中考数学专题复习平行四边形的综合题含答案
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一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．操作：如图，边长为 2 的正方形 ABCD，点 P 在射线 BC 上，将△ ABP 沿 AP 向右翻折， 得到△ AEP，DE 所在直线与 AP 所在直线交于点 F． 探究：（1）如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，①若∠ BAP=30°，求∠ AFE 的度数；②若点 E 恰为线段 DF 的中点时，请通过运算说明点 P 会在线段 BC 的什么位置？并求出此时∠ AFD 的度数． 归纳：（2）若点 P 是线段 BC 上任意一点时（不与 B，C 重合），∠ AFD 的度数是否会发 生变化？试证明你的结论； 猜想：（3）如图 2，若点 P 在 BC 边的延长线上时，∠ AFD 的度数是否会发生变化？试在 图中画出图形，并直接写出结论．
【详解】
（1）如图①中，
∵ A（5，0），B（0，3）， ∴ OA=5，OB=3， ∵ 四边形 AOBC 是矩形， ∴ AC=OB=3，OA=BC=5，∠ OBC=∠ C=90°， ∵ 矩形 ADEF 是由矩形 AOBC 旋转得到， ∴ AD=AO=5，
在 Rt△ ADC 中，CD= ∴ BD=BC-CD=1， ∴ D（1，3）．
（2）①根据 HL 证明即可；
②，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，在 Rt△ AHC 中，根据 AH2=HC2+AC2，构建方程求出
m 即可解决问题；
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，当点 D 在 BA 的延长线上
时，△ D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
如图 1，连接 BE 交 AF 于点 O，作 EG∥ AD，得 EG∥ BC，∵ EG∥ AD， DE=EF，∴ EG= AD=1，∵ AB=AE，∴ 点 A 在线段 BE 的垂直平分线上，同理可得点 P 在线段 BE 的垂直平分线上，∴ AF 垂直平分线段 BE，∴ OB=OE，∵ GE∥ BP，∴ ∠ OBP=∠ OEG， ∠ OPB=∠ OGE，∴ △ BOP≌ △ EOG，∴ BP=EG=1，即 P 为 BC 的中点，∴ ∠ DAF=90°﹣ ∠ BAF，∠ ADF=45°+∠ BAF，∴ ∠ AFD=180°﹣∠ DAF﹣∠ ADF=45°；（2）∠ AFD 的度数不会 发生变化，作 AG⊥DF 于点 G，如图 1（a）所示，
AD2 AC2 =4，
（2）①如图②中，
由四边形 ADEF 是矩形，得到∠ ADE=90°，
②求点 H 的坐标． （3）记 K 为矩形 AOBC 对角线的交点，S 为△ KDE 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结 果即可）．
【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（ 17 ，3）；（3） 5
30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
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【解析】
【分析】
（1）如图①，在 Rt△ ACD 中求出 CD 即可解决问题；
在△ ADE 中，AD=AE，AG⊥DE，∵ AG 平分∠ DAE，即∠ 2=∠ DAG，且 ∠ 1=∠ BAP，∴ ∠ 1+∠ 2= ×90°=45°，即∠ FAG=45°，则∠ AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图 2 所示，∠ AFE 的大小不会发生变化，∠ AFE=45°，
作 AG⊥DE 于 G，得∠ DAG=∠ EAG，设∠ DAG=∠ EAG=α， ∴ ∠ BAE=90°+2α，∴ ∠ FAE= ∠ BAE=45°+α，∴ ∠ FAG=∠ FAE﹣∠ EAG=45°，在 Rt△ AFG 中， ∠ AFE=90°﹣45°=45°． 考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质. 2．在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是矩形，点 O（0，0），点 A（5，0），点 B（0， 3）．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形 ADEF，点 O，B，C 的对应点分别 为 D，E，F． （1）如图①，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标； （2）如图②，当点 D 落在线段 BE 上时，AD 与 BC 交于点 H． ①求证△ ADB≌ △ AOB；
【答案】（1）①45°；②BC 的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不 会发生变化，作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）当点 P 在线段 BC 上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求 出∠ DAE 度数，在三角形 AFD 中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由 E 为 DF 中 点，得到 P 为 BC 中点，如图 1，连接 BE 交 AF 于点 O，作 EG∥ AD，得 EG∥ BC，得到 AF 垂直平分 BE，进而得到三角形 BOP 与三角形 EOG 全等，利用全等三角形对应边相等得到 BP=EG=1，得到 P 为 BC 中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点 P 是线段 BC 上任意一 点时（不与 B，C 重合），∠ AFD 的度数不会发生变化，作 AG⊥DF 于点 G，如图 1（a）所 示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠ 1+∠ 2 的度数，即为∠ FAG 度数，即可求出∠ F 度数；（3）作出相应图形，如图 2 所示，若点 P 在 BC 边的延长线上 时，∠ AFD 的度数不会发生变化，理由为：作 AG⊥DE 于 G，得∠ DAG=∠ EAG，设 ∠ DAG=∠ EAG=α，根据∠ FAE 为∠ BAE 一半求出所求角度数即可． 试题解析：（1）①当点 P 在线段 BC 上时，∵ ∠ EAP=∠ BAP=30°，∴ ∠ DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ ADE 中，AD=AE，∠ DAE=30°，∴ ∠ ADE=∠ AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在 △ AFD 中，∠ FAD=30°+30°=60°，∠ ADF=75°，∴ ∠ AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点 E 为 DF 的中点时，P 也为 BC 的中点，理由如下：
1．操作：如图，边长为 2 的正方形 ABCD，点 P 在射线 BC 上，将△ ABP 沿 AP 向右翻折， 得到△ AEP，DE 所在直线与 AP 所在直线交于点 F． 探究：（1）如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，①若∠ BAP=30°，求∠ AFE 的度数；②若点 E 恰为线段 DF 的中点时，请通过运算说明点 P 会在线段 BC 的什么位置？并求出此时∠ AFD 的度数． 归纳：（2）若点 P 是线段 BC 上任意一点时（不与 B，C 重合），∠ AFD 的度数是否会发 生变化？试证明你的结论； 猜想：（3）如图 2，若点 P 在 BC 边的延长线上时，∠ AFD 的度数是否会发生变化？试在 图中画出图形，并直接写出结论．
【详解】
（1）如图①中，
∵ A（5，0），B（0，3）， ∴ OA=5，OB=3， ∵ 四边形 AOBC 是矩形， ∴ AC=OB=3，OA=BC=5，∠ OBC=∠ C=90°， ∵ 矩形 ADEF 是由矩形 AOBC 旋转得到， ∴ AD=AO=5，
在 Rt△ ADC 中，CD= ∴ BD=BC-CD=1， ∴ D（1，3）．
（2）①根据 HL 证明即可；
②，设 AH=BH=m，则 HC=BC-BH=5-m，在 Rt△ AHC 中，根据 AH2=HC2+AC2，构建方程求出
m 即可解决问题；
（3）如图③中，当点 D 在线段 BK 上时，△ DEK 的面积最小，当点 D 在 BA 的延长线上
时，△ D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；
如图 1，连接 BE 交 AF 于点 O，作 EG∥ AD，得 EG∥ BC，∵ EG∥ AD， DE=EF，∴ EG= AD=1，∵ AB=AE，∴ 点 A 在线段 BE 的垂直平分线上，同理可得点 P 在线段 BE 的垂直平分线上，∴ AF 垂直平分线段 BE，∴ OB=OE，∵ GE∥ BP，∴ ∠ OBP=∠ OEG， ∠ OPB=∠ OGE，∴ △ BOP≌ △ EOG，∴ BP=EG=1，即 P 为 BC 的中点，∴ ∠ DAF=90°﹣ ∠ BAF，∠ ADF=45°+∠ BAF，∴ ∠ AFD=180°﹣∠ DAF﹣∠ ADF=45°；（2）∠ AFD 的度数不会 发生变化，作 AG⊥DF 于点 G，如图 1（a）所示，
AD2 AC2 =4，
（2）①如图②中，
由四边形 ADEF 是矩形，得到∠ ADE=90°，
②求点 H 的坐标． （3）记 K 为矩形 AOBC 对角线的交点，S 为△ KDE 的面积，求 S 的取值范围（直接写出结 果即可）．
【答案】（1）D（1，3）；（2）①详见解析；②H（ 17 ，3）；（3） 5
30 3 34 ≤S≤ 30 3 34 ．
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【解析】
【分析】
（1）如图①，在 Rt△ ACD 中求出 CD 即可解决问题；
在△ ADE 中，AD=AE，AG⊥DE，∵ AG 平分∠ DAE，即∠ 2=∠ DAG，且 ∠ 1=∠ BAP，∴ ∠ 1+∠ 2= ×90°=45°，即∠ FAG=45°，则∠ AFD=90°﹣45°=45°；（3）如图 2 所示，∠ AFE 的大小不会发生变化，∠ AFE=45°，
作 AG⊥DE 于 G，得∠ DAG=∠ EAG，设∠ DAG=∠ EAG=α， ∴ ∠ BAE=90°+2α，∴ ∠ FAE= ∠ BAE=45°+α，∴ ∠ FAG=∠ FAE﹣∠ EAG=45°，在 Rt△ AFG 中， ∠ AFE=90°﹣45°=45°． 考点：1.正方形的性质；2.折叠性质；3.全等三角形的判定与性质. 2．在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 是矩形，点 O（0，0），点 A（5，0），点 B（0， 3）．以点 A 为中心，顺时针旋转矩形 AOBC，得到矩形 ADEF，点 O，B，C 的对应点分别 为 D，E，F． （1）如图①，当点 D 落在 BC 边上时，求点 D 的坐标； （2）如图②，当点 D 落在线段 BE 上时，AD 与 BC 交于点 H． ①求证△ ADB≌ △ AOB；
【答案】（1）①45°；②BC 的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不 会发生变化，作图参见解析. 【解析】 试题分析：（1）当点 P 在线段 BC 上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求 出∠ DAE 度数，在三角形 AFD 中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由 E 为 DF 中 点，得到 P 为 BC 中点，如图 1，连接 BE 交 AF 于点 O，作 EG∥ AD，得 EG∥ BC，得到 AF 垂直平分 BE，进而得到三角形 BOP 与三角形 EOG 全等，利用全等三角形对应边相等得到 BP=EG=1，得到 P 为 BC 中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点 P 是线段 BC 上任意一 点时（不与 B，C 重合），∠ AFD 的度数不会发生变化，作 AG⊥DF 于点 G，如图 1（a）所 示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠ 1+∠ 2 的度数，即为∠ FAG 度数，即可求出∠ F 度数；（3）作出相应图形，如图 2 所示，若点 P 在 BC 边的延长线上 时，∠ AFD 的度数不会发生变化，理由为：作 AG⊥DE 于 G，得∠ DAG=∠ EAG，设 ∠ DAG=∠ EAG=α，根据∠ FAE 为∠ BAE 一半求出所求角度数即可． 试题解析：（1）①当点 P 在线段 BC 上时，∵ ∠ EAP=∠ BAP=30°，∴ ∠ DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ ADE 中，AD=AE，∠ DAE=30°，∴ ∠ ADE=∠ AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在 △ AFD 中，∠ FAD=30°+30°=60°，∠ ADF=75°，∴ ∠ AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点 E 为 DF 的中点时，P 也为 BC 的中点，理由如下：