chap5-2作业及答案

第五章 数学物理方程和定解条件的导出

5-2 热传导及稳定场问题 作业及答案

1. 长为l 的均匀细杆，，侧表面绝热，0x =端有恒定热流密度1q 流入，x l =端有

恒定的热流密度2q 流入，杆的初始温度分布是

()2

x l x -，试写出相应定解条件。（单位时间内通过单位面积的热流量称为热流密度）

解：由题知初始条件为 0()(,)2t x l x u x t =-= 。为得到边界条件分别研究 0,l l δδ→-→两小段。 由傅里叶定律：u dQ k

dAdt n ∂=∂ ，在0δ→一小段有 1()0u q dAdt k dAdt x

δ∂+⋅=∂ 当0δ→时，10x q u

x k

=∂=-

∂ 同样对于l l δ-→一小段有

2x l q u

x k

=∂=

∂ 故其定解条件为

012

()(,)2,t x x l x l x u x t q q u u x k x k ===-⎧=⎪⎪⎨∂∂⎪=-=⎪∂∂⎩

2.推导边界条件（5-2-13）1,u H hu hu h n k ∂⎡⎤+==⎢⎥∂⎣⎦∑

其中 解： 在dt 时间内沿dA '面从内部流入主内的热量由傅里叶定律可知

()u dQ dA k dA dt n

∂''=-∂ ，沿dA 面从介质流入柱内的热量由牛顿定律可知： ()()1|d Q d A H u u d t d A

=-∑ 由于边界稳定，当柱高0dA dA δ'→=时有且()

1|0u k dA dt H u u dAdt n ∂'-+-=∑∂

11|||u k

Hu Hu n u hu hu n ∂∴+=∑∑∂∂⎛⎫∴+= ⎪∑∂⎝⎭

3. 半径R 金属圆柱，表面涂黑，太阳光垂直于柱轴照射到圆柱体侧表面的一半，设单位时间内垂直于太阳光入射方向上单位面积通过的热量为q ，外界温度为00c ，试写出这个热传导问题的边界条件（提示：选用极坐标）。

解：考虑表面积为s 厚度为的箔层。

① 太阳光垂直入射，dt 内流入箔层热量：

1sin 002q sdt Q ϕϕππϕπ

⋅≤≤⎧=⎨≤≤⎩ ② 由牛顿冷却定律，dt 内由s 流到外界热量：

21111()(0)s r R Q k u u sdt k u

sdt u ==-==

③ 由底部流入热量 3r r R Q ku sdt ε=-=-

④ 箔层温升所需热量

4Q c sdu ρε=

⑤ 联立：4123Q Q Q Q =-+

（1）0ϕπ≤≤

1sin r R r r R c sdu q sdt k u

sdt ku sdt ερεϕ==-=--

令0ε→ 10sin (,)(,)r q sdt k u R t sdt ku R t sdt ϕ=--

1(,)(,)sin ,0r ku R t k u R t q ϕϕπ+=≤≤

（2）2πϕπ≤≤，此区域可由上式令0q =而得

1(,)(,)0,

2r ku R t k u R t πϕπ+=<<

4. 电阻率为σ的均匀细导线，通过均匀分布的直流电，电流密度为j ，试导出导线内的热传导方程。

解：设导线的体密度为ρ，比热为c ，取x x dx →+一小段进行研究。在dt 时间

内由x 面流入的热量为()(

)()x x x u u dQ k dAdt k dtdA n x

∂∂==-∂∂ 。在dt 时间内由x dx +面流入的热量()()()x dx x dx x dx u u dQ k dtdA k dtdA n x

+++∂∂==∂∂ 。 此段导线的电阻dx R dA

σ=,在dt 时间内电流流过该段导线所产生的热量为：2222()dxdt Q I Rdt j dA j dtdAdx dA

σσ=== 由热平衡方程式

2()()x dx x u u u c dxdAdt k dtdA k dtdA j dtdAdx t x x ρσ+∂∂∂=-+∂∂∂ 222u u c k j t x

ρσ∂∂=+∂∂ 即：2t xx k j u u c c σρρ

-=