chap5-2作业及答案

第五章 数学物理方程和定解条件的导出
5-2 热传导及稳定场问题 作业及答案
1. 长为l 的均匀细杆，，侧表面绝热，0x =端有恒定热流密度1q 流入，x l =端有
恒定的热流密度2q 流入，杆的初始温度分布是
()2
x l x -，试写出相应定解条件。

（单位时间内通过单位面积的热流量称为热流密度）
解：由题知初始条件为 0()(,)2t x l x u x t =-= 。

为得到边界条件分别研究 0,l l δδ→-→两小段。

由傅里叶定律：u dQ k
dAdt n ∂=∂ ，在0δ→一小段有 1()0u q dAdt k dAdt x
δ∂+⋅=∂ 当0δ→时，10x q u
x k
=∂=-
∂ 同样对于l l δ-→一小段有
2x l q u
x k
=∂=
∂ 故其定解条件为
012
()(,)2,t x x l x l x u x t q q u u x k x k ===-⎧=⎪⎪⎨∂∂⎪=-=⎪∂∂⎩
2.推导边界条件（5-2-13）1,u H hu hu h n k ∂⎡⎤+==⎢⎥∂⎣⎦∑
其中 解： 在dt 时间内沿dA '面从内部流入主内的热量由傅里叶定律可知
()u dQ dA k dA dt n
∂''=-∂ ，沿dA 面从介质流入柱内的热量由牛顿定律可知： ()()1|d Q d A H u u d t d A
=-∑ 由于边界稳定，当柱高0dA dA δ'→=时有且()
1|0u k dA dt H u u dAdt n ∂'-+-=∑∂
11|||u k
Hu Hu n u hu hu n ∂∴+=∑∑∂∂⎛⎫∴+= ⎪∑∂⎝⎭
3. 半径R 金属圆柱，表面涂黑，太阳光垂直于柱轴照射到圆柱体侧表面的一半，设单位时间内垂直于太阳光入射方向上单位面积通过的热量为q ，外界温度为00c ，试写出这个热传导问题的边界条件（提示：选用极坐标）。

解：考虑表面积为s 厚度为的箔层。

① 太阳光垂直入射，dt 内流入箔层热量：
1sin 002q sdt Q ϕϕππϕπ
⋅≤≤⎧=⎨≤≤⎩ ② 由牛顿冷却定律，dt 内由s 流到外界热量：
21111()(0)s r R Q k u u sdt k u
sdt u ==-==
③ 由底部流入热量 3r r R Q ku sdt ε=-=-
④ 箔层温升所需热量
4Q c sdu ρε=
⑤ 联立：4123Q Q Q Q =-+
（1）0ϕπ≤≤
1sin r R r r R c sdu q sdt k u
sdt ku sdt ερεϕ==-=--
令0ε→ 10sin (,)(,)r q sdt k u R t sdt ku R t sdt ϕ=--
1(,)(,)sin ,0r ku R t k u R t q ϕϕπ+=≤≤
（2）2πϕπ≤≤，此区域可由上式令0q =而得
1(,)(,)0,
2r ku R t k u R t πϕπ+=<<
4. 电阻率为σ的均匀细导线，通过均匀分布的直流电，电流密度为j ，试导出导线内的热传导方程。

解：设导线的体密度为ρ，比热为c ，取x x dx →+一小段进行研究。

在dt 时间
内由x 面流入的热量为()(
)()x x x u u dQ k dAdt k dtdA n x
∂∂==-∂∂ 。

在dt 时间内由x dx +面流入的热量()()()x dx x dx x dx u u dQ k dtdA k dtdA n x
+++∂∂==∂∂ 。

此段导线的电阻dx R dA
σ=,在dt 时间内电流流过该段导线所产生的热量为：2222()dxdt Q I Rdt j dA j dtdAdx dA
σσ=== 由热平衡方程式
2()()x dx x u u u c dxdAdt k dtdA k dtdA j dtdAdx t x x ρσ+∂∂∂=-+∂∂∂ 222u u c k j t x
ρσ∂∂=+∂∂ 即：2t xx k j u u c c σρρ
-=。