鸽巢原理及其应用-----修改稿2

鸽巢原理及其应用

张莉莉

赤峰学院数学与统计学院,赤峰0240000

摘要：鸽巢原理是一个极其初等而又应用广泛的重要组合原理，不仅在数学历史中起了重要作用，而且对现代数学的学习研究及社会生活中都有重要的作用。本文首先将系统介绍鸽巢原理的各种表现形式，然后对其在数学的各学科分支中的应用进行了总结。

关键词：鸽巢原理；代数问题；数论问题；几何问题

一引言

鸽巢原理是一个极其初等而又应用广泛的重要组合原理，其道理通俗易懂，且其正确性显而易见，它能够用来解决各种有趣的问题，常常得出一些令人惊奇的结论来，在数学历史上起了重要的作用。它最早是由德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805- 1859）首先发现，因此又叫狄利克雷原理。它的概念是这样的：“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6 只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有 2 只鸽子。”狄利克雷在研究数论的问题时最早很巧妙运用鸽巢原理去解决问题。后来德国数学家闵可夫斯基（Minkowski，1864- 1909）也运用这原理得到一些结果。到了20世纪初期杜尔（A.Thue 1863- 1922）在不知道狄利克雷和闵可夫斯基的工作情况下，很机巧地利用鸽笼原理来解决不定方程的有理数解的问题，有12 篇论文是用到这个原理。后来西根（C.L.Siegel，1896- ？）利用杜尔的结果发现了现在称为西根引理的东西，这引理（Lemma）是在研究超越数时最基本必用的工具。

现如今，在数学的学习研究中，我们也可以把鸽巢原理看作是一种重要的非常规解题方法，应用它能解决许多涉及存在性的数学问题。鸽巢原理的表述虽然比较简单，很容易理解，但因其变化多, 应用广，常常被用于解答各级数学竞赛题。从小学奥数、中学奥数、IMO 中都可以见到它的身影。其实，鸽巢原理不仅在数学中有用，在现实生活中也到处在起作用，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到鸽巢原理的作用。在我国古代文献中，有不少成功地运用鸽巢原理来分析问题的例子。例如《晏子春秋》里的“二桃杀三士”的故事以及宋代费衰的《梁贴漫志》中运用鸽巢原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论【1】。

本文将对鸽巢原理的各种变现形式进行系统的总结，在此基础上，对鸽巢原理的应用进行探讨。

二鸽巢原理

定理一 如果ｎ＋１个物体被放进ｎ个盒子，则必有一个盒子包含两个或者两个以上的物体[2]。

证明：(反证法)

如果这ｎ个盒子中的每一个都至多含有一个物体，那么物体的总数最多是ｎ，既然我们有ｎ＋１个物体，于是某个盒子必然含有至少两个物体

如果问题的讨论对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述“把无限多个东西任一放进ｎ个空抽屉（ｎ是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西”。

定理二 令12,,,n q q q 为正整数，如果将121n q q q n +++-+ 个物体放入ｎ个盒子内，那么或者第一个盒子至少含有1q 个物体，或者第二个盒子至少含有2q 物体，…，或者第ｎ个盒子至少含有n q 个物体【2】。

证明：若对所有的(1,2,,)i i n = ，第i 个盒子最多只有1i q -物体，则ｎ个盒子中最多有

1212(1)(1)()n n q q q n q q q n -+-++-=+++-

个物体，该数比所分发的物体总数少１，因此对于某一个(1,2,,)i i n = ，第i 个盒子至少包含i q 物体.

定理三 把多于kn 个物体任意放进n 个空盒子（n 是正整数），那么一定有一个盒子中放进了至少ｋ＋１个东西。

证明：反证法

如果每个盒子至多放进k 个物体，那么n 个盒子至多放进kn 个物体，与题设不符，故不可能。

推论 令r 为正整数，设12,,n m m m 是n 个整数，且

121n m m m r n

+++>- 则12,,n m m m 中至少有一个数不小于r 。

定理四 如果将m 个元素分为n 个集合中，其中必有一个集合元素个数大于或等于

[]m n 。

证明 设把m 个元素分为n 个集合12,,,n A A A ，用12,,,n a a a 表示这n 个集合里的元素个数，现需要证明至少存在某个i a 大于或等于[]m n 。下面用反证法，假设结论不成立，

即对每一个i a ，都有[]i a m n <，于是有

12[][][][]n a a a m n m n m n n m n m +++<+++=≤

这与题设相矛盾，所以必有一个集合中的元素个数大于或等于［ｍ／ｎ］。

定理五 m 个物体，n 个盒子，则至少有一个盒子里有不少于11m n -⎡⎤+⎢⎥⎣⎦

个物体。 在这里要注意：鸽巢原理只简单地断言存在一个盒子，该盒子中存在物体数量的情况，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，则只能逐个检查每一个盒子，所以鸽巢原理只能用来证明某种安排的存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。

三、 鸽巢原理的应用

鸽巢原理及推广本质上是一个非一一对应关系的充分性判别问题，这个原理看上去容易理解，且有广泛的应用，但实际应用时，不是所有的问题都象上面的简单应用一样可以一眼就看出来，对于一些比较特殊的非一一对应关系的离散型应用数学问题，若用其它的数学方法去解，往往很复杂或根本解不出来，如果能巧妙地利用鸽巢原理去解，则往往起到事半功倍的效果。

（１）解决代数问题

例１ 证明 有限群中每个元素的阶均有限

分析与证明 设Ｇ为ｎ阶有限群，任取ａ∈Ｇ，则由抽屉原理可知在ａ1，ａ2，ａ3，…ａn ，ａ1+n 中必有相等的，不妨设ａs ＝ａt ，１≤ｔ＜ｓ≤ｎ＋１，于是又ａt s -＝ｅ，从而ａ的阶有限

(２)解决数论问题:

例２ 从整数１，２，…１００中任取５１个整数，证明在所述的这些整数之间存在两个整数，其中的一个可以被另一个整除

证明 我们知道，任一整数都可以唯一写成２k

×ａ的形式，其中ｋ为非负整数且ａ为奇数，设ａ1，ａ2，…，ａ51表示被选出的５１个整数，对任一整数ａi （ｉ＝１，２…，５１）都可以唯一地写成如下形式：

ａi ＝２i s ×ｒi （ｉ＝１，２，…，５１）

其中，ｓi 为非负整数，ｒi 为奇数