公选课第11讲：数学与绘画、音乐

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（一）数学与绘画艺术
现在来谈谈数学对人类文化艺术生活的影 响，这种影响遍及绘画、音乐、建筑和文学众 多方面，限于时间，这里只简单介绍绘画与音 乐，鉴于时间关系，建筑和文学就不作介绍了。 先看下面两幅画：
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第一幅是 中世纪的油 画，明显没 有远近空间 的感觉，显 得笔法幼稚， 象幼儿园孩 子们的作品。
一些具有动态黄金律的技巧自然也可以用于艺术，
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这种螺线的一个简单画法。只要画出每
个正方形里的四分之一圆弧即成。另外一种办
法就是上面谈到的一串矩形的形成过程中，每
次“甩”出长边时同时画出“甩”的轨迹，这 些轨迹衔接起来正是一条近似的黄金螺线。黄 金螺线被认为是自然界里最美的螺旋形状。
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古希腊奥林匹斯山上的巴特农神庙
我们不妨再欣赏两幅：达芬奇的《最后的
晚餐》。表现出鲜明的立体感和用平面传递空
间的概念。在达芬奇的草稿中可以看到画布上
放射的虚线及没影点(正好在耶稣头部中央)。
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《最后的晚餐》（草稿）
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在《最后的晚餐》中，耶稣与十二个门徒共进 晚餐，达· 芬奇的构图使他们全都面向观众、一字排开 坐在正中间的耶稣头部正好受到中间亮光的衬托，精 心构思的光线效果成为整个画面的中心，耶稣的十二 个门徒每三人一组对称地分布在耶稣的两侧。基督本 人被画成一个等边三角形，这样的描绘目的在于表达 基督的情感和思考，并且身体处于一种平衡状态。画 面把人物的情感、形态和心理准确的融为一体，不仅 表现了每个门徒的神态差异，而且十分集中地表现了 耶稣身上的美和善与叛徒身上丑和恶的冲突、对比。
渊源很久，早在古希腊时代，数学本身就被
视为一门艺术.毕达哥拉斯学派从研究数学
与声学的实践中概括出“美是和谐的比 例”.
古希腊的毕达哥拉斯学派在研究音乐乐理
的谐音时，发现弦在振动时所发出的音调的强
度与弦长成反比，而产生各种谐音的弦的长度
都成整数比．
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如两根绷得同样紧的弦，当它们的长度比 为3∶2时，短弦发出的音比长弦发出的音要高 五度；当它们的长度比为2∶1时，就会产生相 差八度的谐音；而如果三根绷紧的弦的长度之 比为3∶4∶6时，就能得到和声的谐音；特别 是当他们发现1，2，3，4成比例的弦长所发出 的音调最和谐时，就把1、2、3、4之和“10” 认为是一个神圣而完美的数目——完美数．
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古希腊奥林匹斯山上的巴特农神庙
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35 图中这三个矩形的长宽比都是黄金分割比,故称为黄金矩形
由一门新兴的数学分支——分形几何学产生的
“分形曲线”，也是数学在艺术领域应用的一直奇葩。
分形曲线即自相似曲线，其最简单的模型是所谓
雪花曲线，可以从一个正三角形各边无限三等分折曲 分形几何是描述不规则现象的数学工具，而在计算机 上产生出来的千变万化、美妙神奇的分形图案，正在 给人们带来高度的现代艺术享受。
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贺 佳 斯 ： 错 误 的 透 视
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就文艺复兴时期数学与艺术的结合而言，达· 芬 奇（1452—1519）的绘画最具有代表性，达· 芬奇通 过广泛而深入地研究解剖学、透视学、几何学、物理
学和化学，为从事绘画做好充分的准备。他对数学在
绘画中的应用，尤其是有关透视法和比例的研究有独 到的见解，他对人体结构比例的研究更为艺术创造提 供了一种数学定量化的规范。他用一句话概括了他的 《艺术专论》的思想：“欣赏我的作品的人，没有一
发，这个原则没有数学的帮助就不可能进行研 究．只有数学能帮助我发展我的思想，照亮我甚至 没有发觉原来是黑暗的地方”
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数学家欧拉、笛卡儿都有关于音乐理论的著作， 1650年笛卡儿出版了《音乐概要》一书，1731年欧拉写 了一本以声乐为主题的著作《建立在确切的谐振原理基 础上的音乐理论的新颖研究》。在这两本书中，音乐与 数学达到了水乳交融的地步。 对乐音的研究，19世纪法国数学家傅立叶的著作中 达到了顶峰。他证明了所有的乐音，不管是器乐还是声 乐，都能用数学表达式来描述，它们是一些简单的正弦 函数的和。每种声音有三种品质：音调、音量和音色。 傅立叶还发现音调与音乐曲线的频率有关，音量与曲线 的振幅有关，而音色则与周期函数的形状有关。
起来了。
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每一部音乐作品的每一个音节都有规定的拍数，
而且不同的节拍往往还表现了作品不同的风格．难
怪莱布尼茨说：“音乐，是人类精神通过无意识计 算而获得的愉悦享受”和“音乐就它的基础来说， 是数学的；就它的出现来说，是直觉的”.法国音乐 理论家、作曲家拉莫则认为：“音乐是一种必须掌
握一定规律的科学，这些规律必须从明确的原则出
遵义师范学院 2011—2012学年度第一学期 《数学文化》公共选修课选修 第 11 讲
数学与绘画、音乐
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献给2002年北京第24届国际数学家大会的中国首部 数学文化电视片《绚丽的数学之花》的解说词： 数学—人类心灵的美丽乐章. 自古至今，数学也始终默默地伴随着艺术，为它提 供丰富的灵感之源和坚实的创造支柱. 神奇的数字—0.618，早在古希腊人建造的巴特农 神殿和雕刻中就已经被广泛使用，今天无论绘画、雕塑、 摄影，还是建筑、设计、舞蹈领域，艺术家们都在自觉 地应用着这一神奇的数字，创造更多的传世佳作. 尽管至今人们对蒙娜丽莎的神秘微笑众说纷纭，可 是达· 芬奇运用严谨的数学分析方法创造艺术珍品的故 事早已家喻户晓.
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第二幅是文艺复兴时代的油画，同样有船、人， 但远近分明，立体感很强。 5
为什么会有这样鲜明的对比和本质的变化 呢？这中间究竟发生了什么？很简单，数学， 这中间数学进入了绘画艺术。我们知道，中世 纪宗教绘画具有象征性和超现实性，而到文艺 复兴时期，描绘现实世界成为画家的重要目标。 如何在平面画布上真实地表现三维世界的事物， 是这个时代艺术家们的基本课题。
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20世纪40年代初，美籍乌克兰作曲家希林格(1895-1948)在音乐理论上提出了一套新的创作原则。他认为， 一切艺术均可分解为其物理存在的形式，而形式是可以 用数量来测量的。按照这一观点，音乐形式与数学有关， 在得出其中的数学规律后，创作就可以通过纯数学方法 来完成，也就是说，可以用各种数学符号、方程或图式、 表格来进行创作，将音高、时值、力度、速度、音色等 方面都纳人数学计算的体系中。希林格认为，作曲可以 从音乐的任何要素出发，先肯定某个要素(主要成分)的 设计，然后再将其他要素(次要成分)结合进去成为主题。 这种音乐体系称之为数学作曲体系。
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再看另外一幅，拉斐尔的《雅典学派》， 是拉斐尔根据自己的想象艺术再现了古希腊 时期数学与学术的繁荣，可以看出这幅画也 是透视原理与透视美的典范之作。由这些画
可以看出从中世纪到文艺复兴中间绘画艺术
的变革，可以说是自觉地应用数学的过程。
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《雅 典 学 派》
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除了透视，还有对称、黄金分割、分形曲线 等等数学概念，也都是绘画与建筑等艺术中美 的源泉。尤其是对称，作为美的艺术标准，可 以说是超越时代和地域的。中国古代敦煌壁画、 北京天坛祈年殿，都是完美的对称的杰作。我 们可以看出，这种透视画出的作品与优美的风 景照片是多么相似。
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粗略地讲，远小近大会给人以立体感，
但远小到什么程度，近大又是什么标准？这
里有严格的数学道理。文艺复兴时期的数学
家和画家做了很好的合作，或者说这个时代
的画家和数学家常常一身而兼二任，他们探
讨了这方面的道理，创立了一门学问—透视 学，同时将透视学应用于绘画而创作出了一 幅又一幅伟大的名画。
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文艺复兴时期，投射原理产生了射影几 何概念，并应用于表现三维的绘画世界 (下 页，德国数学家、画家迪勒正在通过格子板 用透视方法为模特画像) . 今天，创新的数学思想打开了艺术家们 多维空间的丰富想像力，计算机艺术更深深 地冲击着人类的习惯视觉和传统思维.21世纪 的艺术大师将是充分掌握计算机艺术的大师.
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而得。通过计算机迭代可以得到更为复杂的分形图形。
三角形分形——第一次
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三角形分形——第三次
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千变万化、美妙神奇的分形图案
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千变万化、美妙神奇的分形图案
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千变万化、美妙神奇的分形图案
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千变万化、美妙神奇的分形图案
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奥运场馆——鸟巢设计网络
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（二）数学与音乐
音乐与数学是两门截然不同的学科，从表面看 似乎风马牛不相及，有人认为它们分处于人类精神 的两个极端．按斯诺“两种文化”的观点，它们分
他就说过：“音乐和物理学领域中的研究工作在起源 上是不同的。可是被共同的目标联系着．就是对表达 未知的东西的企求……这个世界可以由音乐的音符组 成。也可以出由数学的公式组成……绝大多数人从事
于数学是基于人类物质生活的需要，但是在这-过程
个确实也使人产生一种精神上的需要：理性生活的需
要。”
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从历史上看数学与音乐——数学与音乐的联系
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北京:天坛祈年殿
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据说，按这个比例进行绘画是最优美的。华
罗庚教授的“优选法”也是按照这个数来进行的。 比如自然界中最常见的一种螺线——黄金分割螺 线。这在达· 芬奇等人的作品中都有体现。 “0.618”这个黄金分割点被广泛用于绘画与 音乐。以下两幅图片即为黄金分割的比例图：
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透视学被应用到绘画中
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在透视学的基础上后又产生了射影几何，射影几 何在19世纪是最活跃的数学分支，对现代数学产生了 深刻的影响。 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射 影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学 科，一度也叫做投影几何学。 1754年，当透视方法趋于成熟之时，一位英国画 家柯尔比写了一本叫《泰勒博士透视方法入门》的透 视学著作，此书的卷首扉页插图(错误的透视)，就告 诉人们如果不用透视学画出来的画会有多么荒唐。
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达芬奇的人体比
例图，达芬奇不但是
一位杰出的艺术家， 也是一位杰出的建筑 师，这两种行业都需 要精通透视理论。从
透视理论是数学（几
何学）的一个分支来
看，可以知道达芬奇
是精通数学的。
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达· 芬奇创作了许多精美的透视学作品。在《蒙娜 丽莎》这幅画上，达· 芬奇成功地运用了数学的透视方
法，在蒙娜丽莎的背后画了岩石和流水如梦幻般的景
致。达· 芬奇还成功地运用了黄金分割法，使整幅画看 上去更符合人的审美视觉。我们还看到在画中蒙娜丽 莎的右手轻轻地搭在左手上，姿势十分优雅，流露出 她平和沉稳的心境，这个手臂和手的姿势使身体形成
一个稳定的三角形构图，引导观众的目光，随着她的
姿态而转动，显示出画面的动态感。
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达芬奇的
《蒙娜丽莎》
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属科学文化与人文文化，人类在科学和艺术领域中
全部创造性的精神活动成果就分布在这两者之 间．因此，很少有人同时通晓数学与音乐，甚至提 到数学与音乐的联系时，还会有人认为是笑话．
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人的精神生活还有理性的与感性的两个方面。对 后一领域，不妨谈到音乐。曾有人说，数学是理性的
音乐，音乐是感性的数学。爱因斯坦一生热爱音乐，
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从毕达哥拉斯时代开始，音乐研究在本质上就
被认为是数学性的，与数学连成一体了．这种联系
构成了中世纪教育的内容．中世纪的教学课程包括
算术、几何、球面几何学（天文学）、音乐，这就 是著名的四艺．相应地，这四门课程分别被认为是 纯粹的数学、静止的数学、运动的数学以及对数学 的应用，因而这些课程通过数字而进一步相互联系
个不是数学家”
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毫无疑问，达· 芬奇是15至16世纪的一位艺术大师 和科学巨匠。文艺复兴时期的传记作家瓦萨里曾这样赞 美他：“上天有时候将美丽、优雅、才能赋予一人之身， 他之所为无不超群绝寰，显示出他的天才来自上苍而非 人间之力，达· 芬奇正是如此。他的优雅与伟美无与伦 比，他才智之高超使一切难题无不迎刃而解。”达· 芬 奇坚持认为，绘画的目的是再现自然界，而绘画的价值 就在于精确地再现。因此，绘画是一门科学，和其它科 学一样，其基础是数学。他指出：“任何人类的探究活 动也不能成为科学，除非这种活动通过数学表达方式和 经过数学证明为自己开辟道路”。
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《最 后 的 晚 餐》
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达· 芬奇创作了许多精美的透视学作品。这位 真正富有科学思想和绝伦技术的天才，对每幅作品 他都进行过大量的精密研究。他最优秀的杰作都是 透视学的最好典范。“最后的晚餐”描绘出了真情 实感，一眼看去，与真实生活一样。观众似乎觉得 达· 芬奇就在画中的房子里。墙、楼板和天花板上 后退的光线不仅清晰地衬托出了景深，而且经仔细 选择的光线集中在基督头上，从而使人们将注意力 集中于基督。
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那个时代，琴弦之间长度的比例关系就是依 靠数学方法来确定的，而琴弦的长度直接影响 声音的和谐.在此基础上，他们发展了关于音程 的数学基础的学说，提出了关于音乐的基本原 则是数量原则，音乐节奏的和谐是由各种不同 的音调按一定数量上的比例所组成.毕达哥拉斯 学派从音乐比例出发，建立了他们的乐律理论。