第二章 通径分析
通径分析的原理与方法
通径分析是什么
通径分析的基本原理是美国学者赖特(S·Wright)于1921年创立的。
通径分析是指利用通径系数分析变量间相关关系的方法。
通径分析是进行相关系数分解的一种统计方法。
它的意义不仅在于揭示了在多个自变量x1，x2，…，xm，y的相关分析中，xi对y的直接影响力和间接影响力，而且还可以在x1，x2，…，xm，y间的复杂相关关系中，从某个自变量与其他自变量的“协调”关系中得到对y的最佳影响的路径信息，即从复杂的自变量相关网中，得到某个自变量决定y的最佳路径，具有决策的意义。
现通过实例说明通径分析的方法与步骤，并进一步了解通径系数的意义和应用。
通径分析的方法
1．世代的通径分析
亲本与子代的关系是通过配子建立起来的。
遗传学已证明，双亲对子代的影响是相等的，所以一个配子代的通径系数就是1/2。
在随机交配的条件下，上下代个体间的通径系数也等于l/2。
知道了这个关系，我们就可以求出任何亲属间的相关系数了。
2．多个变量间的通径分析
在一般情况下，我们参考多个变量之间的相互关系时，如果它们不是世代关系，那么每个通径的系数并不等于1／2。
这时，就需要先通过表型测量，求出各个变量之间的相关系数，然后再求通径系数。
通径分析的意义
可以用通径系数绝对值的大小,直接比较各自变量在回归方程中的重要作用,自变量在回归方程中的重要作用,这对于一个多变量的系统中抓住关键因子,变量
的系统中抓住关键因子,改变依变量的反映量是很有实用价值的。
在多变量的研究中,通径量是很有实用价值的。
在多变量的研究中,分析比相关分析更加全面,更加细腻。
分析比相关分析更加全面,更加细腻。
通径分析及其简单实现
通径分析及其简单实现搜集变量资料是农业科学研究经常采用的方法，如：搜集作物的产量与其构成因素穗数、粒数、粒重等资料，研究这些变量的目的想知道这些变量之间的关系，许多人往往采用简单回归和相关或多元回归分析。
但是，多元回归分析虽然在一定程度上能反映各个变量的真实关系，然而多元回归在分析偏回归系数时带有单位，使自变量对依变量的效应不能直接进行比较，从而不能比较各自变量的相对重要性。
要解决这个问题，进行通径分析(即为通径系数的分析)是一个比较好的选择。
然而令人感到棘手的是，面对繁杂的计算公式往往感到无从下手，下面从通径系数的概念入手，引出通径系数的求算方法，并利用SAS完成通径分析全过程。
1. 通径和通径系数的概念1.1 通径设依变量y和两个自变量x1、x2之间有如下关系：x1yx2图1 通径图在图1 中“→”中表示变量间存在因果关系，箭头方向是原因到结果，称为通径。
“”表示变量间存在相关关系，称为相关线，x1→y,x2→y为直接通径，由于x1,x2存在相关关系，又产生了两条间接通径，一条是x1是通过x2而作用于Y的通径，记作x1→x2→Y,一条是x2是通过x1而作用于y的通径，记作x2→x1→y。
这种情况可以推广到i个自变量，并记直接通径为i→y（i=1,2,3····m）,间接通径为i→j→y(i=1,2,3····m，i≠j ) ，但也可统一记作i→j→y，当i=j时为直接通径，i≠j时为间接通径。
1.2 通径系数表示各条通径对于改变依变量的相对重要性的统计数就叫通径系数, 记作P i→j→Y 或简写为P ijY。
通径系数的定义可以由偏回归系数导出。
例如水稻单株产量y（kg）与x1（穗数）、x2（单穗粒数）、x3（粒重）间存在着线性回归关系。
其回归关系为：y=b0+b1x1+b2x2+b3x3，此式中b0为常数，b1、b2、b3分别表示y对x1,y对x2, y对x3的偏回归系数，偏回归系数是带有单位的，如b1、b2的单位分别为：kg/穗，kg/粒。
通径分析文档
通径分析1. 简介通径分析（Path Analysis），又称偏路径分析，是结构方程模型（Structural Equation Modeling，简称SEM）的一种常用方法。
它可以用于探索与预测变量关系的复杂性，揭示变量之间的直接和间接影响，帮助研究者建立更为综合的模型。
通径分析可以用于解决许多问题，例如确定变量之间的因果关系、检验理论模型、验证是否存在中介或调节效应等。
它能够帮助研究者更好地理解变量之间的相互作用、潜在机制以及模型的适应性。
2. 通径分析的基本原理通径分析是基于路径系数的统计方法，它使用指数函数来表示变量之间的因果关系。
通径系数表示一个变量对另一个变量的直接影响。
这些路径系数可以通过最大似然估计方法进行计算，并进行统计检验。
在通径分析中，研究者需要确定调整变量，即控制变量，以消除潜在的共变性。
通过控制这些变量，研究者可以更准确地评估变量之间的因果关系。
3. 通径分析的步骤通径分析通常包括以下步骤：步骤1: 确定研究问题和变量首先，研究者需要明确研究问题，并确定相关的变量。
这些变量可以是观察变量或潜变量。
步骤2: 建立模型研究者需要根据研究问题建立适当的结构方程模型。
模型可以包含直接效应、间接效应、中介效应、调节效应等。
步骤3: 收集数据研究者需要收集与模型中的变量相关的数据。
数据收集可以通过问卷调查、实验或观察等方法进行。
步骤4: 估计路径系数使用最大似然估计方法，研究者可以计算路径系数，并对其进行统计检验。
该方法可以提供关于变量之间关系的定量信息。
步骤5: 分析结果研究者可以根据路径系数和统计检验结果来解释变量之间的关系，并对模型进行评估。
通过比较实际观察值和模型估计值之间的差异，研究者可以评估模型的适应性。
4. 通径分析的优势和局限性通径分析具有以下优势：•可以同时考虑多个变量之间的复杂关系，揭示变量之间的直接和间接影响。
•可以提供关于变量之间关系的定量信息，有助于进一步理解研究问题。
通径分析报告
通径分析报告1. 引言通径分析（path analysis）是一种统计方法，用于检测变量之间的因果关系。
它通过测量变量之间的直接和间接效应，帮助研究者揭示复杂系统的内在结构和作用机制。
本文将介绍通径分析的基本原理和步骤，并通过一个示例说明如何进行通径分析。
2. 通径分析的基本原理通径分析基于结构方程模型（SEM），结合回归分析和因子分析的思想，来探究变量之间的因果关系。
通径分析将变量之间的关系表示为路径（path），并通过路径系数（path coefficient）来衡量直接和间接效应的大小。
通径分析的核心是构建路径模型，确定变量之间的路径关系。
3. 通径分析的步骤步骤一：确定研究目的和研究模型首先，我们需要明确研究的目的和研究模型。
研究目的是指我们希望研究什么问题，研究模型是指我们用来表示变量之间关系的理论模型。
步骤二：收集数据并进行数据处理在进行通径分析之前，我们需要收集相关的数据，并对数据进行处理。
数据处理包括数据清洗、变量标准化等步骤，以确保数据的质量和可靠性。
步骤三：构建路径模型根据研究模型，我们可以构建路径模型。
路径模型表示变量之间的关系，通过路径系数来衡量直接和间接效应的大小。
在构建路径模型时，需要根据理论基础和实际情况来确定变量之间的路径关系。
步骤四：估计路径系数通过合适的统计方法，我们可以估计路径模型中每条路径的系数。
常用的估计方法有最小二乘法（OLS）和最大似然估计法（MLE）。
估计路径系数可以帮助我们了解变量之间的直接和间接关系。
步骤五：检验模型拟合度在估计路径系数之后，我们需要对模型的拟合度进行检验。
常用的拟合度指标有卡方拟合度（χ²）、标准化拟合指数（NFI）等。
拟合度检验可以帮助我们评估模型是否符合观测数据。
步骤六：解释和讨论结果最后，我们可以根据估计的路径系数和模型拟合度来解释和讨论结果。
通过解释路径系数，我们可以了解变量之间的因果关系。
同时，通过讨论模型拟合度，我们可以评估模型的解释力和预测能力。
第二讲 通径分析解析
Py.e d y.e
对于（2—1）式，为求b1，b2可得下列两个方程：
SS1b1+SP12b2=SP1y
（2—11）
SP21b1+SS2b2=SP2y
（2—12）
先对以上两式的各项除以n－1后，（2－11）式再除以Sx1Sy，（2－12）
式除以Sx2Sy可得：b1S x1 SyS x1 S x1
dy.1+dy.2+2 Py.1 Py.2 r12=1
（2—8）
其中2 Py.1 Py.2 r12可以看成相关原因x1 ，x2 共同对结果y的相对决定程度，称
为相关原因x1 ，x2 共同对结果y的决定系数，记为dy.12 ，所以（2—8）式又可
写成：
dy.1+dy.2+dy.12=1
（2—9）
由（2—9）式可推广到一般，即，如果相关变量x1 ，x2…，xm，y间存在线
（2—1）
( y y)2 n 1
b12
(x1 x1 )2 n 1
b22
(x2 x2 )2 n 1
2b1b2
( x1
x1 )( x2 n 1
x2 )
即
S
2 y
b12
S
2 x1
b22
S
2 x2
2b1b2COV12
（2—6）式两边同除以
S
2 y
得：
（2—6）
b1
S x1 Sy
2
b2
（2—10）
m
m
d y.i d y.ij 1
i 1
i j
其中
d y.i
P2 y.i
， dy.ij=2Py.i Py.j rij
（i，j=1，2，…，m，i<j ）
典型相关分析和通径分析
在约束条件： Var(u2 ) 2 112 1
Var(v2 ) 2222 1
cov(u1,u2 ) cov(1x,2 x) 1112 0 cov(v1,v2 ) cov(1y, 2 y) 1112 0 求使 cov(u2,v2 ) 2122 达到最大的 2 和 2 。
1)
2
(
1221
1)
(1)
的极大值，其中和是 Lagrange乘数。
1
121
111
0
1
211
221
0
(2)
121 111 0 211 221 0
(3)
将上面的3式分别左乘1 和 1
1121 1111 0 1 21 1 1221 0
11122111
1111 1221
则： 1121，且是u1和v1之间的相关系数
q
(xi ,v j )
b
k 1
kj
xi , yk
/ xi
cov(yi ,u j ) cov(yi , a1 j x1 a2 j x2 apj xp )
cov(yi , a1 j x1) cov(yi , a2 j x2 ) cov(yi , apj xp )
p
a k 1
kj
yi ,xk
X2
0.80 1.00 0.33 0.59 0.34
y1
0.26 0.33 1.00 0.37 0.21
y2
0.67 0.59 0.37 1.00 0.35
y3
0.34 0.34 0.21 0.35 1.00
Vu11
a11x1 b11 y1
a21x2 b21 y2
b31 y3
通径分析
29 1 .4 3 .8 2 7 L= 27 55 1 .4 2 .2
− 1
,
L = 8 5 .6 6 776 3
0 062 0 070 12 .0 6 7 7 − .0 2 6 4 4 L = , B= 6 2 − .0 2 6 4 .0 3 4 8 0 070 0 004 0
0 14 .6 2 1 r = , 0 14 1 .6 2
*
q .6 2 q .6 7 1 +0 1 4 2 =0 8 3 0 1 4 1 2 .8 0 .6 2 q +q =0 5 1
20122012-5-18
12.1
x1 12.1.1 通径图 y x2
图12.1a x1与x2独立时 2.1a
x1 y x2
图12.1b x1与x2不独立时 2.1b
符号： [ 符号： 直接通径: 直接通径: x1 间接通径: 间接通径: x1
]表示通径线 ]表示通径线
y,
x2
y,
y
x2
x2
x1
y
*
(i=1,2…p) i=1,2…p)
间接通径系数可以用下面式子表示： 间接通径系数可以用下面式子表示： qi qj
20122012-5-18
j i
y y
= rij qj = r ji q i
(xi 通过 xj 对 y 产生的影响) 产生的影响) ( xj 通过 xi 对 y 产生的影响) 产生的影响)
Ry = y
1 0 14 .6 2
0 14 .6 2 1
, Ry = 1
0 14 .6 2
通径分析 (2)
通径分析简介通径分析（Path Analysis）是一种统计方法，用于研究多个变量之间的因果关系。
它基于结构方程模型，通过估计观测变量和潜在变量之间的关系，来探究变量之间的直接和间接影响。
方法通径分析可以被视为回归分析的推广。
通过构建一个结构方程模型，在该模型中，变量之间的可能因果关系由路径表示。
每个路径都代表一个直接影响，而其他变量可以通过这些路径的多次间接影响来相互影响。
在进行通径分析时，必须首先确定变量之间的因果关系假设。
然后，可以使用最小二乘法或最大似然法来估计路径系数。
最后，可以进行统计检验以评估模型的拟合程度和路径系数的显著性。
应用领域通径分析在社会科学、教育、心理学等领域中得到广泛应用。
它可以用于研究教育政策对学生成绩的影响，分析心理因素对健康状况的作用，或者评估社会因素对人们意见和态度的影响。
通径分析还可以用于研究营销策略对消费者购买决策的影响，分析企业发展过程中各因素之间的关系，或者评估投资组合中各项指标对绩效的影响。
优势和局限通径分析具有以下优势：1.通过考虑多个因素之间的直接和间接影响，可以提供更全面的因果解释。
2.允许检验路径系数的统计显著性，从而增强分析的可信度。
3.可以对模型进行拟合度检验，评估模型是否与现实数据一致。
然而，通径分析也存在一些局限：1.通径分析基于一系列假设，包括线性关系和可观测的数据。
2.需要大量的数据以确保模型的稳定性和准确性。
3.分析结果只能提供相关性而非因果性的证据，因为观察数据无法确定因果关系的存在。
实例分析为了更好地理解通径分析的应用，我们举一个教育领域的实例。
假设我们想研究教师培训对学生学业成绩的影响。
我们收集了以下变量的数据：教师培训时间、学生参与度、学生学业成绩。
我们建立以下结构方程模型：教师培训时间 -> 学生参与度 -> 学生学业成绩通过进行通径分析，我们可以估计教师培训时间对学生成绩的直接影响，以及通过学生参与度间接影响。
通径分析PathAnalysis--简介
• 但是，因为x、y都是具有一定测量单位的绝 对量值，所以，协方差也是一个绝对量值， 无法直接表示x、y之间的相关 • 为此，人们用协方差除以各自的标准差Sx和 Sy，得到没有实际单位的相对量值r，称为相 关系数
( x x )( y y ) 1 ( x x ) ( y y ) r n n ss s s
z3
p32
z2
式(2’)为式(2)的简化形模型。 括号内各项代数和＝z3和z1的简单
回归系数
最终反应变量完全以某 一个外生变量的函数的 形式来加以描述
包括直接影响和间接 影响
总效应 ＝ 直接效应 + 间接效应
（简单回归系数） （直接计算的偏回归系数）（通径系数的乘积）
例题
• 当我们考察个人年收入与年龄的关系 • 1、可以直接计算相关系数r＝0.003 • 2、我们认为年龄不仅直接影响收入，还跟 教育有关，而教育也影响收入，于是我们 考虑有变量关系：
1、计算一个变量对最终反应变量的各种影响
如，结构方程组
ˆ 2 p 21z1 z ˆ 3 p31z1 p32z2 z
(1) (2)
z1
p21 p3
1Hale Waihona Puke (1)代入(2)后：ˆ 3 p31z1 p32 p 21z1 z p31 p32 p 21 z1 (2')
符号 系数值 0.3 0.4 0.7
x2
直接作用
间接作用 总作用
p41 p43p31 p*41 p42 p43p32 p*42 p43
0.2
-0.3 -0.1 0.5
x3
直接作用
例
－0.718 人均GDP 人均国内生产总值 TFR 总和生育率
第二讲 通径分析解析
（2—2）
（2—2）式中b0为常数项，b1 ，b2 分别为y对x1 ，x2 的偏回归系数，e为与各变 量相互独立的误差项（或剩余项）。x1 ，x2 间存在相关，则（2—2）式的关系可 用图1示之。
图1 通径图
图1中，单箭头表示自变量间存在因果关系，方向由原因到结果，称为通径。双 箭头表示变量间存在平行关系，称为相关线，
163.66583 166.4516 2.83775 19.659498 0.7345968
23.325504
27.128761
4.5901316
0.7345968
0.0385129
解得：
Py.1=23.3255， Py.2=27.1288， Py.3=4.5902 ，Py.4=0.7346 3、作出通径图（略）
（2—1）
( y y)2 n 1
b12
(x1 x1 )2 n 1
b22
(x2 x2 )2 n 1
2b1b2
( x1
x1 )( x2 n 1
x2 )
即
S
2 y
b12
S
2 x1
b22
S
2 x2
2b1b2COV12
（2—6）式两边同除以
S
பைடு நூலகம்
2 y
得：
（2—6）
b1
S x1 Sy
2
b2
89.032143
R (2)
2.471164
8.681726
5.604968
89.032143 89.53353 3.421524 8.960605 4.841078
2.471164 3.421524 0.002113 0.000305 0.009923
第二章 通径分析
第二章通径分析(Path Analysis)在科学研究中常常要研究相关变量间的线性关系研究二个相关变量间的线性关系时可采用直线回归分析与相关分析。
在研究多个相关变量间的线性关系时：如研究y(单株产量)与x1(每株穗数)、x2(每穗粒数)、x3(粒重)的关系，可采用多元线性回归分析与偏相关分析。
还可以采用本章新介绍的通径分析。
通径分析具有精确、直观的优点，在遗传育种学中，在分析相关变量关系中，有着十分重要的应用。
第一节通径系数与决定系数一、通径系数的定义(一) 通径、相关线与通径图设相关变量：y, x1, x2, 其中y—后果(依变量)；x1、x2—原因(自变量)。
若x1、x2相互独立(r12=0)，可图示为x1 父本y ，例如子代父、母无亲缘关系x2 母本若x1、x2彼此相关(r12≠0)，可图示为x1体长y x3例如黄牛体重饲料x2胸围用x1x2代替x1x2x3，改画为x1yx2通径——箭形图中的单箭头“”，表示变量间呈因果关系，方向由原因到结果。
相关线——箭形图中的双箭头“”，表示变量间呈平行关系。
一条相关线相当于两条尾端相联的通径。
通径图——表示相关变量间呈因果关系或平行关系的箭形图。
(二) 通径系数与决定系数通过作通径图，形象直观地表达了相关变量间的关系，但这是定性地表达。
仅定性表还不？，还须进一步用数量表示因果关系中原因对结果影响的相对重要程度与性质，平行关系中变量间相关的相对重复程度与性质。
换句话说还须用数量表示“通径”与“相关线”的相对重要程度和性质，也就是将“通径”、“相关线”、“通径图”数量化。
表示“通径”相对重要程度和性质的数量叫通径系数。
表示“相关线”相对重要程度和性质的数量叫相关系数生物统计学已给出了计算相关系数的方法，即：若二相关变量x 1、x 2有几组观测值，则x 1与x 2的相关系数r 12的计算公式为：下面给出通径系数的确切定义与数学表达式。
设y 与x 1、x 2间存在线性关系 x 1 回归方程：=b 0+b 1x 1+b 2x 2 y 或 y=b 0+b 1x 1+b 2x 2+e 2-1 x 2e (图2-1)其中 。
第二章通径系数
瘦肉率 y
臀肉率
X1
腰肉率 X2
很显然，瘦肉率（y）是由于受到臀肉率（x1）和腰肉率（x2） 变化的影响而变化的。把瘦肉率看作结果的话，引起结果变化 的臀肉率和腰肉率就是原因；所以y是依变数（因变量），而 x1、x2都是自变数（自变量）。 因果之间的关系用单箭头表示（通径线），方向是从原因到结 果，且不能随意改动；而平行事物之间的关系用双箭头表示 （相关线），没有方向性。平行事物之间可以是相关的，也可 以是不相关的。 X1、X2之间可以有共同原因，也可以没有共同原因，若彼此 不相关时，两事物之间的相关系数r =0。 通径图清晰地表达了相关变数之间的关系，但是因果关系或者 平行关系的相对重要性，需要用一个参数来表示。
3、一代的通径 从一个亲本到一个后代称为一代，即由合子到配子再到新的合子。则：
ba 1 (1 F ' ) /(1 F ), 2
如果上下两代的配子之间无相关，
F、F‘都为0。则一个合子 世代的通经系数等于1/ 2。
4、随机交配时,亲属间的通径与相关
随机交配时， 通
F F'
0
，因此，一个个体世代（合子代）的
第二章（2）
第二节 通径系数
通径系数（path coefficient）是表示事物因果关系的一 种统计量。20世纪20年代由Sewall.Wright教授创立， 经过几十年的发展和完善，已经成为开展动物遗传育 种工作的有力工具，在动物遗传育种中占有重要的地 位。 一、概念
自然界任何两个或者多个事物之间，通常存在两种关 系，即：“平行关系或者因果关系”
d y.x
y
通径分析
如按变量的“因果关系”分类,即按通径图 中箭头的指向去划分变量,则可以把箭头起 始的变量(也称原因变量) 称为“外生变 量”( Exogenous Variable) 、独立变量 ( Independent ) 、源变量(Source) 或上游 变量;这是因为此变量的变化由通径图以外 的原因产生的。
图1. 3 的结构方程式为: A 2 = aA 1 + bB1 + eX B3 = cB1 + dA 2 + f Y
但A 1 与B1 间的相关性无法在方程式中表示出 来。图1. 3 中B1 在B3 上的直接作用是c ;而 B1 通过A 2 作用于B3 上的间接作用为bd ; 因此B1 对于B3 的总的作用(也称总效应)是c + bd 。 在早期的通径分析中,由于A 1 与B1 有相关性 ( r) ,而认为B1 可以通过A1 ,再经过A 2 ,可以 间接地作用于B3 ,大小为rad 。
图1. 3 是表示有时间性的通径图,其中A 、 B 表示两个变量,X、Y是残差,足标1 、2 、 3 分别表示在时间1 、时间2 、时间3 。
变量的分类
按可否直接测量到该变量,变量可分为“表 型变量”(Manifest Variable ,也称显变量,它 总是用一个方框去识别它) 、及隐型变量 (Latent Variable ,它总是用一个圆形框去识 别它) 。 这里的隐型变量(即隐变量) 是无法直接测 量到的,它应当是客观存在的。
(1) 恰好通径图:通径图中独立未知参数(包括隐变 量的方差、残差的方差) 的个数恰好与样本中所 能得出的方程组的个数相等。 (2) 识别不足通径图:通径图中独立未知参数的个 数多于样本中所能得出的方程组的个数。因为 这时参数的解有无限多组,即解很不确定,这是不 能允许的。 (3) 过度识别通径图:通径图中独立未知参数的个 数少于样本中所能得出的方程组的个数。统计 学家偏爱这种模型,因为人们可以在待估的参数 上附加不同的条件以使所求得的参数满足统计 学要求。
通径分析资料
2.1 通径模型(path model):通径模型是由一组线性方程组成的，反映自变量、中间变量、潜变量和应变量之间相互关系的模型，是以多元线性回归方程为基础的模型。
2.2 通径图(path graph):通径图(如图1)可以直观的表现各个变量之间的相互关系。
通径图中的单箭头线称为直接通径(如A到D)，简称通径(path)，表示因果关系，方向由原因指向结果。
双箭头线称为相关线(correlation line)，表示变量间互为因果，是平行关系(如A与B)。
2.3 外生变量和内生变量:通径分析中只受到模型之外的其他因素影响的变量称为外生变量，如图1中的A、B、C、е，通径图中没有箭头指向它们。
外生变量之间如果有相关关系，则用双箭头线表示。
通径分析中受到模型中某些变量影响的变量称为内生变量，如图1中的D，通径图中有朝内的箭头指向它们。
2.4 通径系数(path coefficient):通径系数是是用来表示相关变量因果关系的统计量，是标准化的偏回归系数，也称作通径权重。
通径系数一般用最小二乘法法(OLS)或极大似然估计法(MLE) 来估计｡2.4.2 通径系数的性质:(1)通径系数具有偏回归系数的性质。
它是变量标准化后的偏回归系数，能够表示变量间的因果关系，故仍具有偏回归系数的性质。
(2)通径系数具有相关系数的性质。
它是一个不带单位的相对数，因而又具有相关系数的性质，是具有方向性的相关系数，能表示原因与结果(自变量与依变量)之间的关系，它是介于回归系数和相关系数之间的一种统计量，可用于各种性状间的相关分析。
(3)通径系数是一个不带单位的相对数。
可以用它来估计自变量对应变量直接影响效应的大小，比较其相对重要性。
(4)利用通径系数分析，可以帮助我们建立"最优"多元回归方程。
2.5 决定系数(Determination coefficient)通径系数的平方称为决定系数，表示自变量或误差能够解释应变量总变异的程度。
通径分析精讲课件
学习交流PPT
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因此在构造统计图时,首先要识别一个通径图是否满足 统计学的要求是最基本的。基本原则是：
尽可能地用较少的参数去拟合样本数据,这样的结果也 容易去寻找专业的解释。SAS及SPSS 统计软件中的
隐变量软件在执行统计分析时首先是计算待估参数 个数。对于“识别不足”的模型会自动停止计算。
使用者如不想对模型的通径图作大的改动,一个简单 办法是,先指定一些未知参数的值,特别是隐变量的方 差,更是可以自由地指定。
B1 到B3 的模型相关系数为
^r B1 B3= bd + c
学习交流PPT
25
三、递归通径模型与非递归通径模型
1、递归通径模型 因果关系结构中全部为单向链条关系，无反馈作用的
模型，称为递归模型。
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2、非递归模型 （1）模型中任何两个变量之间存在双向因果关系、即
有直接反馈作用；
（2）某个变量存在自身反馈； （3）存在间接反馈； （4）内生变量的误差项与其它项目相关；
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• 把箭头指向(终点) 的变量称为“内生变 量”(Endogenous Variable) 、因变量(Dependent) 、 下游变量或结果变量;因为此变量的取值依赖于箭头 上端变量的变化及误差项,所以被称为“内生”。
• 注意:此处所述的“原因变量”是比较含糊的,不可严 格地当作“因果关系”中的原因,但它可以为实际工 作者提出一种重要的启示:便于从专业角度去检验它 是否确是真实的“原因”。
C=A+B+X
(这里未考察每个变量的影响大小)
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• 图1. 2 是常用的可靠性检验(Reliability test) 通径
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第二章通径分析 (Path Analysis)在科学研究中常常要研究相关变量间的线性关系研究二个相关变量间的线性关系时可采用直线回归分析与相关分析。
在研究多个相关变量间的线性关系时：如研究y(单株产量)与x1(每株穗数)、x2(每穗粒数)、x3(粒重)的关系，可采用多元线性回归分析与偏相关分析。
还可以采用本章新介绍的通径分析。
通径分析具有精确、直观的优点，在遗传育种学中，在分析相关变量关系中，有着十分重要的应用。
第一节通径系数与决定系数一、通径系数的定义(一) 通径、相关线与通径图设相关变量：y, x1, x2, 其中y—后果(依变量)；x1、x2—原因(自变量)。
若x1、x2相互独立(r12=0)，可图示为x1 父本y ，例如子代父、母无亲缘关系x2 母本若x1、x2彼此相关 (r12≠0)，可图示为x1体长y x3例如黄牛体重饲料x2胸围用x1 x2代替x1 x2 x3，改画为x1yx2通径——箭形图中的单箭头“ ”，表示变量间呈因果关系，方向由原因到结果。
相关线——箭形图中的双箭头“ ”，表示变量间呈平行关系。
一条相关线相当于两条尾端相联的通径。
通径图——表示相关变量间呈因果关系或平行关系的箭形图。
(二) 通径系数与决定系数通过作通径图，形象直观地表达了相关变量间的关系，但这是定性地表达。
仅定性表还不？，还须进一步用数量表示因果关系中原因对结果影响的相对重要程度与性质，平行关系中变量间相关的相对重复程度与性质。
换句话说还须用数量表示“通径”与“相关线”的相对重要程度和性质，也就是将“通径”、“相关线”、“通径图”数量化。
表示“通径”相对重要程度和性质的数量叫通径系数。
表示“相关线”相对重要程度和性质的数量叫相关系数生物统计学已给出了计算相关系数的方法，即：若二相关变量x1、x2有几组观测值，则x1与x2的相关系数r12的计算公式为：下面给出通径系数的确切定义与数学表达式。
设y与x1、x2间存在线性关系 x1回归方程： =b0+b1x1+b2x2 y或 y=b0+b1x1+b2x2+e 2-1 x2e (图2-1)其中。
表示这三个相关变量间关系的通径图见图(2-1)由于b1、b2带有单位，不便于由b1、b2比较x1、x2对y影响的重要程度。
现将y, x1, x2, e用标准差标准化：变为不带单位的相关数，再研究标准化变量的线性关系。
由(2-1)得 2-2(2-1)式—(2-2)式 2-3(2-3)÷σ0 ①：记yˊ、x1ˊ、x2ˊ、eˊ为y、 x1、 x2、x3、e的标准化得或、是变量标准化的偏回归系数，分别表示x1、x2对y影响的相对重要程度和性质；表示误差e对y影响的相对重要程度和性质，分别称为x1、x2、e到y的通径系数。
定义：若相关变量y、x1、x2间存在线性关系，回归方程式为①确切地说，此处是指y的样本标准差。
在本章中未严格区分总体标准σ与样本标准差S这两个符号，这可从具体的问题区分开来。
=b0+b1x1+b2x2或 y=b0+b1x1+b2x2+e则变量标准化后的各偏回归系数分别称为原因x1、x2到结果y 的通径系数，记为P0.1、P0.2、称为误差项e到结果y的通径分系数，记为P0.e，即通径系数的平方称为决定系数，表示原因(自变量或误差)对结果(依变量)的相对决定程度，记为d0.1, d0.2, d0.e,即若 =x1+x2, 即b0=0, b1=b2=1通径图如图(2-2)所示则。
定义的推广：若 =b0+b1x1+b2x2+b3x3或y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+e则x1x2y x3e(图2-2)二、通径系数与相关系数的关系对于 =b0+b1x1表明，在直线回归分析中，x1到y的通径系数P0.1在数量上等于x1与y的相关系数r10。
但二者是有实质区别的，因为通径系数表达的是因果关系，而相关系数表达的是平等关系。
在一定条件下，这个结论对于多元线性回归分析也成立。
小结：1. 通径系数是表示相关变量间因果关系的一个统计量；2. 通径系数是标准化变量的偏回归系数，是没有单位的偏回归系数；3. 在一定条件下，通径系数是自变量与依变量之间的相关系数。
4. 就通径系数所表示的因果关系来说，具有回归系数的性质；就通径系数是不带有单位的相对数来说，又具有相关系数的性质。
所以可以说通径系数是兼有回归系数与相关系数性质的一个统计量。
第二节通径系数的性质定理1 若 =b0+b1x1+b2x2 x1或y=b0+b1x1+b2x2+e y x2且r12≠0，通径图如图(2-3)所示。
e则 (一) r10=P0.1+r12P0.2 (图2-3)r20=P0.2+r21P0.1(二)d 0.1 + d 0.2+d0.e+2 P0.1r12P0.2=1证明(一)： 2-4，求和，再除以(n-1)∵x1与e无关，Cov(x1, e)=0∴r10=P0.1+r12P0.2证毕同样可证 r20=P0.2+r21P0.1通径分析：对于r10=P0.1+r12P0.2直接通径： x1 y P0.1——直接作用间接通径： x1 x2 y r12P0.2——间接作用通径链指间接通径(包括直接通径)并定义通径链系数为组成该通径链的全部通径与相关线系数的乘积。
表明：x1与y的相关系数r10等于x 1与y间的直接通径系数P0.1与间接通径系数r12P0.2之和，即x1与y的相关系数r10被剖分为x1对y的直接作用与x1通过x2对y的间接作用的代数和。
对r20=P0.2+r21P0.1可作同样分析。
将(一)改写为：此为通径系数P0.1、P0.2正规方程组，其矩阵形式为：矩阵形式：证明(二) 2-52-5式平方、求和再除以(n-1)∵x1、x2与e独立无关； Cov(x1, e)=0, Cov(x2, e)=0得 σ02=b12σ12+b22σ22+2-6+2b1b2 Cov(x1,x2)σe2 2-6即 d0.1+d0.2+d0.e+2P0.1r12P0.2=1 证毕2P0.1r12P0.2可当成是相关原因x1、x2共同对结果y的相对决定程度，叫做相关原因x1、x2共同对结果y的决定系数，记为d0.12，于是得 d0.1 +d0.2+d0.12+d0.e=1d0.e=1-(d0.1+d0.2+d0.12)又（标准化变量的回归平方和）所以把P 0.1r10, P0.2r20分别称为x1、x2对回归可靠程度R2的总贡献。
(SSr——标准化变量的离回归平方和，以后证明：SSy=1)推广：若 y=b0+b1x1+b2x2+…+b m x m或 y=b0+b1x1+b2x2+…+b m x m+e则且r ij≠0 通径图如图(2-4)所示 x1则(一) x2y ┆x me (图2-4)此为通径系数P0.1、P0.2、…、P0.m的正规方程组，其矩阵形式为：若记正规方程组的系数矩阵为R、未知之列向量为P、常数项列向是为B，则(二) d0.1+d0.2+…+d0.m+d0.12+…+d0.m-1,m+d0.e=1即而所以从而有(三) P0.i r io(i=1, 2, …, m)为x i对回归可靠程度R2的总贡献。
定理2 若 =b0+b1x1+b2x2 x1或 y=b 0+b1x1+b2x2+e, 且r12=0 y通径图如图(2-5)所示。
x2则(一) r10 =P0.1, r20=P0.2 e(二) d0.1+d0.2+d0.e=1 (证略) (图2-5)此时 d0.e=1-(d0.1+d0.2) x 1推广：若 =b0+b1x1+b2x2+…+b m x m x2或 y=b0+b1x1+b2x2+…+b m x m+e y ┆且 r ij=0, i, j=1, 2,…, m x m通径图如(图2-6)所示。
e (图2-6)则(一) r io=P0.i (i=1, 2,… , m)(二)定理3 若y=b0+b1x1+b2x2, r12=0x1=b0ˊ+b3x3+b4x4, r34=r23=r24=0通径图如(图2-7)所示。
则 (一) P0.3=P0.1P1.3 x3P0.4=P0.1P1.4 x1(二)r30=P0.3, r40=P0.4 y x4(三)d0.3+d0.4=d0.1 x2 (图2-7)证明(一) ∵y=b0+b1(b0ˊ+ b3x3+b4x4)+b2 x 2即 y=b0+b1b0ˊ+ b1b3x3+b1b4x4+b2x2y=(b0+b1b0ˊ)+b2x2+(b1b3)x3+(b1b4)x4∴。
同样可证 P0.4=P0.1P1.4。
证明(二)。
同样可证 r40=P0.4证明(三)。
定理4 (一) 若 y1=b0+b1x1+b2x2 x2y2=b0ˊb1ˊx1+b3x3 y1且r12=r13=r23=0 x1通径图如图(图2-8)所示。
y2则 ry1 y2=P y1.1P y2.2 x3 (图2-8) (二)若 y1=b0+b1x1+b2x2 y2 =b0+b3 x3 +b4 x 4 x1且 r23≠0, r12=r34=r14=r13=0 y1通径图如(图2-9)所示。
x2则 ry1y2 =P y1.2r2 3r y2.3 (证略) x3定理5 两个结果的相关系数等于连接 y2它们的全部通径链系数之和。
x4 (图2-8)例如 y1=b0+b1x1+b2x2+b3x3y2=b0ˊ+b2ˊx2+b3ˊx3+b4x4 x1且r23≠0, r12=r13=r14=r34=0 y1通径图如图(2-10)所示。
x2因为y1与y2间接有四条连接通径链 x3y1 x2 y2, y1 x3 y2 y2y1 x2 x3 y2, y1 x3 x2 y2 x4 (图2-9)所以又如 y1=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4y2=b0+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5 x1且r23≠0, r24≠0, r34≠0； r12=r13=r14=r15=r25=r35=r45=0 y1 x2通径图如图(图2-9)所示。
x3y1与y2间共有九条连接通径链 x4y1 x2 y2, y 1 x3 y2 y2y1 x4 y2; y 1 x2 x3 y2 x5y1 x3 x2 y2 y1 x2 x4 y2 (图2-9)y1 x4 x2 y2 y1 x3 x4 y2y1 x4 x3 y2所以一般，若y1与y2共m个公共原因：x1，x2，…，x m且两两相关，即r ij≠0，则注意本节从定理3开始不再涉及误差项，主要是为了适应遗传育种学研究的需要。
在遗传育种学研究中，常确定父(或母)到子(或女)的通径系数为y2，不必由变量标准化的偏回归系数去计算。
但在进行性状相关的通径分析时，则应考虑误误差项。