8.平面向量的坐标运算ppt

练习：已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, 5), F3 (x, y)的合力
F1 + F2 + F3 = 0求 F3的坐标。
解：由题设 F1 + F2 + F3 = 0
得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)
即：43

2 5

x y

0 0
∴xy15
∴k=-16 .
13
（2）∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
∴ 4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1,
[2 分 ] [4分] [6分]
[8分]
解得
x 4
5 5
或x 4
5 5
.

1、平面向量的坐标表示与平面向量基 本定理的关系。 2、平面向量的坐标是如何定义的？ 3、平面向量的坐标运算有何特点？
任和如平这意果面一λ向e类向平u2ur1au，量ueur量面似2ur2是基内地使a r同本的，r得一，定任由平均u理一平urar面可：向面=内以量λu向ur的1分ara量u,u两r有1解的+个且λ为基不2只不au本u共r有2共定线一线理向对的，量实两对，数个于那l 向1，么平量l对面2，于λ上使1a的uur1
1
+ ( y1+by2 ) j
o －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
猜证想明：a ＋b =（－2x1＋x2 ，y1＋y2）
a －b =（－3x1－x2 ，y1－y2） －4
已知，a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
∴顶点D的坐标为（2,2）
变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1),
B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构
成平行四边形四个顶点。
y
D2
解由：uAuBur当 uD平uuCr得行D四1边=(2形, 为2)ADCB时，B
C
当平行四边形为ACDB时， A
D1
得D2=(4, 6)
a=l 1e1+l 2e2
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为 基底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
a=xi+yj
y
我们把（x,y)叫做向量a 的
yj a （直角）坐标，记作 a=(x，y),
解：设Bx,y,
uuur
Q AB 1,2 x, y 2,1,
即12xy21

x3 y 1
即B3,-1.
练习：（2009·辽宁文，13）在平面直角坐标系xOy中，四 边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知A（-2，0）, B （6，8），C（8，6），则D点的坐标为(0,-2). 解析 设D点的坐标为（x,y）,由题意知BC AD , 即（2，-2）=(x+2,y)，所以x=0,y=-2,∴D(0,-2).
x=1+3t ∴
,∴
1+3t＜0
y=2+3t
2+3t＞0,
∴ 2 t 1.
3
3
（2）因为 OA =（1，2），PB OB OP （3-3t，3-
3t），
若四边形OABP为平行四边形，则OA PB.
∴ 3-3t=1 3-3t=2,无解，
∴四边形OABP不可能为平行四边形.
总结提高： （1）要加强对向量的坐标与该向量起
C.(3,2)
B.(2, 1 ) 2
D.(1,3)
解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),
∴ BC =(3,1)-(-1,-2)=(4,3).
D（x，y),∵AD =(x,y-2),BC =2AD , ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y=7 .
2
2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b，则x等于（B ）
即 a+b=(x1+x2,y1+y2)
同理可得 a-b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差。
探究 ： 若已知 点A、B的坐标分别为 （（1，x1，3）y1，）
（4x， 2，2y）2），如何求 Ay B 的坐标呢？ AB OB OA 4 A（（1x，1，3y）1）
知能迁移 已知点O（0，0），A（1，2），B（4， 5）且 OP OA t AB, （1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围； （2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出 相应的实数t;若不能，请说明理由. 解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5）， ∴ OA =（1，2），AB=（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则OP =（x，y），若点P在第二 象限， 则 x＜0且(x,y)=(1,2)+t(3,3), y＞0
y A（x,y） 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标 （x,y)就是点A的坐标；反过来，
ja
点A的坐标（x,y)也就是向量OA
Oix
x 的坐标。因此，在平面直角坐标
系内，每一个平面向量都可以用
一对实数唯一表示。
向量 一一对应 有序实数对
r 已知 a =(xr1,yr1) 你能得出 a + b
，
r ，a
A.9
B.6
C.5
D.3
解析 ∵a∥b，∴12-2x=0，∴x=6.
3.已知两点A（4，1），B（7，-3），则与AB 同向
的单位向量是
（ A）
A.( , 4) 55
B.( , 4) 55
C. ( 4 , ) 55
D. ( 4 , ) 55
解析 ∵A（4，1），B（7，-3），AB =（3，
平面向量的坐标运算法则
r
r
a
( r
x1
, r
y1
),
b

(
x2
,
y2
)
则：a rr
b

(x1

x2 ,
y1

y2
)
a
r
b

(x1

x2
,
y1

y2
)
a ( x1, y1)
例1. 已知a＝（2，1），b＝（－3，4）， 求a+b，a－b，3a+4b
解：a+b=(2,1)+(-3,4)=(2-3,1+4)=(-1,5) a-b=(2,1)-(-3,4)=(2+3,1-4)=(5,-3) 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(3×2,3×1)+(4×(-3),4×4) =(6,3)+(-12,16)=(-6,19)
-4）， ∴与 AB 同向的单位向量为 AB (3 , ).
| AB| 5 5
4.（2008·安徽理，3）在平行四边形ABCD中，AC
为一条对角线，若 AB=（2，4），AC =（1，3），
则 BD 等于
（B）
A.（-2，-4） B.（-3，-5）
j O
i
xi
xy叫其做中a 在x叫y轴做上a 在的x坐轴标上，的（坐x标,y，）
叫做向量的坐标表示。
图1
r
i =（1，0）
r
j =（0，1）
r
0 =（0，0）
y
yj
a
j O i xi x
图1
平移以后，向量坐标不会改变。
如图，在直角坐标平面内，以原
点O为起点作OA=a，则点A的位
y
置由a唯一确定。
r b -
=br(x，2 ,λyar2 )
的坐标吗？
问题： 若已知 a =（1x1，，3y）1），b =（5x2，，1y）2），
如何求 a + b ，a－b的坐标呢？
a＋b
=（x1y,4
=（x1 i3
y1）a +y1
+ ( x2 , y2 j ）+（x2 i
)C
+（y26，j）4）
=（x1 +2 x2 ）i
例3.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、y (－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
6 5
4
C
B3
2
A
1
D
－6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
－2
例3.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
2.平r面向量坐标实数与向量相乘的运算法则
a (x, y) ( x, y)
3.平面向量坐标
若uAu(xur1 , y1) , B(x2 , y2) 则 AB=(x2 - x1 , y2 – y1 )
4.引进向量的坐标后，向量的基本运算 转化为实数的基本运算，可以解方程，可以 解不等式，总之问题转化为我们熟知的领域 之中。
练习：已知表示向量a的有向线段始点A的 坐标，求它的终点B的坐标.
(1)a=(-2,1) , A(0,0);
(2)a=(1,3) , A(-1,5);
(3) a=(-2,-5) , A(3,7).
已知a=(x,y)和实数λ，那么 λa= λ(x, y) 即λa=(λx, λy)
这就是说，实数与向量的积的坐 标等于这个实数乘以原来向量的 相应坐标。
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
y
解法2：
uuur uuur uuur uuur uuur BD BA+AD=BA+BC
B A
O
C D
x
(2 (1),1 3) (3 (1), 4 3)
(3, 1)
uuur uuur uuur OD OB BD (1,3) (3, 1) (2, 2)
y

1
25 5

y

1
2
5 5
[10分]
d ( 20 5 , 5 2 5 )或d ( 20 5 , 5 2 5 ). [12分]
5
5
5
5
探究提向高量平行的坐标公式实质是把向量问题转 化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方 程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程 思想在向量中的应用.
D3
O
x
当平行四边形为DACB时，
得D3=(6, 0)
Leabharlann Baidu
规范答题：
例 4. （ 12 分 ） 平 面 内 给 定 三 个 向 量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列问 题： （1）若（a+kc）∥(2b-a)，求实数k; (2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|dc|=1,求d.
（1）由两向量平行及两向量平行的条件得出关于k的方程， 从而求出实数k的值.
（2）由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程，解方 程组即可得出x,y的值，从而求出d.
解题示范
解 （1）∵（a+kc）∥（2b-a），
又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,
y
C
解u：uur设点D的坐标为（x,y）
B
Q AB (1,3) (2,1) (1, 2)
uuur
A
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
uuur uuur
O
且AB DC
D x
(1,2) (3 x,4 y) 1 3 x
24 y
(x2 ,y2) (x1,y31) (x2 x1 ,y2 y12)
1
· ·
B（（4x，2，2y）2）
o －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5
x
－1
AB 的坐标可能－为2
(3,－1）
（x结向2－论 线： 段x1一的, 终个y2点向－的量y坐的1－－)34标坐减标去等始于点表的示坐此标向量的返有回
∴ F3 (5,1)
拓展练习
已知a (1,0)、b (1,1),c (1,0),求实数 与，使c a b.
uuur
例2.1已知A(2,3), B (3,5),求BA的坐标.
uur
解：BA 2,3 3,5 5, 2.
uuur
2已知AB (1, 2), A(2,1),求B的坐标.
点、终点的关系的理解，以及对坐标 运算的灵活应用. （2）向量的坐标运算是向量运算的数 量表达形式，更能利用代数知识解决， 也是向量被广泛应用的基础.
小结回顾
1.rr平面rr向量坐标的加.减运算法则
r r aa bb =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2) a b =( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)
5.要把点坐标(x, y)与向量坐标区分开来， 两者不是一个概念。
作业： 课本习题2-4 A组 2,3题
谢谢听课
基础自测
一、选择题
1.（2008·辽宁文，5）已知四边形ABCD的顶点
A（0，2）、B（-1，-2）、C（3，1）,且BC =
2 AD, 则顶点D的坐标为
（ A）
A. (2, 7 ) 2