放、平移等运算，可以实现对图像的各种变换操作，如图像的旋转、放大缩小、平移等。
这些操作可以帮助我们实现图像的处理和增强，提高图像的质量和美观度。
3. 电路分析中的矩阵方程。
在电路分析中，线性代数的矩阵方程是一种常用的建模和求解方法。
通过建立电路元件的电压电流关系，并转化为矩阵方程组，可以利用线性代数的方法求解电路中各个节点的电压和电流。
这种方法不仅简化了电路分析的复杂度，还可以有效地分析和设计各种复杂电路。
4. 控制系统中的状态空间模型。
在控制系统领域，线性代数的状态空间模型是一种常用的描述和分析方法。
通过线性代数的矩阵运算，可以将控制系统的动态方程转化为状态空间模型，从而实现对控制系统的建模和分析。
这种方法不仅可以方便地进行系统的稳定性和性能分析，还可以实现对控制系统的设计和优化。
5. 金融工程中的投资组合优化。
在金融工程领域，线性代数的投资组合优化是一种常见的方法。
通过建立投资组合的收益和风险之间的线性关系，并利用线性代数的优化方法，可以实现对投资组合的优化配置。
这种方法不仅可以帮助投资者实现收益和风险的平衡，还可以提高投资组合的收益率和稳定性。
总结。
线性代数作为一门重要的数学学科，其在实际应用中发挥着重要的作用。
线性代数在实际生活中应用实例
大陆桥视野
线性代数在实际生活中应用实例
靳宝霞 ／ 广西科技大学鹿山学院
【摘 要】 线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。 随着科学技术的发展， 特别是电子计算机使用的日益普遍， 作为重要的数学工具之一， 线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域。但是对于刚接触线性代数的大多数学生而言，仍然感 到其理论比较枯燥，不知道学习线性代数到底能用到生活中的哪些地方，本文将举出几个其在实际生活中的例子来展示线性代数应用的广泛性， 同时也能更好的加深学生对知识点的理解。 【关键词】线性代数； 矩阵； 方程组
162 大陆桥视野·２０１５ 年第 ２０ 期
教育教学・Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
探讨建立高职室内设计专业模拟实验的教学模式
谢复兴 ／ 湖南城建职业技术学院
【摘 要】 高职教育是我国面向社会培养技术人才的主要教育模式， 高职室内设计专业在三年的教学时间中， 既要培养出熟悉装饰工程技术， 又有一定设计能力、艺术修养的人才，其有效的途径就是要做充足的模拟实验和实训教学。本文就高职室内设计专业模拟实验的方法做出讨论， 希望对提高高职室内设计专业教学效果有所帮助。 【关键词】高职；室内设计；模拟实验；教学
xc1 0.94 0.02 0.3 0.2960 x1 = Ax0 = x = ⋅ = 0.7040 s1 0.06 0.98 0.7
从初始到 ｋ 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 x= Axk −= A2 xk −= = Ak x0 ． 2 k 1 经 Ｍａｂｌａｂ 计算可得：
建筑的室内设计是设计者根据建筑的具体结构，综合运用建 筑结构与装饰材料对室内空间进行合理的组织利用，创造出满足 用户需求的生活、生产空间与环境。从定义上看，环境、材料、 空间结构对于室内设计工作的影响很大。高职室内设计专业教育 作为向建筑室内设计劳动市场输送人才的主要渠道，毕业生从学 校出来就要进入工作岗位，甚至需要熟练的技能去找工作，因此， 对于高职教育，提高学生的技能水平是关键。高职教育中，模拟 实验对于学生的技能提高十分有效。 而我国高职教育在教学方式上，很多需要重点应用模拟实验 的学科，在硬件设备和课程安排上都起不到很好的效果，甚至， 我国的高职教育越来越倾向于普通高等教育，高职院校都在申请 成为普通本科学校，在学术研究上面下的功夫太大，造成了高职 院校重理论而轻实践的错误倾向，高职学生，尤其是像室内设计 这样专业的学生，并不适合。 一、高职室内设计专业模拟实验存在的问题 （一）高职室内设计专业模拟实验与课堂教育的传统观念差 别较大 我国无论是在哪个阶段的教育教学中，都脱离不了课堂就是 按课本教书的传统观念。而对于室内设计专业的内容，在装饰环 境设计上要重点考虑空间环境、心理环境、声光热等物理环境、 通风环境等的设计，在空间设计上分为室内居住空间设计、室内 办公空间设计、室内公共空间设计等等，这些方面的教学单单靠 书本是学不来的。 课堂教学的内容往往从理论出发，交给大家经典理论了前沿 观念，甚至比较超前，这些教学虽然给学生开阔了眼界，并且提 高了品味，树立了理论方向，但学生在学习中，并不一定理解， 且不会与实际对照，很难融会贯通。 （二）模拟实验案例缺乏 模拟实验教学对于高职室内设计的专业的教材上包括的内容， 很难做到全面，不是所有的章节都有模拟实验，模拟实验的内容 也比较单一，加上教材更新慢，实验有可能不具有代表性，不具 有时代感。 同时，我国高职院校由于专业众多，学校师资力量有限，专 门为一个专业设置实验室的能力十分有限。因此，就要依托社会 的实训模拟机会，而我国典型的室内设计机会不会允许实习学生 参与，学校只能寻找一些小的设计公司或是居民室内设计项目， 越小的项目之间差别越小，教学中能涉及到的内容也不多。即便 这样，实习机会依然难得，依托社会给学生找锻炼机会并不轻松， 不是每名学生都能得到锻炼机会。 （三）模拟实验硬件需要不断的完善 室内设计专业对专业模拟实验十分的依赖。模拟实验在设计 表现、功能实现、艺术创意、文化传达、思维拓展等环节的教学
线性代数 13个应用案例 【李尚志】
(
)
6.空间中平行四边形的面积
已知 n 维直角坐标空间中三点A(a1,…,an), B(b1,…,bn)，O(0,…,0)。求平面OAB中以OA,OB为 一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB。
B C
O
A
相关知识点
1．行列式的性质 2．基变换，坐标变换 3．标准正交基
解题方法
建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意 义计算面积。
解题过程
若ã22 = 0，平移坐标系 ~ ~ ~ ~ a13 a11 x ~ x ~ = + ~ 0 ~ y y 化曲线方程为
~ ~ 0 ~ x a11 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 0 ~ x y 0 a23 ~ = 0 y ~ ~ ~ ~ 0 a a33 1 23 此时，曲线为抛物线及其退化情形。
解题过程
在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系。 y
B C
O
A
x 在此坐标系下， A = u x + u y, B = v x + v y 1 2 1 2
解题过程
于是，
S OACB u1 = det u 2 v1 v2 v1 v2
u1 u 2 xT u1 = det v v y T (x y ) u 2 1 2 a1 = det b 1 a1 ⋯ an ⋮ ⋯ bn a n b1 ⋮ bn
(x
解题过程
第二步，旋转坐标系 x ~ cos θ ~ = y sin θ 化曲线方程为
~ a11 ~ 1) 0 y ~ a 13
线性代数在实际生活中应用实例
0
（１） 某医院要购买这七种特效药，但药厂的第 ３ 号药和第 ６ 号 药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品？ （２） 现在医院想用这 ７ 种草药配制三种新的特效药，表 ２ 给出 了三种新的特效药的成份，请问能否配制？如何配制？
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ １ 号新药 ４０ ６２ １４ ４４ ５３ ５０ ７１ ４１ １４ ２ 号新药 １６２ １４１ ２７ １０２ ６０ １５５ １１８ ６８ ５２ ３ 号新药 ８８ ６７ ８ ５１ ７ ８０ ３８ ２１ ３０
xc1 0.94 0.02 0.3 0.2960 x1 = Ax0 = x = ⋅ = 0.7040 s1 0.06 0.98 0.7
从初始到 ｋ 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为 x= Axk −= A2 xk −= = Ak x0 ． 2 k 1 经 Ｍａｂｌａｂ 计算可得：
解：（１）把每一种特效药看成一个九维列向量，分析 ７ 个列 向量构成向量组的线性相关性。 若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药； 若向量组线性相关，并且能找到不含 ｕ３，ｕ６ 的一个最大线性无 关组，则可以配制 ３ 号和 ６ 号药品。 经计算该向量组线性相关，一个最大无关组为 ｕ１，ｕ２，ｕ４，ｕ５，ｕ７ 且 ｕ３＝ｕ１＋２ｕ２，ｕ６＝３ｕ２＋ｕ４＋ｕ５． 所以可以配置处这两种脱销的药品。
解 将 Ｍ 和 Ｐ 相乘，得到的矩阵设为 Ｑ，Ｑ 的第一行第一列元 素为 Ｑ（１，１）＝０．１０×４０００＋０．３０×２０００＋０．１５×５８００＝１８７０ 其中 Q =
1870 3450 1670
2220 4020 1940 2070 3810 1830 1960
1740
线性代数的应用案例
已知不同商店三种水果的价格、D 「10|(4 5迅10卫.10.152.303.050.20 =」1.652.100.10 」 -此结果说明，人员A 在商店A 购买水果的费用为 2.30，人员A 在商店B 购买水果的费用为3.50，人员B 在商店A 购买水果的费用为 此结果说明，城镇案例一不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵:商店A 商店B苹果- 0.10 0.15] 橘子 0.15 0.20梨' 0.10 0.10一苹果橘子梨人员A 5 10 3 人员B ||45 5人员A 人员B城镇 1 1000 500 城镇 2 1(2000 1000第一个矩阵为A ，第二个矩阵为 B ,而第三个矩阵为 C 。
(1) 求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少?(2) 求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解：(1 )设该矩阵为D ，则D=BA ，即:1.65，人员B 在商店B 购买水果的费用为2.10。
(2)设该矩阵为E ，贝U E=CB ，即:1000 500 5 10 3七000 1000_|〔4 5 5- 7000 12500 5500 *4000 25000 11000一1苹果的购买量为7000，城镇1橘子的购买量为12500，城镇1梨的购 买量为5500 ;城镇2苹果的购买量为14000，城镇2橘子的购买量为 25000，城镇2梨的 购买量为11000。
题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。
其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。
此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1和城镇2）;城镇1中有人员A（1000人）和人员B（500人），城镇2中有人员A（2000人）和人员B（1000人）；人员A需苹果、橘子和梨分别5、10和3，而人员B需苹果、橘子和梨分别4、5和5;现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店A和商店B），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。
线性代数的应用举例和分析
解决方法：遍乘直除法 -------Gauss消去法
3.2 文学作品中的方程组
射 雕 英 雄 传
郭靖扶着黄蓉跟着过去，只见那内室墙壁围成圆形，地下满铺 细沙，沙上画 着许多横直符号和圆圈，又写着些“太”、“天元 ”、 “地元”、“人元”、“物元”等 字。郭靖看得不知所云，生怕 落足 踏坏了沙上符字，站在门口，不敢入内。黄蓉自幼受父亲 教导， 颇精历数之术，见到地下符字，知道尽是些术数中的难题，那 是算经中的“天元之 术”，虽然甚是繁复，但只要一明其法，也 无甚难处
化简整理得：
x1 x2
800
x2 x3 x4 300 x4 x5 500
x1
x5 600
x3
400
解之得：
x1 600 x5
x4
x2
200 500 x5
x5
x3 400
注意：由于本问题中 的道路是单行道，所 以每一个变量不能 取负值
x5是 自 由 变 量
3.4电路网络
三、线性方程组的应用
❖ 3.1 《九章算术》中方程术 ❖ 3.2 文学作品中的方程组 ❖ 3.3 交通流量 ❖ 3.4 电路网络 ❖ 3.5 化学平衡方程式 ❖ 3.6 构造有营养的减肥食谱
3.1《九章算术》
❖ 从先秦到西汉中叶经众多学者编撰、修 改的一部数学著作
全书246个问题，分为9章： 方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、 盈不足、方程、勾股
0
R 5 R 5R 6R 7ic 0
把已知数据代入，得：
18 12 0 ia 10 12 28 12ib 0 0 12 18ic 0
解之得：
数学建模案例分析--线性代数在数学建模中的应用举例word精品文档11页
线性代数在数学建模中的应用举例1 基因间“距离”的表示在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。
如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。
表1.1基因的相对频率问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。
解 有人提出一种利用向量代数的方法。
首先，我们用单位向量来表示每一个群体。
为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =.由于对这四种群体的每一种有141=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4121i kix .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，那么由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得21cos a a ⋅=θ而故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.表1.2基因间的“距离”由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.2 Euler 的四面体问题问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→→→OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行六面体的体积V 6的16.而于是得 .6333222111c b a c b a c b a V = 将上式平方，得根据向量的数量积的坐标表示，有于是362OC OC OB OC OB OBOB OBOA OB OA OAV ⋅⋅⋅= （2.1）由余弦定理，可行 同理将以上各式代入（2.1）式，得.222222362222222222222222222222r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p pV -+-+-+-+-+-+=（2.2）这就是Euler 的四面体体积公式.例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.则代入（2.1）式，得 于是即花岗岩巨石的体积约为195m 3.古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.3 动物数量的按年龄段预测问题问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为12 和14 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数量（k =1，2，3；i =1，2，3）.因为某一时间周期第二年龄组和第三年龄组动物的数量是由上一时间周期上一年龄组存活下来动物的数量，所以有又因为某一时间周期，第一年龄组动物的数量是由于一时间周期各年龄组出生的动物的数量，所以有于是我们得到递推关系式： 用矩阵表示 则 其中 则有结果分析 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中0～5岁的有14375头，占86.47%，6～10岁的有1375头，占8.27%，11～15岁的有875头，占 5.226%.15年间，动物总增长16625-3000=13625头，总增长率为13625/3000=454.16%.注 要知道很多年以后的情况，可通过研究式)0()1()(x L Lx x k k k ==-中当趋于无穷大时的极限状况得到.关于年龄分布的人口预测模型 我们将人口按相同的年限（比如5年）分成若干年龄组，同时假设各年龄段的田、女人口分布相同，这样就可以通过只考虑女性人口来简化模型.人口发展随时间变化，一个时间周期的幅度使之对应于基本年龄组间距（如先例的5年），令)(k i x 是在时间周期k 时第i 个年龄组的（女性）人口，i =1,2,…,n .用1表示最低年龄组，用n 表示最高年龄组，这意味着不考虑更大年龄组人口的变化.假如排除死亡的情形，那么在一个周期内第i 个年龄组的成员将全部转移到i +1个年龄组.但是，实际上必须考虑到死亡率，因此这一转移过程可由一存活系数所衰减. 于是，这一转移过程可由下述议程简单地描述：其中i b 是在第i 个年龄组在一个周期的存活率，因子i b 可由统计资料确定.惟一不能由上述议程确定的年龄组是,)(1k x 其中的成员是在后面的周期内出生的，他们是后面的周期内成员的后代，因此这个年龄组的成员取决于后面的周期内各组的出生率及其人数.于是有方程,)1(122)1(11)(1---+++=k n n k k k x a x a x a x Λ （3.1）这里),,2,1(n i a i Λ=是第i 个年龄组的出生率，它是由每时间周期内，第i 个年龄组的每一个成员的女性后代的人数来表示的，通常可由统计资料来确定.于是我们得到了单性别分组的人口模型，用矩阵表示便是 或者简写成.)1()(-=k k Lx x （3.2）矩阵称为Leslie 矩阵.由（3.2）式递推可得 这就是Leslie 模型.4 企业投入产生分析模型问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x 1为煤矿本周内的总产值，x 2为电厂本周的总产值，x 3为铁路本周内的总产值，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++-=++-=++⨯-,0)005.025.0(,25000)10.005.025.0(,50000)55.065.00(321332123211x x x x x x x x x x x x （4.1） 即 即矩阵A 称为直接消耗矩阵，X 称为产出向量，Y 称为需求向量，则方程组（4.1）为即Y X A E =-)(， （4.2）其中矩阵E 为单位矩阵，（E-A ）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设,00000,)(3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--=-x x x A C E A E B D=（1，1，1）C.矩阵B 称为完全消耗矩阵，它与矩阵A 一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C 可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D 称为总投入向量，它的元素是矩阵C 的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C ，向量Y ，X 和D ，可得投入产出分析表4.1.表4.1 投入产出分析表 单位：元 煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿 11c 12c 13c1y 1x电厂 21c 22c 23c 2y 2x 铁路 31c32c33c3y3x总投入1d 2d 3d计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X ，于是可计算矩阵C 和向量D ，计算结果如表4.2.表4.2 投入产出计算结果 单位：元煤矿 电厂 铁路 外界需求 总产出 煤矿 0 36505.96 15581.51 50000 102087.48 电厂 25521.87 2808.15 2833.00 25000 56163.02 铁路 25521.87 2808.15 0 0 28330.02总投入51043.7442122.2718414.525 交通流量的计算模型问题 图5.1给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时过车数）. 假设：（1）全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；（2）全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量.试建立数学模型确定该交通网络未知部分的具体流量.建模与计算 由网络流量假设，所给问题满足如下线方程组： 系数矩阵为增广矩阵阶梯形最简形式为 其对应的齐次方程组为取（x 5,x 8）为自由取值未知量，分别赋两组值为（1,0），（0,1），得齐次方程组基础解系中两个解向量其对应的非齐次方程组为赋值给自由未知量（x 5,x 8）为（0,0）得非齐次方程组的特解于是方程组的通解,*2211x k k x ++=ηη其中k 1，k 2为任意常数，x 的每一个分量即为交通网络未知部分的具体流量，它有无穷多解.6 小行星的轨道模型问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1.表6.1 坐标数据由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）.由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下: 所以,椭圆长半轴:C D a 1λ=;椭圆短半轴: CDb 2λ=;椭圆半焦矩:22b ac -=.计算求解 首先由五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵 使用计算机可求得 从而C C ,3081.0=的特征值.0005.1,3080.021==λλ于是,椭圆长半轴1834.19=a ,短半轴9045.5=b ,半焦距2521.18=c .小行星近日点距和远日点距为.4355.37,039313=+==-=c a H c a h 最后,椭圆的周长的准确计算要用到椭圆积分,可以考虑用数值积分解决问题,其近似 值为84.7887.7 人口迁移的动态分析问题 对城乡人口流动作年度调查,发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势:每年农村居民的2.5%移居城镇,而城镇居民的1%迁出.现在总人口的60%位于城镇.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么一年以后住在城镇人口所占比例是多少?两年以后呢?十年以后呢?最终呢?解 设开始时,令乡村人口为,0y 城镇人口为,0z 一年以后有乡村人口,10011000975100y z y =+ 城镇人口 ,10099100025100z z y =+或写成矩阵形式 两年以后,有 十年以后,有事实上,它给出了一个差分方程:k k Au u =+1.我们现在来解这个差分方程.首先k 年之后的分布(将A 对角化):这就是我们所要的解,而且容易看出经过很长一个时期以后这个解会达到一个极限状态总人口仍是00z y +,与开始时一样,但在此极限中人口的75在城镇,而72在乡村.无论初始分布是什么样,这总是成立的.值得注意这个稳定状态正是A 的属于特征值1的特征向量.上述例子有一些很好的性质:人口总数保持不变,而且乡村和城镇的人口数决不能为负.前一性质反映在下面事实中:矩阵每一列加起来为1;每个人都被计算在内,而没有人被重复或丢失.后一性质则反映在下面事实中:矩阵没有负元素;同样地0y 和0z 也是非负的,从而1y 和21,y z 和2z 等等也是这样.8 常染色体遗传模型为了揭示生命的奥秘,遗传学的研究已引起了人们的广泛兴趣.动植物在产生下一代的过程中,总是将自己的特征遗传给下一代,从而完成一种“生命的延续”.在常染色体遗传中,后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对.人类眼睛颜色即是通过常染色体控制的,其特征遗传由两个基因A 和a 控制.基因对是AA 和Aa 的人,眼睛是棕色,基因对是aa 的人,眼睛为蓝色.由于AA 和Aa 都表示了同一外部特征,或认为基因A 支配a ,也可认为基因a 对于基因A 来说是隐性的(或称A 为显性基因,a 为隐性基因).下面我们选取一个常染色体遗传——植物后代问题进行讨论.某植物园中植物的基因型为AA ,Aa ,aa .人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代.经过若干年后,这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形?我们假设),2,2,0(,,K =n c b a n n n 分别代表第n 代植物中,基因型为AA ,Aa 和aa 的植物占植物总数的百分率,令),,()('=n n n n c b a x为第n 代植物的基因分布, ),,(000)0('=c b a x 表示植物基因型的初始分布,显然,我们有.1000=++c b a (8.1)先考虑第n 代中的AA 型，第1-n 代AA 型与AA 型相结合，后代全部是AA 型；第1-n 代的Aa 型与和与AA 相结合，后代是AA 型的可能性为21；1-n 代的aa 型与AA 型相结合，后代不可能是AA 型。
线性代数应用实例
线性代数应用实例求插值多项式右表给出函数f(t)上4个点的值，试求三次插值多项式p(t) a 0 a-|t a 2t 2 a 3t 3 ,并求f (1.5)的近似值。
角军：令三次多项式函数 p(t) a 0 a 1t a 2t 2表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：a 。
3 a o a 1 a 2 a 3 0 a o2a 1 4a 2 8a 3 1 a o3a 19a 227a 36对于四元方程组，笔算就很费事了。
应该用计算机求解了，键入:2 32,a 3 1，三次多项函数为 p(t) 3 2t2t t ,故f(1.5)近似等于 p(1.5) 3 2(1.5) 2(1.5)2 (1.5)31.125。
在一般情况下，当给出函数f(t)在n+1个点t i (i 1,2,卅，n 1)上的值f(tj 时，就可以用n 次多项式p(t) a 。
a 1t a ?t 2卅 a n t n对f (t)进行插值。
在数字信号处理中的应用——数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。
它的特点在于所有的相加节点都 限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线 性算子，它的标注符号为z 1o 根据这样的结 构图，也可以用类似于例 7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处 理中称为系统函数。
图1表示了某个数字滤波器的结构图， 现在要求出它的系统函数，即输出 y 与输入 u 之比。
先在它的三个中间节点上标注信号 的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。
t i0 1 2 3 f(t i )3-16得到x = 1 0 0 0 30 10 -20 0 1 0 -20 0 0 1 1 um ---2X 1y-i ---- 11 -- 1—z 1■ V1/4J 1 1/4■* x 2二―]X3z 1,.3/8图1某数字滤波器结构图>>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到 a 0 3,a 12, a 2描述n 阶线性时不变(LTI )连续系统的微分方程为d n yd n 1ydy」d mu」du 」an ，an 1 y b1 mbmbm 1u，a1 n a 2dt dtdt dt dty 及其各阶导数的初始值为 y (0)，y ⑴(0)，…，y (n -1)(0)，求系统的零输入响应。
线性代数应用举例16816-37页文档资料
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问题及分析思路
• （1）某医院要购买这 7 种特效药，但药厂的第 3号 和第 6 号特效药已经卖完，请问能否用其它特效药 配制出这两种脱销的药品。
A
0
0
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0 0 0 0
1
1
0
0
转机航线的数学模型
其中，第 i 行描述从城市 i 出发，可以到达各个城市的 情况，若能到达第 j 个城市，记 A(i,j)=1，否则 A(i,j)=0， 规定 A(i,i)=0 (其中 i=1,2,3,4)。如第 2 行表示：从城市 2 出发可以到达城市 3 和城市 4 而不能到达城市 1 和 2。
At2=A+A^2+A^3
例 4 行列式的几何应用
二阶行列式的几何意义是两个二维向量构成的平行 四边形的面积，三阶行列式的几何意义是三个 3 维 向量构成的平行六面体的体积。如下图所示，用 MATLAB 软件来实现面积和体积的运算。
y u
v
v
x
O
w u
平行四边形面积计算
• 由向量 ua1,b1和va2,b2所构成的平行四
0 0 0 0
2
2
《线性代数》一些生活例子教学资料
（２）若BC路段封闭，那么各路段的车 流量是多少呢？
BC段封闭将导致x6=t3=0,所以各路段 的车流量是：
其中t1,t2 非负整数
且 t1 350,t2 1500例２Fra bibliotek课堂练习：
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
解（１）如图所示，设沿这些道路每小时车流 量分x1,x2,x3,x4,x5,x6,
鉴于出入每一个路口 的车流量是相等的， 于是有
这就给出6个未知量4个方程构成的线性方程组：
所提的问题就归结为求解上述线性方程组。
解
对应于系数矩阵的秩，即 秩（A）＝3
对应于增广矩阵的秩， 即秩（A）＝3
又由题意知，各个变量取值必须是 非负整数，于是t1,t2,t3必须是非负整数， 且满足条件：
《线性代数》一些生活例子
例１：如下图是某城市某区域单行道路网.据统 计进入交叉路口A 每小时车流量为500辆，而从 路 口 B 和 C 出 来 的 车 流 量 分 别 为 每 小 时 350 辆 和 150辆.（１）求出沿每一个道路每小时的车流量.
（２）若BC路段封闭，那么各路段的车流量是多少呢？
线性代数应用案例
线性代数应用案例
线性代数在各个领域都有广泛的应用，其中学习的概念和编程技术为许多各行各业的专业人士所借鉴。
一个经典的案例就是货物调配问题，利用线性代数可以实现该目标。
货物调配问题是将商品从源地A销售到目标地B，需要实现最高的经济效益，从而达到尽可能多地赚取利润。
让我们先从一个简单场景开始，其中只有两个货物，假定每件货物一次最多只能装入三千公斤，此外，A 和B 地还拥有不同的价格标准。
这就是一个课程中讨论的典型问题，它被归类为线性规划或最优化问题，由目标函数和约束函数组成。
课程中讲到，我们可以使用矩阵相乘来解决这个问题，计算最优解，从而实现最大经济效益。
具体来说，我们首先通过线性规划问题来表达变量的关系，首先使用矩阵的乘法在一起，这里使用具有两个行两个列的矩阵A来代表货物A和B的单价，使用同样大小的矩阵X来代表这两种货物的数量，此外，使用具有一个行两列的矩阵 B 来代表容量的限制。
之后，根据乘法规则，可以将这些矩阵相乘，即，AX = B ，最终得到最优解，也就是最大经济效益的解决方案。
从上面这个例子中可以看出，线性代数在实际应用中非常有用，它可以帮助我们快速解决货物调配问题，从而达到最大经济效益。
对于其他类似的线性优化问题，也可以利用矩阵相乘来便捷地解决，从而为企业提升经济收入水平。
线性代数在后续课程中的应用举例(与“矩阵”有关的文档共53张)
解毕。
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7.5 运动学
例7.7 刚体空间运动学
以飞行器为例，它在空中可以围绕三个轴旋转。假 如它在向北飞行，机头正对北方，则它围绕铅垂轴的旋 转角称为偏航角（Yaw），它描述了飞机左右的偏转， 用u表示；围绕翼展轴的旋转角称为倾斜角（Pitch）， 它描述了飞机俯仰姿态，用v表示；围绕机身轴的旋转 角称为滚动角（Roll），用w表示；u,v和w三个变量统 称为欧拉角，它们完全描述了飞机的姿态。
G1=200; G2=100; L1= 2; L2 = sqrt (2) ; % 给原始参数赋值
theta1 = 30*pi/180; theta2 = 45*pi/180; % 将度化为弧度
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% 设则按此次序，系数矩阵A,B可写成下式 A=[1,0,0,0,1,0;0,1,0,0,0,1;0,0,0,0,sin(theta1), cos(theta1);... 0,0,1,0,-1,0;0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0, sin(theta2),cos(theta2)]; B=[0;G1;G1/2*cos(theta1);0;G2;G2/2*cos(theta2)]; X = A\B % 用左除求解线性方程组
1
V
p1
p1n1
1 1
p2
pn
p2n1
pnn1
V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵 库中有vander函数可直接生成。
第九页，共53页。
MATLAB程序ea703.m
a=input('输入分母系数向量a=[a1，a2，...]= '); n=length(a)-1;
Y0=input(‘输入初始条件向量 Y0=[y0，Dy0， D2y0，...]= ');
线性代数应用案例资料
，
利用matlab求解，可知 ，所以方程组有唯一解，其解为
所以煤矿总产值为80423元，发电厂总产值为28583元，铁路总产值为21535元。
案例8求解线性方程组
（1）假设你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案，如下表所示。如果要设计出含有136套一居室，74套两居室，66套三居室，是否可行？设计方案是否唯一？
所需营养
食物1
食物2
食物3
蛋白质
36
51
13
33
脂肪
0
7
1.1
3
碳水化合物
52
34
74
45
试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。
解：设 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组
利用matlab可以求得
x =
0.27722318361443
案例6矩阵乘法的应用
某企业某年出口到三个国家的两种货物的数量及两种货物的单位价格、重量、体积如下表所示：
美国
德国
日本
3000
1500
2000
1400
1300
800
单位价格（万元）
单位重量（吨）
单位体积（ ）
0.5
0.04
0.2
0.4
0.06
0.4
利用矩阵乘法计算该企业出口到三个国家的货物总价值、总重量、总体积各为多少？
（3）某公司有一个车队，大约有450辆车，分布在三个地点。一个地点租出去的车可以归还到三个地点中的任意一个，但租出的车不许当日归还。下面的矩阵给出了汽车归还到每个地点的不同比率。假设星期一在机场有304辆车，东部办公区有48辆车，西部办公区有98辆车，那么在星期三时，车辆的大致分布式怎么样？
线性代数应用题电子教案
线性代数应用题线性代数应用题集锦郑波重庆文理学院数学与统计学院2011年10月目录案例一. 交通网络流量分析问题 (1)案例二. 配方问题 (5)案例三. 投入产出问题 (7)案例四. 平板的稳态温度分布问题 (9)案例五. CT图像的代数重建问题 (11)案例六. 平衡结构的梁受力计算 (13)案例七. 化学方程式配平问题 (16)案例八. 互付工资问题 (18)案例九. 平衡价格问题 (20)案例十. 电路设计问题 (22)案例十一. 平面图形的几何变换 (24)案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (27)案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (28)案例十四. 显示器色彩制式转换问题 (31)案例十五. 人员流动问题 (33)案例十六. 金融公司支付基金的流动 (35)案例十七. 选举问题 (37)案例十八. 简单的种群增长问题 (38)案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 (40)案例二十. 最值问题 (42)附录数学实验报告模板 (43)这里收集了二十个容易理解的案例. 和各类数学建模竞赛的题目相比, 这些案例确实显得过于简单. 但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解, 培养数学建模的意识, 那么我们初步的目的也就达到了.案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。
根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。
图1 某地交通实况图2 某城市单行线示意图【模型准备】 某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆).图3 某城市单行线车流量(1) 建立确定每条道路流量的线性方程组.(2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计?(3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值.(4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理?【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等.【模型建立】 根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足500 = x 1 + x 2 ①400 + x 1 = x 4 + 300②x 2 + x 3 = 100 + 200③x 4 = x 3 + 300 ④【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组12142334500100300300x x x x x x x x +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-+=⎩其增广矩阵(A , b ) =1100500100110001103000011300⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭−−−−→初等行变换10011000101600001130000000--⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭由此可得142434100600300x x x x x x -=-⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩即142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可.当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50.若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = -100 < 0. 这表明单行线“③←④”应该改为“③→④”才合理.【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计.(2) 由142434100600300x x x x x x =-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩可得213141500200100x x x x x x =-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩, 123242500300600x x x x x x =-+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩, 132343200300300x x x x x x =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 16-17.Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量(1)建立确定每条道路流量的线性方程组.(2)分析哪些流量数据是多余的. 500多余(3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模.图5 日常膳食搭配图6 几种常见的作料【模型准备】一种佐料由四种原料A、B、C、D混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成?【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A、B、C、D四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中A、B、C、D四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克).【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x袋第一种规格的佐料与y袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A、B、C、D四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组24,327,3,2 5.x yx yx yx y+=⎧⎪+=⎨+=⎪+=⎩【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵(A, b) =214327113125⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭−−−−→初等行变换101012000000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭,可见{1,2.x y==又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成.【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T, α2 = (1, 2, 1, 1)T, β = (4, 7, 5, 3)T, 则原问题等价于“线性方程组Ax = b是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”.(2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理.(3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的佐料与y 克第二种规格的佐料混合得第三种规格的佐料, 则有下表因而有如下线性方程组 214(),7619327(),7619113(),7619125().7619x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎩ (*) 【模型检验】把x = 7, y = 12代入上述方程组(*), 则各等式都成立. 可见模型假设中的第三个假设不影响解的正确性.Matlab 实验题蛋白质、碳水化合物和脂肪是人体每日必须的三种营养,但过量的脂肪摄入不利于健康.人们可以通过适量的运动来消耗多余的脂肪. 设三种食物(脱脂牛奶、大豆面粉、乳清)每100克中蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量以及慢跑5分钟消耗蛋白质、碳水化合物和脂肪的量如下表.问怎样安排饮食和运动才能实现每日的营养需求?精品资料案例三. 投入产出问题在研究多个经济部门之间的投入产出关系时, W. Leontief提出了投入产出模型. 这为经济学研究提供了强有力的手段. W. Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.图7 三个经济部门这里暂时只讨论一个简单的情形.【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表产出(1元)产出消耗订单煤电运消耗煤0 0.6 0.5 x 0.6y + 0.5z60000电0.3 0.1 0.1 y 0.3x + 0.1y + 0.1z100000运0.2 0.1 0 z 0.2x + 0.1y0根据需求, 应该有(0.60.5)60000(0.30.10.1)100000(0.20.1)0x y zy x y zz x y-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩,即0.60.5600000.30.90.11000000.20.10x y zx y zx y z--=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1]; b = [60000;100000;0];>> x = A\bMatlab执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835可见煤矿要生产1.9966⨯105元的煤, 电厂要生产1.8415⨯105元的电恰好满足需求.【模型分析】令x =xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭, A =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭, b =60000100000⎛⎫⎪⎪⎝⎭, 其中x称为总产值列向量,A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =00.60.50.30.10.10.20.10⎛⎫⎪⎪⎝⎭xyz⎛⎫⎪⎪⎝⎭=0.60.50.30.10.10.20.1y zx y zx y+⎛⎫⎪++⎪+⎝⎭根据需求, 应该有x-Ax = b, 即(E-A)x = b. 故x = (E-A)-1b.Matlab实验题某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙三个企业生产的产品价值分别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万元和5万元.(1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折旧后的新创价值.(2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求?案例四. 平板的稳态温度分布问题在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据…定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度.图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位°C), 求中间4个点处的温度T1, T2, T3, T4.图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值.【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组1232143144231(90100)41(8060)41(8060)41(5050)4T T TT T TT T TT T T⎧=+++⎪⎪⎪=+++⎪⎨⎪=+++⎪⎪=+++⎪⎩【模型求解】将上述线性方程组整理得T1T2T3T4100 80908060 5060501231241342344190414041404100T T T T T T T T T T T T --=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-=⎪--+=⎪⎩. 在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]; b = [190;140;140;100]; >> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T 1 = 82.9167, T 2 = 70.8333, T 3 = 70.8333, T 4 = 60.4167.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.Matlab 实验题假定下图中的平板代表一条金属梁的截面, 并忽略垂直于该截面方向上的热传导. 已知平板内部有30个节点, 每个节点的温度近似等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 设4条边界上的温度分别等于每位同学学号的后四位的5倍, 例如学号为16308209的同学计算本题时, 选择T l = 40, T u = 10, T r = 0, T d = 45.图10 一块平板的温度分布图(1) 建立可以确定平板内节点温度的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组.(3) 用Matlab 中的函数mesh 绘制三维平板温度分布图.案例五. CT图像的代数重建问题X射线透视可以得到3维对象在2维平面上的投影, CT则通过不同角度的X射线得到3维对象的多个2维投影, 并以此重建对象内部的3维图像. 代数重建方法就是从这些2维投影出发, 通过求解超定线性方程组, 获得对象内部3维图像的方法.图11双层螺旋CT 图12 CT图像这里我们考虑一个更简单的模型, 从2维图像的1维投影重建原先的2维图像. 一个长方形图像可以用一个横竖均匀划分的离散网格来覆盖, 每个网格对应一个像素, 它是该网格上各点像素的均值. 这样一个图像就可以用一个矩阵表示,其元素就是图像在一点的灰度值(黑白图像). 下面我们以3⨯3图像为例来说明.3⨯3图像各点的灰度值水平方向上的叠加值x1 = 1 x2 = 0 x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 1x4 = 0 x5 = 0.5 x6 = 0.5 x4 + x5 + x6 = 1x7 = 0.5 x8 = 0 x9 = 1 x7 + x8 + x9 = 1.5 竖直方向上的叠加值x1 + x4 + x7= 1.5x2 + x5 + x8= 0.5x3 + x6 + x9= 1.5i灰色. 如果我们不知道网格中的数值, 只知道沿竖直方向和水平方向的叠加值, 为了确定网格中的灰度值, 可以建立线性方程组(含有6个方程, 9个未知数)123456369111x x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎨⎪++=⎪⎩显然该方程组的解是不唯一的, 为了重建图像, 必须增加叠加值. 如我们增加从右上方到左下方的叠加值, 则方程组将增加5个方程x1 = 1,x2 + x4 = 0,x3 + x5 + x7 = 1,x6 + x8 = 0.5,x9 = 1,和上面的6个方程放在一起构成一个含有11个方程, 9个未知数的线性方程组.【模型准备】设3⨯3图像中第一行3个点的灰度值依次为x 1, x 2, x 3, 第二行3个点的灰度值依次为x 4, x 5, x 6, 第三行3个点的灰度值依次为x 7, x 8, x 9. 沿竖直方向的叠加值依次为1.5, 0.5, 1.5, 沿水平方向的叠加值依次为1, 1, 1.5, 沿右上方到左下方的叠加值依次为1, 0, 1, 0.5, 1. 确定x 1, x 2, …, x 9的值.【模型建立】由已知条件可得(含有11个方程, 9个未知数的)线性方程组1234569111x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪=⎪⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,1,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,1;1,0,0,1,0,0,1,0,0;0,1,0,0,1,0,0,1,0;0,0,1,0,0,1,0,0,1;1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0,0;0,0,1,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,0,1,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,1];>> b = [1;1;1.5;1.5;0.5;1.5;1;0;1;0.5;1];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得Warning: Rank deficient, rank = 8 tol = 4.2305e-015.ans =1.0000 0.0000 0 -0.0000 0.5000 0.5000 0.5000 -0.0000 1.0000可见上述方程组的解不唯一. 其中的一个特解为x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 0.5, x 6 = 0.5, x 7 = 0.5, x 8 = 0, x 9 = 1.【模型分析】上述结果表明, 仅有三个方向上的叠加值还不够.可以再增加从左上方到右下方的叠加值. 在实际情况下, 由于测量误差, 上述线性方程组可能是超定的. 这时可以将超定方程组的近似解作为重建的图像数据.Matlab 实验题给定一个3⨯3图像的2个方向上的灰度叠加值: 沿左上方到右下方的灰度叠加值依次为0.8, 1.2, 1.7, 0.2, 0.3; 沿右上方到左下方的灰度叠加值依次为0.6, 0.2, 1.6, 1.2, 0.6.(1) 建立可以确定网格数据的线性方程组, 并用Matlab 求解.(2) 将网格数据乘以256, 再取整, 用Matlab 绘制该灰度图像.案例六. 平衡结构的梁受力计算在桥梁、房顶、铁塔等建筑结构中, 涉及到各种各样的梁. 对这些梁进行受力分析是设计师、工程师经常做的事情.图13埃菲尔铁塔全景图14 埃菲尔铁塔局部下面以双杆系统的受力分析为例, 说明如何研究梁上各铰接点处的受力情况.【模型准备】在图15所示的双杆系统中, 已知杆1重G1 = 200牛顿, 长L1 = 2米, 与水平方向的夹角为θ1 = π/6, 杆2重G2 = 100牛顿, 长L22米, 与水平方向的夹角为θ2 = π/4. 三个铰接点A, B, C所在平面垂直于水平面. 求杆1, 杆2在铰接点处所受到的力.图15双杆系统【模型假设】假设两杆都是均匀的. 在铰接点处的受力情况如图16所示.【模型建立】对于杆1:水平方向受到的合力为零, 故N1 = N3,竖直方向受到的合力为零, 故N2 + N4 = G1,以点A为支点的合力矩为零, 故(L1sinθ1)N3 + (L1cosθ1)N4 = (12L1cosθ1)G1.图16 两杆受力情况对于杆2类似地有AC杆1 杆2CN1N2N3N5N6G1G2A B杆1 杆2π/6 π/4N 5 = N 7, N 6 = N 8 + G 2, (L 2sin θ2)N 7 = (L 2cos θ2)N 8 + (12L 2cos θ2)G 2. 此外还有N 3 = N 7, N 4 = N 8. 于是将上述8个等式联立起来得到关于N 1, N 2, …, N 8的线性方程组:132414800N N N N G N N -=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令>> G1=200; L1=2; theta1=pi/6; G2=100; L2=sqrt(2); theta2=pi/4;>> A = [1,0,-1,0,0,0,0,0;0,1,0,1,0,0,0,0;0,0,L1*sin(theta1),L1*cos(theta1),0,0,0,0;0,0,0,0,1,0,-1,0;0,0,0,0,0,1,0,-1;0,0,0,0,0,0,L2*sin(theta2),-L2*cos(theta2);0,0,1,0,0,0,-1,0;0,0,0,1,0,0,0,-1];>> b = [0;G1;0.5*L1*cos(theta1)*G1;0;G2;0.5*L2*cos(theta2)*G2;0;0];>> x = A\b; x ’Matlab 执行后得ans =95.0962 154.9038 95.0962 45.0962 95.0962 145.0962 95.096245.0962【模型分析】最后的结果没有出现负值, 说明图16中假设的各个力的方向与事实一致. 如果结果中出现负值, 则说明该力的方向与假设的方向相反.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 157- 158. Matlab 实验题有一个平面结构如下所示, 有13条梁(图中标号的线段)和8个铰接点(图中标号的圈)联结在一起. 其中1号铰接点完全固定, 8号铰接点竖直方向固定, 并在2号, 5号和6号铰接点上, 分别有图示的10吨, 15吨和20吨的负载. 在静平衡的条件下,任何一个铰接点上水平和竖直方向受力都是平衡的. 已知每条斜梁的角度都是45º.(1) 列出由各铰接点处受力平衡方程构成的线性方程组.(2) 用Matlab 软件求解该线性方程组, 确定每条梁受力情况.图17 一个平面结构的梁案例七. 化学方程式配平问题在用化学方法处理污水过程中, 有时会涉及到复杂的化学反应. 这些反应的化学方程式是分析计算和工艺设计的重要依据. 在定性地检测出反应物和生成物之后,可以通过求解线性方程组配平化学方程式.图18 污水处理【模型准备】某厂废水中含KCN, 其浓度为650mg/L. 现用氯氧化法处理, 发生如下反应:KCN + 2KOH + Cl2 = KOCN + 2KCl + H2O.投入过量液氯, 可将氰酸盐进一步氧化为氮气. 请配平下列化学方程式: KOCN + KOH + Cl2 === CO2 + N2 + KCl + H2O.(注: 题目摘自福建省厦门外国语学校2008-2009学年高三第三次月考化学试卷)【模型建立】设x1KOCN ＋x2KOH ＋x3Cl2 === x4CO2＋x5N2＋x6KCl ＋x7H2O,则1261247141527362222x x xx x x xx xx xx xx x+=⎧⎪+=+⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩, 即12612471415273620202020x x xx x x xx xx xx xx x+-=⎧⎪+--=⎪⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎪-=⎪⎩【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令>> A = [1,1,0,0,0,-1,0;1,1,0,-2,0,0,-1;1,0,0,-1,0,0,0;1,0,0,0,-2,0,0;0,1,0,0,0,0,-2;0,0,2,0,0,-1,0];>> x = null(A,’r’); format rat, x’Matlab执行后得ans =1 2 3/2 1 1/2 3 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1)T.取k = 2得x = (2, 4, 3, 2, 1, 6, 2)T. 可见配平后的化学方程式如下2KOCN + 4KOH + 3Cl2 ===2CO2 + N2 + 6KCl + 2H2O.【模型分析】利用线性方程组配平化学方程式是一种待定系数法. 关键是根据化学方程式两边所涉及到的各种元素的量相等的原则列出方程. 所得到的齐次线性方程组Ax = θ中所含方程的个数等于化学方程式中元素的种数s, 未知数的个数就是化学方程式中的项数n.当r(A) = n-1时, Ax = θ的基础解系中含有1个(线性无关的)解向量. 这时在通解中取常数k为各分量分母的最小公倍数即可. 例如本例中1, 2, 3/2, 1, 1/2, 3, 1分母的最小公倍数为2, 故取k = 2.当r(A) ≤n-2时, Ax = θ的基础解系中含有2个以上的线性无关的解向量. 这时可以根据化学方程式中元素的化合价的上升与下降的情况, 在原线性方程组中添加新的方程.参考文献陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 84-85. Matlab实验题配平下列反应式(1) FeS + KMnO4 + H2SO4—— K2SO4 + MnSO4 + Fe2(SO4)3 + H2O + S↓(2) Al2(SO4)3 + Na2CO3 + H2O —— Al(OH)3↓+ CO2↑+ Na2SO4案例八. 互付工资问题互付工资问题是多方合作相互提供劳动过程中产生的. 比如农忙季节, 多户农民组成互助组, 共同完成各户的耕、种、收等农活. 又如木工, 电工, 油漆工等组成互助组, 共同完成各家的装潢工作. 由于不同工种的劳动量有所不同, 为了均衡各方的利益, 就要计算互付工资的标准.图19 农忙互助图20 装修互助【模型准备】现有一个木工, 电工, 油漆工. 相互装修他们的房子, 他们有如下协议:(1) 每人工作10天(包括在自己家的日子),(2) 每人的日工资一般的市价在60~80元之间,(3) 日工资数应使每人的总收入和总支出相等.在谁家工人木工电工油漆工木工家 2 1 6电工家 4 5 1油漆工家 4 4 3求每人的日工资.【模型假设】假设每人每天工作时间长度相同. 无论谁在谁家干活都按正常情况工作, 既不偷懒, 也不加班.【模型建立】设木工, 电工, 油漆工的日工资分别为x, y, z元, 则由下表在谁家工人木工电工油漆工各家应付工资木工家2x1y6z2x + y + 6z电工家4x5y1z4x + 5y + z油漆工家4x4y3z4x + 4y + 3z各人应得收入10x10y10z可得2610451044310x y z xx y z yx y z z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 即8604504470x y zx y zx y z-++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩【模型求解】在Matlab 命令窗口输入以下命令 >> A = [-8,1,6;4,-5,1;4,4,-7]; >> x = null(A,’r ’); format rat, x ’ Matlab 执行后得ans =31/36 8/9 1可见上述齐次线性方程组的通解为x = k (31/36, 8/9, 1)T . 因而根据“每人的日工资一般的市价在60~80元之间”可知60 ≤3631k <98k < k ≤ 80, 即 312160≤ k ≤ 80.也就是说, 木工, 电工, 油漆工的日工资分别为3631k 元, 98k 元, k 元, 其中312160≤ k ≤ 80.为了简便起见, 可取k = 72, 于是木工, 电工, 油漆工的日工资分别为62元, 64元, 72元. 【模型分析】事实上各人都不必付自己工资, 这时各家应付工资和各人应得收入如下由此可得6845447y z x x z y x y z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩, 即8604504470x y z x y z x y z -++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 可见这样得到的方程组与前面得到的方程组是一样的.Matlab 实验题甲, 乙, 丙三个农民组成互助组, 每人工作6天(包括为自己家干活的天数), 刚好完成他们三人家的农活, 其中甲在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 2, 2.5, 1.5; 乙在甲, 乙, 丙三家各干2天活, 丙在甲, 乙, 丙三家干活的天数依次为: 1.5, 2, 2.5. 根据三人干活的种类, 速度和时间, 他们确定三人不必相互支付工资刚好公平. 随后三人又合作到邻村帮忙干了2天(各人干活的种类和强度不变), 共获得工资500元.问他们应该怎样分配这500元工资才合理?案例九. 平衡价格问题为了协调多个相互依存的行业的平衡发展, 有关部门需要根据每个行业的产出在各个行业中的分配情况确定每个行业产品的指导价格, 使得每个行业的投入与产出都大致相等.图21 三个行业【模型准备】假设一个经济系统由煤炭、电力、钢铁行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:产出分配购买者煤炭电力钢铁0 0.4 0.6 煤炭0.6 0.1 0.2 电力0.4 0.5 0.2 钢铁的平衡价格.【模型假设】假设不考虑这个系统与外界的联系.【模型建立】把煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别用x1, x2, x3表示, 则123212331230.40.60.60.10.20.40.50.2x x xx x x xx x x x=+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 即1231231230.40.600.60.90.200.40.50.80x x xx x xx x x--=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩.【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令>> A = [1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8];>> x = null(A,’r’); format short, x’Matlab执行后得ans =0.9394 0.8485 1.0000可见上述齐次线性方程组的通解为x = k(0.9394, 0.8485, 1)T.这就是说, 如果煤炭、电力、钢铁行业每年总产出的价格分别0.9394亿元, 0.8485亿元, 1亿元, 那么每个行业的投入与产出都相等.【模型分析】实际上, 一个比较完整的经济系统不可能只涉及三个行业, 因此需要统计更多的行业间的分配数据.Matlab实验题假设一个经济系统由煤炭、石油、电力、钢铁、机械制造、运输行业组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配如下表所示:的平衡价格.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 49-50.案例十. 电路设计问题电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律.图22 USB扩展板【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用11vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输入电压和输入电流(电压v以伏特为单位, 电流i以安培为单位), 用22vi⎛⎫⎪⎝⎭记录输出电压和输入电流. 若22vi⎛⎫⎪⎝⎭= A11vi⎛⎫⎪⎝⎭, 则称矩阵A为转移矩阵.图23 具有输入和输出终端的电子电路图图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是1101R-⎛⎫⎪⎝⎭和2101/1R⎛⎫⎪-⎝⎭串联电路并联电路图24 梯形网络v1v2i1i2R1v3i2i3R2输入终端v1输出终端v2i1i2电路设计一个梯形网络, 其转移矩阵是180.55-⎛⎫⎪-⎝⎭. 【模型假设】假设导线的电阻为零.【模型建立】设A 1和A 2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x 先变换成A 1x , 再变换到A 2(A 1x ). 其中A 2A 1 =2101/1R ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1101R -⎛⎫ ⎪⎝⎭=121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭就是图22中梯形网络的转移矩阵.于是, 原问题转化为求R 1, R 2的值使得121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【模型求解】由121211/1/R R R R -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭=180.55-⎛⎫ ⎪-⎝⎭可得121281/0.51/5R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据其中的前两个方程可得R 1 = 8, R 2 = 2. 把R 1 = 8, R 2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R 1 = 8, R 2 = 2即为所求.【模型分析】若要求的转移矩阵改为180.54-⎛⎫⎪-⎝⎭, 则上面的梯形网络无法实现. 因为这时对应的方程组是121281/0.51/4R R R R -=-⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩. 根据前两个方程依然得到R 1 = 8, R 2 = 2,但把R 1 = 8, R 2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 129-130.练习题根据基尔霍夫回路电路定律(各节点处流入和流出的电流强度的代数和为零, 各回路中各支路的电压降之和为零), 列出下图所示电路中电流i 1, i 2, i 3所满足的线性方程组, 并用矩阵形式表示:图25 简单的回路案例十一. 平面图形的几何变换随着计算机科学技术的发展, 计算机图形学的应用领域越来越广, 如仿真设计、效果图制作、动画片制作、电子游戏开发等.图26 计算机图形学的广泛应用图形的几何变换, 包括图形的平移、旋转、放缩等, 是计算机图形学中经常遇到的问题. 这里暂时只讨论平面图形的几何变换.【模型准备】平面图形的旋转和放缩都很容易用矩阵乘法实现, 但是图形的平移并不是线性运算, 不能直接用矩阵乘法表示. 现在要求用一种方法使平移、旋转、放缩能统一用矩阵乘法来实现.【模型假设】设平移变换为(x, y) → (x+a, y+b)旋转变换(绕原点逆时针旋转θ角度)为(x, y) → (x cosθ-y sinθ, x sinθ + y cosθ)放缩变换(沿x轴方向放大s倍, 沿y轴方向放大t倍)为(x, y) → (sx, ty)【模型求解】R2中的每个点(x, y)可以对应于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1单位的平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x, y) → (x+a, y+b)可以用齐次坐标写成(x, y, 1) → (x+a, y+b, 1).E121RR4R5i1i2i3①②于是可以用矩阵乘积1001001a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1x a y b +⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.旋转变换(x , y ) → (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ, 1). 于是可以用矩阵乘积cos sin 0sin cos 0001θθθθ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=cos sin sin cos 1x y x y θθθθ-⎛⎫⎪+ ⎪⎝⎭实现.放缩变换(x , y ) → (sx , ty )可以用齐次坐标写成(x , y , 1) → (sx , ty , 1).于是可以用矩阵乘积0000001s t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=1sx ty ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭实现.【模型分析】由上述求解可以看出, R 2中的任何线性变换都可以用分块矩阵1⎛⎫⎪⎝⎭A O O 乘以齐次坐标实现, 其中A 是2阶方阵. 这样, 只要把平面图形上点的齐次坐标写成列向量, 平面图形的每一次几何变换, 都可通过左乘一个3阶变换矩阵来实现.参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 139-141.Matlab 实验题在Matlab 命令窗口输入以下命令 >>clear all , clc,>>t = [1,3,5,11,13,15]*pi/8; >>x = sin(t); y=cos(t); >>fill(x,y,'r'); >>grid on ;>>axis([-2.4, 2.4, -2, 2]) 运行后得图25.。
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中成药2
中成药3
车间工时（时/周）
车间1
1
1
2
40
车间2
3
2
3
75
车间3
1
1
1
28
解：设3种中成药每周的产量分别为 ，则由题意得
利用matlab将方程组的增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵，得
由此可以得出
所以三种中成药每周的产量分别为7件，9件，12件。
案例9解线性方程组应用—人口迁移模型
在生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模，此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量，这样就产生了与时间间隔相应的向量序列 其中 表示第n次测量时系统状态的有关信息，而 常被称为初始向量。
取 ，则方程组的全部解为
又由题意可知， 都为正整数，则方程组有唯一解 。
所以设计方案可行且唯一，设计方案为：6层采用方案A，2层采用方案B，8层采用方案C。
（2）在一个原始部落中，农田耕作记为F，农具及工具的制作记为M，织物的编织记为C。人们之间的贸易是实物交易系统（见下图）。由图中可以看出，农夫将每年的收获留下一半，分别拿出四分之一给工匠和织布者；工匠平均分配他们制作的用具给每个组。织布者则留下四份之一的衣物为自己，四分之一给工匠，二分之一给农夫。
，
从而得到下列方程组：
利用matlab将系数矩阵化为行简化阶梯型矩阵，为
A=
令 ，写成方程组，为
写成向量形式为
所以当农作物价值、工具价值与织物价值的定价之比为 时，才能公正地体现原有的实物交易系统。
（3）某药厂生产3种中成药，每件中成药的生产要经过3个车间加工。3个车间每周的工时、每件中成药在各车间需要的工时数如下表所示，问3中中成药每周的产量各是多少？
解：由题意可得迁移矩阵为
设2009年的初始人口为 ，2010年和2011年的人口分别为 ，则
即2011年的人口分布情况是：城市人口为6255380，农村人口为6544620.
(2)在某个地区，每年约有4%的城市人口移居到周围的农村，大约5%的农村人口移居到城市中。在2009年，城市中有400000居民，农村有600000居民。建立一个差分方程来描述这种情况，用 表示2009年的初始人口，然后估计两年之后，即2011年城市和农村的人口数量（忽略其他因素对人口规模的影响）
为了便于研究，表中√为1，空白为0，得到下列数表：
列表表示到站
A
B
C
D
行标表示发站
A
√
√
0
1
1
0
B
√
√
√
1
0
1
1
C
√
√
√
1
1
0
1
D
√
0
1
0
0
(3)某中学学生身高体重的测量，得到如下一份统计如下表
40
50
60
70
1.5
60
80
70
20
1.6
30
120
150
90
1.7
10
15
80
150
1.8
0
2
5
10
此表反映身高与体重这种关系时也可将上面表格写成一个简化的4行4列的矩形数表，
随着社会的发展，实物交易形式需要改为货币交易。假设没有资本和负债，那么如何对每类产品定价才能公正地体现原有的实物交易系统？
也可以用下表表示：
组名
F
M
C
F
M
C
解：令 为农作物的价值， 为工具的价值， 为织物价值。那么从上表第一列，农夫生产的价值应该等于他们交换到的产品的价值，即
同理可以得到工匠和纺织者产品价值的方程
，
利用matlab求解，可知 ，所以方程组有唯一解，其解为
所以煤矿总产值为80423元，发电厂总产值为28583元，铁路总产值为21535元。
案例8求解线性方程组
（1）假设你是一个建筑师，某小区要建设一栋公寓，现在有一个模块构造计划方案需要你来设计，根据基本建筑面积每个楼层可以有三种设置户型的方案，如下表所示。如果要设计出含有136套一居室，74套两居室，66套三居室，是否可行？设计方案是否唯一？
案例6矩阵乘法的应用
某企业某年出口到三个国家的两种货物的数量及两种货物的单位价格、重量、体积如下表所示：
美国
德国
日本
3000
1500
2000
1400
1300
800
单位价格（万元）
单位重量（吨）
单位体积（ ）
0.5
0.04
0.2
0.4
0.06
0.4
利用矩阵乘法计算该企业出口到三个国家的货物总价值、总重量、总体积各为多少？
解：各企业产出一元钱的产品所需费用为
煤矿
发电厂
铁路
燃料费（元）
0
0.65
0.55
电力费（元）
0
0.05
0.10
运输费（元）
0.25
0.05
0
对于一个星期的周期，设 表示煤矿的总产值， 表示电厂的总产值， 表示铁路的总产值。
煤矿的总消耗为
电厂的总消耗为
铁路的总消耗为
则
联立三个方程并整理得方程组
上述方程组可化为 ，其中
联立以上方程的方程组：
取 ，则网络的流量模式表示为
线性规划问题
案例1、.生产计划问题
（1）假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要原料有A类3600kg，B类2000kg,C类3000kg.每件甲产品需用材料A类9kg,B类4kg,C类3kg。每件乙产品需用材料A类4kg,B类5kg,C类10kg。甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
行列式的应用
案例1大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
营养
单位食物所含的营养
（1）乙读的最后一本书是甲读的第二本书；
（2）丙读的第一本书是丁读的最后一本书。
问四人的阅读顺序是怎样的？
解：设甲、乙、丙、丁最后读的书的代号依次为A,B,C,D,则根据题设条件可以列出初始矩阵
下面我们来分析矩阵中各位置的书名代号。已知每个人都读完了所有的书，所以并第二次读的书不可能是C,D。又甲第二次读的书是B，所以丙第二次读的书也不可能是B，从而丙第二次读的书是A，同理可依次推出丙第三次读的书是B，丁第二次读的书是C，丁第三次读的书是A，丁第一次读的书是B，乙第二次读的书是D，甲第一次读的书是C，乙第一次读的书是A，乙第三次读的书是C，甲第三次读的书是D。故四人阅读的顺序可用矩阵表示如下：
则
所以，星期三时，机场有310辆车，东部办公区有48辆车，系部办公区有92辆车。
案例10解线性方程组应用—网络流模型
网络流模型广泛应用于交通、运输、通信、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题是，线性方程组就自然而然地产生了，例如：城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网络内的交通流量，电气工程师计算电路中流经的电流，经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等。大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千个未知量和线性方程。
方案
一居室（套）
两居室（套）
三居室（套）
A
8
7
3
B
8
4
4
C
9
3
5
解：设公寓的每层采用同一种方案，有 层采用方案A，有 层采用方案B，有 层采用方案C，根据题意，可得
利用matlab计算方程组的系数矩阵A、增广矩阵 的秩：
，
所以方程组有无穷多个解。
利用matlab将增广矩阵化为行简化阶梯型矩阵：
矩阵对应的方程组为 ，
实际收入
土建师
电气师
机械师
土建师
0
0.2
0.3
500
电气师
0.1
0
0.4
700
机械师
0.3
0.4
0
600
解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是 元，根据题意，建立方程组
利用matlab可以求得
x =
1.0e+003 *
1.25648414985591
1.44812680115274
1.55619596541787
解：设矩阵
则矩阵
=
案例7逆矩阵的应用
一个城市有三个重要的企业：一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采一块钱的煤，煤矿必须支付0.25元的运输费。而生产一块钱的电力，发电厂需支付煤矿0.65元的燃料费，自己亦需支付0.05元的电费来驱动辅助设备及支付0.05元的运输费。而提供一块钱的运输费铁路需支付煤矿0.55元的燃料费，0.10元的电费驱动它的辅助设备。某个星期内，煤矿从外面接到50000元煤的订货，发电厂从外面接到25000元电力的订货，外界对地方铁路没有要求。问这三个企业在那一个星期的生产总值各为多少时才能精确地满足它们本身的要求和外界的要求？
利用matlab可以求得
x =
1.52173913043478
2.39130434782609
0.65217391304348
矩阵的应用
案例1矩阵概念的引入
（1）线性方程组
的系数 按原来的位置构成一数表
该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。