专升本-高数一-PPT课件
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第一章函数、极限、连续(专升本专用PPT)-文档资料
2
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
专转本高数知识点 讲义课件 第一讲：极限、洛比塔法则
n 例如, 数列 x n ; 有界 数列 x n 2 n . 无界 n1 数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
2.唯一性
定理2 每个收敛的数列只有一个极限.
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0; x从右侧无限趋近 x0 , 记作x x0 0;
左极限
0, 0, 使当x0 x x 0时,
恒有 f ( x ) A . 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x 0 0) A.
A
o
x0
x0
x0
x
显然, 找到一个后, 越小越好.
x 1 2. 例4 证明 lim x 1 x 1
2
证
函数在点x=1处没有定义.
任给 0,
x2 1 f ( x) A 2 x 1 x 1
要使 f ( x ) A ,只要取 ,0
x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x ) A .
lim f ( x ) A且 x lim f ( x ) A. 定理 : lim f ( x) A x x
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x x0 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
满足不等式 f ( x ) A ,那末常数 A 就叫函数
专升本高数定积分的应用PPT课件
d
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意，此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x )， 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法，取 x为积分变 量 ， x [a,b] ， 在 微 小 区 间 [x, x dx]内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x ， y cos x ， x 0， x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图（如图 6.1.5 所示），利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意，此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x )， 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示)，由于图形的对称性，
只需计算S1，再 8 倍即可,点 A的幅角为0，点 O的幅角为
π ，且 由 0变到 π 时，恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法，取 x为积分变 量 ， x [a,b] ， 在 微 小 区 间 [x, x dx]内，用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为
专升本高数第一章极限与连续
金融领域
连续复利在金融领域中有着广泛 的应用，如债券、股票、基金等 投资产品的价值计算。
100%
保险领域
在保险领域中，连续复利可以用 于计算保险产品的未来价值，帮 助客户了解保险合同未来的收益 情况。
80%
养老金领域
在养老金领域中，连续复利可以 用于计算个人养老金账户的未来 价值，帮助个人了解自己退休后 的养老金收益情况。
极值的计算
对于可导的函数，其一阶导数为0的点可能是极值点。然后通过判断二阶导数的正负来判断是极大值还是极小值。 如果二阶导数大于0，则为极小值；如果二阶导数小于0，则为极大值。
极值的应用
最大最小值问题
在生产、生活中经常遇到求最大最小值的问题，极值的概念可以用来解决这类问题。例如，在经济学中求成本最低、 利润最大的方案等。
02
(1) lim(x->0) (sin x / x)
03
(2) lim(x->0) ((1 + x)^(1/x))
04
(3) lim(x->∞) ((1 + 1/x)^x)
连续复利部分的习题
(2) A = P(1 + r/n)^nt / (1 + r/n)^n
(1) A = P(1 + r/n)^nt
单调性
如果函数在某个区间内单调递增或递减，则该区间 内导数大于等于0或小于等于0。
极值点
如果函数在某一点的导数为0，且该点两侧的 导数符号相反，则该点为极值点。
04
函数的单调性与极值
单调性的判断方法
01
02
03
定义法
导数法
图像法
通过比较函数在某区间内任意两点x1和 x2的函数值f(x1)和f(x2)，判断单调性。 如果f(x1)<f(x2)，则函数在此区间内单 调递增；反之，则单调递减。
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
专升本(高数-)第一章极限、连续
专升本(高数-)第一章极限、连 续
目
CONTENCT
录
• 极限的概念与性质 • 连续性的概念与性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的极限与连续性
01
极限的概念与性质
极限的定义
80%
极限的定义
极限是描述函数在某一点处的变化 趋势的量，定义为limf(x)=A，其 中x趋于某点或无穷，A是一个常 数。
函数连续性的定义与性质
函数连续性的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等 于该点的函数值，则函数在该点连续 。
函数连续的性质
函数连续具有可加性、可减性、可乘 性、可微性等性质。
函数极限与连续性的关系
函数极限与连续性的关系
函数的极限是研究函数连续性的基础，函数的连续性是研究函数极限的延伸。函数的连 续性可以由函数的极限来定义和证明，而函数的极限也可以通过函数的连续性来研究。
无穷小的定义与性质
无穷小的定义
无穷小是极限为零的变量。对于任意给定的正数，无论它有多小 ，总存在一个更小的数，这个更小的数可以看作是原数的无穷小 。
无穷小的性质
无穷小具有一些重要的性质，如无穷小与任何有限数相加仍为无 穷小，有限数与无穷小相乘仍为无穷小等。
无穷大的定义与性质
无穷大的定义
无穷大是极限为无穷的变量。对于任 意给定的正数，无论它有多大，总存 在一个更大的数，这个更大的数可以 看作是原数的无穷大。
函数极限与连续性的应用
在数学、物理、工程等领域中，函数的极限和连续性都有着广泛的应用。例如，在研究 函数的形态、变化趋势、微积分、积分学等领域中，都需要用到函数的极限和连续性。
THANK YOU
感谢聆听
100%
单侧极限
当x从左侧或右侧趋于某点时， 函数f(x)的值趋于某个常数，称 为单侧极限。
目
CONTENCT
录
• 极限的概念与性质 • 连续性的概念与性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的极限与连续性
01
极限的概念与性质
极限的定义
80%
极限的定义
极限是描述函数在某一点处的变化 趋势的量，定义为limf(x)=A，其 中x趋于某点或无穷，A是一个常 数。
函数连续性的定义与性质
函数连续性的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等 于该点的函数值，则函数在该点连续 。
函数连续的性质
函数连续具有可加性、可减性、可乘 性、可微性等性质。
函数极限与连续性的关系
函数极限与连续性的关系
函数的极限是研究函数连续性的基础，函数的连续性是研究函数极限的延伸。函数的连 续性可以由函数的极限来定义和证明，而函数的极限也可以通过函数的连续性来研究。
无穷小的定义与性质
无穷小的定义
无穷小是极限为零的变量。对于任意给定的正数，无论它有多小 ，总存在一个更小的数，这个更小的数可以看作是原数的无穷小 。
无穷小的性质
无穷小具有一些重要的性质，如无穷小与任何有限数相加仍为无 穷小，有限数与无穷小相乘仍为无穷小等。
无穷大的定义与性质
无穷大的定义
无穷大是极限为无穷的变量。对于任 意给定的正数，无论它有多大，总存 在一个更大的数，这个更大的数可以 看作是原数的无穷大。
函数极限与连续性的应用
在数学、物理、工程等领域中，函数的极限和连续性都有着广泛的应用。例如，在研究 函数的形态、变化趋势、微积分、积分学等领域中，都需要用到函数的极限和连续性。
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单侧极限
当x从左侧或右侧趋于某点时， 函数f(x)的值趋于某个常数，称 为单侧极限。
专升本数学连续ppt课件
专升本数学
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数 • 概率论初步
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习专升本数学的基础。
详细描述
函数是数学中用来描述变量之间关系的工具，其定义域和对应关系是构成函数的两个要素。函数的性质包括奇偶 性、单调性、周期性等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
要点二
分类
根据未知函数的导数的阶数，常微分方程可以分为一阶、 二阶、高阶微分方程等。
一阶常微分方程
概念
一阶常微分方程是未知函数的导数是一阶的常微分方程。
分类
一阶常微分方程可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
求解方法
对于简单的一阶常微分方程，可以通过分离变量法、积分因式分解法等方法求解。对于复杂的非线性微 分方程，可能需要使用数值计算方法。
定积分的概念与计算
定积分的概念
01
定积分是描述曲线下的面积的问题，它可以通过分割
、近似、求和、取极限等步骤进行计算。
定积分的计算
02 定积分可以通过牛顿-莱布尼茨公式、换元法等方法
进行计算。
常见积分公式
03
定积分也有许多常见的积分公式，例如$\int_a^b
x^n dx = \frac{n}{n+1}(x^{n+1})|_{a}^{b}$。
理等领域。
Hale Waihona Puke 03不定积分与定积分不定积分的概念与计算
不定积分的概念
不定积分是微分的逆运算，它描述了某个函数的一组 原函数。
不定积分的计算
不定积分可以通过分部积分法、换元法等方法进行计 算。
专升本高等数学课件 第一章
称为由①, ②确定的复合函数, u 称为中间变量.
[说明] 通常 f 称为外层函数，g 称为内层函数.
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
例如,
2x 1,
f
(
x)
x2
1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
• 隐函数：函数 y 与自变量 x 的对应法则用一个方程 F(x, y) 0
表示的函数，如x2 y2 1 0 .
二、函数的性质
1．函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当x1 x2时, (1) 若恒有 f ( x1 ) f ( x2 ),
o
例如，x2 y2 a2．
(x, y)
x
x
D
定义: 点集C {( x, y) y f ( x), x D} 称为
函数y f ( x)的图形.
3、函数的表示法
解析法：用解析表达式表示函数关系
表格法：用列表的方法来表示函数关系
图示法：用平面直角坐标系上的曲线来 表示函数关系
几个特殊的函数举例
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
高等数学-第1章课件
x x0
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
专升本 高数 PPT课件
二、极限 4.极限存在准则
单调有界数列必有极限 两面夹定理
5.两个重要极限
6.无穷小与无穷大：定义、关系、性质、无穷小的比较
极限与无穷小关系、等价无穷小替换定理（整式替换、 常见等价无穷小代换）
Hale Waihona Puke 第一章 函数、极限与连续 知识梳理
三、连续 1.定义：两个定义、左右连续、连续充要条件 2.运算性质：四则运算
定义域 自变量 因变量（函数） 函数值 值域
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
一、函数 1.概念 （2）函数三要素
定义域 对应法则 值域 （3）函数的表示方法
图像法 表格法
分段函数 公式法用参数方程确定的函数
隐函数（显函数）
第一章 函数、极限与连续
知识梳理
定义域D关于原点对称
一、函数
高等数学辅导讲义（专升本）
• 第一章 函数、极限与连续 15%
• 第二章 一元函数的微分学 20%
• 第三章 一元函数的积分学 20%
• 第四章 多元函数微积分 15%
• 第五章 常微分方程
15%
• 第六章 无穷级数
10%
• 第七章 向量代数与空间解析几何5%
第一章 函数、极限与连续
（重点）
第一章 函数、极限与连续
复合函数的连续性 3.间断点及其分类：第一类：可去、跳跃
第二类 4.闭区间上连续函数的性质：最值性
介值性 零点定理
5. 初等函数 六种基本初等函数：
第一章 函数、极限与连续 知识梳理
六种基本初等函数 • 常数函数：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性 • 幂函数： • 指数函数： • 对数函数： • 三角函数：六个（正割函数、余割函数） • 反三角函数：四个
专升本高等数学课件
链式法则
链式法则用于计算复合函数的导数， 是导数计算中数法则是用于计算分式函数的 导数，即(u/v)'=(u'v-uv')/v^2。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点的变化量的近似值，它是 函数值的线性主部。
微分的几何意义
微分在几何上表示函数曲线在某一点附近的小 “斜坡”。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于一些基本的初等函数，如幂函数、 指数函数、三角函数等，它们的导数已
经给出。
乘积法则
乘积法则用于计算两个函数的导数， 即(uv)'=u'v+uv'。
一阶微分方程是包含一个 导数项的方程。
定义
求解方法 形式
二阶微分方程
定义
二阶微分方程是包含两个导 数项的方程。
形式
d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)， 其中f(x, y, z)是关于x、y和z 的函数。
求解方法
通过变量代换、积分等方法 求解。
高阶微分方程
01
定义
高阶微分方程是包含三个或更多 导数项的方程。
专升本高等数学 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 常微分方程 • 空间解析几何与向量代数
01
函数与极限
函数的概念与性质
总结词
理解函数的基本概念和性质是学习高 等数学的基础。
详细描述
函数是数学中描述两个变量之间关系 的一种方法，它具有对应性、有界性 、单调性、周期性和奇偶性等性质。 理解这些性质有助于更好地理解函数 的图像和变化规律。
专升本高数第一轮----一元函数积分学省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
f
( 1 )d ( 1 ) xx
5. (sin x) cos xdx f (sin x)d(sin x) 6. f (ex )exdx f (ex )dex
7. f (tan x)sec2 xdx f (tan x)d(tan x)
8.
f
(arctan 1 x2
x)
dx
f
(arctan x)d (arctan x)
aa
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
小结
三角代换常有下列规律
(1) a2 x2 可令 x = a sin t
(2) a2 x2 可令 x = a tan t (3) x2 a2 可令 x = a sec t
注意：三角代换旳目旳ห้องสมุดไป่ตู้化掉根式。
小结
两类积分换元法：
（一）凑微分 （二）三角代换、根式代换、倒数代换
二、第二类换元积分法
第一类换元积分法是利用凑微分旳措施，把一 种较复杂旳积分化成便于利用基本积分公式旳形式。 但是，有时不易找出凑微分式，却能够设法作一种 代换 x＝φ(t)，而积分
f (x)dx f [(t)]'(t)dt
可用基本积分公式求解。
目旳：去根号或化为基本积分公式
定理2 设f(x)连续，x＝φ(t)是单调可导旳连续 函数，且其导数φ’(t)≠0，x＝φ(t)旳反函数t=φ-1(x)
由不定积分旳定义可知，不定积分就是微分运 算旳逆运算。所以，有一种导数或微分公式，就 相应地有一种不定积分公式。
基本积分表
序号 F (x) f (x)
1
(kx C) k
2
( 1 x 1 ) x
1
(完整版)专升本高数数学第一章_函数、极限与连续
例：求下列函数的定义域
［Ａ］(1) y
1
．
(x 1)(x 4)
(2) y x 1 1 x 1
解:(1)要使函数有意义，必须有分母 (x 1)(x 4) 0
x 1 0
即 x 4 0
x 1
x
4
所以定义域为(-∞,-4) ∪(-4,1)∪(1,+ ∞)
(2)要使函数有意义,必须有 x 1 0
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。
y y x 2 当 x 0 时为减函数;
当 x 0 时为增函数;
o
x
(3) 函数的有界性:
若X D, M 0,x X ,有 f ( x) M 成立, 则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y
y 1 x
在(,0)及(0,)上无界; 在(,1]及[1,)上有界.
1 2
4 2 2
f[f
(x)]
f[ x 3] x2
x3 3 x2 x3 2
2x 9 (x 3x 1
1) 3
x2
2、函数的性质
(1) 函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D,有
f ( x) f ( x) 称f ( x)为偶函数;
f (x) f (x)
y
称f ( x)为奇函数;
y
y x
y x3
o
x
偶函数
o
x
奇函数
(2) 函数的单调性:
设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果对于区间I上
任意两点 x1及 x2，当 x1 x2时，恒有：
(1) f (x1) f (x2 ),则称函数 f (x) 在区间I上是单调增加的； 或(2) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调递减的；
专升本高数-第一章极限与连续
应用3
求曲线的长度。利用连续函数的性质，可以求出曲线 的长度。
03
无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义与性质
无穷小量
在自变量趋于某点或无穷的过程中，函数值趋于0 的变量。
性质
无穷小量不是0，但比任何有限小的数都更接近0。
举例
当x→0时，x是无穷小量。
无穷大量的定义与性质
无穷大量
在自变量趋于某点或无穷的过程中，函数值趋于无穷大的变量。
04
函数的极限与连续性之 间的关系
极限存在与连续性的关系
极限存在不一定连续
一个函数在某点的极限存在，并不意味着该函数在该点连续。 例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在$x=0$处的极限为0，但在该 点是不连续的。
连续不一定极限存在
如果一个函数在某点连续，则在该点的极限一定存在。但反 之不一定成立，例如函数$f(x) = left{ begin{matrix} x,x geqslant 0 0,x < 0 end{matrix} right.$在$x=0$处是连续 的，但在该点的极限不存在。
性质
无穷大量不是无穷，但其绝对值可以任意大。
举例
当x→∞时，x^2是无穷大量。
无穷小量与无穷大量的关系
01
无穷小量是趋于0的变量，而无穷大量是趋于无穷的变量。
02
无穷小量乘以无穷大量可能为无穷大量，也可能为无穷小量，
还可能为有限常数。
无穷小量除以无穷大量可能为0，也可能为无穷小量，还可能为
03
有限常数。
极限的计算方法
直接代入法
01
对于简单的初等函数，可以直接将自变量的值代入函数表达式
中计算极限。
商的极限法则
求曲线的长度。利用连续函数的性质，可以求出曲线 的长度。
03
无穷小量与无穷大量
无穷小量的定义与性质
无穷小量
在自变量趋于某点或无穷的过程中，函数值趋于0 的变量。
性质
无穷小量不是0，但比任何有限小的数都更接近0。
举例
当x→0时，x是无穷小量。
无穷大量的定义与性质
无穷大量
在自变量趋于某点或无穷的过程中，函数值趋于无穷大的变量。
04
函数的极限与连续性之 间的关系
极限存在与连续性的关系
极限存在不一定连续
一个函数在某点的极限存在，并不意味着该函数在该点连续。 例如，函数$f(x) = frac{1}{x}$在$x=0$处的极限为0，但在该 点是不连续的。
连续不一定极限存在
如果一个函数在某点连续，则在该点的极限一定存在。但反 之不一定成立，例如函数$f(x) = left{ begin{matrix} x,x geqslant 0 0,x < 0 end{matrix} right.$在$x=0$处是连续 的，但在该点的极限不存在。
性质
无穷大量不是无穷，但其绝对值可以任意大。
举例
当x→∞时，x^2是无穷大量。
无穷小量与无穷大量的关系
01
无穷小量是趋于0的变量，而无穷大量是趋于无穷的变量。
02
无穷小量乘以无穷大量可能为无穷大量，也可能为无穷小量，
还可能为有限常数。
无穷小量除以无穷大量可能为0，也可能为无穷小量，还可能为
03
有限常数。
极限的计算方法
直接代入法
01
对于简单的初等函数，可以直接将自变量的值代入函数表达式
中计算极限。
商的极限法则
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例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
n t, x o t cy （1 ） ． y a x
）
1 x , 1 y ( ) 1 - x （2） ．y2 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
故函数的定义域为：{( x , y ) | x 0 且 x y 0} （2）要使函数有意义必须满足
故
x2 x 2 0 x 1 或 x 2 ，即 ， x 2 x20 D ( 2, 1) (2, ) ．
二、 极限
1．概念回顾
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． x2 9
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． 解： lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x 知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
数。
: D g ( D ) D f: D f( D ) g 1 1 1
f g : D f [ g ( D ) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1 ； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
则 lim
am x x b x n n
m
m a bn a1 x a0 0 b1 x b0
mn mn mn
5n 4 n 1 例 6.（1） lim n+1 n 5 3n 2
（2 ） 、 lim
பைடு நூலகம்
x
x o s c x x sin x
高数一串讲
教材所讲主要内容如下：
一元函数微分学 ( 第三章、第四章)
第一章 函数及 其图形
第二章 极限和 连续
高等数学 (一)微积分
多元函数 微积分 （第六章）
一元函数积分学 （第五章）
第一部分 函数极限与连续
串 讲 内 容
第二部分 导数微分及其应用
一 元 和 多 元
第三部分 积分计算及应用
第一部分 函数极限与连续
1 x ， 求 f (2 x ) 例 3 .设函数 f ( ) x x 1
知识点：复合函数 解：令
t 1 , x 1 x ， t
因为
x 1 x 1 1 1 t 1 t
1 t
故：
f (t )
1 1 1 即 f ( x) ， f (2 x ) 1 x 1 t 1 2x
）
若对于任何 x ，恒有 f ( x ) f ( x ) 成立，则称 f ( x ) 是奇函数。若 对于任何 x ，恒有 f ( x ) f ( x ) 成立，则称 f ( x ) 是偶函数． 奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于 y 轴对称． 解：(1) f ( x ) 2( x)2 1 2 x 2 1 f ( x) ， 故 y 2 x 2 1为偶函数． (2)
值域
定义域
其中 f ( D ) z zf ( x , y ) , ( x , y ) D
3. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
4. 反函数
D f ( D )为单射, 反函数为其逆映射 设函数 f:
1 f :f( D ) D
5. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
例 4：求下列函数的定义域。 （1） z
1 ln( x y ); x
（2） f ( x ) ln( x 2 x 2)
sin x x2
知识点：定义域 多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，使表达式有意 义的点的集合。 解： （1）由函数的表达式可知：
x0
且
x y 0．
（1．概念回顾
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an A , 函数极限 lim f ( x ) A ．
n x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
f ( x0 ) lim f ( x ) A x x0 lim f ( x ) A. x x0 m f ( x) A f ( x0 ) xli x0
（05 年 10 月）
解： （1） lim
5 4 n 5n+1 3n 2
n
n 1
1 1 4 n 1 2( ) lim 5 5 5 n 3 1 3( )n1 5
1 1 4 2 lim( )n1 1 n 5 5 5 3 5 1 3lim( )n1 n 5
一、 函数 二、极限 三、连续 一、 函数 概念回顾
1. 一元函数的概念 D R , 函数为特殊的映射:
f( D ) R f :D 值域 定义域 ( D ) y y f ( x ) , x D 其中 f
2. 二元函数的概念
D R 2 , 函数为特殊的映射:
f :D
f( D ) R
f ( x ) ( x )3 2sin( x) x 3 2sin x f ( x)
，
故
y
x 2 s 为奇函数，图形关于原点对称。 i xn (3) f ( x ) x 1 ，它既不等于 f ( x ) ，也不等于 f ( x ) ，故
3
y x 1 是非奇非偶函数．
3）特殊极限：无穷大和无穷小 若当 lim u 0 ，则称变量 u 为无穷小量(或无穷小)．
lim u , lim u , lim u ，则称变量 u 为无穷大量(或无穷大)
4）极限与无穷小得关系定理 u A u A ， 其中 是该极限过程中的无穷小