自动控制原理习题汇总.

A-7-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性（见图7-15（a ））对系统稳定性的影响。

解 由等效增益定义x y K =-

知，等效增益曲线如图7-15（b ）所示，其中∆=K K

m

。

设系统不存在非线性时，临界稳定增益为K

c

，于是

①若K c

m

，如图7-15（b ）所示，则因实际增益小于临界增益

K

c

，所以系统稳

定。 ②若

K c

>K

m

，如图7-15（c ）所示，其中

x 0

=K

c

M 。则当x x 0

<

时，因K _

>K

m

，

系统不稳定，x 发散，当x 增加至使x x

>0

。此时K _

少至使x x 0

<

时，重复上述过程。可见，在这种情况下，系统将出现x 0

为振幅的自激振荡。

③原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。不论原系统是否发散，现系统都不会发散。但可能产生一个以

x 0

为振幅的自激振荡。

A-7-2 设系统微分方程为02

..

=+x x n

ω，初始条件为()00x x =，()0.

.

0x x =，试用消去时间变量t 的办法求该系统相轨迹。 解 因为02

..

=+x x n ω，所以特征根n j ωλ

±=2

,1，

())sin(ϕω+=t A t x n （7-33） ())cos(.

ϕωω+=t A t x n n （7-34） 因为

()0x =ϕsin A =0x ，()0.

x =ϕωcos n A =0.

x 所以

A =2

.2

0⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛+n x x ω ， ϕ=0.0x x arctg n ω 由式（7-33），式（7-34）得

2x +2

.⎪

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛n x ω=)(sin 22ϕω+t A n +)(cos 22ϕω+t A n =2

A 则系统相轨迹方程为

2x +2

.⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛n x ω=2A 相轨迹如图7-16所示，为一簇同心椭圆，椭圆的大小与初始条件有关，每一个椭圆都对应着一个简谐振动。

A-7-3 已知非线性系统微分方程为..

x +x =0，试用直接积分法求该系统的相轨迹。

解 求解步骤如下： ①分段微分方程：..

x =⎩

⎨

⎧<>-0,0

,x x x x

②求开关线：x =0

③分段求解微分方程：当0>x 时

x

=x -，dx

x d x

=x -，x d x

=xdx -

⎰01x x x d x =-⎰01x

x xdx ，2x +2

x =201x +201x

（201x

，2

01x ）为左半面相轨迹与开关线焦点或初始条件。由相轨迹方程可见，在相平面的右半面（0>x ），相轨迹是以原点为圆心,2

01201x x + 为半径的半圆弧。 当0

x

-2

x =202x +2

02x （202x

，2

02x ）为右半面相轨迹与开关线交点或初始条件。由相轨迹方程可见，在相平面的左半面（0

02x

=2

02x 时，相轨迹为II ，III 象限的对角线。

④画相轨迹：相轨迹如图7-17所示。由相轨迹可见，当初始点落在第II 象限的对角线上时，该系统的运动才可以达到平衡位置（0,0）.该非线性系统是不稳定的。

A-7-4 试用等倾线法证明022

=++x x x

n n ωζω （1>ζ）相轨迹中有两条过原点的直线，其斜率分别为微分方程的两个特征根。

解 微分方程特征根为12

2,1-±-=ζωζωλn n 。由原方程可得

dx x d =-x

x x

n n 2

2ωζω+

令dx x d =α，由等倾线方程x x n n

α

ζωω+-=22

。可见等倾线是一束过原点的直线。这些直线的

斜率为()αζωω+-n n

22

，与相轨迹斜率α有关。直线相轨迹的斜率也是等倾线的斜率，

故令2,1α=()αζωω+-n n

22

，由此得到

0222=++n n ωαζωα

12

2,1-±-=ζωζωαn n

因为1>ζ，所以2,1α是两个实数。2,1α作为相轨迹斜率是有意义的。

等倾线x x

1α= 和x x 2α= 是两条过原点的直线，其斜率与相轨迹相同。它们也是相轨迹（如图7-18所示），其斜率12

2,1-±-=ζωζωαn n 确为微分方程的两个特征根。这两条直线相轨迹是附近相轨迹的渐近线。

A-7-5试绘制M x x T =+ 的相轨迹（0>T ,0>M ）。 解 由方程M x x

T =+ 可见 M x

= （7-35） 满足原方程，为一条相轨迹。利用等倾线法，可求出其它相轨迹。

因为， dx x d x x

=，所以x

T x M dx x

d -=

。令dx x d =α，得等倾线方程x =1+αT M 。可见，等倾线为一簇水平线。

当0=α时，M x

= 。由式（7-35）知，该等倾线亦为一条相轨迹，因相轨迹互不相交，故其它相轨迹均以此线为渐近线。当∞→α时0=x ，表明相轨迹垂直穿过x 轴。当T

1

-

→α时，∞=x

，说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为T 1-. 图7-19大致示出了该系统的相轨迹。

A-7-6试用等倾线法绘出0=++x x x

的相轨迹。

解 由dx x d x x

=，得dx x d =x x x )(+-。令dx x d =α，得等倾线方程x x

α+-=11

。等倾线为一束过原点的直线，斜率时α

+-11

。给定不同的α，便可以得到对应等倾线的斜率。

表7-5列出了不同α值下等倾线的斜率和等倾线与x 轴的夹角β。图7-20画出了α取不同值时的等倾线和代表相轨迹切线方向的短线段。这些短线段确定了相平面上任一点相轨迹切

线方向的方向场。设初始点为A(见图7-20)。自A 点开始，按图上短线段确定的方向，依次连接A ，B ，C...各点直到原点。在绘图过程中，相邻两等倾线间相轨迹的斜率由这两条等倾线上相轨迹斜率之和的一半来确定。在图7-20上，系统状态从A 点沿着斜率为

10.12

,-=+=

B

A B A ααα

的直线转移到B 点。